Определяющие функционалы задачи микроволнового нагрева в одномерном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЕРМАКОВ Илья Валерьевич ^¡/Л

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ЗАДАЧИ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

005531618

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 з і;:ол 2013

Санкт-Петербург 2013

005531618

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор РАЙТМАНН Фолькер

доктор физико-математических наук, профессор ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор БУРКИН Игорь Михайлович (Тульский государственный университет)

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Защита состоится "//" ҐЯглтЛ^Й 2013 г. в /5^часов_минут на

заседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14 линия В.О., д. 29, математико-механический факультет, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан шсМ 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чурин Ю. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации изучаются некоторые свойства определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева материала с одной пространственной переменной. Эта задача описывается системой уравнений гиперболического и параболического типов и имеет неавтономное управляющее воздействие на границе. Разрабатываются элементы теории определяющих функционалов для коциклов и проводится развитие этой теории для коциклов парной структуры специального вида. Доказывается существование конечной системы определяющих функционалов для коцикла, порожденного одномерной задачей микроволнового нагрева.

Актуальность темы. Знание асимптотических свойств задачи микроволнового нагрева полезно для наблюдения за процессом этого нагрева и управления им для обеспечения требуемой температуры. Микроволновый нагрев широко применяется для приготовления пищи, в промышленности, в медицине и в других областях. Он имеет преимущества перед другими видами нагрева, одно из которых - нагрев непосредственно внутренности материала. Важным применением микроволнового нагрева является нагрев керамики в промышленности.

Существование конечного набора определяющих функционалов для задачи - важное свойство, характеризующее ее асимптотику. Определяющими функционалами эволюционного уравнения называются линейные функционалы на пространстве решений, однозначно определяющие асимптотику решений. Частный случай определяющих функционалов - определяющие моды - были введены в работе О. А. Ладыженской [1]. Результаты о существованию определяющих функционалов были получены для многих задач, в том числе двумерной системы Навье-Стокса (С. Foias, [4]) и других.

Определяющие функционалы ранее не изучались в применении к коциклам. Известны результаты построения определяющих функционалов для процессов - частного случая коциклов (J. A. Langa, [6]). Понятие коцикла можно рассматривать как обобщение понятия динамической системы. Для коциклов, в отличие от динамических систем, возможны два вида асимптота-

ки относительно аттрактора - при вытягивании назад (pullback-асимптотика) и вперед (forward-асимптотика). Асимптотика при вытягивании назад в некоторых ситуациях бывает полезна, в частности, при исследовании численных алгоритмов, когда нет сходимости при вытягивании вперед. Возникает необходимость изучать определяющие функционалы для коциклов, учитывая эти виды асимптотики.

Актуальность темы подтверждается также тем, что она входит в число исследований, поддержанных Немецко-Российским научным центром (G-RISC). Диссертант получал поддержку от G-RISC в виде стипендии на месте в течение 6 месяцев (с 1 июля по 31 декабря 2010 г.) и проходил стажировку в Германии в течение месяца (Мах Planck Institute for the Physics of Complex Systems, Dresden, апрель 2012 г.)

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопроса о существовании конечной системы определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева. Другими задачами являются построение теории определяющих функционалов для коциклов, развитие этой теории для коциклов парной структуры, проведение численных экспериментов с такими функционалами.

Методы исследования. В диссертации используются следующие методы исследования:

• Метод расщепления парной задачи с априорными оценками для ее частей.

• Функционалы Ляпунова в виде квадратичных форм с учетом свойств функциональных пространств.

• Операторная интерпретация системы с использованием шкалы соболевских пространств.

• Рассмотрение системы как системы управления и применение частотной теоремы для доказательства диссипативности и существования определяющих функционалов.

• Численное моделирование задачи конечно-разностным методом в Matlab.

Результаты, выносимые на защиту.

• Введены элементы теории определяющих функционалов для коциклов и доказаны достаточные условия существования конечной системы таких функционалов для коциклов в общем гильбертовом пространстве и для коциклов парной структуры на произведении гильбертова и банахова пространств.

• Доказано существование конечной системы определяющих функционалов для коцикла, порожденного одномерной задачей микроволнового нагрева.

• Проведены численные эксперименты с одномерной задачей микроволнового нагрева, иллюстрирующие некоторые свойства определяющих функционалов.

Достоверность результатов. Все полученные аналитические результаты математически строго доказаны. В случае динамических систем результаты сводятся к известным результатам для динамических систем. В случае процессов (частного случая коциклов) результаты совпадают с аналогичными результатами для процессов ([6]). Численное моделирование подтверждает правильность теоретических выводов.

Научная новизна. Понятие определяющих функционалов распространено на теорию коциклов. Впервые рассмотрена и решена проблема построения таких функционалов в задаче микроволнового нагрева.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Введенные элементы теории определяющих функционалов могут быть использованы для исследования различных систем, описывающих неавтономные прикладные задачи.

Полученные результаты для задачи микроволнового нагрева представляют теоретический интерес как пример задачи, коцикл которой имеет конечный набор определяющих функционалов. Ценность полученных результатов для этой задачи усиливается связью данной темы с практикой. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в практическом наблю-

дении за процессом микроволнового нагрева керамики с целью предсказания температурного профиля и управления процессом нагрева.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "First German-Russian Interdisciplinary Workshop on the Structure and Dynamics of Matter" (Helmholtz Center Berlin, Germany, 2010), "Science and Progress" в рамках научного центра G-RISC (Санкт-Петербург, 2010), Equadiff 2011 (Loughborough, UK, 2011), на семинарах кафедры прикладной кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета (2009 - 2012). Кроме того, диссертантом был сделад доклад в рамках стажировки в Институте физики сложных систем имени Макса Планка (Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems) на семинаре группы проф. X. Кантца (Германия, Дрезден, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах, в том числе в 3 статьях. Статьи [1*, 2*] опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий.

В работе [1*] соавторам принадлежат исследование почти периодических коциклов и постановка задачи. В работах [2*, 4*] соавтору принадлежит постановка задачи, все результаты получены диссертантом самостоятельно. В работе [1*] диссертанту принадлежат теоретические результаты о существовании глобального B-аттрактора при вытягивании назад для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева, и результаты в рамках теории определяющих функционалов для коциклов.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы (всего 16 разделов), заключения, списка литературы, включающего 48 наименований. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста и содержит 19 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приводятся некоторые сведения о процессе микроволнового нагрева. Описываются применения микроволнового нагрева материала, особенности микроволнового нагрева керамики, конструкция реальных

устройств микроволнового нагрева керамики. Делается обзор литературы по микроволновому нагреву керамики. Выводится математическая модель (начально-краевая задача), описывающая микроволновый нагрев материала. Эта модель сводится к одномерной модели по пространственной переменной при определенных предположениях. Демонстрируется применимость одномерной модели к реальному процессу микроволнового нагрева керамики.

Во второй главе исследуются свойства определяющих функционалов задачи микроволнового нагрева. В разделе 2.1 приводятся известные элементы теории коциклов ([5]) и строится коцикл для задачи микроволнового нагрева.

Пусть (<3, (I) - метрическое пространство, называемое базисным пространством. Пара ({т1}гт,((Э,с1)), где т( : <3 -> <2, для любого ( £ К, называется базисным потоком, если

т° =

т'от! = Т1+3 Ш, 5 6 к.

Пусть (М, р) - другое метрическое пространство, которое назовем фазовым пространством.

Определение 1. Пара ({<рь(я,-)}1еШ+ле0 ,(М, р)), где : М М яв-

ляется отображением для любых í 6 К+,<7 € <5, называется коциклом над базисным потоком {{тг}1еЖ,(£Ц,(Г)), если

•) = 1с1 м V? € <3, {2)

^{д, •) = <РЧТ*(Ч), ^(Я, •)) V? 6 я, ш,

Для краткости коцикл > р)) наД базисным потоком

({тг}(еК , ((?, с?)) будем обозначать (<р, т).

Коцикл будем называть непрерывным, если отображение •) :

М -> М непрерывно для любых Ь е К+, д е ф.

Неавтономным множеством для коцикла (<р, г) будем называть семейство Ё = {2{д)}дед, где С М для любого д е С}. Неавтономное множество % называется ограниченным (замкнутым, компактным), если для любого д € <3 множество Z(g) ограничено (замкнуто, компактно) в М.

Ограниченное неавтономное множество Z называется глобально В-поглощающим при вытягивании назад или глобально B-pullback поглощающим множеством для коцикла (<р, т), если для любого q £ М и любого ограниченного множества В С М существует Т = T(q, В) такое, что В) С Z(q) для всех t > Т.

Неавтономное множество Z называется глобально В-притягивающим при вытягивании назад или глобально B-pullback притягивающим, если для любого ограниченного множества В с М и любого q 6 Q

lim <ИзЬ(<р\т-\д),В),г(д)) =0,

t-»+oo

где dist -полурасстояние по Хаусдорфу в (М, р).

Неавтономное множество Z называется глобально В-притягивающим при вытягивании вперед или глобально B-forward притягивающим, если для любого ограниченного множества В С М и любого q £ Q

lim dist((/?t(g, В), Z(rt(q))) = 0.

t-»+00

Неавтономное множество Z называется инвариантным, если для любых q 6 Q и t > 0 выполняется равенство (рг(q, Z(q)) = Z(Tt(q)).

Определение 2. Неавтономное множество называется глобальным В-аттрактором при вытягивании назад или глобальным B-pullback аттрактором для коцикла (<р,т), если оно компактно, инвариантно и является глобально В-притягивающим при вытягивании назад.

Похожим образом определяется и глобальный аттрактор при вытягивании вперед или глобальный B-forward аттрактор, отличие состоит в свойстве глобального В-притяжения при вытягивании вперед.

Для доказательства существования B-аттрактора при вытягивании назад мы , будем использовать следующий результат (теорему Клоедена-Шмальфуза).

Теорема 1 ([5]). Пусть коцикл имеет компактное глобально В-

поглощающее множество при вытягивании назад Z = {Z(q)} Тогда

(</?, т) имеет единственный глобальный В-аттрактор при вытягивании назад А = {А(д)}яёд, где для любого д е <5

Здесь черта обозначает замыкание в М.

Далее в разделе 2.1 приводятся известные факты существования и единственности решения одномерной начально-краевой задачи микроволнового нагрева. Эта задача имеет вид

■фи~'фхх + (г(в)'фг = 0, 0<:г< 1, t>0,

0t -0*х = о- (i0) <02, 0 < X < 1, t > О,

^(0,0 = /1(0.^ (1,0 = £>°. (4) в (о,о = 0(1,0 = о, t > о,

ip(x,0)=ip0(x),'ipt{x,0)=ipi(x), 0 < х < 1, в (х, 0) = в0 (ж), 0 < х < 1.

Физический смысл величин такой: в - температура, ф - интеграл по времени от ненулевой компоненты электрического поля, а - электропроводность, /х, /2 - внешнее управляющее воздействие на границе.

Далее будут использоваться стандартные соболевские пространства Н\0,1),Щ(0,1),\¥?(0,1), И/32Д((0,1) х (О,Г)). Предполагаем, что

(Al.l) а локально липшицева на (0, +оо);

(Al.2) Существуют константы 0 < его < <J\ такие, что сто < cr(z) < а\ для любого z > 0;

(А1.3) а монотонно убывает на (0,+оо);

(А2) ф0 € Н1{0,1),-01 € L2(0,1), #0 6 W32(O,l),0o > 0 почти везде на (0,1); (A3) /ь/2 € C2(R) и существует константа с такая, что функции l/il > I/2I > l/i'l, I/2 I ограничены на R этой константой.

В следующем определении понятие слабого решения, используемое в [7], переносится на одномерный случай задачи микроволнового нагрева.

Определение 3. Пара функций (ip(x,t),e(x,t)) называется слабым решением задачи (3)-(5) на (0,Т), если

[ [ Mt + ФхСxdxdt= [ [ 0{e)№dxdt+ [ фг{х)<:{х,0)dx,

J О J о J о J о

Г Г -0£t + Abdxdt = f [ <r(e)$Sdxdt+ [ e0(x)£(x,0)dx Jo Jo Jo Jo Jo

для любых 6 ях(0,т; я^о,!)).

Здесь мы приводим теорему существования глобального слабого решения из [7], модифицированную для одномерного случая.

Теорема 2. Для любого Т > 0 существует единственное слабое решение (il>(x,t),6(x,t)) для t, е (0,Т) задачи (3)-(5) , причем ф е L°°(0, Т; Ях(0,1)), 0еИ^з2Д((О,1)х(О,Т)).

Далее задача (3)-(5) сводится к задаче с однородными краевыми условиями. Обозначим f{x,t) = fi{t){l-x)+f2(t)x, где t > 0, х € [0,1], и сделаем замену Ф(х,<) = ip(x,t) - f(x,t). Получим систему

Vtt-Vxz + <r{0)*t = Mx,t)-Mx,t)<T(e), 0 < х < 1, t > 0, 0t - вхх = <r(0)(*t + ft)2, 0 < х < 1, £ > 0,

Ф(0,г) = Ф(М) = 0, 0(O,i) = 0(l,i) = O, ¿>0, (7)

Ъ(х, 0) = Ф0(х) = Vo(x) - f(x, 0), 0 < х < 1, Ф,(х,0) = ФДх) = фг(х) - ft{x, 0), 0 < х < 1, (8)

в(х,0) = в0{х), 0<х<1.

С данной заменой предположение (А2) примет вид

(А2') Ф0 G ЯоЧОД)^! € Ь2(0,1),во е Ж32(0,1),> 0 п.в. на (0,1).

Введем коцикл, соответствующий задаче (6)-(8). Определим пространство М = Щ(0,1) х L2(0,1) х (W32(0,1) П {в : 9 > 0 п.в.}) с нормой

\\(ф,у,в)\\2м = т\Ъ(о,1) + IMl£»(o,i) +

Введем Q = R, rf(s) = t + S, <р*(в,ио) = u(t + S,S,Uq), где u(t.S,Uo) = (Ф(-, i), Ф4(-, i), £))- решение задачи (6)-(8) такое, что u(s,s,Uq) = щ = (Фо.Фьбо).

Показано, что решение задачи (6)-(8) непрерывно зависит от начальных данных в норме пространства М.

Существование, единственность слабого решения задачи (6)-(8) и непрерывная зависимость решения от начальных данных позволяют нам ввести непрерывный коцикл этой задачи.

Теорема 3. Система (6)-(8) порождает непрерывный коцикл ("{y(s. OltsM+.seR. (м> 1НЫ) над базисным потоком ({тг}4еК ,М).

В разделе 2.2 доказывается существование глобального В-аттрактора при вытягивании назад для задачи микроволнового нагрева.

Теорема 4. Коцикл (<р,т), порожденный задачей (6)-(8), имеет глобальный B-аттрактор при вытягивании назад.

Это делается с помощью доказательства существования глобального В-поглощающего множества при вытягивании назад и применения теоремы 1. Для получения такого множества применяются метод расщепления задачи с учетом ее парной структуры и априорные оценки компонент ее решения. Аналогично получено существование глобального B-аттрактора при вытягивании вперед.

Раздел 2.3 посвящен изучению свойств определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева. Сначала строятся элементы общей теории определяющих функционалов для коциклов.

Определение 4. Множество линейных непрерывных функци-

оналов на банаховом пространстве (М, ||-||) называется множеством асимптотически определяющих функционалов при вытягивании назад (pullback-асимптотически определяющих функционалов) для коцикла {{<Р*{<1> ')}9sQ,tgR+ ) {М, |Н|)) над базисным потоком ({т'}(бК, (Q, d)), если из условия

lim |^(T-f(9),Hi)) - lj{ipt{T-t{q),u2))\ = О

для любых q € Q, U\,U2 € М, j = 1,.., N следует

lim |\^(т~г(Ч),щ) - v>V(<z).«2)|| = О-t-++00 11

Вводится частный случай определяющих функционалов - определяющие моды.

Определение 5. Определяющими модами для коцикла ({v(<7> ')}9eq ¡бк+ > (Н, ||-ц)) на гильбертовом пространстве (я, (■,■)) называются определяющие функционалы Ij(-) = (•, ej) , где {ej}f ~ некоторые элементы Н.

Доказывается теорема о достаточных условиях существования определяющих функционалов (в форме определяющих мод) для коциклов в гильбертовом пространстве.

С помощью этой теоремы получен следующий основной результат главы:

Теорема 5. Коцикл т), порожденный задачей (6)-(8), имеет конечное число определяющих мод при вытягивании назад.

Аналогичные результаты получены и для определяющих функционалов при вытягивании вперед.

Третья глава посвящена применению частотного метода для получения свойств диссипативности и определяющих функционалов задачи микроволнового нагрева.

В разделе 3.1 вводится система управления, понятие решения этой системы, достаточные условия существования решения, определения, необходимые для частотного метода.

Пусть задана тройка оснащенных вещественных гильбертовых пространств Y\ С Уо С У!ь где Yi непрерывно и плотно вложено в УЬ, а Y-\ двойственно к У1. Пусть также заданы гильбертовы пространства W, Е. Рассматривается система

у = Ау + Вф(Су) + /. (9)

Здесь А Є ОД.г-о, В Є £(£,у_і), с Є £(у_ід), / и ф - некоторые функции, причем / : М+ у_ь ф : IV ^ ф измерима.

В разделе 3.2 вводятся понятия определяющих операторов длл дисси-пативности и определяющих операторов для сходимости решений'задачи (9), доказываются частотные условия существования таких операторов.

Сделаем предположение:

(Н1) Система (9) имеет решение у на (О , Т) для любого Т > 0 в вариационном смысле, причем у Є >Уг = {у Є £2(0,Т;У),г/ є Ь2(0,Т; У_і)}.

Пусть задана квадратичная форма Р вида

где = і? Є ад, У_і), ^ Є адьН), ^з = Є ад,Н). Здесь (•, -)-ід -

Пусть 5 - вещественное гильбертово пространство, М : У —► 5 - линейный ограниченный оператор.

Определение 6. Оператор М называется определяющим для сходимости решений системы (9), если из условия

следует существование таких чисел а > 0 и С\ > 0, что для почти всех Ь > О выполняется оценка \\yiit) - 2/2Но ^ с\е~а111(2/1(0) - уг(0))||о •

Пусть сущесвует оператор Р е £(У_1,У0) Г) £(У0, У), Р - Р* в У0, такой что функционал У{у) = (у, Ру)0, у е У0 положительно определен на У). Для произвольных решений ух, у2 системы (9) обозначим тп(Ь) = Г(у1(£) — 2/2 (*)) - Если выполнено для почти всех £ > 0 с некоторыми положительными константами V, <5, /3, ¡1 неравенство

т(і) + 2ит{і) + 6 ||е^ЫО ~ < Р \\ЩУі(0 " . (Ю)

= +2(^2/, Он + (і^з^Он,

то оператор М является определяющим для сходимости решений.

Определяющие функционалы, введенные в предыдущей главе, являются частным случаем определяющих операторов.

Сделаем следующие дополнительные предположения (Н2)-(Н5). Предположения (Н2), (НЗ), которые мы здесь опускаем, касаются существования числа Л > 0 такого, что задача

у=(А + Х1)у + т, 2/(0) = з/о, £ е [о,т]

имеет требуемые свойства регулярности ([2]).

(Н4) Существует число ¡л > 0 такое, что с числом Л из предположения (Н2) и введенным выше оператором М выполняются условия:

a)

для любых у е У{, £ € Бс, ш е К таких, что шу = (Ас + \1°)у + Вс£,

b) функционал

г оо

•%(•),£(■)) = / иг)) - V \\МсУ(т)\\%)с1т

ограничен сверху на множестве

Му0 = {у(-), ?(•)) : у = + хПу + Вса, 2/(0) - УО, у(-) €

£(.)е£2(0,оо;Ес)}

для любого у0 € У0С. Здесь знак с означает комплексификацию операторов или пространств, а также расширение квадратичной формы до эрмитовой. Решение понимается в том же смысле, что в предположении (Н1).

(Н5) Существует оператор К е £(У"ь Н) такой, что оператор А + XI + В К устойчив и F(y, Ку) > 0 для любых у е У1, где А из предположения (Н2).

Теорема 6. Пусть ф 6 Л/"(-Р) и выполняются предположения (Н1)-(Н5) с некоторым оператором М в предположении (Щ)- Тогда оператор М является определяющим для сходимости решений задачи (9).

Для доказательства этой теоремы применяется частотная теорема для эволюционных систем из [2]. Идея доказательства состоит в получении описанного выше оператора Р, для которого выполняется оценка (10), где m(t) определяется с помощью Р.

В разделе 3.3 приводится вспомогательный материал, связанный с применением частотной теоремы.

Далее в разделе 3.4 теоретические результаты раздела 3.2 применяются к задаче микроволнового нагрева. При некоторых дополнительных предположениях получены результаты о существовании глобального В-аттрактора коцикла, порожденного этой задачей, при вытягивании назад и вперед, а также о существовании определяющих функционалов этого коцикла при вытягивании вперед. Эти результаты частично повторяют результаты второй главы, однако требуют несколько иных предположений.

В четвертой главе приведены результаты численных экспериментов в задаче микроволнового нагрева, иллюстрирующие часть теоретических результатов второй и третьей глав. Показаны разные виды численного решения задачи микроволнового нагрева при различных граничных условиях и результаты аппроксимации определяющих функционалов для этой задачи при вытягивании вперед. Для проведения данных экспериментов использовался пакет Matl'ab.

Список цитируемой литературы

[1] Ладыженская O.A. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1987. Т. 163. С. 72-85.

[2] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Частотная теорема для уравнений эволюционного типа // Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17. Вып. 5. С. 10691085.

[3] Чуешов И.Д. Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 4 (322). С. 77-124.

[4] Foias С., Temam R. Determination of the solutions of the Navier-Stokes equations by a set of nodal values // Mathematics of Computation. 1984. Vol. 43. P. 117-133.

[5] Kloeden P., Schmalfuss B. Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. Vol. 14. P. 141-152.

[6] Langa J.A. Asymptotically finite dimensional pullback behaviour of non-autonomous PDEs // Archiv der Mathematik. 2003. Vol. 80. P. 525-535.

[7] Yin H.-M. Existence and regularity of a weak solution to Maxwell's equations with a thermal effect // Math. Meth. Appl. Sci. 2006. N 29. P. 1199-1213.

Публикации автора по теме диссертации

[1*] Ermakov I. V., Kalinin Yu. N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equations. 2011. Vol. 47. N 13. P. 1837-1852.

[2*] Ермаков И. В., Райтманн Ф. Определяющие функционалы для системы микроволнового нагрева // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2012. Вып. 4. С. 13-17.

[3*] Ermakov I. Existence of the global attractor for the one-dimensional microwave heating problem / Proceedings of the International Student Conference "Science and Progress". 2010. Saint-Petersburg, Russia. P. 7781.

[4*] Ermakov I., Reitmann V. Determining functionals for cocycles and application to the microwave heating problem / Abstracts of the International Conference."EquadifT". 2011. Loughborough, UK! P. 135.

Подписано к печати 11.06.13. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ 5805._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

04201361382

Ермаков Илья Валерьевич у!/**

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ЗАДАЧИ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Райтманн Ф.

Санкт-Петербург — 2013

Оглавление

Введение 4

1 Физические основы и некоторые применения микроволнового нагрева 9

1.1 Физическая суть микроволнового нагрева......................9

1.2 Применение микроволнового нагрева ..........................10

1.3 Начально-краевая задача........................................12

1.4 Обзор работ по нагреву керамики..............................16

1.5 Устройства микроволнового нагрева............................19

2 В-аттрактор при вытягивании назад и определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева 25

2.1 Построение коцикла для задачи микроволнового нагрева . . 25

2.2 Существование В-аттрактора при вытягивании назад для задачи микроволнового нагрева.................. 37

2.3 Определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева .............................. 43

3 Частотные условия диссипативности и существования определяющих операторов задачи микроволнового нагрева 61

3.1 Эволюционная система автоматического управления..... 61

3.2 Определяющие операторы........................................64

3.3 Частотная теорема для эволюционных систем ................73

3.4 Частотные условия существования определяющих операторов для задачи микроволнового нагрева........................78

3.5 Замечание..........................................................86

4 Численные эксперименты по аппроксимации определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева 88

4.1 Вычислительная схема............................................88

4.2 Зависимость решения от граничных условий..................89

4.3 Эксперименты с определяющими функционалами при вытягивании вперед....................................................94

Заключение 98

Литература 100

Введение

Работа посвящена изучению определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева. Задача микроволнового нагрева представляет собой начально-краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Она состоит из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. В работе рассматривается эта задача в случае одной пространственной переменной. Это парная система, состоящая из нелинейных уравнений гиперболического и параболического типов. Исследование ведется в предположении присутствия неавтономного воздействия, которое в системе присутствует в граничных условиях уравнений Максвелла.

Микроволновый нагрев имеет большое значение для практики. Области его применения разнообразны - приготовление еды, промышленная обработка материалов, медицина (лечение опухолей). В качестве конкретного примера нами выбран нагрев керамики.

Пусть имеется эволюционное уравнение в некотором функциональном пространстве, имеющее решение. Определяющими функционалами этого уравнения называются линейные функционалы на пространстве решений, однозначно определяющие асимптотику решений уравнения. Это означает, что для любых двух решений уравнения из стремления к нулю разности функционалов от этих решений следует стремление к нулю разности этих решений. Вопрос существования определяющих функционалов

для разных уравнений изучался во многих работах. Так, широко известны результаты о существовании конечного числа мод для системы Навье-Стокса ([4], [25]). В [15] строится общая теория определяющих функционалов для эволюционных уравнений гиперболического и параболического типов.

Для изучения свойств автономных уравнений широко используется понятие динамической системы. Теория определяющих функционалов для уравнений тривиально переносится на язык динамических систем. Для неавтономных уравнений вводится обобщение понятия динамической системы - понятие коцикла. Возникает необходимость ввести теорию определяющих функционалов для коциклов, учитывая два возможных вида асимптотики коциклов - вытягивание вперед и назад. Определяющие функционалы изучались и для неавтономных уравнений, но рассматривалось понятие определяющих функционалов при вытягивании вперед. Известна лишь одна работа ([36]), где рассматриваются определяющие функционалы при вытягивании назад. В указанной работе рассматриваются процессы - частный случай коциклов. Стояла задача обобщить эту теорию на коциклы общего вида.

Вопрос существования определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева ранее не изучался даже в автономном случае. Также не изучалось ранее для этой задачи существование аттрактора какого-либо вида, которое требуется для получения свойств определяющих функционалов.

Тем не менее, имеется обширная литература, где изучаются другие математические свойства задачи микроволнового нагрева при разных по-

становках задачи. Данная задача в постановке, наиболее похожей на нашу, изучались в работах Н.-М. Yin ([48], [41] и др.) В этих работах были получены результаты о существовании слабого решения, сходимости к нулю решения автономной задачи. Мы опираемся на некоторые из данных результатов.

Переходим к краткому изложению содержания работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе описан физический механизм микроволнового нагрева произвольного материала. Выводится начально-краевая задача микроволнового нагрева для трехмерного случая. Рассматривается частный случай одной пространственной переменной. Показано, как преобразуется начально-краевая задача в этом случае.

Даются сведения по нагреву керамики. Особенностями микроволнового нагрева керамики являются высокая температура нагрева, однородность материала, возможность перегрева при некоторых условиях (в нашей работе не встречающихся). Приводятся устройства микроволнового нагрева керамики. Показана ситуация при нагреве керамики, для которой хорошо применима одномерная модель - нагрев керамических стержней в камере.

Во второй главе содержатся основные результаты работы. Строится коцикл, соответствующий задаче микроволнового нагрева. Доказывается существование глобального В-аттрактора этого коцикла при вытягивании назад и вперед. Существовование аттрактора какого-либо вида само по себе являтся важным свойством для коциклов, и оно также требуется для существования определяющих функционалов. Строится теория определя-

ющих функционалов для коциклов в общих гильбертовых пространствах. Развивается специальный случай этой теории для коцикла парной структуры на произведении гильбертова и метрического пространств, когда одна часть коцикла устойчива. Используя упомянутые результаты, доказывется существование определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева при вытягивании назад и вперед.

Результаты из теории определяющих функционалов для коциклов и о существовании глобального B-аттрактора для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева, при вытягивании назад изложены в работах I.V. Ermakov, Yu.N. Kalinin, V. Reitmann [23], I.V. Ermakov, V. Reitmann [22]. Результаты о существовании определяющих функционалов для этого коцикла приведены в работе И.В. Ермакова, Ф. Райтманна [2].

Третья глава посвящена применению частотного метода к доказательству существования определяющих функционалов при вытягивании вперед для эволюционных систем в гильбертовом пространстве. Используется бесконечномерный вариант частотной теоремы, полученный в работах А.Л.Лихтарникова и В.А.Якубовича ([9], [10]). Получены частотные условия существования определяющих функционалов при вытягивании вперед для бесконечномерных эволюционных систем в гильбертовом пространстве. Далее эти общие теоретические результаты применяются к задаче микроволнового нагрева. Получены с помощью частотного метода существование глобального B-аттрактора коцикла данной задачи при вытягивании назад и существование определяющих функционалов при вытягивании вперед. Эти результаты получены при несколько иных предположениях о параметрах задачи, чем во второй главе, и частично включают в себя ана-

логичные результаты второй главы.

Четвертая глава содержит результаты численных экспериментов с системой микроволнового нагрева, иллюстрирующие теоретические выводы второй и третьей глав. Результаты экспериментов показывают разнообразие видов решения в зависимости от граничных условий и свойства определяющих функционалов при вытягивании вперед.

1. Физические основы и некоторые применения микроволнового нагрева

1.1. Физическая суть микроволнового нагрева

Электромагнитное поле - это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. Оно представляет собой взаимосвязанные электрическое поле и магнитное поле. Взаимная связь электрического и магнитного полей заключается в том, что всякое изменение одного из них приводит к появлению другого. Электромагнитными волнами называются изменения электромагнитного поля, распространяющиеся в пространстве. Электромагнитное излучение разделяют по длине волны на радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимое излучение, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи. К микроволнам принято относить часть электромагнитного спектра с частотами 300 МГц - 300 ГГц. В отечественной литературе микроволное излучение также называют СВЧ излучением.

Главным механизмом нагрева микроволнового нагрева диэлектриков является диполярный нагрев. Он происходит в диэлектриках, молекулы которых являются диполями. Диполи меняют ориентацию под действием изменений электрического поля. В результате трения диполей происходит нагрев материала.

Кроме диполярного нагрева, для воды также возможен ионный механизм нагрева под действием электромагнитного излучения. В этом слу-

чае возникает электрический ток из-за движения ионов, который приводит к нагреву материала. Однако такой механизм является существенным на низких частотах, на высоких частотах (более 1 ГГц) его вклад незначителен.

1.2. Применение микроволнового нагрева

Общий обзор применений

Микроволны имеют очень много применений. Одно из них - нагрев с помощью микроволн. Преимуществами микроволнового нагрева являются:

• нагрев внутренности материала, а не поверхности,

• быстрота процесса нагрева,

• быстрота включения и отключения,

• возможность нагрева с требуемой локализацией.

Микроволновый нагрев имеет различные применения. Можно выделить три области его использования, о которых мы дадим здесь общее представление.

1. Применение для приготовления еды. Часто встречающийся в быту прибор для микроволнового нагрева - микроволновая печь, которая используется для приготовленияя и подогрева еды. Также этот нагрев применяется для производства еды в промышленных условиях. Сюда относятся приготовление мяса, сушка макарон, приготовление чипсов, пастеризация и стерилизация большого числа продуктов.

2. Индустриальные применения. Микроволновый нагрев используется для обработки многих органических и неорганических материалов ( по-

лимеров, минералов, керамики, вулканизация резины), для сушки кожи и тканей.

3. Применение в медицине. Известен метод гипертермии лечения рака. Он заключается в повышении температуры, при котором погибают раковые клетки. Ткань тела допустимо нагревать до температуры не более 44°С. Температура должна выбираться так, чтобы минимально повредить окружающую здоровую ткань. Раковые области особо чувствительны к температурам 40 — 44°С благодаря более низкому кровотоку, чем в здоровой ткани. Гипертермия может использоваться в сочетании с лучевой терапией или химиотерапией. Также микроволновый нагрев используется для хирургических операций. Например, делается операция на сердце для лечения фибрилляции (нерегулярного сердцебиения). При такой операции в сердце помещается микроволновый катетер и происходит аблация (разрушение) маленького участка мышцы. Благодаря этому создаются рубцы, блокирующие проводимость неправильных электрических импульсов в мышце. Так восстанавливается правильный сердечный ритм.

Частоты микроволнового излучения, разрешенные для применения, стандартизованы и могут зависеть от региона. Для микроволнового нагрева чаще используются частоты 433.92 МГц, 915 МГц, 2450 МГц.

Нагрев керамики

В качестве приложения для нашей теории мы выбрали нагрев керамики.

Обычно керамикой называют любой неорганический или неметаллический материал, устойчивый к нагреву до температуры более 1000°С.

Большинство типов керамики состоят из сложных оксидов и силикатов, хотя есть некоторые исключенния. Потребность в керамических материалах делает нужными эффективные методы их создания. Обработка керамики с помощью микроволнового нагрева более предпочтительна, чем обычным методом нагрева снаружи. Это связано с тем, что микроволновый нагрев обладает равномерностью быстротой по сравнению с нагревом снаружи.

1.3. Начально-краевая задача

Микроволновый нагрев моделируется уравнениями Максвелла, которые описывают распространение микроволнового излучения, и уравнением теплопроводности, описывающим распространение тепла в материале.

Изложим здесь кратко теорию, связанную с уравнениями Максвелла, в соответствии с [12]. Пусть О, - область в М3. Уравнения Максвелла будем рассматривать для этой области. Пусть 7 обозначает ток, И - ток смещения, Е - электрическое поле, В - плотность магнитного потока, Н - величине магнитного поля. Это векторные величины. Скалярными величинами являются плотность электрического заряда д, электропроводность сг, электрическая проводимость е , магнитная проводимость Считаем, что электропроводность а зависит от температуры: а = сг(в), а электрическая и магнитная проводимость зависят от координаты х £ К3: ¡1 = /-¿(а;),

Двумя главными уравнениями являются закон индукции Фарадея

Вг + го^ = О

(1.1)

и следствие из теоремы о циркуляции магнитного поля

А + 7 - rot# - ^

(1.2)

где вектор-функция F считается заданной.

Также к основным уравнениям Максвеллла принято относить и два других уравнения, одно из которых выводится из уравнения (1.1), а другое можно рассматривать как определение плотности электрического заряда

W-D = q.

(1.3)

V • В = 0.

Соотношения (1.1), (1-2) дают шесть скалярных соотношений с пятнадцатью неизвестными. Вводятся дополнительные уравнения, зависящие от предположений о свойтвах среды - уравнения состояния. Сюда входят пропорциональность полей и индукций

D = еЕ,

(1.4)

В = /¿Я,

и закон Ома

J = аЕ, (1.5)

то есть электропроводность не зависит от величин, характеризующих электромагнитные явления.

Введем обозначение Qt = Пх (0, Т], 5т — dQ х (0, Т]. Итак, в нашей задаче уравнения Максвелла записываются в виде

u.Ht + rot£ = 0,

(1.6)

eEt + аЕ — rot Я.

Под действием микроволн возникает источник тепла в материале. Локальная плотность внутреннего источника тепла в материале равна q — j ■ Е, где j - плотность тока. Из закона Ома следует, что j — аЕ. Отсюда q = а\Е\2. Распространение тепла в материале описывается уравнением теплопроводности

0t- V ■{k{x,6)Ve) = a{9)\E\\ (1.7)

где к(х,в) - коэффициент теплопроводности. Дополним задачу граничными условиями

v х Е(х, t) = v х G(x, t), (х, t) 6 Sr, 9(x,t) = 0, (x,í)GSr.

(1.8)

где V - внешняя нормаль к П, С(х,£) - заданная функция, и начальными условиями

Е(х, 0) = Eq(x), Я(ж, 0) = Н0(х), в(х, 0) = в0(х), х е П. (1.9)

Мы ввели начально-краевую задачу (1.6)-(1.9).

Для волны, движущейся в положительном направлении оси х, можно считать, что направление вектора электрического поля совпадает с направлением оси у, а магнитного поля - с направлении оси 2. Тогда электрическое и магнитное поля являются функциями только координаты х и времени £:

Мы считаем, что свободный заряд q системы равен нулю. Тогда уравнения Максвелла сводятся к виду

Liht + ех = 0,

(mi)

ee¿ + ае — hx.

Полагая далее, что /¿ = 6=1, система (1.11) может быть сведена к одному волновому уравнению

E(x,t) = (0, е(х, t), 0), Н(х, t) = (0, 0, h(x, t)).

(1.10)

Фи - Фхх + = 0.

(1.12)

Это делается путем замены

Считаем, что материал представляет собой тонкий стержень, направленный вдоль оси х. Тогда уравнение теплопроводности имеет вид

01-0хх = <т{0)\фг\2. (1.13)

Начальные и граничные условия имеют вид

0(о,г) = 0(1,г) = о, t > о,

(1.14)

(1.15)

ф (х, 0) = ф0 (х), (х, 0) = ф1 (х), 0 < х < 1, 0(ж,О) = 0о(х), 0 < х < 1.

Мы ввели начально-краевую задачу (1.12) - (1.15) в том виде, в каком она приведена в [41], с несколькими отличиями в обозначениях. Данная одномерная модель с незначительными отличиями применяется для изучения микроволнового нагрева керамики в ряде работ ([34], [27], [40] и др.) Так, в работе [27] одномерная задача микроволнового нагрева уравнения описывается уравнениями (в наших обозначениях)

-ч

JXXl

Фи + афь = с ф2

где а, с, v - некоторые константы, а 7 - некоторая функция.

Обсудим другие виды граничных у