Деформационные методы в задачах теории автоматического управления и негладкой оптимизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАН

На правах рукописи

КОНДАКОВ Григорий Вячеславович

Деформационные методы в задачах

теории автоматического управления и негладкой оптимизации. 01.01.11 - Системный анализ и автоматическое управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва - 1992.

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Н.А.БОБЫЛЕВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.П.Афанасьев, кандидат физико-математических наук А.В.Богатырев.

Ведущая организация: Московский филиал Института проблем транспорта РАН.

Защита состоится " " 199 г. в час. на

заседании специализированного совета Д002.68.03 Института проблем управления (117806, Москва, ул. Профсоюзная, д.65).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке- ИПУ. Автореферат разослан " " 199 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат технических наук

С.А.ВЛАСОВ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. В последние десятилетня методы гладкого анализа начали широко использоваться в различных зделах теории управления, оптимизации, системного анализа. Эти тоды позволили получить существенное продвижение в ряде задач ории приближений, теории оптимального управления, вариационного числения. Идеи и методы негладкого анализа и недифференцируемой типизации применяются з экономических приложениях, пр.и решении совместных систем уравнений, в задачах регрессии и т.д. Они фективны и в задачах минимизации гладких функций при наличии раничений: для снятия ограничений удобно • применять негладкие рафные функции. Эти обстоятельства обуславливают актуальность и кность внедрения методов современного негладкого анализа в зличкые области теории управления и ее приложений.

В диссертационной работе развиваются деформационные методы следования задач негладкого анализа и недифференцируемой гимизации. Эти методы применяются к исследованию задач зиационного исчисления, классического анализа, теории колебаний, ^ачам автоматического регулирования, теории устойчивости ¡¡ференциальных включений.

Цель работы. Целью работы является:

1. Исследование различных типов асимптотической гойчивости положений равновесия дифференциальных зключений.

2. Разработка деформационных методов исследования негладких \ач конечномерной оптимизации деформационным методом.

3. Разработка деформационных методов анализа гладких функционалов на рефлексивных банаховых пространствах.

4. Исследование с помощью метода негладких направляющих функций периодических режимов в системах автоматического регулирования.

Общие методы исследования. В диссертации используются: методы бесконечномерной оптимизации, метод направляющих функций, деформационные методы и методы негладкого анализа.

Практическая и теоретическая ценность полученных в работе результатов заключается в том, что

1. Получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положений равновесия дифференциальных включений.

2. Обосновано применение деформационного метода в задаче исследования негладких задач конечномерной оптимизации и задач бесконечномерной оптимизации на рефлексивных банаховых пространствах.

3. Метод направляющих функций обобщен на случай негладких направляющих функций и использован для доказательства существования периодических режимов в общих нелинейных системах к системах автоматического регулирования.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинарах в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, Институте проблем управления АК СССР, ВНИИ системных исследований АН СССР, а также в Воронежской 1989 г. и Тартуской 1990 г. математических школах.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 6 учных работ.

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти раграфов, библиографических комментариев, заключения и списка тературы, содержащего 62 названия. Общий объем работы - 98 раниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, эеделяется цель исследования, приводится краткое содержание 5оты, формулируются основные результаты.

В первом параграфе исследуются дифференциальные включения с генциальными правыми частями. Рассматриваются различные типы шптотической устойчивости состояний равновесия

рференциальных включений и для них находятся необходимые и :таточные условия асимптотической устойчивости состояний шовесия.

Пусть Г(х) (хеМсИп) - липшицева функция. Рассмотрим )ференциальное включение

х=-ЭГ(х) (хеМ). (1)

Обобщенный градиент функции Г определяется следующим

равенством

ЗГ(х)=со[ :'Г )->С, х ->х, х еЛ(Ю),

где УЕ(х)- обычный градиент функции Г в точке х, а Л(Ю-множество точек дифференцируемости функции Г.

Пусть нулевая точка является состоянием равновесия дифференциального ьключения (1), то есть ОеЗГ(х).

Нулевое состояние равновесия дифференциального зключения (1) назовем точкой слабой асимптотической устойчивости дифференциального включения, если для любого с>0 существует окрестность нуля II такая, что для любой точки хеи существует решение х(1;) дифференциального включения (1) (х^ )=х), удовлетворяющее следующим условиям:

|Х(Ъ)| —> 0 при t —»со ,

и

|х(ь) | < С при ьг-Ь .

Нулевое состояние равновесия дифференциального включения (1) назовем точкой сильной асимптотической устойчивости дифференциального включения, если для любого о О существует окрестность нуля и такая, что ..для любой точки хеи любое решение хС^Ь) дифференциального включения (1) (хС^Ь )=х), удовлетворяющее следующим условиям:'

Ix(t)|

при t

0

m

I x(t) | < с при tat .

Функция называется регулярной, если ее обобщенная шзводная

F°(х;v)=lim sup t"1(г(y+tv)-F(y)). у->х t->+0

.падает с классической производной по направления v.

Теорема 1.1. Изолированная критическая точка х=0 функции F(x) лизующая ее минимум, является точкой слабой асимптотической ойчизости дифференциального включения (1).

Теорема 1.2. Изолированная критическая точка х=0 функции F(x) реализующая еэ минимум, не язляется точкой слабой асимптотической ойчивости дифференциального включения (1).

Теорема 1.3. Для того, чтобы изолированная критическая точка функции F(x) была точкой сильной асимптотической ойчивости дифференциального включения (1), достаточно, чтобы ествовала окрестность нуля U, такая, что для любой точки xeU и любых векторов , v^eaFCx) выполнялось условие (vi ,v )>0.

Следствие 1.1. Для того, чтобы изолированная критическая ха х=0 реализовывала минимум функции F(x), достаточно, чтобы была точкой сильной асимптотической устойчивости

(ифференциального включения (1).

Теорема 1.4. Существует функция F(x), нулевое состояние >авновесия которой реализует максимум функции F(x) и является ■очкой слабой асимптотической устойчивости дифференциального ключения (1) .

Следствие 1.2. Изолированная нулевая критическая точка ункции F(x), реализующая минимум функции F(x), может не быть очкой сильной асимптотической устойчивости.

Теорема 1.5. Изолированная критическая точка х=0 регулярной ункции F(x) реализующая ее минимум, является точкой слабой симптотической устойчивости дифференциального включения (1).

Бо втором параграфе предлагается новый подход к исследованию згладких конечномерных оптимизационных задач. Этот подход 1ключается в построешда специальной деформации (незырожденной) ¡следуемой задачи к более простой эталонной задаче, у которой /■ществующая экстремаль допускает анализ на минимум, '.танавливается, что при наличии невырожденной деформации :стремаль исследуемой задачи реализует ее минимум тогда и только •гда, когда соответствующая экстремаль эталонной задачи ализует ее минимум.

Точка х.eRN называется критической точкой функции F, если 3F(x.).

Пусть B(R)=lxeRN:|х|<Н}-вар в RK и Fq(х), Г^ (х) eB(R))-липшицевы функции, определенные на B(R) .

мпараметрическое ■ семейство функций F(x;\) (xeB(R) , зовем В№)-невырокденной деформацией функции F (х) в функции

х), если

1 Функция Г(х;Х) непрерывна на В(К)х[0;1] и липшицеза по х при дом Хе[О;1 ] .

Многозначное отображение э Г(х;Х) :В(К)х[0; 1 ]->Р!м

X

унепрерывно сверху .

° При каждом Хе[0;1] функция Г(х;Х) имеет единственную тическую точку х(Х)еЗ(Ю, непрерывно зависящую от X. ° Справедливы равенства г(х;0)=Ро(х), Р(х;1)=Г (х).

Теорема 2.1 (Деформационный принцип минимума). Пусть ествует В(Р)-невырожденная деформация Г(х;Х) функции Го(х) в кцию Г (х) . Пусть точка хо=х(0) реализует локальный минимум кции (х). Тогда точка х =х(1) реализует локальный минимум кции Г (х).

Пусть Г(х), С(х) (х<=Кн) - липшицевы функции. Рассмотрим ачу нелинейного программирования

Г(х)->гтип, (2)

е(хЬО (х^"). (3) Ограничение (3) в задаче С2),(3) будем называть регулярным,

л

a) для каждого х, при котором 0(х)=0 и для каждого уей" эщенная производная совпадает с классической «водной по направлению V;

b) для каждого х, при котором 6(х)=0, существует вектор

у=у(х)еК такой, что 6 (х;у)<0. Положим С2={ хей" : Б(х)аО] ,

М0(хЬ

О при хез.г^(5

1) дай(х) при хеэ<3

Д2:0

Множество N(х) называется нормальным конусом к множеству £2 в точке хе£2. Точка х# е(2 называется экстремалью задачи нелинейного программирования (2),(3), если ОеК(х, )+Ыо(х#). Однопараметрическое семейство задач

Г(х;Х)-»пип, (4)

С(х;Х)=Ю • (хеИ*; 0^Х£1) (5)

назовем невырожденной деформацией задачи

Г (х)->пип, (6)

о

Э (х)аО (ХбИ") (7)

о

в задачу

Г (х)-»пйп,

(8)

й (х)аО

(хеИ*), (9)

эсли:

A. Функции Р(х;А), Б(х;Х) непрерывны на к"х[0;1] и локально аипшицевы по х при каждом Xе[0;1].

B. Многозначные отображения а С(х; X) х[О; 1 ]-»Кн и

X

ИСх; X) :К"х[0; 1 ]-»к" полунепрерывны сверху.

C. При каждом Хе[0;1] задача (4),(5) имеет экстремаль х(Х), <оторая непрерывно зависит от X и равномерно по X е[0;1] ¡золирована.

О. При каждом X е[0;1] ограничение (5) в задаче (4),(5) регулярно.

Е. Г(х;0)=Г (х), С(х;0)=С (х)(хек" ). о о

Теорема 2.2. Пусть существует невырожденная деформация 1адачи (6),(7) в задачу (8),(9). Пусть экстремаль хо=х(0) >еализует локальный минимум задачи (6),(7). Тогда экстремаль '.^хС!) реализует локальный минимум задачи (8), (9).

В третьем параграфе устанавливается инвариантность

юкального минимума при невырожденных деформациях "гладких >ункционалов на рефлексивных банаховых пространствах. Приводятся риложения к некоторым задачам классического анализа и есконечномерной оптимизации.

Пусть Е - вещественное сепарабельное рефлексивное банахово ространство. Значение функционала уеЕ* на элементе иеЕ в альнейшем обозначается через

Определенный на Е и непрерывно дифференцируемый по Фреше функционал ¿Чи) назовем Е-правильным, если его градиент У£(-):Е—>Е ограничен на ограниченных множествах и удовлетворяет следующему условию (Б): если и еЕ, и и и

п п О

lim <7f(u ),u -u > s О,

n n 0

n->oo

то u —>u ; (здесь и в дальнейшем через и —» обозначается,

п О

соответственно, слабая и сильная сходимость в Е).

Однопараметрическое семейство Е-правильных функционалов f(-,-):E х [0,1]—>R назовем невырожденной деформацией функционала fQ(u)=f(u;0) в функционал f (u)=f(u;1), если

1°. Функционал f(u;\) непрерывен вместе с градиентом V,,f(u;A) на Е х [0,1], причем градиент V f(u;A.) непрерывен по X

U и

равномерно относительно и из каждого ограниченного множества.

2°. При каждом А.е [0,1] функционал f(-,X) имеет единственную критическую точку u(a), непрерывно зависящую от

Теорема 3.1. Пусть существует невырожденная деформация Е-правильного функционала fQ(и) в Е-правильный функционал f (и) . Пусть точка uq=u(0) реализует локальный минимум функционала f (и). Тогда точка и =и(1) реализует локальный минимум функционала f (и) .

В четвертом параграфе метод гладких направляющих функций доказательства существования периодических режимов нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями вида

dx

= g(x,t)

(xeRm)

(10)

dt

эриодичной по 1 правой частью обобщается на случай ;вых функций.

гсть Г(х) - локально липшицева функция. —

гнкция Г(х) называется растущей, если

зозем функцию F(x) невырожденной, если CsaF(x) вне ого шара. Индексом невырожденной функции назовем вращение ачного векторного поля aF(x) на сферах lx|=R больших з R и будем обозначать его r(F,<=). Функцию F(x) будем = направляющей для уравнения (10), если выполнено условие

lim F(x) = <°.

|х|->ш

(u,g(x,t))>0 (OstsT, IxliR , ueSF(x))

о '

(11)

>рмулируем основные результаты..

фема 4.1. Пусть правая часть g(x.t) уравнения

dx

= g(x,t)

(10)

dt

ична по t и удовлетворяет условию (11)

) - направляющая функция, модуль которой является

растущей функцией.

Тогда уравнение (10) имеет Т-периодическое решение. Теорема 4.2. Пусть для уравнения

<1х

= § (х, ^) (10)

с Т-периодической по Ь и непрерывной по совокупности переменных правой частью g(x,t) могут быть построены п+1 направляющие функции

Го (х) , Г (х)..... Г (х)

0 1 п

Пусть индекс у(Го,со) функции Г (х) отличен от нуля:

Г(Р„ ,оо)*0 о

Пусть, наконец,

Ни (|Г (х) 1 + 1 г (х) | + . . . + (х) I ) =«.

0 1 п

1x1-»»

Тогда уравнение (10) Т-периодическое решение.

В пятом параграфе метод доказательства существования

имеет по крайней мере одно

негладких направляющих функций периодических режимов нелинейных

систем используется для доказательства существования периодических режимов в системах автоматического регулирования.

Рассмотрим систему S автоматического регулирования, динамика которой описывается дифференциальным уравнением

L(p)x = M(p)f(x,t). (12)

где р = d/dt,

L(p) = р1 +ajp1"1 + ... + aj , М (р) = b pm + b pm" 1 + . . . + b ,

0 1 m

и 1 > m. Пусть нелинейность f(x,t) непрерывна по совокупности переменных, ограничена и Т-периодична по t:

f(x,t+T) s f(x,t),

и при IxI>Rq и удовлетворяет неравенствам.

-с |x|asf(x,t)í-c |х|" (col, X>R ) 2 1 0

с |x|asf (x,t)sc I x 1 (col, x<-R ) 1 2 0

= многочлен L(p) не имеет корней вида 2nki/T (k =0,±1,±2,. . . ) .

Для формулировки теорем перейдем от уравнения (12) к системе /равнений в пространстве состояний (см. [¿0]):

Здесь

те

= Аг + ^((с,2),О.

(13)

А =

0 1 0 . . 0 ' 1 '

0 0 1 . . 0 , с = 0

0 0 0 . . 1 0

а о -а 1 -а . г . -а 1 -1 0

7 =

7 =0,

1-01-1

г = Ъ , Г +7 а =Ь

1 - ш О 1-ПК-1 1-гп 1 1

Г, +г, , а + . . . + 7, а =Ь

1 1-11 1-тш т

Задача отыскания периодических режимов системы Б эквивалентна задаче отыскания периодических режимов системы (12), поскольку решения уравнения (12) и системы (13) связаны равенством

хй) = (с.г'и)).

Обозначим

= у -

юсмотрим линейное преобразование —* У гиперплоскости

={2:(с,г)=0] в себя. Матрицу этого преобразования обозначим ;рез В.

Теорема 5.1. Пусть матрица В гурвицева. Тогда существует риодический режим системы автоматического регулирования Б.

Теорема 5.2. Пусть О - простое собственное значение матрицы которому соответствует собственный вектор е. Пусть остальные бственные значения лежат в левой полуплоскости и выполнено ловие

(е,Р^А е)<0.

гда система автоматического регулирования Б имеет по крайней ре один Т-периодический режим.

Сформулируем основные выгоды, полученные в работе:

1 . Получены необходимые и достаточные условия асимптотикой устойчивости положен;;« равновесия дифференциальных кочевий.

2. Разработан деформационный метод исследования негладких ;ач конечномерной оптимизации.

3. Разработан деформационный метод исследования задач беско-:номерной оптимизации на рефлексивных банаховых ютранствах.

4. Получено обобщение метода направляющих функций на случай липшицевых направляющих функций.

5. Исследовано существование периодических режимов в системах автоматического регулирования методом липшицевых направляющих функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Барбакадзе Т.К., Бобылев H.A., Кондаков Г.В. Деформационный принцип минимума для функционалов на банаховых пространствах. Динамика неоднородных систем. Сборник трудов ВНИИСИ.-М.1990.

2. Бобылев H.A., Кондаков Г. В. Деформационный метод исследования негладких оптимизационных задач. //А и Т. 1991. N-5. С.46-57.

3. Кондаков Г. В. Об устойчивости дифференциальных включений. - В сб.: Оптимизация и анализ сложных систем управления., М.: ИПУ, 1990.

4. Кондаков Г. В. Метод недифференцируемой оптимизации в задачах теории колебаний. Динамика неоднородных систем. Сборник трудоз ВНИИСИ. -М.1992.

5. Кондаков Г. В. Устойчивость дифференциальных включений и негладкие функции Ляпунова. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М.: ИПУ, 1992.

6. Кондаков Г.В. Метод негладких направляющих функций в задаче о колебательных режимах систем автоматического регулирования. //А и Т. 1993. N-2.