Минимаксные решения уравнений в частных производных первого порядка и их приложения к дифференциальным играм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ОЗДЕРАДИИ 2 2 МАЙ ЗД ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. Ы.ГОРЬКОГО

Султаяова Розалия Аохатовпа

минимаксные решения уравнения в частных производных первого порядка и ш приложения к дифференциалы™ играм

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук л

На правах рукописи

УДК 317.9

Екатеринбург - 1993

Работа выполнена в КИИ фипнки и прикладной математики при Уральском гооударетаенном университете нмэян А.М.Горького.

Научный руководитель - член корреспондент РАН А.И.Субботин.

Официальные оппоненты - доктор фиаика-математичеокия наук,

в.н.с. А.Г.Пашков,

кандидат физико-математических наук, доцент Г.С.Шэлементьев.

Ведущая организация - Институт математики и механики Ура РАН

Защита состоится "2£щ ^ЮЬСЦ? часов на

ааседании диссертационного совета К 063.78.03 по защите диссертации на соискание учвной степени кандидата фиэико - математических наук при Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени А.М.Горького С 620083, г.Екатеринбург, К-8Э, пр.Ленина, 31, к.248).

С диссертацией мэжно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослан ^ 1995"?.

Учбный секретарь диссертационного совета

кандидат фиэико - (.^тематических наук,

доцент ¡7—— В.Г.Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнения Гамильтона-Якоби и другие типы дифференциальных уравнений в частных производных (УЧГО первого порядка рассматриваются во многих раздела-' математики, механики, физики. Как правило, эти уравнения нелинейны, их классические нелокальные решения не существуют. Вместе с тем, для исследуемых проблем содержательно определены функции (возможно негладкие), удовлетворяющие рассматриваемым УЧП всюду, где эти функции дифференцируемы. Таким образом, возникает потребность вводить обобщённые решения. В качестве примера можно привести уравнение Беллмана-Айзекса, которое рассматривается в теории оптимального управления и дифференциальных игр. Этому уравнению удовлетворяет функция цены (функция оптимального результата) в тех точках, г^е она дифференцируема. Однако, как правило, функция цены не является дифференцируемой всюду.

Исследования, относящиеся к обобщенным решениям УЧП первого порядка, проводились многими математиками, начиная с 50-х годов. В 80-х годах М.Дж.Крэндаллом и П.-Л.Лионсом ^ было введено понятие вязкостного решения. Определение вязкостного решения основано на замене исходного уравнения парой дифференциальных неравенств. К этим работам было привлечено внимание многих авторов, которые исследовали различные типы краевых задач и задач Коши для УЧП первого порядка, вырожденных параболических и эллиптических уравнений. Шли изучены вопросы единственности и существования вязкостных решений. Рассматривались также применения теории вязкостных решений к задачам оптимального управления и дифференциальных игр. Упомянутые

Crantiaei Af.G. .Llona P.-L. У1зсозИу solutions of Haml eton-JacoBl equations ss Тгалз. Amer. Math. Soc.-1903.-Vol.277, Ji l.-P.t-42.

исследования составляют р настоящее время обширную библиографию.

Другой подход к УЧП первого порядка имеет своим источником исследования дифференциальных игр. В начале 70-х в работах Н.Н;Кра-совского и А.И.Субботина *^были введены u-стабильные и и-стабильны» функции, которые мажорируют и минорируют функцию цены, функция цены дифференциальной игры -единственная функция, обладающая одновременно свойствами и и v-стабильности. Известно так*£, что функция цены в тех точках, где она дифференцируема, удовлетворяет УЧП первого порядка (уравнению Беллмана-Айзекса). Таким образом, указанные свойства определяют-одно и только одно обобщённое С минимаксное) решение уравнения Беллмана-Айзекса. Свойства и и и-стабильности можно выразить различными способами, в том числе в форме неравенств для производных по направлениям, введённых в работах , которые были по-ридимому первыми, где обобщённое решение определено в результате замены уравнения парой дифференциальных неравенств, 8 дальнейшем было показано ^, что предлагаемый подход можно использовать для изучения широкого круга краевых задач и задач Ноши для различных типов УЧП первого порядка, тс есть не только для уравнений Беллма-ка-Айзекса. При этом сохраняется конструктивная основа подхода, который можно трактовать как редукцию классического метода характеристик. Минимаксное решение должно быть слабо инвариантно относитель-—_

Красовский U.K., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.: Наука, 1974.- 456 с.

•а)

Субботин А.И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. -1978.-Т.243, Ji 4.-С.862-865. ^'Субботин А*.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр /V Докл. АК CCCP.-iS80.-T.254 , je 2.-С.293-297.

Но "характеристических" дифференциальных включений, то есть по графику минимаксного решения через любую точку графика должны проходить траектории этих включений.

Заметим, что, несмотря на различное происхождение и форму определений, минимаксные и вязкостные решения оказываются эквивалентными .

Отметим также, что минимаксные операции присущи обобщённым решениям УЧП первого порядка и проявляются не только в исследованиях, связанных с задачами оптимального управления и дифференциальных игр. Наглядный пример - известные формулы Хопфа, в которых обобщённые решения'определены операциями минимакса и махсимина. В исследованиях В.П.Маслова, С.Н.Самборского и их сотрудников решение определяется на основе обобщённого дифференцирования, которое, в своп

с

очередь, опирается на понятие "скалярного произведения" функций, введённого с помощью операции минимума.

Несмотря на прогресс, достигнутый к настоящему времени в теории обобщённых решения УЧИ первого порядка, имеющееся результаты не являются исчерпывающими.

Диссертационная работа относится к исследованиям минимаксных решений и их приложениям в теории дифференциальных игр.

Цель работы. В диссертации основное внимание уделено уравнениям, гамильтониан которых зависит не только от фазовых переменных

и градиента искомой функции, но и от значения этой функции. Целью —

Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-

Якоби. - М.: Наука, 1991.-216 с.

ел

Маелов В.П., Самборский С.Н. Стационарные уравнения Гамильтона-

Якоби и задачи синтеза оптимальных управлений /г Докл. АН СССР.

-1994.-Т.337, № 6.-0.721-724.

работы является изучение существования, единственности минимаксных решений задач Коши для уравнений указанного вида и ограниченных минимаксных решений УЧП первого порядка общего вида. Самостоятельная цель работы состоит в дальнейшем развита метода минимаксных решений. Объектом исследования являются также дифференциальные игры неограниченной продолжимости и обобщённые решения соответствующих уравнений Беллмана-Айзекса.

Методика исследования В основе исследований лежат результаты теории минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби ^ и теории позиционных дифференциальных игр 2Э-4)_ така® используются понятия и факты из теории оптимального управления, выпуклого анализа и оптимизации недифференцируемых функций.

Научная новизна. Диссертационная работа относится к новому направлению в теории уравнений Гамильтона-Якоби и других типов УЧП первого порядка. Исследования в этой области привлекают внимание многих отечественных и зарубежных '-'тгематиков. Рабата содержит также результата. относящиеся к смежным проблемам негладкого анализа и теории дифференциальных игр. В диссертации представлены исследования, выполненные автором в 1983-1991 годах. На момент опубликования результатов этой работы они были новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Исследования обобщённых решений УЧП первого порядка представляют самостоятельный математический интерес и имеют важные приложения в теории управления, дифференциальных играх, в некоторых разделах механики и физики. Диссертационная работа дополняет знание в этой области новыми результатами. Важное качество метода минимаксных решений состоит в его конструктивности, в работе, возможности этого метода применены для новых типов УЧП первого порядка. Получены приложения к задачам оп-

тимального управления и дифференциальных игр, в частности, получены

>

новые результаты для дифференциальной игры неограниченной продолжимости с целевым функционалом, типичным для задач математической экономики. Попутно получен результат, выражающий важное свойство негладких функций.

Апробация parios. Основные результаты работы докладывались на VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" -(Екатеринбург, 1990), конференции молодых учёных Института математики и механики УрО РАИ (Екатеринбург, 1983) и обсуждались на семинарах отдела динамических систем Института мате (.атаки и механики УрО РАН, кафедры прикладной математики Уральского госуниверситета.

Публикации, По теме диссертация опубликовано 7 работ [1-7).Ib работ, опубликованных в соавторстве с А.И.Субботиным и А.М.Тара-сьевым, в диссертацию включены результаты, полученные автором диссертации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трвх глав, приложения и списка литературы из 47 наименований, и занимает 149 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Первая глава С§1-§4) посвящена изучению минимаксных решений задачи Коши

dq^dt + ffft.x.y.V^) = 0. (t,x) т (O.T)xfi" (1)

q>(T,x) = о(х). х« ВТ. (2)

В §1 задача Коши СП.С2) рассматривается для случая, когда функции К , s непрерывны по совокупности переменных; функция H(t,$,Т}, з} - локально лигаицева по переменным х и з , не возрастает по

переменной т) и положительно однородна по переменной з .

Для определения верхнего, нижнего и минимаксного решений задачи Ко-

ши CD.C2) вводятся следующие конструкции.

5 = f s « й" : Bs(|=iJ, F(x) » : I / I <VSae/i + 1 ; } ,

F0(t.x,r\,q) = С f m F(x) : <f,q> > H(t,x,r],q) ) , FH(t.х,т\,р) = f / « F(x) : <f,p> $ H(t,x,j],p) } , здесь t « (O.T) , i « R", 1) « R , p , q с Я" , ж - некоторая постоянная из условия локальной липшицевости функции H(t,х,т],з) по переменной з .Символами Jt и XHft t.x,,i],p) ft,« f O.T] . x,e R" , t) в я , p,q € Л" ; обозначим множества абсолютно непрерывных функций t x(t) : (t^,TJ, удовлетворяющих при почти всех t « ИШ,Т] дифференциальным включениям

'x(t) « FB(t,x(t),T],q) 3(t) « FH(t.x(t),Tj,p). соответствеоно, а также начальному условию х(11) = хг .

Опредег°ние 1.1(2) Верхним С нижним) решением задачи Ноши С1), С2) назовём полунепрерывную снизу (сверху) функцию ср : 10,Т1 х ff

Я , которая для любых х « R" , t « fO.TV , т « (t.Tl удовлетворяет условиям (3),(4) (условиям (5),С6))

max min ( q>(v,x(%)) - <f>(t,x)} ^ О , СЗ)

q«S x(-)*Xa(t,x,(f(t.x).q)

' щ(Т,х) > o(x) , ' (4)

min таг f tpfx.xft;; - (pft.x,); £ 0 , (5)

peS xf- i*XH(t,x,<p(t,x),p)

<p(T.x) ^ ofx;. (6)

Определение 1.3 Непрерывную функцию <p : 10, T1 x R" R , являющуюся одновременно верхним и нижним решениями задачи Koum

H(t,x,y.f]Ms.r) =

(1),(2) назовём минимаксным решением этой задачи.

Основным результатом §1 является следующее утверждение. Теорема 1.1. Пусть функции Н , в удовлетворяют отмеченным выше условиям. Тогда существует единственное минимаксное решение задачи Кош С13 ,С2).

В §2 задача Коим С1),(2) рассматривается без требования положительной однородности функции з -» H(t,x,r\,3) . Минимаксное реша-ние, в данном случае, определяется следующим образом. Задача Коим сводится к следующей вспомогательной задаче.

ctip/dt t H(t .x.y.y.VJf.dtfsdy) = 0 , (t.x.y) « (O.TJxFfxR , (р(Т.х.у) = с(х) + у , (х.у) * fPxR . здесь функция Н определена следующим образом:

|р| H(t,x,r\-y,a/\r\) при г * О

с

elm г H{t,x,Tf-y,3^r) при г = О г J

(t.x.y) е (O.TjxtPxR Во вспомогательной задаче функция H(t,x,i\,3) ( х = (х,у) , а « (з.г) в л"хд ) является положительно однородной функцией по переменной з . Согласно теореме 1.1 существует единственное минимаксное решение ¡р :(0,TJxRnxR -» R вспомогательной задачи. Установлено, что Это решение имеет вид

С}(t,x.y) = y(t.x.O) + у . (t.x.y) « (O.TlxFTxR . Определение 2.1 Минимаксным решением задачи Коши CD,С2) назовём функции q(t,x) = ср(t.x.O) . (t,x) « [O.TJxR" .

Прежде чем сформулировать результаты §3, введём необходимые обозначения. Символами djp(t.x)i (1 ,f) . d+y(t.x)\(i ,f) будем обозначать нижнюю и верхнюю производные Дини функции ф по направлении (t,f) « ftxfi" в точке (t,x) , т. е.

Ojp(t.x)] (1 ,f) * tim Inf C(a(t + t, x *■ kv) - <p(t,x)) /- x : а ¿О

t « I H-/HC) ,

«= fim sup {(if(t + x, x + hx) - cpft.ar;^ ✓ x : 04.0

t « (0,б), I h - t « ? 6 } .

Множества D~<p(t,x) , D*q>(t,x) - субдифференциал и супердифференциал функции <р в точке (t,x) будем определять так

D~ip(t,x) » ( (b.s) е ftx/f : flm In/ ff<P(T,y; - cpft.xj -

- oft - t; - <s, у - x>) / (It -t\ + ly-x\)20),

D*<p(t,x) = { (е,з) e RxFl1 : tlm sup ((<р(т,у) - <p(t.x) -

(x,y)-»(t,x)

- oft - t) - <s, у - x>) /• fit -tl + i у - x i; $ 0 } .

В §3 показано, что услозие (3) из определения верхнего решения эквивалентно каждому из Следующих условий :

min C9jp(t.xJI(i,/J : f « Fz(t,x,tp(t,x),q) } < 0 для всех (« iO.TJxft" . q m s ;

sup (<3,h> - 6_<p(t,x)i(1,h) : h « ft" ) Z H(t,x,<p(t,x),s) для всех (t,x) « (0,Т)хfi" , s « Rn ;

о * H(t.x,y(t,x).9) ^ О C7)

для всех (t,x) e (O.T)xfi1 , (<s,s) « D~<p(t,x) . Аналогично, условие С 5) из определения нижнего решения эквивалентно каждому из следующих условий :

max { d+<f(t,x)Hl,f) : f « FH(t.r,(f(t,x),p) ) > О для всех (t,х) « iO,T)xlf , р « 5 ;

tn/ f<s,h> - a+<p(t.r;l fi.HJ : h e Я" J < H(t,x,q>(t.x),s) для всех (t,x) в Ю,Т)хГГ , з ч Rn ;

a t H(t,x,y(t,x),s) > О С8Э

для всех (Ъ,х) « ГО.Т'Рх/?' , (о,з) в й+<р(г,х) .

Отметим, что непрерывная функция ср :(0,Т1хНп -» Я , удовлетворяющая условиям С7),(8) называется вязкостным решением Св смысл? М.Дж.Крэндалла, П.-Л.ЛионсаЗ уравнения (13. Поэтому из написанного выше следует, что минимаксное решение совпадает с вязкостным решением. В конце §3 показана совместность минимаксных и классических решений задачи Коши (13,(2).

Уравнения вида (1) (т.е. те уравнения, где гамильтониан Н включает зависимость от функции ф) возникают, например, в задачах управления, в которых динамика системы зависит от ожидаемого значения целевого функционала. В §4 рассмотрены две такие задачи. Установлено, что функция цены в обеих задачах является минимаксным решением соответствующего уравнения Беллмана - Айзекса (уравнения вида (13).

Глава 2 (§5, §6) посвящена изучению ограниченных минимаксных решений уравнений вида

- <р + Н(х,Чу) = 0 , х « Я" , (9)

Р(х,ф,%> = 0 , х е РР . (10)

В §5 рассматривается уравнение вида (9) при следующих ограничениях на функцию (х,з) - Н(х,з) .Функция Н непрерывна по совокупности переменных. Выполняются некоторые аналоги условий локальной липшицевости пс переменным х и з . Существует число К такое, что для любого г « Я" справедлива оценка IН(х,0)\ $ К .

Показано, что минимаксное решение уравнения (9) можно определить как предел минимаксных решений задач Коши Ечда (1),(2). А именно, рассматривается следующая вспомогательная задача Коши

ВпудЪ * На,х,Чхч,дтуду) = 0 , а.х.у) «= (0,7>Я*хЯ » (11) ■ц(Т.х.у) = у , (х.у) е . • С123

Здесь Т e С0.+ и) , а функция Н определена следующим образом H(t.x,s.r) =

e_tlrl tf/Xs/íe^lrlJJ при г t-0

Пт e_ír Н(х,з/(е~*г)) при г = О r¿0

(t,x) е (0,T)xFP , з е ñ", г в Я . Согласно результатам §1 существует единственное минимаксное решение задачи Коши С11),(12). Обозначим его через т^ . В §5 доказано, что функцию т)^ СГ = fl) можно представить в виде к'

ща.х.у) = в~х тц_г(0,х,0) + у ' для всех (t.x.y.ü) « fO.+to^x/fxftxí'O.+oo)., t < fl . Здесь - минимаксное решение задачи Коши С11),С12) при Т = в - t . (Отметим, что для каждой задачи Коши параметр Т - фиксированное положительное число) . Установлено, что существует функция <p¿ : Fl* Я такая, что

со

для любой последовательности чисел "fd } ^ ч +<п при п -к» после-

оо

довательность fify (0, • ,0))¡ равномерно сходится к функции (pfí ■) п

Кроме того, lipj(x)i < К для всех х « Я" . Функция (f>t - является единственным ограниченным минимаксным решением уравнения С9) .

В §6 дано три эквивалентных определения минимаксного решения уравнения (9) . Приведём одно из них , данное в теореме 5,5 .

Определение 5.1. Непрерывная функция <р : Я* ч Я называется минимаксным решением уравнения С9) если для всех х,з е Я* выполняются условия

зир С <s,d> - djp(x)l(d) :d « Я" } > - <р(х) + И(х,з) ,

inf С <s.d> - д+<р(х)\(й) :d е /? Н - <р(х) t И(х,з) ,

Здесь дюСхУ) (d) = lim inf СШх + т:f) - <р(х))/ т : т « (0,6)„ 1 1 64,0

-di < б ) - нижняя производная Дини функции ф по направлению d в точке х; 0+фСх) I (d)= llm зир ((у(х + xf) - <р(х))/ тле (0.6), tf

- d \ < 6 } - верхняя производная Дини функции ф по направлению d

в точке х .

Согласно результату теоремы 5.6 минимаксное решение уравнения (9) совпадает с вязкостным решением этого уравнения .

Минимаксные решения уравнения С103 рассматриваются в §6. Установлено, что если уравнение

F(x,q,s) = 0 , (х.з) « Я'хЛ" (13)

однозначно разрешимо относительно переменной ср для всех (х,з) « Ffx R*. то уравнение СЮ) сводится к более простому уравнению (9) и минимаксное решение уравнения (10) можно определить как минимаксное решение некоторого уравнения вида (9). Существует единственное ограниченное минимаксное решение уравнения (10). Этот факт зафиксирован в теореме 6.1. В теореме 6.2 установлена совместность минимаксных и классических решений уравнения (10). В теореме 6.3 при дополнительном предположении о монотонном возрастании функции ср F(x,<p,s) установлено, что минимаксное решение уравнения (10) совпадает с вязкостным решением этого уравнения. Отметим, что предположение о монотонном возрастании указанной функции присутствует в основных работах, посвящённых вязкостным решениям. Допущение однозначной разрешимости уравнения С13) является более слабым ограничением, чем монотонность функции <р F(x,y,s). Вместе с тем это допущение существенно поскольку если оно отсутствует, то можно привести примеры уравнения (10), имеющего несколько ограниченных решений или не имеющего ни одного решения.

В главе 3 (§7,§8) рассматривается дифференциальная игра неограниченной продолжимости. Установлено, что игра имеет цену, а функция цены является минимаксным решением уравнения Беллмана - Айзек-са вида (9), т.е. главу 3 можно рассматривать как иллюстрацию к главе 2.

В §7 рассматривается управляемая система

х = /Сх,и, х^,) = а; (14)

с функционалом платы

ш

Лх(-),и(-)М-)) = !е~к*е(хи).ии),»(г))си , \ (15)

Здесь ^ « ГО.+оз) - начальный момент времени, х, в Я", управление и выбирается из компакта Я с /Г, помеха и - из компакта 0 с Д*. «ункции (х,р,<1) •» f(x.p,q), (х.р.ц) ■* еГх.р.д) - непрерывны по совокупности переменных, липшицевы по переменной I с константой Липшица I/, функция / удовлетворяет условию1 продолжимости решений, функция £ ограничена константой К.

Управляемый процесс (14), (15) рассматривается как дифферен-

о '

циальная игра, в которой первый игрок, распоряжающийся управлением и, стремится минимизировать плату 3, интересы второго игрока, отвечающего за помеху V, противоположны. Дифференциальная игра (14),

(15) исследуется в рамках формализации . К системе (14) добавляется (и + 1)-ое уравнение

••• а *

г = (х.у) = (!(х,и,ь),& Л1е(х,и.и)), е(^) = (х(г.).уа,)) =

= = (Х..У,). х е у т п, г е ц « Р, V в <3. С 16)

которое в дифференциальной форме задаёт функционал (15). Функционал платы определяется соотношением

^(г(-)) = 1Ш у(&). (17)

■¡Ь+со

Здесь у('в) -значение (и +■ 1)-ой координаты движения в(-) системы

(16) в момент времени -б. Отметим, что при у, = 0 значения функционалов .Г (15) и 3* С17) совпадают.

Дифференциальная игра (16), С17) рассматривается в ^дассэд: позиционных стратегий первого и второго игроков Спредполагается,что существует седловая точка "маленькой игры" см.2Ъ. Согласно резуль-

тату теоремы 7.5 для каждой начальной позиции (4>#г„,)= (tt, (ха ,у„)) дифференциальная игра (16), (17) имеет цену причём

= У. f е~М° м(0.(х.,0)), где ы(0, (х„,0))~ цена игры (16), (17) для начальной позиции = (0,(х,,0)). Далее дифференциальная игра (16), (17) рассматривается для начальной позиции а,,га) - (0,(х,0)), I « й", а цена игры обозначается через иКх'). Установлено, что функция цены ш является ограниченной, непрерывной то Г?льдеру функцией.

В §8 сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять функция цены и>. Эти условия в теории дифференциальных игр называются условиями стабильности. Введём обозначения. Пусть ав,г,) « (О, V, « 5, ц, « Р. Символом

обозначим множество абсолютно непрерывных функций е(-) = (х(-),у(-)): И,,+<ю) /г"", удовлетворяющих почти всюду на каждом конечном промежутке времени дифференциальному включению га) е со('^(х(г),и.»,), е~ме(х(1),и,1>0)) : и « Р> (¡¡а) * соС(/(х(г).и}.и), е-иё(х(г),и,1и)) : и « Ц>) И начальному условию г(£0) -г,. Доказано следующее утверждение.

Теорема 8.2. Для того, чтобы функция ш : Я* -» Я была функцией цены игры (16),(17) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия :

1. функция ш 01 раничена и непрерывна ;

2. функция ш и-стабильна, т.е. для любых í е [0,*■<*>), х « Я", и « О найдётся движение г(-) = (х(-).у(-)) « ¿¡(О^х.О)^) такое, что

е~им!(х(Ю) + ум * ю(х) ;

3. функция ц> и-стабильна, т.е. для любых Ь « [0,■**>). х « Я", и « Р найдётся движение г(-) = (х(-),у(-)) « 2,(0,(х,0),и) такое, что

+ уа) > шгх; .

Условие и Си) - стабильности является аналогом условия из определения.S.1 С5.2) верхнего (нижнего) решения уравнения (9), данного в §3, И на самом деле функция цены w является верхним, нижним, а следовательно минимаксным решением уравнения (9), где функция t определена следующим образом

Н(х,а) = (1Л.) mlп (шаг ((<s,f(x,u.v)>' + g(x,u,v)): v « Q>: и « R}. Этот факт зафиксирован в теореме 8.3. Для функции ш справедливы все утверждения из §5, касающиеся минимаксных решений уравнения С9).

В приложение вынесен результат, который используется в §3, §Е при доказательбтве эквивалентности неравенств из определения минимаксного решения. Зтот результат, относящийся к негладкому анализу, представляет самостоятельный интерес. Введём необходимые обозначения. Пусть ш : Я* ч Я непрерывная функция и х е я?. Обозначим

Djd(x) = f (d.hj v Я"хЯ : d_w(x)\(d) $ h У т.е. множество Dja(x) есть надграфик функции д_ы(х)\(■). Вектор р « Я* назовём субградиентом функции w в точке х, если выполняете: следующее неравенство

sup ( <p,d> - d_w(x)l(d) : d « Я" ) < 0.

Справедливо следующее угверадение.

Теорема 9.3. Пусть ш : ft1 ■* R непрерывная функция и множеств! F непустой выпуклый компакт из ft**'. Допустим, что

Dju(xJ f] F = 0

для некоторой точки х„ « Я*. Тогда для любого е > 0 найдутся точк; х из е - окрестности точки xt и субградиент р функции ш в точке , такие, что

< (p.-D. f > > О для всех /cf, т.е., в частности, множества D_w(x) и F строг отделимы.

Отметим, что в работе ® имеется утверждение Слемма 6.3)

отличное по формулировке и схеме доказательства, однако близкое по

сути к теореме 9.3. Кроме того, для лишицевой функции &

аналогично? утверждение можно получить другим способом, опираясь на

71

утверждение 4.4, полученное В.Н. Ушаковым в статье . "Недавно в

Я'S

работе Ф. Кларка и Ю.С. Ледяева получено усиление этих результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЩ1И 1. Адиатуллина P.A. Тарасьев A.M. Дифференциальная игра неограниченной продолжимости // Прикл. математика и механика. -1987. -Т.51, № 4.-С.531-537. 3. Адиатуллина P.A. Тарасьев A.M. Функция цены в дифференциальной игре неограниченной продолжимости // Позиционное управление с. гарантированным результатом. - Свердловск: УрО АН СССР, 1988. -С.4-13.

3. Адиатуллина P.A., Субботин А.И. Минимаксные решения уравнений -вида аp/dt + H(t,x,<p,v (р) = 0. - Свердловск, 1989.-32 е.- Деп. в ВИНИТИ 26.12.89, Л 7651-В89. 1. Адиатуллина P.A. Задача управления, динамика которой зависит от ожидаемого выЯгрыша /У VII Всессюз. конф. "Управление в механи-

'' Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы управления и теории информации.-1985.-Т.14, * 3.-0.155-167.

'-1 Кларк Ф., Ледяев Ю.С. Новые формулы конечных приращений // Докл. АН.-1993.-Т.331 , № 3.-0.275-277.

ческих системах" : Тез. докл. - Свердловск, 1990.-C.4-S.

5. Адиатуллина P.A. Тарасьев A.M. функция цены в дифференциальной игре неограниченной продолжимости // XI Всесоюз. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" : Тез. докл.- Волгоград, 1990.-С.6-6.

6. Султанова P.A. Производные по направлению непрерывной функции. Теорема об отделимости. - Свердловск, 1990.-23 е.- Деп. в ВИНИТИ 08.01.91, № 141-В91.

7. Адиатуллина P.A., Субботин А.И. Обобщённые решения уравнений вида aqvöt + H(t.г,<р,Ужф; =г о // ,№фференц. уравнения.-1992.-Т.26, № 5.-0.799-306.

Подписано в печ. 17.04.85. Формат 60 х 84 1/16.

Бумага газетная. Объем 1,0. Тир. 100. Зак. Л Wh

Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51. Типолаборатория УрГУ.

1В