Динамика проводящего твердого тела в магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1. Вычисление силового и моментного взаимодействия тела с магнитным полем

1.1. Вычисление момента .»*.

1.2. Вычисление силы.

1.3. Сила и момент в поле с заданной конфигурацией

1.4. Декартовы компоненты силы и момента.

1.5. Резюме к главе I «.

2. Лондеромоторное взаимодействие проводящего тела с магнитным полем в конкретных ситуациях

2.1» Вращение проводящего шара или проводящей сферической оболочки в магнитном поле 2.1.1. Решение граничной задачи для магнитного поля

2.1.2. Свойства коэффициентов Вцт . »

2.1.3. Анализ сил и моментов, действующих на вращающееся в магнитном поле проводящее сферическое тело

2.2. Силы, действующие на проводящее тело, которое колеблется и вращается в аксиальном магнитном поле

2.3. Вычисление торможения проводящего тела, смещенного от оси аксиального поля

2.4. Резюме к главе

3. Движение проводящих тел под действием сил и моментов, обусловленных взаимодействием их с магнитным полем.

3.1. Вращательное движение волчка

3.1.1. Уравнения медленных движений.

3.1.2. Медленные движения проводящего волчка в однородном переменном магнитном поле при резонансном взаимодействии .••.,.•.•.,93 3.1,3. Медленные движения проводящего волчка в однородном поле. Нерезонансный случай

3.2. 0 неустойчивости магнитной подвески проводящего тела в переменном магнитном поле •

3.3. Об устойчивости равновесного положения проводящего тела, вращающегося в постоянном или переменном поле

3.4. Резюме к главе 3.

4. Пондеромоторное взаимодействие цилиндрических и плоских магнитных систем .••.•.

4Л. Силы и моменты, действующие на кольцевые токи, движущиеся над проводящей пластиной по круговой орбите

4.2. Диамагнитная подвеска постоянного магнита

4.2.1. Вычисление механического взаимодействия магнитов ., ;

4.2.2. Взаимодействие постоянного магнита с диамагнитной пластиной .••.,.

4.2.3. Условия устойчивости; зависимость их от параметров. Оценка максимальной вывешиваемой массы

4.2.4. Характер сил в окрестности состояния равновесия. Основные свойства диамагнитной подвески

4.3. Резюме к главе 4. . . •

Настоящая работа посвящена изучению пондеромоторного взаимодействия проводящего твердого тела с магнитным полем, а также вопросам его динамики.

Актуальность задач о пондеромоторном взаимодействии проводящих тел с магнитным полем и примеры их приложения

Актуальность исследования стимулируется развитием устройств и приборов, использующих бесконтактное вывешивание твердого тела в магнитном или электрическом поле; разработкой систем высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) и другими областями науки и техники, где поцдеромоторное взаимодействие проводящего тела с магнитным полем выступает на первый план и является необходимым условием осуществления того или иного устройства, либо определяющим фактором в динамическом поведении тела.

Согласно теореме Ирншоу и обобщению Браунбека [ , в. статической системе устойчиво удерживаться полем могут лишь диамагнитные тела. Однако сейчас успешно вывешиваются и ферромагнитные и проводящие тела, что не противоречит названным теоремам, т.к. устойчивость достигается за счет применения систем автоматического регулирования. Обзоры по электромагнитным подвесам и многочисленная библиография даны в работах [2 -г 8,12 Ш?]. Интенсивно развивающиеся бесконтактные подвесы весьма разнообразны по возможным реализациям и функциональному назначению. Они привлекают к себе внимание экспериментаторов и разработчиков перспективных приборов, поскольку обладают целым рядом ценных качеств, а именно: а) имеют очень малые потери энергии при вращении тела (нацри-мер, достигнута постоянная времени торможения 2,5 года [ 12.8 ] и 8 лет у О, Ц] ); б) есть возможность раскрутить ротор до большой скорости, ограничиваемой лишь прочностью материала в) можно получить высокую стабильность скорости вращения [^W?] ; г) малый уровень моментов, действующих на сферический ротор, открывает перспективы создания высокоточных гироскопических црибо-ров С ^ , 2i~] j д) вывешенное тело обладает высокой чувствительностью по отношению к действию малых внешних сил и моментов, что используется цри создании соответствующих измерительных приборов [2,3,5, 9] ; е) есть возможность плавить металл без соприкосновения со стенками (бестигельная плавка) 14 22,/34] и др.

Достоинства, которые имеют бесконтактные подвесы, открывают перед нами обширную область цриложений в экспериментальной технике и разработках новых приборов, а) Высокие скорости вращения позволяют получать очень большие центробежные ускорения. Так в биологической центрифуге [12 Я] они достигают 2*10^ . Рекордные ускорения 1,8*65 •10^ подучены /2^3оЛ'цри вращении малых стальных шаров (0 10*0,4 мм). б) Брагинский В.Б. Г цредложил использовать вывешенный в магнитном поле вращающийся ротор4 в качестве источника сигналов с узкой естественной шириной линии. В работе С 4 вычислена величина относительных флюктуаций частоты вращения ротора, вызванных трением о газ. Дается оценка естественной ширины линии ~ 2*Ю""14 за сек.) и экспериментально измерена техническая ширина (6*I0"8), оказавшаяся на том же уровне, что имеют кварцевые генераторы. в) В физических экспериментах ротор, вывешенный в магнитном поле, был применен как нейтронный прерыватель [ I & ] , и как корреляционный прерыватель для анализа молекулярных потоков [ . г) В космических аппаратах [/ 5 ] вывешенный проводящий шар большой массы используется в качестве шарового шарнира для стабилизации положения корабля по всем трем углам. д) Магнитная подвеска моделей в аэродинамической трубе устраняет крепления, искажающие газовый поток, и позволяет точно измерить действующие на модель силы и моменты 132] ^ е) Применяется магнитная подвеска для измерения веса тела и величины действующих на него сил . Получена чувствительность 5'КГ11 г при массе 2,3'1(Г6 ^ ж) Об измерителях малых моментов от вращательного гистерезиса в ферритах и пермаллоях сообщается в работах з) Использование бесконтактной подвески для создания высокоточных гироскопов описано в книге Малеева П.И. |Г 5" 3 . Как показы вают оценки и экспериментальные данные, шаровой ротор, вывешенный в электрическом или магнитном поле и раскрученный до высокой скорости, весьма близок к свободному гироскопу. Регулярные уходы гироскопа могут быть снижены до уровня 0,1 - 0,01 °/члс , а случайные составляющие-до Ю~3+ Ю~4 °/гс\с . Указывается на возможность создания акселерометра с чувствительностью 10""5+ ю-7 . и) Весьма перспективным с точки зрения повышения точности и надежности считается использование магнитного подвеса в приборах ориентирования, и, в частности, в гиротеодолитахГ ^ ] к) В магнитных подвесах на переменном токе могут без регулирования удерживаться проводящие тела 2 2,2 Подвес применяется для получения особо чистых веществ, материалов с улучшенными свойствами, совершенных монокристаллов и т.д. л) Диамагнитные подвесы являются наиболее цростыми, поскольку не требуют системы авторегулирования. Их применение [7] ограничено из-за малости вывешиваемой массы. Поэтому прилагаются усилия к созданию магнитных систем, которые имели бы сильное неоднородное поле в возможно большем объеме [2 4 -г 26 ] , а также изыскиваются другие меры повышения грузоподъемности [2 7] ,

Использование сверхпроводников в значительной мере снижает ограничения, связанные с малой грузоподъемностью диамагнитного подвеса, и открывает возможности создания прецизионных приборов. Следует отметить, что подвешивание сверхпроводников может основываться не только на эффекте Мейснера, но и на свойстве сохг £7 ранения магнитного потока через сверхпроводящий виток. Исследованию взаимодействия сверхпроводящих витков со взаимно "замороженными" потоками посвящены работы

29+31]

По оценке

В.В.Козореза, использование катушек диаметром порядка метра из сверхпроводника второго рода позволит создать подвес, развивающий усилие порядка тонны.

Сейчас в ряде стран разрабатываются системы высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) ^32, 33у 3?, 12?] 9 предназначенные для пассажирских перевозок со скоростями 300 * 500 км/час. В их основу положена магнитная подвеска экипажа. Один из вариантов подвески основан на том, что виток с током, быстро движущийся над цроводящим полотном испытывает большую подъемную силу и

Эле относительно малую тормозящую, ктродинамическая задача, возникающая при расчете подвеса, заключается в нахождении магнитного поля индуцируемых в проводящем полотне токов и определении силового взаимодействия магнита и полотна. Достаточно эффективный метод ее решения разработан для прямолинейного отрезка тока, движущегося с постоянной скоростью над бесконечной проводящей пластиной РЪ 35; ъць$13б).

Полевая задача решается путем перехода к Фурье-представлению по двум пространственным переменным. Подъемная сила и сила сопротивления движению находится интегрированием поля, наведенных в проводящем полотне токов, вдоль контура тока источника. Методом убегающих отражений вычислены силы в работе [/^Ч . Простое соотношение для левитационного качества (отношения подъемной силы к тормозящей) в случае тонкого полотна получено в работах С/3?, /3 9] # Краевые эффекты учтены в [ .В для двух бесконечно длинных проводов с током, движущихся над проводящей пластиной, получена неустойчивость, связанная с тем, что равновесная скорость приходится на падающий участок зависимости тормозящей силы от скорости. Кочетков В.М. С показал, что виток с током, летящий на большой скорости над проводящим полотном, неустойчив относительно вертикальных возмущений скорости. Этот тип неустойчивости отражает характерную особенность взаимодействия проводящего тела с магнитным полем, и ему уделяется большое внимание в диссертации.

С точки зрения электродинамики к задачам о магнитной подвеске в системах ВСНТ близки задачи, рассматривающие движение витков с током в проводящей трубе (или вдоль нее). Вычислению силы в таких системах посвящены работы ^^ ] . Поля в коаксиальной системе виток-проводящий круговой цилиндр вычислены в работах Родственными являются также задачи о транспортировке твердых тел б1егущим полем и ориентации проводящих деталей переменным магнитным полем с целью применения в технологических установках! 39 т 1/7].

Магнитное поле оказывает существенное влияние на вращательное движение космического аппарата. Согласно [ 48] еще до запуска первого советского спутника в работах были найдены моменты, действующие на проводящий сферический или цилиндрический спутник в однородном поле. Позже моменты от вихревых токов изучались в работах 11/9] . Вычисление магнитного момента спутника, состоящего из частей, различным способом намагничивающихся и несущих различные токи, проведено Голубковым В.В.

9] Влияние моментов от магнитного поля на вращательное движение спутника найдено в работах С 5 °г . Сопоставление аэродинамических и магнитных моментов С ^ /50] > пока зывает, что на высотах более 200 км основное торможение обусловлено вихревыми токами.

Эффекты, возникающие цри движении проводящего тела в магнитном поле

Задачи о пондеромоторном взаимодействии проводящих тел с магнитным полем помимо только что рассмотренных областей приложения имеют и большой самостоятельный интерес. Отметим некоторые эффекты, характеризующие особенности этого взаимодействия.

1) Движение тела вызывает токи Фуко, которые рассеивают энергию движения на активном сопротивлении. В результате возникает тормозящая сила или момент. Поэтому взаимодействие движущегося проводника с магнитным полем воспринимается прежде всего как диссипативное, и вихревые токи наряду с вязким трением являются одним из широко расцространенных источников диссипации. Однако, хотя с ростом скорости мощность потерь монотонно растет, тормозящая сила (или момент) с ростом скорости стремится к нулю. Этот факт был открыт Г.Герцем

2) Существует аналогия между воздействием на сверхпроводник и на проводник, быстро движущийся в магнитном поле. Она основывается на том, что при быстром движении проводника внутренние области его экранируются от проникновения внешнего поля. Аналогия еще более усиливается, если учесть, что тормозящая сила (или момент) стремится к нулю с ростом скорости, и механическое взаимодействие проводящего тела с магнитным полем приобретает как бы консервативный характер.

3) Экранирующее действие вихревых токов, приводит также к тому, что проводник, имеющий магнитную проницаемость /WW 9 приобретает диамагнитные свойства. Поэтому "магнитный"*^ характер силы может смениться на "диамагнитный".

4) Зависимость тормозящей силы (или момента) от скорости имеет падающий участок. При наличии силы другой природы, возрастающей со скоростью, можно реализовать /\/ - образную характеристику. В таких системах возможны гистерезисные явления, и они привлекают к себе внимание в результате развития "теории катастроф" ['5 2] .

Обзор работ, в которых аналитически решены задачи о пондеромоторном взаимодействии проводящего тела с магнитным полем

Вычисление сил и моментов, действующих на тело со стороны поля, требует знания поля, удовлетворяющего решению соответствующей граничной задачи. Число случаев, для которых граничная задача решена, весьма мало. Однако знание поля-является лишь необходимым условием, и требуется еще проинтегрировать выражения для сил и моментов, что само по себе является сложной задачей. Поэтому еще более сужается круг задач, для которых удается аналитически вычислить силы и моменты, и он ограничивается телами простейшей формы (шар, цилиндр, эллипсоид и др.).

Одной из первых работ, касающейся механического взаимодействия проводника с полем, является диссертация Г.ГерцаГ "Индукция во вращающихся сферах". Им найдены поля, индуцируемые в тонких проводящих сферических оболочках при внешнем и внутреннем расположении источников. Тормозящий моментгайден Герцем путем приравнивания джоулевых потерь и работы тормозящего момента.

Достаточно просто и эффективно вычисляется момент, дейст-вующии на тело в однородном внешнем поле ¿3 , через его на

Под "магнитным" или "диамагнитным" характером силы подразумевается свойство тела втягиваться в более сильное поле или выталкиваться из него. г магниченность ^ (или магнитный момент): Этим способом Л.Д.Ландау и Е.М.Лифпшц нашли не только тормозящий момент, действующий на немагнитный цроводящий шар, вращающийся под произвольным углом к внешнему полю, но определили и др»компоненты момента. Аналогичная задача для шара в переменном магнитном поле решена Сермонсом Г.Я. [55] . Следуя формуле ( 4 ), Кейт Р^З] нашел моменты, действующие на ферромагнитный шар. Он использовал свой расчет для выяснения причины торможения железного шара, вывешенного в магнитном поле, Шму-цером для проводящего немагнитного шара, вращающегося в однородном внешнем магнитном поле, найдены токи ^ и поля В и Е (в том числе и статическое Е от униполярной индукции). По магнитному моменту шара, согласно ), находится механический момент; дается его высокочастотное и низ-ночастотное приближения.

В работах 3 интегрированием выражения в]]^ (2) найдены моменты, действующие на проводящую немагнитную сферическую оболочку, вращающуюся во внешнем однородном постоянном или переменном магнитном поле. Для тонкой сферической оболочки тормозящий момент дан В.Смайтом [ . В работе [ ферромагнитного шара { /л ), исходя из ( 2 ), найдены моменты в низкочастотном приближении.

Большое внимание решению квазистационарных уравнений Максвелла во вращающейся шаровой области уделяется в работах г 163,5^] Елзасера, Булларда, Рёдлера, Моффата, Паркера. Буллардом найдены обусловленные униполярной индукцией токи, текущие между вращающимся шаром и внешней неподвижной сферической оболочкой. Им вычислен тормозящий момент, обусловленный этими токами, а также действием внешнего неоднородного поля.

Интегрированием ( 2 ) Ханукаев Ю.И. С ^ ^ вычислил моменты, действующие на проводящий - произвольные) вращающийся шар в произвольном переменном магнитном поле. В задаче используются фундаментальные векторы (тороидальные, полоидальные, скалоидальные в терминологии Елзасера), которые являются решением векторного уравнения диффузии Следует отметить, что момент найден для достаточно общего случая, но несмотря на попытку ввести свои функции поворота, не получено четкой угловой зависимости момента даже в аксиальном поле. В работе найдена объемная и поверхностная плотность заряда, обусловленная вращением шара, а также электростатическое поле.

Сила, действующая на ток, определяется выражением

3)

В [46, 47] вычислялась сила со стороны бегущего магнитного поля на неподвижный немагнитный проводящий шар (и еще цилиндр в С4?] ). В 60~] находилась осевая сила, действующая на проводящий немагнитный шар в переменном поле катушки или витка с током. Однако на пути интегрирования соотношения ( 3 ) встречаются большие трудности. Так в [ 4^ получено только два члена низкочастотного приближения; в[46; /¿4 ] остались невы-численными интегралы, содержащие функции Бесселя; в С^О] поля искались в первом порядке по малому скин-слою, но полученное выра-• жение для силы не содержит малого параметра и описывает воздействие на сверхпроводник. В работе [ 6О найдена осевая сила, действующая на малый шар в аксиальном поле, содержащем только две гармоники.

Весьма эффективным способом определения силы является интегрирование поля реакции тела по токам источников. В этом случае при достаточно простой конфигурации источника удается избежать трудностей, которые встречаются при интегрировании (3 ). Калебин СЛ. и Владимирский В.В, [62] вычислили силу, действующую на шар, вращающийся под малым углом к оси поля точечного магнитного заряда. Осевая сила, действующая на цроводящий шар (с ^ = 1 ) в переменном поле коаксиальных витков найдена в £ /65~J . То же самое, но с ^^ ив поле одного витка, получено Сермонсом Г.Я.

55] . Фомин А. А. [62] вычислил поперечную силу, действующую на проводящий цилиндр в поле длинных проводов с переменным током.

Определить силовое взаимодействие между телом и источником поля можно из общего цринципа Лагранжа-Максвелла. где L(t) - индуктивность источника поля, зависящая от положения тела. На основе (4 ) Смитом [/66J найдена осевая сила, действующая на проводящий шар (с ^ ^ ), в поле коаксиальных витков с переменным током. В работе Г ^ ^J находятся силы для тел более разнообразной формы (шар, сфероид, куб, цилиндр), но вместо аналитической зависимости L (%) используется экспериментально измеренная кривая. Следует отметить, что изменение L(X) невелико (2*4%), и требуется измерять индуктивность с очень большой точностью, поскольку сила получается численным дифференцированием кривой. В работе 1.168] для нахождения силы в коаксиальных магнитных системах разбивается тело на ряд элементарных индуктивностей, а общая индуктивность системы вычисляется с помощью специальных таблиц. Ю.М.Урман и И.В.Веселитский [ ] нашли индуктивность системы виток-сверхпроводящий шар, что позволяет найти и силу. 1{дея замены массивного проводящего тела эквивалентным витком и последующего вычисления на основе формулы ( 4 ) поддерживающей силы, продольной и поперечной жесткости была использована Окрезом и др. для расчета системы электромагнитной левитации проводящего тела в переменном магнитном поле.

Исходя из энергии взаимодействия тела с полем

5;

Ю.М.Урман С 6 5] нашел силу и жесткость шара (с произвольным ^ ) в поле произвольной конфигурации, как частный случай, получены жезткости сверхпроводящего шара в аксиальном поле. Используя формулу, аналогичную ( 5 ) для поля ¿Г , Твердохлебов А.Н. и Шустер А.Л, Е& 63 вывели следующее выражение для потенциальной энергии однородного диэлектрического шара радиуса <Х в квазистатическом электрическом поле ^ г-г I где Е - поле в отсутствие шара. С заменой Е на н на р формула распространяется на случай магнитостатического поля. Ими получена первая поправка по величине скин-слоя к потенциальной энергии \Д/Г проводящего шара в квазистационарном магнитном поле. В нижнем порядке по величине скин-слоя найдена мощность рассеяния энергии Р-~2(л)\\/^ .В Г 6 теми же авторами при исследовании подвески жидкого металла в переменном аксиальном магнитном поле получены силы и жесткости, соответствующие воздействию на сверхпроводящий шар. Потенциальная энергия проводящего шара с в магнитном поле произвольной частоты найдена ими в

Левин М.Л, и Белоозеров В.Н. [^Я показали применимость метода отражения для решения граничной задачи на сверхцроводящей сферической поверхности, находящейся в поле элемента тока. По изменению самоиндукции витка в присутствии шара М.Л Левин [6 9] вычислил осевую силу в зависимости от радиуса витка и расстояния до него. Опираясь на эти результаты, Белоозеров В.Н. £ О нашел силу, действующую на шар, помещенный между двух витков. Он же вычислил осевую силу, продольную и поперечную жесткости, малого шара в коаксиальной одно-, двух-, трехкатушечной магнитной системе. Им показано, что для малого шара в аксиальном поле продольная и поперечная жесткости не могут быть равными. Сила и жесткости немалого сверхпроводящего шара в аксиальном магнитном поле вычислены Рябовым А.Б. [^2, 73] . В Г^^ находится сила, действующая на малое диамагнитное тело (или цроводник в поле достаточно высокой частоты), путем вычисления потенциальной функции

Н " . В одно- и двухвитковых магнитных системах выделяются области, где возможна левитация тела. Определение областей устойчивости в более сложных магнитных системах дано в С .

В работе сила в слабо^неоднородном поле вычислялась как ^ с)ъас/(т Ё>) (где гп - магнитный момент). Движению о г - з/г! проводящего тела в магнитном поле посвящены и работы ^ .

Значительные трудности цредставляет нахождение поля проводящего эллипсоида во внешнем переменном магнитном поле. Известны различные приближенные решения задачи для однородного поля [ ■г 39] .В [50] дан расчет поля системы "сфероид - виток" в проводящей среде. М.Л.Левиным и Р.З.Муратовым получены приближенные формулы для тензора магнитной поляризуемости эллипсоида ( а ^ 4 =£ С )с большой комплексной диэлектрической проницаемостью, справедливые в случае, когда толщина скин-слоя велика против размера тела. В случае же сильного скин-эффекта найдены выражения тензора и получена общая связь между мнимой частью тензора и поправкой к вещественной части, обусловленной конечностью скин-слоя.

Знания магнитного момента проводящего эллипсоида, расположенного в однородном переменном магнитном поле, достаточно для нахождения статических механических моментов. Если же тело вращается, то дополнительные вихревые токи изменят как магнитный, так и механический момент. Поэтому необходимо решить задачу, учитывающую вращение тела. В низкочастотном приближении для определения компонент тензора, обусловленных вращением, по-видимому, можно воспользоваться решением задачи о проводящем эллипсоиде в переменном поле. Однако в случае быстрых вращений плотность вихревых токов не является суперпозицией составляющих, вызванных независимым вращением по каждой из осей эллипсоида. Поэтому нахождение механического момента очень затруднено. Повдеромоторное взаимодействие поля с другими телами уже рассматривалось ранее (системы ВСНТ и др.). Дополнительно можно упомянуть работы в которых найдено воздействие на тор.

В заключение обзора следует отметить, что ввиду сложности вычисления пондеромоторного взаимодействия проводящего тела с полем, часто задачи решаются цри различных упрощающих предположениях, таких как, однородное или слабо неоднородное внешнее поле, простая конфигурация источника, симметричное расположение тела относительно источника; малое, немагнитное ( ^ - 4 ), неподвижное тело; сильный скин-эффект и др. Можно назвать также работы [44, в которых.несмотря на упрощающие обстоятельства,даже.для шара не получено исчерпывающего решения поставленной задачи.

Цель диссертации и ее краткое содержание,

Как следует из обзора литературы, определение пондеромоторного взаимодействия проводящего тела с магнитным полем цредставля-ет достаточно важную, но далеко нерешенную задачу. Наряду с ранее отмеченными особенностями взаимодействия проводящего тела с полем есть и другие еще мало изученные. Так, есть эффект смены "диамагнитного" характера силы "магнитным". Существуют такие условия, что рассеяние энергии движения сменяется накачкой. Существует взаимная связь и влияние движения по одним координатам на силы и моменты по другим координатам. Вращение проводящего ротора в магнитном поле ставит воцрос о силах, обусловленных вращением, и особенно таких, которые могут приводить к неустойчивости. Изучение перечнеленньс и других динамических эффектов является актуальной задачей. В связи с многочисленными приложениями необходимо полнее знать поцдеро-моторное взаимодействие тела с полем с тем, чтобы изучить динамику объекта, его устойчивость, характер дестабилизирующих факторов, условия их появления и зависимость от параметров; чтобы иметь возможность оценить достижимость определенных качественных показателей, таких как, чувствительность, минимальный или максимальный уровень потерь, максимальный удерживающий вес и др. Решение этих вопросов является целью и содержанием диссертаций.

В ней удалось решить с единых позиций ряд задач поцдеромо-торного взаимодействия сферически-симметричного тела с неоднородным магнитным полем; а также несколько задач, касающихся цилиндрических и плоских систем; рассмотрены вопросы динамики и устой-, чивости. Основные результаты опубликованы в работах С 85 т 98} . Выполненные исследования рассматриваются в основном с точки зрения приложения их к магнитным подвесам. Большое внимание уделяется выяснению особенностей взаимодействия и возникающим эффектам. Изучены разнообразные ситуации взаимодействия, которые могут встретиться в реальных устройствах.

Поскольку в центре внимания находятся макроскопические тела, скорости которых малы по сравнению со скоростью света, то ти рассмотрение является нерелявистским; кроме того предполагается, что выполнены условия квазистационарной электродинамики. Здесь следует отметить, что наибольшая окружная скорость вращающегося тела естественным образом ограничена пределом прочности материала ( V < 1000 м/сек. у лучших сталей) и даже самые высокие скорости вращения ( ~ 100 кгц у шаров 0^1 мм) остаются низкими с точки зрения электродинамики.

Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Во введении показывается актуальность исследования задач о понде-ромоторном взаимодействии тела с электромагнитным полем. Отмечаются особенности взаимодействия и возникающие эффекты. Дается обзор литературы. Формулируется цель работы и приводится ее краткое содержание.

В первой главе в предположении, что на некоторой сферической поверхности в свободном пространстве известно разложение поля по сферическим функциям, вычисляются равнодействующая сила и моиент, действующие на тело, охватываемое этой поверхностью. Полученные не выражения опираются на конкретные свойства тела и поэтому, вообще говоря, описывают воздействие на произвольное тело и носят достаточно общий характер. Для случая, когда задача решается в цредпо-ложении заданного внешнего поля, даются более удобные формулы, требующие знания внешнего поля в отсутствие тела и поля реакции (или возмущения, вносимого телом).

Изучению особенностей взаимодействия обусловленных характером поля, электродинамическими свойствами тела и его движением посвящена глава 2. Для проводящих сферически-симметричных тел, движущихся в магнитном поле, можно в целом ряде случаев придти к уравнению Гельмгольца и найти поле реакции, тем самым получить аналитическое решение для пондеромоторного воздействия на тело. В диссертации рассмотрено две разновидности тел: однородный проводящий шар и проводящая сферическая оболочка, заполненная непроводящим материалом. Вычислены силы и моменты, действующие на сферическое проводящее тело: а) вращающееся в цроизвольном или аксиальном магнитном поле; б) колеблющееся и вращающееся в аксиальном поле. В формулах выделены части, ответственные за статическое и динамическое взаимодействие тела с полем. Дан анализ их зависимости от параметров, что позволило проследить изменение характера взаимодействия с ростом частоты внешнего поля или скорости вращения, выявить особенности многочастотного взаимодействия. Рассмотрено поведение сил и моментов при частных режимах движения, а именно, быстром или медленном вращении, вращении под малым углом к оси симметрии поля или под углом, близким к прямому. Для медленно вращающегося тела установлена простая тригонометрическая зависимость сил и моментов от угла между осью вращения и осью симметрии поля, которая имеет место в произвольном аксиальном поле.

Установлены закономерности возникновения сил, действующих на тело одновременно колеблющееся и вращающееся.

Рассматриваются ряд эффектов, возникающих при взаимодействии проводника с полем, а) Если тело магнитное ( ), то увеличение частоты переменного поля или увеличение скорости вращения в постоянном поле приводит к смене "магнитного" характера силы на "диамагнитный", б) Если магнитное тело находится в переменном поле такой частоты, что сила имеет "диамагнитный" характер, то при вращении тела сила может стать "магнитной" в некотором диапазоне скоростей, в) Если тело вращается в переменном поле, то в начальной области скоростей вращения происходит смена знаков, по отношению к знакам в постоянном поле всех компонент сшыи момента, г) При колебательном движении проводника возникает "отрицательное трение", если тело находится в переменном поле или быстро вращается в постоянном.

Глава 3 посвящена изучению движения проводящего тела под действием сил и моментов, обусловленных токами Фуко. В З.Н- 3.-/.3 рассматривается вращательное движение в аксиальном постоянном или переменном магнитном поле симметрического волчка, содержащего проводящее сферическое тело. Предполагается, что кинетическая энергия вращения существенно больше работы моментов от вихревых токов. Это позволяет решать электродинамическую задачу на заданном свободном движении тела (вращении Эйлера-Пуансо), что опять приводит к уравнению Гельмгольца # Его решение дает возможность вычислить усредненные по свободному движению (и "быстрому времени") моменты и получить уравнения первого приближения для медленных переменных. Рассмотрено два режима движения - резонансное и нерезонансное.

Подробно исследовано движение в однородном поле. В нерезонансном случае анализ ведется на фазовой плоскости, и выяснено влияние параметров на устойчивость стационарных режимов. Получено, что в системе возможны многочисленные устойчивые стационарные режимы, появление которых обязано эффекту "отрицательного трения", возникающему в переменном поле.

В части 3. 2. теоретически и экспериментально исследуется устойчивость подвески проводящего тела в переменном магнитном поле. Эксперимент имел целью выявить эффект "отрицательного трения" и'проверить теоретические расчеты. Явление неустойчивости реально наблюдалось на опыте. По результатам эксперимента вычислено воздействие на шар со стороны поля и сравнено с теоретически рассчитанным.

В 3,3 исследуется устойчивость относительно поперечных возмущений состояния равновесия цроводящего сферического тела, вращающегося в постоянномилипеременном аксиальном магнитном поле

А Л гак, что ось вращения параллельна оси симметрии поля. Дается

Г) - разбиение плоскости параметров на области устойчивости. Доследовано влияние на устойчивость циркулярных и неконсерватив-зых сил, возникающих из-за токов Фуко в теле. Показана необходимость внешней демпфирующей силы; отмечены области скоростей вра-цения наиболее опасные с точки зрения потери устойчивости.

Глава 4 посвящена изучению пондеромоторного взаимодействия цилиндрических и плоских магнитных систем. В •/ вычисляются силы и моменты, которые действуют на систему кольцевых токов (виток, катушка и др.), движущуюся по круговой орбите произвольного радиуса над проводящей пластиной. Как частный случай получены формулы сил и моментов для движения по кругу малого радиуса. Вычислен и пример на ЭВМ, дается сопоставление частотной зависмости для тон- • кой пластины и тонкой сферической оболочки. В рассчитана диамагнитная подвеска постоянного магнита, вес которого уравновешивается притяжением к другому магниту, а стабилизация достигается за счет отталкивания от диамагнитных пластин. Взаимодействие магнитов рассчитывалось непосредственно, а взаимодействие с диамагнитной пластиной получено как частный случай задачи, решенной в части / . Найдены аксиальная сила и жесткость, поперечная жесткость, момент, пропорциональный малому повороту и поперечному смещению. Получены условия устойчивости и исследована их зависимость от параметров. Рассмотрена нелинейная зависимость аксиальной силы от расстояния, что позволяет определить состояния равновесия, их число, характер, зону притяжения, запас по силе и т.д. Дана оценка максимальной массы, которую можно бесконтактно вывесить.

Практическая значимость.

Основной областью приложения являются бесконтактные подвесы, и часто исследование ведется под углом зрения получения результатов, необходимых для объяснения тех или иных явлений в магнитном подвесе. Результаты исследований силового и моментного взаимодействия проводящего сферического тела с неоднородным магнитным полем могут быть использованы:

I) при изучении цричин неустойчивости бесконтактной вывески: а) проводящего тела в переменном магнитном поле, б) проводящего тела, быстро вращающегося в постоянном поле;

2) при изучении причин торможения быстро вращающихся металлических шаров в маломоментных подвесах [ ;

3) при изучении моментного воздействия на ; а) бесконтактно вывешенный проводящий ротор гироскопических устройств, б) проводящий сферический спутник, движущийся в неоднородном поле.

В дополнение к пункту 3 а) следует отметить следующее. Особенностью шара, как фигуры, является то, что на него не действует момент в поле произвольной конфигурации (если он "идеальный", т.е. нет гистерезиса и проводимости). Этот факт является отправной точкой цри создании маломоментных устройств С 1 . Статические моменты появляются, если форма поверхности отличается от сферической, что служит предметом специального изучения В случае же вращающегося проводника момент-ное воздействие есть и на сферическое тело.

Результаты решенной задачи о пондеромоторном взаимодействии круговых токов с проводящей пластиной могут быть использованы для оценки эффективности электродинамического демпфера и учета его возмущающего воздействия на движущееся тело. Кроме того, эта задача может быть использована для определения сил и моментов, возникающих цри движении по дуге окружности в электродинамической системе ВСНТ.

Расчет диамагнитной подвески дает возможность оценить ее параметры и перспективность црименения в том или ином приборе.

Научная новизна.

I. Получены достаточно общие формулы для пондеромоторного взаимодействия тела с магнитным полем, что обеспечило единый подход к задачам о взаимодействии сферического тела (проводящего или непроводящего, сФ / ) с внешним неоднородным магнитным полем. В частности, найдены силы и жесткости в постоянном и переменном аксиальном поде, силы и моменты при вращательном и колебательном движениях и др.

2. Изучен эффект "отрицательного трения", возникающий при

X) быстром движении по одной из степеней свободы , В частности, он имеет место при движении проводника в переменном поле достаточно высокой частоты или быстром вращении в постоянном.

3. Обнаружен эффект, состоящий в том, что "диамагнитный" характер силу, действующей на неподвижное магнитное тело () в переменном поле достаточно высокой частоты, сменяется на "магнитный" цри быстром вращении.

4. Показано, что если тело вращается достаточно медленно, так что можно рассматривать пондеромоторное взаимодействие с точностью до второго порядка (включительно) по безразмерной угловой скорости вращения, то зависимость компонент силы и момента от угла между осью вращения и осью симметрии поля одна и та же в произвольном аксиальном поле. Этот факт позволяет для сферического тела распространить векторные формулы момента с однородного поля на аксиальное.

5. Объяснено явление неустойчивости вывески проводящего тела в переменном магнитном поле.

6. Получены уравнения медленных движений симметрическсгоролчл ка, подверженного воздействию моментов от виздевых токов в неоднородном магнитном поле. Получены новые устойчивые стационарные режимы вращательного движения волчка в однородном переменном поле.

Под быстрым понимается движение, у которого частота л. больше характерной электродинамической частоты 00+ тела.

7. Исследованы характеристики диамагнитной подвески постоянного магнита; получена оценка максимальной массы магнита, бесконтактно удерживаемого в подвесе.

Методика

Использование методов теории обобщенных сферических функций позволило: а) проинтегрировать тензор натяжений Максвелла, что привело к достаточно общим формулам для поддеромоторного взаимодействия тела с полем, на основе которых решены конкретные задачи; б) придти к векторному уравнению Гельмгольца для магнитного поля в сферическом проводнике, у которого ось вращения не остается неподвижной в теле и сама вращается относительно него, что дало возможность вычислить моменты, возникающие в аксиальном поле, эффективно цровести процедуру усреднения и получить уравнения медленных движений волчка в резонансном и нерезонансном режимах взаимодействия с переменным полем. Нахождение решения векторного уравнения Гельмгольца по решению скалярного дает возможность единообразного подхода к различным сферическим телам.

Апробация

Результаты исследований докладывались на семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов под руков. акад. А.Ю.Ишлинс-кого (Москва, 1977); Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем, (Киев, 1978); семинаре по прикладной МГД под руков. акад. Латв.ССР И.М.Кирко, (Пермь, 1978, 1981); У Всесоюзном съезде по теоретической механике (Алма-Ата, 1981), семинарах кафедр ПУ им. Н.И.Лобачевского: общей физики (1981), электродинамики (1982), теоретической механики (1982); семинарах отдела № 12 НИИ ШК (Горький).

I. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛОВОГО И МОМЕНТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛА С МАГНИТИШЬ ПОЛЕМ

В настоящей главе по заданному магнитному полю на некоторой сферической поверхности вычисляются силы и моменты, действующие на тело, охватываемое этой поверхностью. Предполагается, что поверхность находится в пространстве с ^ ~ 4 , \ , и что источники магнитного поля расположены вне ее. Электродинамические и геометрические свойства тела не конкретизируются, но считаются такими, что пондеромоторное взаимодействие описывается тензором Максвелла. В данной главе и во всей диссертации предполагается, что выполнены условия квазистатики и, следовательно, пренебрега-ется волновыми процессами и запаздыванием передачи взаимодействия в свободном пространстве. Поэтому напряженность поля во всех точках сферы зависит от одного и того же момента времени. Зависимость от времени в данной главе явно не задается. В последующих главах поле рассматривается либо постоянным, либо гармоническим во времени. Предполагается, что полный заряд на теле равен нулю, и в окружающем пространстве нет источников электрического поля. Электрическое поле, возникающее вследствие переменности магнитного поля, в ближней(квазистатической) зоне мало по сравнению с магнитным

99,100, //6] (где /г . размер тела или интересующей нас области, X - - длина волны). Поэтому электрическим взаимодействием по сравнению с магнитным цренебрегается. Пренебрегается также изменением количества .движения (и момента количества .движения) поля, т.к. тИ [В величина того же порядка малости, что и электрическое взаимодействие.

Равнодействующую силу и момент, действующие на тело в магнитном поле можно найти интегрированием тензора натяжений

Максвелла

-¿г^ттШп где и Л/ - сила и момент, И - напряженность магнитного поля, - замкнутая поверхность, охватывающая тело,

Я - внешняя нормаль к этой поверхности, радиусвектор, проведенный в точку интегрирования. Удобно в качестве поверхности интегрирования взять сферу с центром в начале координат. Тогда П - ( ~ единичный вектор в сферической системе координат), и ( У, 4 ) можно переписать как: у 5 л г»-. / М

Для вычисления ( 2 ) необходимо знать значение поля на поверхности сферы. Пусть оно задано в виде ^: Лупт щ?)) , (1.5)

Вектор /-/ может быть разложен по полной, ортогональной нормированной системе шаровых векторов [Ю4 МЗ)]

У^н I У"7] » которые выражаются через сферические функции следующим образом; продольный шаровый вектор и поперечные шаровые векторы У^ Г^^Л * (П X 7±) <Р),

1 • в дальнейшем, однако, будет использоваться только выражение вида ( /, 3 ). Т.к. магнитное поле квазистатическое, то оно не имеет составляющей У ж (& У) (см., напр.

Г 53 (с.71)], [М (с.б/0-тбМ] ). где йСЛт ; {5 >тт ~ амплитуды радиальной и поперечной компонентов поля, " нормированная сферическая функция 0/ У - текущие сферические координаты, , единичные векторы, 7Х = + ^ ^ . В силу заданной функциональной зависимости поля ( 3 ) от координат в (р вычисление тензора натяжений Максвелла сводится к интегрированию произведений сферических функций и их производных. Возникающие здесь интегралы такие же, как и в работе с гдесии были вычислены Ю.М.Урманом. Вычисления в работе [85] опирались на конкретный вид решения граничной задачи. Однако, как показывает анализ, интегрирование тензора Максвелла не связано непосредственно с решением граничной задачи, а зависит от формы представления напряженности магнитного поля на сфере, по которой производится интегрирование. Поэтому результаты работы допускают обобщение в том смысле, что вычисление сил и моментов можно провести до решения граничной задачи и независимо от нее, для этого необходимо лишь знание поля в виде -< ¿3 ).

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Получены выражения для равнодействующей силы и момента, действующих на тело в квазистатическом магнитном поле, которые не опираются явным образом на геометрию и электродинамические свойства тела.

В случае заданного внешнего поля формулы даны в таком виде, что для вычисления силы и момента достаточно знать поле источников в отсутствие тела и возмущение, вносимое телом.

2. Для сферически-симметричных проводящих тел, совершающих вращательное или (и) колебательное движение во внешнем постоянном или переменном магнитном поле, решением векторного уравнения Гельмгольца вычислено поле реакщш и найдены: а) силы и моменты, действующие на тело, которое вращается в аксиальном поле под углом |2> к его оси; б) силы, возникающие при колебаниях тела в аксиальном поле вдоль и поперек его оси, причем тело вращается вокруг собственйЪй оси, параллельной оси симметрии поля; в) тормозящий момент, действующий на тело, смещенное от оси симметрии поля и вращающееся вокруг собственной оси, параллельной оси поля; г) моменты, возникающие при вращении тела вокруг оси, которая сама вращается относительно тела#

3. Проанализированы особенности пондеромоторного взаимодейст-ствия сферических проводящих тел с аксиальным полем: а) показано, что нет проекции момента на ось симметрии поля; б) найдено, что имеют место простые тригонометрические зависимости компонент силы и моментаотугла (Ъ , если тело вращается медленно ( (л) ^ * (л) ); для этого случая даны векторные формулы момента; в) получено, что в переменном поле достаточно высокой частоты у Л ) ВСе компоненты момента и силы (кроме ) в начальной области скоростей вращения имеют знаки, противоположные тем, что были в постоянном поле, в частности, появляется раскручивающий момент; г) установлена возможность смены "диамагнитного" характера силы на "магнитный" при быстром вращении "магнитного" тела в переменном поле; д) показано, что, независимо от конфигурации магнитного поля возникает "отрицательное трение", если колеблющееся проводящее тело находится в переменном поле или вращается в постоянном; отмечается, что условием появления "отрицательного трения" является быстрое движение по одной из координат.

4. Рассмотрено влияние сил и моментов, обусловленных токами Фуко, на динамику тела: ск а) получены уравнения медленных движений симметричеого волчка при резонансном и нерезонансном режимах взаимодействия с аксиальным полем; изучена динамика в однородном поле; благодаря наличию "отрицательного трения" существуют разнообразные устойчивые стационарные режимы; б) изучено влияние на устойчивость удержания проводящего тела магнитным полем следующих дестабилизирующих факторов: "отрицательного трения", возникающего из-за того, что тело вращается, или что поле переменное (либо то и другое вместе), и циркуляционной силы, обусловленной вращением проводника в несимметричном поле.

5. Дан расчет не потребляющей энергии перспективной схемы диамагнитной подвески постоянного магнита. Получена оценка максимальной массы, которую можно вывесить.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Стрэттон Да. А. Теория электромагнетизма. - М.-Л., ГИТТЛ, 1948, 539 с.

2. Кацнельсон О.Г., Эдельштейн A.C. Магнитная подвеска в приборостроении. М., Энергия, 1966, 94 с.

3. Кацнельсон О.Г., Эделыитейк A.C. Автоматические измерительные приборы с магнитной подвеской. М,, Энергия, 1970, 216 с.гидро

4. Метлин 33.Б. Магнитные и магнитодинамические опоры. Обзор» -М., Энергия, 1968, 190 с.

5. Малеев П.И. Новые типы гироскопов. Л., Судостроение, 1971, 160 с.

6. Вышков Ю.Д., Иванов В.И. Магнитные опоры в автоматике. М., Энергия, 1978, 160 с.

7. Лонизовский В.М. Диамагнитный подвес и его применение. Обзор. -ДТЭ, 1981, № 4, с.7 14.

8. Магнитные, криогенные и электростатические подвесы и момент-ные взаимодействия тел с вывешивающим полем подвеса. Библиографический указатель литературы. Отечественная и иностранная литература 1972-1980 г.г. Новосибирск, 1980, 27 с. (016).

9. Чепмен, Эзекиль. Сверхпроводящий подвес для чувствительного акселерометра. ПНИ, 1965, № I, с. 101 - 102.

10. Фремерей. Прибор для измерения остаточного тормозящего момента, воздействующего на малые вращающиеся сферы. ПНИ, 1971, té 6, с. 3 - 13.

11. Фремерей, Об остаточном тормозящем моменте, воздействующемна свободно вращающиеся сферы, подвешенные в магнитном поле,-ПНИ, 1972, №10, с. 9 13.

12. Лонизовский В.М. Получение больших центробежных полей. ПТЭ, 1957, № 4, с. 69 - 72.-15813. Катано, Симидзу. Создание полей центробежных сил, превышаюgщих силу тяжести в 10 раз, ПНИ, 1979, № 7, с. 3 - 8,

13. Брагинский В.Б. Об источнике сигналов с узкой естественной шириной линии. Радиотехника и электроника, 1965, т.10,1. JS 8, с. 1535 1536.

14. Осика В.И., Хорев A.A. Флуктуации частоты вращения ротора в магнитном подвесе. Изв.ВУЗов Радиофизика, 1971, т.14, № I, с. 164 - 166.

15. Калебин С.М., Владимирский В.В. Механический нейтронный прерыватель, подвешенный в магнитном поле. ПТЭ, 1962, № 3,с. 36 43.

16. Комса, Давид, Шумахер. Корреляционный прерыватель с магнитным подвесом для анализа молекулярных потоков с поверхностей. -ПНИ, 1981, № 6, с. 3 12.

17. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н, Сферический 3-х степенной стабилизатор в бесконтактном подвесе. В кн. Управление ориентацией космических аппаратов, М., Наука, 1974, с. 413- 423.

18. Васильев B.C., Мома А,Б., Сердюк Г.В. Экспериментальное исследование момента сопротивления вращению несущего элемента-магнитной опоры. ЖТФ, 1979, т. 49, вып. 4, с. 878 - 879.

19. Денисов Г.Г., Линьков Р.В., Поздеев О.Д., Романычев Ю.А., Химии Ю.А. Анизометр с магнитным подвесом образца. ПТЭ, 1981, № 5, с. 245.

20. Воронков H.H., Кутырев В.В., Ашимов Н.М. Гироскопическое ориентирование. М., Недра, 1980, с. 274 - 276,

21. Вуч, Окресс, Рутецкий. Плавление образцов вольфрама, подвешенных в ВЧ-поле, при нагреве электронным лучом. ПНИ, 1975, & 8, с. 191 - 192.

22. Жевняк A.B., Тузлов Д.П. Устойчивость левитации проводящих тел в аксиально-симметричном электромагнитном поле. ЖТФ,-1591982, т. 52, В 7, с. 1299 1303.

23. Уолдрон. Диамагнитный подвес с использованием пиролитического графита. ПНИ, 1966, № I, с. 32 - 39.

24. Брагинский В.Б., Осика В.И. Кольцевой диамагнитный подвес. -ПТЭ, 1969, Л 4, с. 196 197.

25. Понизовский В.М. Свободный подвес магнитов в постоянном магнитном поле при помощи пиролитического графита. ПТЭ, 1979, й 4, с. 238 - 240.

26. Дэниэлс, Мэтьюз. Сверхпроводящий подвес. ПНИ, 1966, № 6, с. 58 - 62.

27. Козорез В.В., Колодеев И.Д. и др. О потенциальной яме магнитного взаимодействия идеальных токовых контуров, ДАН УССР, сер,А, 1976, В 3, с, 248 - 249.

28. Козорез В.В., Чеборин О,Г, Об устойчивости равновесия в системе двух идеальных токовых колец, ДАН УССР, сер.А, 1977, Я I, с. 80 - 81.

29. Козорез В.В. Динамические системы магнитно взаимодействующих свободных тел.- Киев, Наукова думка, 1981, 140 с.

30. Тематический выпуск. Наземный транспорт 80-х годов. ТИИЭР, 1973, т. 61, Я 5.

31. Изв.ВУЗов Электромеханика. Тематический выпуск ВСНТ, гё 8 1977, & II, 1979 г.

32. Кочетков В.М. 0 вертикальной неустойчивости электродинамического подвешивания. Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1979, В 5, с. 176 - 178.

33. Кочетков В.М., Ким К.И., Трещев И.И. Теория электродинамической левитации. Основные результаты и дальнейшие задачи, -Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1981, № I, с. 72-91.

34. Бабушкин Г.Я., Осадин Б.А. Торможение соленоида при его движении в проводящей трубе. ЖТФ, 1977, т. 47, вып. 7,с. 1409 1413,

35. Микельсон А.Э., Жейгур БД. Электромагнитная транспортировка тел. Рига, Зинатне, 1971, 106 с.

36. Новиков В.Н., Рачев JI.A. Движение диэлектрического тела в бегущем электрическом поле. ЖТФ, 1977, т. 47, с. 1385 -1388.

37. Иоффе Б.А., Калнинь Р.К. Ориентирование деталей электромагнитным полем. Рига, Зинатне, 1972, 300с.

38. Круминь Ю.К. Приближенный метод расчета сил, действующихна проводящее тело в бегущем магнитном поле, и его физическая интерпретация. Магнитная гидродинамика, 1972, № 2, с. 97 - 102.

39. Круминь Ю.К. Взаимодействие бегущего магнитного поля с проводящей средой. Рига, Зинатне, 1969, 258 с.

40. Том К.Дж. Взаимодействие бегущего магнитного поля с жесткими проводящими сферами или цилиндрами. ТИИЭР, 1967, т. 55, В 12, с. 50 - 56.

41. Проблемы ориентации искусственных спутников Земли. Под ред. Сингера С.Ф., пер. с англ. Кашина Г.Н. М., Наука, 1966, 452 с.

42. Голубков В.В. Момент сил в магнитном поле. Космические исследования, 1972, т. 10, № I, с. 20 - 39.

43. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле.М^мГУ, 1975, 308 с.

44. Яншин А.М., Заблуда С.М. Установившиеся собственные вращения ИСЗ в магнитном поле. Космические исследования на Украине, респ. межвед.сб., 1977, № II, с. II - 22.

45. Яншин А.М., Заблуда С.М. Сравнительная оценка аэродинамической и магнитной диссипации, действующих на ИСЗ. Наблюдения искусственных небесных тел. М., 1979, $ 78, с. 51 - 60.

46. Сермонс Г.Я. Динамика твердых тел в электромагнитном поле.-Рига, Зинатне, 1974, 247 с.

47. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. -М., Мир, 1980, 340 с.

48. Ханукаев Ю.И, К "динамике твердого тела сферической формы в электромагнитном поле. Изв. АН СССР МТТ, 1977, № 3,с. 28 38.

49. Фомин A.A. Шар в поле витка с током. ЖТФ, 1963, т. 33, • № 9, с. 1021 - 1030.

50. Золотарев H.A. Электродинамическое воздействие осесимметрич-ного магнитного поля на малый шар, Изв. ВУЗов Электромеханика, 1974, № 6, с. 592-594.

51. Владимирский В.В., Калебин С.М. Устойчивость ферромагнитныхтел, вывешенных в магнитном поле. ПТЭ, 1959, № 2, с. 41 -45.

52. Фомин A.A. Цилиндр в поле проводов с током. ЖТФ, 1965, т. 35, № 6, с. 983 - 989.

53. Урман Ю.М., Веселитский И.В. Интегральное представление индуктивности системы п сверхпроводящий шар токовые катушки". - ЖТФ, 1979, т. 49, В 8, с. 1585 - 1587.

54. Урман Ю.М. К расчету силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа. Изв. ВУЗов Приборостроение, 1973, № 8, с. 72 - 74.

55. Твердохлебов А.H., Шустер АД. Шар в произвольном квазистатическом электрическом или магнитном поле. ЖТФ, 1972,т. 42, № 9, с. 2477 2484.

56. Твердохлебов А.Н., Шустер А.Л. Капля жидкого металла с большим коэффициентом поверхностного натяжения'в аксиально-симметричном электромагнитном поле (случай сильного скин-эффекта). ЖТФ, 1974, т. 44, № II, с. 2438 - 2441.

57. Твердохлебов А.Н., Шустер А.Л. Потенциальная энергия шара

58. Е магнитном поле (случай произвольных частот и ^ £ I). -ЖТФ, 1976, т. 46, В 7, с. 1537 1539.

59. Левин М.Л. О решении одной задачи квазистационарной электродинамики методом изображений. ЖТФ, 1964, т. 34, с. 395-398.

60. Белоозеров В.Н., Левин М.Л. Метод изображений в магнитостатике при сферической сверхпроводящей границе. ЖТФ, 1966, т.36, № I, с. 3 - 6.

61. Белоозеров В.Н. Удержание сверхпроводящего шара системой круговых токов. ЖТФ, 1966, т. 36, .£ 5, с. 852 - 859.

62. Рябов А.Б. Определение главного вектора и главного момента сил, действующих на сверхпроводящее тело в магнитном поле. Изв. АН СССР МТТ, 1969, № 6, с. 34 - 37.

63. Рябов А.Б., Рябов Б.А. Расчет силовых характеристик однока-тушечного подвеса ротора криогенного гироскопа. Изв. ВУЗов Приборостроение, 1970, № 2, с. 86 - 90.

64. Павлов A.M. О силах, действующих на электропроводящее телов магнитном поле. Изв. АН СССР ЖГ, 1979, й I, с. 199-200.

65. Павлов A.M. Движение твердого проводящего тела, брошенного под углом к горизонту при наличии магнитного поля. Сб. по вопр. матем. и мех., вып. 4, с. 185 191, Алма-Ата, 1974, Каз. Гос. ун-т.

66. Павлов A.M. Некоторые особенности движения твердого тела со слабой проводимостью около неподвижной точки в магнитном поле. Матем. и мех., сб. Каз.ун-та. Тезисы докладов 5-ой Казахстанской межвузов.конференции. ч,2, с. 51 53, 1974, Алма-Ата.

67. Гульбух Л.А. Расчет индуцированного магнитного момента ферромагнитного эллипсоида вращения в переменном магнитном поле. ЗКТФ, 1957, т. 27, № 3, с. 548 - 559.

68. Быстров В.А. Вытянутый эллипсоид вращения в продольном переменном магнитном поле. ЖТФ, 1968, т. 38, $ 4, с.768 - 770.

69. Стеблев Ю.И., Шатерников В.Е., Минакова И.Д. Эллипсоид вращения в однородном квазистационарном магнитном или электрическом поле. Изв. ВУЗов Электромеханика, 1976, № II,с. 1184 1188.

70. Стеблев Ю.Й., Шатерников В.Е., Курозаев В.П. Расчет электромагнитного поля системы "сфероид- виток" в проводящей среде.- Изв. ВУЗов Электромеханика, 1977, № 12, с. 1306 1311.

71. Левин М.Л., Муратов Р.З. О магнитной поляризуемости эллипсоида. ЖТФ, т. 38, № 10, с. 1623 - 1629. 1968.

72. Левин М.Л., Муратов Р.З. Проводящий эллипсоид в низкочастотном электромагнитном поле. Изв. ВУЗов Радиофизика, 1979, т. 22, № 6, с. 740 - 749.

73. Вуценс А,П. Свободно парящий тор в электромагнитном поле витка с током и осевого токонесущего проводника. Магнитная гидродинамика, 1976, № 4, с. ИЗ - 120.

74. Кунин П.Е., Токсар Н.М., Микельсон Ю.А., Валдаманис Я.Я. Распределение индукционных токов и электродинамических сил в проводящей сфере, находящейся в магнитном поле витка или катушки с током. Изв. АН Латв. ССР. с. физ. техн. н., 1965, № I, с. 41 - 50.

75. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Вращающийся шар в магнитном поле.- ЖТФ, 1973, т. 43, № 12, с. 2472 2480.

76. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Пондеромоторное взаимодействие вращающегося проводящего шара с переменным неоднородным магнитным полем. ЖТФ, 1974, т. 44, № II, с. 2255 - 2263.

77. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Силы и моменты, действующие на проводящую оболочку, вращающуюся в магнитном поле. ЖТФ, 1977, т. 47, № 5, с, 889 - 896.

78. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Силовое воздействие на проводящий шар, движущийся в магнитном поле. ЖТФ, 1977, т. 47, № 4, с. 716 - 723.

79. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Быстрые вращения проводящего магнитного волчка в неоднородном переменном магнитном поле. -ЖТФ, 1978, т. 48, й 6, с. 1123 1131.

80. Линьков Р.В. Медленные движения проводящего волчка при резонансном взаимодействии с переменным магнитным полем. ЖТФ, 1980, т. 50, № 6, с. 1152 - 1159.

81. Линьков Р.В. О неустойчивости проводящих тел, подвешенныхе переменном магнитном поле. ЖТФ, 1979, т. 49, $ 5, с.1037-1041.

82. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Силы и моменты, действующие на катушки с током, движущиеся над проводящей пластиной. ЖТФ, 1979, т. 49, № 10, с. 2102 - 2110.

83. Линьков Р.В. Диамагнитная подвеска постоянного магнита. -ЖТФ, 1981, т. 51, № 6, с. ШЗ 1121.

84. Линьков Р.В. 0 диамагнитной подвеске постоянного магнита. -ЖТФ, 1982, т. 52, № 9, с. 1898 1899.

85. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Движение проводящего волчка, быстро вращающегося в неоднородном магнитном поле. Проблемы нелинейных колебаний механических систем. Тезисы докладов (Киев 18 - 20 окт. 1978), с. 67, Киев, Наукова думка, 1978,

86. Линьков Р.В. 0 неустойчивости взвешивания проводящего телав переменном магнитном поле, Тезисы докл. на семинаре по прикладной МГД под руков. акад. АН Латв. ССР Кирко И.М., г.Пермь.

87. Магнитная гидродинамика, 1980, № I, с. 146.

88. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Пондеромоторное взаимодействие проводящего движущегося тела с магнитным полем. Пятый Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Алма-Ата, 27 мая - 3 июня 1981 г. Аннотации докладов,с♦ 234.

89. Линьков Р.В. О левитации постоянного магнита. Тезисы докл. на семинаре по прикладной МГД под руков. акад. АН Латв. ССР Кирко И.М. г. Пермь. Магнитная гидродинамика, 1982, të 3, с. 143.

90. Роуз М. Поля мультиполей. М., ИЛ, 1957, 132 с.

91. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. -" М., Наука, 1967, 519 с.

92. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л., Наука, 1975, 439 п.

93. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. т. 2, с. 707 - 708, М., ИЛ, i960.

94. Бейтмен Г.,' Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., Наука, 1965, 295 с.

95. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, 720 с.

96. Янке Е., Эвде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М., Наука, 1968, 344 с.

97. Мартыненко Ю.Г. Движение .проводящего твердого тела около неподвижной точки в магнитном поле. Изв. АН СССР МТТ, 1977, №. 4, с. 36 - 45.

98. Мартыненко Ю.Г., Урман Ю.М. О малых колебаниях быстро закрученного твердого тела в магнитном поле. Изв. АН СССР МТТ, 1981, № I, с. 27 - 32.

99. Шапиро В.Е. Упругость конфигураций проводящих тел в переменном магнитном поле. ЖТФ, 1979, т. 49, Ш 6, с. 1153 - XI59.

100. Ходжаев К.Ш., Шаталов С.Д. О медленных движениях проводящего тела" в магнитном поле. Изв. АН СССР МТТ, 1981, № 2, с.175-182.

101. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М., Наука, 1969, 379 с.

102. Неймарк Ю.М. Устойчивость линеаризованных систем. Л., Изд. ЖВВИА, 1949, 140 с.

103. Линьков Р.В., Поздеев О.Д. Условия устойчивости тела, вывешенного одноосным магнитным подвесом. Динамика систем, межвуз.сб. вып. 13, с. 26 - 37, Горький, 1978,

104. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976, 616 с.

105. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М., Мир, 1965, 702 е.,

106. Рыжик И.М., Градштейн И.С, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., ГИФМ31, 1963, 1108 с.

107. Воскресенский Г.В., Коренев И.Л., Курдюмов В.Н., Левин М.Л. Омические потери интенсивных электронных колец в волноводе. ЖТФ, 1972, т. 42, № 12, с. 2536 - 2539,

108. Коренев И.Л., Курдюмов В.Н. О силе торможения токовогошну-ра, движущегося вблизи проводящей пластины. ЖТФ, 1973, т. 43, В 10, с. 2177 - 2178.

109. Аркадьев В.К. Избранные труды. М., АН СССР, 1961, с. 301304.

110. Преображенский A.A. Магнитные материалы и элементы, с.195-199. М., Высшая школа, 1976.-168122. Урман Ю.М. Уводящие моменты, вызываемые несферичностью ротора, в подвесе с аксиально-симметричным полем. Изв. АН СССР МТТ, 1973, й I, с. 24 - 31.

111. Сорин В.М. Моменты, действующие на несферическое тело в электромагнитном подвесе. Инж.ж. МТТ, 1968, të 2, с. 3 -9.

112. Мартыненко Ю.Г. Уходы электростатического гироскопа, вызываемые несферичностью ротора. Изв. АН СССР МТТ, 1970,1. Jfc I, с. 10 18.

113. Braunbek W. Freischwebende Korper im elektrischen und magnetischen Feld. Zeitschrift fur Physik, 1959, Bd 112,s.753-763.

114. Geary P. J. Magnetic and electric suspensions. London, SIRA Research Report, 1964, 164p.127. -Jayawant В. V. Electromagnetic suspension and lévitation. -Rep. Prog. Phys., 1981, v.44, p411-477.

115. Beams J.W., Dixon H.M., Robeson A., Snidow-N. The magneti-cal£ suspended equilibrium ultracentrifuge. J. Phys. Chenu, 1955, v.59, N 9, p.915-922.

116. Hromada F. Ultracentrifuga UC-11-A. Automatizace, 1961, v.14, N5, p.143.

117. Beams J.W., ïoug J.L., Moore J.W. The production of high centrifugal fields. J. Appl. Phys., 1946, v.17, N11, p.886-890.

118. Cole R.A. Magnetic suspension holds wind-tunnel models. --Aircraft and Missiles, 1960, v.3', N10, p.37-38.

119. Dukes T.A., Zapata R.M. Magnetic suspention with minimumucopplig effects for wind tunnel models. -IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. 1965, v.AES-1, N1, p20-28.

120. Beams J.W., Holburt C.W. Lbtz W.E., Montague R.M. Magneticsuspension balance. RSI, 1955, V.26, N12, p.1181-1185.

121. Okress E.C., Wroughton D.M., Comenetz G., Brace P.H.,

122. Kelly J.O.K. Electromagnetic levitation of solid and molten metals. ^ J. App. Phys., 1955, v.25, N5, p.545-552.155» Reitz J.R., Davis L.C. Force on a rectangular coil moving abov a conducting slab. J.Appl.Phys., 1972, v.43, N4, p.1547-1553.

123. Langerholc J., Torques and forces on a moving coil due to eddy currents. J.Appl.Phys., 1973» v.44, N4, p.1587-1594.

124. Reitz ¿J. Forces on moving magnets due to eddy currents. -J.Appl.Phys., 1970, v.41, N5, p.2067-2071.

125. Fink H.J., Hobrecht C.E. Instability of vehicles levitated by eddy current repulsion cose of a infinitely long current loop. -J.Appl.Phys., 1971, v.42, N9, p.3446-3450.

126. Neil V.K., Cooper R.K. Magnetic forces on a coil moving in a conducting tube. -J.Appl.Phys.,1970, v.41, N11, p.4619-25.

127. Guderjahn C.A., Wipf S.L., Fink H.J., Boom R.W. Magnetic suspension and gylndance for high speed rockets by superconducting magnets. -J.Appl.Phys., 1969, v.40, N5, p.2133-40.

128. Gardner R.L. Electromagnetic transient response of a conducting cylinder driven by a solenoid. -Appl.Phys. 1979, v.20, N4, p.335-338.

129. Wait J.R., Hill D.A. Electromagnetic interaction between a conducting cylinder and a solenoid in relative motion. -J.Appl.

130. Phys., 1979, v.50, N8, p.5115-5119.

131. Dodd C.V. Deeds W.E. Analytical solutions to eddy current probe-coil problems. -J. Appl.Phys., 1968, v.39, N6, p.2829-38

132. Stuhlinger E. Magnetic damping of a spining satellite. -Army Ballistic Missile Agency. Tech. Memo. RP0-D-TM-3, Aug. 31, 1956.

133. Hooper J.W. The damping of metallic cylindrical and spherical bodies rotating in a uniform magnetic field. -Army Ballistic Missile Agency. Tech. Kept. DG-R-15, 1957«

134. Williams V., Meadows A.J. Eddy current torques, air torques, and spin decay of cylindrical rocket bodies in orbit. -Planet. Space Sci., 1978, v.26, H8, p.721-726.

135. Hertz H. Uber die Induktion in rotierenden Kugeln. (Inaugural Dissertation. Berlin, 15. Marz 1880) Schriften vermischten Inhalts., Leipzig, 1895, s.37-134.

136. Gimblett, C.G., Peckover R.S. On the mutual interaction between rotation and magnetic fields for axisymmetric bodies. -Proc.R.Soc. Lond. A. 368, 1979, p.75-97«

137. Keith J,C. Magnetic torques and coriolis effects on a magneti-caly suspended rotating sphere. -J. of Research of the National Bureau of Standards -D. Radio Propagation, 1963, v.67 N5,p.533-538.

138. Sciimutzer E. Electromagnetic quantities in the comoving frame of a conducting sphere,rotating in a uniform external magnetic field.-Exp.Techn.Phys., b.27, N1, 1979, s.5-11.

139. Halverson K.P., Cohen H. Torque on a spinnig hollow sphere in a uniform magnetic field. IEEE Trans. Aerospase and Navigational Electronics, 1964, v.ME-11, N2, p.118-122.

140. Kayes A.F. Torque on a spinning hollow sphere in a uniform alternating magnetic field. IEEE Trans. Aerospase and Navigational Electronics, 1964, v.ANE-11, N2, p.122-127.

141. Elsasser W.E. Induction effects in terrestrial magnetism. Pt.1. Theory. Phys. Rev., 1946, v.69, N3,4, p.106-116. Pt.2. The secular variation. - Phys. Rev., 1946, v.70, N3,4, p.202-212. Pt.3. Electric modes. - Phys. Rev., 1947, V.72, N9, p.821-833.

142. Bullard E.G. The magnetic field within the earth. Proc. Roy. Soc., A, 1949, V.197» p.433-453.

143. Bullard E.G. Electromagnetic induction in a rotating sphere. Proc. Roy. Soc., A, 1949, V.199, p.413-443.

144. Parker R.L. Reconnexion of lines of force In rotating spheres and cylinders.- Proc. Roy. Soc.,A, 1966, v.291, p.60-72.

145. Luquire J.W., Deeds W.E., Dodd C.V. Axially symmetric eddy current in a spherical conductor.- J.Appl.Phys., 1970, v.41,1. N10, p.^976-3982.

146. Brisley W., Thornton B.S. Electromagnetic lévitation calculation for axially symmetric systems. Brit. J. Appl. Phys., 1965, v.14, N10, p.682-686.

147. Smith W.E. Electromagnetic lévitation forces and effective inductance in axially summetric systems. Brit.J.Appl.Phys., 1965, v.16, H3, p.377-383.

148. Hatch A.J., Smith W.E. Inductance-variation method of measuring characteristics of electromagnetic lévitation systems. -J.Appl.Phys., 1967, v.38, N2, p.7^2-745.

149. Wilson B.J., King E. Torque on a superconducting torus in a uniformed field. J.Appl.Phys., 1967, v.38, N2, p.745-752.

150. Besdin D., Shewell J.R., Ikenberry E. The motion of a conducting sphere in a uniform magnetic field. Americ.J.Phys., 1953, v.21, p.418-421.

151. Braunbek W. Freies schweben diamagnetischer korper im magnetfeld. Zeitschrift fur Physik, 1939, b.112, s.764-769.

152. Boerdijk A.H. Technical aspects of lévitation. Philips Res. Rep., 1956, v.11, N1, p.45-56.

153. ПРЙЛОЖЕНИЕ I. Декартовы компоненты момента и силы

154. Компонента Л!^ находится из ). При V О сразу жеполучается,, что-в г =2¿ад*^пт пгУ. пт пт пт пт

155. Для компонент ЛИ ЛН1 имеемх с/со