Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Старший б"-показатель линейной дифференциальной системы.

§ I. Определение и свойства старшего б-показателя

§ 2. Системы с кусочно-линейными старшими б-показателями.

§ 3. Теорема о виде старшего б*-показателя линейной дифференциальной системы

ГЛАВА П. Старший б-показатель линейных дифференциальных уравнений.

§ I. Теорема о совпадении

§ 2. Предварительные леммы.

§ 3. Теорема о виде старшего б-показателя линейного уравнения.*

ГЛАВА Ш. Крайние показатели Ляпунова при возмущениях, медленнее экспоненциальных стремящихся к нулю на бесконечности.

§ I. Алгоритмы вычисления показателей (А) и ~$бе(А)

§ 2. Свойства показателей и (А)

§ 3. Достаточность установленных свойств показателей /7©^) и Ъбв ГА) в предположении вш О при -¿-э*

§ 4. Предельные показатели, соответствующие функции Ш)

Рассмотрим линейную систем дифференциальных уравнений х=АШх, xeIHnti>0, (ОЛ) с ограниченными (НАШИ ^ а) и кусочно-непрерывными noi^O коэффициентами. Наряду с исходной системой (0.1) будем рассматривать и возмущенные системы у.= (АШ+£>0%, yetjzo, (о.2) с кусочно-непрерывной n*Yi- матрицей -возмущением Q(-L) из класса

Жв19№

Qa): 11ва)11^Маее9т Nb-const, i>o},6>o, где фиксированная кусочно-непрерывная функция Э№) t +00 при -fc-* + <*>. Пусть Д (А+£) ^ . ^ /гг.СА+0.) — характеристические показатели Ляпунова [22,с.27;7,с.63] системы (0.2), расположенные в порядке неубывания.

Диссертация посвящена исследованию зависимости точных верхней грани старших /„.(A+Q.) и нижней грани младших

A+Q,) показателей систем (0.2) от параметра 6>О соответственно в классах возмущений с любой фиксированной функцией 9(i) и ЖДбСЮ] с (0C-fc)/O-»O при + ОО ,

Остановимся на работах, к которым имеет непосредственное отношение рассматриваемая диссертация.

Ю.С.Богданов [5,б] доказал, что при 6>6Л где 6„ — коэффициент неправильности Ляпунова [22,с.513 , показатели систем исходной (0.1) и возмущенной (0.2) с возмещениями Q(i)e Ш6Ш совпадают. Д.М.Гробманом [12] установлено, что величину б"л можно заменить не большей величиной - коэффициентом неправильности Гробмана бг [12; 17,с.81] . В.М.Шллионщиковым [23] показано, что нижняя грань тех б", начиная с которых показатели систем (0.1) и (0.2) с Qft)6 ЖбШ совпадают, не превосходит его асимптотического числа 6"м [23;17,с.81] .

Для коэффициента неправильности бп Перрона [26; 17, с.81] было установлено совпадение старших показателей исходной и возмущенной двумерных систем при Q(-i)e ОТ^Г"^] и 6>6n (Н.А.Изобов [15] ) и отсутствие его для а-мерных систем цри yl>3 (Р.А.Прохорова [28] ). Младшие показатели систем (0.1) и (0.2) при любом п и б>бп уже не обязаны совпадать (Р.А.Прохорова [27] ). Р.А.Прохоровой [28] была введена также величина б^ £ [6R, такая, что /„.fA+(А) при йШеШвШ и 6><ГЛ, и с ее помощью получена оценка сверху для /^СА+Q.) при всех и всех б">0.

Для так называемого старшего б-показателя v (A) a sap /„.(А+&) 6 еешб Db] системы (0.1) Н.А.Изобовым [16] построен алгоритм вычисления по ее матрице Коши и установлены свойства непрерывности его как функции переменной 6 > О ж липшицевости на каждом полуинтервале £->0- Некоторые свойства старшего показателя V6(A) установлены также Я.Фодором [30] . Для младшего б-показателя л (А)* 14 Ал(А+0.) 616 жеш по матрице Коши системы (0.1) вычислена [18] лишь величина д0(А)*с»4 А6(А).

6>0

В силу вышесказанного возникает задача выяснения дальнейших свойств функции (А) и полного описания класса Функций переменной 6">0? представимых старшими б"-показателями систем вида (0.1). Интересной представляется также задача о свойствах и полном описании класса всех старших б"-показателей, рассматриваемых как функции переменной б' > О некоторого подмножества пространства всех линейных систем - например, линейных систем (0.1), соответствующих линейным дифференциальным уравнениям с ограниченными коэффициентами. В общем случае задача формулируется следующим образом. Точные верхняя грань старших /п(А + 0,) и нижняя грань младших (А-*-О.) показателей систем (0.2) с возмущениями 0,(-Ь) е 0Ш], являются функциями параметра б"> О. Требуется дать полное описание классов всех таких функций переменной 6>0.

Диссертация как раз и посвящена решению поставленных задач. Основным в диссертации, как и вообще в современной теории показателей Ляпунова, является метод поворотов В. М. Миллионщикова [24] .

Диссертация состоит из трех глав и десяти параграфов.

1. Архангельский A.B. Конечномерные векторные пространства. -М.: Изд-во Моск.ун-та, 1982.-248с.

2. Барабанов Е.А. О свойствах старшего б-показателя. -Дифференц. уравнения, 1982, т.18, J» 5, с.739-744.

3. Барабанов Е.А. О старшем б"-показателе линейных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1984, т.20,JS 2, с.197-207.

4. Богданов Ю.С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1955, т.104, В 6, с.813-814.

5. Богданов Ю.С. Характеристические числа систем линейных дифференциальных уравнений. Матем.сборник, 1957, т.41, В 4, с.481-498.

6. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1969. - 576с.

7. Виноград Р.Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных систем. Успехи матем.наук, 1954, т.9, )& 2, с.129-136.

8. Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений. Матем.сборник,1957, т.42, ¡1 2, с.207-222.

9. Виноград Р.Э., Изобов H.A. Решение задачи Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, В 2, с.230-242.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наутса, 1967. - 575с.

11. Гробман Д.М. Характеристические показатели систем, близких к линейным. Матем. сборник, 1952, т.30, № I, с.121-166.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. - 472с.

13. Диб К.А. Одновременная достижимость центральных показателей. Дифференц. уравнения, 1974, т.10, f 12, с.2125-2136.

14. Изобов H.A. Об устойчивости по первое приближению. -Дифференц. уравнения, 1966, т.2, В 7, с.898-907.

15. Изобов H.A. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями. Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 7, C.II86-II92.

16. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки и техники/№>тематический анализ, т.12. - М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974, с.71-146.

17. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление. Докл. АН БССР, 1982, т.26, В I, с.5-8.

18. Изобов H.A., Барабанов Е.А. О виде старшего б-показателя.-Дифференц. уравнения, 1983, т.19, $ 2, с.359-362.

19. Клайниг В. Стабилизация тривиального решения линейного стационарного дифференциального уравнения я-то порядка. -Вестник Моск.ун-та. Математика, механика, 1982, 1.? 3,с. 57-61.

20. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. - 542с.

21. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. В 6-ти т. Т.2.-М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 473с.

22. Шллиощиков В.М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями. Докл. АН СССР, 1965, т.162, В 2, с.266-268.

23. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем. Сибирский матем. журнал, 1969, т.10, № I, с.99-104.

24. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 279с.

25. Perron. О, OrcLrLU,n,cj,szMe.n- cUr SyUetYie.—Mcäk. liilscLr., 1SZ3, 3. 31, S. 742-76 6.

26. Прохорова P.A. О некоторых свойствах младшего показателя при перроновских возмущениях. Дифференц. уравнения, 1975, т.II, I 6, с.997-1004.

27. Прохорова P.A. Оценка скачка старшего показателя линейной системы при экспоненциальных возмущениях. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, J& 3, с.475-483.

28. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности, Дифференц. уравнения, 1980, т.16,3, с.438-448.

29. Фодор Я. О задаче Ляпунова о промежуточной устойчивости по первому приближению. Sze.rruetvln.ijek az ELTE TTfC AnJ.L7.is I. Tanszefc ¿^¿om^ntfos m.u.nkcti&6L. - Будапешт,1979. 54c.