Применение теории точных штрафов в негладких задачах вариационного исчисления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТАМАСЯН Григорий Шаликович

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ТОЧНЫХ ШТРАФОВ В НЕГЛАДКИХ ЗАДАЧАХ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

01.01.09 -дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2004

Работа выполнена на кафедре математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Демьянов Владимир Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Малафеев Олег Алексеевич

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Кулагин Виктор Васильевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Защита состоится « сЮ» О^^Я 2004 г. в ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К-212.232.07 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Горьковой В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вариационное исчисление имеет более чем трехвековую историю, является составной частью теории оптимизации, и по сей день находится в процессе развития. Сложные задачи, возникающие в механике, экономике, биологии и других науках предъявляют все более жесткие требования, новые конструктивные методы решения. Благодаря развитию негладкого анализа появилась реальная возможность решать многие из этих задач, осмыслить предыдущий опыт, по-новому взглянуть и обобщить уже знакомые вещи. Большие возможности в развитии вариационного исчисления возникли в результате развития выпуклого анализа, теории минимакса, квазидифференциального исчисления.

Все большее проникновение математики в социологию, медицину, биологию и другие разделы приводит к созданию математических моделей процессов. При этом многие из моделей содержат уравнения с запаздыванием. Очевидно, что задержка сигнала происходит и в том случае, когда управление некоторыми техническими объектами ведется на большом расстоянии. При этом необходимо время на доставку сигнала управления к объектам. В экономических системах отклоняющийся аргумент обычно содержится в управлении, и запаздывание управляющего сигнала может измеряться годами, а иногда и десятилетиями.

Проблемы поиска экстремума сложных целевых функций при наличии ограничений естественным образом появляются при решении самых разнообразных прикладных задач. Для численного решения задач оптимального управления не существует универсальных методов.

Принцип максимума Л.С. Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана являются мощными математическими методами для исследования задач оптимального управления. Диапазон прикладных задач, в которых эти методы нашли эффективное приложение, очень разнообразен.

Существует большое количество практических задач, где как функционал качества, так и ограничения описываются негладкими функциями. Теория и методы исследования негладких функций получили в 70-х годах существенное развитие в работах Д. Варги, Дж. Дан-скина, В.Ф. Демьянова, А.Д. Иоффе, Ф. Кларка, Б.Ш. Мордуховича, Е.А Нурминского, Б.Н. Пшеничного, Р. Рокафеллара, A.M. Рубино-ва, В.М. Тихомирова, В.В. Федорова, Н.З. Шора и др. Такие задачи требуют разработки специальных методов исследования. Одновременно с исследованием необходимых условий оптимальности в различных задачах теории управления шла разработка численных методов

рос национальная! БИБЛИОТЕКА I

их решения. Здесь можно отметить наряду с выше указанными работы Ф.П. Васильева, Т.К. Виноградовой, Н.Л. Григоренко, Ю.Г. Евтушенко, А.П. Жаб ко, В.И. Зубова, В.В. Карелина, Н.Е. Кирина, И.А. Крылова, В.В. Кулагина, А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева, С.К. Мышкова, М.С. Никольского, Л.Н. Поляковой, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько и др. Одним из примеров задач оптимального управления с негладким критерием качества являются задачи на минимакс.

Как и при решении практических задач, так и в самой математике возникают задачи недифференцируемой оптимизации. В настоящее время численные методы решения задач оптимального управления даже с гладким функционалом строятся в основном на необходимых условиях оптимальности.

Вариационные методы и принципы играют важную роль во многих разделах механики, математической физики и прикладной математики. Интерес к вариационным задачам объясняется рядом причин: многие фундаментальные законы механики и физики имеют характер вариационных принципов; в теории управления вариационные формулировки возникают при требовании оптимальности управляемого процесса; вариационные методы часто оказываются эффективным средством численного решения разнообразных задач.

В начале развития теории оптимизации применялись простейшие вариации — вариации по направлениям. Так были получены необходимые условия в задачах конечномерного анализа и в классическом вариационном исчислении. Помимо вариаций по направлениям, в вариационном исчислении применялись вариации иной природы, метод локальных вариаций. Вейерштрасс для вывода необходимых условий сильного экстремума применял вариации, получившие название "игольчатых". В теории оптимального управления использование игольчатых вариаций позволило получить новые условия ("принцип максимума" Л.С. Понтрягина). Ниже применяется двухточечная вариация игольчатого типа (компенсирующая вариация), с помощью которой удается получить необходимые условия, пригодные и для исследования некоторых негладких задач вариационного исчисления.

В диссертации изучается задача нахождения экстремальных значений функционала / на множестве П метрического пространства X. Такая задача называется задачей условной оптимизации. В данной работе реализуется следующая общая схема решения задачи условной оптимизации. Задача нахождения экстремума функционала на множестве А сводится к задаче оптимизации соответствующего функционала на всем пространстве X. Указанное сведение проводится с помощью точ-

ных штрафных функций. Присутствующий в точной штрафной функции неизвестный множитель А при помощи двухточечной ("компенсирующей") вариации игольчатого типа "исчезает".

Разработанный аппарат позволяет не только вывести единообразным и стандартным способом большинство известных классических результатов вариационного исчисления, но и получить "новые" условия в форме, допускающей их конструктивную реализацию. В качестве других применений изложенного подхода, не описанных здесь, отметим задачи теории оптимального управления как с гладкими, так и негладкими функционалами.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации негладких динамических объектов, а также разработка специализированного математического аппарата и его адаптация к особенностям задач вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом.

Конечным результатом исследований в настоящей работе является вывод и изучение необходимых и достаточных условий оптимума, а также разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на основе полученных теоретических результатов.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа. Проведенные исследования опираются на результаты Лагранжа, указывающие на общий принцип получения необходимых условий для задач с ограничениями. Также применяются результаты исследований И.И. Еремина, В.Ф. Демьянова, Л.Н. Поляковой в области теории точных штрафных функций и результаты А.П. Жабко, Г.А. Каменского, А.Д. Мышкиса, А.В. Прасолова, Л.Э. Эльсгольца по исследованию задач с отклоняющимся аргументом.

Научная новизна результатов состоит в разработке теории и новых вычислительных алгоритмов решения задач оптимизации управляемых систем.

Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

♦ Сведение задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации, обоснование возможности такого сведения.

♦ Построение точной штрафной функции в задачах, содержащих ограничения сложной структуры.

♦ Получение необходимых условий оптимума с помощью двухточечной игольчатой ("компенсирующей") вариации и аппарата теории точ-

ных штрафов.

♦ Разработка алгоритмов поиска экстремалей.

♦ Создание пакета программ и его применение к решению конкретных задач.

Практическая итеоретическая значимость. Полученные вдис-сертации результаты являются развитием теории оптимизации в задачах вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом и в задачах, содержащих ограничения сложной структуры. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней предложены математические методы и вычислительные алгоритмы на основе аппарата теории точных штрафов, с помощью которых можно существенно повысить эффективность решения достаточно сложных задач оптимального управления движением динамических объектов. При этом очевидна и практическая направленность работы, состоящая в применении полученных теоретических результатов для решения специфических задач, возникающих в практике исследования и проектирования систем управления движением динамических объектов. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на решение проблемы реализуемости как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения. Результаты работы подтверждаются теоретическими данными и совпадают с известными ранее результатами, полученными для ряда частных случаев. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широко доступных вычислительных средств типа ЭВМ.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XIII международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (г. Казань, 2002); на международном симпозиуме International School of Mathematics "G. Stampacchia" 38th Course 'Variational Analysis and Applications" (Erice - Sicily, 2003); на XII Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (г. Екатеринбург, 2003); на XXXII, XXXIII, XXXIV и XXXV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики -процессов управления СПбГУ (г. Санкт-Петербург), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано восемь печатных работ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения,

трех глав, заключения, списка литературы, включающего 75 наименований, и приложения. Объем работы составляет 149 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается краткая история вопроса, актуальность темы, приводится сжатое изложение полученных результатов.

В первой главе рассматривается негладкая задача вариационного исчисления с переменным запаздывающим аргументом. В параграфе 1.1 приводится постановка основной задачи. Исследуется на экстремум функционал

Функция h(t) — непрерывно дифференцируемая, положительная и удовлетворяющая условию h'(t) < 1 на [—/г(0),Т], подынтегральные функции Fi(x,x,z,z,t) Vi € 1 : N будем считать непрерывными вместе с

и по всем своим аргументам на R4 х [О, Т], а заданную функцию xo(t) — дифференцируемой при всех t G [— /г(0), 0].

В параграфе 1.2 приводится постановка основной задачи, но при условиях, что N = 1 и запаздывание постоянное, т.е. h(t) = h = const.

Далее, производим замену переменных x(t) = хо + J z(t) dr, т.е. переходим от пространства фазовых переменных х 6 ft к соответствующему пространству производных z(t) = x'(t) € Z. В пункте 1.2.2 сформулирована задача после указанной выше замены переменных. А именно,

на множестве

= 12 е Р[0,Г] +fo z(t)dí = Xij,

(6)

где Р[0, Т] — класс функций кусочно-непрерывных ограниченных на отрезке [О, Г]. Затем доказывается, что задача

эквивалентна задаче

1(х) —* min (7)

x6íl

f(z) —> min (8)

v ' гег '

в том смысле, что если х* G П — решение задачи (7) (где JV = 1 и запаздывание h(t) = h = const), то функция z*(t) = x*'(t) является решением задачи (8); и обратно, если z* £ Z доставляет минимум функционалу /

на множестве Z, то функция x*(t) = хо + / z*{r)dr является решени-

J о

ем задачи (7).

Точная штрафная функция для задачи (8) и ряд метрик в пространстве Р[0,Т] введены в параграфе 1.3. Положим

Фа(*) = /(*) +л Ф),

где А > О,

Ф) =

[ z(t) dt

Jo

+ Xq—XI

Функция Фд(г) называется штрафной функцией, а число А — штрафным параметром. Несложно показать, что функция Фа (г) является функцией точного штрафа. Далее, в параграфах 1.4-1.8 исследуется функционал Фа (.г).

Понятие двухточечной ("компенсирующей") вариации игольчатого типа вводится в параграфе 1.4. Выберем и зафиксируем произвольные г) е (о, 1), V е к, VI е к, 0Ь в2 е [о,г), где вх < в2.

Возможны 3 случая:

I) вив2&[0,Т-к),

II) 0! € [О, Г - h), а в2 G [Т - Л, Г), ill) eue2e[T-h,T).

В пункте 1.4.1 рассматривается случай /, когда в\, в2 G [О, Г — h). Тогда при достаточно малых е > 0 будет

в1+т)£<в2, e2 + (l-r¡)e<T-h,

(01,01 + Щ) С £>(г), (02,02 + (1 - r¡)e) С ОД,

где D(z) — множество точек [О, Г], в которых функция z(t) непрерывна. Положим

Г z(t), í £ [01,01 < t), í G [01,01 [ Vi, te [02,02

+ í/e)ü [02,02+ (l-»?)e), = < £ G [0i,0i + це), (10)

,02+ (1 -»?)£).

Функция ze(t) кусочно-непрерывна на [0,T], т.е. ze(t) G Р[0,Т] для всех е > 0, удовлетворяющих (9). Функция Az(t) = z£(t) — z(t) называется двухточечной вариацией кривой z(t).

Далее с помощью (10) выводится двухточечная вариация функций x(t), z(t — h), x(t — h).

В результате получаем разложение

•М^е) - $\(z) =eHi(z,z,ei,e2,ri,v,vi) + o(e), (11)

где

Hl(z,z,el,e2,v,v,vi) =

= ч{ Vv,,F(0x) + Vz,vF(h + 0i) + {v- *(0i)) [V>i(0i) + ф2(к + fc)] J +

+ (1 - >?) jv„„zF(02) + V,.,, F(h + 02) +

+ (vi - z(ß2)) tyi(02) + Mh + 02)]} + АДу. (12)

Известно, что если z* G 2 — точка локального минимума функционала /(г) на множестве то в этой точке должно выполняться необходимое условие минимума функции Ф\(г):

Ф{(г*) = liminf > о.

В пункте 1.4.3 приведены необходимые условия экстремума.

Теорема 1.1 Для того, чтобы точка г* € 2 доставляла минимум функционалу /(г) но множестве 2, необходимо, чтобы

Я! (г*,Г,01,02,»7,>0

У0Ь 02 € [0, Т - Л], ы 6 К, ц € [0,1]. (13)

Учитывая (12) и то, что у?(г*) = 0, неравенство (13) можно переписать в развернутом виде:

(г*, г*, 01,02,1?,и, ) = = ^„,гР(01) + + 00 + (« - г* (00) [ФМ 4- МЬ + Ь)}} +

+ (1 - + + 02) +

+ («1 - г'(в2)) [01 (02) + + 0г)]} +

+ А^ - г'Ц)) + (1 - Ч)(®1 - **(«)) | > 0 У01,02 € [о,т - И),е к, Г) е [о, 1], (14)

где

У„,г^(0) = ^(х(0),х(0-Л)^,2(0-Л),0) -

-Г(х(0),х(0-/1),г(0), 2(0-/1),0), У^(Л + 0) = Г(ж(Л + 0),х(0),2(/1 + 0),г),Л + 0) -

- Г(х(Л + 0), х(0), г(/1 + 0), г(0), Л + 0),

Гт Jв

н

Неравенство (14) называется двухточечным необходимым условием для задачи с постоянным запаздыванием.

Далее, в пункте 1.4.4 проводится более детальное исследование условия (14). Возьмем любые Т) е [0,1), V € К, а в качестве «1 положим

1 — г?

Тогда множитель при А в последнем слагаемом в левой части (14) обратится в нуль. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.2 Для того, чтобы точка z* G Z доставляла минимум функционалу f(z) на множестве Z, необходимо, чтобы

Hi(z\S*,e 1,вг,ь,а) =

+ (и - 2*(00) [мь) + Mh+ ) - МЫ - Mb + »2)] +

+ - h),z*(e2) - a(t> - z'(01)),z'(02 - h),e2) -

- f(**(02),x*(02 - h),z\e2),z\e2 - h),e2) + + F(x*(e2 + h),x*(e2),z*{e2 + h),z*(e2) - a(v - + A) -

- F(x*(02 + Н),х*{02),г*{в2 + К),г*{в2),в2 + h) J > 0 V0i,02 e [o,r-/i], rem, a>o. (15)

Следствие 1.1 Накладывая на F(x,x,z,z,t) требования дифференци-руемости по z и z, из (15) при а 10 имеем

Vv,iF(91) + Vz,vF(h + e1) +

+ (и - z'(0i)){^x(0i) + + *>) - Mfa) - Mh + в2) -

- Р'г{62) - F'zVi + 02)}>O Velte2€[0,T-fc],t»€R. (16)

Условие (16) называется обобщенным необходимым условием Вейерш-трасса для задачи с постоянным запаздыванием.

Следствие 1.2 При v = z*(61) функция

Н 1(v)^Hl(z\z',e1,e2,v,a)

в (15) достигает своего наименьшего значения, равного нулю. Поэтому, если F{x, х, z, z, t) дифференцируема no z и z, то no необходимому условию минимума функции #i(u) в точке v = z*(8\) имеем необхо-

димое условие —---=0, т.е.

dv !„=*•(«.)

ft rh+t

F^t) + F'^h +1) = / F'x (r) dr + Fi (r) dr + C Jo Jo

vte[0,T-h]. (17)

Условие (17) называется интегральным уравнением Эйлера для задачи с постоянным запаздыванием.

В пунктах 1.4.5-1.4.7 аналогично случаю I рассматриваются случаи II и III.

В параграфе 1.5 собраны окончательные результаты по всем трем рассмотренным случаям, а именно необходимые условия сильного экстремума.

Условия Лежандра-Клебша и Эрдмана-Вейерштрасса приведены в параграфах 1.6 и 1.7, соответственно.

Необходимые условия экстремума для основной задачи с постоянным запаздыванием выписаны в параграфе 1.8.

Двухточечное необходимое условие, обобщенное необходимое условие Вейерштрасса, уравнения Эйлера в интегральной и дифференциальной формах, для основной задачи с переменным запаздывающим аргументом при N = 1 и N > 1 приведены в параграфе 1.9.

Во второй главе рассматриваются две негладкие задачи вариационного исчисления с ограничениями типа дифференциальных и алгебраических неравенств, т.е. х'(£) — {(х(£),£) < 0 и I) < 0, соответственно.

Постановка задачи с ограничением типа дифференциального неравенства дана в параграфе 2.2. Пусть Т > 0 фиксировано, а функ-

,( л 91{х, Ь) ция 1[х,Ц непрерывна вместе с —-- по всем своим аргументам на

К х [0,Х].

Зафиксируем хо € К и XI € М. Положим

П = { х € Р1[0,Т] | х(0) = х0, х(Т) = хь

х'(*) -/(х(*),*) < О V* € [О,Т]}. (18)

Рассмотрим функционал

где подынтегральная функция Р(х,.г,<) непрерывна вместе с по

всем своим аргументам на 1 х М х [0,Т]. Требуется найти х* € П, такое, что

(19)

ÖF

/(x*)=min/(x).

xStl

В параграфе 2.3, снова с помощью замены x(t) = жо + / z{t) dr,

J о

проводится переформулировка поставленной выше задачи. Рассмотрим функционал

f(z) = [ F{xо + [ z(t) dr, z(t), t) dt (21)

J О J 0

на множестве

Z={z<= P[0,T] | ho(T,z) = 0, h{t,z) = 0Vt G [0,T]}, (22)

где

ho(T, z) := x0 - xi + / z(t) dr, J о

hx(t,z) z(t) - l(x0 + f z(r)dT,t), J о

h(t,z) := max{0,fti(i,2;)}.

Показано, что задача I(x) —> min эквивалентна задаче f(z) —i min.

В параграфе 2.4 вводится точная штрафная функция Фд(г) — f(z) + Ау?(л), где

1

гТ

Ф) =

[ h2(t,z)dt + hl(T,z) J о

(23)

Применяя двухточечную игольчатую вариацию к задаче (21)-(22), в параграфе 2.5 получаем вариацию функционала /(г):

Пг£)-Пг) = 1{х£)-1{х) =

= е

("-2(0 l))t/>(0l)}

+

где

+ (1 - >?){vvlF(02) + (Vl - г(в2))ф(е2)}

№= Г F^x{t),z{t),t) dt, Je

V„F(i) = F(x(t),v,t) - F(x(t),z(t),t).

+ o(e),

Вариация функции ip(z) приведена в параграфе 2.6: в случае, когда z £ Z, причем h(t,z) = О V t 6 [0,Т], h0(T,z) = 0 и

г г Л

фс)= [ h2(t,ze)dt + h20(T,ze) = .Jo

= e^max ^maxjo.w — i(x(0i),0i)}u>i(0i) + (v — г(0х))шо) +

+ (1 - ij)(max{o,t;i - i(x(02),02)}wi№) + fa - «(*»))«*) +

+ Hi(v) +Я2(«,»,)| +о(е). (24)

Двухточечное необходимое условие имеет следующий вид.

Теорема 1.3 Для того, чтобы точка z* являлась сильной экстремалью, необходимо, чтобы

H(z*,e1,e2,ri,v,vi) =

+ (1 - ч){V^Fifc) + (t>i - +

+ max A|?7^max|o,r-i(x*(0i),0i)|tt;i(0i)+ №,(t)>o v7e«r0(z*)

u,,(t)=0 Vt€<r_(z*)

+ (t»-z*(e i))H-V>i(0i)]] + + (1 - 7j) [max{o,VI - i(x*(02),02)}u>i(02) +

v 0!, 02 e [о, г], Vl G m, rt e [o, 1]. (25)

Более детальное исследование двухточечного необходимого условия (25) проводится в параграфе 2.8. Это исследование разбивается на два случая. Получены обобщения условий Вейерштрасса, уравнений Эйлера в дифференциальной и интегральной формах:

F'z{t) + jT F' (г(т),г(т),т) dr + С jT (т) dr -

- Си>1 (*) -Сю о=0 Vt £ а0(г*). (26)

Условие (26) является обобщением "интегрального уравнения Эйлера".

В параграфе 2.9 приведена постановка негладкой задачи вариационного исчисления с ограничениями типа I(х(<), Ь) < 0. А именно, пусть

Т > 0 фиксировано и функция 1{х, Ь) непрерывна вместе с ——'■— по

ох

всем своим аргументам на Е х [0,Т]. Зафиксируем хо € К и х\ € Е-Положим

П = { х € ■Р1[0,Т] | х(0) = хо, х(Г)=хь 1{х(ги) < 0 V« € [0,Т]}.

(27)

Требуется найти х* € П, такое, что

/(х*) = ппп/(х). (28)

геп

Здесь функционал 1(х) тот же, что и в задаче (20).

В параграфах 2.10-2.11 приведены двухточечное необходимое условие, ряд следствий из него, обобщенное необходимое условие Вейер-штрасса и уравнения Эйлера. В частности, доказывается, что имеет место условие

+ £КШЛт),т) ¿Г-

-С £ (0^-^0 = 0 У*€<то(г*). (29)

Условие (29) является обобщением интегрального уравнения Эйлера.

В третьей главе рассмотрена вариационная задача с ограничениями сложной структуры. В параграфе 3.2 приведена постановка следующей задачи:

Зафиксируем уо,У1 6 К, такие, что г/о < Ух- Положим <0 = тт{0,уо}, ¿1 = шах{Т, ух} и введем множество функций

Я = | [у,и] € С1 [0,31 х ^МЛ 12/(0) = уо, У(Т) = уи

/ и(«)л = 1, /(у(0,»40.и(0.«(у(0).0 =°.

Jto

у'(0 >0У*е [0,Г], «(*) > О V« € [<о,<1](30)

Положим х = [у, и] и рассмотрим функционал

/(*) = 1(у,и) = »'(«).«(0.«МО),*) dt, (31)

Jo

где функции ^(у, у, и, й, () и 1(у,у,и,й, £) будем считать непрерывными

^ с^ дР с?/ д1 д1 д1 вместе с -7—, -7—, ——, ——, —, —, — и — по всем своим аргументам оу оу ои ой оу оу ои ои

на М4 х [0,Г].

Требуется решить следующую задачу: 1(х) —> пап.

В параграфе 3.3, после замены переменных, сформулирована эквивалентная постановка задачи. В этом же параграфе доказана их эквивалентность. Пусть

ио + / г2(т)<1т

•/¿о

/Ч "О -г i

y(t) = y0+ / eí,(r)dT, u(t) = е Jto Jo

где Zi € C[0,T], zi € C[ío,<i], щ € К, тогда имеем автоматическое выполнение следующих условий из (30):

У(0) = 2/о, y'(t) = ez,(í> > 0 Vi е [0,Т] и u(t) > 0 Vi е [f0,íi].

Множество Z можно представить в виде

Z={z = [zuz2,u0] G U | ф) = 0 }, (32)

где U = С[0,Т] х C[t0,t\) х Е,

Гт I1

/ hl{t,z)dt + ti¡(t0,h,z) + hl{T,z) , .Jo

h0(T,z):=y0-y1+ í e^dr, Jo

Ф) =

¡■ti u0 + z2(r)dr ii(t0,íi,2):= / e Jto dt-1,

Jto

«0 +

,e

/ 22(T)dr

Jt0

h2(t,z) :=i(y0+ í'^Mdr.e^", Jo

ГУо+Jó eM<,) dr

/ z2(r)dr

Jtn

Uo + e ^

Далее с помощью классической вариации получены выражения вариаций функционалов ¡р(г) и /(г).

В параграфе 3.6 представлены теоремы, при удовлетворении условий которых функция /(г) + Х<р(г) является функцией точного штрафа.

В последнем параграфе приведено необходимое условие экстремума. Это условие было использовано при построении численного алгоритма для поиска экстремалей.

В заключении приведен краткий обзор проделанных исследований, сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первом параграфе Приложения содержатся алгоритмы и методы решения задач, рассмотренных в третьей главе, а также приведены примеры. Во втором параграфе описан пример решения задач, исследованных во второй главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, следующие:

• приведены доказательства того, что в рассматриваемых задачах оптимизации к построенным штрафным функциям, полученным при сведении исходных задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации, применим аппарат теории точных штрафов;

• предложены способы построения точной штрафной функции в задачах, содержащих ограничения сложной структуры;

• выведены необходимые условия оптимума и на их основе описаны алгоритмы решения поставленных задач;

• для ряда классов вариационных задач с помощью двухточечной игольчатой вариации и теории точных штрафов, единообразным способом, получены новые условия экстремума, а также ряд известных результатов;

• созданы программы, реализующие предложенные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Тамасян Г. Ш. Негладкая задача вариационного исчисления с запаздывающим аргументом // Труды XXXII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2001.- С. 104-115.

2. Тамасян Г. Ш. Негладкая задача вариационного исчисления с запаздывающим аргументом // Тезисы докладов XIII международной конф. "Проблемы теоретической кибернетики". - Казань, 2002. - С. 174.

3. Тамасян Г. Ш. Точные штрафы в одной вариационной задаче с отклоняющимся аргументом // Труды XXXIII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2002.- С. 121-131.

4. Тамасян Г. Ш. Метод точных штрафов в вариационной задаче с отклоняющимся аргументом // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 1. 2003. Вып. 2 (№ 9). С. 66-75.

5. Тамасян Г. Ш. Применение точной штрафной функции и двухточечной игольчатой вариации в негладкой задаче вариационного исчисления // Тезисы докладов XII всероссийская конф. "Математическое программирование и приложения". - Екатеринбург, 2003. - С. 226.

6. Тамасян Г. Ш. Штрафные функции в негладкой задаче вариационного исчисления // Труды XXXIV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2003.- С. 114-121.

7. Тамасян Г. Ш. Игольчатые вариации в негладких задачах вариационного исчисления с переменным запаздывающим аргументом // Труды XXXV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2004.-С. 108-113.

8. Demyanov V.F., Giannessi F., Tamasyan G.Sh. Variational control problems with constraints via exact penalization // Preprints of International Workshop 'Variational Analysis and Applications". Erice (Sicily, Italy), June 20 - July 1, 2003. P. 1-36.

Подписано в печать 27.08.2004 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ 3324. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с ориганал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

Р15 6 6 1

Список основных обозначений

Введение

1 Негладкая задача вариационного исчисления с переменным запаздывающим аргументом

1.1 Постановка основной задачи с переменным запаздыванием

1.1.1 Постановка основной задачи

1.1.2 Эквивалентная постановка задачи

1.2 Постановка вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием

1.2.1 Постановка вспомогательной задачи

1.2.2 Эквивалентная постановка вспомогательной задачи.

1.3 Точная штрафная функция вспомогательной задачи с постоянным запаздыванием.

1.3.1 Точная штрафная функция

1.4 Игольчатая вариация функционала Фд.

1.4.1 Функционал Фа.

1.4.2 Игольчатая вариация функционала Ф\ при въ в2 е [О, Т - К).

1.4.3 Необходимые условия сильного экстремума

1.4.4 Исследование двухточечного необходимого условия

1.4.5 Игольчатая вариация функционала Фд при 9i е [О, Г - h), в2 б [Т - h, Т) и при

0i, в2 е [Т - h, т) . . . . •.

1.4.6 Необходимые условия сильного экстремума

1.4.7 Исследование двухточечного необходимого условия

1.5 Необходимые условия сильного экстремума

1.5.1 Необходимые условия экстремума.

1.6 Условие Лежандра-Клебша.

1.7 Условия Эрдмана-Вейерштрасса.

1.8 Необходимые условия для основной задачи с постоянным запаздыванием.

1.9 Необходимые условия экстремума для основной задачи

1.9.1 Двухточечное необходимое условие.

1.9.2 Необходимые условия сильного экстремума для основной задачи.

2 Негладкая задача вариационного исчисления с ограничениями типа x'(t) — l(x(t),t) < О ТО

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Эквивалентная постановка задачи.

2.4 Точная штрафная функция.

2.5 Игольчатая вариация функционала f(z).

2.6 Вариация функции (p(z).

2.7 Необходимые условия сильного экстремума

2.8 Исследование двухточечного необходимого условия

2.8.1 Случай первый.

2.8.2 Случай второй

2.9 Негладкая задача вариационного исчисления с ограничениями типа l{x{t),t) < 0.

2.9.1 Постановка задачи.

2.10 Необходимые условия сильного экстремума

2.11 Необходимые условия экстремума

3 Задача вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом

3.1 Введение.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Эквивалентная постановка задачи.

3.4 Локальные минимумы.

3.5 Свойства функции ip . .-.

3.5.1 Классическая вариация i.

3.5.2 Случай z Z.

3.5.3 Случай z-eZ

3.6 Точная штрафная функция

3.6.1 Свойства функции G

3.7 Необходимые условия экстремума

Вариационное исчисление имеет более чем трехвековую историю, является составной частью теории оптимизации и по сей день не стоит на месте. Сложные задачи, возникающие в механике, экономике, биологии и других науках, предъявляют все более жесткие требования, новые конструктивные методы решения. Благодаря развитию негладкого анализа появилась реальная возможность решать многие из этих задач, осмыслить предыдущий опыт, по-новому взглянуть и обобщить уже знакомые вещи. Большие возможности в развитии вариационного исчисления возникли в результате развития выпуклого анализа, теории минимакса, квазидифференциального исчисления.

В работах по гидродинамике JI. Эйлер заметил (см. [67], [43], [25], [2]), что на поведение жидкости в данный момент времени влияет ее поведение в предыдущие моменты времени, т.е. предыстория. Задачи, связанные с геометрией, привели Эйлера к изучению уравнений, в которых производная в текущий момент зависит от значений функции в предшествующие моменты. Аналогичные явления также были замечены в механике сплошных сред и в изучении полета электрона. Однако систематическое изучение свойств уравнений с последействием началось только с 1910 г., именно с работ О.А. Полосухиной, Э. Шмидта, Ф. Шюрера и Г. Хильба. Начиная примерно с 1937 г. почти одновременно Р. Беллманом, А.Д. Мышкисом, Е. Райтом эти изучения были связаны с потребностями прикладных наук и в первую очередь потребностями теории автоматического регулирования, а именно, с резким усложнением систем авто регулирования.

Известно, что электронная система передачи и обработки сигналов содержит емкости, индуктивности, трансформаторы с длинными проводами, по которым с конечной скоростью перемещается ток. Все это замедляет скорость реагирования системы по сравнению с реальным временем протекания процесса, например процесса работы другого электронного прибора.

Еще одним примером задержки сигнала в цепи обратной связи является ЭВМ, работающая как составная часть большой системы. Например, на космическом аппарате вычислительная машина, решающая большое количество задач, не способна обработать все сигналы сразу и мгновенно. И тогда приходится формировать управляющие воздействия со значительной задержкой.

Следующая задача оптимального управления приводится к рассматриваемым в диссертации задачам. Пусть управляемая система описывается уравнением с отклоняющимся аргументом вида x(t) = / (x(t),x(t - h), x(t -h),t) + cu(t), (0.1) где x(t) — функция, описывающая поведение системы, a u(t) — управление, действующее лишь на отрезке [О , Т].

При заданном управлении u(t) поведение системы (0.1) определяется, если задать начальную функцию на отрезке длиной h. Пусть известно поведение <p(t) системы (0.1) на отрезке'[—h, 0] и требуется так выбрать управление, чтобы в момент Т траектория движения проходило через заданную точку х\. При этом требуется минимизировать функционал

Условие (0.2) можно трактовать как требование о минимизации энергии, используемой для управления системой. Выражая u(t) из уравнения (0.1) и подставляя в функционал (0.2), приходим к задаче о минимуме функционала , оТ [x(t)~ f(x{t),x(t-h),x(t-h), t)]2 dt . (0.3)

Jo с краевыми условиями

Очевидно, что задержка сигнала происходит и в том случае, когда управление некоторыми техническими объектами ведется на большом расстоянии. При этом необходимо время на доставку сигнала управления к объектам.

В экономических системах отклоняющийся аргумент обычно содержится в управлении, и запаздывание управляющего сигнала может измеряться годами, а иногда и десятилетиями [35], [25].

Характерными примерами экономических задач с отклоняющимся аргументом (запаздыванием) в управлении являются задачи, в которых имеет

• запаздывание ввода в разработку производственных мощностей в зави

• задержки в пути, на складах, в производстве и т.д.

Все большее проникновения математики в социологию, медицину, биологию и другие разделы приводит к созданию математических моделей процессов. При этом многие из моделей содержат уравнения с последействием.

Проблемы поиска экстремума сложных целевых функций при наличии ограничений естественным образом появляются при решении самых разнообразных прикладных задач. Для численного решения задач оптимального управления не существует универсальных методов. Принцип максимума JI.C. Понтрягина [48] и метод динамического программирования Беллмана [3] являются мощными математическими методами для исследования задач оптимального управления. Диапазон прикладных задач, в которых эти методы

0.2) x(t) = ip(t) при t £ [-м]; х(Т) = хъ место: симости от выделенных ресурсов; нашли эффективное приложение, очень разнообразен. Заметим, что предположения о гладкости использовались существенно и входили в формулировки основных результатов теории оптимальности.

Существует большое количество практических задач, где как функционал качества, так и ограничения описываются негладкими функциями [12], [9], [14], [19], [53]—[59], [60], [63], [72], [73], [74], [37]. Такие задачи требуют разработки специальных методов исследования. Теория и методы исследования негладких функций получили в 70-х годах существенное развитие в работах Д. Варги, Дж. Данскина, В.Ф. Демьянова [48]—[69], А.Д. Иоффе [29], Ф. Кларка [33], Б.Ш. Мордуховича, Е.А. Нурминского, Б.Н. Пшеничного [49]—[50], Р. Рокафеллара [51], A.M. Рубинова [20], В.М. Тихомирова, В.В. Федорова [60], Н.З. Шора [63] и др. Одновременно с исследованием необходимых условий оптимальности в различных задачах теории управления шла разработка численных методов их решения. Здесь можно отметить наряду с выше указанными работы Ф.П. Васильева [6], Т.К. Виноградовой [8]-[9] и [37], H.JT. Григоренко, Ю.Г. Евтушенко, А.П. Жабко [25], В.И. Зубова [27]-[28], В.В. Карелина [37], Н.Е. Кирина, И.А. Крылова, В.В. Кулагина [37], А.Б. Куржанского, Н.Н. Моисеева [40], С.К. Мышкова [37], М.С. Никольского, Л.Н. Полякова [18] и [37], Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько [61] и др.

Одним из примеров задач оптимального управления с негладким критерием качества являются задачи на минимакс.

В работах [14], [9] для функционала

Гт

J (и) = max I д(х,и, z,r) dr, (0.4)

J0 где Z — компакт в ff, с использованием различных видов вариаций [20] управления были получены необходимые условия в форме поточечного, пакетного и интегрального принципов минимакса.

В [12] необходимые условия в виде принципа максимума для функционала (0.4) были получены с использованием техники, развитой А.Я. Дубовицким и А.А. Милютиным.

Как и при решении практических задач, так и в самой математике возникают задачи недифференцируемой оптимизации. В настоящее время численные методы решения задач оптимального управления даже с гладким функционалом строятся в основном на необходимых условиях оптимальности.

Приведем в качестве примера еще две минимаксные задачи оптимального управления, которые могут быть исследованы методами, рассмотренными в диссертации.

Задача об оптимальной стабилизации спутника. Следуя работе [61], рассматривается задача о торможении вращательного движения спутника при помощи установленных на нем двигателей. Минимизируемой величиной в задаче является тормозной импульс.

Движение спутника относительно его центра инерции в некоторых случаях можно рассматривать как вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и описывать это вращение динамическими уравнениями Эйлера dw do dv

А-£ + (С- B)qr = ai«i, + (А - C)rp = a2«2, С~ + (В - A)pq = o3u3.

0.5)

Здесь А, В, С — главные центральные моменты инерции, q, г — проекция угловой скорости на главные центральные оси инерции. В правых частях системы стоят моменты сил относительно этих осей.

Предполагается, что моменты создаются тремя двигателями, закрепленными на теле. Двигатели создают тяги щ, щ, щ; плечи приложения сил сц, «2, а3.

Предполагая, что в начальный момент тело вращается, запишем начальные условия для системы (0.5):

Р = Ро, q = qo, r = г0у при t = 0.

Задача заключается в определении управлений щ, и^ щ, затормаживающих к фиксированному моменту t = Т вращение спутника р = о, q = 0, г = 0, при t = Т и минимизирующих функционал (максимальный импульс)

Л ,

J = max I щ\ dt.

Wo

Второй пример. Математические модели автономных подводных морских подвижных объектов (МПО). Данная задача более подробно изучена в работе [7]. Рассмотрим полную систему, представленную в виде x = F(xiS,fout), ' (0.6) где х — полный вектор состояния МПО, fout — вектор внешних сил и моментов, не зависящий от вектора х, S — вектор состояния исполнительных органов системы управления. Наряду с объектом (0.6), введем в рассмотрение математическую модель динамики приводов:

8 = Fs(6,u), (0.7) а также некоторую конкретную математическую модель алгоритмов автоматического управления, т.е. уравнения законов управления и = L(x, 5,t),

0.8) где через и обозначен вектор управляющих сигналов, а через L — некоторый оператор, заданный на движениях МПО и приводов, и в общем случае зависящий от времени. В частности, в качестве (0.8) можно принять уравнения некоторых упрощенных тестовых законов управления.

Рассмотрим какое-либо определенное движение x(t) МПО, удовлетворяющее замкнутой системе управления (0.6)-(0.8) при определенных начальных условиях ж(0) = хо, (5(0) = So и определенных внешних воздействиях font = f(t)

Теперь введем в рассмотрение упрощенную по отношению к (0.6) математическую модель МПО, которую мы представим в виде системы дифференциальных уравнений xs = Fs(xs, 6, font, к), (0.9) где через xs обозначен вектор такой же размерности, что и х, определяющий состояние полной математической модели (0.6) объекта управления. Выбор вектор функции Fs определяется заданием структуры уравнений упрощенной системы.

При выбранной структуре, а следовательно — при заданном виде вектор-функции Ps, необходимо указать те числовые параметры, назначения которых регулируют меру адекватности упрощенной модели по отношению к исходной. В уравнениях (0.9) эти параметры объединены в вектор к G Мр, который подлежит выбору на последующем этапе упрощения.

Выбор вектора к Е Жр настраиваемых параметров упрощенной модели осуществляют в процессе решения задачи идентификации, существо которой сводится к следующему. Зафиксируем некоторый вектор к и найдем движение xs(t, к) МПО в замкнутой системе (0.9), (0.7), (0.8) при тех же начальных условиях жв(0) = xq, <5S(0) = (50 и внешних воздействиях font — f{t), при которых строилось движение x(t) в системе с моделью МПО (0.6). Введем вектор e(t,k) = x(t) — x(t,k) невязки между двумя рассмотренными движениями МПО, удовлетворяющими исходной и упрощенной системам, соответственно. В качестве числовой характеристики невязки, можно принять следующее выражение

I(k) = max I \xi(t)-xi(t,k)\dt (0.10) i=l:n J о

Очевидно, что качество представления динамики МПО с помощью ее упрощенной модели будет тем выше, чем меньше величина 1(к). В связи с этим ставится следующая оптимизационная задача

1(к) —>• min, кеПк где через обозначено допустимое множество настраиваемых параметров.

Допустимое множество, в простейшем варианте, представимо в виде: {к Е | kji < kj < kj2, j = 1 : р} .

Здесь величины kji, kj2, ограничивающие искомые параметры снизу и сверху, задаются заранее из физических соображений.

Вариационные методы и принципы играют важную роль во многих разделах механики, математической физики и прикладной математики [61]. Интерес к вариационным задачам объясняется рядом причин: многие фундаментальные законы механики и физики имеют характер вариационных принципов; в теории управления вариационные формулировки возникают при требовании оптимальности управляемого процесса; вариационные методы часто оказываются эффективным средством численного решения разнообразных задач.

В начале развития теории оптимизации применялись простейшие вариа-, ции — вариации по направлениям [21], [22], [29]. Так были получены необходимые условия в задачах конечномерного анализа и в классическом вариационном исчислении. Помимо вариаций по направлениям, в вариационном исчислении применялись вариации иной природы, метод локальных вариаций [61]. Вейерштрасс для вывода необходимых условий сильного экстремума применял вариации, получившие название "игольчатых" [11], [69]. В теории оптимального управления использование игольчатых вариаций позволило получить новые условия ("принцип максимума" JI. С. Понтрягина [48]). Ниже применяется двухточечная вариация игольчатого типа (компенсирующая вариация см. [16], [15]), с помощью которой удается получить необходимые условия , пригодные и для исследования некоторых негладких задач вариационного исчисления (см. [53]-[59]).

В настоящей работе изучается задача нахождения экстремальных значений функционала / на множестве Q метрического пространства X. Такая задача называется задачей условной оптимизации [15]. В данной работе реализуется следующая общая схема решения задачи условной оптимизации (случай Q ф X). Задача нахождения экстремума функционала / на множестве Q сводится к задаче оптимизации некоторого (вообще говоря, отличного от /) функционала на всем пространстве X. Указанное сведение проводится с помощью точных штрафных функций. Присутствующий в точной штрафной функции неизвестный множитель Л при помощи двухточечной "компенсирующей" вариации игольчатого типа "исчезает".

Разработанный аппарат позволяет не только вывести единообразным и стандартным способом большинство известных классических результатов вариационного исчисления, но и получить "новые" условия в форме, допускающей их конструктивную реализацию. В качестве других применений изложенного подхода, не описанных здесь, отметим задачи теории оптимального управления как с гладкими, так и негладкими функционалами.

Содержание диссертационной работы включает в себя данное введение, список основных обозначений, три главы, содержащих основные результаты, приложения, списка литературы из 75 наименований и имеет общий объем 149 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные в диссертации результаты являются развитием теории оптимизации в задачах вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом и содержащих ограничения сложной структуры. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней предложены математические методы и вычислительные алгоритмы на основе аппарата теории точных штрафов, с помощью которых можно существенно повысить эффективность решения достаточно сложных задач оптимального управления движением динамических объектов. При этом очевидна и практическая направленность работы, состоящая в применении полученных теоретических результатов для решения специфических задач, возникающих в практике исследования и проектирования систем управления движением динамических объектов. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на решение проблемы реализуемости, как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения. Результаты работы подтверждаются теоретическими данными и совпадают с известными ранее результатами, полученными для ряда частных случаев. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широко доступных вычислительных средств типа ЭВМ.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

1. приведены доказательства того, что в рассматриваемых задачах оптимизации к построенным штрафным функциям, полученным при сведении исходных задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации, применим аппарат теории точных штрафов;

2. предложены способы построения точной штрафной функции в задачах, содержащих ограничения сложной структуры;

3. выведены необходимые условия оптимума и на их основе описаны алгоритмы решения поставленных задач;

4. для ряда классов вариационных задач с помощью двухточечной игольчатой вариации и теории точных штрафов, единообразным способом, получены новые условия экстремума, а также ряд известных результатов;

5. созданы программы, реализующие предложенные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.

1. Абанькин А.Е. О точных штрафных функциях j j Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 1991. Вып. 3 (№15). С. 3-8.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.

3. Беллман Р. Динамическое программирование. Пер. с англ.- М., Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

4. Бертсекас Д. Условная минимизация и методы множителей Лагранжа. М., Радио и связь, 1987. 400 с.

5. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950. 315 с.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

7. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., Погожее С.В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.-370 с.

8. Виноградова Т.К. Минимаксная задача с запаздывающим аргументом// Математические вопросы анализа негладких моделей/ Под ред. В.Ф. Демьянова. — СПб: Издательство С.-Петербургского ун-та, 1995. С. 183189. (Вопросы механики и процессов управления; Вып. 16).

9. Виноградова Т.К., Демьянов В.Ф. О принципе минимакса в задачах оптимального управления // Докл. АН СССР, 1973. Т. 213, № 3. С. 748-751.

10. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск, Изд-во БГУ, 1975. 280 с.

11. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.

12. Турин Я.Т., Столярова Е.М. Принцип максимума в одной минимаксной задаче j j. Журнал вычисл. мат. и мат. физики. 1973. Т. 13, № 5. С. 11751185.

13. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. Ленинград: ОГИЗ, 1941.

14. Демьянов В.Ф. Пакетный принцип минимакса // Вестник ЛГУ. 1976. № 19. С. 35-39.

15. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационные задачи. СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2000. 136 с.

16. Демьянов В. Ф. Игольчатые вариации в негладких задачах вариационного исчисление // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1991. Вып. 2 (7). С. 16-21.

17. Демьянов В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации // Вестник СПбГУ, Сер. 1. 1994. Вып. 4 (22). С. 21-27.

18. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука. 1981. 383 с.

19. Демьянов В. Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972, 368 с.

20. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука. 1990. 432 с.

21. Дорофеева А.В. Развитие вариационного исчиления как исчисление вариаций. — Историко-математичексие исследования. — 1961. — № 14. — с 101-180.

22. Дорофеева А.В. Вариационное исчиление во второй половине 19 в. — Историко-математичексие исследования. — 1963. — № 15. — с 99-128.

23. Еремин И. И. О методе штрафов в выпуклом программировании j j Тез. междунар. матем. конгр. Секция 14. М., 1966.

24. Еремин И.И. Метод "штрафов" в выпуклом программировании // Докл. АН СССР, 1967. Т. 143, № 4. С. 748-751.

25. Жабко А. П., Зубов Н. В., Прасолов А. В. Методы исследования систем с последействием. — Ленинград, 1984. — Деп. в ВИНИТИ, №2103-84.

26. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: Советское радио, 1973.

27. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959.

28. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

29. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

30. Каменский Г. А. Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения, № 8, том VI, 1970. С. 13491358.

31. Канторович Л. ВАкилов Г. П. Функциональный анализ. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

32. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980. 256 с.

33. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

34. Колмогоров АН., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

35. Кривенков Ю.П., Шабунин М.И. Оптимальная задача с отклоняющимся аргументом в управлении// Материалы второй всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968.

36. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. М., 1950.

37. Математические вопросы анализа негладких моделей/ Под ред. В. Ф. Демьянова.— СПб: Издательство С.-Петербургского ун-та, 1995. (Вопросы механики и процессов управления; Вып. 16).

38. Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике. M.-JI.: Гостех-издат, 1950. 428 с.

39. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

40. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 с.

41. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Успехи мат. наук. — 1949. — Т. 4, № 5.

42. Мышкис АД. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дополнительный библиографический материал // Успехи мат. наук. 1950. — Т. 5, № 2, с. 148-154.

43. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Москва-Ленинград: ТТЛ, 1951.

44. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

45. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

46. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

47. Полякова JI.H. О методе точных штрафных квазидифференцируемых функций. // Ж. вычиел. матем. й матем. физики. 2001. Т. 41. № 2. С. 225238.

48. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

49. Пшеничный Б.Я. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969. 151 с.

50. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 320 с.

51. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 472 с.

52. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. I-III т. СПб.: Изд во "Лань", 1997.

53. Тамасян Г. Ш. Негладкая задача вариационного исчисления с запаздывающим аргументом // Труды XXXII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2001,- С. 104-115.

54. Тамасян Г. Ш. Негладкая задача вариационного исчисления с запаздывающим аргументом // Тезисы докладов XIII международной конф. "Проблемы теоретической кибернетики". Казань, 2002. - С. 174.

55. Тамасян Г. Ш. Точные штрафы в одной вариационной задаче с отклоняющимся аргументом // Труды XXXIII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2002.- С. 121-131.

56. Тамасян Г. Ш. Метод точных штрафов в вариационной задаче с отклоняющимся аргументом // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 1. 2003. Вып. 2 (№ 9). С. 66-75.

57. Тамасян Г. Ш. Применение точной штрафной функции и двухточечной игольчатой вариации в негладкой задаче вариационного исчисления // Тезисы докладов XII всероссийская конф. "Математическое программирование и приложения". Екатеринбург, 2003. - С. 226.

58. Тамасян Г. Ш. Штрафные функции в негладкой задаче вариационного исчисления // Труды XXXIV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2003. С. 114-121.

59. Тамасян Г. Ш. Игольчатые вариации в негладких задачах вариационного исчисления с переменным запаздывающим аргументом // Труды XXXV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2004. С. 108113.

60. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 278 с.

61. Черноуско Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 236 с.

62. Шмелев В.В. Точные штрафные функции в линейном и целочисленном программировании // Автомат, и телемех., 1992. № 5. С. 106-115.

63. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наук.думка, 1979. 199 с.

64. Элъсголъц Л. Э. Вариационные задачи с запаздывающим аргументом // Вестн. МГУ, № 10, 1952. С. 57-62.

65. Элъсголъц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М., 1955. 300 с.

66. Элъсголъц Л. Э. Вариационные задачи с запаздывающим аргументом // УМН, 12, вып. 1 (73). С. 257-258. 1957.

67. Элъсголъц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. 128 с.

68. Элъсголъц Л. Э. Вариационные задачи с отклоняющимся аргументом с подвижными границами // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, том III. С. 239-241. 1965.

69. Элъсголъц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.

70. Элъсголъц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1971.

71. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

72. Demyanov V.F. Constrained problems of Calculus of Variations via penalization Technique. In: Equilibrium Problems and Variational Models. Eds. A Maugeri, F Giannessi, Kluwer Academic Publishers, 2003. pp. 79-108.

73. Demyanov V.F., Giannessi F. Variational problems with constraints involving higher-order derivatives. In: Equilibrium Problems and Variational Methods. Eds. P Daniele, F Giannessi, A Maugeri, Kluwer Academic Publishers, 2003. pp. 109-134.

74. Demyanov V.F., GiannessiF., Tamasyan G. Sh. Variational control problems with constraints via exact penalization // Preprints of International Workshop "Variational Analysis and Applications". Erice (Sicily, Italy), June 20 July 1, 2003. P. 1-36.

75. Hiriart-Urruty J.В., Lemarechal C. Convex analysis and Minimization algorithms I, II. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 420 p., 348 p.