Негладкие задачи вариационного исчисления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГС1ШЙ ГОСУДАРСТВЕННШ ЛЕШЕРОТЕТ

На правах рукописи

Щэрбатюк Сергей Федорович

Негладкие задачи вариациошого исчисления

Специальность - 01.01.09 -математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1Э92.

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Саикт-Петер б ургского г осударственноМ университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Демьянов Владимир Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических науК(

профессор Величенко Владислав Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент Виноградова Татьяна Кановнв

Ведущая организация: Институт математики АН Беларуси

Защита диссертации состоится " 23- taoj-iuc. 1992 Г.

в__ часов нв заседании специализированного совета К-063-57.16

по присукдению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 190004, Санкт-Петербург< в. 0-, ю-я линия, дом 33, ауд. 88.-

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им» A.M. • Горького Санкт-Патербургсного государственного университета (,Университетская наб., 7/9 ).

Автореферат разослан " /О „LAjyuSL 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат фигз.-мат. наук, доцент

В.Ф. ГорьковоР

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теш. В настоящее время возникают задачи, в которых необходимо найти минимум функционалов, которые юлою г в общем случае негладкий вид. Благодаря развитии негладкого . анализа появилась возможность рашн-ь некоторые из этих задач. В частности, большие возможности для исследования открылись в вариационном исчислении.

Цель работы. Необходимо решить задачи вариационного исчисления для функционала, имеющего вид максимума от интегралов, взятых на отрезка ила некотором множества кривых.

Научная новизна. Получены необходима условия минимума, обобщающие необходимые условия Эйлера и Вэйерятрасса. Установлены условия трансверсальности и Вейарштрасса-Эрдаана. Разработан численный метод решения задач данного вида.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Вместе с тем'полученные условия могут применяться на практике для решения задач оптимизации.

Апробация работы. Основные результаты работа докладывались я обсуждались на семинаре факультета прикладной математики -процессов управления Санкт-Лэтербургского госуняварситета,, на Международном семинаре "Негладкие и разрывные, задачи теории управления и оптимизации"( Владивосток,' 1991 г.) и на Всесоюзной конференции "Негладкий анализ я его приложения к математической экономике"( Баку, 1991 г.).

Публикации. Результаты исследования отражены в работах £1-3].

Структура и об'ьеи работы. Диссертация изложена на 119 страницах и состоит из введения, трах глав, списка обозначений* списка литературы, содержащего 51 наименование, и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приводятся необходимые сведения из вариационного исчисления, теории минимакса. Большое внимание уделено выпуклин множествам, выпуклым функциям, а также кодифЁеренцируешм функциям. Описаны известные метода минимизации функций.

-'•'дгл =ертаци|.

Первая глава посвящена задаче минимизации функционала

Ь

J(y) = max |F.,(x,y,y')ta (1)

lei J a a

в следукщэй постановке: пусть дан функционал (1), где у(") е v, V - класс непрерывно дифференцируемых функций на [а,Ы, у(а)=у0, у(Ь)=у1 ï ^(х,у,у'):[а,Ь] « к1« к1 (R1 для всех i с I = (1, Я] непрерывны по всем своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по у, у' до второго . порядка включительно. Требуется найти такую функцию у* ( ' ) t v, чтобы

J(y*)=rain J(y). (2)

Уе*

В § 1 рассматриваются локальные аппроксимации функционала (1). Теореыа I. Для любой функции т}( j «= с{а>ъ] такой, что

t](a)=T](b)=o, справедливо представление

J(y+tT)) = J(y) + tô J + c(t,v),

где

î)

OJ = max f(Fjv(x.y,y')Tl(x) + P. , (x.y.y- )tj' (x) )dx, ieE(y)J ly 2y

i a

o(t,r¡)

—r---► О при t -* О равномерно но rj.

Теорека 2, Для любой функции т)(х) «= в, где класс непрерывно дифференцируемы! функций на [а, Ь] таких» что g туй ^ < 1. т)(а) в т](Ь) = 0, и любых достаточно малых t справедливо разложение

¿(y+tT)) = J(y) + + o(t,T]),

■ГД0

Ъ Ь

QJ = max (J^i (х,у,у' )dx - J(y> + tj(F^ - -gg 3?ly)?$ax),

о a

О <t,7})

—---» о при t <з равномерно по т).

Центральное место в первой главе занимает § г, где выводятся необходимые условия минимума для функционала (1).

В случае использования однородной аппроксимации получен следующий результат:, асли кривая у* е Y доставлю? юшимум функционалу J(у) в задаче (2), то тогда существуют числа К^ » о,

1 с R(y). J = 1 такие, что выполняется уравнение

ieR(y)

I VFiy<3r'y*'y*') - -Е ?1у(х.у*./')) = о. О)

ieR(y

Важное место в данном параграфа занимают теоремы 3 и 4, поскольку на них опирается весь последующий материал данной глаш.

Теорема 3., Если кривая у* t Y доставляет минимум функционалу J(y), то для любой функции rj е В найдется такое tQ = tQ(rj) > О» что для всех t е [o,t03 будет справедливо неравенство

b

max (Грч{х,у*,у*'- J(y*) + iel J 1 О

Ь

+ ij(ily(x,y*,y*') - -fc Piy(i,y*,y*'))T|(x)ta) i 0. a

Теорема 4. Для того чтобы для функций Hj(х,у,у') е bj, Функционалов jF^x.y.y' )dx, i e i, и функционала Jíy)

выполнялось неравенство b .

toax ( jFjíx.y.y' )dx - .T(y) + í|M.(x,y,y')т)(х)4х > O

iel J J

a a

для любых t¡ e В и достаточно малых í > о, необходимо и достаточно, чтобы

где

О = { <V Oí, ,,, } í СО м,

м = { J FjU.y.y'Jdx - J(y), М^ (х,у,у') | í е I ]

а

с К' * с

[а,bi-

na основе теорем з и 4 можно сделать следующий вывод: Если кривая у* е У доставляет минимум функционалу л(у) в

задаче (Р.), то тогда существуют числа > о, 1 е I, £ - 1

1е1

такие. Что справедлива система Ь

1<=1

2 h¡ ^(х.у'.У*1)^ = .Ну*),

I ^i^iy^./.y*') - ^у(х.У*.У*')) = о. (4) iel

- т -

Необходимо отметить, что условие (4) эключает в. себя условие (3).

В § 3 решается следующая задача: рассматривается функционал (1), где у е m, м - класс непрерывно дифференцируемых кривых, концы которых лают на кривых у = <р(х), у =.ф(х).и находятся из условий у(а). = <р(а), уф) = ф(1>); Pjíx.y.y'): {а,Ь]«ж1» к1 —< к1 для всех i е I = П. Ш непрерывны по всем своим аргументам и непрерывно даффоренцируеми по у, у' до второго порядка включительно. Требуется найти такую функцию у* 6 oí, чтобы

J(y*) = min J(y). (5)

УеМ

С помощью теорем 3 и 4- § 2, доказана следующая Теорема 5. Если у с и доставляет минимум интегралу J(y) в задаче (5), то тогда существуют такие константы > О, 1 { I, J 1, что для любого X е ÍOg, Ъ0] справедлива система

iel " •

Ь

1 Л.Л FiU,y*.y*,)dx = J(y*)f ici Ja

1 Wx'y*'y$,) - He Piyfe^.y*')) - о

. leí

и выполняются следующие условия

1 4<I,i(a0'y(a0)'y'(O0,) -ici

I Л1(У1<00.у(Ь0),,МЬ0)) +

1<=Г

W¿<bo> 7 Jp¿0>V№o'*<bo>'>r,<V» -

Последние два равенства назовем условиями трансверсальности, соответственно, для левого и правого концов кривой.

В § 4 рассматривается разрывная задача следующего вида: необходимо Найти Атакую кривую у ( •) с ®, чтобы

J(y*) = min J(y), ■ (6)

1е6

где У( ) с с, « - класс кусочно-гладких криЕйх на [а, Ь], У(а) = у0, у№) = у.,; Р1(х,у,У): [а, Ь] * R1 * К1 R1 для всех leí непрерывны по всем сйоим аргументам и имеют непрерывные производные по у, у до второго порядка включительно.

Используя результата теорем з и 4, получаем результат: Теореиа 6. Если у* е « доставляет минимум функционалу (1) в задаче (6),. то существуют такие константы А- > 0, i в I, 5 1что в каждой точке разрыва производной у*' справедливы ■1*1

Сладу щив равенства:. 3*1

" leí

1 Viy (2,ir-(x*)'jr-(x*')^=x,'-0 " leí

- д -

leí

а для всех х е справедлива система

ь

1 ЛЛ = J(y*h

■ Ч1 а

2 - Fly(x,/,y*')? = О, (9)

. Ш

где. у* есть обычная производная- в точках непрерывности функции у И у* = у*' в точнах разрыва. Условия (7), (8) назовем условиями Вэйерттрасса-Эрдавна- для задачи (б).

Замечать Если предположить, что экстремаль у* должпа соединить две точки А и в и при этсвд шрасвкат$ некоторую кривуп у = , причем точка разрыва функции у*' лежит На ф(х), то условие Вейэрштрасса-Эрдманз принимает слэдупций вид

leí

+ (ф'(х) - -

-(Г* <х*,у+(**>>> +

+ (<Мзс*) - у' )Р1у.(1.У+^#)»У+(х*)))х=:1С»+0).

Условия, оЗоСщаыцие классическое необходимое условие минимума Вейарштрасса, получены во второй главе. Ставится следующая задача: рассмотрим функционал (1), где у( •) « у, У - класс кусочно - гладких кривых на ía.b], у(а) = yQ, у(Ь) = у1. Положим у'(з) = а кривая у*() непрерывна справа;

Pjfi.y.y'Js Ia,b] х к1 х к1 —* к1 для всех i е I непрерывны по совокупности переменных и имеют непрерывные производные по у, у'. требуется найти такую кривую у* е У, чтобы

J(y*) = min J(y). (10)

ye&i

В § 1 с помочью игольчатых вариация следующего вида (х - i)v, х <= [т.т+А],

T¡(x,A,,v,T,e) =

(х-т-А)

Av - A.v-, х е [т+А, т+е],

(e-A.)

. О, x e [т, ate],

где А, V, т, е - параметры такие, что

1. е > к > 0 достаточно малы,

2. V 6 к1,

3. т е [а;Ь] при условии т+е < Ь, получен следующий результат:

Теорема I. Для того-чтобы у* <= У доставляла минимум функционалу ¿(у) в задаче (10), необходимо, чтобы для любого т с [а,Ь) и любого V е к1 выполнялось неравенство (11)

шах »-(ГЛт.у*^)^*'(т) + v) - Р^(T,y*(t),y*'Сс)) -ieR(y ) 1 • 1

- (т.у*(г),у*' (т)))' > О. (11)

Рассмотрим игольчатую вариацию вида

- 11 -(х-Т+Я)?, х е [х-Х.,т:I,

-х)г/1Г~, -к е (12)

О» * йГ [^-Я* т+ /яГ].

где К, V, 1, - параметры такие, что 1, К > 0 достаточно мало, г. г Й к1,

3. х е 1а;Ы при условии а < т-\, и-/\ < Ь и предстааление функционала (1) следующим образом:

,Т(у( -.тД,7)) = ,1(у) + Ы + о(М.

ГД9

SJ = так (Гг. (х,у,у' )йЬс - ¿(у) + * 1

а

< (Р^т.у'о^.у'-СО + V) - Р1(Т,У*(Т),У*'(Т))

- ур.у,(т,у (г),у '<х)))), (13)

о(Л)

—♦ о при д. —» о,

X

/(х.я.у.т) = у*(х) + Т](Х,Л,Г,Т).

Выражение (13) называется неоднородной аппроксимацией функционала (1) в точке у. С помощью (12) и (13) в § 2 доказана следующая

Теореме.2. Если у* « У доставляет минимум функционалу ¿Г(у) в задаче (ю), то для любых т е 1а,Ь] и г е Щ1 существует такое Х0 = \0(у,т,у) > о, что для каждого К е [0До1 будет

справедливо нэравэнство (14)

b

юах (JF,(x,y*,y*')dx - J(y*) + Ш * 1 Q

+ A(Pi(t,/lD.y*'(t) + v) - Pi<i,y*(t).y*'(t)) -

- ^„Дт.у'сО./'еОШ 2 0. (14)

Завершающей в диссертации является третья глава. В § 1 дается описание и теоретическое обоснование численного метода минашза-даи функционала (1). Во втором параграфа изложен метод гштодифферанциадшого спуска для функционала <1). Примеры численных расчетов для данного вида функционалов приводятся в приложении. * ■ •

ПУБЛИКАЦИИ.

1. Щарбатюк С.Ф. Об одной задача вариационного исчисления для кодифференцируемшс функционалов // Тезисы докл. Всесоюз. конференцию! "Негладкий анализ и его приложения к математической экономикеБаку - ЭЛМ - 1991,- с. 55.

2. ЩерОатюк С.Ф. Об одной минимаксной задаче вариационного исчисления.-Л.: 1ЭЭ1.- 12 с. Деп. в ВИНИТИ, * 1319 - B9I.

3. Щарбатюк С.Ф. О решении одной минимаксной задачи вариационного исчисления // Веотн.-Ленишр. ун-та.- 1991.- J6 4(22), с.66-68.