Почти периодические коциклы и функционалы Ляпунова для построения почти периодических решений в задачах нагрева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЦИКЛЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НАГРЕВА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

На правах рукописи

КАЛИНИН Юрий Николаевич

005531619

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2013

005531619

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

РАЙТМАНН Фолькер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет, профессор)

доктор физико-математических наук, профессор БУРКИН Игорь Михайлович (Тульский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет "ЛЭТИ"

Защита состоится сгнгЛсф^У 2013 г. в часов ¿^минут на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199048, Санкт-Петербург, 14 линия В. О., д. 29, математико-механический факультет, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ЧуринЮ.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации изучаются вопросы существования почти периодических решений для задач микроволнового и индукционного нагрева. Для этого строится теория почти периодических интегралов для коциклов. На основе этой теории показывается существование почти периодических интегралов для микроволновой задачи нагрева. Выводится частотное условие существования почти периодических решений для эволюционных вариационных уравнений с монотонными нелинейностями. Доказывается существование почти периодических решений для эволюционных систем с нелинейностью типа Дуффинга, и, как частный случай, задачи индукционного нагрева.

Актуальность темы. В последнее время во многих прикладных задачах используется микроволновый и индукционный нагрев материалов, например, в быту, промышленности, медицине и многих других. В медицине в последнее время особый интерес проявляется к лечению злокачественных опухолей. В связи с этим возникает задача усиленного контроля температуры. Требуется локализовать нагреваемый участок, чтобы не вызвать разрушение соседних здоровых тканей и избежать неконтролируемого роста температуры за конечный промежуток времени (blow-up). Для моделирования используется парная система из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности, которое учитывает эффект микроволн.

Существование почти периодических решений для возмущенных эволюционных систем является важной задачей. Хорошо известны результаты о существовании почти периодических решений для разных классов.

Результаты о существовании почти периодических интегралов для процессов как обобщение решений в неавтономных системах были предложены в работах Hino Y. и Murakami S. [4] и Dafermos С. М. [2]. В данной диссертации этот подход рассматривается для более общих конструкций, а именно - коциклов. В работе показано, что задача микроволнового нагрева в присутствии почти периодического по Бору возмущения порождает такой класс коциклов.

Другой подход для доказательства существования почти периодических решений развит в работах Панкова А. Д. [1] для возмущенной эволюционной системы с монотонной нелинейностью. Здесь основным принципом является

компактификация Бора топологической группы и использование энергетических функционалов. В настоящей работе, для построения такого энергетического функционала типа Ляпунова, используется частотный метод. На его основании получено существование почти периодических решений в задаче индукционного нагрева. В отличие от имеющейся литературы такой метод для вариационных уравнений предлагается впервые.

Актуальность темы подтверждается также тем, что она входит в число исследований, поддержанных Немецко-Российским научным центром (С-ШБС). Диссертант получал поддержку от в-ШБС в виде стипендии на месте 3 течение 6 месяцев (с 1 апреля по 30 сентября 2010 г.).

Цель работы. Целью работы является исследование вопроса существования почти периодических решений для возмущенных эволюционных систем и их применения для задач микроволнового и индукционного нагрева. Другими целями являются построение теории почти периодических интегралов, построение энергетического функционала с помощью частотного метода и проведение численных экспериментов.

Методы исследования. В диссертации используются следующие методы исследования:

• Построение почти периодических интегралов для коциклов.

• Методы априорных оценок решений для парной системы уравнений в частных производных.

• Функционалы типа Ляпунова в виде квадратичных форм в функциональном пространстве.

• Частотный метод для построения функционала типа Ляпунова для эволюционной задачи.

• Численное моделирование решений системы задачи микроволнового нагрева с использованием пакета Ма^аЬ.

Результаты, выносимые на защиту.

• Доказано существование почти периодических интегралов для определённых классов коциклов.

• Доказано существование почти периодического решения для одномерной задачи микроволнового нагрева.

• Получено частотное условие существования почти периодических решений для возмущенной эволюционной системы с монотонными нели-нейностями.

• Доказано существование почти периодического решения для задачи управления температурным профилем стержня с граничным управлением.

• Численно смоделировано решение одномерной задачи микроволнового нагрева.

Достоверность результатов. Все полученные результаты математически строго доказаны. Результат для почти периодических интегралов коциклов содержит как частный случай результат работы Hino Y. и Murakami S. Результат для эволюционных вариационных уравнений расширяет результат, полученный в работах Панкова А. А. относительно конструктивного построения энергетических функционалов с помощью частотного метода.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Введены элементы теории почти периодических интегралов для коциклов. Получены впервые частотные условия существования почти периодического решения для эволюционной системы управления типа Лурье с нелинейностью типа Дуффинга.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты для задач микроволнового и индукционного нагрева могут быть использованы для контроля за температурой на практике. Разработанные методы позволяют исследовать широкий класс возмущённых эволюционных систем, показать существование почти периодических решений для некоторых классов систем, что представляет теоретическую ценность работы.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications"(Германия, Дрезден, 2010), "First Interdisciplinary Workshop of the German-Russian Interdisciplinary Science Center

on the Structure and Dynamics of Matter"(Германия, Берлин, 2010), "Science and Progress "в рамках научного центра G-RISC (Санкт-Петербург, 2010), на семинарах кафедры прикладной кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета (2009 - 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, в том числе в трёх статьях. Статьи [1*,2*] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работе [1*] соавторам принадлежат теоретические результаты по определяющим функционалам для коциклов, свойствам задачи микроволнового нагрева и постановка задачи. В работе [2*] соавторам принадлежат результаты по устойчивости задачи нагрева и постановка задачи. В работах [4*-5*] соавторам принадлежит постановка задачи, диссертанту принадлежат все основные теоретические результаты.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на 10 разделов, списка литературы, включающего 47 наименований, изложена на 93 страницах машинописного текста и содержит 6 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе даётся описание двух задач нагрева. Во-первых, рассматривается задача микроволнового нагрева. Приводятся некоторые физические законы, которые описывают генерацию микроволн, возникновение и распространение тепла в материале. Микроволновое излучение описывают уравнения Максвелла, а распространение тепла в материале описывает уравнение теплопроводности. На основании этих законов формулируется начально-краевая задача. Далее эта задача сводится к одномерной по пространственной переменной. Дополнительно предполагается, что возмущения, которые входят в систему в виде граничных условий, почти периодические.

Вторая задача, которая рассматривается в первой главе, описывает проблему индукционного нагрева материалов. В отличие от предыдущей задачи, источником нагрева является приток тепла через часть границы материала. Предполагается, что источник тепла зависит от почти периодической функции.

Во второй главе вводятся понятия почти периодических функций, которые будут использованы в работе.

Множество <S С R называется относительно плотным, если существует такой компактный интервал К. С R, что (s + 1С) П S ф 0 для всех s <Е К. Функция / G Сь(К;Е) называется почти периодической по Бору, если для любого £ > 0 множество

{t€R| sup ||/(e + r)-/(s)||B<e}

sgR

е - почти периодов относительно плотно в R. Здесь Е - заданное банахово пространство. Почти периодические по Бору функции образуют подмножество САР{Ш; Е) С C6(R; Е)

Кроме почти периодических по Бору функций в работе рассматриваются почти периодические функции по Степанову с показателем 2 (коротко S2 - п.п.), которые вводятся в работе в стандартной форме. Пространство S2 - п.п. функций со значениями в Е обозначим как S2(R; Е). Заметим, что САР{Ш-Е) С S2(R; Е).

Далее даётся введение в теорию коциклов в банаховом пространстве. Вводится для таких коциклов понятие почти периодического интеграла.

Пусть (Q,d) - метрическое пространство, называемое базисным пространством. Пара ({т(}<бЖ, (Q, d)), где т1 : Q -» Q, для любого t € R, называется базисным потоком, если

т° = idQ,

t'ots = Tt+S Vi, s e R.

Пусть (M,p) - линейное метрическое пространство, которое назовем фазовым пространством.

Определение 1. Пара ({^4?. 0}4еи+Лед« (М»Р))» где <р<(д, ■) : М -> М

для любых t S R +,q € Q называется коциклом над базисным потоком

({Tt}teR>(Q,d))> если

</>°(<7>') = idM € Q>

<pt+s(q, •) = vVfa), ¥>'(9. •)) V9 6 Q, Vi, s € R+.

Для краткости коцикл ({<^(<7, OheR+.^eQ > (M> P)) пад базисным потоком ({т®}4еК, (Q,d)) будем обозначать (<р,т).

Неавтономным множеством будем называть 2 = - отоб-

ражение -» 2м. Неавтономное множество называется ограниченным (замкнутым, компактным), если для любого д € <3 множество ¿,(<7) ограничено (замкнуто, компактно) в М.

Неавтономное множество 2 называется инвариантным, если для любых д 6 <3 и £ > 0 выполняется равенство = Z{тt{q)). Введём понятие интеграла для коцикла.

Определение 2. Неавтономное множество Й = {Z(q)}q6Q называется почти периодическим интегралом для коцикла (</?, т), если оно инвариантно относительно коцикла т) и является непрерывным почти периодическим отображением Z : Q М.

Вводим множество 0£(щ) = {и £ М : ||и —и0|| < е}, для любых щ € М и е > 0.

Определение 3. Интеграл : <5 —» М коцикла (¡р, т) называется

1) равномерно устойчивым относительно 5 € <5, если для любого е > 0

существует 5 := 5(е) > 0 такое, что

АчМг{ч))) с ое{г{т\ч))), г е е д.

2) равномерно асимптотически устойчивым относительно q € <3, если

он равномерно устойчив и существует 5о > 0 такое, что для любого £ > 0 существует £о > 0 такое, что

0*,(ад)) С Ое{г{т\Ч))),

Определим понятие почти периодического коцикла.

Определение 4. Коцикл : М+ х <3 х М —»■ М, будем называть почти периодическим, если ^>'(<7, и) почти периодический по где и) из произвольного ограниченного множества.

Определение 5. Интеграл Z на Q называется асимптотически почти периодическим, если он является суммой непрерывной почти периодической функции Zl(q) и непрерывной функции Z2(q), определённой на <3, которая стремится к нулю Z(q) = Z\(q) + ^(д).

Основной результат второй главы представлен в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Предположим, что (<р, т) - почти периодический коцикл на М, и пусть 2 - интеграл на <5 такой, что множество 2, = {2(д)}9е<з относительно компактно в М. Если интеграл 2 равномерно асимптотически устойчивый, тогда он асимптотически почти периодический.

Далее в работе для парных уравнений, полученных из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности, при почти периодическом возмущении показано существование почти периодических решений.

Рассматриваем начально-краевую задачу, которая была получена в рамках моделирования микроволнового нагрева материалов в первой главе

щt = Wxx - cr(0)wt, X e (0,1), t > 0, (1)

et = вхх + ct(0)U>2, x e (0,1), t > 0, (2)

w(0,t) = /i(t). w(l,t) = f2(t), t > 0, (3)

0(0, t) =0(1, t) =0, t > 0, (4)

w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = Wl(x), z£(0,l), (5)

в(х,0) = во(х), x 6 (0,1). (6)

Предположим, что выполнены следующие условия: (Hl) 1) cr(z) удовлетворяет условию Липшица на (0, оо).

2) Существуют константы 0 < сто < такие, что Сто < < сг\ для любого z >0.

(Н2) Функция Oq(x) неотрицательна и принадлежит классу С2(0,1). Выполнены условия согласования второго порядка начальных и краевых данных в точках (0,0) и (1,0). Функции Wq(x), Wi(x) принадлежат классу С4(0,1) и /2W из класса С2. Выполнены условия согласования начальных и

краевых данных в точках (0,0) и (1,0).

В работе [3] при предположениях (Hl) — (Н2), система (1) - (6) имеет классическое единственное глобальное решение (w,wt,9) на Qt = (0,1) х (0, Т) для любого Т < оо. Более того, w(x,t) S C3'3(Qr), в{х, t) 6 C2+a-1+?(Qr) для некоторого а € (0,1).

Введём дополнительные предположения: (НЗ) fi и /2 почти периодические по Бору С2 - гладкие скалярные функции.

Рассмотрим вспомогательную функцию f(x,t) = (1 — x)f\(t) + xf2(t), х € (0,1), i > 0.

(H4) Существует константа > 0 такая, что

sup {|M|/t|,|/tt|}<Ci.

xe(0,l),(€R+

(Н5) Существует константа > 0 такая, что |a(z) — <j(z )| < C2\z — z |, для всех z, z £ R+.

На основании предположений (H1)-(H5) доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Система (1) - (6) имеет почти периодическое решение, которое является равномерно асимптотически устойчивым.

В заключение приводятся численные эксперименты, полученные с использованием пакета Matlab, которые иллюстрируют полученный результат. Рассмотрим систему (1) - (6) со следующими начально-граничными условиями:

w{x, 0) = psin(Tnr), х € (0,1), (7)

в(110) = 0,ге(0,1), (8)

w(0, t) = sin(i) + sm(V2t), u>( 1, i) = 0, t > 0, (9)

0(O,i) = 0(M)=O, i>0, (10)

где p - параметр из отрезка [—0.5,0.5].

Тогда, для новых функций, полученных путём замены W(x, t) — w(x, t) — f(x,t), мы получим следующие иллюстрации решений компонентов 6p(x,t) и Wp(x,t), которые показаны на рисунках (1) - (2) на странице И.

В третьей главе мы получаем частотное условие существования почти периодических решений для эволюционных вариационных систем с монотонными нелинейностями.

Пусть Vi С Vo С V_i - оснащение вещественного гильбертова пространства Vo, то есть тройка гильбертовых пространств с компактным и непрерывным вложением. Обозначим через (•, -)vj и || • \\vjtj = 1,0,-1, скалярное произведение и норму в Vj(j = 1,0,-1) соответственно, и через (■, OV-bVj скобку двойственности между V_1 и Vi. Пусть Aq 6 £(Vi, V_i) - линейный

Рис. 1. Температурный профиль вг(х, Ь) для системы (1)—(10). Слева - проекция при х = 0.5, Ь £ (I), 30). Справа - одно решение при р = 0.5, < 6 (0,30).

Рис. 2. Компонента Wp(x,t) для системы (1)—(10). Слева - проекция при х — 0.5,t Є (0,30). Справа - одно решение при р = 0.5, t Є (0, ЗО).

оператор, бо Є V-i - обобщённый вектор, со Є Vo - вектор и do < 0 - число. Мы вводим линейные операторы С0 Є £(Vo,K) и В0 Є £(R, V-i), соответствующие векторам си и bu следующим образом: Сці/ = (сц, vjvoj V г/ Є Vo, и Bot := Є К.

Предположим, что <^>:]RxR—>Мид:М—У Ж-две скалярные функции. Наша цель - изучить эволюционную систему управления типа Лурье, которая формально записывается как

v = A0v + b0[<t>(t,w) + g(t)},

w = (cu,iy)v0 + dil^(t,w)+g(t)j. (11)

Запишем (11) как систему управления в стандартном виде. Для это-

го рассмотрим гильбертову тройку пространств С Zo С в кото-

ром Zj := V] х 1, ] = 1,0,-1. Скалярное произведение (•, в вводится как ((г/ьюОДь'г.гиг))^ := (^ъ^у, + г^гиг, где (1/1,101), (1/2,ги2) 6 2,-произвольные. Скобка двойственности между Z-\ и ^1, определённая для (/г, £) х V-! х К = и (1/, ?) £ V; х К = записывается следующим образом: ((/г, О, (г/, := (Л, ¡/)у.1,у1 +£<Г •

Пусть 6:= € и с := £ ¿Го- Предположим, что операторы С € и В £ £(К, 1) представлены как

и оператор А € £(^1,^-1) определён как

~А0 0]

А :=

Со 0

Теперь рассмотрим систему

г = Аг + В [ф(г, и>) + д(Ь)] ,и> = Сг, (12)

эквивалентную (11) при 2 = (г/, ю). Если выбрать —оо < Т\ < Т2 < +оо произвольными, то мы определим норму для измеримых по Бохнеру функций в^(ТьТ2;^),7 = 1,0,-1, как

/ гГ, ч1/2

Пусть \У(Тг, Z^, - пространство функций 2 таких, что 2 € 1?{ТиТ2\ гх) и г е £2(ТЬТ2; 2-0, с нормой

1И|уу(Г1,Т2;г1,2'_,) :== (11г112,-1 + II^Ш,—1) •

Введём предположения (А1) - (А9). (А1) Для любого Т > 0 и любой / = (Л, /2) € £2(0, Т; У_г х М) задача

Ь = А0и + Ш, (13)

™ = (со^к + /а(«) , И0),ш(0)) - К«70)

корректно поставлена, то есть, для произвольных (г/о,и>о) £ (/ь /2) € £2(0, Т; У_1 х К) существует единственное решение (1/,ги) € УУ(0, Т\ Z\, Z-\),

удовлетворяющее (13) в вариационном смысле, и которое непрерывно зависит от начальных данных, то есть,

И^^Имо^ь^,) < МОль^ОЭНуохк + МЦЬ/2)|||,_1 .

где к\з > 0 и кц > 0 некоторые константы.

(А2) Существует Л > 0, такая, что Ао + XI - гурвицев оператор. (АЗ) Для любых Т > 0,(1/0,100) е гхх К, (й0, й>о) 6 гх х М и (/ь/2) е ¿2(0,Т; VI х К) решение прямой задачи (13) и решение смежной задачи

й= -С£й> - Хй +/2(1), (14)

непрерывно по г в сильном смысле по норме пространства х М.

(А4) Пара (Ло, &о) - £2-управляема, то есть, для произвольного щ € Уо существует управление а(-) е Ь2(0, оо; К) такое, что задача V = Л о г/ + Ьоа , 1/(0) = г/о корректно поставлена в вариационном смысле на (0, со). Введём передаточную функцию для тройки б^Сц) как

Х(р) = (с§, (Ас0 - Р1Т1 Ьс0)2о , V е Р{АЪ).

(А5) Предположим, что А>0икх>0- параметры, где Л из предположения (А2). Тогда:

Лй0 + Не (~гш - Х)х(гш — А) + «11 х(гш - А) - |2 < 0 , Л/о) > 0.

(А6) Функция непрерывна и 0) = 0, V* £ М. Функция

д : К К принадлежит ¿20С(М;М). Существуют числа К\ > 0 (из (А5)), 0 < К2 < к3 < +оо, (¡1 < (¡2 и (2 < С1 такие, что

a) 91 < < 92 ,

для почти всех Ь из произвольного компактного временного интервала;

b) (¿(<,«0+«)(«'"СО < Л1(ш — С<)2,* = 1,2,

для всех 4 6 К и ш € [Сг, О];

c) к2{™1 ~ г^)2 ^ 1) - Ф^уЫг))(гу1 ~ < - ^г)2, для всех t &№. И Шх, \П2 ё [Сг, С^-

Функция.со свойствами Ь) и с) является нелинейностью типа Дуффинга. (А7) Пространство можно разложить Яо = (В так, что верно следующее:

a) Для каждого го € мы имеем Ига г^,го) = 0, и для каждого гд €

I—>оо

ZQ существует единственное решение £-(£) = системы г =

Аг, го = Сг, где Л и С определены в системе (12), определённое на (—оо,0) такое, что Нш = 0 и Сг = 0, Уt > 0 тогда и только

ос

тогда, когда го = 0.

b) Для каждого го £ ^ равенство выполняется тогда и только тогда, когда го = 0, и для каждого го £ ¿^ равенство Сг = 0, УЬ < 0 выполняется тогда и только тогда, когда го — 0.

(А8) Вложение VI С Уо компактно.

(А9) Семейство операторов {-Д(£)}<ек, А(Ь) : Z\ Z-\, определённое как А(Ь)г :— —Аг — Вф(Ь,Сг),Ш е е Z\, монотонно на участке {г €

Z\ | С г е [^2,0]}) то есть, для любого ( 6 Е имеем

(Л(г)г) - А{г)0, V ~ > 0, V^ 0 е ^

таких, что Ст^.С-д £ [С2> С1] •

В следующей теореме доказано существование почти периодического решения для эволюционной системы Лурье с нелинейностью типа Дуффинга.

Теорема 3. Предположим, что для системы (11) выполнены предположения (А1) - (А9) и дополнительные условия:

({) Оператор (И)

Л о «2 А) Со «2^0

из С^гурвицев ;

„ х(гш) — (¡о „ ,,

+ Ке"- , . , , > 0, Уо; е

Кз - К2 гш + К2(х(ш) ~ ¿о) Тогда верно:

a) Для любого д € Д52(М;М) система (11) имеет единственное решение (у», ад») внутри 0, которое удовлетворяет £ Сг,(К; Уо х К) П .В,?2 (К; х Е), и это решение экспоненциально устойчиво внутри 0-

b) Пусть семейства функций {ф(-,и>) \ги £ [Сг^]} и {Ф('>и>) I и1 € 5}, где ф из предположения (А9) «5с 1 - произвольный ограниченный интервал, равномерно почти периодические по Бору. Тогда для любого 52 - п.п.

возмущения д существует единственное в Q ограниченное и экспоненциально устойчивое решение (i/*, tu»), которое является почти периодическим по Бору.

В конце третьей главы мы приводим условия существования почти периодических решений для задачи индукционного нагрева в одномерном случае. Рассматриваем систему, полученную в первой главе. Данную систему можно рассматривать как простейшую одномерную модель ядерного реактора [5].

0t = SiOxz ~ 52в, х € (0,1), t > 0, (15)

= = + fW]. , X Е (0, 1), i > О, (16)

w — f e(x,t)k(x)dx + 54{<j>(t,w)+g(t)}, х е (0,1), t > 0, (17) J о

<f>(t,w) =w-55w3, t> 0, (18)

где ¿1 > 0, ¿2 > 0, ¿3 £ R, ¿4 < 0, ¿5 > 0, к(х) - некоторая непрерывная скалярная неотрицательная функция, g(t) - почти периодическая скалярная функция, <fi(t, w) - гладкая почти периодическая по t функция, которая для любого t е М и любого w е [С2, Сх] удовлетворяет неравенствам

(4>(t, w) + qi){u> - Ci) < ki(vj - Ci)2, » = 1,2

к2(и>1 - гиг)2 < х) - </>(£, ги2))(го1 - ^г) < «з(гУ1 - ги2)2 ,

где «г > 0,' 0 < к2 < к3 < +оо, <71 < <72 и С2 < <1-

Пусть для простоты к(х) = 1,53 = 1,6^ = —1, 2

|9(г)| < —4 € К, К2 = ф'(СО и кз = м2 > 4«1.

3\/305

Тогда из теоремы 3 вытекает, что система (15) - (17) имеет ровно одно экспоненциально устойчивое почти периодическое по Бору решение.

Список цитируемой литературы

1. Панков А. А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально операторных уравнений // Известия АН СССР. Серия Математическая. Киев Наукова думка. 1985. С. 180.

2. Dafermos С. М. Almost periodic processes and almost periodic solutions of evolution equations // Defense Technical Information Center. 1976. P. 43-57

3. Morgan .!., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B. 2001. Vol. 1. P. 485-494.

4. Hino Y., Murakami S. Almost periodic processes and the existence of almost periodic solutions // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 1998. №3. P. 1-19.

5. Wexler D. Frequency domain stability for a class of equations arising in reactor dynamics // SIAM J. Math. Anal. 1979. Vol. 10. №1. P. 118-138.

Публикации автора по теме диссертации

1*. Ermakov I. V., Kalinin Yu. N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equations. 2011. Vol.47. JY*13. P. 1837-1852.

2*. Kalinin Y., Reitmann V., Yumaguzin, N. Asymptotic behaviour of Maxwell's equation in one-space dimension with thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Supplement 2011. 2011. Vol. 2. P. 754-762.

3*. Kalinin Y. Almost-periodic temperature fields in the microwave heating problem / Book of abstracts of G-RISC International Student's Conference "Science and Progress 2011". Saint-Petersburg, Russia. 2011. P. 136.

4*. Kalinin Yu. N., Reitmann V. Frequency domain conditions for the existence of almost-periodic solutions in coupled PDEs / Abstracts of "The 8th AIMS International Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications". 2010. Dresden, Germany. P. 323.

5*. Kalinin Yu. N., Reitmann V. Almost periodic solutions in control systems with monotone nonlinearities // Differential equations and control processes. 2012. №4. P. 40-68.

Подписано к печати 07.06.13. Формат 60 х 84 '/іб . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5802._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

04201361387 Калинин Юрий Николаевич

Почти периодические коциклы и функционалы Ляпунова для построения почти периодических решений в задачах нагрева

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Райтманн Ф.

Санкт-Петербург 2013

Оглавление

Введение 4

1 Физические модели изучаемые в работе 8

1.1 Задача микроволнового нагрева материалов ..................8

1.2 Задача индукционного нагрева материалов....................13

2 Почти периодические коциклы и их построение в микроволновой задаче нагрева 17

2.1 Почти периодические функции..................................17

2.2 Введение в теорию коциклов....................................19

2.3 Устойчивые интегралы для коцикла............................22

2.4 Почти периодические интегралы для

почти периодических коциклов..................................25

2.5 Существование почти периодических решений в задаче микроволнового нагрева в одномерном случае......................36

3 Существование почти периодических решений для системы управления с монотонной нелинейностью 47

3.1 Система управления с монотонной нелинейностью............47

3.2 Эволюционная система управления Лурье с нелинейностью типа Дуффинга....................................................65

3.3 Существование почти периодических решений в задаче индукционного нагрева в одномерном случае.......... 84

Заключение 87

Литература 88

Введение

Теория почти периодических функций была разработана датским математиком Бором Г. [16] в 1924-1926 гг. Но в историческом плане существуют разные варианты почти периодических функций, которые получили развитие в работах таких математиков как Безикович А. [14], Бохнер С. [15], Степанов В. В. [43], Левитан Б. М., Жиков В. В. [9] и многих других. Теория почти периодических функций тесно связана с задачами дифференциальных уравнений, теории устойчивости, динамических систем и уравнений с частными производными. Существование почти периодических решений для разных классов эволюционных систем является важной задачей. Хорошо известны результаты о существовании почти периодических решений для разных классов. Например, вопрос о существовании почти периодических решений со значениями в метрическом или банаховом пространстве рассматривается в рамках теории обыкновенных (конечномерных) почти периодических дифференциальных уравнений в работах Красносельского М. А., Бурда В. Ш. и Колесова Ю. С. [7], Левитана Б. М. и Жикова В. В.[9], Fink А. М. [21]. Важные результаты о существовании слабо почти периодических функций для бесконечномерных эволюционных уравнений, абстрактных и в частных производных, в линейном случае были получены Amerio L. и Prouse G. [13]. Рассматривая нелинейные эволюционные уравнения стоит отметить работы Prouse G. [38], Dafermos С. М. [19], Левитана Б. М. и Жикова В. В. [9], в которых получены теоремы

о существовании почти периодических по Степанову решений для параболических уравнений с монотонными операторами. Для систем управления нужно отметить такие работы, как Лихтарников A. JL, Якубович В. А. [11], Буркин И. М., Якубович В. А. [5], Красносельскй М. А., Бурд В. Ш. и Колесов Ю. С. [7]. В этих работах, для получения условий существования почти периодических решений используется частотный метод.

Особенно важными в последнее время оказались два метода, которые будут развиты в данной диссертации. Первый метод был предложен в работах Hiño Y. и Murakami S. [23] и Dafermos С. М. [19]. Здесь центральную роль играет рассмотрение исходной неавтономной системы в виде обобщённой динамической системы типа коцикла. В рамках такой интерпретации доказано существование почти периодических интегралов для определённых классов коциклов.

Этот подход изначально был изложен для процессов. В данной диссертации мы рассматриваем его для более общих конструкций, а именно - коциклов. Данное обобщение позволяет доказать существование почти периодических движений для одного класса коциклов. В работе показано, что задача микроволнового нагрева в присутствии почти периодического по Бору возмущения порождает такой класс коциклов. Отметим, что для случая, когда рассматривается задача нагрева с учётом двух фаз, вопрос существования почти периодических решений был изучен в работе Ishii Н. [25].

Другой подход к доказательству существования почти периодических решений развит в работах Панкова А. А. [12] для эволюционной задачи с монотонной нелинейностью. Здесь основным принципом является компак-

тификация Бора топологической группы и использование энергетических функционалов. В работе для построения таких энергетических функционалов типа Ляпунова используется частотный метод. На основе частотной теоремы [11] получены достаточные условия существования почти периодических по Степанову решений. В отличие от имеющейся литературы такой метод для вариационных равенств предлагается впервые. В частности, в рамках такого подхода можно говорить о существовании почти периодического решения в задаче индукционного нагрева материалов.

Переходим к краткому изложению диссертационной работы.

В первой главе даётся описание двух задач нагрева, рассмотренных в дальнейшем. Во-первых, задача микроволнового нагрева. Мы приводим наиболее важные физические законы, которые описывают генерацию микроволн, возникновение и распространение тепла в материале. Микроволновое излучение описывают уравнения Максвелла, а распространение тепла в материале описывает уравнение теплопроводности. В итоге мы рассматриваем парную систему из этих уравнений. Важно отметить, что мы рассматриваем эту систему в одномерном случае по пространственным переменным, так как для неё получены наиболее точные теоремы существования глобальных решений в работах Yin Н.-М. [46],[47]. Дополнительно предполагается, что возмущения, которые входят в систему в виде граничных условий, почти периодические.

Вторая задача, которая рассматривается в первой главе, описывает проблему индукционного нагрева материалов. В отличие от предыдущей задачи, источником нагрева является приток тепла через границу материала. Мы так же предполагаем, что источник тепла зависит от почти

периодических функций.

Во второй главе даётся введение в теорию коциклов в банаховом пространстве. Для таких коциклов вводится понятие почти периодического интеграла. Для парных уравнений, состоящих из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности, при почти периодическом возмущении показано существование почти периодических решений.

В третьей главе получены частотные условия существования почти периодических решений для эволюционных вариационных равенств с монотонными нелинейностями. Как частный случай рассматривается эволюционная система управления Лурье с нелинейностью типа Дуффинга на границе. В качестве примера рассматривается задача управления температурным профилем стержня с граничным управлением.

1. Физические модели изучаемые в работе

1.1. Задача микроволнового нагрева материалов

Микроволновое излучение - это электромагнитное излучение определённой частоты. В повседневной жизни человека микроволновое излучение используется для бесконтактного нагрева материалов, например, для приготовления пищи в микроволновых печах. В промышленности микроволновое излучение используют для термической обработки металлов, либо для закалки готовых металлических изделий [6]. Существуют специальные печи, в которых металлические балки помещают в сильное электромагнитное поле, доводя их до определённой температуры для последующей обработки.

В последнее время процесс микроволнового нагрева материалов активно используется и в медицине для лечения злокачественных опухолей [22]. Здесь в качестве нагреваемого материала служит живой организм. Пораженную область в организме нагревают до критической для живых клеток температуры в 42С0. При данной температуре происходит разрушение клеток, как здоровых, так и больных. В связи с этим большую важность приобретает задача точного контроля температуры. Мы должны локализовать нагреваемый участок, чтобы не вызвать разрушение соседних здоровых тканей и избежать неконтролируемого роста температуры за конечный промежуток времени (blow-up).

Предполагается, что мы имеем генератор микроволнового излучения, который действует непосредственно на наш материал. Для простоты будем считать, что такой источник один. Электромагнитное излучение, приходящее от источника, описывается специальными уравнениями ([8]) Максвелла. Они представляют из себя уравнения, которые устанавливают взаимодействие электрического и магнитного полей в среде. Если среда является однородной, то уравнения, учитывающие необходимые свойства среды, можно записать в более компактной форме.

Пусть С М3 - ограниченная область с достаточно гладкой границей Уравнения Максвелла для неоднородной среды выглядят следующим образом

е(х)Еь(х,г) + (т(х)Е(х,г) = гоШ(х,г), хеп,ге[0 ,т], (1.1.1)

где Н(х, £) - напряжённость магнитного поля, Е(х, ¿) - напряженность электрического поля, е(х) - диэлектрическая проницаемость среды, ц(х) - магнитная проницаемость среды, а(х) - электрическая проводимость среды. Дополним эти уравнения начально-краевыми условиями

где 1/(х) - внешняя нормаль к границе <9П, ¿) - векторная функция, которая описывает внешнее поле генератора излучения, Ео(х),Но(х) - некоторые заданные векторные функции.

Под действием электромагнитного излучения в материале появляется

/л{х)Щ(х, ¿) + тоЬЕ(х, £) = О,

хеП,ге [0,Т], (1.1.2)

г/(гс) х Е(х,Ь) = и(х) х

Е(х, 0) = Е0(х), Н{х, 0) = Н0{х):

хедп,ге [о,т], (1.1.3) х еп, (1.1.4)

источник тепла который описывается законом Джоуля-Ленца [8]

= з{х,г) ■ Е(х,г) = а(х)\Е2(хЛ)\, [о,т], (1.1.5)

где д - мощность выделения тепла в единице объёма, у - плотность электрического тока, Е(х, £) - напряжённость электрического поля, сг(х) - электрическая проводимость среды.

Учитывая новый источник тепла в материале, запишем уравнение теплопроводности, которое описывает распространение тепла

вь{х,г) = Ав{х,г) + а(х,в)\Е(х,г)\2, хеП^е [о,т], (1.1.6)

где в(х, ¿) - температура, а(х.в) - электрическая проводимость среды, которая зависит от температуры. Дополним это уравнение начально-краевыми условиями

где во(х) - некоторая функция.

Таким образом, мы подходим к описанию задачи микроволнового нагрева в трёхмерном случае. Рассмотрим систему состоящую из уравнений

в(х,0) = в0(х)

0(М) = 0,

хбП, (1.1.7)

хедП,ге [о,Т], (1.1.8)

Максвелла и уравнения теплопроводности.

е(х)Еь(х, £) + а(х, в)Е(х, £) = тоШ(х, г), [о,т]; (1.1.9)

^(х)Щ(х, £) + тоЬЕ(х, ¿) = 0, хеП^е [0,т]; (1.1.10)

0*(М) = + (т{х,6)\Е(х^)\2, [о,т], (1.1.11)

и{х) х Е{х,£) = 1у(х) х хедП^е [о,т], (1.1.12)

Е(х,0) = Е0(х),Н(х,0) = Н0(х), х 6 О, (1.1.13)

в(х,0) = в0(х), хеО. (1.1.14)

о~ II <5" хедп^е [о,т]. (1.1.15)

В нашей работе мы будем рассматривать задачу микроволнового нагрева в одномерном случае. Пусть для этого С^т = {(х,£)|0<а:<1,0<£< Т}, и Е, Н определены следующим образом: Е{хЛ) = (0, е(х, ¿), 0), Н(х,£) = (0, 0, Н(х, ¿)), где е(х, Ь) и Н(х, ¿) - некоторые скалярные функции. Перепишем систему (1.1.9)-(1.1.15) с новыми предположениями:

е(х)ег + а(х, 9)е = -е2Нх, (ж,*) е дг, (1.1.16)

1х(х)1ъ1 + ех = 0, (м) € (1.1.17)

0* - 9хх = (т(х, в)е2 (м) е Ят, (1.1.18)

е(0, *) = /(*), 0(0, *) = 0, [0,Г], (1.1.19)

е(х, 0) = ео(х). И(х, 0) = 1го(х), 16(0,1), (1.1.20)

в(х,0) = в0(х), X 6 (0,1). (1.1.21)

г

Далее, полагаем что ги{хЛ) \= / е(х,з)(1з и е(х) = ц{х) = 1. Также

о

предполагаем, что электропроводность среды <т(#) явно зависит от темпе-

ратуры. Получаем следующую систему:

1»и = Ыхх ~ (т(б)щ-, 91 ~ вхх = а{в)уо2и

(х,г)е<2т, (1.1.22)

(М) е дт, (1.1.23)

£е[0,Т], (1.1.24)

£е[0,Т], (1.1.25)

же (0,1), (1.1.26)

ЖЕ (0,1). (1.1.27)

0(0, £) = 0(1,0 = 0,

и)(х, 0) — гУо(ж), ги^х, 0) = «^(ж)

<9(х,0) = 6»0(х):

Замечание. Система (1.1.22)-(1.1.27) была также получена в работах

Система (1.1.22)-(1.1.27), которую мы будем исследовать в дальнейшем, описывает задачу микроволнового нагрева в одномерном случае.У равнение (1.1.22) отвечает за генерацию микроволнового излучения, которое действует на материал. Результат этого действия входит в уравнение теплопроводности (1.1.23) в виде члена Для управления интенсивностью излучения генератора мы используем функции /].(£) и которые входят в систему как граничные условия уравнения (1.1.22). Мы предполагаем, что они почти периодические по Бору. Далее в работе мы покажем, что при таких граничных возмущениях решение нашей системы будет единственным, почти периодическим и притягивающим к себе остальные решения из некоторой окрестности.

[32],[37],[46].

1.2. Задача индукционного нагрева материалов

Во многих производственных процессах большое значение придаётся экономичному нагреву металла (быстрому, качественному, с минимальными затратами и потерями) [6]. Например, работа прокатного стана или аналогичного оборудования, предназначенного для горячей обработки металла давлением или для термообработки, зависит от распределения температуры по сечению изделия или по всему объёму нагреваемого тела. Нагрев изделий, как правило, происходит в печах, и температура печи является управляющим воздействием.

Рассмотрим задачу нагрева стержня, когда тепловой поток действует через нижнюю границу как показано на рисунке 1.1.

охлаждение

'.■>.' .у//

охлаждение

нагрев

Рис. 1.1. Нагрев стержня.

Распространение тепла внутри стержня описывается уравнением теп-

лопроводности

вг = М** - 62в, х е [0,1],£ > 0, (1.2.1)

где 6и62 - положительные коэффициенты теплопроводности, в - температура. Здесь величина 529 описывает отток тепла от стержня в окружающую среду.

В начальный момент времени распределение температуры в стержне известно. Его можно задать равенством

0(х,О) = 90(х), х е [0,1]. (1.2.2)

Для уравнения теплопроводности (1.2.1) довольно общие граничные условия имеют вид

аА(0,г) = а2[Ш - 0(0,¿)], г > о, (1.2.3)

а30*(1,= а4[/2И - в( 1, £)], * > 0, (1.2.4)

где «1, - положительные коэффициенты теплопроводности, а2: - коэффициенты теплообмена между греющей средой (печью) и металлом, и /г(^) - температуры греющей среды соответственно с одной и с другой стороны от пластины.

Физический смысл краевых условий (1.2.3) и (1.2.4) следующий: тепловой поток на поверхности тела пропорционален разности температур греющей среды и поверхности тела (закон Ньютона).

Граничные условия (1.2.3) и (1.2.4) могут также носить более сложный характер, точнее учитывающий природу внешнего теплообмена тела

с греющей средой. Например, если во внешнем теплообмене помимо конвективного существенную роль играет еще и лучистый теплообмен (что в основном имеет место при высоких температурах) то в правые части уравнений (1.2.3), (1.2.4) необходимо добавить новые члены, учитывающие лучистый теплообмен по закону Стефана-Больцмана:

а1вх(О, t) = a2[/i (О - 0(0, t)] + ci{[/i(f)]4 - [0(0, i)]4}, t > 0, (1.2.5) а3вх( 1, t) = а4[/2 (*) ~ 0(М)] + c2{[hit)f ~ [0(1, *)]4}, t > 0, (1.2.6)

где с\ и С2 также некоторые положительные параметры. В нашей работе мы предполагаем, что на стержень действует индукционный нагрев, который можно рассматривать как управляемый параметр

w= [ e(x,t)k(x)dx + 64[(t){t,w) + g(t)}, t> 0, (1.2.7)

J о

где cj)(t, w) — w — - нелинейность типа Дуффинга, 5$ > 0, w - мощность теплового источника, к(х) - некоторая непрерывная скалярная неотрицательная функция, g(t) - почти периодическая скалярная функция. Также мы предполагаем, что </>(i, w) - гладкая почти периодическая по t функция.

Учитывая специфику нашей задачи, граничные условия принимают следующий вид:

«1^(0, t) = 0, t > 0, (1.2.8) a30x(lt t) = 63[ф(1, w) + g(t)], t > 0. (1.2.9)

В итоге, мы рассматриваем следующую задачу индукционного нагрева:

Ot — $l9xx — faO, в{х,0) = в0{х),

Mx(0,i) = 0,

а3вх(1,1) = 63[ф(Ь.т) + g{t)}, w = f e{x,t)k{x)dx + 64^(t,w) + g(t)},

Jo

Эту систему можно рассматривать как простейшую модель, которая описывает работу ядерного реактора [44].

х е [о,1], г > о, (1.2.10)

XG [0,1], (1.2.11)

t > 0, (1.2.12)

t > 0, (1.2.13)

t > 0. (1.2.14)

2. Почти периодические коциклы и их построение в микроволновой задаче нагрева

2.1. Почти периодические функции

В данном параграфе мы введём определения почти периодических функций, которые будут использованы далее в работе. Начнём с определения почти периодических функций по Бору.

Предположим, что (е, || • \\е) - банахово пространство. Если G = R или G = R+, то пространство Cb(G; Е) С C{G\ Е) -пространство ограниченных функций с нормой

\\f\\Cb:=sup\\f(u)\\E.

ueG

Множество S С М называется относительно плотным, если существует такой компактный интервал /С С 1, что (s + К) П S ^ 0 для всех s G М. Функция / G Сь(Ж;Е), называется почти периодической по Бору, если для любого е > 0 множество

{тем I sup Wf(s + r)-f(s)\\E<s}

seR

£-почти периодов относительно плотно в R. Почти периодические по Бору функции образуют подмножество САР(Ш; Е) С Сь{Ш.; Е).

В третьей главе будет использовано понятие почти периодической функции по Степанову.

Банахово пространство ограниченных по Степанову на J — R или J — R+ функций (с показателем 2) BS2(J;E) состоит из всех функций / G L20C(J; Е), которые имеют конечную норму

rt+l

11/111.:= вир/ ll/(r)||2£rfr.

teJ Jt

Для функции / G L20C(R, £7), введём

/6(i) := f(t +w),we [0,1],teR.

Функция fb(t) рассматривается как функция со значениями в L2(0,1]Е). Тогда

BS\R; £7) = {/ G LL(R; G L°°(R; L2(0,1; £7))}

и, более того, \\f\\s2 — \\/Ь\\ь°°- Назовём функцию / G BS2(R] E) почти периодической фун