Некоторые методы решения задачи минимаксного управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТАРАСОВА Виктория Валерьевна

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МИНИМАКСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Полякова Людмила Николаевна

доктор физико-математических наук, профессор Александров Александр Юрьевич

кандидат физико-математических наук, профессор Васильев Леонид Васильевич

Ведущая организация:

Военная Инженерно - Космическая Академия им. Можайского

Защита состоится «¿*-/» 2005г. в '^ ч. мин. на

заседании диссертационного совета К-212.232.07 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О.,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «.

/о» иОи^сЬ

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Горьковой В.Ф.

2366532

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача аналитического конструирования регуляторов (АКР) при ограничении на состав измеряемых и используемых для целей управления координат состояния объекта имеет несомненное прикладное значение. Актуальность темы исследования определяется тем фактом, что использование существующих методов решения задачи АКР в ее наиболее общей линейной трактовке, в прикладных задачах накладывает порой слишком жесткие ограничения, что влечет за собой необходимость вносить изменения в формулировку изучаемой проблемы. При внесении изменений задача приобретает вид задачи минимаксного управления. Существующие методы решения не позволяют решать задачу минимаксного управления в общем случае, что особо поддерживает актуальность темы исследования.

Целью диссертационной работы является разработка математического аппарата и соответствующего программного обеспечения для решения минимаксной задачи управления, а также апробация предлагаемых численных алгоритмов на прикладных задачах.

Методы исследований. В диссертационной работе для решения минимаксной задачи управления привлекаются классические и современные методы вычислений. Применяются результаты исследований В.И. Зубова, В.Ф. Демьянова, Б.Н. Пшеничного, В.Н. Малоземова, Н.З. Шора и т.д.

Новизна и достоверность результатов подтверждается корректной постановкой задачи, использованием современного математического аппарата, сочетающего аналитические и вычислительные методы, применением современного программного обеспечения для реализации в прикладных задачах. Работоспособность и эффективность разработанных в диссертации математических методов и реализующих их алгоритмов подтверждена содержательными практическими примерами.

Практическая и теоретическая значимость. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней исследованы свойства минимизируемой функции и предложены новые математические методы и вычислительные алгоритмы, с помощью которых можно расширить класс рассматриваемых систем. Ориентация работы на поиск эффективных вычислительных алгоритмов, позволяющих

находить решение задачи минимаксного управления, подтверждает практическую ценность работы.

Наиболее существенные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Исследованы свойства функции максимального собственного числа симметричной матрицы, являющейся решением уравнения Ляпунова в задаче АКР, которые в дальнейшем позволяют обосновать предлагаемые метода решения поставленной задачи в случае кратных корней.

2. На основе классических методов минимизации и методов негладкого анализа разработаны вычислительные алгоритмы поиска решения задачи минимаксного управления.

3. Показано, что использование методов негладкого анализа позволяет решать задачу минимаксного управления в случае кратных корней.

4. Выполнены практические расчеты для конкретных задач с использованием разработанных в диссертации методов, алгоритмов и программного обеспечения, подтверждающие их работоспособность и эффективность.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXII научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики-процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2001 г.), XXXII] научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики-процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2002 г.), XXXIV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики-процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2003 г.), XXXV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики-процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2004 г.), XIII международной конференции. «Проблемы теоретической кибернетики (г.Казань, 2002 г.), а также неоднократно докладывались на научном семинаре на кафедре математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных

работ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 65 наименований, и приложений. Объем работы составляет 88 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Задача аналитического конструирования регуляторов (АКР) при ограничении на состав измеряемых и используемых для целей управления координат состояния объекта имеет несомненное прикладное значение. Условия разрешимости задачи АКР при отсутствии ограничений на измеряемые координаты получены в работах В.И. Зубова, A.M. Летова, Р. Калмана и др. Однако неполнота измерений, по существу, делает невозможным использование классических результатов, поскольку в них оптимальность управления обеспечивается при произвольных начальных условиях. Поэтому необходима коррекция в постановке задачи АКР. Этой цели соответствует минимаксная задача оптимальной стабилизации, исследуемая в диссертационной работе.

В главе 1 рассмагриваехся общая задача оптимальной стабилизации линейных управляемых систем при полной и неполной информации о координатах состояния.

Рассматривается управляемая динамическая система

x = P(t)x + Q(t)u, x(t0) = x0, (1.1)

для t >t0, где х - x(t) . Здесь хе R" — вектор координат состояния системы; ueRr — векх op управления; I — время; P(t), Q{t) - матрицы размеров (пхп) и (ихг), соответственно. Предполагается, что элементы матриц Р и Q являются непрерывными, ограниченными функциями, заданными при всех t>ta.

В случае постановки задачи неполной информации измеряется не сам вектор х координат состояния объекта, а так называемый вектор выходов системы управления ye Rk, связанный с вектором х линейным соотношением

у = Нх. (1.12)

Здесь Н — матрица размера (кхп) максимального ранга, причем к<п . Не ограничивая общности, можно считать, что матрица Н имеет следующий специальный вид: Н = [Ек ,0], где 0 - нулевая

матрица размера {кх{п-к)), a Et — единичная матрица размера (к х к). Это означает, что вектор выходов

y = (xi,x2,...,xt) = xk, (1-13)

т.е. наблюдаются (измеряются) первые к координат состояния.

В случае полной информации управление задают в виде

и = u(t, X) = M(t)x(t), (1.2)

либо в случае неполной информации

и = и((, ) = M(t)xt (t) = М (t)Hx(t), (1.14)

где М - матрица (гхп), а ее элементы являются вещественными, непрерывными, ограниченными функциями, заданными при всех t > t0 и такие, что нулевое решение замкнутой системы экспоненциально устойчиво.

Стабилизирующие свойства управления оценивают, используя интегральный квадратичный критерий качества

J(u,x0) = ~j[x'A(t)x + u'C(t)u]dt, (1.5)

'о

где A(t),C(t) - симметричные матрицы размеров (ихи) и (гхг), соответственно, с непрерывными, ограниченными элементами, причем C(t) - положительно определенная матрица для всех t>ta.

Допустимое управление, доставляющее наименьшее возможное значение функционалу, называется оптимальным управлением. Задача оптимизации, описанная в главе 1, известна как проблема "аналитического конструирования регулятора (АКР)".

В главе 1 приводятся теоремы о существовании решения в задаче АКР в случае полной и неполной информации о состоянии объекта, а также метод построения оптимального управления. Однако условия данных теорем в прикладных задачах накладывает порой слишком жесткие ограничения, что влечет за собой необходимость вносить изменения в формулировку изучаемой проблемы.

Далее рассматривается минимаксный подход к решению задачи АКР в стационарном случае, а также условия разрешимости поставленной задачи. Задача АКР в ее минимаксной формулировке рассматривалась в работах Т. Я хаджи и С.К. Мышкова.

При формулировке задачи минимаксного управления в стационарном случае допустимое управление задают в виде

и = My = МНх, (1.22)

где ие Rr, ye Rk, xe R", и M - матрица (rxn) такая, что нулевое

решение замкнутой системы

х = (Р + QMH)x = Dx (1.23)

экспоненциально устойчиво, а качество стабилизации оценивается функционалом

J(u) = max J(u,x0), (1.24)

FoH

oo

где J(u,x0)= ^[x* Ax + u*Cu]dt = xl(k0, 0-25)

'o

и в = в(М) — симметричная матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова

D*0+6D + Н* М* СМН + А=0. (1.26)

Задача минимаксного управления означает минимизацию наибольшего собственного числа Д (в) матрицы в.

В работе Т. Яхаджи сформулированы условия существования решения задачи минимаксного управления, а также итерационная процедура для численного моделирования, которая, вообще говоря, доказана только для случая некратного Я, (в). В работе С К.Мышкова установлена достаточность указанных условий при выполнении стандартных ограничений, касающихся матриц сис1ем управления. В случае кратных корней уже при п = 2 возникают проблемы численной реализации. Поэтому для решения минимаксной задачи стабилизации предлагается использовать численные методы решения минимаксных задач, учитывая специальный вид оптимизируемого функционала.

В главе 2 рассматривается метод Яхаджи поиска минимаксного решения задачи АКР. Формулируется как оригинальный, так и модифицированный метод Яхаджи. Приводятся теоремы, показывающие сходимость метода Яхаджи. Также в главе 2 рассматриваются примеры практического применения данного метода для решения задачи минимаксного управления. В приложениях к главе 2 представлены результаты расчетов.

При решении поставленной задачи также возникает вопрос о рассмотрении вопросов устойчивости. Вопросы устойчивости широко изучены в работах A.M. Ляпунова, В.И.Зубова, H.H. Красовского и др.

7

В диссертационной работе вопросы допустимости матрицы М, а, следовательно, и управления (1.22) решаются посредством критерия Рауса-Гурвица, так как рассматриваемая система стационарна.

Отметим, что численный метод Яхаджи является эффективным при решении задачи минимаксного управления только в случае некратности максимального собственного значения матрицы в на каждом шаге метода. Поэтому остается открытым вопрос о решении поставленной задачи в случае, когда на каком-либо из шагов кратность максимального собственного числа Яп (в) больше единицы.

В главе 3 предлагается использование классических методов минимизации для решения задачи минимаксного управления. Приводятся формулировки метода наискорейшего спуска и квазиньютоновского метода, теоремы о сходимости. Данные методы есть методы минимизации непрерывно дифференцируемых функций.

При решении задачи минимаксного управления с использованием как метода наискорейшего спуска, так и квазиньютоновского метода функция Яп(в(М)) рассматривается, как функция ЛДМ). Показано, что функция Лп(М) непрерывно дифференцируема на каждом шаге только в случае, когда кратность равна единице.

Применение метода наискорейшего спуска к решению задачи минимаксного управления позволяет образовать следующую численную процедуру:

Выбираем произвольное М0 е М. Первый шаг: предположим, что уже найдено Мк такое, что Мк е М ,

где М - область Гурвица пространства коэффициентов матрицы М,

при которых система (1.23) экспоненциально устойчива.

Второй шаг: для матрицы М1с находим решение вк уравнения

к

Если

то найденная точка является стационарной, в

противном случае переходим к следующему шагу. Пятый шаг: рассматриваем матрицу

Находим

at : min Л„(Мка) = A„(Mta().

or>0

Полагаем Мы = M кщ. Если в процессе вычислений получаем

— ее

Л/^ t, : , й М, то в качестве ак следует взять —, где г - некоторое

г

положительное число, такое, что выполняется включение М кл е М. Шестой шаг: проверка условия остановки

где fl - некоторое заданное положительное число. Если условие остановки не выполняется, то повторяем вычисления, используя вместо матрицы Мк матрицу Мк+1.

Заметим, что нахождение аналитического представления Л'п (вк) во многих случаях затруднительно, поэтому при численной реализации данного алгоритма для вычисления Л'п (вк) может использоваться, например, аппарат конечных разностей

Использование данного метода для решения задачи минимаксного управления возможно в случае, когда кратность максимального собственного числа на каждом шаге равна единице, то есть, когда

\ЯХМк)-ЛХМк)\\>е2, 1 = 1^1, где е2 - некоторое заданное положительное число, так как в этом случае функция Л„(в(М)) = ÄJM) непрерьшно дифференцируема в точке Мк (см. параграф 3.3 диссертации).

В результате строим последовательность точек {Мк}. Если эта последовательность состоит из конечного числа точек, то последняя является стационарной по построению. В противном случае справедлива

Теорема 3.10. Если множество

ДМ0) = {М I Л(М)< Л(М0)}

ограничено, то всякая предельная точка последовательности {Мк} является стационарной.

Схема квазиньютоновского метода совпадает со схемой метода наискорейшего спуска, но направление спуска выбирается следующим образом:

8к =НкХ'п(Мк). Вид матрицы Н t указан в главе 3.

При применении описанных методов минимизации на каждом шаге встает вопрос решения задачи одномерной минимизации. Эту задачу можно решать любым известным методом. В расчетах, приведенных в диссертационной работе, задача одномерной минимизации решается методом золотого сечения.

В главе 3 также рассмотрено практическое использование методов для решения поставленной задачи. Результаты расчетов даны в приложении. Отметим, что при решении численных задач минимаксного управления с одинаковыми условиями методом Яхаджи и методом наискорейшего спуска (или квазиньютоновского метода), наиболее эффективным оказался метод Яхаджи. При практическом применении всех методов, описанных выше, необходима проверка кратности Л (в(Мк) на каждом шаге.

Однако преимущество классических методов минимизации в том, что они тесно связаны в идейном плане с методами негладкого анализа, описанными далее в главе 3, которые позволяют решать задачу минимаксного управления в случае кратных собственных значений. Общность классических методов и методов негладкого анализа позволяет упростить программные продукты для решения задачи минимаксного управления.

Задачи минимизации или максимизации негладких функций изучены в работах В.Ф. Демьянова, В.Н. Малоземова, Б.Н. Пшеничного, Л.Н. Поляковой, A.M. . Рубинова и т.д. В главе 3 приведены элементы негладкого анализа, которые необходимы нам для понимания использования методов минимизации негладких функций.

Отдельно рассмотрены свойства функции Лп (в(М)).

Утверждение 3.1. Функция Яп(в) выпукла на S". Здесь через S" обозначено множество симметричных (ихи) матриц.

Утверждение 3.2. Функция в(М) дифференцируема по М в области М .

Утверждение 3.4. Функция Л„(М) субдифференцируема в области М .

Отмеченные свойства необходимы нам для дальнейшего развития методов решения задачи минимаксного управления, и показания сходимости данных методов к решению поставленной задачи.

Н.З. Шором был введен и иследован класс негладких функций -класс почти - дифференцируемых функций.

Функция /, определенная на /?", называется почти-Оифференцируемой (ПД-функцией), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) локально липшицева,

2) почти везде дифференцируема,

3) ее градиент непрерывен на множестве, где он определен.

Почти-градиентом функции f в точке хе /?" называется

вектор, являющийся предельной точкой некоторой последовательности градиентов {/'(*4)}> где {хк} — последовательность точек, сходящаяся к х, и такая, что во всех точках этой последовательности / дифференцируема. Обобщенным почти-градиентом функции / в точке хе Я" называется любой вектор V из выпуклого замыкания множества почти-градиентов.

Так как функция Лп(в(М))— субдифференцируема, а значит и почти-дифференцируема, то к решению задачи минимаксного управления правомерно применять метод минимизации ПД-функций.

Применение метода минимизации ПД-функций к решению поставленной задачи позволяет образовать следующий итерационный процесс:

Выбираем произвольное М„ такое, что Мь е М. Задаем последовательность чисел /г,, удовлетворяющую условиям

Первый шаг: предположим, что уже найдено Мк такое, что М, е М; Второй шаг: для матрицы Мк находим решение вк уравнения (1.26);

Третий шаг: вычисляем Лп {вк ) = Лп (в(Мк)) = Лп (Мк);

Четвертый шаг: вычисляем ¿ДА/,) — некоторый почти-градиент

функции Лп(М) в точке Мк. Если Шг(Мк) =0, то найденная точка

является стационарной, в противном случае, переходим к следующему шагу.

кгШк)

Пятый шаг: Мк+1 = - к^

ММ'

Шестой шаг: проверка условия остановки

где £ - некоторое заданное положительное число. Если условие остановки не выполняется, то повторяем вычисления, используя вместо матрицы Мк матрицу Мш .

Теоремы об условиях сходимости представлены в главе 3. Применение метода минимизации ПД-функций не требует на каждом шаге решения задачи одномерной минимизации, так как сходимость данного метода показана в случае, когда шаг выбирается из условия /г, —» +0, Е"=0 кк = -н».

В работах по негладкому анализу хорошо изучены суб дифференциальные методы решения минимаксных задач. Известно, что в случае, когда функция субдифференцируема, почти-градиент совпадает с субградиентом функции. Так как функция Лп{Мк) субдифференцируема, то в качестве направления движения в методе минимизации почти-дифференцируемых функций можем

использовать любой вектор — тгЛг, где \>к - произвольный

1Ы1

субградиент функции Лп(Мк), или использовать другие методы минимизации субдифференциального исчисления.

В главе 3 также предлагается использовать для решения поставленной задачи субградиентный метод с почти полной релаксацией, так как все методы, упомянутые выше, не являются релаксационными, а данная особенность метода дает существенные преимущества при практическом применении. Отличительной особенностью субградиентных методов является их простота, так как

на каждом шаге требуется лишь найти какой-нибудь субградиент. Однако существенным недостатком этих методов является их медленная сходимость. Преодоление этого недостатка также изучено в работе В.Ф. Демьянова и Л.В. Васильева и рассмотрено в главе 3. При применении субградиентного метода к решению задачи минимаксного управления шаговый множитель А к может быть выбран несколькими способами. В зависимости от способа выбора последовательности И к указанный субградиентный метод обладает теми или иными свойствами. Численные примеры применения данного метода к решению нашей задачи также рассмотрены в главе 3. Результаты расчетов приведены в Приложении. Как было отмечено выше, использование субградиентного метода позволяет решать поставленную задачу и в случае, когда кратность Ап(в(Мк)) не равна единице на каком-либо шаге.

В главе 4 исследуются возможности использования аналитических выражений субдифференциала максимального собственного числа для симметричной матрицы. На сегодняшний день известны аналитические выражения субдифференциала Кларка и субдифференциала Мишеля - Пено указанного типа, однако использование этих выражений при решении задачи минимаксного управления для поиска субдифференциала Лп($(М)) представляется затруднительным. В главе 4 также приведено выражение производной по направлению максимального собственного числа произвольной симметричной матрицы.

Задача поиска субдифференциала или субградиента функции Ап{в(Мк) при численной реализации методов не рассматривается автором подробно.

Итак, методы, предложенные для решения задачи минимаксного управления в случае кратных собственных чисел, есть методы негладкой оптимизации, которые являются обобщением методов первого порядка для гладких функций. Таким образом, использование и тех и других методов в комплексе позволяет разработать численный аппарат для решения поставленной задачи в общем случае.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге исследований и выносятся на защиту, являются:

1) Исследованы свойства функции - максимального собственного числа Лп (в(М)), матрицы в, являющейся решением матричного уравнения Рикатга.

2) Исследовано применение ранее известных методов решения задачи минимаксного управления в случае некратных собственных значений.

3) На основании исследованных свойств Л„(в(М)) предложены методы решения задачи минимаксного управления в случае кратных собственных чисел матрицы в,

4) Исследовано численное применение предложенных методов решения задачи минимаксного управления в случае кратных собственных значений.

5) Осуществлена программная реализация методов в среде MATEMATICA 3.0, представлены результаты расчетов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Амбросенок В.В. К вопросу о минимаксном решении задачи аналитического конструирования регуляторов. // Труды XXXII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2001 — С. 14-17.

2. Амбросенок В.В. К вопросу об использовании квазидифференциального подхода к решению минимаксной задачи управления. // Труды XXXIII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2002 - С. 16-18.

3. Амбросенок В.В. К вопросу о решении задачи минимаксного управления // Труды XXXIV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2003,-С. 13-18.

4. Мьппков С.К., Амбросенок В.В. К вопросу о решении задачи минимаксного управления // Тезисы докладов XIII международной конф. «Проблемы теоретической кибернетики». -Казань, 2002.-С. 19-21.

5. Тарасова В.В. К вопросу о решении задачи минимаксного управления// Депонирована в ВИНИТИ №647 от 20.04.2004.

6. Тарасова В.В. Некоторые методы решения задачи минимаксного управления // Труды XXXV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2004,-С. 113-121.

ЛР № 040815 СП 22 05.97

Подписано к печати 2005 г Формат бумаги 60X84 1/16 Бумага офсетная

11счать ризографическая, Объем 1 уел п л 1ираж 100 экз Заказ 3740 Отпечатано н отделе оперативной полиграфии НИИХ СГШ'У с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, С«арый I (етфюф, Университетский нр , 26

РНБ Русский фонд

2007-4 3573

I

I \ \ * !

2 9 НОЯ 2005

Введение.

1. Задача минимаксного управления и условия разрешимости.

1.1. Оптимальная стабилизация линейных управляемых систем при полной информации о координатах состояния.

1.2. Оптимальная стабилизация линейных управляемых систем при неполной информации о координатах состояния.

1.3. Задача минимаксного управления.

1.4. Применение условий разрешимости при решении задачи минимаксного управления.

2. Метод Яхаджи.

3. Применение методов оптимизации к решению задачи минимаксного управления.

3.1. Субдифференциал выпуклой функции. Различные обобщения понятия субдифференциала.

3.2. Метод обобщенного градиентного спуска.

3.3. Квазидифференцируемые функции и их свойства.

3.4. Свойства функции Лп (6{М).

3.5. Решение задачи минимаксного управления методами наискорейшего спуска и квазиньютоновским методом.

3.6. Решение задачи минимаксного управления методами негладкого анализа.

3.6. Анализ практических расчетов.

4. Субдифференциал максимального собственного числа симметричной матрицы.

Задача аналитического конструирования регуляторов (АКР) при ограничении на состав измеряемых и используемых для целей управления координат состояния объекта имеет несомненное прикладпое значение. Общий подход к решению задачи АКР развит в работах В. И. Зубова [18, 19], Р. Калмана [66], Н. Н. Красовского [24], А. М. Летова [26] и др. В главе 1 рассматривается общая задача оптимальной стабилизации линейных управляемых систем при полной и неполной информации о координатах состояния. Рассматривается управляемая динамическая система X F(t) X Q{t) и, х(/о) лГд, для t>tQ, где x-x{t). системы; UER Здесь xeR" вектор координат состояния вектор управления; t время, t некоторый P{t), Q{t) матрицы фиксированный начальный момент времени; размеров (nxn) и (пхг) соответственно. Предполагается, что элементы матриц Р я Q являются непрерывными, ограниченными функциями, заданными при всех t>tg.B стационарном случае обычно полагают tQ=O, что не ограничивает общности изложения. В случае постановки задачи неполной информации измеряется не сам вектор X координат состояния объекта, а так называемый вектор выходов системы управления у eR, связанный с вектором х линейным соотношением у Нх. Здесь Н матрица размера (к х п) максимального ранга, причем к <п. Управление задают в виде где М (г X«)-матрица, а ее элементы являются вещественными, непрерывными, ограниченными функциями, заданными при всех t>tH такие, что нулевое решение замкнутой системы экспоненциально устойчиво. Стабилизирующие свойства управления, а также его качество, оценивают, используя интегральный квадратичный критерий качества где /ц- некоторый фиксированный начальный момент времени, A{t),C(t) симметричные матрицы размеров (пхп) и (гхг) соответственно с непрерывными, ограниченными элементами, причем C{t) положительно определенная матрица для всех Управление, ttt. наименьшее возможное значение доставляющее функционалу, называется оптимальным управлением. Задача оптимизации, описанная в главе 1, известна как проблема "аналитического конструирования регулятора (АКР) В главе 1 приводятся теоремы о существования решения в задаче АКР в случае полной и неполной информации о состоянии объекта, а также метод построения оптимального управления. Однако условия данных теорем в прикладных задачах накладывает порой слишком жесткие ограничения, что влечет за собой необходимость вносить изменения в формулировку изучаемой проблемы. Далее рассматривается минимаксный подход к решению задачи АКР в стационарном случае, а также условия разрешимости поставленной задачи. Задача АКР в ее минимаксной формулировке рассматривалась в работах К Мышкова [29, 31], Т. Яхаджи [64, 65] и др. При формулировке задачи минимаксного управления в стационарном случае допустимое управление задают в виде и My МНх, где ueR,у ELR\X&R" и М матрица (гхи) такая, что нулевое решение замкнутой системы экспоненциально функционалом устойчиво, качество стабилизации оценивается =1 где J{U,XQ)= {хАх и и 0 9{М) симметричная матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова При формулировке задачи оптимизация функционала J{u) минимаксного управления показано: означает минимизацию наибольшего собственного числа Я,, {в) матрицы в. Далее сформулированы необходимые и достаточные условия суп1:ествования решения задачи минимаксного управления и показано, что при применении их в обш,ем случае возникают значительные затруднения уже в слзае п 2. Но так как оптимизируемый функционал имеет специальный вид, то для решения минимаксной задачи стабилизации предлагается использовать численные методы решения минимаксных задач обш;его вида. В главе 2 рассматривается метод Яхаджи [64, 65] поиска минимаксного решения задачи АКР. Приводится как оригинальный, так и модифицированный метод Яхаджи. Приводятся теоремы, показываюп],ие сходимость метода Яхаджи. Также в главе 2 рассматриваются примеры практического применения данного метода для решения задачи минимаксного управления. В приложениях к главе 2 представлены результаты расчетов.При решении поставленной задачи также возникает вопрос о рассмотрении вопросов устойчивости замкнутой системы управления. Вопросы устойчивости широко изучены в работах Ляпунова [27]. Автором диссертации предлагается решать вопрос о допустимости матрицы М посредством критерия Рауса-Гурвица, так как рассматриваемая система стационарна. Однако численный метод Яхаджи является эффективным при решении задачи минимаксного управления только в случае некратности максимального собственного значения матрицы 9 на каждом шаге метода. Таким образом, остается открытым вопрос о решении поставленной задачи в случае, когда на каком-либо из шагов кратность максимального собственного числа Я,, (6*) не равна единице. В главе 3 предлагается использование классических методов минимизации для решения задачи минимаксного управления. Приводятся формулировки метода наискорейшего спуска и квазиньютоновского метода, теоремы о сходимости. Данные методы есть методы минимизации непрерывно дифференцируемых функций. При решении задачи минимаксного управления с использованием как метода наискорейшего спуска, так и квазиньютоновского метода, функция /1„(6(М)) рассматривается как функция /1ДМ). Функция /i,,(-) непрерывно дифференцируема на каждом шаге также только в случае, когда кратность /l(MJ) равна единице. При использовании метода наискорейшего спуска в качестве направления спуска на к-тош шаге выбирается антиградиент -/1,(М.), который предлагается рассчитывать, используя любые известные методы, например, аппарат конечных разностей. Схема квазиньютоновского метода совпадает со схемой метода наискорейшего спуска, но направление спуска выбирается следуюш;им образом: Вид матрицы Нк указан в главе 3. При применении описанных методов минимизации на каждом шаге встает вопрос решения задачи одномерной минимизации, так как где а, доставляет min/l,, (Af). Задачу одномерной минимизации можно решать любым известным методом. В приведенных в работе расчетах задача одномерной минимизации решается методом золотого сечения. Таким образом, применение данных методов возможно также только в случае некратных собственных чисел. В этой главе также рассмотрено практическое использование методов для решения поставленной задачи, в приложении приведены результаты расчетов. Отметим, что при решении численных задач минимаксного управления с одинаковыми условиями методом Яхаджи и методом наискорейшего спуска (или квазиньютоновского метода) наиболее эффективным оказался метод Яхаджи. При практическом применении всех методов, описанных выше, необходима проверка кратности Я„(6(М.)) на каждом шаге. Однако преимущество классических методов минимизации в том, что они тесно связаны в идейном плане с методами негладкого анализа, описанными далее в главе 3, которые позволяют решать задачу минимаксного управления в случае кратных собственных значений. Обп],ность классических методов и методов негладкого анализа позволяет упростить программные продукты для решения задачи минимаксного управления. Задачи минимизации или максимизации негладких функций изучены в работах Демьянова В.Ф. и Малоземова В.П [12, 13, 14, 15], Пшеничного Б.Н. [40, 41, 42, 43] и т.д. В главе 3 приведены элементы негладкого анализа, которые необходимы нам для понимания использования методов минимизации негладких функций. Отдельно выпуклость рассмотрены Я{0), свойства функции в(М) ЯДб(М)). Показана в области Гурвица, дифференцируемость непрерывность и субдифференцируемость Д,(М). Отмеченные свойства необходимы для дальнейшего развития методов решения задачи минимаксного управления и для обоснования сходимости данных методов к решению поставленной задачи. В работах Шора П.З. [55] и Баженова Л.Г. [5] исследуется метод минимизации почти-дифференцируемых функций. Параграф 3.5 главы 3 посвяш;ен применению метода минимизации почти-дифференцируемых функций к решению задачи минимаксного управления. Сформулированы определения почти-дифференцируемых функций, почти-градиента. В этом же параграфе формулируется метод минимизации почти- дифференцируемых функций и условия сходимости. Показано, что в случае, если кратность /1„(6(М.)) не равна единице на каком-либо шаге, функция /1„(М) является почти-дифференцируемой в точке М.. Таким образом, применение численного метода минимизации ПДФ-функций правомерно при решении задачи минимаксного управления Паправление спуска на А:- том шаге выбирается следующим образом: WSx и g (Mj.) некоторый почти-градиент функции Я„ (М) в точке М.. Применение метода минимизации ПДФ-функций не требует на каждом шаге решения задачи одномерной минимизации, так как сходимость данного метода доказана в случае, когда шаг выбирается из условия а, +0, 1.1, а, +С0.работах по негладкому анализу широко изучены субдифференциальные методы решения минимаксных задач. Известно, что в случае, когда функция субдифференцируема, почти-градиент совпадает с субградиентом функции. Так как функция Я,, {М,.) субдифференцируема, то в качестве направления спуска в методе минимизации почти- дифференцируемых функций можем использовать любой известный субградиент 1,(М) или использовать методы субдифференциального исчисления. Также в главе 3 предлагается использовать для решения поставленной задачи субградиентный метод с почти полной релаксацией, так как все методы, упомянутые выше, не являются релаксационными, а данная особенность метода дает суш;ественные преимущества при практическом применении. Отличительной особенностью субградиентных методов является их простота, вследствии того, что на каждом шаге требуется лишь найти какой-нибудь субградиент. Однако суш;ественным недостатком этих методов является их медленная сходимость. Преодоление этого недостатка также изучено в книге В. Ф. Демьянова и Л. В. Васильева. [13] и рассмотрено в текуш;ей главе. При применение субградиентного метода к решению задачи минимаксного управления шаговый множитель а может быть выбран несколькими способами. В зависимости от способа выбора последовательности а,. указанный субградиентный метод обладает теми или иными свойствами. Численные примеры применения данного метода к решению нашей задачи таюке рассмотрены в главе 3. Результаты расчетов приведены в приложении. Как было отмечено выше, использование субградиентного метода позволяет решать поставленную задачу и в слзае, когда кратность /1„(6(М.)) не равна единице на каком-либо шаге. В главе 4 рассмотрены результаты вычисления субдифференциала максимального собственного числа произвольной симметричной матрицы, полученные в работе А. Льюиса и Ж-Б. Ириа Урути. [59]. Авторами получено аналитическое выражение субдифференциала. Данное выражение имеет большое теоретическое значение, однако использование его при решении задачи минимаксного управления, для поиска субдифференциала \{в{М)) представляется затруднительным. В главе 4 также приведено выражение производной по направлению максимального собственного числа произвольной симметричной матрицы. Задача поиска субдифференциала или субградиента функции A,,(6(MJ) при численной реализации методов не рассматривается автором подробно. Однако следует отметить, что задача поиска субдифференциала или субградиента произвольной функции в точке широко изучена в работах В. Ф. Демьянова и продолжает развитие на кафедре математической теории моделирования систем управления, факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Итак, методы, предложенные для решения задачи минимаксного управления в случае кратных собственных чисел, есть методы негладкой оптимизации, которые являются обобш;ением методов первого порядка для гладких функций. Таким образом, использование и тех и других методов в комплексе позволяет разработать поставленной задачи в обш;ем случае. Основными результатами, которые получены в итоге исследований и выносятся на защиту, являются: 1) Исследованы свойства функции \{в{МУ), которые впоследствии численный аппарат для решения позволяют предложить метод решения ноставленной задачи в общем 2) Обосновано использование методов негладкого анализа для решения поставленной задачи. 3) Исследовано численное применение упомянутых выше методов, осуществлена программная реализация методов в среде MATEMATICA 3.0, представлены результаты расчетов.СПИСОК_ЛИТЕРАТУРЫ содержит перечень работ, использованных при написании диссертации, а также монографии и обзоры, в которых можно найти подробные списки работ, касающихся обсуждаемых вопросов. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXII научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2001 г.), XXXIII научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2002 г.), XXXIV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2003 г.), XXXV «Процессы управления и устойчивость» научной конференции прикладной факультета математики- процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2004 г.), XIII международной конференции. «Проблемы теоретической кибернетики (г.Казань, 2002 г.), а также неоднократно докладывались на научном семинаре на кафедре математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики- процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.432 с.

2. Амбросенок (Тарасова) В.В. К вопросу о минимаксном решении задачи аналитического конструирования регуляторов. // Труды XXXII конференции студентов и аспирантов. Процессы управления и устойчивость. ООП НИИ Химии СПбГУ. 2001. С.14-17.

3. Амбросенок (Тарасова) В.В. К вопросу об использовании квазидифференциального подхода к решению минимаксной задачи управления. // Труды XXXIII конференции студентов и аспирантов. «Процессы управления и устойчивость». ООП НИИ Химии СПбГУ. 2002. С.16-18.

4. Амбросенок (Тарасова) В.В. К вопросу о решении задачи минимаксного управления// .Труды XXXIV конференции студентов и аспирантов. «Процессы управления и устойчивость». Из-во СПбУ. 2003. С. 13-18.

5. Баженов А.Г. Об условиях сходимости метода минимизации почти-дифференцируемых функций // Кибернетика. 1972. № 4. С.71-72.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., Наука, 1967. 223 с.

7. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М., Изд-во Московского университета. 1974. 374 с.

8. Габасов Р.Н., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Л., Изд-во ЛГУ, 1975. 279 с.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1966. 576 с.

10. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М, Изд-во МГУ, 1970. 118 с.11 .Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967. 472 с.

11. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационные задачи. СПб., ООП НИИ Химии СпбГУ, 2000. 136 с.

12. Демьянов В.Ф., Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация. М., Наука, 1981. 383 с.

13. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М., Наука, 1972. 368 с.

14. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М., Наука, 1990. 431 с.

15. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решений экстремальных задач. JL, Изд-во ЛГУ, 1968. 180 с.

16. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М., Наука, 1976. 192 с.

17. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., Наука, 1975. 496 с.

18. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л., Судостроение, 1966. 352 с.

19. Зубов В.И. Устойчивость движения. М., Высшая школа, 1984. 232 с.

20. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.479 с.

21. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1980. 256 с.

22. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М., Наука, 1988. 280 с.

23. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М, Наука, 1968.475 с.

24. Кусраев А.Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциальное исчисление. Новосибирск, Наука, 1987. 383 с.

25. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М., Наука, 1981. 256 с.

26. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Гостехиздат, 1950. 472 с.

27. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М., Наука, 1975. 528 с.

28. Мышков С.К. Линейные управляемые системы с неполной информацией о координатах состояния. // Негладкие задачи теории оптимизации и управления, под. ред. Демьянова В.Ф. Л., Изд-во ЛГУ. 1982. С 248-272.

29. Мышков С.К. Оптимальная в среднем стабилизация линейных управляемых систем // Вестник ЛГУ. 1971. №7 С. 90-97.

30. Мышков С.К. Условия разрешимости задачи оптимальной в среднем стабилизации линейных управляемых систем с неполной информацией // Вопросы механики и процессов управления, под ред. В.В. Новожилова. Л., Изд-во ЛГУ. 1978. № 2. С. 148-157.

31. Мышков С.К, Амбросенок (Тарасова) В.В. К вопросу о решении задачи минимаксного управления // Тезисы докладов XIII международной конф. «Проблемы теоретической кибернетики». Казань. 2002. С. 19-21.

32. ПолакБ.Т. Введение в оптимизацию. М., Наука, 1983. 384 с.

33. Полякова Л.Н. Метод точных штрафных функций. СПб., ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001. 38 с.

34. Полякова Л.Н. Методические указания к курсу «Негладкий анализ». Тема: Квазидифференцируемые множества. СПб., ООП НИИ Химии СпбГУ, 2001.26 с.

35. Полякова Л.Н. Необходимые условия экстремума квазидифференцируемых функций // Вестник Ленингр. ун-та. 1980. № 13. С.57-62.

36. Полякова Л.Н. Об одной задаче негладкой оптимизации // Кибернетика. 1982. №2. С.119-122.

37. Полякова JI.H. Учебно-методическое пособие по решению задач выпуклого анализа. СПб., ООП НИИ Химии СпбГУ, 2004. 36 с.

38. Понтрягин А.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969. 384 с.

39. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., Наука, 1990. 320 с.

40. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1969. 151 с.

41. Пшеничный Б.Н. О необходимых условиях экстремума для негладких функций // Кибернетика. 1977. № 6. С.92-96.АЪ.Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М., Наука, 1975. 320 с.

42. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., Наука, 1973. 472 с.

43. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986.325 с.

44. Тарасова В.В. К вопросу о решении задачи минимаксного управления// Депонирована в ВИНИТИ №647 от 20.04.2004.

45. Тарасова В.В. Некоторые методы решения задачи минимаксного управления// Труды XXXV конференции студентов и аспирантов. «Процессы управления и устойчивость». Из-во СПбУ. 2004. С.113-121.

46. Уилкинсон Д.Х. Алгебраическая проблема собственных' значений. М., Наука, 1970. 564 с.

47. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М., Наука, 1984. 416 с.

48. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1960. 656 с.

49. Федоров В.В. Численные методы максимина. М., Наука, 1979. 278 с.

50. Чатаев Н.Г. Устойчивость движения. М., Наука, 1990. 176 с.

51. Шор Н.З. Использование операции растяжения пространства в задачах минимизации выпуклых функций// Кибернетика. Киев. Наукова Думка, 1970, № 1. С.6-12.

52. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. К., Наукова думка, 1979. 199 с.

53. Шор Н.З. О классе почти-дифференцируемых функций и одном методе минимизации функций этого класса// Кибернетика. Киев.: Наукова Думка, 1972, № 4. С.65-70.

54. Элъсголъц JI.3. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969. 424 с.

55. Bhatia R. Perturbation bounds for the matrix eigenvalue. Research Notes in Mathematics 162. Pitman Publishers, 1987

56. Hiriart-Uruty J.-B. From convex optimization to nonconvex optimization // Nonsmooth Optimization and Related Topics, Clarke F.H., Demyanov V.F., Giannessi F. Eds., Plenum Press, 1989. P. 219-239.

57. Hiriart-Uruty J.-B, Lewis A.S. The Clarke and Michel-Penot subdifferentials of the eigenvalues of symmetric matrix // Computational Optimization and Applications. 1998. N 13. P. 13-23.

58. Hiriart-Uruty J.-B., Seeger A., Ye D. Sensitivity analysis for a class of convex functions defined over a space of symmetric matrices // Lecture Notes in economics and mathematical systems. 1992. P. 133-154.

59. Lewis A.S., Overton M.L. Eigenvalue optimization// Acta. Numerica. 1996. vol. 5, P. 149-190.

60. Overton M. On minimizing the maximum eigenvalue of a symmetric matrix. // SIAM J. Matrix. Anal. Appl. 1988. vol. 9, P. 256-268.

61. Seeger A. An external problem involving matricial quadratic forms. // Rev. Mat. Apl. 1990. vol. 11, P. 117-132.

62. Yahagi Т. Design of optimal output feedback control systems. // International Journal Control. 1973. vol. 18, N 4. P. 839-848.

63. Yahagi T. Minimax output feedback regulators. // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 1976. vol. 98, N 3. P. 270-276.вв.Калман P., Фалб. П., Арбиб M., Очерки по математической теории систем. М., Мир, 1971. 400 с.