Условия экстремума в негладком анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

4856845

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукоииси

АББАСОВ Меджид Эльхан оглы Условия экстремума в негладком анализе

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

1 з ОНТ 2011

4856845

Работа выполнена па кафедре математической ч торн и моделирования систем управления факультета прикладной математнки-нроцессов управления Салкт-Петсрбургекого государственного университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ.

чок гор физико-математических наук, профессор Демьянов Владимир Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дудов Сергей Иванович Саратовский Государственный Университет имени II. Г. Чернышевского

кандидат физико-математических наук, доцент Моисеев Игорь Анатольевич Санкт-Петербургский Государственный Университет

Ведущая организация: Институт математики н механики (ИММ) Урань-ского отделения I'А 11 (г. Екатеринбург).

Защита состоится сЦ; CV^Sc^ 20.11 г. в it часов на заседании диссертационного совета Д.212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций нри Санкт-Петербургском государственном универси тете по адресу: 199034, Санкт-Петербург. B.C.. Средний пр., д. 41/43, аудитория

SI. '

С диссертацией можно ознакомиться. в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт- Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «_ f? 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор фнз.-мат. наук, профессор у/^' В.Д.Ногнн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Около трех веков н математике безраздельно правил классический гладкий анализ, однако новые, нее более усложняющиеся задачи, решаемые научным сообществом со второй нолошшы XX века, все чаще требовали использования негладких функций. Такого рода возникающие проблемы пытались решать, аппроксимируя негладкие функции с некоторой степенью точности гладкими. Но скоро стало очевидно, что такие аппроксимации пе могут быть применены для изучения существенно негладких свойств иедиффсреи-цирусмых функций (таких, как например нахождение нескольких направлений наискорейшего спуска пли подъема), хотя они и позволяют приближенно находить точки экстремума. Поэтому этот подход хотя и помогал эффективно решать ряд задач, не смог обеспечить растущих потребностей исследователей и представлял собой по существу «бегство» от пегладкости.

Негладкий анализ занимается изучением свойств функций, пе имеющих производной в «классическом смысле», а также множеств, порожденных этими функциями. Можно считать, что научное направление «негладкий анализ» сформировалось в середине XX века в продолжение идей классического гладкого анализа, хотя задачи из этой отрасли математики были поставлены и решены еще П.Л.Чебышевым. Первыми подробно изученными классами иедифферспцнрусмых функций явились выпуклые функции и функции максимума. Было показано, что эти функции являются дифференцируемыми по направлениям, откуда, опираясь па производную по направлению, удалось получить локальные аппроксимации таких функций. Днффсренцнрусмость по направлениям негладких функций изучалась в работах Д.Дапскииа, В.Ф. Демьянова, И.В. Гнрсанова, а также С. И. Дудона, Л. И. Минченко. Появилась возможность поиска направлений спуска л подъема, а, значит и построения новых оптимизационных алгоритмов, что повлияло на развитие математического программирования (см., например, работы Ф.П. Васильева, Б.Т. Поляка).

Эти исследования нашли свое отражение в работах В.В. Гороховика, В.Ф. Демьянова, Ф. Кларка, В.Н. Малоземова, Б.Ш. Мордуховича, Б.Т. Поляка, Л.Н. Поляковой, Б.Н. Пшеничного, Р. Рокафеллара, A.M. Ру-бипова, В.М. Тихомирова, Н.З. Шора и многих других математиков и

привели к развитию теории мшшмакса и выпуклого анализа. Изучение этих классов функции привело к появлению понятия субдиффереициала - обобщению «классического» градиента: в точках гладкости субдифференциал совпадает с градиентом, а в точках существенной негладкости (то есть таких, в которых не существует «обычной» производной) субдифферепцнал превращается в выпуклый компакт. Изучению субдиф-ферепциалов в абстрактных пространствах посвящены работы А.Г. Ку-сраева и С.С. Кутателадзе. Оказалось, что необходимым условием безусловного минимума является принадлежность пуля субдифферснциа-лу, а направление наискорейшего спуска есть вектор, направленный от этого множества к началу координат, вдоль которого достигается минимум расстояния от субдиффереициала до нуля. Было разработано исчисление, руководствуясь которым можно достаточно просто находить субднфференциалы. Открытие этих объектов повлияло и на развитие математического программирования - появилась возможность строить новые численные методы оптимизации. Успехи в этой области заставили задуматься о поиске обобщений понятия субднффсрепциала па случай более широкого класса функций. Одной из наиболее успешных попыток в этом направлении явились субдифферепцнал Шора и его выпуклая оболочка - субдиффереициал Кларка. Введение этих понятий позволило изучать произвольные лшшшцевые функции, но применение этих объектов на практике оказалось затруднительным - они не позволяли получать аппроксимацию функции в точке, давая возможность лишь проверять условия экстремума в ней. Известны и другие попытки, не лишенные указанного недостатка. Среди них субдифферепцнал Морду-ховича, субдифферепцнал Мишеля-Пеио, приближенные и геометрические субднфференциалы Иоффе, контейнеры Варги. Авторы этих обобщений субдиффереициала опирались, как правило, не па производную по направлению, а на некоторые иные конструкции. Кроме того, само построение этих объектов вызывало трудности. Поэтому исследователям пришлось искать компромисс между простотой вычисления объекта и мощностью класса функций, которые этот объект обслуживает. В работах В.Ф. Демьянова и A.M. Рубипова было введено понятие квази-дифферепциала, позволившее получать положительно однородные аппроксимации функции в окрестности точки. Квазидпфферепциалы явились полезным объектом для исследования негладких функций - с их помощью удалось выразить условия экстремума, находить направления

спуска и подъема, а следовательно н строить численные методы оптимизации. Но, как выяснилось, квазндпфферепциалыюе отображение ис является непрерывным, из-за чего возникают трудности со сходимостью численных методов, построенных па его базе. Для того, чтобы избавиться от этого недостатка, были введены кодпфферернциалы, позволившие получать аппроксимации функции в окрестности точки в виде суммы максимума и минимума аффинных функции. Кодифферепциалы сохранили преимущества киазиднфферерпциалов (они так же просто вычисляются, множество кодифференцируемых функций совпадает с множеством квазпдиффереицируемых функций), но ради непрерывности пришлось пожертвовать положительной однородностью. Введение кодифферепци-алов позволило строить более совершенные численные методы. Следующим естественным желанием было расширить класс изучаемых функций и попытаться применить хорошо зарекомендовавший себя аппарат кодифферснцнндыюго исчислении к более широкому классу функций. Далее были введено понятие кодифферснциалов второго порядка, изучением которых занималась Э. Капрари. Все это привело к появлению новых инструментов в негладком анализе - коэкзостеров и, явившихся промежуточным этапом па пути к ним, экзостеров. Б.Н. Пшеничным было введено определение верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций (в.в.а. и н.в.a.). A.M. Рубиновым было предложено рассматривать исчерпывающие семейства в.в.а и п.в.а. Демьянов В.Ф. сформулировал определения экзостеров (являющихся обобщением квазидифференциалов), а затем и коэкзостеров (являющихся обобщением кодифферснциалов) и развил теорию этих объектов.

Целью диссертации является дальнейшее развитие теории экзостеров и коэкзостеров и их применение к решению новых возникающих задач.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что она является дальнейшим развитием исследований в области аппроксимаций негладких функций с помощью аппарата экзостеров и коэкзотеров, впервые условия экстремума выписываются в терминах несобственных экзостеров и коэкзостеров. Эти результаты обобщают результаты В.А. Ро-щнпой. Кроме того, в диссертации обобщается теорема A.M. Рубннова о существовании экзостеров.

Практическая значимость работы определяется тем, что в ней получены условия экстремума, которые могут быть использованы при

конструировании новых оптимизационных алгоритмов. Кроме того, как уже упоминалось, класс функций, имеющих коэкзостеры, является более широким, чем класс кодиффереицируемых функций. Поэтому приведенное в работе обобщение численного метода мпмпимизации негладких функции представляет отдельный интерес.

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:

о доказано существование обобщенных экзостеров для произвольных функций, заданных и ограниченных на единичной сфере,

о получены новые условия экстремума в терминах несобственных экзостеров,

о получены условия экстремума кусочно-линейных функции, о выведены условия экстремума в терминах коэкзостеров, о с помощью аппарата коэкзостеров обобщен метод кодифферепци-ального спуска для минимизации негладких функций, и доказана его сходимость,

о построено исчисление коэкзостеров второго порядка.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на II международной конференции «Control and Optimization with Industrial Applications» (Баку, 2-4 июня 2008 г.), Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 80-летшо В.И. Зубова (г. Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г.), Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения» Уро РАН (Екатеринбург, 28 февраля - 2 марта 2011 г.), XXXVIII, XXXIX, XL, XLI конференциях «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2007 г., апрель 2008 г., апрель 2009 г., апрель 2010 г.), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления (факультет прикладной математики - процессов управления, СПбГУ).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 печатных работ, две из которых в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, заключения, списка обозначении и списка литературы. Определения, утверждения, теоремы, примеры, замечания иуме-

руются i! соответствии с главой, параграфом, i¡ которых они находятся. Следствия нумеруются и соответствии с теоремами, к которым они относятся. Объем работы составляет 112 страниц. Список литературы включает 73 наименовании, 17 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится обзор литературы по теме работы, обсуждается актуальность исследования, его теоретическая и практическая ценность, научная новизна.

В первой главе даются основные определения из выпуклого анализа, кратко излагаются некоторые сведения из негладкого анализа, используемые в следующих главах. Здесь также дается определение производных Дшш и Адамара и формулируются условия экстремума в терминах этих производных. Пусть / : X —» К, где X С К" — открытое множество. Функция / называется дифференцируемой по направлениям но Дини (D-д.н.и.) в точке х £ X, если для всех g € R" существует конечный предел

/b(i,g) = lim i[/(a: +-/(а:)], «iu а

В этом случае имеет место разложение

f(x + g) = f(x) + f'D{x,g) + ox{g),

где

ЦшОхМ=0 v5eM". (1)

«10 а

Функция / называется дифференцируемой по направлениями по Адама-ру (Я-д.п.н.) в точке х е X, сели для всех g 6 К'1 существует конечный предел

f'H(x,g)= lim ~[f(x + ag')~ f(x)}. Кя'Н+М а

В этом случае имеет место разложение

f{x + g) = f{x) + f'H{x,g) + ox{g),

где

lim = ü VgG К". (2)

II® IM I Iff 11

Для того чтобы точка xt была точкой глобального или локального минимума / на X, необходимо, чтобы f'D(xt,g), f'H{xt,g) > 0 Уд £ R". Точки, в которых выполнено необходимое условия минимума, называются inf-стацнонарпыми. Условие Рн{х*,д) >0 Уд € К" является достаточным условием строгого локального минимума функции / па X.

Для того чтобы точка xt была точкой глобального или локального максимума / на X, необходимо, чтобы f'D(xt,g), f'tI{xt,g) <0 Уд 6 R". Точки, в которых выполнено необходимое условия максимума, называются аир-стационарными. Условие f'H(xt,g) <0 Vg G R" является достаточным условием строгого локального максимума функции / па X.

В главе 2 вводится понятие обобщенных экзостеров: пусть / : X —> R, где X С Мп — открытое множество. Будем говорить, что у функции / в точке х существует верхний экзостер Е*{х) в смысле Диии, если имеет место разложение

fix + д) = f(x) + inf sup(v, д) + ох(д),

СеЕ-(х) „еС

где ох(д) удовлетворяет (1), а Е*(х) - семейство выпуклых множеств в Ж". Если ох(д) удовлетворяет соотношению (2), то Е*(х) будем назвать верхним экзостером в смысле Адамара.

Будем говорить, что у функции / в точке х существует нижний экзостер Е,(х) в смысле Дипи, если справедливо разложение

!{х + д)= f{x) + sup inf (v, д) + ох{д),

СеЕ.(х) "еС

где ох(д) удовлетворяет (1), a Et(x) - семейство выпуклых множеств в R". Если ох(д) удовлетворяет соотношению (2), то Et(x) будем назвать нижним экзостером в смысле Адамара.

Особо обсуждаются условия, при которых справедливы разложения

f(x + д) = f(x) + min max (г;, д) + ох(д),

СеЕ'(х) veC

f(x + д) = f{x)+ max m\n(v, g) + ox{g),

CeE,(x) veC

а верхний E"(x) и нижний Et(x) экзостеры представляют собой семейство выпуклых компактов из R".

Доказывается теорема существования обобщенных экзостеров:

Теорема 1 Пусть функция h(g) задана и ограничена на единичной сфере S — {д 6 R"|||g|| = 1}. Для каждого р 6 S строим множество

C(p) = {j;eR"|(r,p)<ft(p)}.

Тогда имеет место представление

h(g) = inf sup (v,g) = inf sup(v,g), l'€bv£C(ii) C-e£*(x)vec;

где

E* = {C{p)\p es}.

Теорема 2 Пусть функция h(g) задана и ограничена па единичной сфс-рс S = {<? € К"|||з|| = 1}. Для каждого р Е S строим множество

С(Р)= {v&Rn\(v,p)>h(p)}.

Тогда имеет место представление

h(g) = sup inf {v,g)= sup inf (v, g),

pes vdC(p) C€E.(x)v<=c

где

E, = {C(p)|p€ 5}.

Далее выписываются условия экстремума в терминах несобственных экзоетеров. Эти результаты обобщают результаты В.А. Рощипой.

Теорема 3 Для того чтобы h(g) = max min(v,g) > 0 для любого

С€Е,(х) vec

g 6 К", где Е*{х) - семейство выпуклых компактов в R", необходимо и достаточно, чтобы в замкнутом положительном полупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства Et(x), т. е. для любого g € М" должно существовать С £ Е,(х) такое, что для всех v е С справедливо неравенство {v,g) > 0.

Теорема 4 Для того чтобы h(g) = sup inf (и, g) > 0 для любого

СеЕ.(х)v€C

g € R" \ {0,,}, где Et(x) - семейство выпуклых множеств о К", необходимо, а если каждое из множеств, входящих в Е,(х), замкнуто и

ограничено, то и достаточно, чтобы в открытом положительном полупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства Et(x), то есть для любого g 6 К" \ {0,,}, должно существовать С € Е,(х) такое, что для любого »£С будет (v,g) > О.

Теорема 5 Для того чтобы h(g) = min max(v,g) < Ü для любого

СеЕ'(х) vec

g € К", где Е*{х) - семейство выпуклых компактов ö К", необходимо и достаточно, чтобы в замкнутом отрицательном полупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из мно'жеств семейства Е,(х), т. е. для любого g £ R" должно существовать С € Et(х) такое, что для всех V 6 С справедливо неравенство (v,g) < 0.

Теорема 6 Для того чтобы h(g) = inf aup(v, g) < 0 для любого

С€Е'(х) „€с

g G К" \ {0,,}, где Е*(х) - семейство выпуклых множеств в Ж", необходимо, а если каэюдое из множеств, входящих в Е*(х), замкнуто и ограничено, то и достаточно, чтобы в открытом отрицательном полупространстве, порожденном произвольной гиперплоскостью, проходящей через нуль, всегда лежало целиком хотя бы одно из множеств семейства Е*(х), то есть для любого g 6 К" \ {0,,} должно существовать С 6 Е*(х) такое, что для любого v G С (v,g) > 0.

Очевидно, если h(g) - производная Дини, то теорема 3 (5) дает необходимые условия локального минимума (максимума) в терминах нижнего (верхнего) экзостера.

Если же h(g) - производная Адамара, то теорема 4 (б) дает достаточные условия строгого локального минимума (максимума) в терминах пахшего (верхнего) экзостера.

Далее показывается разрывность экзостериого отображения. Это оказывает отрицательное влияние па сходимость численных методов, построенных с использованием условий экстремума в терминах экзостеров. Чтобы обойти указанные трудности, в главе 3 вводится понятие коэк-зостера, позволяющее выделить класс функций, имеющих непрерывное коэкзостерпое отображение. Итак, пусть х G X и функция / непрерывна в точке х. Будем говорить, что в точке х у функции / существует

верхний коэкзостер в смысле Дшш, если имеет место разложение

f(x + g) = f(x)+ min max [а + (v,g)\ + ох{д), (3)

сеЕ(х) [ii.^jec

где Е(х) - семейство выпуклых компактов в R"+1, а ох(д) удовлетворяет (1). Если Ojj(g) и (3) удовлетворяет (2), то будем говорить, что в точке х у функции / существует верхний коэкзостер в смысле Адамара.

Множество Е(х) называется верхним коэкзостером функции / в точке х.

Будем говорить, что в точке х у функции / существует нижний коэкзостер в смысле Дшш (Адамара), если имеет место разложение

f{x + д) = }{х) + max min [b + (и, g)] + ox(g), (4)

CeE(x) [ii,w]eC

где E_(x) - семейство выпуклых компактов в R"+1, а ож(д) в (4) удовлетворяет (1) ((2)). Множество Е_(х) называется нижним коэкзостером функции f в точке х.

Затем формулируются и доказываются необходимые условия экстремума в терминах коэкзостеров.

Теорема 7 Пусть у функции f существует верхний коэкзостер в точке х*. Для того чтобы х* была точкой минимума функции / на R", необходимо, чтобы

0„+1 € С У Се Е*(х*),

где

Е*{х) = {С е Ё(х) | max а = 0}.

[о,«]е С

Теорема 8 Пусть у функции f существует нижний коэкзостер в точке х*". Для того чтобы х** была точкой максимума функции / на R", необходимо, чтобы

0„+1€С VC е

где

Et(x) = {С е Е(х) | min b = ü}.

Далее выводятся новые условия экстремума кусочно-линейных функций и па их основе получаются условия экстремума в терминах коэкзо-стсров.

Теорема 9 Если функция / имеет в точке хц нижний коэкзостер Е(хц) и

УдвЬЭСе Е(хи) : (z,g) > 0 Vz е С,

где

¿ = |Ы|<«5, 5 > 0},

то точка хц является inf-стационарной.

Теорема 10 Если функция / имеет в точке х0 нижний коэкзостер Е(ху) и

С€Е(х)

где

S(C) = {ff6 R"+1| (ff,2)>0VzeC},

= {M e K"+1| a > 0, V 6 Ds(0)}, a S > 0, то точка Хц является rni-стационарной.

Теорема 11 Если функция / имеет в точ?се Хд верхний коэкзостср Е{хо) и

Vg £ L ВС € Ё(х) : (z,g) < 0 Vz <= С,

где

¿ = {МеГ'+1|эеЯ", |Ы|<5, 5 > о},

то точка хи является sup-стационарной.

Теорема 12 Если функция / имеет в точке хц верхний кожзостер Е{х0) и

у

СеЕ(х)

где

K{C) = {g 6R"+1| (s,z)<0VzeC}, = {[o,v] € К"+1| о > 0, v G Д4(0)}, а 5 > 0, то точка х0 является sup-стационарной.

Предлагается численный метод папскорейшего коэкзостерпого спуска, обобщающий метод наискорейшего кодпффермщиалыюго спуска предложенный В.Ф. Демьяновым, и доказывается его сходимость. Пусть у функции / : К" —> К в точке х имеет место разложение

f(x + Д) = j(x) + min max [а + {v, Д)] + ох(Д),

шбп [<i,i>]e6\,(x)

где

lim = о для любого Д е К",

«[и а

О - множество индексов из некоторого пространства. Сы(х) для любого weil - выпуклые компакты в R"+1. Множество Е(х) = {Сш(ж)| ш е Г2} есть верхний коэкзостер в смысле Дшш функции / в точке х.

Выберем некоторые ß > 0, е > 0. Пусть построено хк. Если в точке хк выполнено необходимое условие минимума (см. теорему 7) 0,l+i £ для любых lü 6 Q : шах а = 0, то хк - inf-стационарная точка и

процесс завершается. В противном случае существует ш 6 Г2, такое что

max а = 0, по 0,l+i ф С^(хк). Определим [п,и]еСЬ( ц.)

ЦДя*.-) = G Ü : max а < ц, ü,l+i ^

[л,«]есш(ц.)

4= max min ||г||, (5)

wSSlM(xt) геСи(ц.)

iV(ii) = {w 6 fi : шах а </i, min ||г|| > <4 — е}.

[и,«lectin-) 1еСш(хк)

Очевидно, множество П1К(хк) не пусто, так как ему всегда принадлежит индекс множества, на котором достигается максимум dt1!а (5)- Для каждого ü; £ (хд.) строим

min ||z|| = Цл/щЦ, = {г/^; гА.г}, г/к; 6 Ж, <= R", и определяем следующую итерацию так:

f(xk+i) = min min }(хк - azka) = - akzk), üe!!,,t(n) ">u

«it+i = xk- akzk.

При этом

I(xk+1) < Да:*).

Теорема 13 (о сходимости метода) Пусть множество Р = {.т £ }{х) 5: /(^и)} ограничено, х* - предельная точка последовательности {х/;}, функция ог(Д) = о(х,А) удовлетворяет условию

о(х, аЛ) „ .

шп- = и равномерно из некоторой окрестности х по Д из

«10 а

5 = {Д £ К", ||Д|| = 1}. Предположим также, что отображение Сш(х) непрерывно в метрике Хаусдорфа для любого и> £ Я Тогда х* --стационарная точка.

Главе 4 посвящена изучению коэкзостеров второго порядка. Рассмотрим функцию /: X —> К, X С К" - открытое множество. Будем говорить, что в точке х функция / имеет верхний коэкзостср (в смысле Дини) второго порядка, если справедливо представление

f(x + Д) = f(x) + min max Ce£(z) [n,M]eC

<Ц>,Д) + ^(Д,АД)

+ o(A2), (6)

где

ИтЩ?1 = 0 УДе К",

«Ю а1

Е(х) - семейство выпуклых компактов и 1 х 1" х Кпхп. Если в (6)

Пт £(1М1 = 0 ЦД1Н" ||Д|Г2 '

то говорят, что в точке х функция / имеет верхний коэкзостср (в смысле Адамара) второго порядка.

Множество Е{х) называется верхним коэкзостером (в смысле Дини или Адамара) второго порядка функции / в точке х. Аналогично, будем говорить, что в точке х функция / имеет нижний коэкзостср (в смысле Дини) второго порядка, если справедливо представление

fix + Д) = f(x) + max min Cs£(x) [я,«,А]еС

а + {v, Д) + А, ЛД)

+ о(Л'2), (7)

где lim ^ = для всех Д е К", Е(х) - семейство выпуклых

alo CT

компактов в К х К" х Е"хп. Если в (7) lim ^ = 0, то говорят,

ЦД1И0 ||Д||2

что и точке х функция / имеет нижний коэкзостер (и смысле Адамара) второго порядка. Множество Е.(х) называется нижним коэкзостером (в смысле Дшш или Адамара) второго порядка функции / и точке х.

Выводится нсчиелепие коэкзоетеров второго порядка и исследуется вопрос их преобразования - то есть перехода от (G) к (7) и наоборот.

Теорема 14 Пусть для функции f\ и /2 существуют коэкзостеры второго порядка E(f\) = и E{f-i) = [E'¿, £¿2], соответственно,

тогда для функции F = A]/i + А2/2 существует коэкзостер второго порядка E(F) = [Е,Е], причем E(F) = А^(Д) + А2£(/2)

Теорема 15 Пусть для функций fi, f¿ существуют коэкзостеры второго порядка E(fi) = [E\,E.i\ и E(f2) = [Е2,Е.^, соответственно, тогда для функции F = /1 • f-2 также существует коэкзостер второго порядка Е = [Е,Е_\, причем

Ё = -R(Ej + E2)+f+ hE2 + j2Eu

E = -R(Ei + E3) + E + hK¿ + hE,, где R удовлетворяет соотношению |7¡| = |a, + (v¡, Д) + |(Л;Д, Д)| < R,

E = {C| С = [a, v, A], a = aia2 + R{ai + a2); v = {v¡ + v2)R + aií¿2+ + a2vú A = A^a-i + R) + A2(a 1 + R) + (vu wj)},

e E1, [a2, v2, Л2] £ E2,

¿={C| C=[a,v,A]\ a = a^a-i + R(ai + a2);v = (v¡ +v2)R + aji)2+ + a2v 1; A = Ai(a2 + R) + A2(ai + R) + vi)},

[abDbAi] e Mi, [a2,V2,A2] e E2.

Теорема 16 Пусть у функции f существует коэкзостер второго порядка Е{{) = [E(f),E(f)]- Тогда для функции F(x) = -щ также существует коэкзостер второго порядка E(F) = [E(F),JS(F)\, причем

&F)-m+m{~2RE{f)+l)'

где R удовлетворяет соотношению |7| = |а + (v, Д) + ¿(ЛД, Д)| < R,

Ъ = {С\С = [а, v, А\\а = a(a+2R)- v = 2v(a+fí); Л = Л(2а+Я)+(и, г>г)}

\a,v,A} еЯ(/),

Ъ = {С\С = [а, v, А]\а = о(а+2Л); v = 2v{a+R)-, А = Л(2а+Л)+(к, vT)} Теорема 17 Пусть для функции г е I существуют коэкзоетеры

E(í.) = ГогА»

1) для функции F\(x) = max/¿ существует нижний коэкзостер

ie¡

Е,= (Jé Л(а;) = {г е = Fi},

!б П(Х)

2) для функции F¿(x) = min/¿ существует верхний коэкзостер

Í41

£2= U Ж Q(x) = {г 6/|/, = Fi}.

¿eQ(x)

В Заключении дастся краткий обзор всей работы с перечислением полученных результатов и обсуждением направлений дальнейших исследований.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов

1. Аббасов М.Э. Условия экстремума в терминах несобственных эк-зостеров // Вести. С.-Пстерб. ун-та, Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления, Вып. 2, 2011. С. 3-8.

2. Аббасов М.Э., Демьянов В.Ф. Условия экстремума негладкой функции в терминах экзостеров и коэкзостеров. // Труды института математики и механики УрО РАН, Т. 15, 2009. С. 10-19.

Публикации в других изданиях

3. Аббасов М.Э. Исчисление коэкзостсров второго порядка // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. П. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяиа. СПб.: Издат. Дом С.-Пстерб. гос. ун-та, 2008. С. 9-14.

4. Аббасов М.Э. Метод минимизации первого порядка в негладком анализе // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяиа. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 9-13.

5. Аббасов М.Э. Нахождение стационарных точек функции, допускающих неоднородные аппроксимации приращения // Тез. докл. Всеросс. конф. Устойчивость и Процессы Управления, СПб, СПбГУ ф-т ПМ-ПУ, 2010. С. 191-192.

G. Аббасов М.Э. Необходимые условия минимума в терминах коэкзостсров // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С. 9-13.

7. Аббасов М.Э. Преобразование коэкзостсров второго порядка // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяиа. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 9-13.

8. Аббасов М.Э. Условия экстремума в терминах несобственных экзо-стеров // Информационный бюллетень АМП, N 12 (Тез. докл. Всеросс. коиф. МннП), Екатеринбург, Уро РАН, 2011. С. 17-18.

л

Подписано в печать 29.08.2011. Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Уел. псч. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ 372

Отпечатано в типографии ООО «Адмирал»

199048, Санкт-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 59 корп. 1, оф. 40Н

ВВЕДЕНИЕ

1 Вспомогательные результаты

1.1 Некоторые сведения из выпуклого анализа.

1.2 Производные Дини, Адамара и условия экстремума.

1.3 Субдифференцируемые, супердифференцируемые и квазидифференцируемые функции.

1.4 Выпуклый случай

1.5 Кодифференцируемые функции

2 Описание условий экстремума с привлечением аппарата экзостеров

2.1 Экзостеры.

2.2 Условия экстремума без ограничений

2.2.1 Описание условий экстремума с помощью аппарата экзостеров.

2.2.2 Условия безусловного экстремума в терминах собственных экзостеров.

2.2.3 Условия экстремума в терминах несобственных экзостеров

2.2.4 Примеры

2.3 Условия экстремума с ограничениями.

2.3.1 Условия экстремума в терминах собственных экзостеров

2.3.2 Условия экстремума в терминах несобственных экзостеров

2.4 Разрывность экзостерного отображения.

3 Описание условий экстремума с привлечением аппарата коэкзостеров

3.1 Коэкзостеры

3.2 Необходимые условия безусловного экстремума в терминах собственных коэкзостеров.

3.3 Необходимые условия безусловного экстремума кусочно-линейных функций

3.3.1 Эквивалентность минимаксного и максиминного представлений

3.3.2 Условия экстремума.

3.4 Необходимые условия безусловного экстремума в терминах несобственных коэкзостеров.

3.5 Метод наискорейшего коэкзостерного спуска.

3.5.1 Сходимость метода.

4 Коэкзостеры второго порядка

4.1 Определение и исчисление коэкзостеров второго порядка

4.2 Конвертирование коэкзостеров второго порядка.

Около трех веков в математике и ее приложениях безраздельно правил классический гладкий анализ, однако новые, все более усложняющиеся задачи, возникающие в технике и естествознании в XX веке, все чаще требовали использования негладких функций. Такого рода возникающие проблемы пытались решать, аппроксимируя негладкие функции с некоторой степенью точности гладкими. Но скоро стало очевидно, что такие аппроксимации не могут быть применены для изучения существенно негладких свойств недифференцируемых функций (таких, как, например, нахождение нескольких направлений наискорейшего спуска или подъема [14]), хотя они и позволяют приближенно находить точки экстремума. Поэтому этот подход хотя и помогал эффективно решать ряд задач, не смог обеспечить растущих потребностей исследователей и представлял собой по существу «бегство» от негладкости.

Негладкий анализ занимается изучением свойств функций, не имеющих производной в «классическом смысле», а также множеств, порожденных этими функциями. Можно считать, что научное направление «негладкий анализ» сформировалось в середине XX века как продолжение идей классического гладкого анализа, хотя первые существенно негладкие задачи были поставлены и решены еще П.Л.Чебышевым [30,49]. Первыми подробно изученными классами недифференцируемых функций явились выпуклые функции и функции максимума (см. работы [17,22,23,27,29,33,34,42,45, 68,69]). Было показано, что эти функции являются дифференцируемыми по направлениям, откуда, опираясь на производную по направлениям, удалось получить локальные аппроксимации таких функций. Таким образом появилась возможность поиска направлений спуска и подъема, а, значит, и построения новых оптимизационных алгоритмов [16,44], что повлияло на развитие математического программирования [11,24,28,32,37,39]. Для выпуклых функций и функций максимума были построены эффективные численные методы [11,17,26,36,39,48,51].

Эти исследования легли в основу теории минимакса и выпуклого анализа [16,17,27,38,42,43,45,48] и привели к появлению понятия субдифференциала (см. например [70]), являющегося обобщением «классического» понятия градиента: в точках гладкости субдифференциал совпадает с градиентом, а в точках существенной негладкости (то есть таких, в которых не существует «обычной» производной) субдифференциал превращается в выпуклый компакт.

Изучению субдифференциалов в абстрактных пространствах посвящена работа [31]. Оказалось, что необходимым условием минимума на всем пространстве является принадлежность нуля субдифференциалу, а направление наискорейшего спуска есть вектор* направленный от ближайшей к началу координат точки, этого множества. Было построено исчисление, руководствуясь которым можно достаточно просто находить субдифференциалы. Успехи в этой области заставили задуматься о поиске обобщений понятия субдифференциала на случай более широкого класса функций. Одной из наиболее успешных попыток в этом направлении явились субдифференциал Шора [50] и его выпуклая оболочка - субдифференциал Кларка [29,54]. Введение этих понятий позволило изучать произвольные липшицевые функции, но применение этих объектов на практике оказалось затруднительным - они не позволяли получать аппроксимацию функции в точке, давая возможность лишь проверять условия экстремума в ней. Известны и другие попытки, не лишенные указанного недостатка. Среди них субдифференциал Мордуховича [35,65-67], субдифференциал Мишеля-Пено [64], приближенные и геометрические субдифференциалы Иоффе [62,63], контейнеры Варги [73]. Подробный анализ различных подходов к этой проблеме приведен в [52]. Авторы этих обобщений субдифференциала опирались, как правило, не на производную по направлению, а на некоторые иные конструкции. Кроме того, само построение этих объектов вызывало трудности.

Исследователям пришлось искать компромисс между простотой построения объекта, возможностью получения на его основе аппроксимаций исследуемых функций и мощностью класса функций, которые этот объект обслуживает. В [16] были введено понятие квазидифференциала, позволившее получать положительно однородные аппроксимации функции в окрестности точки. Квазидифференциалы явились плодотворным объектом для исследования негладких функций - с их помощью удалось выразить условия экстремума, находить направления спуска и подъема, а следовательно и строить численные методы оптимизации [17,21,40,41]. Но, как выяснилось, квазидифференциальное отображение не является непрерывным, из-за чего возникают трудности со сходимостью численных методов, построенных на его базе. Для того, чтобы избавиться от этой проблемы, были введены кодифференциалы [21,60], позволившие получать аппроксимации функции в окрестности точки в виде суммы максимума и минимума аффинных функций. Кодифференциалы сохранили преимущества квазидифференциалов (они так же просто вычисляются, множество кодиффе-ренцируемых функций совпадает с множеством квазидифференцируемых функций), но ради непрерывности пришлось пожертвовать положительной однородностью. Введение кодифференциалов позволило строить более совершенные численные методы. Следующим естественным желанием было расширить класс изучаемых функций и попытаться там применить хорошо зарекомендовавший себя аппарат кодифференциального исчисления к большему числу функций. Это привело к появлению новых инструментов в негладком анализе - коэкзостеров и, явившихся промежуточным этапом на пути к ним, экзостеров. У истоков этих понятий лежат идеи Б.Н. Пшеничного, В.Ф. Демьянова и А.М. Рубинова. В [42] было введено определение верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимации (в.в.а. и н.в.а.). А.М. Рубиновым было предложено рассматривать исчерпывающие семейства в.в.а и н.в.а. [20]. В.Ф. Демьянов предложил понятия верхних и нижних экзостеров (являющихся обобщением квазидифференциалов), а затем и коэкзостеров (являющихся обобщением кодифференциалов) и развил теорию этих объектов [46,55,56,59,60].

С помощью верхних экзостеров необходимое условие минимума принимает вид принадлежности нуля всем множествам этого семейства экзо-стера. Это позволяет применять аппарат выпуклого анализа для нахождения условий минимума произвольных функций (не обязательно выпуклых), для построения направлений наискорейшего спуска и для построения численных методов. С помощью нижних экзостеров описывается условие максимума. Одна из актуальных задач, изучаемых в данной диссертации, относится к исследованию задач на максимум с помощью нижних экзостеров и наоборот - задач на максимум с помощью верхних экзостеров.

Целью диссертации является дальнейшее развитие теории экзостеров и коэкзостеров и их применение к решению новых возникающих задач.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что она является дальнейшим развитием исследований в области аппроксимаций негладких функций с помощью аппарата экзостеров и коэкзотеров, впервые условия экстремума выписываются в терминах несобственных экзостеров и коэкзостеров. Эти результаты обобщают результаты В.А. Рощиной [46]. Кроме того, в диссертации обобщается теорема А.М. Рубинова [20] о существовании экзостеров.

Практическая значимость работы определяется тем, что в ней получены условия экстремума, которые могут быть использованы при конструировании новых оптимизационных алгоритмов. Кроме того, как уже упоминалось, класс функций, имеющих коэкзостеры, является более широким, чем класс кодифференцируемых функций. Поэтому приведенное в работе обобщение численного метода мимнимизации негладких функций представляет отдельный интерес.

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту: о доказано существование обобщенных экзостеров для произвольных функций, заданных и ограниченных на единичной сфере, о получены новые условия экстремума в терминах несобственных экзостеров, о получены условия экстремума кусочно-линейных функций, выведены условия экстремума в терминах коэкзостеров, о с помощью аппарата коэкзостеров обобщен метод кодифференциаль-ного спуска для минимизации негладких функций, и доказана его сходимость, о построено исчисление коэкзостеров второго порядка.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на II международной конференции «Control and Optimization with Industrial Applications» (Баку, 2-4 июня 2008 г.), Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 80-летию В.И. Зубова (г. Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г.), Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения» Уро РАН (Екатеринбург, 28 февраля - 2 марта 2011 г.), XXXVIII, XXXIX, XL, XLI конференциях «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления (г. Санкт-Петербург,-апрель 2007 г., апрель 2008 г., апрель 2009 г., апрель 2010 г.), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления (факультет прикладной математики - процессов управления, СПб-ГУ). .

По результатам исследований опубликовано 8 печатных работ [1-8], две из которых [3,6] в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, заключения, списка обозначений и списка литературы. Определения, утверждения, теоремы, примеры, замечания нумеруются в соответствии с главой, параграфом, в которых они находятся. Следствия нумеруются в соответствии с теоремами, к которым они относятся. Объем работы составляет 112 страниц. Список литературы включает 73 наименований, 17 рисунков.

Заключение

Приведем краткий обзор полученных в работе результатов.

Во введении дается обзор литературы по теме работы, обсуждается актуальность исследования, его теоретическая и практическая ценность, научная новизна.

В первой главе приводятся основные определения из выпуклого анализа, кратко излагаются основные результаты негладкого анализа, используемые в следующих главах.

Во второй главе рассматривается понятие обобщенных экзостеров и доказывается теорема их существования, представляющая теоретический интерес. Здесь же получены новые условия экстремума в терминах несобственных экзостеров.

В третьей главе получены необходимые условия экстремума в терминах собственных экзостеров, на их основе предложен метод минимизации и доказана его сходимость. Далее выведены условия глобального экстремума кусочно-линейных функций, с их помощью получены условия экстремума в терминах несобственных экзостеров.

Глава 4 посвящена изучению коэкзостеров второго порядка. Здесь построено исчисление этих объектов и изучается вопрос их конвертирования.

Дальнейшие исследования могут вестись в направлении поиска новых условий экстремума с ограничениями, которые опираются на полученные в работе условия безусловного экстремума, в терминах экзостеров и коэкзостеров. Представляет интерес также вывод условий экстремума в терминах коэкзостеров второго порядка и построения на их основе численных методов второго порядка, обобщающих классический гладкий метод Ньютона. Все еще открытым остается вопрос об эффективном конструктивном построении экзостеров и коэкзостеров. Известны попытки решения этой проблемы (см. [9]).

1. Аббасов М.Э. Нахождение стационарных точек функций, допускающих неоднородные аппроксимации приращения // Тез. докл. Всеросс. конф. Устойчивость и Процессы Управления. СПб, СПбГУ ф-т ПМ-ПУ, 2010. С. 191-192.

2. Аббасов М.Э. Условия экстремума в терминах несобственных экзостеров // Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 10, вып.2. 2011. С. 3-8.

3. Аббасов М.Э. Условия экстремума в терминах несобственных экзо-стеров // Информационный бюллетень АМП, N 12 (Тез. докл. Всеросс. конф. МпиП). Екатеринбург, Уро РАН, 2011. С. 17-18.

4. Аббасов М.Э., Демьянов В.Ф. Условия экстремума негладкой функции в терминах экзостеров и коэкзостеров. // Труды института математики и механики УрО РАН, Т. 15, 2009. С. 10-19.1. Переведена:

5. Abbasov М. Е., Demyanov V. F. Extremum conditions for a nonsmooth function in terms of exhausters and coexhausters // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 269, Supplement 1, 2009. P. 6-15.

6. Андрамонов М.Ю. Вычисление квазидифференциалов и экзостеров по значениям функции // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии, Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, Т. 7, 2006. С. 190194.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987. 600 с.

8. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002.824 с.

9. Гороховик В.В. Конечномерные задачи оптимизации. Минск: Издательский центр БГУ. 2007. 239 с.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука. 1970. 664 с.

11. Демьянов В.Ф. Негладкий анализ на плоскости. Часть 1 // Соросов-ский образовательный журнал, №8, 1997. С. 122-127.

12. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление М: Высшая школа, 2005. 335 с.

13. Демьянов В.Ф., Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация. М: Наука, 1981. 384 с.

14. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М: Наука, 1972. 368 с.

15. Демьянов В.Ф., Полякова Л.Н. Условия минимума квазидиффе-ренцируемой функции на квазидифференцируемом множестве //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., Т. 20, JV2 4, 1980. С. 849-856.

16. Демьянов В.Ф., Рощина В.А. Обобщенные субдифференциалы и экзостеры в негладком анализе // Доклады РАН, Т. 416, № 1, 2007. С. 18-21.

17. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и ква-зидифференциальное исчисление М.: Наука, 1990. 432 с.

18. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Элементы квазидифференциаль-ного исчисления // «Негладкие задачи теории оптимизации и управления» под ред. В.Ф.Демьянова. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1982. С. 5-127.

19. Дудов С. И. Необходимые и достаточные условия максимина функции разности аргументов // Журн. «Выч.мат-ка и выч.физика», т.32, № 12, 1992. С. 1869-1884.

20. Дудов С. И. Дифференцируемость по направлениям функции расстояния // Мат.сб., т.186, № 3, 1995. С. 29-52.

21. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука. 1975. 320 с.

22. Еремин И. И. Сигма-кусочные функции и задачи дизъюнктивного программирования // Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН,5, 1998. С. 357-380.

23. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976. 285 с.

24. Иоффе А.Д, Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.

25. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2004. 264 с.

26. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. -288 с.

27. Колатц Л., Крабе В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения. М.: Наука. 1978. 272 с.

28. Кусраев А.Г., Кутутеладзе С.С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Новосибирск: Наука, 1992.-270 с.

29. Мину М. Математическое программирование.Теория и алгоритмы. М.: Наука. 1990. 488 с.

30. Минченко Л. И., Борисенко О. Ф. О вычислении производных по направлениям в максиминных задачах с линейными ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 31, № 3, 1991. С. 454-456.

31. Минченко Л. И., Борисенко О. Ф. О дифференцируемости по направлениям функции максимума // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 23, № 3, 1983. С. 567-575.

32. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимпзацик и управления. М.: Наука 1988. 360 с.

33. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука 1991. 168 с.

34. Полак Е. Численные методы оптимизации. Единый подход М.: Мир, 1974. - 376 с.

35. Половинкин Е.С., Балашев М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. 416 с.

36. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983. 384 с.

37. Полякова Л,Н. Минимизации функции максимума сильно выпуклых функций с постоянным шагом // Вестник С.-Петерб. ун-та, Сер. 1, Вып. 4 (22), 1998. С. 59-63.

38. Полякова Л.Н. О методе точных штрафных квазидифференцируе-мых функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т.41, № 2,2001. С. 225-238.

39. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука. 1980. 320 с.

40. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука. 1969. 151 с.

41. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука. 1976. 192 с.

42. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 472 с.

43. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. 760 с.

44. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 280 с.

45. Чебышев П.Л. Избранные труды. М.: АН СССР, 1955. 929 с.

46. Шор Н.З. О классе почти-дифференцируемых функций и одном методе минимизации функций этого класса // Кибернетика, N 4, 1972. С. 65-70.

47. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка, 1979. 200 с.

48. Borwein J. M., Zhu Q. J. A survey of subdifferential calculus with applications // Nonlinear Analysis Ser. A: Theory and methods., Volume38, 1999. P. 687-773.

49. Castellani M. A Dual Representation for Proper Positively Homogeneous Functions. // Journal of Global Optimization, Volume 16, Number 4, 2000. P. 393-400.

50. Clarke F.H., Ledyaev Y.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York: Springer-Verlag, 1998. 276 p.

51. Demyanov V.F. Exhausters and Convexificators New Tools in Nonsmooth Analysis // In: V. Demyanov and1 A. Rubinov (Eds.) Quasidifferentiability and related topics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000. P. 85-137.

52. Demyanov V.F. Exhausters of a positively homogeneous function // Optimization. Vol. 45, 1999. P. 13-29.

53. Demyanov V. F., Bagirov A. M., Rubinov A. M. A method of truncated codifferential with application to some problems of cluster analysis, Springer Netherlands: Journal of Global Optimization, Volume 23, Issue 1,2002. P. 63-80.

54. Demyanov V.F., Caprari E. Conically equivalent sets and their minimality // Generalized Convexity and Optimization for Economic and Financial Decisions, G. Giorgi and F. Rossi (eds.), Verona, 1998. P. 81-93.

55. Demyanov V.F., Roschina V.A. Optimality conditions in terms of upper and lower exhausters // Optimization. Vol. 55, N 5/6, 2006. P. 525-540.

56. Glover B.M., Ishizuka Y., Jeyakumar V., Tuan H.D. Complete charactirizations of global optimality for problems involving the pointwiseminimum of sublinear functions. // SIAM J. Optimization, Volume 6, Number 2, 1996. P. 362-372.

57. Ioffe A. D. Approximate subdifferentials and applications 3: the metric theory // Mathematika, Volume 36, 1989. P. 1-38.

58. Ioffe A. D. Proximal Analysis and Approximate Subdifferentials // J. London Math. Soc., Volume s2-41, 1990. P. 175-192.

59. Michel P., Penot J.-P. Calcul sous-diffe’rentiel pour les fonctions lips-chitziennes et non lipschitziennes // C.R. Acad. Sci. Paris, vol. 298, 1984. P. 269-272.

60. Mordukhovich B. S. Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications, Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences), Vols. 330 and 331, Springer, 2006.

61. Mordukhovich B. S. Maximum principle in problems of time optimal control with nonsmooth constraints // J. Appl. Math. Mech., 40 1976. P. 960-969.

62. Mordukhovich B. S. Metric approximations and necessary optimality conditions for general classes of nonsmooth extremal problems // Soviet Math. Dokl. 22, 1980. P. 526-530.

63. Moreau J.-J. Fonctions Convexes en Dualite, Multigraph, Seminaires Mathematique, Faculte des Sciences, Univ. de Montpellier, 1962.

64. Pallaschke D., Scholtes S., Urban’ski R. On minimal pairs of compact convex sets // Bull. Polish Acad. Sci. Math. 39, 1991. P. 1-5.

65. Rockafellar R.T., Wets J.-B. Variational Analysis. Springer-Verlag, 2005. 733 p.

66. Roschina V.A. Topics in Optimization: Solving Second-Order Conic Systems with Finite Precision; Calculus of Generalized Subdifferentials for Nonsmooth Functions Supervisor Prof. Felipe Cucker// City University of Hong Kong, 2009. - 229 p.

67. Uderzo A. Convex approximators, convexificators and exhausters: applications to constrained extremum problems // Nonconvex Optimization and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, vol. 43, 2000. P. 297-327.

68. Warga J. Derivative containers, inverse functions and controllability // Proc. Intern. Symp. on the Calculus of Variations and Control Theory / Ed. D. L. Russell.: Acad. Press, 1976.