Нелинейная динамика магнитных пленок и магнитных слоистых структур

Смагин, Валерий Владимирович

Нелинейная динамика магнитных пленок и магнитных слоистых структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Смагин, Валерий Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейная динамика магнитных пленок и магнитных слоистых структур»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейная динамика магнитных пленок и магнитных слоистых структур"

Обязательный

экземпляр

ти-

на правах рукописи

Смагин Валерий Владимирович

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ ПЛЕНОК И МАГНИТНЫХ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2006 г.

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте физики металлов Уральского отделения РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Танкеев А. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Памятных ЕА.

доктор физико-математических наук. Ринкевич А.Б.

Ведущая организация:

Башкирский государственный университет, г. Уфа

Защита состоится "29" июня 2006 г. в И ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.003.01 при Институте физики металлов УрО РАН по адресу: 620041, г. Екатеринбург, ГСП - 170, ул. С. Ковалевской, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики металлов УрО РАН.

Автореферат разослан "_"_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного со11^0

доктор физ.-мат. наук

юо £ £

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Солитоны микроволновой огибающей в пленках железо-иттриевых ферритов-гранатов (ЖИГ) исследуются уже более двух десятилетий. Для их описания, как правило, используется классическая модель, которая базируется на нелинейном уравнении Шредингера (НУШ) [1]. В последнее время, с появлением новых высококачественных пленок ЖИГ и совершенствованием техники эксперимента, получены новые экспериментальные данные, которые не могут быть объяснены в рамках классической модели. К ним относятся: во-первых, преобразование симметричного импульса после прохождения его через пленку в асимметричный, во-вторых, квадратичная зависимость скорости уединенных волн (возникших после распада нелинейного импульса) от их собственных амплитуд [2, 3]. Для объяснения совокупности этих экспериментальных данных и была предпринята диссертационная работа, в которой на базе обобщенного нелинейного уравнения Шредингера (ОНУШ), учитывающего эффекты высшей линейной и нелинейной пространственных дисперсий, исследованы нелинейные динамические состояния намагниченности. В рамках этой модели удается адекватно интерпретировать экспериментальные результаты по распространению солитонов микроволновой огибающей в магнитных пленках.

Учет эффектов высшей пространственной дисперсии вызван уникальным немонотонным спектром объемных линейных магнитостатических волн (МСВ) в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл (ФДМ) [4-6], которая используется как модельная система для изучения новых типов нелинейных динамических возбуждений. Выбор структуры обусловлен также и технологическими особенностями проведения экспериментов по наблюдению солитонов микроволновой огибающей. В эксперименте обычно используется линия задержки, функциональной частью которой является пленка ЖИГ, отделенная слоем диэлектрика от металлического экрана. Заметим, что эти технологические детали (обусловливающие немонотонность линейного спин-волнового спектра) при интерпретации экспериментальных данных ранее не учитывались.

Цель работы и задачи исследования

Целью работы является изучение различных аспектов слабонелинейной динамики объемных (прямых и обратных) магнитостатических волн, распространяющихся в многослойной структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл. Фундаментальная задача в рамках сформулированной проблемы включает в себя:

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

-теоретическое изучение новых типов нелинейных динамических возбуждений в системе объемных магнитостатических волн, эволюция которых описывается с помощью ОНУШ;

- исследование сценариев эволюции квазисолитонов микроволновой огибающей объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл;

-выявление характера амплитудной дисперсии скорости движения (зависимость скорости распространения уединенной волны от ее амплитуды) квазисолитонов ОЬВДН;

-обсуждение условий экспериментального наблюдения и идентификации нелинейных динамических состояний намагниченности в тонких магнитных пленках на основе полученных результатов.

Научная новизна

На основе анализа тонких деталей линейного спектра объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ФДМ предложена математическая модель адекватного описания условий формирования и эволюции долгоживущих нелинейных состояний намагниченности вблизи особых точек линейного спин-волнового спектра. К особым точкам относятся, например, точки экстремума, точки перегиба на зависимости <о{к) (® -угловая частота линейной волны, к - волновой вектор). Отмеченные особые точки спектра магнитостатических волн замечательны тем, что вблизи них, как правило, существуют области, в которых тонкий баланс эффектов дисперсии и нелинейности допускает существование нелинейных динамических состояний намагниченности.

Показана необходимость использования обобщенного нелинейного уравнения Шредингера, корректно учитывающего эффекты высшей линейной и нелинейной пространственных дисперсий, для последовательного описания нелинейных режимов распространения объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ.

В рамках предложенной модели исследованы условия развития модуляционной неустойчивости плоской нелинейной монохроматической волны, распространяющейся в среде, описываемой обобщенным НУШ. При этом формирование "светлых" пространственных квазисолитонов огибающей объемных магнитостатических волн на фоне однородного состояния происходит при компенсации эффектов дисперсии третьего порядка и эффектов дисперсии нелинейности.

Аналитически, а также численными методами проанализированы сценарии эволюции нелинейных состояний ОНУШ ("светлых" и "темных" квазисолитонов Потасека-Табора) в системе объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ФДМ. Показано, что с помощью внешних параметров структуры ФДМ (магнитное поле, толщина диэлектрической прослойки) можно эффективно управлять сценарием нелинейной динамики намагниченности (осуществлять, например, переход из "светлосолитонного" режима к "темносолитонному").

Аналитически получены новые (частные) решения ОНУШ: три типа кноидальных волн, "серый" и "антитемный" квазисолитоны микроволновой огибающей объемных магнитостатических волн. Определены области линейного спектра этих волн и соответствующие параметры, при которых реализуются эти состояния намагниченности. Замечательным является тот факт, что все исследованные нелинейные динамические состояния ОНУШ имеют одинаковую амплитудную дисперсию скорости, которая характеризуется линейной зависимостью скорости распространения уединенной волны от квадрата ее амплитуды. Эти результаты подтверждаются как численным, так и реальным физическим экспериментом, позволяя качественно объяснить набор экспериментальных данных по распространению солитонов микроволновой огибающей в магнитных пленках.

В рамках предложенной модели сформулированы условия экспериментального наблюдения и идентификации новых типов нелинейных динамических возбуждений в магнитных пленках, используя явление амплитудной дисперсии скорости движения уединенных волн.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложена модель описания слабонелинейной динамики намагниченности в многослойной структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл, основанная на обобщенном нелинейном уравнении Шредингера. В рамках этой модели исследованы нелинейные режимы распространения объемных магнитостатических волн в зависимости от тонких деталей линейного спин-волнового спектра структуры ФДМ: определены условия развития модуляционной нестабильности плоской нелинейной монохроматической волны - предвестника солитоноподобных состояний; определены области линейного спин-волнового спектра и параметры, при которых в системе объемных МСВ реализуются квазисолитоны Потасека-Табора.

2. С помощью численных методов решена задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с различными

начальными условиями (солитоноподобным распределением и распределением в форме Гаусса). Проанализированы условия формирования многосолитонных состояний огибающей объемных МСВ. Выявлена важная характеристика состояний ОНУШ -амплитудная дисперсия скорости движения уединенных волн. Последняя может быть использована как тест при интерпретации экспериментальных данных по солитонам микроволновой огибающей в магнитных пленках.

3. Получен класс новых точных (частных) решений ОНУШ. К ним относятся: пространственно-периодические состояния огибающей (кноидальные волны); уединенные волны с модулированной фазой, зависящей от координаты, такие как "серый" и "антитемный" квазисолитоны огибающей. Последние обладают замечательным свойством - фаза и амплитуда решения связаны дифференциальным уравнением. При этом изменение фазы влечет за собой изменение амплитуды уединенной волны и, наоборот.

Теоретическая и практическая значимость работы

Настоящее исследование позволяет объяснить набор экспериментальных данных по нелинейной динамике огибающей объемных магнитостатических волн в магнитных пленках: условия развития модуляционной неустойчивости монохроматических нелинейных волн, условия зарождения и эволюционный сценарий солитонов огибающей, а также процессы распада нелинейного импульса при прохождении его через пленку.

Проведенное исследование является частью проблемы развития фундаментальных основ нелинейно-волновых технологий, базирующихся на нелинейных процессах, протекающих в магнитных материалах в области сверхвысоких частот. В качестве функционального элемента в них могут быть использованы многослойные структуры ферромагнетик-диэлектрик-металл. Последние относятся к системам с управляемыми (с помощью внешних параметров, таких как толщина диэлектрического слоя и угол между направлением распространения волны и внешним магнитным полем) дисперсией и нелинейностью.

Описание нелинейных эффектов в магнитных материалах является универсальным и может быть распространено на другие объекты Полученные в работе результаты могут оказаться плодотворными при решении нелинейных задач в других областях физики нелинейных явлений, например, в нелинейной оптике, физике плазмы, при изучении нелинейных волн на глубокой воде, а также нелинейных динамических процессов в квантовых системах.

Достоверность полученных в исследовании результатов обеспечивается строгой обоснованностью сделанных приближений и существованием предельных переходов к известным ранее результатам. Выводы, сделанные в диссертации, качественно позволяют объяснить набор экспериментальных данных по солитонам микроволновой огибающей в магнитных пленках.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации докладывались на Международных зимних школах физиков-теоретиков "Коуровка-ХХ1Х" (Екатеринбург, 2002), "Коуровка - XXXI" (Кыштым, 2006); Международных школах-семинарах "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 2002, 2004); Международных семинарах "магнитные фазовые переходы" (Махачкала, 2002, 2004); ХХХШ-ем Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003); Выездной сессии по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Евро-Азиатском симпозиуме "Достижения в магнетизме" (Красноярск, 2004); Международной конференции "Комплексный анализ, уравнения математической физики, вычислительная математика" (Уфа, 2004); Научной сессии Института физики металлов УрО РАН по итогам 2004 года; Международном симпозиуме по магнетизму (Москва, 2005); Научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2005); Научной конференции "Демидовские чтения на Урале" (Екатеринбург, 2006).

Личный вклад автора. В диссертационной работе при непосредственном участии автора получены следующие результаты:

- в приложении к решаемой задаче исследованы тонкие детали линейного спектра объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ;

- в рамках ОНУШ аналитически получены условия развития модуляционной неустойчивости монохроматических нелинейных волн;

- совместно с научным руководителем А.П. Танкеевым, а также М.А. Боричем в рамках ОНУШ проведен детальный анализ сценариев зарождения и эволюции нелинейных динамических состояний намагниченности;

- аналитически найден класс новых состояний ОНУШ: три типа кноидальных волн, "серый" и "антитемный" квазисолитоны огибающей объемных МСВ;

- автор принимал участие в постановке задач и обсуждении полученных результатов.

Публикации. Результаты исследований, представленных в диссертации опубликованы в 20 работах, в том числе 13 статьях в реферируемых научных журналах и сборниках трудов, а также 7 тезисах докладов на Всероссийских и международных конференциях.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы и трех приложений. Полный объем работы составляет 151 страницу, включая 28 рисунков, 3 таблицы и 146 наименований цитируемой литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается состояние проблемы и актуальность выбранной темы. Обосновывается теоретическая и практическая значимость работы. Изложены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе, в разделе 1.1, формулируется постановка задачи, и обсуждаются особенности линейных режимов распространения прямых и обратных объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ. Продемонстрирована роль внешних параметров структуры (толщины диэлектрического слоя д, а также угла 9 между направлением распространения волны и направлением внешнего намагничивающего поля) в формировании этих особенностей.

На рис. 1 приведены система координат и дисперсионные кривые, соответствующие прямым объемным МСВ. При конечных значениях толщины диэлектрического слоя магнитостатический спектр структуры ФДМ становится немонотонным (кривая 3 на рис. 16). В частности, имеются области, в которых линейные волны распространяются в режиме без дисперсии (точки "нулевой" дисперсии). При этом в нелинейных уравнениях предлагаемой модели необходимо учитывать эффекты пространственной дисперсии более высокого порядка. Толщина диэлектрика д выступает в роли внешнего параметра, с помощью которого можно эффективно "управлять" характером дисперсии магнитостатических волн (появлением особых точек линейного спектра, включая точки нулевой дисперсии). В случае обратных объемных МСВ имеется дополнительный "управляющий" параметр $ - угол между направлением распространения волны и внешним магнитным полем (см. рис. 2).

0,05 01 015 02

(а) (б)

Рис 1 Геометрия задачи и выбор системы координат для прямых объемных МСВ (а)\ дисперсия групповой скорости линейных волн для различных значений отношения &/d■ 0 - кривая 1,2-кривая 2, 10 - кривая 3, оо - кривая 4 (б); Я = 3110 Э, 4яЛ/0=1740 Гс, 15 леем, # = |Н|,

М0 = |М|.

В разделе 1.2 приведены уравнения эволюции огибающей несущих МСВ в структуре ФДМ - обобщенного НУШ, корректно учитывающего как эффекты высшей линейной, так и нелинейной пространственной дисперсии.

Здесь <p(x,t) описывает медленную огибающую основной гармоники, vg = дю/дк - Групповая СКОрОСТЬ ЛИНеЙНЫХ ВОЛН, D2 = д2о>/дк2 И D3 = 1/б(э3®/аА:3) - коэффициенты пространственной дисперсии второго и третьего порядков соответственно, N = d<o/^<p\2 - коэффициент нелинейности среды и dn = ды/дк - коэффициент дисперсии нелинейности. Слагаемые в скобках описывают распространение линейных волн в среде без дисперсии, третье и пятое слагаемые ответственны за эффекты пространственной дисперсии второго и третьего порядков соответственно, четвертое - нелинейный отклик среды и, наконец, последнее слагаемое описывает эффекты пространственной дисперсии нелинейности. Отметим, что ОНУШ относится к не полностью интегрируемым уравнениям. Его полную интегрируемость нарушает дисперсия третьего порядка. Это уравнение (в отсутствие эффектов дисперсии третьего порядка) с помощью преобразования Галилея сводится к полностью интегрируемому моди -

<>"(«> "а}

(б) (в)

Рис 2. Геометрия задачи и выбор системы координат для обратных объемных МСВ (а), дисперсия групповой скорости линейных волн для различных значений отношения А/г/ 0 -кривая 1,1- кривая 2, 6 - кривая 3, оо - кривая 4 и значений угла .9 = 0' (б), 9 - 20' (в), Н~ 2500 э, 4л-М0 -1740/с-, </= Юмкм.

фицированному НУШ (МНУШ) [7]. Для дальнейшего анализа предпочтительно использовать уравнение (1) в безразмерных переменных

гФ,+«Ф1(+|Ф| Ф + га.Ф^+га, (|ф|2ф)=0, (2)

в котором величины а, аз и а, - приведенные коэффициенты пространственной дисперсии второго, третьего порядков и дисперсии нелинейности соответственно. Для прямых волн они могут быть записаны в виде: а = -1/28^п(д), а3 = -п3 о2 ~52, а, = £>л,лг-'|др|/2. Здесь функция ф(х,/) связана с амплитудой волны у (х. /) соотношением

Рис 3. Развитие модуляционной неустойчивости однородной нелинейной монохроматической волны (а) и формирование пространственных квазисолитонов огибающей (б)

<p'(x,t) = АФ(тх,/), где x->x-v/, m= a = n-"2, <р - означает

комплексно-сопряженную с <р. Для обратных волн эти коэффициенты определяются равенствами: а = i/2sign(£>2), a,=-d,|А|~'\ а, = dn\n\ '|й,|""2. При этом функция Ф (x,i) связана с амплитудой волны <p(x,t) соотношением <p(x,t)=A0(mx,t), где т = \о2~1~, A = \N\'V .

В разделе 1.3 в рамках ОНУП1 проведен анализ особенностей слабонелинейной динамики прямых и обратных МСВ в зависимости от тонких деталей их линейного спектра. Сформулированы условия и параметры линейного спин-волнового спектра, при которых эволюцию нелинейных динамических возбуждений в системе объемных магнитостатических волн можно исследовать с помощью точных редукций ОНУШ - полностью интегрируемых моделей: модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза (МКдВ), НУШ и МНУШ.

В разделе 1.4 исследуются условия развития модуляционной нестабильности нелинейных монохроматических волн в системе, описываемой ОНУШ. Модуляционная нестабильность - предвестник эффектов самофокусировки и дефокусировки непрерывного излучения в нелинейной среде. Известно, что фокусирующая среда проявляет тенденцию к формированию "светлых" пространственных солитонов на фоне однородного состояния. В противоположность им "темные" солитоны реализуются в дефокусирующих средах. При этом оба типа нелинейных возбуждений формируются, если нелинейные и дисперсионные эффекты в точности компенсируют друг друга. Тогда временной солитон будет устойчивым, если он распространяется в среде, параметры которой удовлетворяют условиям существования пространственных солитонов. Определение этих условий и является целью исследования модуляционной нестабильности нелинейных монохроматических волн, распространяющихся в нелинейной диспергирующей среде. При решении этой задачи было показано, что

необходимым условием формирования "светлого" квазисолитона ОНУШ является баланс эффектов дисперсии третьего порядка и дисперсии нелинейности. При этом "светлый" квазисолитон устойчив, если выполняется неравенство £>„о3<о. Приведенный выше рис. 3 демонстрирует процесс нарастания амплитуды модуляции (при сформулированном выше условии) и формирования пространственно-локализованного состояния.

Во второй главе, в разделе 2.1, приводятся известные простейшие односолитонные решения ОНУШ, найденные Потасеком и Табором (ПТ-солитоны) [8]. Анализируются условия существования этих состояний и их параметры в системе объемных магнитостатических 1

волн в нормально и касательно намагниченной структуре ФДМ. Найденные Потасеком и Табором нелинейные уединенные волны огибающей в рамках ОНУШ, внешне напоминают "светлый" и "темный" солитоны классической модели. При этом основные отличия состоят в следующем: ПТ-солитоны являются однопараметрическими состояниями, - для их возбуждения достаточно задать один параметр, например, амплитуду нелинейного импульса; область существования этих состояний определяется эффектами дисперсии третьего порядка и дисперсии нелинейности-, чрезвычайно важной характеристикой квазисолитонов Потасека-Табора является зависимость скорости движения огибающей от ее собственной амплитуды - амплитудная дисперсия скорости (в классической модели скорость и амплитуда входят независимыми параметрами решения).

В разделе 2.2 получен класс новых точных (частных) решений ОНУШ - пространственно-периодических состояний огибающей, амплитуда которых описывется эллиптическими функциями Якоби (кноидальных волн). В отличие от квазисолитонов Потасека-Табора кноидальные состояния ОНУШ являются двухпараметрическими, причем в качестве дополнительного параметра решения может быть выбран, например, модуль эллиптической функции.

В разделе 2.3 проведен анализ решений ОНУШ в форме цепочек квазисолитонов Потасека-Табора. Решения этого вида могут быть получены из кноидальных состояний, когда модуль эллиптической функции к * 1. Первое из них можно записать в виде

Ф (х, I) = а сп {Ь(х - VI), ¿У1""», (3 )

при этом параметры V , а>, а и ь связаны соотношениями: <

, , а 2а, 2 v = 2aк:-Ъaгк1-a,b2(\-2k2), = ,

аа, - а, , ,, , .

К= ^^ , са = ак -аък +6 (1-2& Да-Зог3х-), (4)

где V - скорость движения огибающей в системе координат, связанной с групповой скоростью линейных волн, а и угловая частота и волновое число квазисолитона, а и ь~'- его амплитуда и обратная ширина. Второе решение из этой серии можно записать как

Ф (х,г)- а (1п {Ь(х - VI), к)е,{"-т\ (5)

при этом параметры V, а, а и ь определяются соотношениями:

, . а1 _ с V = 2ак-За3к2-а3Ь2[к2-2), ТГ—

се,

к =

аа, - а.

2ахаъ

~, а = ак2 - аут3 + Ь2 (к2 -2\а- 3агк).

(6)

Состояния (3) - (6) представляют собой цепочки "светлых" квазисолитонов Потасека-табора, и при к = 1 переходят в "светлую" уединенную волу. Решение, соответствующее цепочке "темных" ПТ-солитонов можно записать следующим образом:

ф(х,г) = а8п(б(х-у/), ¿)е,(яг-"), (7)

при этом параметры V, ш, а и ь определяются соотношениями:

v = 2ак-Ъаъкг -а}Ь2{\ + к2), ~ ■

2а,

2а^аъ

т = ак2 - аъкг + Ь2 (а -Ъаък^ + к1).

(8)

В случае к = 1 это решение переходит в "темную" уединенную волну Потасека-Табора.

В разделе 2.4 получены новые состояния ОНУШ - с нетривиальной фазой, зависящей от координаты, - "серый" и "антитемный" квазисолитоны огибающей. Первое из них имеет вид

ф(х,() = Ъ [1-Л02 5есЬ2(б(ж-гг))]'/2 ехр{г [хгх - а> г + <х(й (х - у /))]}, (9)

о~(х,г) --- агс^ •

Л'/2

А п

ЛИх-УО] .

(10)

Параметры этого решения определяются следующими соотношениями:

; 2ак - Ъаукг + 4ар2 + За,^2 -2Ь(а- 3а3/с)

\-Лл

1/2 р2 2 Л)

а ? аз

0 ,2

Ъ а,

"У п / ч СССС\ СЗ!^ .

со - ак--агк-Р0- (1 -а^) , к = ^^ +о

1-А0

к ^о /

1/2

(П)

где амплитуда однородного состояния (несущей волны), л0-глубина модуляции нелинейного импульса. В случае л^ = 1 "серый" квазисолитон переходит в "темную" уединенную волну Потасека-Табора.

Второе состояние ОНУШ представляет собой цепочку уединенных волн с положительной амплитудой в0 относительно ненулевого уровня В литературе за ним закрепилось название "антитемного" квазисолитона [9]. Форма профиля огибающей при этом определяется выражением

Я- (х, /) = + В1 зесЬ2[б(х - уг)]}"2. (12)

Добавочный нелинейный сдвиг фазы может быть определен через элементарные функции, и имеет вид

i +

* о « .* I ■• 1 п

Arth'

1 + ^V Blj

th[6(x-vi)] . (13)

В пределе -> о цепочка "антитемных" квазисолитонов переходит в цепочку "светлых" ПТ-солитонов

<Т(Х,/)=Р-(Х-уг). (И)

Здесь параметр р имеет размерность волнового числа, и отвечает за пространственную модуляцию фазы нелинейного импульса. Сам факт существования этих решений является замечательным. Такого типа решения присущи классическому НУШ. Дисперсия третьего порядка и дисперсия нелинейности не "помешали" появлению этого класса уединенных волн в ОНУШ.

В разделе 2.5 предлагается способ, в рамках которого удается классифицировать известные и новые точные (частные) решения ОНУШ. Для решения этой задачи используется редукция

Ф (х,г)= F{x-vt)e.Щl{i[кx-a)t + a{x-vi%, (15)

в которой добавочный нелинейный сдвиг фазы связан с амплитудой огибающей соотношением

(ТХ=Р + 8Р\ (16)

где х означает производную по пространственной переменной х = х-уг, п - произвольное вещественное число. Соотношения (15) и (16) приводят ОНУШ к системе двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функции F(x-vt). Искомое решение должно одновременно принадлежать классу функций, удовлетворяющих обоим уравнениям. Это может иметь место, если уравнения удастся представить в одинаковом виде. Отсюда следуют ограничения на коэффициенты полученных уравнений и значения показателя степени п. Анализ этих соотношений показал, что система уравнений совместна только при п = -2 и и = о (при произвольных значениях коэффициентов ОНУШ). В первом случае (когда « = -2) реализуются условия существования двух типов кноидальных состояний с нетривиальной фазой, зависящей от координаты и их асимптотик - "серых" и "антитемных" квазисолитонов. Вторая ситуация (если и = о) соответствует трем типам кноидальных состояний

и их асимптотикам - "светлым" и "темным" уединенным волнам Потасека-Табора.

В разделе 2.6 предпринята попытка анализа ОНУШ с помощью метода Хироты, поскольку численный анализ задачи Коши для этого уравнения показал, что сценарии эволюции "многосолитонных" состояний в рамках этой модели происходят также как и в полностью интегрируемых системах. Известно, что прямые методы всегда применимы для полностью интегрируемых уравнений. Они могут быть эффективными и в тех случаях, когда соответствующие задачи рассеяния неизвестны, а иногда и приводят к таким задачам. К сожалению, этот метод не является регулярным для ОНУШ в случае произвольного соотношения между его коэффициентами, и позволяет построить только "односолитонное" состояние, обладающее свойствами "светлой" уединенной волны Потасека-Табора.

В третьей главе, в разделе 3.1, проведен анализ сценариев эволюции солитонов микроволновой огибающей прямых объемных магнитостатических волн в зависимости от тонких деталей линейного спин-волнового спектра. Задача сводится к изучению характера дисперсии групповой скорости линейных волн. При этом "светлые" уединенные волны Потасека-Табора реализуются в области, где дисперсия третьего порядка положительна, ей соответствуют монотонно возрастающие участки на зависимости о2 от ы (см. рис. 4а). В противоположность им "темные" квазисолитоны формируются, если параметры несущей волны принадлежат монотонно убывающему участку зависимости л, от ы, где дисперсия третьего порядка отрицательна.

В разделе 3.2 проведен анализ сценариев эволюции магнитостатических солитонов в системе обратных объемных волн. В этой ситуации необходимым условием существования "светлых" уединенных волн намагниченности является монотонно убывающая зависимость о2 от Ы и, наоборот, "темные" квазисолитоны реализуются в области параметров линейного спин-волнового спектра, где зависимость л, от ы имеет монотонно возрастающий характер (см. рис. 46).

Отличия в сценариях эволюции солитонов огибающей обратных и прямых волн обусловлены разным характером их дисперсии нелинейности £>„. Из анализа модуляционной неустойчивости монохроматической нелинейной волны было найдено необходимое условие формирования "светлых" пространственных солитонов, которое можно записать в виде неравенства очР3<о. В случае перпендикулярно намагниченной структуры ферромагнетик-диэлектрик - металл коэффициент ол < о и, следовательно, неравенство

»М'о

(а)

(б)

Рис. 4 Дисперсия групповой скорости прямых волн для АI ¡1 0 - кривая 1,2- кривая 2, 10 -кривая 3, со - кривая 4 (Я = 3110 Э, 4яЛ/0=1740 Гс, с/ = 15 мкм) (а), дисперсия фупповой скорости обратных волн для Д!<!' 0 - кривая 1,1- кривая 2, 6 - кривая 3, со - кривая 4 (# = 2500 Э, 4яМ0=1740 Гс, </ = 10 лнш, 5 = 0') (б)

сводится к условию о3 > о (монотонно возрастающая зависимость £>, от *</). В касательно намагниченной структуре ФДМ коэффициент ¡\. > о и "светлые" уединенные волны реализуются при условии д, < о (монотонно убывающая зависимость £>2 от ы).

Следует отметить, что в точке нулевой дисперсии третьего порядка, где Т>ъ = о, происходит динамическое изменение распределения намагниченности. В окрестности точки нулевой дисперсии групповой скорости линейных волн, где й2 = о, форма профиля уединенной волны остается неизменной, но происходит перенормировка ее параметров: скорости, амплитуды, частоты прецессии намагниченности.

В разделе 3.3, используя численные методы, решена задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с различными начальными условиями (солитоноподобным распределением и распределением в форме Гаусса), в системе обратных объемных магнитостатических волн. В рамках этой модели показано, что при распространении нелинейного импульса происходит его распад на отдельные уединенные волны (см. рис. 5). Замечательным является тот факт, что параметры сформировавшихся состояний совпадают с параметрами свободных квазисолитонов Потасека-Табора. Число возникших после распада квазисолитонов определяется амплитудой или

Рис 5 Формирование квазисолитонов Потасека-Табора в системе обратных объемных магнитостатических волн из нелинейного импульса Параметры структуры ФДМ Д/с/ = 6, 0 = О\ Ы = 0.25,Н= 2500 Э, 4яМ&=1740 Гс, \0мкм.

шириной начального распределения. Заметим, что причиной распада нелинейного импульса является амплитудная дисперсия скорости, которая проявляется в линейной зависимости скорости движения уединенной волны от квадрата ее собственной амплитуды, и начальный нелинейный импульс представляет собой связанное состояние этих уединенных волн. Существование этой зависимости обусловлено эффектом дисперсии нелинейности - последним слагаемым в обобщенном нелинейном уравнении Шредингера (см. выражение (1)).

В разделе 3.4 обсуждаются явление амплитудной дисперсии скорости движения квазисолитонов огибающей и вытекающие из него следствия. Показано, что все известные к настоящему времени нелинейные динамические состояния ("светлые", "темные" уединенные »' волны Потасека-Табора, "серый" и "антитемный" квазисолитоны, а

также кноидальные состояния), эволюция которых описывается с помощью ОНУШ, характеризуются линейной зависимостью скорости > движения от квадрата их собственной амплитуды. Это чрезвычайно

важное обстоятельство позволяет качественно понять последние результаты по наблюдению сценария распространения солитонов микроволновой огибающей в магнитных пленках [2, 3].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы проведенных исследований:

1. Показано, что для адекватного описания слабонелинейной динамики объемных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл необходимо использовать обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, учитывающее тонкие детали линейного спин-волнового спектра (включая точки "нулевой" дисперсии). В рамках этой модели исследована модуляционная неустойчивость монохроматической нелинейной волны - предвестника формирования солитоноподобных состояний. Определены условия и параметры, при которых в системе объемных волн реализуются квазисолитоны Потасека-Табора как в нормально, так и касательно намагниченной структуре ФДМ. Отмечена важная роль размерного эффекта - зависимости нелинейного спин-волнового сценария от толщины диэлектрического слоя.

2. С помощью численных методов решена задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с различными начальными условиями (солитоноподобным распределением и распределением в форме Гаусса). Показано, что при распространении нелинейного импульса происходит его распад на несколько квазисолитонов. Это обстоятельство обусловлено явлением амплитудной дисперсии скорости движения уединенных волн. Замечательным является тот факт, что возникшие после распада нелинейные состояния обладают свойствами изолированных квазисолитонов Потасека-Табора.

3. Получен класс новых точных (частных) решений ОНУШ. К ним относятся: "серый" и "антитемный" квазисолитоны, а также кноидальные состояния огибающей объемных волн. Определены области их существования и соответствующие параметры. Знание таких решений чрезвычайно полезно: оно позволяет адекватно интерпретировать уже полученные результаты и планировать новые эксперименты. Замечательно, что все исследованные нелинейные состояния (включая квазисолитоны Потасека-Табора) в рамках предложенной модели обладают одинаковой амплитудной дисперсией скорости, которая характеризуется линейной зависимостью от квадрата амплитуды огибающей объемных волн.

Тема диссертации имеет следующие перспективы:

- анализ условий устойчивости и особенностей генерации нелинейных динамических состояний намагниченности, эволюция которых описывается с помощью ОНУШ (ОНУШ с источником);

- учет влияния затухания (и его пространственной дисперсии) на структуру и пороги возбуждения, а также на эволюционный сценарий одно и многосолитонных состояний ОНУШ;

- обобщение полученных результатов на более сложные системы (например, структуры металл-диэлектрик-ферромагнетик-диэлектрик-металл). В частности, представляет интерес в рамках предложенной модели проанализировать в нелинейном режиме взаимодействие поверхностных магнитостатических волн, распространяющихся в противоположных направлениях, особенности развития в них модуляционной неустойчивости и формирования солитонных состояний.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований

Президиума РАН "Математические методы нелинейной динамики", а

также поддержана грантами молодых ученых и аспирантов УрО РАН

(2004 и 2005 гг.).

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

AI Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Борич М.А. Смагин В. В. Магнитостатические солитоны Потасека-Табора в слоистой структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // ФММ. - 2002. - Т. 93. -6. - С. 29-40.

А2 Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Борич М.А. Смагин В.В. Эволюция солитонов огибающей объемных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл II ФММ. - 2003. - Т. 95,- 1.-С. 10-20.

A3 Tankeev А.Р. Shagalov A.G. Borich М.А. Smagin У.У. Nonlinear dynamics of surface magnetostatic waves in a ferromagnet-insulator-metal structures // Phys. of Metals and Metallography. - 2003. - V. 95. -Suppl. I. - P. 56-67.

A4 Borich M.A Kobelev A.V. Smagin V.V. Tankeev A.P. Evolution of the surface magnetostatic wave solitons in a ferromagnet-insulator-metal structures // J. Phys.: Condens. Matter. - 2003. - V. 15. - P. 8543-8559.

А5 Смагин В.В. Борич М.А. Танкеев А.П. Динамические кноидальные состояния намагниченности в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // ФММ. - 2004. - Т. 98. - 6. - С. 12-17.

А6 Борич М.А. Смагин В.В. Танкеев А.П. Взаимодействие нелинейных волн в магнитной слоистой структуре // ФММ. - 2004. -Т. 98.-5. С. 5-22.

А7 Смагин В.В. Борич М.А. Танкеев А.П. Солитоноподобные состояния обобщенного нелинейного уравнения Шредингера // ФММ. - 2005. - Т. 100. - 6. - С. 529-537.

А8 Tankeyev А.Р. Smagin V.V. Borich М.А. Solitary waves of magnetization in a ferromagnet-dielectric-metal structure // Proceeding of Moscow International Symposium on Magnetism: Supplementary issu. - M.V. Lomonosov Moscow State University, Faculty of Physics Publisher. - ISBN 5-8279-0059-1: Moscow, 2005. - P. 130-133.

A9 Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Кобелев А.В. Борич М.А. Смагин В.В. Солитонные состояния в слоистой структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // XVIII Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники": Сб. трудов. -Издательство Физ. Фак. МГУ, 2002. - С. 260-262.

А10 Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Кобелев А.В. Борич М.А. Смагин В.В. Магнитостатические солитонные состояния в слоистой структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // V Международный семинар "Магнитные фазовые переходы", посвященный памяти К.П. Белова: Сб. трудов. - Изд. Дагестанский научный центр РАН, 2002. - С. 88-89.

АН Танкеев А.П. Борич М.А. Смагин В.В. Нелинейная спиновая динамика в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл вблизи точки нулевой дисперсии // Выездная сессия по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах: Труды конф. - Изд. Астраханского гос. университета, 2003. - С. 138-140.

А12 Борич М.А. Смагин В.В. Танкеев А.П. Взаимодействие нелинейных волн в магнитной слоистой структуре // XIX Международная школа - семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники": Сб. трудов. - Издательство Физ фак. МГУ, 2004. - С. 92.

А13 Борич М.А. Смагин В.В. Танкеев А.П. Особенности распространения и взаимодействия нелинейных волн

намагниченности в структуре ферромагнетик-диэлсктрик-металл // VI Международный семинар "Магнитные фазовые переходы", посвященный памяти Р.З. Левитина: Сб. трудов. - Издательство Дагестанского научного центра РАН, Махачкала, 2004. - С. 48-49.

Al4 Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Борич М.А. Смагин В.В. Эволюция солитонов в слоистой структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // Международная зимняя школа физиков - теоретиков "КоуровкаХХ1Х": Программа и тезисы докладов. - Издательство ИФМ УрО РАН, Екатеринбург, 2002. - С. 262.

Al 5 Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Борич М.А. Смагин В.В. Солитоны огибающей магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // XXXIII Совещания по физике низких ' температур, (секции Q, L): Тезисы докладов. - Издательство ИФМ

УрО РАН, 2003. - С. 246-247.

Al6 Tankeyev А.Р. Borich М.А. Smagin У.У. Non-linear dynamics of magnetostatic spin waves in a layered ferromagnet-dielectric-metal structure // Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" EASTMAG-2004: Abstract book. - Kirensky Institut of physics, Krasnoyarsk, 2004. - P. 182.

A17 Смагин В.В. Борич М.А. Танкеев А.П. Новые решения обобщенного нелинейного уравнения Шредингера // Международная конференция "Комплексный анализ, уравнения математической физики, вычислительная математика": Программа и тезисы. - Издательство Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра, Уфа, 2004. -С. 4-5.

Al 8 Tankeyev А.Р. Smagin V.V. Borich М.А. Solitary waves of magnetization in a ferromagnet-dielectric-metal structure // Moscow International Symposium on Magnetism: book of Abstract - M. , Издательство физ.-фак. МГУ. - 2005. - P. 438-439.

Al9 Танкеев А.П. Борич М.А. Смагин В.В. Нелинейная динамика слоистых магнитных структур: новые микромагнитные состояния • и свойства // Международная зимняя школа физиков-теоретиков

"Коуровка XXXI": Программа и тезисы докладов. - Издательство ИФМ УрО РАН, Екатеринбург, 2006. - С. 150.

А20 Смагин В.В. Борич М.А. Танкеев А П. Слабонелинейная магнитодинамика слоистых структур и магнитных пленок // Первый Российский Научный Форум "Демидовские чтения на

Урале": Тезисы докладов. - Издание УрО РАН, Екатеринбург, 2006.-С. 101.

Список литературы

[1] Звездин А.К. Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатических спиновых волн // ЖЭТФ. - 1983. - Т. 84. - С. 606-615.

[2] Xia Н. Kabos P. Staudinger R.A. Patton С.Е. Velocity characteristics of microwave magnetic-envelop solitons // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. -5.-P. 2708-2715.

[3] Wu M. Kraemer M.A. Scott M.M. Patton С. E. Kalinikos B.A. Spatial evolution of multipeaked microwave magnetic envelope solitons in yttrium iron garnet thin films // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 054402.

[4] Miller N.D.J. Magnetostatic volume propagation in a dielectric layered structure // Phys. stat. sol. - 1976. - V. 37. - P. 83-91.

[5] Miller N.D.J. Non-reciprocal propagation of magnetostatic volume waves // Phys. stat. sol. - 1977. - V. 43. - P. 593-600.

[6] Bongianni W.L. Magnetostatic propagation in a dielectric layered structure // J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. - 6. - P. 2541-2548.

[7] Каир D.J. Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schredinger equation // J. Math. Phys. - 1978. - V. 19. - P. 798-801.

[8] Potasek M.J. Tabor M. Exact solutions for an extended nonlinear Schredinger equation // Phys. Lett. A. - 1991. - V. 154. - 9. - P. 449452.

[9] Kivshar Y.S. Luther-Davies B. Dark optical solitons: physics and applications // Physics Reports - 1998. - V. 298. - P. 81-197.

Отпечатано на Ризографе ИФМ УрО РАН тир. >9© зак.М 39

объем 1 печ.л.формат 60x84 1/16 620041 г.Екатеринбург ГСП-170 ул.С.Ковалевской, д.18

да 1 4 8 3 О

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Смагин, Валерий Владимирович

Введение

Глава 1. Уравнение эволюции огибающей магнитостатической волны. Обобщенное нелинейное уравнение Шредин-гера (ОНУШ)

1.1. Основное состояние и спектр спиновых возбуждений системы ферромагнетик-диэлектрик-металл (ФДМ)

1.2. Уравнение эволюции огибающей магнитостатических

1.3. Особенности слабонелинейной магнитодинамики структуры ФДМ. Линейный спин-волновой спектр и интегрируемость ОНУШ

1.4. Модуляционная нестабильность монохроматических нелинейных волн

Выводы

Глава 2. Некоторые точные решения ОНУШ

2.1. Пространственно-локализованные решения ОНУШ. Квазисолитоны Потасека-Табора

2.2. Пространственно-периодические решения ОНУШ. Кноидальные волны

2.3. Цепочки "светлых" и "темных" квазисолитонов Потасека-Табора

2.4. "Серый" и "антитемный" квазисолитоны ОНУШ

2.5. Построение некоторых точных решений ОНУШ

2.6. Многосолитонные решения ОНУШ 77 Выводы

Глава 3. Особенности слабонелинейной динамики объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ

3.1. Сценарии эволюции солитонов огибающей прямых объемных магнитостатических волн

3.2. Сценарии эволюции солитонов огибающей обратных объемных магнитостатических волн

3.3. Многосолитонные состояния огибающей несущей магнито-статической волны и их свойства

3.4. Амплитудная дисперсия скорости огибающей магнитостатических солитонов

Выводы

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейная динамика магнитных пленок и магнитных слоистых структур"

Актуальность темы

Изучение нелинейных волн в различных физических системах представляет самостоятельный интерес. Протекающие в системах процессы и обусловливающие их взаимодействия определяют вид динамических уравнений, описывающих эти процессы. Построение их решений является сложной (часто аналитически невыполнимой) фундаментальной задачей. Последняя включает в себя теоретическое исследование новых типов нелинейных возбуждений (условия их зарождения, стабильности и др.), а также разработку методов их экспериментального наблюдения и идентификации.

С другой стороны, полученные в ходе этих исследований результаты находят практическое применение. В связи с этим значительный интерес вызывают солитоны огибающей, представляющие собой пространственно-локализованные нелинейные волновые пакеты, модулирующие несущую волну. В отличие от обычной амплитудной модуляции, последние формируются в результате физических процессов, протекающих в среде, - за счет баланса эффектов дисперсии и нелинейности.

Солитоны огибающей (как и все солитонные состояния, описываемые нелинейными эволюционными уравнениями) обладают замечательными свойствами. Они сохраняют свою форму и скорость при распространении и взаимодействии с другими солитонами, проявляя частицеподобные свойства, имеют конечную энергию и импульс. Если параметры несущей волны подобраны так, что сама среда обеспечивает зарождения солитона и поддерживает его эволюцию, то он может распространяться на значительные расстояния, сохраняя свою структуру довольно длительное время [1]. Поскольку в системах связи информация передается модулированными сигналами, то в настоящее время в роли ее носителя рассматриваются солитоны огибающей [1-4]. Так при использовании волоконных световодов в качестве передающей среды в системах дальней связи перспективными являются нелинейные (солитонные) режимы, которые позволяют: решить проблему бездисперсионного распространения световых импульсов в сочетании с высокой скоростью переноса информации, улучшить помехоустойчивость, выйти на новые частотные диапазоны [5].

Другой пример физической системы, поддерживающей солитоны огибающей, - спиновые волны в тонких магнитных пленках, типичными представителями которых являются пленки железо-иттриевого феррита-граната (ЖИГ). В этих системах солитоны огибающей спиновых волн могут оказаться перспективными при создании устройств передачи и обработки сигналов на микроволновых частотах [6]. Так, например в [7], описывается функциональный элемент радарной технологии - генератор, способный производить цепочку солитонных импульсов, распространяющихся в пленке и сохраняющих свою форму десятки микросекунд.

К настоящему времени наиболее существенные результаты получены в оптике при изучении распространения волн в волноведущих диспергирующих средах. В исследовании [8] впервые было указано на возможность распространения оптических импульсов с заданной формой без искажений в нелинейной среде. Позднее Хасегава и Тапперт показали, что в нелинейном волоконном световоде могут распространяться солитоны огибающей без искажений их формы [9, 10]. Они установили, что при определенных условиях распространяющиеся в волноводе нелинейные оптические импульсы могут быть адекватно описаны с помощью нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)

1У,±^хг+И2^ = 0» (1) где у/ - комплексная амплитуда огибающей электрического поля. Индексы х и / обозначают производные по координате и времени соответственно. Аномальная и нормальная дисперсия групповой скорости линейных волн отвечают выбору знаков "+" и "-" соответственно. Математической основой построения многосолитонных решений этого уравнения является, например, метод обратной задачи рассеяния (ОЗР), развитый Захаровым и Шабатом [1113]. Необходимым условием существования солитонных решений НУШ является выполнение требований критерия Лайтхилла, налагающего ограничения на знак коэффициентов дисперсии и нелинейности среды [14]. В режиме с аномальной дисперсией групповой скорости (знак "+" перед второй производной) это уравнение описывет эволюцию "светлых" солитонов [9]. В случае нормальной дисперсии (знак "-" перед второй производной) -"темных" [10]. Распространение таких импульсов в оптическом волноводе экспериментально наблюдалось в [15-19]. Отметим, что "светлый" солитон огибающей группы волн представляет собой нелинейный волновой пакет с - нулевыми граничными условиями на бесконечности. В противоположность ему "темный" солитон имеет ненулевые граничные условия на # бесконечности и внешне выглядит как провал на однородном фоне.

В настоящее время оптические солитоны нашли практическое применение в качестве объектов для переноса информации в волоконнооптических системах связи, работающих в пикосекундном диапазоне длительностей [20-23].

Развитие методов генерации мощных импульсов света и разработка новых высокоскоростных оптических систем связи (скорость передачи информации в которых по одномодовому оптическому волноводу состовляет Ш более чем 100 Гбит/с ) стимулировало интерес к изучению нелинейных эффектов в фемтосекундном диапазоне длительностей [24-27], когда НУШ становится неадекватным. Так, например, в [28] показано, что при распространении мощных фемтосекундных импульсов света существуют такие режимы, когда эффекты, обусловленные дисперсией третьего порядка, становятся сравнимыми с эффектами, обусловленными дисперсией второго порядка, и время нелинейного отклика среды составляет величину порядка нескольких фемтосекунд [29]. Тогда возникает необходимость модифицирования НУШ с помощью дополнительных слагеамых.

Модифицированная версия этого уравнения, включающая слагаемые, ответственные за эффекты дисперсии высшего порядка, а также эффекты дисперсии нелинейности, получила название обобщенного нелинейного уравнения Шредингера (ОНУШ) т ± 2^ + и V + га3 Уж + iax\v\y/x + icx2 (кЬ-О, (2) в котором первые три слагаемых соответствуют классическому НУШ, четвертое - описывает эффекты дисперсии третьего порядка, последние два -эффекты дисперсии нелинейности. Уравнение (2) относится к не полностью интегрируемым. Существует несколько ситуаций, когда могут быть найдены все его интегралы движения: 1) аг :аг = 0:1:1 (Кауп и Ньюэлл [30]), 2) а3:а1:а2= 0:1:0 (Чен и др. [31]), 3) а3 :а1 \а2 =1:6:0 (уравнение Хироты

32]), 4) аъ :а1 :а2 =1:6:3 (этот случай исследовали Caca и Сатсума [33]).

Одна из первых попыток теоретического анализа эволюции огибающей в рамках этой модели (в версии, когда а, = а2 ф аъ) была предпринята в работе

5], авторы которой сформулировали условия существования нелинейных уединенных волн в форме "светлого" и "темного" солитонов НУШ. Годом позднее решения похожего вида той же версии уравнения были найдены Потасеком и Табором [34]. В последнее время за ними закрепилось название солитонов Потасека-Табора (ПТ-солитонов). В ходе интенсивных исследований за последние три десятилетия в нелинейной оптике были рассмотрены различные модели слабонелинейной динамики огибающей.

Исследовались возможные режимы распространения нелинейных оптических импульсов в зависимости от их мощности, длительности и параметров волноведущих световодов. Построены соответствующие этим режимам нелинейные эволюционные уравнения для огибающей и разработаны методы их решения [35-55]. Достаточно полный обзор современного состояния этой проблемы изложен в [56, 57].

В противоположность оптике изучение нелинейных эффектов в магнитных системах демонстрирует более слабый прогресс. Это обусловлено рядом причин.' Во-первых, в таких системах существенны эффекты диссипации энергии, которые более, чем на три порядка превышают аналогичные потери при распространении волн в оптическом волноводе [58]. Во-вторых, магнитные материалы относятся к системам с высокой пространственной дисперсией, которая при определенном соотношении материальных параметров может обеспечить не только образование солитонных состояний, но и их разрушение [59-67]. В-третьих, сценарии эволюции нелинейных структур в значительной степени определяются многочисленными взаимодействиями, происходящими в магнитных материалах и формирующих основное состояние системы [68-70].

В последние два десятилетия развитие методов генерации и наблюдения микроволновых магнитных импульсов, а также совершенствование технологии получения высококачественных магнитных пленок стимулировали интерес к исследованиям нелинейных процессов в магнитных материалах. Уникальными объектами для этих целей являются тонкие монокристаллические пленки ЖИГ. Интерес к этим системам вызван следующими обстоятельствами. Во-первых, они имеют очень узкую линию ферромагнитного резонанса (Д# = 0,5-1,0 Э) [71] и, следовательно, относительно низкие потери энергии при распространении спиновых волн. Во-вторых, для возбуждения нелинейных импульсов в этих системах требуется небольшая пороговая мощность (менее 1 Вт) [72]. В-третьих, управляя величиной и направлением внешнего магнитного поля (по отношению к поверхности пленки), можно создать условия баланса эффектов дисперсии и нелинейности среды, при котором происходит формирование светлых" и "темных" солитонов огибающей спиновых волн.

Солитоны огибающей в таких системах теоретически были предсказаны Звездиным и Попковым в рамках модели [73], использующей классическое НУШ. Предложенная в [73] модель удовлетворительно описывает нелинейные режимы распространения спиновых волн в магнитостатическом приближении. Первые экспериментальные наблюдения "светлых" солитонов огибающей были проведены группой Калиникоса [74] в случае дипольно-обменных спиновых волн, распространяющихся в перпендикулярно намагниченной пленке ЖИГ с закрепленными спинами на поверхности. Позднее "светлые" солитоны в этих пленках изучались при различных ориентациях внешнего магнитного поля как с закрепленными, так и со свободными спинами на поверхности [75-86].

Состояния намагниченности в виде "темных" солитонов впервые экспериментально наблюдали Чен и др. [87] в случае поверхностных магнитостатических волн (ПМСВ) в пленке, намагниченной в плоскости. Поздне.е, Калиникос с сотрудниками в такой же системе наблюдали как "темные", так и "серые" солитоны огибающей [88].

Отметим, что НУШ является полностью интегрируемым уравнением, поскольку существует регулярная процедура (метод ОЗР) построения всех его интегралов движения. Тем не менее, в реальных физических системах могут реализоваться такие режимы распространения волн, в которых нарушается полная интегрируемость нелинейных динамических уравнений. Такая ситуация возможна: во-первых, когда требуется учесть дополнительные взаимодействия, формирующие основное состояние в магнитной системе; во-вторых, при изучении нелинейных эффектов в неоднородных по толщине магнитных пленках и многослойных магнитных структурах. В этих случаях для адекватного описания эволюции солитонных

• состояний в пленках необходимо использовать обобщенное НУШ, учитывающее как нелокальные эффекты магнитного диполь-дипольного взаимодействия, так и эффекты дисперсии высших порядков.

Нелокальный вклад в энергию диполь-диполного взаимодействия определяет пространственную дисперсию длинноволновой части спектра линейных спиновых волн и делает НУШ интегро-дифференциальным за счет дополнительного слагаемого в форме оператора преобразования Гильберта [68]. В области больших длин волновых векторов роль нелокальных эффектов в формировании нелинейных состояний становится незначительной, однако при этом существенно возрастает роль дисперсии высших порядков. Это обстоятельство особенно актуально при исследовании эволюции нелинейных состояний вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн. К ним, в частности, относятся точки "нулевой" дисперсии, в которых дисперсия групповой скорости линейных волн обращается в нуль. Существование такого интервала волновых векторов обнаружено в спектре обменно-дипольных спиновых волн в перпендикулярно намагниченной изотропной ферромагнитной пластине со свободными спинами на поверхности [69]. Появление точки "нулевой" дисперсии в этом случае обусловлено конкуренцией двух типов дисперсии - обменной и магнитостатической.

В отличие от однородной магнитной пленки линейный спин-волновой спектр многослойных магнитных структур становится существенно немонотонным даже в интервале длин волновых векторов, соответствующих магнитостатическому приближению (к « 102 -104 см.'1) [59-67]. При этом на зависимости со{к) (где со - частота линейных спиновых волн, к - волновое число) обнаруживаются области, в которых дисперсия групповой скорости линейных волн обращается в нуль, и возрастает роль эффектов дисперсии высшего порядка, в частности, третьего. В [89] отмечена слабая зависимость коэффициента нелинейности среды от длины волнового вектора несущей магнитостатической волны (МСВ). Дисперсия нелинейности, тем не менее, становится важной в сочетании с эффектом пространственной дисперсии третьего порядка, поскольку, при определенных условиях имеет место взаимная компенсация этих эффектов, обусловливающая появление новых нелинейных состояний [59-67]. Учитывая эти обстоятельства, для адекватного описания особенностей слабонелинейной спиновой динамики многослойных магнитных систем необходимо использовать ОНУШ. Главной характеристикой точных солитоноподобных решений этого уравнения является амплитудная дисперсия скорости огибающей (зависимость скорости движения солитона огибающей от его амплитуды). Заметим, что такой зависимости не существует для солитонов в классической модели, описываемой с помощью НУШ. К настоящему времени имеются экспериментальные работы [85, 86], достоверно устанавливающие факт существования этого вида дисперсии в тонких магнитных пленках.

Цель работы и задачи исследования

- теоретическое изучение новых типов нелинейных динамических возбуждений в системе объемных магнитостатических волн, эволюция которых описывается с помощью ОНУШ;

- выявление характера амплитудной дисперсии скорости движения (зависимость скорости распространения уединенной волны от ее амплитуды) квазисолитонов ОНУШ;

- обсуждение условий экспериментального наблюдения и идентификации нелинейных динамических состояний намагниченности в тонких магнитных пленках на основе полученных результатов.

Научная новизна

В диссертационной работе проведен анализ тонких деталей линейного спектра объемных магнитостатических волн в перпендикулярно и касательно намагниченной структуре ФДМ. Этот анализ необходим для построения адекватной математической модели и исследования условий формирования и эволюции долгоживущих нелинейных состояний намагниченности вблизи особых точек спектра линейных объемных волн. К особым точкам относятся, например, точки экстремума, точки перегиба на зависимости со(к) (со I угловая частота линейной волны, к - волновой вектор). Отмеченные особые точки спектра магнитостатических волн замечательны тем, что вблизи них, как правило, существуют области, в которых тонкий баланс эффектов дисперсии и нелинейности допускает существование нелинейных динамических состояний намагниченности.

Показано, что для последовательного описания нелинейных режимов распространения объемных магнитостатических волн в структуре ФДМ необходимо использовать обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, корректно учитывающее эффекты высшей линейной и нелинейной пространственных дисперсий.

Основные положения, выносимые на защиту:

В рамках этой модели исследованы нелинейные режимы распространения объемных магнитостатических волн в зависимости от тонких деталей линейного спин-волнового спектра структуры ФДМ: определены условия развития модуляционной нестабильности плоской нелинейной монохроматической волны - предвестника солитоноподобных состояний; определены области линейного спин-волнового спектра и параметры, при которых в системе объемных МСВ реализуются квазисолитоны Потасека-Табора.

2. С помощью численных методов решена задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с различными начальными условиями (солитоноподобным распределением и распределением в форме Гаусса). Проанализированы условия формирования многосолитонных состояний огибающей объемных МСВ. Выявлена важная характеристика состояний ОНУШ - амплитудная дисперсия скорости движения уединенных волн. Последняя может быть использована как тест при интерпретации экспериментальных данных по солитонам микроволновой огибающей в магнитных пленках.

Теоретическая и практическая значимость работы

Описание нелинейных эффектов в магнитных материалах является универсальным и может быть распространено на другие объекты. Полученные в работе результаты могут оказаться плодотворными при решении нелинейных задач в других областях физики нелинейных явлений, например, в нелинейной оптике, физике плазмы, при изучении нелинейных волн на глубокой воде, а также нелинейных динамических процессов в квантовых системах [56, 90-92].

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации докладывались на Международных зимних школах физиков-теоретиков "Коуровка-ХХГХ" (Екатеринбург, 2002), "Коуровка - XXXI" (Кыштым, 2006); Международных школах-семинарах "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 2002, 2004); Международных семинарах "магнитные фазовые переходы" (Махачкала, 2002, 2004); ХХХШ-ем Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003); Выездной сессии по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Евро-Азиатском симпозиуме "Достижения в магнетизме" (Красноярск, 2004); Международной конференции "Комплексный анализ, уравнения математической физики, вычислительная математика" (Уфа, 2004); Научной сессии Института физики металлов УрО РАН по итогам 2004 года; Международном симпозиуме по магнетизму (Москва, 2005); Научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2005); Научной конференции "Демидовские чтения на Урале" (Екатеринбург, 2006).

- автор принимал участие в постановке задач и обсуждении полученных результатов.

Публикации. Результаты исследований, представленных в диссертации опубликованы 20 работах, в том числе 13 статьях в реферируемых научных журналах и сб( ониках трудов, а также 7 тезисах докладов на Всероссийских и международных конференциях.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты диссертационной работы:

1. Показано, что для адекватного описания слабонелинейной динамики объемных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл необходимо использовать обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, учитывающее тонкие детали линейного спин-волнового спектра (включая точки "нулевой" дисперсии). В рамках этой модели исследована модуляционная неустойчивость монохроматической нелинейной волны - предвестника формирования солитоноподобных состояний. Определены условия и параметры, при которых в системе объемных волн реализуются квазисолитоны Потасека-Табора как в нормально, так и касательно намагниченной структуре ФДМ. Отмечена важная роль размерного эффекта зависимости нелинейного спин-волнового сценария от толщины диэлектрического слоя.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы нелинейной динамики", а также поддержана грантами молодых ученых и аспирантов УрО РАН (2004 и 2005 гг.). За цикл работ по теме диссертации, опубликованных в 2002-2004 гг. присуждена премия "Международной академической издательской компании "Наука / Интерпериодика" (МАИК) в области физики и математики.

В заключение я хотел бы выразить благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Танкееву Анатолию Петровичу за предоставленную тему, многочисленные обсуждения и полезные советы, а также кандидату физико-математических наук Боричу Михаилу Александровичу за плодотворное сотрудничество и конструктивную критику.

Заключение

В настоящем исследовании аналитически и с помощью методов численного моделирования получены результаты, включающие в себя различные аспекты слабонелинейной динамики объемных (как прямых, так и обратных) магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-метал. Предложены простые нелинейные динамические модели и уравнения, корректно учитывающие магнитостатические взаимодействия, роль эффектов высшей пространственной линейной и нелинейной дисперсии в формировании солитоноподобных состояний намагниченности в этой структуре. Продемонстрирована высокая чувствительность нелинейных режимов распространения МСВ к тонким деталям спектра линейных волн. В рамках сформулированной гипотезы предпринята попытка адекватной интерпретации экспериментальных данных по наблюдению многосолитонных состояний огибающей несущей МСВ в тонких пленках ЖИГ.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Смагин, Валерий Владимирович, Екатеринбург

1. Hasegawa A. Optical Solitons in Fibers. - Berlin: Springer, 1990. - 579 p.

2. Mollenauer L.F. Smith K. Demonstration of soliton trsnsmission over more then 4000 km in fiber with loss periodically compensated by Raman gain // Opt. Lett. 1988. -V. 13. - P. 675-680.

3. Haus H.A. Molding light into solitons // ШЕЕ Spectrum. 1993. - V. 30. - 3. -P. 48-53.

4. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics. Boston: Academic, 1989. - 493 p.

5. Грудинин А.Б. Меньшов B.H. Фурса Т.Н. О распространении фемтосекундных солитонов в одномодовых волоконных световодах // ЖЭТФ 1990. - Т. 97. - 2. - С. 449-454.

6. Boardman A.D. Nikitov S.A. Xie К. Mehta H. Bright magnetostatic spin-wave envelope solitons in ferromagnetic films // J. Magn. Magn. Mater. 1995.- V. 145.-P. 357-378.

7. Kalinikos B. A. KovshikovN. G. Patton С. E. Decay free microwave magnetic envelope soliton pulse trains in yttrium iron garnet thin films // Phys. Rev. Lett. 1997. -V. 78. - P. 2827-2830.

8. McCall S.L. Hahn E.L. Self-induced transparency by pulsed coherent light // Phys. Rev. Lett. 1967.-V. 18.-P. 908-911.

9. Hasegawa A. Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Appl. Phys. Lett. -1973.-V. 23.-3.-P. 142-144.

10. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. II. Normal dispersion // Appl. Phys. Lett. // 1973.-V. 23.-4.-P. 171-172.

11. Захаров B.E. Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61.-1.-С. 118-134.

12. Захаров В.Е. Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // ЖЭТФ. 1973. - Т. 64. - 5. - С. 1627-1639.

13. Захаров В.Е. Манаков C.B. Новиков С.П. Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 319 с.

14. Lighthill M.J. Group velocity // J. Inst. Math. Its Appl. 1965. - V. 1. - P. 269.

15. Mollenauer L.F. Stolen R.H. Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers // Phys. Rev. Lett. -1980.-V.-45.-13.-P. 1095-1098.

16. Emplit P. Hamaide J.P. Reynaud F. et al. Picosecond steps and dark pulses through nonlinear single mode fibers // Opt. Commun. 1987. - V. 62. - P. 374-379.

17. Krokel D. Halas N.J. Giuliani G. Grischkowsky D. Dark pulse propagation in optical fibers // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 60. - P. 29-31.

18. Weiner A. M. Heritage J.P. Hawkins R.J. Thurston R.N. Kirschner E.M. Leaird D.E. Tomlinson W.J. Experimental observation of the fundamental dark soliton in optical fibers // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61. - P. 24452448.

19. Weiner A.M. Thurston R.N. Tomlinson W.J. et. al. Temporal and spectral self-shifts of dark optical solitons // Opt. Lett. 1989. - V. 14. - 16. - P. 868872.

20. Hasegawa A. Kodama Y. Solitons in Optical Communications. N.Y.: Oxford University Press, 1995.

21. Haus H.A. Wong w.S. Solitons in optical communications // Rev. Mod. Phys. 1996,-V. 68.-P. 423-444.

22. Mollenauer L.F. Gordon J.P. Mamyshev P.V. Optical fiber telecommunications III / Ed. by LP. Kaminov. T.L. Koch. San Diego: Academic Press, 1997.

23. Agrawal G.P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. San Diego: Academic, 2001.

24. Дианов E.M. Карасик А.Я. Мамышев П.В. Прохоров A.M. Серкин В.Н. Стельмах М.В. Фомичев А.А. ВКР-преобразование многосолитонных импульсов в кварцевых волоконных световодах // Письма в ЖЭТФ. -1985.-Т. 41.-6.-С. 242-244.

25. Gluveia-Neto A.S. Gomes A.S.L. Taylor J.R. Femtosecond soliton Raman ring laser // Electron. Lett. 1987. - V. 23. - P. 537-541.

26. Zysset B. Beaud P. Hodel W. Generation of optical solitons in the wavelength region 1.37-1.49 цт II Appl. Phys. Lett. 1987. - V. 50. - 16. - P. 10271029.

27. Волоконная оптика II Труды ИОФ АН СССР. Т. 5 / Под ред. Е.М. Дианова. -М.: Наука, 1987. - 158 с.

28. Грудинин А.Б. Дианов Е.М. Короткин Д.В. Прохоров A.M. Серкин В.Н. Хайдаров Д.В. Распад фемтосекундных импульсов в одномодовых волоконных световодах // Письма в ЖЭТФ. 1987. - Т. 46. - 5. - С. 175177.

29. Каир D.J. Newell А.С. An exact solution for a derivative nonlinear Schredinger equation // J. Math. Phys. 1978. - V. 19. - P. 798-801.

30. Chen H.H. Lee Y.C. Liu C.S. Integrability on nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method // Phys. Scr. 1979. - V. 20. - P. 490-495.

31. Hirota R. Exact envelope soliton of a nonlinear wave equation // J. Math. Phys. 1973. - V. 33. - P. 805-809.

32. Sasa N. Satsuma J. New-type of soliton solutions for a higher-order nonlinear Schredinger equation // J. Phys. Soc. Japan. 1991. - V. 60. - P. 409-417.

33. Potasek M.J. Tabor M. Exact solutions for an extended nonlinear Schredinger equation // Phys. Lett. A. -1991. V. 154. - 9. -P. 449-452.

34. Christodoulides D.N. Joseph R.I. Femtosecond solitary waves in optical fibers-beyond the slowly varying envelope approximation // Appl. Phys. Lett. 1985.-V. 47.-2.-P. 76-78.

35. Gagnon L. Exact traveling-wave solutions for optical models based on the nonlinear cubic-quintic Schredinger equation // J. Opt. Soc. Am. B. 1989. -V. 6.-9. -P. 1477-1483.

36. Gagnon L. Belanger P.A. Soliton self-frequency shift versus Galilean-like symmetry // Opt. Lett. 1990. - V. 15. - 9. - P. 466-469.

37. Florjanczyk M. Gagnon L. Exact solution for a higher-order nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. A. 1990. - V. 41. - P. 4478-4485.

38. Kivshar Y.S. Afanasjev V.V. Dark optical solitons with reverse-sing amplitude // Phys. Rev. A. 1991. - V. 44. - 3. - P. 1446-1449.

39. Mihalache D. Truta N. Panoiu N.-C. Baboiu D.-M. Analitic method for solving the modified nonlinear Schredinger equation describing soliton propagation along optical fibers // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - 4. - P. 3190-3194.

40. Potasek M.J. Novel femtosecond solitons in optical fibers, photonic switching, and computing // J. Appl. Phys. 1989. - V. 65. - 3. - P. 941-953.

41. Mihalache D. Torner L. Moldoveanu F. Panoiu N.-C. Truta N. Invers-scattering approach to femtosecond solitons in monomode optical fibers // Phys. Rev. E. 1993. - V. 48. - 6. - P. 4699-4709.

42. Liu S. Wang W. Exact N-soliton solution of the extended nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. E. 1994. - V. 49. - P. 5726-5730.

43. Frantzeskakis D.J. Hizanidis K. Tombrasand G.S. Belia I. Nonlinear dynamics of femtosecond optical solitary wave propagation at the zero dispersion point // IEEE J. Quantum Electron. 1995. - V. 31. - P. 183-185.

44. Porsezian K. Nakkeeran K. Optical solitons in presence of Kerr dispersion and self-frequency shift // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 76. - 21. - P. 39553958.

45. Kodama Y. Hasegawa A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide // IEEE J. Quant. Electron. 1987. - V. 23. - 5. - P. 510-524.

46. Gedalin M. Scott T.C. Band Y.B. Optical solitary waves in the higher order nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - P. 448451.

47. Mihalache D. Truta N. Crasovan L.C. Painleve analysis and bright solitary waves of the higher-order nonlinear Schredinger equation containing third-order dispersion and self-steepening term // Phys. Rev. E. 1997. V. - 56. - 1. -P. 1064-1070.

48. Palacios S.L. Guinea A. Fernandez-Diaz J.M. Crespo R.D. Dark solitary waves in the nonlinear Schredinger equation with third order dispersion, selfsteepening, and self-frequency shift // Phys. Rev. E. 1999. - V. 60. - P. 4547.

49. Zaspel C.E. Optical solitary wave and shock solutions of the higher order nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82. - P. 723726.

50. Gromov E.M. Piskunova L.V. Tyutin V.V. Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Schredinger equation // Phys. Lett. A 1999. -V. 256.-P. 153-158.

51. Li Z. Li L. Tian H. Zhou G. New types of solitary wave solutions for the higher order nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84.-18.-P. 4096-4099.

52. Karpman V.I. Radiation of described a high-order cubic nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. E. 2000. - V. 62. - 4. - P. 5678-5687.

53. Mahalingam A. Porsezian K. Propagation of dark solitons with higher-order effects in optical fibers // Phys. Rev. E. 2001. - V. 64. - P. 046608.

54. Karpman V.I. Rasmussen J.J. Shagalov A.G. Dinamics of solitons and quasisolitons of cubic third-order nonlinear Schredinger equation // Phys. Rev. E. 2001. - V. 64. - P. 026614.

55. Кившарь Ю.С. Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов: Пер. с англ. М.: Физматлит, 2005. - 648 с.

56. Ахмедиев Н.Н. Анкевич А. Солитоны. -М.: Физматлит, 2003. 304 с.

57. Slavin A.N. Benner Н. Formation and propagation of spin-wave envelope solitons in weakly dissipative ferrite waveguides // Phys. Rev. B. 2003. - V. 67.-P. 174421.

58. Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Борич М.А. Смагин В .В. Магнитостатические солитоны Потасека-Табора в слоистой структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // ФММ. 2002. - Т. 93. -6. - С. 29-40.

59. Танкеев А.П. Шагалов А.Г. Борич М.А. Смагин В.В. Эволюция солитонов огибающей объемных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // ФММ. 2003. - Т. 95. - 1. - С. 10-20.

60. Tankeev A.P. Shagalov A.G. Borich M.A. Smagin V.V. Nonlinear dynamics of surface magnetostatic waves in a ferromagnet-insulator-metal structures // Phys. of Metals and Metallography. 2003. - V. 95. - Suppl. I. - P. 56-67.

61. Borich M.A. Kobelev A.V. Smagin V.V. Tankeev A.P. Evolution of the surface magnetostatic wave solitons in a ferromagnet-insulator-metal structures // J. Phys.: Condens. Matter. 2003. - V. 15. - P. 8543-8559.

62. Киселев В.В. Танкеев А.П. Длинноволновые слабонелинейные спиновые возбуждения в тонких ферромагнитных пленках // ФММ. 1996. - Т. 82. -З.-С. 32-45.

63. Киселев В.В. Танкеев А.П. Кобелев А.В. Слабонелинейная динамика дипольно-обменных спиновых волн в ферромагнитных пластинах конечной толщины // ФММ. 1996. - Т. 82. - 5. - С. 38-58.

64. Косевич A.M. Иванов Б.А. Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук, думка, 1983.-192 с.

65. Slavin A.N. and Rojdestvenski I.V. "Bright" and "dark" spin wave envelope solitons in magnetic films // IEEE. Transactions on magnetics. 1994. - V. 30.-1.-P. 37-45.

66. Chen M. Tsankov M.A. Nash J.M. Patton C.E. Backward-volume microwave-envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. 1994. - V. 49. -18.-P. 12773-12790.

67. Звездин A.K. Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатических спиновых волн // ЖЭТФ. 1983. - Т. 84. - С. 606-615.

68. Kalinikos В.А. Kovshikov N.G. Slavin A.N. Observations of spin wave solitons in ferromagnetic films // Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1983. - V. 38. -P. 202-206.

69. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Slavin A.N. Spin wave solitons in ferromagnetic films: Observations qf a modulational instability of spin wave during continuous excitation // Pis'ma Zh. Tekh. Fiz. -1984. V. 10. - P. 936940.

70. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Slavin A.N. Multisolitons propagation of spin wave in ferromagnetic films // Fiz. Tverd. Tela. 1985. - V. 27. - P. 226-228.

71. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Slavin A.N. Envelop solitons and modulational instability of dipole-exchange magnetizations waves in yttrium iron garnet films // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1988. - V. 94. - P. 159-168.

72. De Gasperis P. Marcelli R. Miccoli G. Magnetostatic solitons propagation at microwave frequency in magnetic garnet films // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 59.-P. 481-487.

73. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Kolodin P.A. Slavin A.N. Observation of dipole-exchange spin wave solitons in tangentianal magnetized ferromagnetic films // Solid State Comm. 1990. - V. 74. - P. 989-993.

74. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Slavin A.N. Experiment observation of magnetostatic wave envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 8658-8660.

75. Chen M. Tsankov M.A. Nash J.M. Patton C.E. Backward volume wave solitons in a YIG film // Abstracts of MMM-92 Conference. 1992. - GE-02. -P. 370.

76. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Experimental observation of reflection and collision of dipolar spin wave envelope solitons in YIG films // Abstracts of INTERMAG-93 Conference. 1993. - AE-03.

77. Nash J.M. Patton C.E. Kabos P. Microwave-envelop soliton threshold powers and soliton numbers //Phys. Rev. B. 1995. -V. 51.-21.-P. 15079-15084.

78. Nash J.M. Kabos P. Staudinger R. Patton C.E. Phase profiles of microwave magnetic envelope solitons // J. Appl. Phys. 1998. - V. 83. - 5. - P. 26892699.

79. Xia H. Kabos P. Staudinger R.A. Patton C.E. Velocity characteristics of microwave magnetic-envelop solitons // Phys. Rev. B. 1998. - V. 58. - 5. -P. 2708-2715.

80. Wu M. Kraemer M.A. Scott M.M. Patton С. E. Kalinikos B.A. Spatial evolution of multipeaked microwave magnetic envelope solitons in yttrium iron garnet thin films // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. - P. 054402.

81. Chen M. Tsankov M.A. Nash J.M. Patton C.E. Microwave magnetic-envelope dark solitons in yttrium iron garnet thin films // Phys. Rev. Lett. 1993. - V. 70.-P. 1707-1710.

82. Kalinikos B.A. Scott M.M. Patton C.E. Self-generation of fundamental dark solitons in magnetic films // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - 20. - P. 46974700.

83. Marcelli R. de Gasperis P. Nonlinear propagation of short microwave pulses in magnetostatic volume wave delay lines // IEEE Transactions on Magnetics. 1994.-V. 30.-1. -P. 26-36.

84. Куркин A.A. Пелиновский E.H. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Нижегородский гос. техн. ун-т.: Нижний Новгород, 2004.-158 с.

85. Henderson K.L. Peregrine D.H. Dold J.W. Unsteady water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schredinger equation // Wave Motion. 1998. - V. 909. - P. 1-21.

86. Dyachenko A.I. Zakharov V.E. Toward an integrable model of deep water // Phys. Lett. A. 2005. -V. 221. - 1-2. - P. 80-84.

87. Miller N.D.J. Magnetostatic volume propagation in a dielectric layered structure // Phys. stat. sol. 1976. - V. 37. - P. 83-91.

88. Miller N.D.J. Non-reciprocal propagation of magnetostatic volume waves //• Phys. stat. sol. 1977. - V. 43. - P. 593-600.

89. Bongianni W.L. Magnetostatic propagation in a dielectric layered structure // J. Appl. Phys. 1972. - V. 43. - 6. - P. 2541-2548.

90. Kiselev V.V. Tankeyev A.P. Non-local dynamics of weakly nonlinear spin excitation in thin ferromagnet films // J. Phys! Cond. Matter. 1996. - V. 8. -P. 10219-10229.

91. Damon R.W. Eshbach J.R. Magnetostatic modes of a ferromagnet slab // J. Phys. Chem. Solids. 1961. - V. 19. - 3/4. - P. 308-320.

92. Damon R.W. Van De Vaart H. Propagation of magnetostatic spin waves atф microwave frequencies in a normally-magnetized disk // J. Appl. Phys. 1965. V. 36. - 11. - P. 3453-3459.

93. Гуревич А.Г. Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. - 464 с.

94. Wai Р.К.А. Menyuk C.R. Lee Y.C. Chen H.H. Nonlinear pulse propagation in the neighbourhood of the zero-dispersion wavelength of monomode optical fibers // Opt. Lett. 1986. - V. 11. - P. 464-466.

95. Yukawa T. Ikenoue J. Yamada J. Abe K. Effets of metal on dispersionrelations of magnetostatic volume waves // J. Appl. Phys. 1978. - V. 49. -l.-P. 376-382.

96. Boardman A.D. Gulyaev Yu.V. Nikitov S.A. Thin-film solid state devices based on nonlinear magnetostatic waves // Japan. J. Appl. Phys. 1988. - V. 27.-12.-P. 2438-2441.

97. Bordman A.D. Nikitov S.A. Waby N.A. Putman R. Mehta H.M. Wallis R.F. Effect of third-order dispersion on nonlinear magnetostatic spin waves in ferromagnetic films //Phys. Rev. B. 1998. - V. 57. - 17. - P. 10667-10673.

98. O'Keeffe T.W. Patterson R.W. Magnetostatic surface-wave propagation in finite samples // J. Appl. Phys. 1978. - V. 49. - 9. - P. 4886-4895.

99. Adam J.D. Bajpai S.N. Magnetostatic forward volume wave propagation in

100. YIG strips // IEEE Trans. Magn. 1982. - V. 18. - P. 1598-1600.

101. Taniuti Т. Yajima N. Perturbation method a nonlinear wave modulation. I // J. Math. Phys. 1969. - V. 10. - P. 1369-1372.

102. Найфэ А. Методы возмущений: Пер. с англ. -М.: Мир, 1976. 456 с.

103. Додд Р. Эйлбек Дж. Гиббон Дж. Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 694 с.

104. Кадомцев Б.Б. Карпман В.И. Нелинейные волны // УФН. 1971. - Т. 103.-2.-С. 193-232.

105. Лукомский В.П. Нелинейные магнитостатические волны в ферромагнитных пластинах // Укр. физ. журнал. 1978. - Т. 23. - 1. - С. 134-139.

106. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны М.: Мир, 1972. - 622 с.

107. Киселев В.В. Танкеев А.П. Солитоны в антиферромагнитной пленке // ФТТ. 1994. - Т. 36. - 10. - С. 3055-3066.

108. Абловиц М. Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ. -М.: Мир, 1987.-479 с.

109. Hasegawa A. Kodama Y. Signal transmissions by optical solutions in monomode fiber//Proc. IEEE. 1981. -V. 69. - P. 1145-1150.

110. Kiseliev V.V. Tankeyev A.P. Kobelev A.V. Shagalov A.G. Non-linear spin dynamics in ferromagnetic films and Sshredinger equation in the vicinity of the zero-dispersion point // J. Phys. Condens. Matter. 1999. - V. 11. - P. 3461-3474.

111. Anderson D. Lisak M. Nonlinear asymmetric self-phase modulation and self-steepening of pulses in long optical waveguides // Phys. Rev. A. 1983. -V. 27.-P. 1393-1398.

112. Головченко E.A. Дианов E.M. Прохоров A.M. Серкин B.H. Распад оптических солитонов // Письма в ЖЭТФ. 1985. - Т. 42. - 2. - С. 74-77.

113. Ohkuma К. Ichikawa Y.H. Abe Y. Soliton propagation along optical fibers // Opt. Lett. 1987. - V. 12.-P. 516-519.

114. Косевич A.M. Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наукова Думка, 1989. - 304 с.

115. Zaspel C.E. Mantha J.H. Rapoport Yu.G. Grimalsky V.V. Evolution of solitons in magnetic thin films // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64. - P. 064416.

116. Виноградова М.Б. Руденко O.B. Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.-384 с.

117. Ахманов С.А. Сухоруков А.П. Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // УФН. 1967. - Т. 93.- 1. - С. 1970.

118. Svelto О. Self-focusing, self-trapping, and self-phase modulation of laser beams // Progress in optics. V. XII / Ed. by E. Wolf. - Amsterdam: North-Holland, 1974.

119. Tai K. Hasegawa A. Tomita A. Observation of modulational instability in optical fibers // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 56. - P. 135-138.

120. Nikitov S.A. Jun Su. Marcelli R. De Gasperis P. Modulational instability of surface magnetostatic waves in ferromagnetic films // J. of Magn. Magn. Mater. 1995. - V. 145. - P. 6-10.

121. Boyle J.W. Nikitov S.A. Bordman A.D. Xie K. Observation of cross-phase induced modulation instability of travaling magnetostatic waves in ferromagnetic films // J. of Magn. Magn. Mater. 1997. - V. 173. - P. 241252.

122. Короткевич A.O. Никитов С.А. Фазовая кросс-модуляция поверхностных магнитостатических спиновых волн // ЖЭТФ. 1999. -Т. 116.-6.-С. 2058-2068.

123. Борич М.А. Смагин В.В. Танкеев А.П. Взаимодействие нелинейных волн в магнитной слоистой структуре // ФММ. 2004. - Т. 98. - 5. С. 522.

124. Борич М.А. Смагин В.В. Танкеев А.П. Взаимодействие нелинейных волн в магнитной слоистой структуре // XIX Международная школа -семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники": Сб. трудов. Издательство Физ. фак. МГУ, 2004. - С. 92.

125. Борич М.А. Нелинейные волны в магнитных пленках и слоистых структурах: распространение и взаимодействие // автореферат диссертации, Екатеринбург, 2005. С. 24.

126. Agrawal G.P. Potasek MJ. Nonlinear pulse distortion in single-mode optical fibers at the zero-dispersion wavelength // Phys. Rev. A. 1986. - V. 33. - P. 1765-1776.

127. Грудинин А.Б. Меньшов B.H. Фурса Т.Н. О распространении фемтосекундных солитонов в одномодовых волоконных световодах // ЖЭТФ. 1990. - Т. 97. - 2. - С. 449-454.

128. Смагин В.В. Борич М.А. Танкеев А.П. Динамические кноидальные состояния намагниченности в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл // ФММ. 2004. - Т. 98. - 6. - С. 12-17.

129. Андронов А.А. Витт А.А. Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

130. Смагин В.В. Борич М.А. Танкеев А.П. Солитоноподобные состояния обобщенного нелинейного уравнения Шредингера // ФММ. 2005. - Т. 100.-6.-С. 529-537.

131. Gromov E.M. Tyutin V.V. Stationary waves in a third-order nonlinear Schredinger equation // Wave Motion. 1998. - V. 28. - P. 13-24.

132. Hirota R. Direct methods in soliton theory // Topics of Modern Physics / Ed. by R.K. Bullough. PJ. Caudrey. New York: Springer-Verlag, 1980.

133. Лейбович С. Сибасс P.A. Нелинейные волны: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.-320 с.

134. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.-448 с.

135. Benjamin Т.В. Lighthill M.J. On cnoidal waves and bores // Proc. Roy. Soc. A: 1954. - V. 224. - P. 448-461.

136. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. -294 с.

137. Уиттекер Э.Т. Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. - М.: Физматгиз, 1963.-515 с.