Конструкции негладкого и многозначного анализа в задачах динамической оптимизации и теории уравнений Гамильтона-Якоби тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Многозначные решения уравнений Гамильтона-Якоби

1.1 Постановка задачи.

1.2 Характеристическое дифференциальное включение

1.3 Многозначные эпи-решения, гипо-решения и их свойства

1.4 Теорема существования М-решений.

1.5 Эквивалентное определение М-решения.

1.6 Примеры.

2 М-решения разрывных уравнений Гамильтона-Якоби

2.1 Некоторые понятия и результаты негладкого анализа

2.2 Задача Коши для разрывного уравнения Гамильтона-Якоби

2.3 Свойства М-решений разрывного уравнения.

2.4 Применение М-решений в задачах управления.

2.5 Итерационная процедура построения М-решений

3 Алгоритм построения кусочно-линейной сопряженной функции

3.1 Постановка задачи.

3.2 Предварительное описание метода решения.

3.3 Решение на конкретном итерационном шаге

3.4 Заключительный этап алгоритма.

3.5 Основные шаги алгоритма.

3.6 Сложность реализации алгоритма.

ОГЛАВЛЕНИЕ

4 Задача оптимизации хаусдорфова расстояния между двумя выпуклыми многогранниками

4.1 Постановка задачи.

4.2 Субградиенты и субдифференциалы.

4.3 Аналитический метод.

4.4 Простой субградиентный метод.

4.5 Метод с прогнозированием результата.

4.6 Многошаговый метод.

Диссертация посвящена изучению свойств обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби и разработке вычислительных методов, для задач, возникающих в теории управления и дифференциальных играх. Исследования проводятся в рамках теории минимаксных решений, которая была создана А. И. Субботиным и продолжает развиваться в научной школе Н. Н. Красовского по оптимальному управлению.

Развитие теории обобщенных решений тесно связано с такими направлениями, как дифференциальные игры, оптимальное управление, негладкий и многозначный анализ.

Теория дифференциальных игр активно развивается с начала 60-х годов. Это развитие связано с именами отечественных и зарубежных математиков Н. Н. Красовского, JI. С. Понтрягина, Е. Ф. Мищенко, А. И. Субботина, Б. Н. Пшеничного, А. Б. Куржанского, Ю. С. Осипова, Р. Айзекса, В. Флеминга и других.

Кратко перечислим основные результаты, к которым примыкает диссертационная работа.

Н. Н. Красовским и его сотрудниками была создана концепция позиционных дифференциальных игр [27, 28, 30, 32, 75] и исследовано основополагающее понятие стабильности. В основе этой теории лежит принцип экстремального прицеливания на стабильные мосты. Для широкого круга дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе [31, 32,121]. Эта теория объединила в себе подходы, направленные на решение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования, так и проблемы вычисления решений в дифференциальных играх. Так для решения регулярных задач теории позиционных дифференциальных игр были разработаны методы детерминированных и стохастических программных конструкций [24, 33, 34, 75, 87]. Было проведено численное моделирование различных динамических систем [8, 17, 83, 84].

Теория дифференциальных игр тесно связана с теорией обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка. Так, известно, что функция цены дифференциальной игры, будучи негладкой, в точках дифференцируемости удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Задачи, которые приводят к негладким решениям уравнений с частными производными первого порядка рассматривались в 50-70-е годы Н. С. Бахваловым, С. К. Годуновым, О. А. Ладыженской, О. А. Олей-ник, А. А. Самарским, А.Н. Тихоновым, П. Лаксом, Е. Хопфом, У. Флемингом и другими математиками. Среди этих исследований особо следует упомянуть результаты С. Н. Кружкова [35, 36], полученные для уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом.

В начале 80-х годов в работах М. Дж. Крэндала, П.-Л. Лионса и Л. С. Эванса [111]—[114] был предложен подход к определению негладких решений краевых задач для уравнения Гамильтона-Якоби общего вида. Понятие решения было введено путем замены уравнения парой неравенств для субградиентов и суперградиентов Дини. В основе доказательства теоремы существования обобщенного решения лежит метод исчезающей вязкости. Поэтому такие решения получили название вязкостных.

Исследования уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана на основе идем-потентного анализа были начаты и развиваются в последние годы В. П. Масловым и его сотрудниками [22, 45, 46].

В данной диссертации развивается другой подход к определению обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка. Исследования проводятся в рамках теории минимаксных решений. Предлагаемые конструкции могут рассматриваться как обобщение классического метода характеристик.

Понятие минимаксных решений было введено А. И. Субботиным в конце 70-х годов в работах [64, 70]. Термин "минимаксные решения" и свойство слабой инвариантности, лежащее в основе этого понятия, возникли в теории управления и теории дифференциальных игр. В начале 70-х Н. Н. Красовский и А. И. Субботин ввели в рассмотрение w-стабильные и v-стабильные функции, которые мажорируют и ми-норируют функцию цены дифференциальной игры [32]. Свойства и и ^-стабильности могут выражаться различными способами, например, с помощью дифференциальных неравенств для производных по направлению и субдифференциалов, а также с помощью контингентных конусов, называемых также конусами Булигана.

Первые результаты, связанные с заменой уравнений с частными производными первого порядка парой дифференциальных неравенств были получены в 1978 и 1980 годах А. И. Субботиным и Н. Н. Субботиной [64, 70]. Дифференциальные неравенства в определении минимаксных решений применяются для описания свойства стабильности функции цены и выражаются в терминах производных по направлению.

Существенным фактом теории обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка является эквивалентность минимаксных и вязкостных подходов, доказательство которой требовало дополнительных усилий. На первом этапе было установлено совпадение минимаксного и вязкостного решения с функцией цены соответствующей дифференциальной игры [73, 74, 126]. Затем, А.И. Субботиным в работах [65, 66, 130] было получено прямое доказательство эквивалентности определений минимаксных и вязкостных решений, опиравшееся на результат, полученный в работе [14].

В 70-х годах в теории дифференциальных игр для построения функции цены А. Г. Ченцовым в ряде работ был предложен и развит метод программных итераций [75, 93, 95, 96]. Позже А. И. Субботиным и А. Г. Ченцовым этот метод был применен для построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби [76]. Часть результатов данной диссертации является продолжением этих исследований.

Другое направление исследований, представленных в диссертации, связано с теорией разрывных решений [4, 5, 12, 86]. Необходимость рассматривать такие решения возникает при исследовании достаточно широкого круга практических задач. Например, подобная ситуация наблюдается в задачах оптимального быстродействия, где функция оптимального гарантированного результата может быть разрывной. При определенных условиях минимаксное решение краевой задачи типа Дирихле для уравнений с частными производными первого порядка существует и единственно в классе разрывных функций [67, 129].

В работе [69] А. И. Субботиным было предложено понятие многозначного М-решения, которое является естественным развитием понятия минимаксного решения. В основе этого понятия лежит свойство слабой инвариантности множества, представляющего М-решение, относительно характеристического дифференциального включения. Эта работа явилась продолжением исследований, опубликованных в [65]-[68]. Буква М в названии решения означает "многозначное" и "минимаксное". Введение этого понятия позволяет упростить и унифицировать исследования разрывных решений. Кроме того, понятие М-решений позволяет значительно расширить класс задач, для которых удается определить обобщенные решения уравнений с частными производными первого порядка.

Существенное продвижение в этих исследованиях было в значительной мере обусловлено развитием аппарата и методов негладкого и выпуклого анализа в работах Ф. Кларка [20, 110], Р. Рокафеллара [62, 127], Ж.-П. Обэна [50, 102], А. Ф. Филиппова [91], В .И. Благодат-ских [6], Б. Н. Пшеничного [60, 61], В. Ф. Демьянова [15, 115] и других.

В теории дифференциальных игр известно, что дифференциальную игру можно аппроксимировать многошаговыми играми. Конструкции, основанные на таких аппроксимациях, использовались в работах В. Флеминга [117], Н. Н. Красовского [25, 26, 28], JI. С. Понтрягина [56, 58], Б. Н. Пшеничного [60, 61] и многих других авторов. Разработки вычислительных алгоритмов наиболее продвинуты в случае, когда функция цены или ее множества Лебега выпуклы. Основной задачей, которую требуется решать в этих алгоритмах является построение выпуклых оболочек функций или множеств. Разработки алгоритмов для упомянутого случая активно ведутся в Екатеринбурге В. С. Пац-ко и его сотрудниками [7, 8, 18, 38], в Московском государственном университете на кафедре оптимального управления [13], а также в г.Долгопрудном в МФТИ Е. С. Половинкиным и его учениками.

В теории дифференциальных игр известны постановки задач аппроксимации областей достижимости дифференциальной игры с помощью заданного набора базовых множеств. Так, например, в работах Ф. Л. Черноусько [97, 98, 109] и А. В. Куржанского [119, 123, 124] области достижимости аппроксимируются эллипсоидами или параллелепипедами. Подобные задачи аппроксимации решаются либо за счет использования геометрических закономерностей, либо с использованием методов негладкого и выпуклого анализа, в частности, субградиентных методов. Из обширного списка известных работ в этой области особо следует упомянуть работы Р. Рокафеллара [62], Б. Н. Пшеничного [60], а также исследования Ю. М. Ермольева [16], Н. 3. Шора [101] и Б. Т. Поляка [55].

Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе рассматривается задача Коши для уравнения Га-мильтона-Якоби. В отличие от традиционных для теории минимаксных решений постановок задач, здесь не требуется, чтобы гамильтониан системы удовлетворял условию Липшица по фазовой переменной или его модификациям. Известны результаты (см., например, [65, 66, 111, 114, 130]), показывающие, что при отказе от требований липшицевости гамильтониана по фазовым переменным, может происходить нарушение одного из основных свойств теории непрерывных минимаксных решений. Это свойство говорит о том, что любое верхнее решение больше либо равно любому нижнему решению. Напомним, что непрерывное минимаксное решение задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби определяется как функция, которая является одновременно и верхним, и нижним решением этой задачи. Другими словами, она одновременно обладает свойствами «-стабильности и v-стабильности.

В данной главе показано, что в таких задачах, возникает необходимость работать с многозначными решениями. Для иследования рассматриваемой задачи с нелипшицевым гамильтонианом используется понятие М-решения. Потребность рассматривать такие решения возникает, также, например, в тех случаях, когда краевые задачи или задачи Коши для уравнений с частными производными первого порядка не удовлетворяют известным условиям [65, 66, 111, 114, 130], при которых непрерывные вязкостные и минимаксные решения существуют и единственны, либо когда область определения этих решений априори неизвестна.

Исследования опираются на свойство слабой инвариантности множеств относительно характеристических дифференциальных включений. Аналогично понятиям верхних и нижних решений вводятся понятия эпи-решений и гипо-решений и изучаются их свойства.

Основным результатом первой главы является теорема существования М-решения. Приведены два различных способа ее доказательства. Идея первого способа состоит в аппроксимации рассматриваемого гамильтониана последовательностью сходящихся к нему гамильтонианов, каждый из которых удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным. Получаем последовательность задач Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, решениями которых являются непрерывные минимаксные решения. Доказывается, что эти решения аппроксимируют М-решение исходной задачи.

Прототипом второго способа доказательства теоремы сущетвования М-решений является метод программных итераций, разработанный в теории дифференциальных игр [76, 96]. В отличие от первого способа, в этом доказательстве не используется факт существования минимаксных решений для случая, когда гамильтониан удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным.

Другим результатом первой главы является доказательство эквивалентности двух определений М-решений задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Первым способом М-решение определяется как пересечение максимальных эпи-решения и гипо-решения. Вторым способом М-решение определяется как максимальное множество, слабо инвариантное относительно характеристического дифференциального включения и удовлетворяющее граничному условию.

В работе [40] было показано, что эти два определения эквивалентны не для всех уравнений с частными производными первого порядка.

В общем случае М-решения корректно определяются только первым способом. Так, например, подобные определения не будут эквивалентными при исследовании М-решений задач типа Дирихле.

В конце первой главы приводятся примеры задач, для которых удается выписать М-решения. Здесь, в частности, демонстрируется, что М-решение иногда может содержать график непрерывной функции, которая могла бы называться минимаксным решением, поскольку она обладает свойствами ^-стабильности и f-стабильности одновременно.

Во второй главе исследуются уравнения Гамильтона-Якоби более общего вида. Здесь гамильтониан системы может не только не удовлетворять условию Липшица, как в первой главе, но и быть разрывным по фазовым переменным. В качестве обобщенных решений задачи Ко-ши для таких уравнений также используются М-решения.

Отличительной особенностью исследований данной главы является сравнение свойств получаемых М-решений с помощью методов, характерных для двух различных теорий: теории минимаксных решений и теории вязкостных решений. Для этого активно используется аппарат негладкого и многозначного анализа.

Показано, что многозначные М-решения можно применять также в задачах управления, в которых динамика задана дифференциальными включениями. В этом случае, график функции гарантированного результата для задачи управления является нижней границей М-решения соответствующей задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.

Доказана теорема существования М-решений для разрывных уравнений и обоснована возможность применения метода программных итераций для получения М-решений. Показана совместимость полученных решений с классическими решениями, а также с непрерывными и разрывными минимаксными решениями.

Третья глава диссертации посвящена разработке вычислительного метода, позволяющего находить функцию цены линейной дифференциальной игры с выпуклым функционалом платы. С точки зрения вычислений, задача сводится к построению верхней огибающей заданного набора линейных функций.

Алгоритм, описываемый в данной главе, позволяет для заданного разбиения по времени {гг} построить множества, зависящие от т;, которые при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, сходятся к сечениям множеств уровня функции цены дифференциальной игры, отвечающим моментам времени тг-.

Отличительной особенностью предлагаемого алгоритма является то, что в действительности решается двойственная задача вычисления значений сопряженной функции в точках, соответствующих коэффициентам линейных функций. Несмотря на то, что в принципе, задачу построения верхней огибающей линейных функций можно решить методами линейного программирования, например, используя последовательно симплекс метод, в приложениях, где возникает данная задача, в частности, в построениях функции цены дифференциальной игры, число линейных функций оказывается слишком большим. Это является причиной того, что непосредственное применение традиционных методов приводит к чрезмерному объему вычислений.

В настоящее время известны более эффективные алгоритмы решения указанной задачи, ориентированные на применение в дифференциальных играх и использующие в той или иной мере особенности этих приложений. Ряд алгоритмов построения множеств уровня функции цены дифференциальной игры описан в работах [17, 18, 63]. Вместе с тем, полученные результаты не являются исчерпывающими. Предложенный новый алгоритм дополняет разработки в этой области.

В четвертой главе диссертации рассматривается оптимизационная задача, постановка которой, также как и ее приложения тесно связаны с такими разделами математики, как теория оптимального управления, теория дифференциальных игр, теория распознавания образов. Задача состоит в аппроксимации одного выпуклого многогранника в n-мерном пространстве другим выпуклым многогранником. Близость многогранников расссматривается в хаусдорфовой метрике.

Обычно для решения подобной задачи оптимизации используются геометрические методы, непосредственно вытекающие из ее постановки. Отличительной особенностью исследований, представленных в этой главе является использование аппарата выпуклого и негладкого анализа, в частности, субградиентных методов.

В процессе решения задачи минимизации хаусдорфова расстояния между двумя многогранниками предполагается, что один из них не-подижен, а другой перемещается с помощью параллельного переноса на вектор х £ Rn. Каждое значение х однозначно определяет расстояние между многогранниками, т.е. можно говорить о некоторой функции F{x)1 минимум которой и требуется найти.

Основу решения составляют исследования субдифференциала этой функции dF(x). На основе геометрических свойств субдифференциала удалось разработать метод, который позволяет находить решение в результате выполнения конечного числа действий, зависящем только от количества вершин и граней исходных многогранников. Несомненным достоинством этого метода является получение точного решения.

Другая группа методов решения поставленной задачи оптимизации относится к численным итерационным субградиентным методам. Материал четвертой главы содержит обоснование применимости различных имеющихся суградиентных методов. Кроме того, разрабатываются новые подходы, ускоряющие поиск решения с учетом особенностей имеющейся постановки.

По результатам исследований были созданы программы, реализующие все рассматриваемые методы для плоского случая. В результате численных экспериментов на плоскости выяснилось, что лучшие результаты по скорости работы и точности получаются при использовании многошагового субградиентного метода. Именно многошаговый субградиентный метод и был выбран для реализации алгоритма в трехмерном случае, несмотря на то, что с точки зрения программирования он является наиболее сложным.

Представленные в этой главе различные методы дополняют друг друга. Можно говорить о создании аппарата программной поддержки при решении широкого круга задач аппроксимации. В частности, при аппроксимации областей достижимости дифференциальных игр эталонными многогранниками.

1. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

3. Вахрушев В.А., Тарасьев A.M., Успенский А.А., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О численном решении задач оптимального управления нелинейными системами.// В кн.: 7 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Москва. 1991. С.17.

4. Годунов С.К. Разностный метод численного рассчета разрывных решений уравнений гидродинамики.// Мат. сб. 1959. Т. 47. (89),3. С. 271-306.

5. Григоренко H.JL, Киселев Ю.Н., Лагунов Н.В., Силин Д.Б., Тринько Н.Г. Методы решения дифференциальных игр. Математическое моделирование.// М.: Изд. Московского университета. 1993. 332 с.

6. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.И. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления.// Проблемы управления и теории информации. 1985. Т. 14. N- 3. С. 1-14.

7. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 363 с.

8. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М: Наука, 1976.

9. Зарх М.А., Пацко B.C. Численное решение дифференциальных игр третьего порядка.// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1987. N- 6. стр.162-169.

10. Исакова Е.А., Логунова Г.В., Пацко B.C. Построение стабильных мостов в линейных дифференциальных играх с фиксированным моментом окончания.// Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр. УНЦ АН СССР, Свердловск. 1984. С. 127-158.

11. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

12. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

13. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

14. Колокольцов В.Н., Маслов В.П. Задача Коши для однородного уравнения Беллмана.// Доклады АН СССР. 1987. Т. 296. № 4. С. 796-800.

15. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. Na 6. С. 1303-1307.

16. Красовский А.Н. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // Прикл. матем. и мех. 1981. Т. 45, Вып 4. С. 579-586.

17. Красовский Н.Н. Об одной задаче преследования // Прикл. матем. и мех. 1963. Т. 27, Вып. 2. С. 244-254.

18. Красовский Н.Н. К задаче о преследовании в случае линейных однотипных объектов // Прикл. матем. и мех. 1966. Т. 30, Вып. 2. С. 209-225.

19. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

20. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

21. Красовский Н.Н. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели.// Мат. сб. 1978. Т. 107. № 4. С.795-822.

22. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

23. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения.// Прикл. матем. и мех. 1970. Т. 34. С. 1005-1022.

24. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

25. Красовский Н.Н., Решетова Т.Н. О программном синтезе гарантирующего управления.// Проблемы управления и теории информации. 1988. Т. 17. №■ 6. С.1-11.

26. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры.// Докл. АН СССР. 1981. Т. 259 № 1. С. 24-27.

27. Кружков С.Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.// Успехи мат. наук. 1965. Т. 20. Вып. 6. С. 112-118.

28. Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Яко-би типа эйконала. I. // Мат. сб. 1975. Т. 98, 3. С. 450-493.

29. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в линейной динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N- 2. С. 51-60.

30. Кумков С.С., Пацко B.C. Максимальные стабильные мосты в контрольном примере JI.C. Понтрягина.// Вестник Удмуртского университета. (Математика, Механика) Ижевск. 2000. 1. С. 92-103.

31. Куржанский А.В., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289 Na 1. С. 38-41.

32. Лахтин А.С., Субботин А.И. Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка.// Мат. сб. 1998. Т. 189. № 6. С. 33-58.

33. Лахтин А.С., Субботин А.И. Минимаксные и вязкостные решения разрывных уравнений с частными производными первого порядка.// Доклады РАН. 1998. Т. 359. Na 4. С. 452-455.

34. Лахтин А.С., Субботин А.И. Обобщенные решения разрывных уравнений с частными производными первого порядка.// Екатеринбург: 1998. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 30.01.98, №■ 267-В98.

35. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр.// Труды МИАН СССР. 1988. Т. 85. С. 147-170.

36. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 336 с.

37. Маслов В.П., Самборский С.Н. Существование и единственность решений стационарных уравнений Гамильтона-Якоби и Беллма-на. Новый подход.// Доклады РАН. 1992. Т. 324. 6. С. 11431148.

38. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физ.-мат. литература. ВО Наука, 1994. 144 с.

39. Меликян А.А. Необходимые условия оптимальности на поверхности разрыва одного типа в дифференциальной игре // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1981. Nfl 4. С. 10-18.

40. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. Na5. С. 3-9.

41. Никольский М.С. О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества и фиксированным временем// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 2. С. 3743.

42. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512 с.

43. Олейник О.А. О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения "исчезающей вязкости".// Успехи мат. наук. 1959. Т. 14. Вып. 2. С. 159-164.

44. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры для систем с последействием.// Доклады АН СССР. 1971. Т. 196. №■ 4. С. 779-782.

45. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами.// Доклады АН СССР. 1975. Т. 223.6. С. 1314-1317.

46. Пацко B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка.// Прикл. матем. и мех. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 596-604.

47. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

48. Понтрягин J1.C. О линейных дифференциальных играх. 1. 2.// Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. Na 6. С. 1278-1280.Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. 4. С. 764-766.

49. Понтрягин JI.C. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 119-157.

50. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1976. 392 с.

51. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1989.

52. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980. 319 с.

53. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. №■ 2. С. 285-287.

54. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

55. Сидорова Е.В., Субботина Н.Н. Алгоритм построения функции цены линейной дифференциальной игры с выпуклой функцией платы.// Позиционное управление с гарантированным результатом. УрОАН, Свердловск, 1988. С. 62-74.

56. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. Nfl 2. С. 293297.

57. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.

58. Субботин А.И. Об одном свойстве субдифференциала.// Мат. сб. 1991. Т. 182. 9. С. 1315-1330.

59. Субботин А.И. Непрерывные и разрывные решения краевых задач для уравнений с частными производными первого порядка.// Доклады РАН. 1992. Т. 323. 1. С. 30-34.

60. Субботин А.И. Минимаксные решения уравнений с частными производными первого порядка.// Успехи мат. наук. 1996. Т. 51. вып. 2(308). С. 105-138.

61. Субботин А.И. М-решения уравнений с частными производными первого порядка и их применение в дифференциальной игре преследования.// Сборник научных трудов Век Радио. ИММ УрО РАН, 1996.

62. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры. // Доклады АН СССР. 1978. Т. 243. 4. С. 829-865.

63. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Свойства потенциала дифференциальной игры. // Прикл. матем. и мех. 1982. Т. 46, Вып. 2. С. 204211.

64. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Кусочно-гладкие решения уравнений с частными производными первого порядка. // Доклады АН. 1993. Т. 333. 6. С. 705-707.

65. Субботин А.И., Тарасьев A.M. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры. // Доклады АН СССР. 1985. Т. 283. №■ 3. С. 559-564.

66. Субботин А.И., Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона-Якоби. // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1993. 1. С. 190-197.

67. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

68. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Доклады РАН. 1996. Т. 348.

69. Субботин А.И., Шагалова Л.Г. Кусочно-линейное решение задачи Коши для уравнений Гамильтона-Якоби // Докл. АН. 1992. Т. 325. № 5. С. 932-936.

70. Субботина Н.Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. // Докл. АН. СССР. 1991. Т. 320. Na 3. С. 556-561.

71. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

72. Тарасьев A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Прикл. матем. и мех. 1994. Т.58, Вып.2. С. 22-36.

73. Тарасьев A.M. Неравенства для сопряженных производных кусочно-гладкой функции цены. // В сб.: Управление с гарантированным результатом. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1987. С. 8691.

74. Тарасьев A.M. Решение эволюционных игр в рамках теории уравнений Гамильтона-Якоби. // Прикл. матем. и мех. 1995. Т.59, Вып. 6. С. 965-978.

75. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления.// Прикл. матем. и мех. 1987. Т.51, Вып. 2. С. 219-222.

76. Тарасьев A.M., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конечно-разностный метод построения функции оптимального гарантированного результата.// Сборник избранных докладов. Гагаринские научные чтения. Москва. 1991. С. 166-172.

77. Тарасьев A.M., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимацион-ные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби.// Изв. РАН. Техн. Кибернетика. 1994. N- 3. С. 173-185.

78. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка.// Доклады АН СССР. 1954. Т. 99. С. 27-30.

79. Третьяков В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр// Докл. АН. СССР. 1983. Т. 269. 3. С. 1049-1053.

80. Успенский А.А. Алгоритм построения множеств разрешимости в многомерных линейных дифференциальных играх.// Проблемы теор. и прикл. мат. УрО АН СССР. Свердловск, 1989. С. 15.

81. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения.// Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1980, N- 4. С. 29-36.

82. Ушаков В.Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх.// Позиционное управление с гарантированным результатом. Свердловск. УрО АН СССР. 1988. С. 101-109.

83. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

84. Ченцов А.Г. Об условиях стабильности дифференциальной игры.// Доклады АН СССР. 1974. Т. 215. Nfi 4. С. 800-803.

85. Ченцов А.Г. О структуре игровой задачи сближения.// Доклады АН СССР. 1975.

86. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени.// Мат. сб. 1976. Т. 99. С. 394-420.

87. Ченцов А.Г. Цена дифференциальной игры с обобщенной платой// Докл. АН. СССР. 1977. Т. 237. Nfl 1. С. 41-43.

88. Ченцов А. Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным временем окончания.// Доклады АН СССР. 1978. Т. 240. Na 1. С. 796-800.

89. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.

90. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемых систем.// Прикл. матем. и мех. 1981. Т. 45. Вып. 1.

91. Черноусько Ф.Л. Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.:Наука, 1978. 270 с.

92. Чистяков С.В. О решениях игровых задач преследования.// Прикл. матем. и мех. 1977. Т. 41. С. 825-832.

93. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка, 1979.

94. Aubin J.P. Viability Theory. Birkhauser, Boston, 1990.

95. Bardi M., Falcone M. An Approximation Scheme for the Minimax Time Function.// SIAM J. Control Optimiz. 1990. Vol. 28. Nfi 4. P. 950-965.

96. Bardi M., Osher S. The nonconvex multi-dimensional Riemann problem for Hamilton- Jacobi equations.// SIAM J. Math. Anal. 1991. Vol. 22. N- 2. P. 344-351.

97. Bardi M., Soravia P. Hamilton-Jacobi equations with singular boundary conditions on a free boundary and applications to differential games.// Trans. Amer. Math. Soc. 1991. Vol. 325. P. 205229.

98. Barron E.N., Jensen R. Semicontinuous viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations with convex Hamiltonians.// Comm. Partial Differential Equations, 1990 Vol. 15. P. 1713-1742.

99. Barron E.N., Jensen R. Optimal control and semicontinuous viscosity solutions.// Proc. Amer. Math. Soc. 1991. Vol. 113. P. 397-402.

100. Chernousko F.L. Guaranteed ellipsoidal estimates of uncertainties in control problems.// Wissenschaftliche Zeitschrift Techn. Hochsch. Leipzig. 1980. Bd. 4. №• 6.

101. Clarke F.H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R. Nonsmooth analysis and control theory.// Grsduate Texts in Mathematics. Vol. 178, Springer-Verlag, 1998. 276 p.

102. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations.// Trans.Amer.Math.Soc. 1983. Vol. 277. P. 1-42.

103. Crandall M.G., Lions P.-L. Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations.// Math. Comput. 1984. Vol. 43. №■ 167. P. 1-19.

104. Crandall M.G., Evans L.C., Lions P.-L. Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations.// Trans.Amer.Math.Soc. 1984. Vol. 282. P. 487-502.

105. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. Uniqueness of viscosity solutions revisited.// J. Math. Soc. Japan 1987. Vol. 39. P. 581-596.

106. Demyanov V.F., Rubinov V.N. Constructive nonsmooth analysis.// Peter Lang. Francfurt. 1995.

107. Dolcheta I.C. On a discrete approximation of Hamilton-Jacobi equation of dynamic programming.// Appl. Math. Optimiz. 1983. Vol. 10. N- 4. P. 367-377.

108. Fleming W.H. The convergence problem for differential games.// Math. Anal. Appl. 1961. Vol. 3. Na 1. P. 102-116.

109. Hofbauer J., Sigmund K. The Theory of Evolution and Dynamic Systems.// Cambrige: Cambrige University Press, 1988.

110. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information./ / Birkhauser, Boston, 1995.

111. Krasovskii A.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems.// Springer-Verlag. New-York. 1987.

112. Kryazhimskii A.V. Behavioral equilibria for a 2x2 -"Seller-Buyer" game evolutionary model.// Working paper. WP-94-131. IIASA. Laxenburg. 1994. 25 p.

113. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control.// Birkhauser, Boston. 1997.

114. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation.// Comm. Pure Appl. Math. 1954. Vol. 7. Na 1. P. 159-193.

115. Lions P.-L., Souganidis P.E. Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs'sequations.// SIAM J. Control Optimiz. 1985. Vol. 23. Na 4. P. 566583.

116. Rokafellar R.T., Wets R.J.-B. Variational analysis.// Springer-Verlag. Berlin. 1998. 736 p.

117. Souganidis P.E. Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations.// J. Different. Equat. 1985. Vol. 59. N-1. P. 1-43.

118. Subbotin A.I. Discontinuous solutions of a Dirichlet type boundary value problem for the first order partial differential equation.// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. V. 8. 2. P. 145164.

119. Subbotin A.I. Generalized Solutions of First Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective.// Birkhauser, Boston, 1994.

120. Лахтин А.С. Многозначные отображения и уравнения Гамильтона-Якоби./ / Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы докладов 25 молодежной конференции. Екатеринбург, УрО РАН. 1995. С. 48.

121. Лахтин А.С. Об одном алгоритме построения кусочно-линейной сопряженной функции.// Деп. в ВИНИТИ 23.03.95, №■ 787-В95. 12 с.

122. Лахтин А.С. Задача минимизации хаусдорфова расстояния.// Четвертая Всероссийская научно-техническая конференция Информационные технологии и электроника: тезисы докладов. Екатеринбург. 1999. С. 5.

123. Lakhtin A.S. Constructing M-solutions for discontinuous Hamilton-Jacobi equations by sequensive algorithm.// Workshop on nonlinear analysis and control theory. Porto, Portugal. 1999. P. 16-17.