Асимптотическое поведение решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в одномерном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЮМАГУЗИН Наиль Юлаевич

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДВУХФАЗОВОЙ ПРОБЛЕМЫ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

11 О КТ 2012

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

005052960

005052960

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор РАЙТМАНН Фолькер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет, профессор)

доктор физико-математических наук, профессор БУРКИН Игорь Михайлович (Тульский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет "ЛЭТИ"

Защита состоится V г- ноября 2012 г. в П_ часов 3 0минут на заседании дисссертационного совета Д 212.232.49 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14 линия В.О., д. 29, математико-механический факультет, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "2|_" 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

¿сс.('■ -'¿г—> Архипова А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решений начально-краевой задачи для системы, описывающей нагрев материала под воздействием микроволнового излучения. Двухфазовость проблемы микроволнового нагрева обусловлена возможностью нахождения материала в одном из двух фазовых состояний, например жидкого и твердого. Основным результатом работы является доказательство сходимости решений системы к стационарному состоянию.

Актуальность темы. Исследование поведения решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в первую очередь стимулировалось прикладными задачами. В последнее время повышенный интерес в области современной медицины проявляется к новым методам лечения раковых опухлей. В частности, таким методом является гипертермия - нагревание тканей тела под воздействием микроволнового излучения до критической температуры 42 °С, при которой происходит разрушение клеток. Первостепенная задача состоит в том, чтобы уничтожить клетки злокачественной опухли и при этом свести к минимуму повреждения клеток здоровых тканей. Важным в данном процессе является точный контроль за проведением процедуры.

Одним из способов повысить эффективность этой процедуры является совмещение гипертермии с криотерапией - когда перед проведением процедуры гипертермии в ткани злокачественной опухли вживляется крио-зонд, охлаждающий клетки опухли до температуры ниже О °С. Сам процесс охлаждения до такой температуры приводит к разрушению клеток, а в совокупности с последующим нагревом путем гипертермии достигается большая эффективность всей процедуры.

Все это объясняет необходимость рассматривать парную систему из уравнений Максвелла, описывающих распространение микроволнового излучения, и уравнения теплопроводности, учитывающего температурный эффект микроволн. Кроме того моделируется эффект двухфазовости материала.

Актуальность данной темы подтверждается тем, что подобные прикладные задачи изучаются в рамках научного центра G-RISC (German-

Russian Interdisciplinary Science Center). Эта работа была спонсирована программой G-RISC (в период с 1 июля по 31 декабря 2010 г.).

Впервые система микроволнового нагрева была рассмотрена Н.-М. Yin4, где изучалась задача однофазового нагрева материала микроволновым излучением. В работе V.S. Manoranjan, R. Showalter, Н.-М. Yin3 рассматривается задача двухфазового нагрева, без изучения асимптотического поведения решений соответствующей системы.

Работа диссертанта является продолжением данной тематики, в частности, показывается стремление решений к стационарному решению в задаче нагрева.

В отличие от приведенных выше работ, в данной работе рассматривается неоднородный по физическим свойствам материал, что, в частности, выражается в выборе физических коэффициентов, таких как диэлектрическая и магнитная проницаемости, которые полагаются непостоянными.

В данной работе рассматриваются различные особенности задачи нагрева в виде разрывных коэффициентов и использования оператора энтальпии для описания двухфазовости и неоднородности материала. Сама система, описывающая задачу, состоит из уравнений параболического и гиперболического типа. Стандартные методы исследования асимптотики к этой системе неприменимы. Возникает необходимость в методе исследования асимптотического поведения, учитывающего специфику данной задачи.

Цель работы. Целью работы является исследование асимптотического поведения решений однофазовой и двухфазовой задачи нагрева материала под воздействием микроволнового излучения и развитие соответствующего математического аппарата. В частности, работа направлена на получение аналитических результатов об асимптотическом поведении решений задачи нагрева и проведении численных экспериментов, подтверждающих эти аналитические результаты.

Методы исследования. Для исследования асимптотического поведения решений задачи микроволнового нагрева в работе используются следующие методы.

• Метод априорных оценок решений, включающий в себя неравенства

в пространствах Соболева и обобщенный локальный принцип максимума для параболических уравнений.

• Функционалы типа Ляпунова в виде квадратичных форм в функциональном пространстве.

• Теория многозначных полугрупп и соответствующее понятие аттрактора для изучения асимптотики в условиях неединственности решения системы.

• Численное моделирование решений системы задачи нагрева с использованием пакета МаЫаЬ.

Результаты, вы носимые н а защит у.

• В однофазовом случае получены результаты о сходимости решений системы задачи микроволнового нагрева к стационарному решению. В доказательстве были использованы методы априорных оценок в функциональных пространствах и квадратичный функционал типа Ляпунова в интегральной форме.

• В двухфазовом случае в условиях неединственности решения системы задачи микроволнового нагрева получены аналогичные результаты о сходимости решений системы к стационарному решению. В доказательстве были использованы методы априорных оценок в Соболевских пространствах и квадратичный функционал типа Ляпунова в интегральной форме. Дополнительно была построена многозначная полугруппа системы задачи нагрева.

• На языке теории многозначных полугрупп доказано существование аттрактора.

• Численно смоделированы решения каждой из рассматриваемых систем, в соответствии с аналитическими результатми.

Достоверность результатов. Все полученные аналитические результаты диссертационной работы строго доказаны.

Для однофазового случая результат сходимости решений системы к стационарному решению подтверждается теоретическими исследованиями V. S. Manoranjan, J. Morgan, R. Showalter и H.-M. Yin.

На достоверность результатов дополнительно указывают полученные численные эксперименты, а также непротиворечивость с физической моделью прикладной задачи.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ц е н н о с т ь. Теоретическая ценность полученных в диссертации результатов заключается в развитии математического аппарата, необходимого для исследования поведения систем, описывающих сугубо прикладные задачи, осложненные междисци-плинарностью, то есть учитыванием, например, медицинской и физической составляющих задачи. Данный математический аппарат должен учитывать классическую теорию физики, представленную, в частности, уравнениями Максвелла, теплопроводности и законом Джоуля-Ленца, для описания процесса нагрева материала микроволновым излучением. Кроме того, классическая теория физики и, как следствие, математический аппарат, усложняются спецификой медицинской задачи ввиду необходимости рассмотрения разрывных коэффициентов системы, что требуется для моделирования микроволнового нагрева органического материала.

Использование аналитических результатов позволяет повысить контроль за проведением процедур типа гипертермии, что представляет непосредственную практическую ценность, особенно с учетом усиленного развития соответствующих направлений в медицине в последнее время и остроте вопроса о лечении раковых заболеваний.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications" (Германия, Дрезден, 2010), "First Interdisciplinary Workshop of the German-Russian Interdisciplinary Science Center on the Structure and Dynamics of Matter" (Германия, Берлин, 2010), "The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations" (Россия, Москва, 2011).

Кроме того, в рамках участия в программе научного центра G-RISC была организована научная стажировка в Technische Universität Dresden, где был представлен доклад диссертанта на семинаре профессора R. Picard на математическом факультете в ноябре 2010.

Публикация результатов. Основные результаты диссертации представлены в 4 печатных работах, в том числе в 2 статьях [1],[2], опубликованных в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1],[3],[4] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, диссертанту принадлежат теоретические результаты и численное моделирование.

В работе [2] соавторам принадлежат постановка задачи и исследование вопроса существования почти периодических решений, диссертанту принадлежат теоретические результаты об асимптотическом поведении решений и соответствующие численные эксперименты.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы, включающего 61 наименование, изложена на 96 страницах машинописного текста и содержит 24 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе описывается устройство генераторов микроволнового излучения, в частности микроволновой печи, и приводится описание прикладной задачи микроволнового нагрева в медицине на примере процедуры гипертермии для лечения раковых заболеваний. Для данной прикладной задачи, с использованием физических законов, выводится система уравнений в частных производных, состоящая из уравнений Максвелла и теплопроводности и описывающая подобную задачу микроволнового нагрева. Кроме того, в данной главе рассматривается комбинирование процедуры гипертермии с криотерапией. Для данной комбинации приводится обобщение выведенных уравнений с учетом двухфазовости материала, путем рассмотрения оператора энтальпии для учитывания эффекта двухфазовости материала. Относительно полученных уравнений в частных производных формулируется начально-краевая задача и рассматривается сведение трехмерной задачи к одномерному случаю по пространственной переменной.

Во второй главе исследуется асимптотическое поведение решений однофазовой задачи нагрева, описываемой начально-краевой задачей

где Т > 0 - произвольное число, ю(х, - ненулевая компонента некоторого интеграла по времени от вектора электрического поля, в{х,Ь) - температура материала, а(-) - электропроводность среды и и>о, в0 - некоторые заданные функции.

Делаются следующие предположения относительно функции сг(-) и начальных данных.

(А1) Функция сг(г) удовлетворяет локальному условию Липшица на [О, оо) и существуют постоянные 0 < ст0 < такие, что <то < ст(г) < <7г,

и>и = шхх-сг(в)юи вь = 0ХХ + а(в)и>1

ОМ) е (0,1) х [0,Т], (1)

Ом) € (0,1) X [о,т], (2)

ги(0,г) = 0, ги(М) = 0,

0(0, г) = 0(1, г) = о,

ю(х, 0) = ги0(а;), ю^х, 0) = гиг (ж) в{х,0) = в0(х),

ге[о,т], (3)

te[o,т}, (4)

Я €(0,1), (5)

х € (0,1), (6)

для любого z > 0.

(А2) Функция вц(х) неотрицательна и принадлежит классу С2(0,1), также выполняются условия согласованности второго порядка начальных и краевых данных в точках (0,0) и (1,0). Функции Wq(x), uji(x) принадлежат классу С4(0,1) и выполняются условия согласованности начальных и краевых данных в угловых точках (0,0) и (1,0).

Система вида (1)-(6) рассмотрена в работе Н.-М. Yin4, где доказано существование глобального классического решения w(x,t) £ C3,3(Qt), в(х,Ь) € C2+q'1+?(Qt). Путем применения энергетических неравенств изучен вопрос асимптотического поведения решений системы.

В настоящей работе для функций W S Cq(0, 1), V, U € С(0,1) строится функционал типа Ляпунова в виде

1

V,U)= J(W2 + 2XWV + V2 + aU2)dx, (7)

о

с некоторыми постоянными параметрами Л, а.

Для заданного таким образом функционала Ф доказывается следующая лемма.

Лемма 2.2 Пусть выполнены предположения (А1)-(А2) и (ги,в) -решение системы (1)-(6). Положим v = wt. Тогда функционал Ф обладает следующими свойствами:

1) Существуют постоянные Ci,G\ > 0, такие, что

Ci(lK(-,t)||i,(o,i) + IK-,í)llb(o,i) + II0(-»*)II!W ^

<Ф (w(-,t),v(-,t),0(-,t))<

< с2(|к(-,онь(0д) + N-,t)iib(o,i) + m-,t)\\bm),

для любого t > 0.

2) Существует постоянная Сз > 0, такая, что

• jtm < -c-Mt), t> о,

С помощью функционала типа Ляпунова (7) и приведенной леммы 2.2 доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1 При выполнении предположений (А1)-(А2) компоненты любого классического решения (ш,в) системы (1)-(6) и производная сходятся в Ь2(0,1) к нулю при £ —> оо.

В заключение во второй главе приводятся численные эксперименты, показывающие асимптотическое поведение классических решений системы нагрева и подтверждающие полученные аналитические результаты.

В третьей главе рассматривается двухфазовая задача микроволнового нагрева с учетом разрывных коэффициентов, учитывающих физические свойства материала:

е(х)ши = - а{в)уц, (х,Ь) £ (0,1) х [0,Т], (8)

Ь(в)1 = 9ХХ + а(в)и>1 (х,г) е (0,1) х [0,Т], (9)

™(о,г) = о, ™(м) = о, ¿€[0,Т], (10)

в(о, 1) = 0(1,0 = 0, £е[о,т], (11)

ш(а;,0) =0, = п^х), а: 6 (0,1), (12)

в(х,0) = в0(х), ^(0,1). (13)

Здесь Т > 0 - произвольное число, ю(х, ¿) - ненулевая компонента некоторого интеграла по времени от вектора электрического поля, в(х, £) - температура материала, а(-) - электропроводность среды, е(-) - диэлектрическая проницаемость, - магнитная проницаемость, д(-) - оператор энтальпии и и)\, во - некоторые заданные функции.

Предполагается, что функции Ь, а, е и ц имеют следующий вид:

Кг)

г-1, г < т.

[т - 1, т] , г = т.

г, г > т

£ъ X 6 (0,®о),

£2, X е (х0,1),

. о„(г), г <тп, сг;(2), г > т,

|ч, ^ ^ , ч I Мь хб(0,хо),

ф) = < ц{х) = < (14)

Здесь /¿ь/х 2,^1, £2 константы, а „(г) и а ¡{г) - гладкие вещественные

функции на К+, т € К+ - температура плавления материала и .то € (0,1) - точка, обозначающая границу сред в нагреваемом материале.

Считается, что ст(т) € [пнп{ст5(т), 07(771)}, тах{ста(т), ст;(т)}]. Определение 3.1 Пара функций {ь){х,Ь),в{.г,£)) называется слабым решением системы (8)-(13), если и> £ С1(0, Т1; //д(0,1)) и в £ Ь2(0,Т; Нд(0,1)) П С(0,Т;Ь2(0,1)), причем удовлетворены интегральные тождества

Г 1

j У -е(х)и}гфг + ^^и'хФх + а{6)гигф<1х<1Ь = о о

1

= J е(х)и]1(х)ф(х,0)с1х, о

т 1 1

J У -Ь(в)трь + вхтрх - а(в)и)2-ф<1х(И = У Ь(во(х))ф(х, 0)<1х, 0 0 о

для любых тестовых функций ф 6 Ь2(0, Т; Щ(0,1)) П С(0, Т; Ь2{0,1)) и ф € Н1{0,Т; //ЧО, 1)), таких, что ф(х,Т) = ф{х,Т) = 0 для а; е (0,1). □ Для системы (8)-(13) делаются следующие предположения. (АЗ) Положительные параметры е\, £2, Ц\, определяющие функции £(г) и ц{х) согласно (14) удовлетворяют неравенству

1 1

rinjei, £2, —, —I I ш U, J

< 1.

Ml >2 -

(A4) w\ - функция класса L2{0,1), 0q - неотрицательная функция класса L2(0,1).

(А5) Существуют числа сто > 0 и о\ > 0, такие, что

0 < ст0 < ct(z) < сть 2 € [0, оо).

Из работы Manoranjan V.S., Showalter R., Yin H.-M.3 следует, что с учетом предположений (А3)-(А5) система (8)-(13) имеет хотя бы одно слабое решение для заданных начальных данных, при любом Т > 0.

Для изучения асимптотики в работе рассматривается последовательность аппроксимирующих задач вида

ф>„ = (*„,,), - <rn(0)wu (x,t) е (0,1) х [0,Т], (15)

ьп(е)ь = ехх + ап(в)ю1 (х,г) е (о, 1) х [о,т], (16)

ш(0,4) = о, ш(1,0=0, 4 е [о,Г], (17)

9( 0,4) =(9(1,4)= 0, ге[0,Г], (18)

и;(1,0) =0, ш4(а;,0) = «л(а;), я € (0,1), (19)

в(х,0) =в0(х), 16(0,1), (20)

где функции &„(■) и сг„(-) есть С1-гладкие аппроксимации Ь(-) и сг(-) соответственно, удовлетворяющие условиям

Ъп(г) = Ъ{г), а п(г) = <т(г), егсли - т| >

ге[0,оо),

а^ < Ьп(г) < а2г + аз, г 6 [0, оо),

0 < (т0 < сг„(г) < сгь л € [0, оо),

Ьп 6, сг„ ст, сильно в Ь2([0, оо]) при гг -»■ оо,

где > 0, аг > 0, а^ > 0 - некоторые фиксированные числа, а постоянные <то, сгх задаются предположением (А5).

Строится функционал типа Ляпунова следующего вида 1

Ф(1У, У,Ц) = / (¿) ^ + + Ф)у2 + аЪ1{Щ) Лх, (21)

о

где V, и 6 Я^(0,1) и Л > 0, а > 0 некоторые постоянные.

С помощью обобщенного локального принципа максимума1 для параболических уравнений, показывается, что для компоненты в(х, 4) решения системы (15)-(20) верна оценка

в{х, 4) < С, для почти всех х е (0,1) и 4 > 0,

причем постоянная С зависит только от начальных данных и коэффициентов системы.

С учетом ограниченности в в норме Ь°°((0,1) х (0, оо)) рассматривается для произвольного г > 0 класс решений {ш, в) системы (15)-(20)

F(r) = {(ад,6») | (и},9) - решение (15)-(20), ||0|и*.((о.1)х(о,оо)) < г].

С учетом г подбираются параметры А, а функционала типа Ляпунова (21), для которого доказывается выполнение неравенств

ci(K(-,i)lll*(0,i) + \Ы-М1Ч0,1) + H*(-,t)ll2W <

$(w(-,t),wt{-,t),0(;t)) < Ф(0,Юив0)~ t

-c2j (||«4(-,т)||22{0д) + |К-,т)||£2(0Д) + ¥{-,т)\\2Щ01))(1т, о

где t > О, (w, в) е F(г) и ci > О, С2 > 0 некоторые постоянные, зависящие только от коэффициентов уравнений системы (кроме того Сг зависит от г).

С помощью выше приведенных неравенств показывается сходимость компонент решений аппроксимационной задачи (15)-(20) к нулю в норме L2(0,1) при t -)■ оо.

В заключение приведенным выше результатам, доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2 Пусть выполнены условия (А3)-(А5). Тогда любое слабое решение (и>,6) исходной системы (8)-(13) и производная wt сходятся к нулю в норме L2{0,1) при t оо.

Во второй половине третьей главы для системы вида (8)-(11) с начальными данными

w{x,0) = w0, wt(x,0) = wx{x), x e (0,1), (22)

в(х,0) = ео(х), же (0,1), (23)

используется метод многозначных полугрупп2. Для этого строится функция S : [0, Т] х D —» 2° следующим образом

S(t,w0,wu90) := |{гу,г5,0} € Dрешение (8) - (11), (22) - (23) для начальных данных wq,wi,6q и w(-,t) = w,wt(-,t) = v,6(-,t) =

где D = Hq(0,1) х L2(0,1) х L2(0,1) пространство с нормой

II (u, V, = max{IM|i2(0,l)i IMU2(0,1)> H^IU2(0,1)}-

Можно показать, что для S выполняется следующее свойство

S(t + s,w0,wi,e0) = S(t,S(s,w0,wi,e0)), (25)

для любых t,s > 0 и и>о, wi, во - начальных данных системы (8)-(11), (22)-(23).

Далее для ¿' вводятся следующие определения.

Определение 3.2 Предположим, что есть последовательности {tn} С R+, -Ко} С Щ(П), {wnl} С L2(fi), {вп0} С L2(iî), такие, что tn t, Wnи —> Wu, WTl 1 —)■ Wi, втМ -> во при n —> оо для некоторых t G Ш.+ , wQ е Яц(Г2), 6 L2(fi), 0О € L2(fi). Допустим, что для любого п € N существует тройка функций {гуп, vn,0„} обладающая свойствами:

{wn, vn, вп} 6 S(tn, го„0, ш„ь 0„о), {û>n, г>„, 0П} {й>, г>,0}, при п -> оо. Тогда непрерывность S относительно начальных данных означает, что {w,v,d} е 5(i,wo,wi,0o)- □

Определение 3.3 Многозначная функция S, обладающая свойствами (24)-(25) и удовлетворяющая определению непрерывности относительно начальных данных, называется многозначной полугруппой системы (8)-(Н), (22)-(23). □

Доказывается, что построенная в (24) многозначная функция S действительно является многозначной полугруппой системы (8)-(11), (22)-(23).

Далее рассматривается подпространство D' С D и для S строится поглощающее множество Во, такое, что для некоторого to > 0, S(t,D') С

Во, Vt > t0.

С помощью поглощающего множества В0 доказывается следующая теорема.

Теорема 3.3 Для многозначной полугруппы S системы (8)-(11), (22)-(23) существует множество А С D', такое, что

• А - непусто и компактно;

• для любого е > 0 существует Т{е), такое, что

distD(S(t,y),A) <£, yeD'ut> Т(е);

• S(t, Л) = Л для любого t > 0.

Множество Л называется аттрактором для многозначной полугруппы S.

В заключение в третьей главе приводятся численные результаты, полученные с использованием пакета Matlab, которые демонстрируют доказанное аналитически асимптотическое поведение решений системы типа (8)-(13).

wp(x,t)

WP(x,t) ... .......... ..........

Рис. 1. Асимптотическое поведение компоненты решения ш. Слева -проекция при х = 0.5 различных решений для множества начальных данных, справа - одно решение ги{х,Ь).

ep(x,t)

-■-'--9p(x,t)

Рис. 2. Асимптотическое поведение компоненты решения в. Слева -проекция при х = 0.5 различных решений для множества начальных данных, справа - одно решение 9{х,Ь).

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1 Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

2 Kenmochi N., Yamazaki N. Global attractor of the multivalued semigroup associated with a phase-field model of grain boundary motion with constraint // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Supplement 2011. 2011. Vol.2. P.824-833.

3 Manoranjan V. S., Showalter R., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A. 2006. Vol.4, №15. P. 1155-1168.

4 Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature effect // SIAM J. of Mathematical Analysis. 1998. Vol. 29. P. 637651.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. Асимптотическое поведение решений двухфазовой задачи микроволнового нагрева в одномерном случае // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2012. Сер. 1. Вып. 3. С. 59-62.

2. Kalinin Y. N., Reitmann V., Yumaguzin N. Y. Asymptotic behavior of Maxwell's equation in one-space dimension with thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Supplement 2011. 2011. Vol.2. P. 754-762.

3. Reitmann V., Yumaguzin N. Y. Frequency-domain conditions for convergence to the stationary set in coupled PDEs / Abstracts of "The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications". 2010. Dresden. Germany. P. 305.

4. Reitmann V., Yumaguzin N. Y. Stability analysis for Maxwell's equation with a thermal effect in one spatial dimension / Abstracts of "The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations", international workshop "Spatio-temporal dynamical systems". 2011. Moscow. Russia. P. 57.

Подписано к печати 24.09.12. Формат 60 х 84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5523.

Отпечатало в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Введение

1 Технологические и физические модели микроволнового нагрева

1.1 Описание процесса микроволнового нагрева.

1.2 Гипертермия в онкологии.

1.3 Двухфазовость задачи микроволнового нагрева

1.4 Одномерный случай задачи микроволнового нагрева

2 Асимптотическое поведение классических решений одно-фазовой проблемы микроволнового нагрева

2.1 Постановка задачи. Построение динамической системы

2.2 Построение функционала типа Ляпунова. Исследование асимптотического поведения решений.

2.3 Численные результаты.

3 Асимптотическое поведение слабых решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева

3.1 Формулировка задачи. Понятие слабого решения.

3.2 Исследование асимптотического поведения с помощью функционала типа Ляпунова.

3.3 Исследование асимптотического поведения с помощью многозначных полугрупп

3.4 Существование аттрактора многозначной полугруппы

3.5 Численные результаты.

В представленной работе изучается асимптотическое поведение решений начально-краевой задачи для парабол ико-гипербол и ческой системы, описывающей процесс нагрева материала под воздействием микроволнового излучения в одномерном случае по пространственной переменной. Такой процесс нагрева под действием микроволнового излучения используется в различных технологических процессах ([28]), а в последнее время более интенсивно в медицине ([29]). В трехмерном случае данный процесс описывается с помощью парной системы из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. Одномерный случай по пространственной переменной рассматривается в данной работе.

Первая глава работы посвящена рассмотрению некоторых прикладных задач, использующих микроволновый нагрев. В первой части главы описывается устройство широко используемого прибора, нагревающего материал микроволнами (микроволновая печь) и рассматривается применение микроволнового нагрева в медицине для лечения раковых заболеваний путем процедуры гипертермии. Далее, с использованием физических законов, в предложенной работе выводятся основные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие подобную задачу микроволнового нагрева. Кро.ме того, в данной главе рассматривается комбинирование процедуры гипертермии с криотерапией. Для данной комбинации приводится обобщение выведенных уравнений с учетом двухфазовости материала. Относительно полученных уравнений в частных производных в работе в работеформулируется начально-краевая задача и рассматривается сведение системы к одномерному случаю по пространственной переменной.

Во второй главе рассматривается одномерная задача микроволнового нагрева без учета двухфазовости материала. Для такой задачи сформулированы достаточные условия, при которых существуют единственные гладкие глобальные решения для заданных начальных данных ([60]). Доказывается теорема об асимптотическом поведении решений такой системы нагрева в одномерном случае с использованием функционала типа Ляпунова ([20]), при этом используется метод априорных оценок глобальных решений начально-краевой задачи. Используя свойство глобальности, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных в соответствующем пространстве, строится динамическая система. Кроме того, приводятся численные результаты, показывающие асимптотическое поведение решений начально-краевой задачи для системы нагрева и подтверждающие полученные теоретические результаты. Соответствующие результаты об асимптотическом поведении решений для однофазовой задачи микроволнового нагрева в одномерном случае были изложены в работе Kalinin Y. N., Reitmann V., Yumaguzin N.Y. [32].

В третьей главе работы изучается двухфазовая задача нагрева с разрывными коэффициентами, учитывающими физические свойства материала. Для учета двухфазовости материала в задаче нагрева используется оператор энтальпии ([47]). Для начально-краевой задачи, описывающей микроволновый нагрев материала, вводится понятие слабого решения системы с помощью интегральных тождеств ([42]) и приводятся условия, при которых для данной начально-краевой задачи существует хотя бы одно глобальное решение при заданных начальных данных. Исследуется асимптотическое поведение таких слабых решений с использованием функционала типа Ляпунова, включающего оператор энтальпии. Кроме того, учитывая возможную неединственность решений для рассматриваемой начально-краевой задачи, в работе используется понятие многозначной полугруппы, обобщающей понятие динамической системы. Показывается существование аттрактора для построенной многозначной полугруппы. В заключение в третьей главе приводятся численные результаты, показывающие асимптотическое поведение решений для двухфазовой задачи нагрева и подтверждающие полученные теоретические результаты. Результаты об асимптотическом поведении слабых решений для двухфазовой задачи с учетом оператора энтальпии приведены в работах Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. [8] и Reitmann V., Yumaguzin N.Y. [51, 52].

Заключение

В предложенной работе изучается начально-краевая задача, включающая в себя уравнения в частных производных гиперболического и параболического типов и описывающая процесс нагрева материала под воздействием микроволнового излучения в одномерном по пространственной переменной случае. Исследование процесса микроволнового нагрева является актуальным в силу развития новых технологий, в том числе в медицине для лечения раковых оиухлей. Одним из таких способов является гипертермия, в котором используется мржроволновое излучение для нагрева клеток тканей до критической температуры.

Подобная технологическая постановка прикладной задачи порождает определенные математические проблемы. В частности, нетривиальным является сочетание в начально-краевой задаче уравнений разных типов: гиперболического, описывающего распространение микроволнового излучения и порожденного уравнениями Максвелла, а также параболического, описывающего температуру в материале через уравнение теплопроводности с учетом теплового эффекта. Дополнительные сложности вызывает необходимость рассмотрения разрывных коэффициентов системы, что обусловлено прикладной задачей, так как органический материал может иметь неоднородную структуру. Кроме того, в некоторых случаях возможны вариации в процедуре гипертермии, в результате которых появляется эффект двухфазовости материала, усложняющий вид параболического уравнения добавлением оператора энтальпии. В совокупности данные особенности поо рождают достаточно специфическую задачу, для изучения которой требуется развитие существующих математических методов.

Данная работа посвящена изучению асимптотического поведения начально-краевой задачи нагрева с учетом указанных выше особенностей. Первым результатом для этой задачи, без учета разрывных коэффициентов и двухфазовости материала, является теорема о сходимости произвольного классического решения системы нагрева к стационарному решению. Первые результаты об асимптотическом поведении для задачи в условиях однофазовости с непрерывными коэффициентами системы были получены в работе Yin Н.-М. [60]. Результаты настоящей диссертационной работы были получены с использованием других методов, которые применимы и для двухфазовой задачи с разрывными коэффициентами, для которой были доказаны аналогичные результаты о сходимости слабых решений к стационарному решению. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие полученные теоретические результаты.

В рамках диссертации для задачи нагрева в условиях неединственности существования слабого решения был предложен метод построения многозначной полугруппы для системы и доказано существование определенного типа аттрактора. Данные результаты продолжают исследование, приведенное в работах Kapustyan A.V., Melnik V.S., Valero J. [33], Melnik V. S., Valero J. [431 для общих динамических систем.

При дальнейшем исследовании асимптотики решений задачи нагрева целесообразным будет рассматривать более общие предположения относительно начально-краевой задачи, в частности рассматривать неоднородные краевые условия. Также естественным обобщением является исследование задачи в трехмерном случае.

1. Каменномостская С. JI. О задаче Стефана // Математический сборник. 1963. Т. 53, №4. С. 89-108.

2. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

3. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

4. Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Дихотомия и устойчивость неопределенных нелинейных систем в гильбертовых пространствах // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, вып. 6. С. 132-155.

5. Мейрманов А. М. Периодические решения двухфазовой задачи Стефана // Динамика жидкости со свободными границами. Вып. 57. С. 35-40.

6. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Доклады Академии Наук СССР. 1960. Т. 135, №5. С. 1054-1057.

7. Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. Асимптотическое поведение решений двухфазовой задачи микроволнового нагрева в одномерном случае

8. Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2012. Сер. 1. Вып.З. С. 59-62.

9. Серкова Н. Д. Двухфазовая задача нагрева неоднородного материала / Дипломная работа. Санкт-Петербургский Государственный Университет, 2011.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2001. Т.2. 810 с.

11. Aronson D., Crandall М. G., Peletier L.A. Stabilization of solutions of a degenerate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1982. Vol. 6, №10. P. 1001-1022.

12. Ball J. M. On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations // Journal of Differential Equations. 1978. Vol.27. P. 224-265.

13. Bertsch M., Gurtin M.E., Hilhorst D. On a degenerate diffusion equation of the form c(z)t = <p(zx)x with application to population dynamics // •Journal of Differential Equations. 1987. Vol. 67. P. 56-89.

14. Boichenko V.A., Leonov G.A., Reitmann V. Dimension theory for ordinary differential equation. Berlin: Teubner, 2005. 441 p.

15. Cannon J. R., DiBenedetto E. On the existence of weak solutions to an n-dimensional Stefan problem with nonlinear bondary conditions // SIAM J. Math. Anal. 1978. Vol. 11, №4. P. 632-645.

16. Chueshov I. A reduction principle for coupled nonlinear parabolic-hyperbolic PDE // Journal of evolution equations. 2004. Vol. 4. P.591-612.

17. Cooper Т.Е., Trezek G.J. Rate of lesion growth around spherical and cylindrical cryoprobes // Cryobiology. 1971. Vol. 7, №4. P. 183-190.

18. Crandall MG., Ligett TM. Generation of semi-groups of nonlinear transformations on general Banach spaces // American Journal of Mathematics. 1971. Vol.93, №'2. P.265-298.

19. Crandall MG., Pazy A. Nonlinear evolution equations in Banach spaces //' Israel Journal of Mathematics. 1972. Vol. 11, № 1. P.57-94.

20. Dafermos С. M. Asymptotic behavior of solutions of evolution equations // Nonlinear evolution equations. New York: Academic Press. 1978. P. 103— 123.

21. Damlamian A. Some results on the multi-phase Stefan problem // Communications in Partial Differential Equations. 1977. Vol.10, №2. P. 1017-1044.

22. Damlamian A., Kenmochi N. Asymptotic behavior of solutions to a multiphase Stefan problem // Japan J. Appl. Math. 1986. Vol.3. P. 15-36.

23. Deng Z.-S., Liu J. Modeling of multidimensional freezing problem during cryosurgery by the dual reciprocity boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2004. Vol. 28. P. 97-108.

24. Encylopedia Britannica Электронный ресурс] Режим доступа: URL: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/183692 (дата обращения: 18.07.2012).

25. Feireisl Е. Strong decay for wave equations with nonlinear nonmonotonedamping // Nonlinear Analysis: Theory, Methods k Applications. 1993. Vol.21, №1. P. 49-63.

26. Friedmann A. The Stefan problem in several space variables // Transactions of the American Mathematical Society. 1968. Vol. 133, №1. P.51-87.

27. Glassey R., Yin H.-M. On Maxwell's equations with a temperature effect, II // Communications in Mathematical Physics. 1997. Vol. 194. №2. P.343-358.

28. Grundas S. Advances in induction and microwave heating of mineral and organic materials. Rijeka: InTech, 2011. 752 p.

29. Habash R., Bansal R. Thermal therapy, part 2: hyperthermia process // Critical Reviews in Biomedical Engineering. 2006. Vol. 34. №6. P. 491-542.

30. Ishii H. Asymptotic stability and existence of almost-periodic solutions for the one-dimensional, two-phase Stefan problem // Math. Japonica. 1980. Vol.25. P. 379-393.

31. Jochmann F. Asymptotic behaviour of solutions to a class of semilinear hyperbolic systems in arbitrary domains // Journal of Differential Equations. 2000. Vol. 160. P. 439-466.

32. Kalinin Y. N. Reitmann V., Yumaguzin N.Y. Asymptotic behavior of Maxwell's equation in one-space dimension with termal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement 2011. 2011. Vol.2. P. 754-762.

33. Kapustyan A.V., Melnik V. S., Valero J. Attractors of multivalued dynamical processes generated by phase-field equations /'/ International Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, № 7. P. 1969-1983.

34. Kenmochi N., Yamazaki N. Global attractor of the multivalued semigroup associated with a phase-field model of grain boundary motion with constraint /7 Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement 2011. 2011. Vol.2. P. 824-833.

35. Kriegsmann G. A. Microwave heating of dispersive media // SIAM J. App. Math. 1993. №53. P. 655-669.

36. Kubo M., Yamazaki N. Elliptic-parabolic variational inequalities with time-dependent constraints // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2007. Vol. 19, №2. P.335-359.

37. Kumar S., Katiyar V. Numerical study on phase change heat transfer during combined hyperthermia and cryosurgical treatment of lung cancer // Int. J. of Appl. Math and Mech. 2007. Vol.3, №3. P. 1-17.

38. Langa J. A. Asymptotically finite dimensional pullback behaviour of non-autonomous PDEs // Archiv der Mathematik. 2003. Vol.80, №5. P. 525535.

39. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepelyavy A.I. Frequency methods in oscillation theory. Dordrecht: Kluwer, 1996. 403 p.

40. Manoranjan V. S., Showalter R., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process // Discrete and Cont. Dyn. Sys. Seiies A. 2006. Vol.4, №15. P. 1155-1168.

41. Melnik V. S., Valero J. On attiactors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued Analysis. 1998. №6. P. 83-111.

42. Morgan J. Global existence for semilinear parabolic systems // SI AM J. Math. Anal. 1989. Vol. 20. №5. P. 1128-1144.

43. Morgan J. Boundedness and decay results for reaction-diffusion systems // SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol.21. №5. P. 1172-1189.

44. Morgan .J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect //' Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2001. Vol.1. P. 485-494.

45. Niezgodka M., Pawlow I. Optimal control for parabolic systems with free boundaries existence of optimal controls, appioximation lesults // Lecture Notes in Control and Information Sciences. 1980. Vol.22. P. 412420.

46. Niezgodka M., Pawlow I. A generalized Stefan problem in several space variables // Appl. Math. Optim. 1983. Vol.9. P. 193-224.

47. Pilyugin S. Yu. The space of dynamical systems with the C0-topologv. New-York: Springer-Verlag, 1994. 188 p.

48. Reitmann V., Yumaguzin N.Y. Frequency-domain conditions for convergence to the stationary set in coupled PDEs / Abstracts of "The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems. Differential Equations and Applications". 2010. Dresden. Germany. P. 305.

49. Reitmann V., Yumaguzin N.Y. Stability analysis for Maxwell's equation with a thermal effect in one space dimension // Journal of Mathematical Sciences. 2012. Vol. 46. Accepted for publication.

50. Sato N., Shirohzu J., Kenmochi N. Asymptotic behavior for nonlinear systems of phase transitions // RIMS Kokyuroku. 1995. Vol.891 P. 146156.

51. Sell G. R. Lectures on topological dynamics and differential equations. London: Van Nostrand Reinhold, 1971. 199 p.

52. Sell G.R. Differential equations without uniqueness and classical topological dynamics // Journal of Differential Equations. 1973. Vol.14. P. 42-56.

53. Shamsundar N., Sparrow E. VI. Analysis of multidimensional conduction phase change via the enthalpy model // Journal of Heat Transfer. 1975. Vol. 97. P. 333-340.

54. Stedry M, Vejvoda 0. Time periodic solutions of a one-dimensional two-phase Stefan problem // Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1981. Vol. 127, №1. P. 67-78.

55. Wei W., Yin H.-M. Global solvability to a singular nonlinear Maxwell's equation in quasi-stationary electromagnetic fields // Communication in Pure and Applied Analysis. 2005. Vol.4. P.431-444.

56. Yin H.-M. Global solutions of Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature-dependent electrical inductivity // European Journal of Appl. Math. 1994. Vol.5. P. 57-64.

57. Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the tempeiature effect // SIAM J. of Mathematical Analysis. 1998. Vol.29. P. 637-651.

58. Yin H.-M. Regularity of weak solution to Maxwell's equations and applications to microwave heating // Journal of Differential Equations. 2004. Vol.200. P. 137-161.