Нижние показатели Перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих возмущениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

академия наук беларуси

2 Ц ФЕВ Ю97 институт математики

УДК 517.926.4

Филиппов Александр Владимирович

нижние показатели перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих возмущениях

01.01.02 —дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск — 1997

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета

Научный руководитель — академик All Беларуси

доктор физико-математических наук профессор

ИЗОБОВ Николай Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор

МИЛЛИОНЩИКОВ Владимир Михайлович кандидат физико-математических наук

доцент

BEPEMEIIIOK Валентин Валентинович

Оппонирующая организация — Институт теоретической и прикладной

математики МН - АН Республики Казахстан

Защита состоится и28п ^ЕЬРйАЯ 1997 r< в ¡5_ часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.0.2.02 в Институте математики АН Беларуси но адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики

Автореферат разослан ''<1997 года

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

•— Астровский А. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одной из основных задач асимптотической теории дифференциальных систем и теории устойчивости является изучение поведения показателей дифференциальных систем линейного приближения при различных возмущениях ее коэффициентов. При этих исследованиях широко применяются методы теории характеристических показателей Ляпунова, в том числе и наиболее часто используемый в современной теории метод поворотов В.М.Миллионгцикова. Эта теория в основном сформирована и развита в работах В.М. Миллионщикова, Б.Ф. Былона, Р. Э. Винограда, Д.М.Гробмана, Ю.С.Богданова, Н.А.Изобова, Дж.Лилло, М. И.Ра-химбердиева, II. X. Розова, Е. Л. Тонкова и др.

В области приложений исследований устойчивости по Пуассону решений дифференциальных систем важное место занимают задачи о нижних показателях Перрона линейных систем. Ранее достаточно полно изучались свойства множеств нижних показателей Перрона, и оставалась малоисследованной задача поведения нижних показателей при возмущении коэффициентов.

Диссертационная работа посвящена изучению поведения нижних показателей Перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих линейных возмущениях.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы ПИР: "Аналитические и качественные характеристики решений дифференциальных уравнений" № 01910054944 27.29 Белгосуниверситета.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является решение задачи о построении точных условий инвариантности нижних показателей Перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих линейных возмущениях.

Научная новизна полученных результатов. 1. Введена величина неправильности линейной системы, определяющая класс экспоненциально убывающих возмущений, сохраняющих ее

нижние показатели Перрона;

2. Доказана точность построенных условий совпадения множеств нижних показателей Перрона исходной и возмущенной линейных систем;

3. Установлены достаточные условия инвариантности некоторых нижних показателей Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений;

4. Дан конструктивный способ построения диагональной системы с заданными множеством нижних показателей Перрона и величиной неправильности.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в асимптотической теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории показателей Ляпунова, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории линейных дифференциальных систем.

Экономическая значимость полученных результатов. В связи с теоретическим характером диссертационной работы оценить экономическое значение результатов в настоящий момент не представляется возможным.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Построение и доказательство условия инвариантности множеств нижних показателей Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений;

2. Доказательство неулучшаемости полученного условия инвариантности множеств нижних показателей Перрона линейных систем;

3. Получение достаточных условий совпадения некоторых нижних показателей исходной и возмущенной линейной систем;

4. Построение диагональной системы с заданными величиной неправильности и множеством нижних показателей Перрона.

Личный вклад соискателя. Все результаты, приводимые в диссертационной работе, получены автором лично. Научному руководителю принадлежат лишь идеи построения величины неправильности и способов исследования ее возможных свойств.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (руководители — В.А.Кондратьев, В.М.Миллионщиков и Н.Х.Розов), совместном заседании семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, межгосударственной научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (г. Минск, 1994), Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики БГУ (г.Минск, 1995).

Опубликовапиостъ результатов. Результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах, в том числе в 3-х журнальных статьях, одна из которых без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав и списка использованных источников, включающего 24 наименования. Общий объем диссертации составляет 73 страницы машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава, носящая предварительный характер, содержит обзор результатов, примыкающих к теме диссертации, и постановку решаемой в ней задачи.

Будем обозначать через Л[/] и 7г[/] характеристический показатель Ляпунова 1 и нижний показатель Перрона 2 кусочно-непрерывной на положительной полуоси вектор-функции или матрицы /(•) соответственно.

'Ляпунов A.M. Собр. соч.: В б т. / Изд-во АН СССР. - М.-Л., 1956. - Т.2: - 473 с.

3 Perron О. Die Ordnungszahlen der DifFerentialgleichungssysteme // Math. Z. - 1929. - Bd. 31, II. 5. - S. 748 —766.

Рассматриваем исходную

х = A(t)x, х G Rn, t > 0, (1)

и возмущенную

y = A(t)y + Q(t)y>yeR\t> 0, (2)

линейные системы с ограниченными кусочно-непрерывными коэффициентами.

Пусть = [Xi(i),___,X„(t)] —нормальная по Ляпунову

упорядоченная в порядке возрастания характеристических показателей система решений линейной системы (1), Хк = = А[Х*] и Sk = 6k(A) — A[Xi] — характеристические показатели Ляпунова к -ого столбца Xi(t) матрицы Xa(î) и к -ой строки обратной матрицы Xj\t) соответственно. Числа Ai (А) < ... < АГ.(А) составляют совокупность А(А) характеристических показателей системы (1). Пусть совокупность А(А) состоит из q различных значений Ai < Лг < ... < Л?, q < п. Тогда индексы 1,2,... ,п разобьем на q блоков N(p) = {г : Аг = Лр} размерности тг(р), р — 1 п(1) + п( 2) +... + n(q) = п.

Величина

<гг(Л) = тр{А;(А) + ¿¡(А)}

называется коэффициентом неправильности Гробмана 3 .

Во второй главе, состоящей из трех разделов, вводится понятие величины неправильности линейной системы, при помощи которой устанавливается условие совпадения нижних показателей Перрона исходной (1) и возмущенной (2) линейных систем при экспоненциально убывающих возмущениях.

В первом разделе дано

Определение 2.1. Величиной неправильности линейной системы (1) называется число

о-(Л) = щах{ст,-(Л) + ст*(А)},

' Гробыан Д. М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Мат. сб. - 1952. - Т. 30, № 1. - С. 121—166.

где величины и,(Л) равны суммам А,(Л) + <5;(Л).

Второй раздел второй главы посвящен исследованию одного свойства нормальной по Ляпунову системы решений У(<) возмущенной системы (2).

Представим решение е Л" возмущенной системы (2) в интегральной форме Коши:

у(1) = Ха^Х^ШО) + ХА(1) ¡Х~А\т)С}{т)у{т)<1т =

(3)

>=1 1=1

г

/■&(т)д(т)у(т)йт, если \\XiQy] > 0, где = 0 — инте-

- ] Х^{т)у{т)йт, если \\XiQy] < 0, «

грал в смысле Ляпунова функции Х^СЦ^у^),

(

№(0) = Х,(0)у(0) + /*,(т)Я(т)у(т)с1т - •*(*), 1 — 11 • ■ • ,п.

о

Каждому решению системы (2) соответствует вектор ¿/(0) =

= (2/1(0)1 ••• >Уп(0)) £ Л", а нормальной упорядоченной системе решений У(/) = [1^(0,..— п х п-матрица

где у,-,-(О) — г'-ая постоянная из представления (3) решения У;(2). Матрицу У(0) будем также представлять в блочном виде (Уь'(0)) (к, г = 1,..., д) с блоками Ук(0) = ((уи{0))) (/ 6 Щк), а € Л(»))•

Лемма 2.1. Нормальной упорядоченной системе решений У(1) системы (2), матрица возмущения <2(•) которой удовлетворяет условию А[<5] < —сгГ(Л), соответствует неособенная квазитреугольная матрица У(0) с блоками У)ы(0) = 0 при к> 1.

В этом же разделе доказывается используемое в третьем разделе второй главы и в четвертой главе следующее свойство постоянных матриц.

Лемма 2.2. Если для векторов a,b € Rn и квазитреугольной невырожденной матрицы У(0) с блоками У|-;-(0) = 0 при г > j выполняется равенство а = Y(Q)b, то индексы к = max{i : а; ф 0} и тп = max {i : 6,- Ф 0} принадлежат одному блоку.

В третьем разделе второй главы основное условие инвариантности нижних показателей линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений устанавливает

Теорема 2.1. Множества 7г(Л) и -к(А + Q) нижних показателей Перрона соответственно систем (1) и (2) совпадают, если для матрицы возмущения Q(-) выполнено условие

\[Q\ < -<т(А). (4)

Доказательство теоремы 2.1 проводится отдельно для случаев различных и равных величины неправильности и коэффициента неправильности исходной системы (1).

В третьей главе диссертации доказывается неулучшаемость установленного в теореме 2.1 условия совпадения нижних показателей систем (1) и (2), приводится способ построения линейной диагональной системы с заданными произвольными, удовлетворяющими необходимым условиям, множеством нижних показателей и величиной неправильности, а также изучается поведение нижних показателей линейных диагональных систем с одноэлементным множеством показателей Перрона при экспоненциально убывающих возмущениях.

Способ построения диагональной системы приводится в первом разделе. Его определяет конструктивное доказательство следующей леммы.

Лемма 3.1. Для произвольных натурального п > 2, числового множества Р мощности cardP G {2,... ,2" — 1} и величины

а > 2 max Р - min Р - min(P \ {min Р})

существует п -мерная линейная диагональная система (1) с ограниченной бесконечно дифференцируемой на полуоси i > 0 матрицей коэффициентов Л(-), множеством нижних показателей тг(А) = Р и величиной неправильности а(А) = а .

Замечание 3.1. Существование линейной диагональной системы .с 2п-1 различными нижними показателями доказано по индукции Е. А.Барабановым 4 . При доказательстве леммы 3.1 это утверждение доказано конструктивным способом.

Во втором разделе третьей главы доказывается неулучшаемость условия (4) инвариантности множеств нижних показателей линейных систем. Это устанавливает

Теорема 3.1. Для произвольных натурального п > 2, числового множества Р мощности card Р € {2,...,2" - 1} , величины

сг> 2 max Р — min Р - min(P \ {min Р})

и чисел р G (0,1) и достаточно малого е > 0 существует п -мерная линейная диагональная система (1) с ограниченной бесконечно дифференцируемой на полуоси t > 0 матрицей коэффициентов Л(-), множеством нижних показателей х(Л) = Р и величиной неправильности сг(Л) = сг, а также аналитическая матрица <3(-) п -го порядка с показателем Ляпунова A[Q] < е — а такие, что г = min{n, card Р — 1} младших нижних показателей Wj(A) € тг(Л) и тг,-(А -f Q) G тг(А + Q) являются различными между собой и удовлетворяют неравенствам

ре < 7Гi{A + Q)- ir,(A) < е, г = 1,... ,г.

Доказательство теоремы проводится отдельно для двух возможных случаев cardir(.A) = 2 и card 7г(А) > 2, причем во втором случае используется построенная при доказательстве леммы 3.1 диагональная система.

В третьем разделе третьей главы приведены результаты исследований поведения при экспоненциально убывающих возмущениях нижних показателей линейных диагональных систем с одноэлементным множеством 7г(Л).

* Барабанов Е. А. Достижимость числа оценки нижних показателей линейной дифференциальной диагональной системы // Доклады АН БССР. -1982. -Т.26, №12. -С.1069-1072.

Теорема 3.2. Пусть диагональная система (1) с коэффициентом неправильности Гробмана о>(А) и величиной неправильности <т(Л) имеет множество нижних показателей ж (А) = {р} мощности card 7г(Л) = 1. Тогда при A[Q] < е - сг(А) < 0 к достаточно малом е > 0 справедливо:

1) 7г(А) = ж(А + Q) в случае а(А) > аг(А) ;

2) тг(А) С ъ{А + Q) в случае а(А) = сгг(А).

Четвертая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена изучению влияния экспоненциально убывающих возмущений на некоторые нижние показатели линейных систем.

В первом параграфе этой главы достаточное условие инвариантности некоторого нижнего показателя линейной системы (1) устанавливает

Теорема4-1■ Пусть система (1) имеет различные коэффициент неправильности Гробмана иг(А) и величину неправильности <т(А). Если для некоторого нижнего показателя

р = 7г[х] = *\ХАс], 0 ф с € Rn,

системы (1) с индексом m = шах {: : с; ф 0} выполняется условие

ага(А) < сг(А) - сгг(А), (5)

то число р принадлежит множеству iг(А + Q) нижних показателей системы (2) с произвольной матрицей Q(-), удовлетворяющей условию А[<3] < е - а(А) при 0 < с < сг(А) - сг(А) - <гт{А).

Замечание J^.l. Теорема 4.1 остается справедливой, если условие (5) выполняется для некоторого индекса I, с/ ф 0, принадлежащего тому же блоку индексов, что и старший индекс т = шах {г: с,- Ф 0}, так как в таком случае без ограничения общности путем замены переменных систему (1) можем преобразовать в систему, для которой выполняются условия теоремы 4.1.

Во втором разделе четвертой главы устанавливаются достаточные условия инвариантности некоторых нижних показателей исходной системы (1), когда она диагональная.

T еор ем а J.2. Пусть система (1) имеет различные коэффициент неправильности Гробмана су (А) и величину неправильности 0"(А). Если для некоторого нижнего показателя

p = x[x] = 7Г[£Х;], OjiaC{l,...,n} >еа

системы (1) выполняется условие

■фгаахс] < Р, (6)

то число р принадлежит множеству х(А + Q) нижних показателей системы (2) с произвольной матрицей <3(-)> удовлетворяющей условию A[Q] < е - сг(А) при 0 < е < min {р - ir[:cm!1XQ], а(А) - сгг(А)} .

Замечание 4-2. Теорема 4.2 остается справедливой, если ее условие (6) выполняется для некоторого индекса I 6 а, принадлежащего тому же блоку N(s), что и старший индекс шах а, так как в этом случае без ограничения общности путем замены переменных систему

(1) можем преобразовать в систему, для которой выполняются условия теоремы.

В этом же разделе содержатся результаты исследований поведения при экспоненциально убывающих возмущениях максимального и минимального нижнего показателя исходной диагональной системы (1).

Теорема 4-3. Если для матрицы возмущения Q(-) выполнено условие A[Q] < -сгг(А), то справедливо неравенство тттг(А) < < inf -k{A + Q).

Следствие 4-1- Пусть диагональная система (4.1) имеет различные коэффициент неправильности Гробмана аГ(А) и величину неправильности а (А), и для некоторого индекса к выполняются условия:

1) <Тк(А) < сг(А) — сгг(А) ;

2) 7г[ц] = тлпг[х,].

Тогда для множества ж(А + Q) нижних показателей системы

(2) с произвольной матрицей <?(•)> удовлетворяющей условию A[Q] <

< £ — а [А) при некотором с > 0, справедливо равенство т1п7г(Л) = = тт ?г(А + ф).

Следствие ^.2. Пусть система (1) имеет различные коэффициент неправильности Гробмана сгТ(А) и величину неправильности <г{А). Тогда для множества 7г(Л + С}) нижних показателей системы (2) с произвольной матрицей <2(0> удовлетворяющей условию -ЧФ] < £ - &(А) при некотором е > 0, справедливо неравенство тах7г(Л) < тахтг(А +<5).

ВЫВОДЫ

1. Для нижних показателей Перрона построено и доказано условие инвариантности множеств нижних показателей относительно экспоненциально убывающих возмущений. В основе построенного условия лежит введенное в работе понятие величины неправильности линейной системы.

2. Представлен способ построения диагональной системы с произвольными, удовлетворяющими необходимым условиям, множеством нижних показателей и величиной неправильности.

3. Доказана неулучшаемость полученного условия совпадения множеств нижних показателей Перрона исходной и возмущенной систем при экспоненциально убывающих возмущениях.

4. Относительно таких возмущений получены достаточные условия инвариантности отдельных нижних показателей линейных систем.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Филипцов A.B. Об устойчивости нижних показателей Перрона диагональных систем при экспоненциально убывающих возмущениях // Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение: Тез. докл. конф. -Минск, 1994. -С.295-296.

2. Изобов H.A., Филипцов A.B. О нижних показателях Перрона линейных систем с диагональным приближением и экспоненциально убывающими возмущениями // Дифференц. уравнения. -1995. -Т.31, №2. -С.197-205.

3. Филипцов А. В. Об инвариантности отдельных нижних показателей линейных диагональных систем // Материалы республиканской научно-методической конференции, посвященной 25- летию факультета прикладной математики и информатики: Тез. докл. конф. -Минск, 1995. -Часть 2. -С.115.

4. Изобов H.A., Филипцов A.B. О малости возмущений, сохраняющих нижние показатели Перрона линейных систем // Дифференц. уравнения. -1995. -Т.31, №5. -С.908-909.

5. Изобов H.A., Филипцов A.B. Об устойчивости по диагональному приближению нижних показателей Перрона линейных систем // Успехи мат. наук. -1995. -Т. 50, вып. 4(304). -С.108.

6. Изобов H.A., Филипцов A.B. О неулучшаемости условий совпадения нижних показателей Перрона линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. -1995. -Т.31, №8. -С.1300- 1309.

7. Филипцов А. В. О достаточных условиях устойчивости нижних показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. -1995. -Т.31, №9. -С.1493-1497.

8. Изобов H.A., Филипцов A.B. Об инвариантности нижних показателей Перрона линейных систем // Дифференц. уравнения. -1996. -Т.32, №6. -С.853.

РЕЗЮМЕ Филиппов Александр Владимирович

Нижние показатели Перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих возмущениях

Ключевые слова: характеристический показатель Ляпунова, нижний показатель Перрона, экспоненциально убывающие возмущения, величина неправильности.

Введено понятие величины неправильности линейной системы, при помощи которой построено неулучшаемое условие инвариантности множеств нижних показателей линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений.

Установлены достаточные условия совпадения некоторых нижних показателей линейных систем при экспоненциально убывающих возмущениях.

Дан способ построения диагональной системы с заданными произвольными множеством нижних показателей и величиной неправильности.

РЭЗЮМЭ Фшшцоу Аляксандр Уладз1м1рав1ч

Шжшя паказчык! Перона л шейных дыферэнцыяльных сктэм пры экспаненцыяльна убываючых узрушэннях

Ключавыя словы: характарыстычны паказчык Ляпунова, шжш паказчык Перона, экспаненцыяльна убываючыя узрушэнш, вел1чыня няправшьнасш.

Упедзена паняцце вел1чыш няправ]льнасщ лшейнай астэмы, пры дапамозе якой пабудавана непаляпшальная умова ¡нварыяитнасц! мно-

cxBay Hixiiix naKa3HUsay ji'ihghiilix cIctsm aoHocHa 3KcnaHeHixuajn>Ha yGHBaio^Lix y3pyni3HHiix.

YcTaHoyJieHBi aacTaTKOBHH vmobm cynafl3eHHK HeuaTopLix Hmnix naKa3HHKay JiineHHBix cictsm npti sEcnaHeHntiajitHa yGHBaiomrx y3py-maHHHy.

IlaflaiiBi cnocaS naSyaoBH flijaraHajibHaH cicTSMU c 3aaan3eHBiMi aHBOJibHBiMi MHocTBaM iiixirix naKa3HtiKay i BeJiinHiieft HHirpaBiJtbHaciu.

SUMMARY

Filiptsov Alexandr Vladimirovich

Lower Perron exponents of linear differential systems under exponentialy decreasing perturbations

Key words: characteristic Lyapunov exponent, lower Perron exponent, exponentialy decreasing perturbations, incorrectness value.

It was introduced the concept of incorrectness value of linear system, that allows to build unimproved condition of invariance of sets of lower exponents of linear systems with respect to exponentialy decreasing perturbations.

It was established the sufficient conditions of coincidence of a lower exponents of linear systems under exponentialy decreasing perturbations.

It was given the method of building of diagonal system with given an arbitrary set of lower exponents and incorrectness value.