Множества характеристических и нижних показателей систем с возмущениями высшего порядка малости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

?^ ^ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ

Г' 7 Г ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

11а правах рукописи

ВОЛКОВ Игорь Анатольевич

МНОЖЕСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ И НИЖНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИСТЕМ С ВОЗМУИЩИ5ЯМИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ

01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени кандидата физш<о~математкчесша наук

ШШСК 1993

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научный руководитель: член-корреспондент АН Беларуси

ИЗОБОВ Николай Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико -математических наук,

профессор .

МИЛЛИОНЩИКОВ Владимир Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

МАЗАНИИ Сергей Алексеевич

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

математики Национальной АН Республики Казахстан.

Защита диссертации состоится Ь « октября 1993 г. в ^ часов на заседании специализированного совета Д 006.19.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики Академии наук Беларуси (220072, г. Минск, ул. Сурганова, 11, к. 79).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте математики Академии наук Беларуси.

Аъторефервт разослан

Учоный секретарь специализированного Совета

1993 годе.

С.И. Гайдук

Г

ШШШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Основы теории устойчивости дифференциальных систем по первому линейному приближению заложен?? А. М, Ляпуновым в его известной монографии "Общая задача об устойчивости движения". Дальнейшее развитие этой теории содержится в работах X. Л. Массеры, И. Г. Малкина, Д. Н. Гробмана, Р. Э. Винограда, Ю. С. Богданова, А. А. Шестакова и др. Существенно новый этап в ее развитии связан с методом поворотов В. М. Миллиангджова, позволяющим также исследовать строение множеств характеристических и нижних показателей. Для линейных и квазшшнейшх систем это было выполнено В. М. Мяллиошшковым, Н. К. Розовым, М. И. Раст.'.Сердп-евым, Н. А. Изобовам, Е. А. Бярабаков^м, Р. А. Прохоровой, В. Г. Компель и др. Оставался отхрнтнм вопрсс о полном описании множеств характеристических и нижних показателей дифференциальных систем с возмущениями высвего порядка .чаисоти.

Цель работа - исследование дескриптивно мноаоствешш свойств характеристических и нижних показателей решений систем нелинейных дифференциальна х урааиеюД с возмущениями выело го порядка малости, а таюхе, в ра&жах класскЗакации Бэра, выявление дескриптивно-Функщюналышх сооЗетза характернстическсго показателя Ляпунова решений систем указанного вида как функции начального вектора.

Иетсда кссдедоЕййЕй. В работе используется метод поворотов В. Мшишокцикова, а также другие метода теории характеристических показателей Ляпунова.

Научная новизна. В диссертации установлены следующие свойства характеристических и нижних показателей решений дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка малости: конструктивно доказано существование системы, множество характеристических (никних) показателей которой совпадает с не более чем счетным заранее заданным множеством компонент связности; установлена принадлежность характеристического показателя Ляпунова, рассматриваемого как функция начального вектора, второму классу Бэра; показано, что множество характеристических показателей решений рассматриваемых систем либо пусто, либо является непустым ограниченным суслинским множеством вещественной прямой, и обратно: для всякого множества 5, являющегося либо непустым ограниченным суслинским множеством вещественной прямой, либо пустым множеством, найдете»: дифференциальная система такая, что множество ее характеристических показателей совпадает с Б.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты могут найти применение в решении задач теории устойчивости.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Всесоюзной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (Тернополь, 1389), на Минском городском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям, на Республиканской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики; математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, 1990), а также

А ■■

на семинаре лаборатории теории устойчивости Института математики АНБ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце авторефэрата.

Структура и объем диссертации. Работа выполнена на 97 страницах машинописного текста и состоит из введения и двух глав, включающих в себя 4 параграфа. Список литературы содержит 38 наш меновашй.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Рассмотрим нелинейную дяф35ере!щиальную систему

X •■= A(t)x + f(t,x). X G D,t t > О, (1)

фиксированного порядка п >- 2, заданную в прямом произведет« [О, -и») х Т){ временной полуоси [о, +ю) а открытой области

D, с к", содержащей начало координат, матрица А(•): [О,-ют) —*^ — End. которой изкэрима на полуоси и существенно ограничена на ней, а измеримая по t > о ( при каждом фиксированном х « Df) н непрерывней по х « D, ( при кекдом ^ксированном t > о ) вектор-функция f(•,•): [0,+с>) н ь,— является возмущением высшего порядка m > 1 малости по отношению к зависимой переменной х ( существует такая постоянная constзависящая, только от самой вектор-функций i, что для всех (t.x) е [о, +«>) xD, вы-

полнено неравенство lf(t,x) I < const, •Ixl"1, m = fix > 1), и

обеспечивает единственность решений системы (1); возмущения с указанными свойствами называются m-возмущениями. Класс всех т-возмущений (при форсированных тип) обозначим через У*' .

Будем предполагать: первое приближение системы (1) - линейная система

У » A(t)y, у € Rn , t ? О, (2)

такова, что нулевое решение системы (1) с любым ш-возмущением ( m = fix > 1) является экспоненциально устойчивым; класс всех таких линейных систем (2) обозначим через то есть, иными

словами, класс J?n составляют те и только та линейные системы (2), которые в качестве систем первого приближения гарантируют экспоненциальную устойчивость нулевого решения систем (1) с любыми возмущениями f из класса 7*. Отождествляя линейную систему (2) с ее матрицей коэффициентов, будем писать А е хп.

Пусть Лр(А; f) - множество характеристических показателей Ляпунова ьоех ненулевых решений экспоненциально устойчивой системы (1), выходящих в момент времени t=o из открытой р-окрест-ности начала координат.

Определение I. Множеством характеристических показателей нелинейной системы (1) назовем пересечение

d at

А(А;Г) я П Л„(А;Г). р>о р

Пусть (А; 1) - множество нижних показателей miyлевых решений, выходящих из р-окрестности начала координат, экспоненциально устойчивой системы (1).

Определение 2. Назовем пересечение

d«f

w(A; f) s Л и.(A; Г) p> о v

множеством нижних показателей системы (1).

В первом параграфа первой главы диссертации доказана Теорема IЛ. Для произвольных го > 1, S s n <= ¡n u .voöczo не бблео чем. счетного тожества м = и дч компонент связности, Aqe к1

удовлетбсрящего условия а = ini M s м э вир й = b < О, существуют ауссчно-непреривная ограниченная диагональная я х п-жгщщл A(t) и т-йоэлухрьцо î в такие, %r.à спсяел-з (1) является а.хпо!1СКЦ!лиько устойчивой и о>(А; î) = Я.

Но втором параграфа исследуются шзжества характеристических показателей системы (1 ) и доказываются утворкг.ения, касавшиеся количества компонент связности мночестза Л(А;Г) î? прик&длэдаос'ш множеству А(А;г) его инфкмука и супремума.

Тзореиэ 1.2. /,« произвольных г» > 1, 2 -i п « w и Kowevaorc

ti<u счсягиого жножестда и А„ компонент саянюспи А с r , уЗов-

ч

'леяворающ/980 'доь условию затцрост а = inr пев» aap м * ъ <

< о 'сверху и снизу, суцеапвухт кусочно-непрерыдныз по t г о огра-ньсчеюиы пят-лаприт Ait) и ъ-мерюэ ?'-£о.?жуи,тшв f (t, х), текущее непрерывна m ж ospœaiHe;зшз в облает (0, +<») х {х е с Rni JsS < 1} np&jgôediais dfi (t,x)/dxj тетю, что теявла (1) является энспоиенг^ийлъно устойчивой и ее жохеегг&о A (A; î) ха-рахтерисяшеских похазапелей совпадает, с хяоеесшвая и.

Следствие 1» t. JteßepoöeHtie nst справедливо и в случай произвольного кстгечкегэ tütt evemwoeo замкнутого сверху и снизу жно-

жества чисел Ы.

В дальнейшем под la, bl будем понимать или отрезок [а, ъ), или полусегменты [а, ъ) и (а, Ь], или интервал (а, Ь).

Теорема 1.3. Л*я произвольных т>1,2<пбми моОых чисел tj < £ < о существуют возмущение t(t. xjeîj и пхп-мащяща A(t) такие, что система (1 )я£ляется экспоненциально устойчивой и ее множество характеристических показателей совпадает с промежутком 1Т},{|.

И теореме 1.4 оценивается нижняя грань отрезка множества характеристических показателей системы (1).

Теорема 1.4. Л(А; i) с Л(А; О) U [у.С^ь где у = ор/( 1 -.

- m), С^ - априорный т-показатвлъ системы. (2).

Во агорой главе в §2.1 исследуются дескриптивно-мнодаствен-ные и, в рамках 'шассификации Бэра, дескриптивно-функциональные свойства характеристического показателя Ляпунова решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с возмущениями высшего порядка малости как функции начального вектора. Характеристический показатель

\*<х0> = Mx(t,x0)]= Tïm" т,"1 ln lx(t,x0)S

t—»»со

решения x(t,x0) системы (1) будем рассматривать как функцию

вектора х0е ufs | х е Df\{0>| . Функция ): Uf -к является

функцией не выше второго бэровского класса. Для системы (2)

(частного случая системы (1) с возмущением f(t,x) = о) функция Ae(y), у е uf, очевидно, является, вообще говоря, функцией

первого класса Бэра.

В общем случав верна следующая

Теорема 2.1. Множество наналъних векторов х0 е у, тех решений •систежи (1), характеристические показатели которых больше любого d=const, есть множество пит oto и нолер борелевского класса понизить нельзя, а именно: для всякого 2 < n е N и любого вещественного т > 1 существует татя систем (1) и констант

а, что множество |х0: \*(х0) > d, я0е uf является множествол второго борелевского класса в любой р-окрестюсти немала координат, а Х*(-) есть функция второго бэровского класса.

В §2.2 главы 2, используя и развивая технику, применявшуюся в теоремах 1.2 и 1.3, формулируется и доказывается окончательный результат, касающийся структуры множества Л(А; г):

Теорема 2.2. Множество Л(А; t) характеристических показателей системы (1) с матрицей а е хп и ветар-фунхцией f е?* либо пусто, либо является непустым ограниченным суслинскил множеством вещественной прямой, тонная верхняя• грань которого ащящтзлъна.

Обратно, для всякого множества S, являющегося либо непустым ограниченном суслинскил множеством вещественной прямой, точная верхняя грань которого отрицательна, либо пустым множеством, и для любых натурального п 2 2 и вещественного т > 1 найдутся бесконечно дифференцируемая диагональная шприца А e jrn и гыеющя все частные производные любого порядка по всея своим аргументам вектор-функция г е У* такие, что множество Л (А; i) характеристических показателей систежи (1) с шит. Auf совпадает, со хножествоА s; более того, норва матрици (df(t, х)/дх) стремится к нулю равномерно по t £ о при ||х|| - 0.

При доказательстве этой теоремы существенно использовались следующие, представляйте самостоятельный интерес, леммы:

Леша 2.1. Аля всякого отрезка [а, Ь] с к, а < b, и любого непустого ограниченного суслинского мнозОества s с к, содержащего свою точную кижняю (верхнюю) грань, существует татя полунепрерывная снизу (сверху) на это* отрезке функция <р: {а, Ы - К, что ф([а, Ь] ) = s, и татя строго возрастающая (убибаяцая) последовательность {(рк ( • )}k<(N многочленов, для которой <р(z) = = Ii« <pk(z) при всякол z е [а, Ь].

Лемма 2.2. Аля любых чисел < L < о и лябого непустого ограниченного суслинского жкогестба 2, удоблетворяхщях условиям

А., £ ini 2 е 2, Л2 < вир S < О, .

всякого отрезка г бедственной прялой, не содержащего нуля, и каждого числа m > 1 существует двумерная cuoœ^a

х = diag[b{(t), b2(t)J x + g(t, x),

2

• X = Xg) « К , t > 0,

с кусочно постоянными и ограниченными на полуоси X > о ноэффи-циешаш bj(t), j e (1, 2}, и кусочно штреривкш по t > о (при каждом фиксированном х е кг) имеющим все чаятие проиьСсСнж' 'любого порядка по переменным xt< 1 € (1, г}, (при кахОол флхиро-ваннол t > о) т-возмущением g(t, х), удовлетворихщим при uc,ü£

(t,x) с [о, +«>) х Кг неравенствам lg(t, x)i < 8xäw, к (âs(t: х)/дх)1 < такая, что е& система первого приблих:оний

у = diagtb^t), b2(t) ] у, у € Rz, t > О.

- из класса хг и tutean характеристическими показателям числа Х4 и Хг, а любое решение x(t, а) ( а = х(0; а) е кг) содой систем (3) определено для всех t > о и имеет при а * О конечный характеристический показатель А.(а), совокупность (\(а); а е кг\{о)} которых совпадает со множеством 2 U {X,, \2) и распределяется следующим образом:

а) при. а = (а,, а2) « (кг\{о})\(г х R) справедливо равенство \(сс) = Лг, если аг * о, и А.(а) = если аг= о,

б) для любого о е 2 найдется такое а « г х (О), что Л(а) = о,

6) если а = (а,, аг) е г х (К\{0}), то \(а) = тах {\г,

XU^.O))}.

Ha защиту выносятся следующие результаты:

1. Конструктивное доказательство существования систем (1) таких, что их множества характеристических и нижних показателей совпадает с не более чем счетным заранее заданным множеством компонент связности.

2. Доказательство теоремы о том, что характеристический показатель Ляпунова, рассматриваемый как функция начального вектора, является, вообще говоря, функцией второго класса Бэра, а множество начальных векторов тех решений систем- (1), характеристические показатели которых больше любого d=conet, есть множество типа Gg, и номер борелевского класса, вообще говоря, понизить нельзя.

3. Множество Л(А; í) либо пусто, либо является непустым.

ограниченным суслинским множеством вещественной прямой, точная верхняя грань которого отрицательна.

Обратно, для всякого множества Б, являющегося либо непустым ограниченным суслинским множеством вещественной прямой, точная верхняя грань которого отрицательна, либо пустым множеством, и для любых натурального п > 2 и вещественного т > 1 найдется система (1; с бесконечно дифференцируемой матрицей А и имеющей все частные производные любого порядка по всем своим аргументам вектор-функция г, такая что мшгкество Л(А; г) = 3, более того, *)/бх1 — о равномерно по 1 > о^и ш - О.

^зультаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Волков И. А., Изобов Н. А. О компонентах связности множества характеристических показателей дифференциальной.системы

с возмущениями высшего порядка. - Докл. АН БССР. - 1989. - Т. 33, * 3. - С. 197-200.

2. Волков И. А., Изобов Н. А. О множестве нижних показателей Перрона дифференциальной системы с возмущениями высшего порядка. - Докл. АН БССР. - 1989. - Т. 33, * 6. - С. 485-487.

3. Волков И. А., Изобов Н. А. О множествах характеристических и нижних показателей дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка. - Нелинейные проблемы дай&ервнциалышх уравнегай и математической физики: Тез. докл. Всесоюзной конференции, -Тернополь, 1989, ч. 1.' - С. 167-169.

4. Волков И. А. Множества характеристических и нижних пока зателей систем Ляпунова . - Актуальные проблемы информатики: Математическое, программное и информационное обеспечение: Межреспубликанская научно-практическая конференция творческой молодежи, 2-6 апреля 1990 г. - Минск, 1990. - С. 229-230.

5. Волков И. А. О границах множества характеристических показателей линейных дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка . - Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27. * 12. - С.. 2050-2053.