Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукой УДК 530 145 1

АМОСОВ ГРИГОРИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАНТОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01 04 02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003166594

Москва-2008

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор Манько Владимир Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Григорян Сурен Аршакович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Лесовик Гордей Борисович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Орлов Юрий Николаевич

Ведущая организация С -Петербургское отделение математического института им В А Стеклова

Защита состоится «15» мая 2008 г в 14 час 00 мин на заседании диссертационного совета Д212 156 03 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу 141700, г Долгопрудный, Институтский пер, 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета)

Автореферат разослан /^¿Х/Э 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д212 156 03 кф-мн

А В Арсенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация посвящена развитию новых математических методов в теории эволюции квантовых систем и квантовой передачи информации Вероятностная интерпретация квантовой механики, сформировавшаяся почти столетие назад, обрела новое содержание в связи с теоретическими и экспериментальными работами по созданию квантового компьютера, интенсивно ведущимися в мире в последнее десятилетие, и возникшим в этом контексте понятием квантового вычисления Оказалось, что процессы, сопровождающие работу такого «устройства», требуют формализации в терминах, которые отсутствовали в традиционной квантовомеханической теории Домыслить же необходимые понятия «по аналогии» или иными не вполне строгими способами в квантовой теории принципиально затруднительно, поскольку наше мышление существенно неквантовое, и тем самым легко совершить ошибочное заключение Таким образом, необходимость строгих математических формулировок для описания того, что следует понимать, например, под квантовым случайным процессом, квантовым каналом передачи информации и др, является не только и не столько потребностью нового математического языка, формирующегося в этой области знания, но и служит вполне практической цели создания основ для изучения новых физических явлений

В диссертации последовательно проводится когомологическая интерпретация квантовомеханического представления взаимодействия, позволяющая получить новые важные результаты в теории эволюции квантовых систем Тема настоящей диссертации также относится к активно обсуждаемой в последнее время в научном сообществе проблеме декодирования квантового сигнала и аддитивности выходной энтропии квантовых каналов связи Таким образом, тема работы является актуальной Опишем кратко ее место в ряду основных идей и результатов, полученных в этой области

В 1982 г в работе [L Accardi, A Fngerno, JT Lewis, Publications RIMS Kyoto Umv - 1982 - V 18 - P 97-133] было предложено определение квантового случайного процесса «в широком смысле слова» - как семейства гомоморфизмов, осуществляющих вложение некоторой алгебры с инволюцией в алгебру линейных операторов в гильбертовом пространстве В ней получило дальнейшее развитие формализация квантовых случайных процессов и их возмущений. В этой же работе было введено понятие «марковского возмущения» квантового случайного процесса Смысл определения сводится к требованию сохранения причинности, так что алгебра наблюдаемых, относящаяся к фиксированному моменту времени, возмущается принадлежащими ей преобразованиями Конкретная реализация квантовых случайных процессов в симметричном пространстве Фока и доказательство их стохастической эквивалентности

броуновскому движению и пуассоновскому процессу были осуществлены впервые в работе [R Hudson, KR Parthasarathy, Commun Math Phys - 1984 - V 93 - P 301-323] В этой работе было введено понятие квантового белого шума В дальнейшем на основе этого подхода был разработан метод построения квантовых случайных процессов с независимыми приращениями (квантовых процессов Леви) над любой алгеброй Ли, играющей роль алгебры симметрии квантовой системы [М Schurmann White noise on bialgebras Lecture notes m mathematics V 1544 Springer 1993]

Существует несколько путей точного определения марковских возмущений, в зависимости от стоящей задачи В 2000 г в [GG Amosov, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics -2000 - V 3 -P 237-246] автором было предложено определение марковского возмущения случайного процесса, согласованное с определением [L Accardi, A Fngerno, J Т Lewis, Publications RIMS Kyoto Umv -1982 -V 18 - P 97-133], и построена модель, описывающая все марковские возмущения, соответствующие возмущениям квантовых случайных процессов гауссовского белого шума Это позволило рассмотреть с единых позиций различные квантовые процессы, изучаемые в представлении взаимодействия, и подойти, таким образом, с новой стороны к описанию процесса эволюции квантовых систем

Центральной проблемой, связанной с квантовой передачей информации, является неизбежное искажение информации, которое порождается нарушением «чистого» состояния исходной системы после взаимодействия и переходом ее в смешанные состояния Соответствующая эволюция матрицы плотности называется квантовым каналом передачи информации При аксиоматическом построении квантовой механики матрицей плотности (или статистическим оператором) системы называется положительный эрмитов оператор с единичным следом в гильбертовом пространстве Поэтому квантовый канал передачи информации строго определяется [А С Холево, Проблемы передачи информации - 1972 - Т 8, в 1 - С 62-71] как аффинное отображение множества всех положительных операторов с единичным следом в себя, если сопряженное с ним отображение, заданное на алгебре всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, является вполне положительным Условие полной положительности позволяет рассматривать тензорное произведение гильбертовых пространств для описания составных систем

С другой стороны, в множестве состояний есть так называемые «сцепленные состояния» («запутанные» или «перепутанные» в другом переводе), то есть такие состояния, которые не могут быть представлены в виде линейной комбинации тензорных произведений состояний, относящихся к отдельным частям системы Одной из основных задач исследования квантовых каналов передачи информации является определение, может ли использование сцепленных состояний при кодировании увеличить пропускную способность канала?

Классическая Шенноновская информационная энтропия неаддитивна относительно операции взятия тензорного произведения квантовых каналов [А С Холево, Проблемы передачи информации -1973 -Т9, в 3 -С 3-11] Это означает, что классическое определение информационной энтропии не является адекватной характеристикой квантового процесса передачи информации В качестве таковой теперь используется т н верхняя энтропийная граница («граница Холево») Для состояния р обозначим S(p) - -Tr(plogp) энтропию фон Неймана р Гипотеза аддитивности утверждает, что верхняя энтропийная граница канала Ф, определенная формулой

C(<D)=sup(S( Ф&Л))- 2>45(Ф(А ))),

к к

аддитивна относительно операции взятия тензорного произведения, то есть

С(Ф®Ч0 = С(Ф) + С0Ю

для двух квантовых каналов ФиТ Согласно квантовой теореме кодирования [АС Холево, e-pnnt quant-ph/9611023, ШЕЕ Trans Inform Theory - 1998 - V 44 -

P 269-273, В Schumacher, M Westmoreland, Physical Review A -1997 - V 56 - P 131-138], величина С(Ф) являлась бы в этом случае пропускной способностью квантового канала В настоящее время, гипотеза аддитивности доказана только для некоторых частных случаев Тематика исследований, представленных в диссертации, включает изучение характеристик максимальной чистоты выхода квантовых каналов В частности, предложен метод, позволяющий доказать гипотезу аддитивности пропускной способности канала для некоторых частных случаев [Г Г Амосов, Проблемы передачи информации - 2006 - Т 42, в 2, J Math Phys -2007 -V 48, N 1]

Открытие множества различных вероятностных характеристик квантовых динамических систем приводит к мысли о создании еще одной интерпретации квантовой механики Основываясь на работе [J Bertrand и P Bertrand,Found Phys -1987 - V 17 - P 397-405], возникла идея создания вероятностного («томографического») представления квантовой механики В таком представлении [В И Манько, S M ancicm, P Tombesi, Quantum Semiclass Opt - 1995 - V 7 - P 615-624] роль состояний (операторов плотности) играют параметрические семейства распределений вероятностей, а наблюдаемые вводятся как некоторые функции от тех же параметров При этом при помощи специального интегрального ядра определяется «звездочное произведение» наблюдаемых [OB Манько, В И Манько, G Marmo, J Physics A Math and Gen - 2002 - V 35. -P 699-719] В целом, диссертация посвящена дальнейшей разработке вероятностного представления квантовой механики

Цель работы. В диссертации исследуются симплектические томограммы непрерывных квантовых динамических систем Особое внимание уделено изучению эволюции систем с

непрерывным временем в представлении взаимодействия Для дискретных квантовых динамических систем (квантовых каналов) изучены характеристики максимальной чистоты выхода каналов

Научная новизна заключается в том, что в диссертационной работе впервые последовательно проводится когомологическая интерпретация квантовомеханического представления взаимодействия и выявляется ее вероятностный смысл для динамических систем с непрерывным временем Для дискретных квантовых динамических систем вводятся вероятностные характеристики, инвариантные относительно унитарных преобразований системы Это позволяет строго оценивать характериспнки квантовых каналов передачи информации типа пропускной способности и надежности В работе разработан метод оценки снизу энтропии фон Неймана выхода квантового канала передачи информации, что позволило доказать справедливость гипотезы сильной суперадцитивности нижней энтропийной границы квантового деполяризующего канала на основе свойства убывания относительной энтропии

Теоретическая и практическая значимость работы Как известно, в последние годы, назревает технологический прорыв в реализации процессов квантовой передачи информации и квантовых вычислений Отметим предложение использовать «ионы в ловушке» [J I Cirac, Р Zoller, Phys Rev Letters -1995 -V 74 - P 4091-4094] для хранения квантовой информации (квантовые операции при этом осуществляются воздействием внешнего магнитного поля лазера на резонансных частотах) Многочисленные экспериментальные исследования по использованию ядерного магнитного резонанса для осуществления операций над квантовой информацией нашли отражение в монографии [К А Валиев, А А Кокин Квантовые компьютеры надежды и реальность Мир, 2001] Экспериментальное осуществление процессов хранения и передачи квантовой информации, ставшее возможным в последние годы за счет развития нанотехнологий, особенно остро задает потребность в развитиии теоретических методов оценки вероятностных характеристик квантовых систем Это, с одной стороны, проблема распознования состояния квантовой системы и таких его характеристик как сцепленность или сепарабельность по результатам измерения С другой стороны, разработка методов оптимального кодирования классической информации квантовыми состояниями, исходя из особенностей используемого квантового канала передачи информации В частности, оценка количества состояний, которые могут бьггь использованы для кодирования, так чтобы нашлось решающее правило, позволяющее декодировать информацию на выходе канала Изучение симплектических квантовых томограмм, осуществленное в диссертации позволяет изучать свойства квантовых состояний непосредственно по результатам измерения и относится, тем самым к разработке решения первой проблемы, указанной выше Кроме того, в диссертации получены оценки различных характеристик квантовых каналов

Это, в частности, надежность канала и минимальная энтропия выхода канала Для квантового деполяризующего канала доказана гипотеза сильной супераддитивности Одним из следствий этого результата является то, что использование сцепленных состояний для кодирования классической информации не дает выигрыша по сравнению с сепарабельными состояниями для этого частного случая В работе доказано,

что для вычисления пропускной способности канала можно пользоваться фундаментальным свойством убывания относительной энтропии состояний Тем самым, предложен новый подход, который можно использовать для вычисления характеристик различных квантовых каналов передачи информации на практике Отметим, что недавно было доказано (Р Наус1еп, quant-ph/07073291 (2007)), что метод, основанный на оценке 1р -норм не дает возможности доказать глобальную

гипотезу аддитивности При этом ценность альтернативного метода, предложенного в диссертации возрастает

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях

1 Конференция, посвященная 100-летаю Б М Гагаева, г Казань(1996г)

2 Ежегодная научная конференция МФТИ, г Долгопрудный (1997 г )

3 Международный конгресс математиков, г Берлин (1998 г)

4 «Проблемы устойчивости в стохастических моделях», г Налечев (1999 г )

5 «Теория операторов и ее приложения», г Бордо (2000

г)

6 Международный конгресс по математической физике, г Лондон (2000 г)

7 Европейский математический конгресс, г Барселона (2000 г)

8 Ежегодная конференция по математическому анализу, г Санкт-Петербург (2001 - 2007 гг )

9 «Квантовая вероятность и бесконечномерный анализ», г Коттбус (2001 г )

10 Конференция, посвященная 100-летию ИГ Петровского, г Москва (2001 г )

11 Зимняя школа «Квантовые марковские цепи и их приложения в физике и квантовой информации», г Левико Терме (2001 г )

12 «Квантовые процессы Леви», г 0хен(2002г)

13 «Квантовая информация», г Сан Фелю де Гисоль (2002 г )

14 «Колмогоров и современная математика», г Москва (2003 г)

15 «Актуальные вопросы математики и механики», г Казань (2004 г)

16 «Классические и квантовые интегрируемые системы», г Дубна (2004, 2005 гг )

Результаты диссертации докладывались на многих научных семинарах, включая

1 Семинар «Математические проблемы теорфизики и механики» Московского физико-технического института (рук В Б Лидский и СП Аллилуев)

2 Семинар по математической физике Института прикладной математики им Келдыша, г Москва (рук М В Масленников и В В Веденяпин)

3 Семинар лаборатории математического анализа С -Петербургского отделения математического института им Стеклова (рук В П Хавин)

4 Семинар по теории представлений и динамическим системам С -Петербургского отделения математического института им Стеклова (рук АМ Вершик)

5 (^-семинаре Копенгагенского университета, г Копенгаген (рук Ф Топсе)

6 Семинар кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета (рук А М Чеботарев)

7 Семинар Международного института Солвея, г Брюссель (рук Я Антониу)

8 Семинар по теории операторов механико-математического факультета Московского государственного университета (рук А Д Костюченко)

9 Семинар «Алгебра в анализе» механико-математического факультета Московского государственного университета (рук А Я Хелемский)

10 Семинар по алгебре и теории операторов Казанского государственного университета (рук АН Шерстнев)

11 Семинар по квантовой теории поля Физического института им Лебедева (рук М А Васильев)

12 Семинар кафедры высшей математики МФТИ (рук Е С Половинкин)

Публикации По теме диссертации опубликованы 33 работы (18 работ - в соавторстве) Из них 17 в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций

Вклад автора в совместных работах: В работах [1-2] автору принадлежит определение структуры представлений алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС), включая описание коммутанта В работах [5] и [8] автор вывел в явной форме систему-произведение В Арвесона для случая алгебры КАС В работах [7], [10] и [22] автору принадлежат оценки сверху следовых норм квантовых каналов В работе [12]

автор доказал, что краевая задача для уравнения Шредингера с кусочно-постоянными коэффициентами порождает марковский коцикл В работах [13], [26-28], [30-31] автору принадлежит применение метода исследования квантовых томограмм, основанного на использовании подхода квантовой теории вероятностей В работах [16-17] и [29] автору принадлежит постановка задачи и метод исследования, основанный на модели марковского коцикла, построенной автором В работе [19] автору принадлежит конструкция состояния Кубо-Мартина-Швингера алгебры квадрата квантового белого шума

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и библиографии Объем диссертации - 212 страниц Список использованных источников содержит 213 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор основных направлений исследований в области вероятностных характеристик квантовых динамических систем и формулируются проблемы, решению которых посвящена диссертация.

В первой главе рассматриваются квантовые томограммы и их динамика

Обозначим символами 0(Н) и ЦН) множество всех положительных операторов с единичным следом и всех самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Н В стандартной модели квантовой механики элементы множества <7(Н) интерпретируются как состояния (операторы плотности) системы, а элементы множества ЦН) как наблюдаемые Согласно спектральной теореме (фон Нейман, Стоун, Рисс 1929-1932) для каждой наблюдаемой йе Ь (Н) найдется проекторозначная мера на прямой М, сопоставляющая каждому измеримому множеству йсЯ ортогональный проектор М (П), такая что

а = \XdMdrоо, Л-]) (1 1)

я

В силу вероятностной интерпретации квантовой механики, данной фон Нейманом (1932), каждой паре (р ,а ), образованной

состоянием р е <3(Н), и наблюдаемой а е ЦН) отвечает распределение вероятностей на действительной прямой

Л/;(П)=Тг(рМ(0)), (12)

где О с И - любое борелевское подмножество действительной прямой Согласно этой интерпретации, М°р (£2) есть вероятность того, что наблюдаемая а в состоянии р примет значение из множества П Ортогональный проектор М (П) можно интерпретировать как «событие» квантового вероятностного пространства, заключающееся в том, что квантовая случайная величина, наблюдаемая, приняла значение из множества й Отметим, что интеграл (1 1) определен в смысле сильной операторной топологии (не по норме) Следовательно, для получения в квантовой теории вероятностей аналога <т -алгебры событий классической теории вероятностей, нужна замкнутость именно в сильной операторной топологии Замыкание в сильной операторной топологии линейных комбинаций некоторого семейства ортогональных проекторов, событий, приводит к алгебре фон Неймана, то есть такой алгебре, которая замкнута в любой из операторных топологий, слабее топологии нормы Тем самым, в квантовой теории вероятностей роль а -алгебр событий играют алгебры фон Неймана

Положим а (щу)=цх+у р, где х и р операторы координаты и импульса Тогда двупараметрическое семейство вероятностных мер Мполностью определяет состояние р системы Набор плотностей распределений таких мер

((-<*, X]) dX

m{X,p,v) = a>p(X,p,v)=-' ;; ' (1 3)

называется симплектической квантовой томограммой Отметим, что первоначально [В И Манько, S Mancicm, Р Tombesi, Quantum Semiclass Opt - 1995 - V 7 - P 615-624] симплектические квантовые томограммы вводились несколько иным способом, с использованием операторозначной 5-функции, действующей в оснащенном гильберовом пространстве Состояние р в этом подходе восстанавливается по симплектической квантовой томограмме a>(X,ju,v) согласно формуле

р = — \e'xe-^-'l!'oj(X,p,v)dXdludv

R>

Предположим, что динамика квантовой системы определяется уравнением Лиувилля - фон Неймана следующего вида

Любое решение p{t) уравнения (14) определяет некоторое однопараметрическое семейство квантовых томограмм w(t,X>fx,v) = copU){X,ii,v) Обозначим JW(t,X,n,v) семейства функций распределения, связанных с a>(t,X,fi,v) формулой (1 3), и F(t,k,p,v) характеристические функции, отвечающие плотностям распределения co(t,X,/i,v), согласно формуле

F(t,k,n,v)= \e,kxû]{t,X,Li,v)dX

Основной целью исследований, проведенных в первой главе диссертации, является вывод динамических уравнений, которым удовлетворяют M(t,X,n,v) и F(t,X,n,v) для некоторых частных случаев гамильтониана H

Основные результаты первой главы состоят в следующем

1 1 Получены уравнение эволюции и пропагатор, дающий его реше)

m

решение, для осциллятора с переменной частотой и силой

описываемого гамильтонианом

Я = ^ + (14)

Уравнение для функций распределения M(t,X,p.,v), отвечающих управляемому осциллятору имеет вид (Г Г Амосов, В И Манько, 2003)

dM{t,X,M,v) _^dM(t,X,fi,v) dM(t,X,M,v) |

dt 8v dju

dM(t,X,ju,v) dX

Принимая во внимание явный вид интегралов движения управляемого осциллятора [И А Малкин, В И Манько, Physics Letters А -1970 -V 32 -Р 243-244]

At) = Шр - e(t)x) + S(t),

A'(t) = --j=(e' {t)p - e* (0*) + <5* (i), где функции s(t) и 8(t) удовлетворяют уравнениям

е(1) + т2(1 )е(0 = 0,

е(0) = 1, г(0) = I,

= ¿(0) = О,

вьшисан пропататор, дающий решение уравнения (15) (Г Г Амосов, В И Манько, 2003)

М(1,Х, ц, V )=Т(1)(М(0,Х,цлО)= (1 6)

Л/(0,р.Яе(£)+уКе( е ),цйп(е)+у1т( е ),Х+ 4г (цКе(г 8' )+лЖ.е( в 8')))

При этом, если в качестве начального условия при 1=0 взять функцию распределения, отвечающую когерентному состоянию параметрического осциллятора, получим решение вида

2 1 е |2 +у21 е |2 +2цуЪв(ее')

(17)

а если в качестве начального условия взять функцию распределения, отвечающую п-ому возбужденному состоянию осциллятора, получим

М(г,Х,ц,у)= (18)

1 д" 8" в1 Й" Эх"

—е* 2

ч

1 + Х + У2(//Ке(&,) + уКе(&')) )_£+5 ^¿и2 | е |2 | г |2 л/2

1 2 Для квантовых систем с гамильтонианом вида

Й = 1¥(р) + У(х), (19)

где '\У(р) и У(х) - произвольные аналитические функции импульса и координаты, соответственно, получено эволюционное уравнение для характеристических функций (Г Г Амосов, В И Манько, 2005)

д,Р(?,к,ц,у) = (110)

г/с Л

В частном случае й^(^) = получаем

d,F(t,k,/u,v) = fjdvF(t,k,fi,v) + (111)

¡(K(e-'W2— д e"""'n)-V(e,k>""2—d1,e-""""2))F(t,k,/u,v) ik ik

1 3 Получено уравнение эволюции квантовых томограмм, отвечающих нелинейному уравнению Шредингера вида

w, ^v+rflHV (112)

Отметим, что нелинейность появляется в виду зависимости потенциальной энергии от волновой функции Первоначально, для кубической нелинейности, такая модель была введена для описания гидродинамики сверхтекучего бозе конденсата [ЕР Gross, Nuovo Cimento - 1961 - V 20 - Р 454, Л П Питаевский, ЖЭТФ -1961 -Т 13 - С 451]

Динамическое уравнение для характеристических функций квантовых томограмм, отвечающее нелинейному уравнению (1 12), является интегродифференциальным и имеет вид (Г Г Амосов, В И Манько, 2005)

d,F{t,k,n,v) = pdyF(t,k,fi,v)+ (113)

Áv — \жр{-Лек"уП —dllel""'n)F(t,k,\fi-)dk

-V\ — fexp (-ikekpv — due-^v)F(t,k,0)dk [ In ¿ ik

F(t,k,n,v)

1 4 Исследована симплектическая томограмма центра масс квантовой системы для случая большого числа степеней свободы Рассмотрим квантовую систему с N степенями свободы, описываемую операторами координаты и импульса ii.A» ><In>Pn Пусть p = Qit, ,MN)T, v = ,i/„)r есть два действительнозначных вектора Положим ? = (?,, -,qNY и

Р = (Р 1> 'Pn)T Тогда томограмма центра масс системы вводится по формуле (А С Архипов, Ю Е Лозовик, В И Манько, Physics Letters А -2004 -V 328 -Р 419-431)

(X, A v) = Tr(pS(X -pq- vp)),

где аЪ обозначено скалярное произведение векторов Для любого вектора Я, чьими компонентами являются неотрицательные целые числа nk,\<k<N, волновая функция

N ~Х\П

У-ЛХ) - П 1 I „ НЧ №)>

А=1 Я" у 2 71^'

где Н„ обозначены полиномы Эрмита, определяет мультимодовое фоковское состояние

Предположим, что число степеней свободы N со, а все числа заполнения, при этом, равномерно ограничены пк <п Тогда (Г Г Амосов, В И Манько, 2005) томограмма центра масс, отвечающая мультимодовому фоковскому состоянию стремится к гауссовскому распределению Этот результат подтверждает «наивную» точку зрения, что волновая функция, отвечающая большому объекту, должна быть «классической»

Во второй главе рассматриваются марковские коциклы в одночастичном гильбертовом пространстве

Предположим, что эволюции невозмущенной и возмущенной квантовых систем описываются следующими двумя уравнениями Шредингера

гд,цг = Н0у/, гб,цг = Ну

Тогда [см, например, Г Г Амосов, Теория вероятностей и ее применения - 2004 - Т49, в 1 - С 145-155] семейство унитарных операторов W~{Wt =е'"не""° ,t eR) удовлетворяет

условию мультпликативного 1-коцикла группы S={5, = е~"н°}, то есть

WM=W,S,WX , s,tsR W0 = I

Говорят, что коцикл W задает динамику квантовой системы в представлении взаимодействия (или представлении Дирака) Представление взаимодействия играет важную роль в теории рассеяния (W Heisenberg, 1943, С Moeller, 1946) Кроме того, такой подход нашел применение в квантовом стохастическом исчислении (RHusdon, KR Parthasarathy, D Applebaum, 1984), поскольку решениями квантовых стохастических

дифференциальных уравнений являются коциклы группы сдвигов, действующей в симметричном пространстве Фока

Коцикл '\У называется 1-кограницей группы в, если найдется такой унитарный оператор V, что

ж, = гз,г'я;, геД,

то есть группа унитарных операторов 5 = {5, = Ж,5,,г е Л}, называемая коциклическим возмущением группы в, унитарно эквивалентна в

Обозначим С(8) и В (5) множества всех коциклов группы Б и кограниц ее коциклических возмущений 5 Тогда фактормножество Я1(5) = С(5,)/В(5), в котором коциклы Ж и Ш

группы Б, связанные кограницей Ж группы £, так что И7, = IV, г е К, считаются неразличимыми, называется множеством некоммутативных 1 -когомологий группы Э

Рассмотрим модельную ситуацию в «одночастичном пространстве» К Предположим, что К= 1}{К) Броуновское движение и квантовый белый шум порождают фильтрацию К Нам будет удобно поменять направление времени, так что I переходит в Тогда такая фильтрация будет состоять из гильбертовых пространств Кп, порожденных функциями с носителями, принадлежащими интервалу [-/,+») В этом случае, группа преобразований, сдвигающая приращения броуновского движения, порождает группу сдвигов Э, действующую в пространстве К по формуле = у/(х + <) Коцикл

называется марковским коциклом группы 8, если выполнено следующее условие (Г Г Амосов, 2000)

1>0 (2 1)

Основные результаты второй главы заключаются в следующем

2 1 Построена модель марковского коцикла, позволяющая полностью описать множество когомологий Я1 (5) (Г Г Амосов, 2000) Обозначим Я2(С+) пространство Харди в верхней полуплоскости С+ комплексной плоскости, состоящее из функций щ е 1} (К), регулярных и ограниченных в С+ Пусть © есть внутренняя функция (ограниченная регулярная функция в С+, с некасательными предельными граничными значениями I®С*0|= 1 почти при всех хе Я), определяющая оператор

умножения на © в Я2(С+) Обозначим РКе, РЕ, Р[оп и Р{, ортогональные проекторы на подпространство = I2 (Д+ ) 0 Мв1} (й+ ) , его ортогональное дополнение Е=Мв£2(Л+), и пространства функций с носителями, принадлежащими интервалам [0,г] и [?,+<»), соответственно Мы обозначили Ме = F~'@F, где ^ есть преобразование Фурье, а © -оператор умножения на внутреннюю функцию ©

Теорема 2.4.1. Пусть 17 есть группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве К0 = 1} (Л+) в Мв1? (Д+) Тогда пара (17, в) определяет унитарный марковский коцикл ТУ группы 5 по формуле

= (Г/Л. + 5. Л)^, +Мв^0 0 + Ря,, (2 2)

Ж, = ,5 „ Г >0

2 2 Построены в явном виде марковские коциклы со свойством ТУ, -1 е 52 (класс Гильберта-Шмидта)

Для любой сильно непрерывной группы и={[/,,Г б Л) унитарных операторов в гильбертовом пространстве найдется такое не более чем счетное семейство конечных мер ¡лп на прямой И, 1<п<Ы< +к>,{хп(К) < +со, что группа и будет унитарно эквивалентна группе унитарных операторов V в пространстве I](¡иа), действующей по формуле

(2 3)

где группа унитарных операторов С/'"' действует в пространстве £2(д,) так что (У™71)(х) = е'аф) Представление (2 3) называется спектральным Следующее утверждение доказывается при помощи анализа модели (2 2) (Г Г Амосов, А Д Баранов, 2006)

Теорема 2 7.1. Предположим, что меры, участвующие в спектральном представлении (2 3) группы Г/ сингулярны относительно меры Лебега Тогда группа 5 = 17 ® >Уявляется коциклическим возмущением группы, унитарно эквивалентной группе 5 коциклом ТУ вида (2 2) со свойством ТУ, -1 е (класс Гильберта-Шмидта)

Замечание. Выполнение условия необходимо и

достаточно для того, чтобы при вторичном квантовании марковского коцикла получился унитарный коцикл Т(ТУ) в

антисимметричном пространстве Фока, марковский в смысле выполнения включения V(J¥)t е М(],г > 0 (см главу 4)

2 3 Выведено уравнение эволюции модельного марковского коцикла для простейшей ситуации

Z — I

Пусть внутренняя функция ©(z) =- представляет из себя

Z + 1

множитель Бляшке Положим Н ~ К ® L2(R), где К есть одномерное пространство, натянутое на вектор е Фиксируем действительное число h и рассмотрим следующее уравнение

dW, = {((1 + Л)РКв + -Jle"" < 8{х -1, >)dt - -J2e~"" (е, )dZ{0,, +

(M'e-I)d%mW„ t> 0, (2 4)

где 8{x-t) и Х[ад обозначены £-функция Дирака и характеристическая функция интервала [0,t], соответственно Тогда (Г Г Амосов, 2006) решение уравнения (2 4) определяет унитарный марковский коцикл, отвечающий паре (U,©), где группа U действует в пространстве К по формуле Ute = e'h'e

2 4 Приведен пример конкретной квантовой системы, эволюция которой может быть описана марковским коциклом

Марковские коциклы группы сдвигов могут появляется при описании динамики квантовых динамических систем, эффективная масса которых зависит от положения в координатном пространстве Точнее, когда эффективная масса системы обращается в ноль в некоторых точках координатного пространства Приведем следующий простейший пример (Г Г Амосов, В Ж Сакбаев, 2004) Пусть гамильтонианы Н0 и Н невозмущенной и возмущенной систем в пространстве 1}{К) имеют вид

Л d /у d1 . d

где %н,) обозначена характеристическая функция отрезка [-1,1]

Требование эрмитовости оператора Н приводит к граничному условию y/\-l + 0) = iy/{-l-Q), iy'(l-0) = iy/(l + 0),

накладываемому на функции у/, принадлежащие области определения D(H) гамильтониана Н В этом случае, множество унитарных операторов W, = е~"Ие""°, teR, образует марковский коцикл группы сдвигов на прямой

В третьей главе изучается квантовый белый шум над алгеброй и его возмущения марковскими коциклами

Пусть некоторый квантовый случайный процесс 3={у,(х),хе Л, Г еД} в гильбертовом пространстве Н порождает фильтрацию из алгебр фон Неймана {.М,),* е Л} Ниже нам, также, потребуется семейство алгебр фон Неймана М[п порожденных приращениями { Л (х) - Л <Х)> Л ^ .г £ А} Предположим, также, что J является процессом со стационарными приращениями, то есть существует однопараметрическая группа а = {а,,?ей}, состоящая из ^-автоморфизмов алгебры всех ограниченных операторов В(Н) в гильбертовом пространстве Н, корректно определенная на приращениях квантового случайного процесса } и такая что а, (Л (х) - Jr (х)) = (х) - ] г+, (х), х € А, Г, г еЛ, и, следовательно, а,(М5]) = М1+1] Следуя определениям А Н Колмогорова (1958) и в в ЕтсЬ'а (квантовый случай, 1976) назовем группу а колмогоровским потоком, если вьшолнено условие

ПЛ/0={С1} 1

Отметим, что в нашем определении отсутствуют некоторые дополнительные требования ранее имевшихся определений в силу того, что мы сразу предполагаем, что колмогоровский поток порожден квантовым случайным процессом у, что делать не обязательно

Процесс ;|={./,(х),х б А,г е Я } называется квантовым случайным процессом с независимыми приращениями или квантовым белым шумом, если фиксированное состояние р е сг(Н'), определяющее распределения вероятностей процесса, задает математическое ожидание Мр() = Тг(р) факторизующееся в смысле

ма(<Р,Оп(.xl)~Js2(У,У) 9„О»0„)-Л„(У»))) =

п

Ц- мД?>,(лС*/)-л,0',)))

для любого выбора попарно непересекающихся интервалов («,Л)> функций <р, е 1Г и х,,у,еА, 1<г<и, кроме того, приращения процесса должны быть коммутативны,

У, (*|) - Л С,), Л (*2 )- ] Р(Уг)] = 0,

для непересекающихся интервалов (в^) и (р,г) и любого выбора элементов х1,у,,х2,у2 е А Квантовый белый шум может быть

построен для любой универсальной обертывающей алгебры А произвольной алгебры Ли, при помощи задания семейства вложений в симметричное пространство Фока (М Schurmann, 1988)

Основные результаты третьей главы заключаются в следующем

3 1 Исследованы условия, при которых квантовый белый шум j={_/,(х),х е A,t еR} порождает колмогоровский поток А именно, это так (Г Г Амосов, 2003), если состояние р точное (из М р (х) = 0 и того, что оператор х положительный, следует х = 0) или если алгебра фон Неймана М, порожденная приращениями процесса j, является фактором (Af[~| А/'= {С1})

3 2 Понятие марковского коцикла определено для семейства *-автоморфизмов w = {w,,teR} (Г Г Амосов, 2003, основываясь на L Accardi, A Fngemo, J Т Lewis, 1982) Построение пояснено на конкретных примерах

Семейство w называется (мультипликативным) марковским коциклом группы а (по отношению к квантовому белому шуму j), если

=w, "«I °ws <"*_„ s,t<aR,

w, (*) = x, x s M[t, t > 0

Предположим, что j={B(t), t e R} представляет из себя произвольную реализацию броуновского движения Тогда семейство отображений w, определенных формулой

w, (B(t + s)~ Bit)) = B(t + s) - B(t), s > 0,

w,(B(s)) = exp{-i a(x) |2 dx}

40 t

(B(s) + \a{x)dB(x)), s<t, 0

представляет из себя марковский коцикл в смысле определения, данного выше, для любой функции а(х) е l}hc (R)

3 3 Множество нелинейных функционалов от квантового белого шума интерпретировано как кольцо когомологий группы сдвигов Приращения процесса j, определенные формулой J „,(х) - j г(х) удовлетворяют условию аддитивного 1-коцикла группы а, то есть

a,(7(s))-/(i + i) + /(0=0

Вообще, аддитивным А-а-коциклом называется к-параметрическое семейство /(/,, ,tk) (в нашем случае, со значениями из некоторого алгебры операторов), удовлетворяющее условию

+ (-l)'/(i,<„ ,t^,t,+t„„ ,tt) + + (-1 y*4{s,t„ ,<t.,) = 0

Можно определить операцию когомологического умножения к-а "коцикла I на п~а~коцикл J, результатом которой будет (к + п)-сс~ коцикл IAJt заданный формулой

(/AJ)(i„ ,<t+„) = /(i„ ,tk)ah+ +li(J(tM, Л+„))

Кольцо А, порожденное приращениями Jr+rW Jr(x) и операцией А( представляет из себя удобный инструмент для изучения коциклических возмущений группы а марковскими коциклами w, поскольку марковский коцикл определяет гомоморфизм кольца А Заметим, что А представляет из себя множество нелинейных функционалов от приращений квантового случайного процесса j

3 4 Доказано, что для группы автоморфизмов, являющейся марковским возмущением колмогоровского потока, порожденного квантовым белым шумом, существует сужение, изоморфное исходному колмогоровскому потоку (аналог разложения Вольда в классической теории случайных процессов)

Теорема 3.7.1. Пусть группа автоморфизмов а фактора фон Неймана М получена возмущением колмогоровского потока а, порожденного квантовым белым шумом j, марковским коциклом w, оставляющим инвариантным математическое ожидание Тогда найдется такой подфактор М czM, сужение на который а является колмогоровским потоком, порожденным квантовым белым шумом j, изоморфным исходному Предел lim w. = w_ корректно определяет

/-»■но

нормальный *-эндоморфизм w_, такой что М = w_(M), 1, =w_°j,, tsR

Классическое разложение Вольда (Н Wold, 1938) позволяет однозначно найти случайный процесс с некоррелированными приращениями, соответствующий стационарному случайному процессу, так что недетерминированная часть процесса представляется в виде интеграла по некоторой некоррелированной мере Теорему 3 71 (Г Г Амосов, 2003)

можно рассматривать как некоторый аналог разложения Вольда для квантового случая

В четвертой главе изучаются квазисвободные эволюции на алгебрах канонических антикоммутационных соотношений и на алгебре квадрата квантового белого шума

В первой части четвертой главы изучается алгебра канонических антикоммутационных соотношений

Алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС) А (К) над «одночастичным» гильбертовым пространством К называется С*-алгебра с единицей 1, порожденная образующими a(f),a*(g), f,ge К, удовлетворяющими КАС следующего вида

1 a*(qf + /}g) = aa*(f) + {3a*(.g),a,peC,

з й(/)а(г)+а(*)в(/) = о

Оператор R, 0<R<I, в гильбертовом пространстве К определяет *-представление л„ алгебры А (К) в гильбертовом пространстве Я= Г„ (К) ® Г„ (К) по формуле

**(&(Л) = W-- R)in Л® г+1 ® & *(R'nJf ),

где Г„ (К) есть антисимметричное пространство Фока с вакуумным вектором Q, Г ~ оператор в Го(К), определенный условиями Га(/) = -a(f) Г, Ш = О, J - антиунитарный оператор, то есть {Jf,Jg) = (g,f) , f,geK Представление ж„ порождает алгебру фон Неймана М„ = ля{\(К))", которая является фактором (RT Powers, 1967) Можно показать, что операторы b(f),b* (/), / е К, в пространстве Я, где

НЛ = Гa(RU2f) ® 1 - Г ® а * ((7 - R)U2 Jf), порождают коммутант М R алгебры М R

В первой части четвертой главы получены следующие основные результаты

4 1 Получено условие продолжения квазисвободного (см ниже) отображения на алгебре на ее коммутант

Определим *-автоморфизмы а я /3 алгебр МR и МR, называемые квазисвободными, по формуле

а{х* («(/))) = WW)). тл) = W),

где U и V два унитарных оператора в пространстве К Возникает вопрос, когда эти два автоморфизма можно «сшить», так чтобы получился *-автоморфизм алгебры всех ограниченных операторов В(Н) = МR\^M'R в пространстве № Необходимым и достаточным условием будет (Г Г Амосов, 1997)

R"2{I-Byn(U-V)eS2

В общем случае (для произвольного фактора фон Неймана М вопрос о продолжении *-эндоморфизма М на коммутант М' был исследован Г Г Амосовым, А В Булинским и М Е Широковым (2001)

4 2 Доказано, что вторичное квантование в антисимметричном пространстве Фока марковского коцикла W в пространстве К=Lt(R), удовлетворяющего условию W,-I е S2, определяет марковский коцикл на гиперфинитном факторе фон Неймана, порожденном представлением алгебры канонических антикоммутационных соотношений

Пусть К = £2 (Л) Определим группу автоморфизмов г = {г, ,t е R} фактора Неймана MR по формуле

г,(яй{а(Л)) = ки{а{8,Л),

где унитарный операторы (Stf)(x) = f{x-t) образуют группу сдвигов в К Пусть фактор фон Неймана Мt] порожден операторами nR{a(f)),7rR(a*(f)), отвечающими функциям / е К с носителями, принадлежащими интервалу [-?,+«>) Группа г является колмогоровским потоком на М, относительно фильтрации {Mn,t е R} (А В Булинский, 1996) Пусть W есть унитарный коцикл группы сдвигов S, являющийся марковским в смысле определения (2 1) Рассмотрим коциклическое возмущение S, = W,St, t е R, и соответствующую ему группу г , определенную формулой

= Л)

Теорема 4 2.1 (Г Г Амосов, 2003). Пусть марковский коцикл Wудовлетворяет условию W,-IeS2, t е R Тогда существует такой унитарный коцикл U группы г, что группы г и г коциклически сопряжены посредством этого коцикла,

т,(х) = и,т,(х)и', леМ„ геЛ, причем и удовлетворяет марковскому свойству в форме 1/,еМп, 1>О

Во второй части четвертой главы изучается алгебра квадрата квантового белого шума

Алгеброй квадрата квантового белого шума А (К) над гильбертовой алгеброй К = ¿2(Л)р)V (Л) называется (Ь АссагЛ, УС Ьи, ИВ Волович, 1999) универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли с инволюцией * и образующими 1 (центральный элемент), феК, удовлетворяющими

соотношениям

Во второй части четвертой главы получены следующие основные результаты

4 3 Проведена классификация квазисвободных эволюций на алгебре квадрата квантового белого шума

Теорема 4.3.1 (L Accardi, Г Г Амосов, U Franz, 2004) Пусть Т',Т2,Т3есть линейные операторы в К Определим отображение г', действующее на образующие А(К) по формуле

Отображение т' может быть расширено до *-эндоморфизма А (К) тогда и только тогда, когда существует эндоморфизм Т гильбертовой алгебры К и действительнозначная функция а на R, так что для любого <ре К,

т\<р) = п<р),

Т\<р) = Тг{<р) = е,аТ{ф)

Эндоморфизм г' является автоморфизмом тогда и только тогда, когда Т - автоморфизм

Эндоморфизмы, введенные в теореме 4 2 1 естественно назвать квазисвободными Каждый такой эндморфизм определяется парой (Г,а) Определим группу квазисвободных *-автоморфизмов г алгебры А (К) по формуле

т,ф9) = л-,,ь9, г,ф;) = х'ь;,

*■,(»») = "„, 0<Л<1, <реК

4 4 Построены состояния Кубо-Мартина-Швингера на алгебре квадрата квантового белого Шума

Определим представление р* алгебры Ли sI2 с образующими элементами В',В*,М .удовлетворяющими соотношениям

[В-,В+] = М, [М.-В^+В1,

в пространстве /2 с базисом {е„,в = 0,1,2, } по формуле [L Accardi, U Franz, М Skeide, Cornimm Math Phys - 2000 - V 228 -Р 123-150]

p+(tf>„=V(« + D(" + 2K+1, рЧВ')е„ =>(« + 1К_„

р+(М)е„ = (2п + 2)е„

Далее, определим состояние <рл на универсальной обертывающей алгебре U(sY2) алгебры Ли sl2 формулой

■КО

<Рх (*) = (1 - Л)£ Г (е,, р* (х)еп), xeU (sl2),

л=0

__+2,

введем вектор = лЛ-Д^А е„ ® е„ и представление

л=0

я+=р+ ®Id алгебры U(sl2) в пространстве Я = /2®/2 Положим 77д (х) = л-+ (х)у/х, х е U (s!2) Согласно конструкции М Schurmann'a (1988) тройка определяет квантовый

белый шум, который, в данном случае, является представлением в алгебры квадрата квантового белого шума А (К) в симметричном пространстве Фока F(H ® L2) над одночастичным

пространством Я®12(Д) Определим линейный функционал сод на алгебре А(Х) по следующей формуле

ал (х) = (Q, <2(x)Q), х е А(Л),

где ß обозначен вакуумный вектор в ^(Н ® L)

Теорема 4.3.2 (L Accardi, Г Г Амосов, U Franz, 2004) есть состояние Кубо-Мартина-Швингера, ассоциированное с эволюцией т, то есть

со1(ху) = сох(т, (у)х)

для всех элементов х,уеА(К), являющихся аналитическими относительно т

Пятая глава посвящена квантовой передаче информации Предположим, что квантовый канал Ф, заданный формулой

ф(р)=

действует в бесконечномерном гильбертовом пространстве #,dim.ff =+оо В качестве примера можно привести канал, демпфирующий амплитуду, для которого

С'= *'

или канал, демпфирующий фазу, для которого *-о л/г1

Здесь |&>, к=0,1,2, обозначены фоковские состояния и параметр 77 описывает степень демпфирования (он может быть записан в виде 7 = , где у есть степень демпфирования и г - время передачи) Квантовый канал, действующий в бесконечномерном пространстве, может иметь бесконечную емкость Тем не менее, при кодировании информации реально используется лишь конечное число состояний Для каждого фиксированного кодирования получается, таким образом, передача через

конечномерный канал, который можно назвать подканалом исходного

Для квантового канала Ф, действующего в гильбертовом пространстве Н можно определить следующие характеристики максимальной чистоты выхода канала

v (Ф) = тахГг(Ф(/5)'). F р

^(Ф)=тт5(Ф(р))

р

Гипотеза мультипликативности утверждает (Г Г Амосов, А С Холево, R F Werner, 2000), что для квантовых каналов Ф4,1 <к<п, выполнено

уДФ,® ®Ф„) = ^(Ф,) уДФ„)

для р>1 Справедливость гипотезы мультипликативности для р близких к единице влечет выполнение гипотезы ад дитивности для минимума энтропии (Г Г Амосов, А С Холево, R F Werner, 2000)

®Ф„) = У5(Ф1)+ + vs(®„) (5 1)

Если квантовые каналы удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, например, ковариантны (А С Холево, 2002), из справедливости (5 1) вытекает справедливость гипотезы аддитивности для верхней энтропийной границы канала, то есть верхняя энтропийная граница равна пропускной способности канала

Относительной энтропией двух состояний р и в называется (Н Umegaki, 1962) величина S(pJ) = Tr(plogp)-Tr(plog0) Известно (G Lmdblad, 1975), что относительная энтропия убывает при воздействии на состояния квантовым каналом Ф, так что

,У(Ф(р),Ф0?))<5(А<?) (5 2)

В пятой главе получены следующие основные результаты

5 1 Для канала, демпфирующего амплитуду использование фоковских состояний с высокими номерами не увеличивает надежность

Для двух ортогональных состояний [ ц/й > и | у/, > положим

| у/ >= cos— | > +e"f sin — | (f, >

в

в

p= \у/ху/

(5 3)

f{6, <p) = Гг(рФ(р)) =< Ч> I Ф(Л> |У >>

усредняя, далее, по сфере Блоха, получаем надежность квантового канала Ф,

которая показывает насколько точно передается квантовым каналом информация, кодированная кубитными состояниями (5 3) Расчет надежности квантового канала, демпфирующего амплитуду, показал (Г Г Амосов, В И Манько, Б Мапсцц, 2006), что использование фоковских состояний \к> с высокими номерами к не дает выигрыша для передачи информации с точки зрения надежности

5 2 Гипотеза сильной супераддитивности для квантового деполяризующего канала доказана на основе свойства убывания относительной энтропии

Рассмотрим квантовый деполяризующий канал Ф в конечномерном гильбертовом пространстве Н, дятН=с1 <-н», определенный формулой

Здесь символом / обозначен тождественный оператор в Н Свойство (5 2) влечет справедливость гипотезы аддитивности для квантового деполяризующего канала (Г Г Амосов, 2004), то есть его пропускная способность может быть вычислена по формуле

Отметим, что первое доказательство этого факта [С King, IEEE Trans Inform Theory -2003 -V 49 -P 221-229] было основано на доказательстве гипотезы мультипликативности и носило излишне технически сложный характер Более того, если ввести характеристику канала вида

для квантового деполяризующего канала справедлива гипотеза сильной супераддитивности То есть для квантового деполяризующего канала Ф в пространстве Н и произвольного

а а -

d

С(Ф) = logd - (1 - р) log(l - ~ р) - р log4 a add

Яф(р)= mf ;£>/(Ф(Р,)),

квантового канала *?в пространстве К справедливо (Г Г Амосов, 2006)

ЯФОТ(Р) > Нф(.Тг„(рЪ + Нч{Тгк(р))

5 3 Установлена оценка выходной энтропии каналов Вейля, ковариантных относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов

Фиксируем ортонормированный базис |к>, к=0, ,(1-1, в гильбертовом пространстве Н, &тН=с1, и определим двупарамегрическое множество унитарных операторов „ по формуле

—ь,

|£ + ™то(1(Зхк| (54)

к=О

Операторы (5 4) называются операторами Вейля и образуют дискретную труппу Гензенберга-Вейля, удовлетворяющую соотношению

—(т п-тп")

т и т п

Фиксируем неотрицательные числа г и р, удовлетворяющие условию (с1-1)(г+ёр)=1 и определим бистохастический квантовый канал формулой

Ф(р) = 1 Хг + Ф)р0рШ'т 0

(5 5)

|Н=0 я—1

Квантовые каналы (5 5) ковариантны относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов ил, со спектральными проекторами, совпадающими со спектральными проекторами операторов Вейля Жт0 (Г Г Амосов, 2006) Для квантовых каналов (5 5) справедлива следующая теорема, из которой вытекает справедливость для них гипотезы аддитивности (Г Г Амосов, 2006)

Теорема 5.3.3. Пусть Ф есть канал Вейля вида (5 5) и размерность пространства в. является простым числом Тогда для тензорного произведения канала Фи произвольного канала Ч* в пространстве К справедлива следующая оценка

яфвч, (р) >-(1-^ Р) 1оё(1

а а

р е <т(Я ® К)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

На защиту выносятся следующие результаты

1 Получены уравнения эволюции симплектических квантовых томограмм для параметрического осциллятора (с выписыванием пропагатора, дающего решение), квантовых систем с гамильтонианом формы Н =Б( д )+0( р) и нелинейного уравнения Шредингера При дополнительном условии "факторизуемости" состояния доказано, что при стремлении числа степеней свободы к бесконечности, симплектическая томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения Эти результаты опубликованы в работах [13], [27-29], [31-32]

2 Построена модель, позволяющая строить марковские коциклы

группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам На ее основе полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами удовлетворяющими условию IV, -I е 52 (класс Гильберта-Шмидта) Выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации Эти результаты опубликованы нами в работах [3-4], [6], [11], [12], [16-17], [26], [30]

3 Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретировано как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков Эти результаты опубликованы в работах [14], [2426]

4 Показано, что вторичное квантование коцикла IV со свойством Ж, - / € , для представлений алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС),

порождает коцикл r(W) колмогоровского потока на КАС с марковским свойством вида Г(W), е М(], t > О (согласованный с фильтрацией (Mt), t > 0), состоящей из алгебр фон Неймана, образующих колмогоровский поток) Выведена классификация квазисвободных эволюций алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ) Построены состояния Кубо-Мартина-Швингера алгебры ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы Приведенные результаты опубликованы в работах [4-5], [8-9], [15], [19-20], [21-22], [26]

5 Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала квантового канала передачи информации Оптимизация надежности (fidelity) разобрана на примере канала, демпфирующего амплитуду Получена оценка энтропии выходных состояний вейлевских каналов, ковариантных относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов, из которой вытекает справедливость гипотезы сильной супераддитавности для

деполяризующего канала Приведенные результаты опубликованы в работах [7], [10], [18], [32], [33 J

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1 Амосов Г Г, Булинский ABO некоторых полугруппах вполне положительных отображений алгебр фон Неймана // Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики сб научных трудов/Моск физ -тех ин-т -М , 1995 -С 4-11

2 Амосов Г Г, Булинский А В Сопряженные полугруппы сдвигов гиперфинитных факторов // Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики сб научных трудов/Моск физ-тех ин-т -М,1995 -С 12-15

3 Амосов Г Г К теории индекса непрерывных полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики сб научных трудов/Моск физ-тех ин-т - М, 1996 - С 14-24

4 Амосов Г Г О классе коциклической соряженности квазисвобо-дных К-систем // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики сб научных трудов/Моск физ-тех ин-т -М, 1997 - С 416

5 Амосов Г Г , Булинский А В Индекс Пауэрса-Арвесона для квазисвободных динамических полугрупп // Математические заметки - 1997 - Т 62, в 6 - С 933936

6 Амосов Г Г Об аппроксимации полугрупп изометрий в гильбертовом пространстве // Известия ВУЗОВ Математика -2000 -N2 - С 7-12

7 Амосов Г Г, Холево А С, Вернер Р О некоторых проблемах аддитивности в квантовой теории информации // Проблемы передачи информации -2000 -Т 36, в 4 - С 25-34

8 Амосов Г Г, Булинский А В, Широков M Е Регулярные полугруппы эндоморфизмов факторов Неймана // Математические заметки - 2001 - Т 70, в 5 -С 643-659

9 Амосов Г Г Аппроксимация по модулю s2 изометрических операторов и коциклическая сопряженность эндоморфизмов алгебры КАС // Фундаментальная и прикладная математика - 2001 -Т 7, в 3 - С 925-930

10 Амосов ГГ, Холево ACO гипотезе мультипликативности для квантовых каналов // Теория вероятностей и ее применения -2002 -Т47, в 1 -С 143-146

11 Амосов Г Г О марковских возмущениях группы унитарных операторов, ассоциированной со случайным процессом со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения - 2004 - Т 49, в 1 ~ С 145-155

12 Амосов ГГ, Сакбаев В Ж О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Математические заметки - 2004 - Т 76, в 3-С 335-343

13 Амосов ГГ, Манько В И Эволюция вероятностных мер, связанных с квантовыми системами // Теоретическая и математическая физика - 2005 - Т 142,N2 -С 365-370

14 Амосов Г Г О марковских возмущениях квантовых случайных процессов со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения - 2005 - Т 50, в 4 - С 754-763

15 Амосов Г Г Эволюционное уравнение для марковских коциклов, полученных вторичным квантованием в симметричном пространстве Фока // Теоретическая и математическая физика -2006 - Т 46, N 1 - С 186192

16 Амосов ГГ, Баранов АД О дилатации сжимающих коциклов и коциклических возмущениях группы сдвигов на прямой // Математические заметки - 2006 -Т 79, в 1 -С 3-18

17 Амосов ГГ, Баранов АД О дилатации сжимающих коциклов и коциклических возмущениях группы сдвигов на прямой, П // Математические заметки -2006 -Т 79, в 5 - С 779-780

18 Амосов Г Г Замечание о гипотезе аддитивности для квантового деполяризующего канала // Проблемы передачи информации -2006 -Т 42, в 2 - С 3-11

19 Accardi L, Amosov GG, Franz U Second quantized automorphisms of the renormalized square of white noise (RSWN) algebra // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probabability andRel Top -2004 -V 7,N1 -P 183194

20 Amosov G G Cocycle perturbation of quasifree algebraic K-flow leads to required asymptotic dynamics of associated completely positive semigroup // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Rel Top -2000 - V 3 -P 237-246

21 Amosov G G On cocycle conjugacy of quasifree endomorphism semigroups on the CAR algebra // J Mathematical Sciences - 2001 - V 105, N 6 - P 24962503

22 Amosov GG, Holevo AS, Werner RF On additivity/multiphcativity problems for quantum channels // Quantum communications, measurement and computmg 3, Edited by О Hirota and P Tombesi/ Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2001

23 Amosov G G On the Wold decomposition for cocycle perturbations of a quantum Levy process // MaPhySto Miscellanea -2002 -N22 -P 10-11

24 Amosov G G Stationary quantum stochastic processes from the cohomological point of view // Quantum Probability and White Noise Analysis XV, Edited by WFreudenberg /World Sci Publ Co, 2003, 260 P -P 29-40

25 Amosov GG On Markovian cocycle perturbations m classical and quantum probability // Internat J of Mathematics and Mathematical Sciences - 2003 - N 54 - P 3443-3468

26 Amosov G G , Man'ko VI Quantum probability measure for parametric oscillators // Physics Letters A - 2003 - V 318, N4-5 -P 287-291

27 Amosov G G, Man'ko VI Quantum tomograms as von Neumann probaility distributions // Squeezed states and uncertainty relations/Rmton Press, 2003 -P 7-16

28 Amosov G G, Man'ko VI Quantum probability measures and tomographic probability densities // J Russian Laser Research -2004 -V25,N3 -P 253-266

29 Amosov G G, Baranov A D On perturbations of the group of shifts on the line by unitary cocycles // Proceedings of the American Mathematical Society-2004 -V 132, N11 -P 3269-3273

30 Amosov GG, Man'ko VI Tomographic probability measure for many degrees of freedom and the central limit theorem // J Physics A Mathematical and General - 2005 -V 38, N10 -P 2173-2177

31 Amosov GG, Mancicm S, Man'ko VI Transmitting qudits through larger quantum channels // J Physics A Mathematical and General -2006 -V 39 -P 3375-3380

32 Amosov G G On the Weyl channels being covanant with respect to the maximum commutative group of umtaries // J Mathematical Physics -2007 -V 48,N1 -P 012104

33 Amosov G G Strong superadditivity conjecture holds for the quantum depolarizing channel m any dimension // Physical Review A -2007 -V 75, N6 -P 060304

Амосов Григорий Геннадьевич

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАНТОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Подписано в печать 1 03 2008 Формат 60*84 1/16 Печать офсетная Уел печ л 2 0 Уч -изд л 1 0 Тираж 100 экз Заказ №

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл , г Долгопрудный, Институтский пер , 9

Введение

1 Квантовые томограммы и их динамика

1.1 Общая статистическая модель квантовой механики

1.2 Стандартная статистическая модель квантовой механики для случая гильбертова пространства.

1.3 Квантовая механика и оснащенные гильбертовы пространства

1.4 Томографическое представление квантовой механики

1.5 Вероятностные меры, связанные с возбужденными и когерентными состояниями квантового осциллятора.

1.6 Параметрический осциллятор и связанные с ним распределения вероятностей.

1.7 Эволюционное уравнение для характеристических функций в линейном случае.

1.8 Нелинейное эволюционное уравнение.

1.9 Квантовая томография для большого числа степеней свободы. Центральная предельная теорема.

2 Марковские коциклы в одночастичном гильбертовом пространстве

2.1 Коциклы однопараметрических групп.

2.2 Общие свойства марковских коциклов.

2.3 Разложение Вольда. Классические процессы с некоррелированными приращениями.

2.4 Модель унитарного марковского коцикла группы сдвигов.

2.5 Существование и единственность дилатации.

2.6 Возмущения оператора сдвига операторами класса со следом и класса Гильберта-Шмидта.

2.7 Коциклические возмущения группы сдвигов на прямой.

2.7.1 Постановка задачи.

2.7.2 Теорема о триангуляции усеченного сдвига.

2.7.3 Доказательство теоремы 2.7.1.

2.7.4 Неконструктивное улучшение результата.

2.8 Уравнение марковского коцикла группы сдвигов в модельной ситуации.

2.9 Марковские коциклы, порождаемые оператором Шредин-гера с вырождением на двух полупрямых.

2.9.1 Постановка задачи.

2.9.2 Основные результаты о корректной разрешимости вырожденной задачи.

2.9.3 Унитарные марковские коциклы, порождаемые задачей (2.9.1),(2.9.2).

3 Квантовый белый шум над алгеброй и его возмущения марковскими коциклами

3.1 Классические и квантовые случайные процессы, порождаемые ими фильтрации и марковские коциклы.

3.2 Броуновское движение и марковские коциклы группы сдвигов на прямой.

3.3 Эквивалентность мер и квазиэквивалентность состояний.

3.4 Алгебра канонических коммутационных соотношений в симметричном пространстве Фока. Квантовый белый шум.

3.5 Вполне недетерминированные квантовые стохастические процессы и колмогоровские потоки.

3.6 Представление функционалов от случайного процесса в виде кольца когомологий. Квантовый белый шум.

3.6.1 Винеровский процесс.

3.6.2 Квантовый белый шум.

3.7 Марковские коциклы квантовых белых шумов.

3.8 Уравнение марковского коцикла, полученного вторичным квантованием, в модельной ситуации

4 Квазисвободные эволюции на алгебрах канонических антикоммутационных соотношениях и на алгебре квадрата квантового белого шума

4.1 Построение алгебр фон Неймана, отвечающих физическим системам.

4.2 Квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений (КАС).

4.2.1 Антисимметричное пространство Фока. Алгебра канонических антикоммутационных соотношений

4.2.2 Расширение на В(Н) квазисвободных автоморфизмов гиперфинитных факторов фон Неймана Л4 С В(Н), порожденных алгеброй КАС

4.2.3 Коциклические возмущения колмогоровских потоков на гиперфинитных факторах, порожденных алгеброй КАС.

4.3 Квазисвободные эволюции на алгебре квадрата квантового белого шума.

4.3.1 Метод Шурмана построения квантовых случайных процессов с независимыми приращениями.

4.3.2 Квадрат квантового белого шума и его представления.

4.3.3 Эндоморфизмы алгебры квадрата квантового белого шума.

4.3.4 Состояния КМШ, связанные с квазисвободными эво-люциями на алгебре квадрата квантового белого шума.

5 Квантовая передача информации

5.1 Передача информации через бесконечномерный квантовый канал

5.1.1 Инвариантные кудиты и подканалы.

5.1.2 Надежность каналов, демпфирующих фазу и амплитуду.

5.2 Характеристики максимальной чистоты выхода квантового канала.

5.3 Каналы Вейля, ковариантные относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов.

5.3.1 Оценка энтропии выхода квантового канала демпфирующего фазу.

5.3.2 Каналы Вейля

5.3.3 Орбиты максимальной коммутативной группы унитарных операторов.

5.3.4 Ковариантность по отношению к максимальной группе унитарных операторов.

5.3.5 Оценка выходной энтропии квантового деполяризующего канала.

5.3.6 Гипотеза сильной супераддитивности для квантовых каналов Вейля.

Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики, предложенной Дж. фон Нейманом в 1932 году ([186]), каждой паре (а,р), состоящей из наблюдаемой а и состояния (оператора плотности) р квантовой системы отвечает некоторое распределение вероятностей Р на действительной прямой, интепретируемое, как показания прибора, измеряющего наблюдаемую а в состоянии р. На таком подходе основывается, в частности, одна из возможных формулировок квантовой механики, называемая вероятностным или томографическим представлением. В рамках такого подхода, интенсивно развиваемого в последнее время, квантовые состояния связываются со стандартными плотностями распределений вероятностей (так называемыми томографическими плотностями или томограммами). Квантовые томограммы дают такую же информацию о состоянии системы как волновая функция или матрица плотности. Подобный формализм основан на томографическом подходе к измерению квантовых состояний ([111, 211, 208]). Томограмма может быть определена как набор плотностей распределения вероятностных мер, отвечающих некоторому достаточно богатому набору наблюдаемых. В частности, для симплектических томограмм в качестве таких наблюдаемых выступают линейные комбинации операторов координаты и импульса fix + vp.

В первой главе изучаются свойства вероятностного представления квантовых состояний. Эволюция симплектических квантовых томограмм л построена для случая гамильтонианов вида Н = U(p) + V^rc), для параметрического квантового осциллятора и для нелинейного уравнения Шредингера типа Гросса-Питаевского ([141,192]). Кроме того, центральная предельная теорема применяется для исследования томограммы центра масс системы. Главной задачей является вывод эволюционных уравнений для распределений вероятностей, связанных с различными квантовыми системами. Заметим, что эволюционные уравнения для распределений вероятностей, которые мы выводим, принадлежат к типу, не встречавшемуся в теории классических случайных процессов. Тем самым, мы не можем определить немедленно такие специфические свойства введенных нами случайных процессов, как стационарность, марковость и т.п. Тем не менее, основное достоинство нашего подхода заключается в возможности использования техники классической теории вероятностей для изучения квантовых эффектов, при помощи введенных нами классических случайных процессов. Для квантовой эволюции в линейном случае такое уравнение было найдено в [83] - [85]. Для томографических плотностей распределений вероятностей эволюционное уравнение для солитонов в нелинейном уравнении Шредингера и для конденсата Бозе-Эйнштейна получено в [187, 188]. В этой же главе мы опираемся на характеристические функции, определяющие распределение вероятностей, по аналогии с подходом [117]. Мы выводим эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающих симплектическим томограммам. В разделе 1.5 приведены распределения вероятностей,,отвечающие стационарному квантовому осциллятору. В разделе 1.6 получены динамические уравнения для распределений вероятностей, отвечающих осциллятору с переменной частотой. Там же приведены решения этих уравнений для случая, отвечающего когерентным и возбужденным состояниям. В разделе 1.7 выведены уравнения эволюции характеристических функций томографических распределений для случая гамильтониана вида Н = W{p) + V(&). Отдельно рассмотрена ситуация, когда W[p) = у. В разделе 1.8 выведено эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающее нелинейному уравнению Шредингера. В разделе 1.9 производится исследование томограммы центра масс. С помощью центральной предельной теоремы доказывается, что, при определенных условиях, при возрастании числа степеней свободы, томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения. Результаты главы 1 опубликованы в работах [83, 84, 85, 87, 16, 88].

Предположим, что, в отсутствии взаимодействия динамика квантовой системы определяется уравнением Шредингера йоф' (0'0,1) а при взаимодействии Нф. (0.0.2) at

Пусть эволюция квантовой системы (0.0.1) описывается группой унитарных операторов U = {Ut = е~гШ°, t G Ж}, а квантовой системы (0.0.2) группой унитарных операторов U — {Ut = e~ltH, t 6 R}. Тогда семейство унитарных операторов W = {Wt — UtU-t, t G t} описывает динамику квантовой системы в так называемом представлении взаимодействия. Заметим, что если ф{€) является решением уравнения (0.0.1), отвечающим начальному данному ^(0) = фо, тогда решением уравнения (0.0.2), отвечающим тому же начальному данному будет ip(t) = Wtip(t), t > 0. Семейство W удовлетворяет тождеству

Wt+a = WtUtWaU-U s,teR, и является, тем самым, коциклом группы U. Если пределы W± = s — lim Wt существуют, тогда они называются волновыми операторами. t-*±oо

Оператор S = W+W* называется оператором рассеяния (5-матрица). Оператор S был впервые введен в [144]. Математическая теория S построена в [182]. Общая теория рассеяния строится в [153] (см. также ссылки в [40]). В главах 2-4 диссертационной работы представление взаимодействия исследуется с других позиций, нежели в цитированных выше работах. Пионерской работой является [69], где было введено понятие марковского коцикла. В дальнейшем различные варианты этого понятия были выведены в работах [77, 14, 87]. Предположим, что для уравнения (0.0.1) задана "фильтрация", состоящая из семейства подпространств (Ht), Ht С Hs для t < з, таких, что в момент времени t все решения (0.0.1), отвечающие начальным данным фо 6 Щ, удовлетворяют свойству ф{Ь) Е Ht. Коцикл W называется марковским, если

Wt\Ht =Id,t> 0.

В главе 2 подробно изучаются коциклы однопараметрических групп, сдвигов. В разделе 2.2 проводится исследование самых общих свойств унитарных марковских коциклов группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве, определяющей сдвиги во времени приращений некоторого случайного процесса. В разделе 2.3 разбирается случай процессов с некоррелированными приращениями. В разделе 2.4 строится модель, описывающая все унитарные марковские коциклы группы сдвигов с точностью до унитарной эквивалентности возмущений этими коциклами. Тем самым, описывается множество некоммутативных когомологий Л1 (5) группы сдвигов S. В разделе 2.5 исследуются дилатации сжимающих коциклов. Устанавливается, в каком смысле единственна минимальная унитарная дилатация. Кроме того, с помощью модели унитарного марковского коцикла, построенной в разделе 2.4, доказывается существование дилатации для случая, когда коциклическое возмущеиие является группой "усеченных сдвигов". В разделе 2.6 приводятся основные сведения о возмущениях дискретных операторов сдвига ядерными операторами и операторами класса со следом. В разделе 2.7 мы рассматриваем возмущения группы сдвигов на прямой унитарными марковскими коциклами W и формулируем утверждение, позволяющее описать класс всех возмущений коциклами, удовлетворяющими дополнительному условию Wt — I 6 <S2 (класс Гильберта-Шмидта). Доказательство этого утверждения существенно опирается на модель, построенную в разделе 2.4 и теорему о триангуляции полугруппы усеченных сдвигов, доказательство которой приведено в тексте. Раздел 2.8 посвящен выводу уравнения, которому удовлетворяет унитарный марковский коцикл группы сдвигов в простейшей ситуации. В разделе 2.9 показано, что решение уравнения Шредингера с вырождением на прямой порождает унитарный марковский коцикл. Применение полученных результатов к некоторым конкретным квантовым системам будет осуществлено в главах 3 и 4. Результаты главы 2 опубликованы в работах [4] - [9], [78, 14, 15, 19, 82, 86].

В работе [128] было введено понятие квантового колмогоровского потока. Обобщение понятия меры белого шума для случая квантовых мер белого шума, заложенное пионерской работой [150], привело к возникновению нового взгляда на теорию квантовых колмогоровских потоков, который мы приводим в главе 3. В разделе 3.5 определяются классические и квантовые колмогоровские потоки и выводится условие, при котором квантовый случайный процесс порождает колмогоровский поток. В разделе 3.6 вводится представление функционалов от квантовых случайных процессов в виде кольца когомологий. Подобное представление является абстрактной версией разложения Винера-Ито £2-функционалов от броуновского движения. Введены марковские возмущения такого кольца. Материал поясняется на примере броуновского движения и квантового белого шума. В разделе 3.7 исследуются марковские возмущения квантовых белых шумов и связанных с ними колмогоровских потоков. При этом получен аналог разложения Вольда, позволяющий выделять часть марковского возмущения колмогоровского потока, изоморфную исходному колмогоровскому потоку. И, наконец, в разделе 3.8 производится вторичное квантование марковского коцикла группы сдвигов, построенного в главе 2, в одном частном случае. Выведено квантовое стохастическое дифференциальное уравнение в симметричном пространстве Фока, которому этот коцикл удовлетворяет. Результаты главы 3 опубликованы в работах [87, 18], [80] - [82].

Каждое представление алгебры наблюдаемых некоторой квантовой системы, отвечающее фиксирванному состоянию этой системы, порождает некоторую алгебру фон Неймана, то есть алгебру замкнутую не только по норме, но и в любой более слабой операторной топологии. Алгебры фон Неймана порождаются принадлежащими им ортогональными проекторами, которые интепретируются как некоторые "события"в квантовой теории вероятностей. Построение алгебр фон Неймана, отвечающих конкретным квантовым системам стало возможно благодаря пионерской работе И.М. Гельфанда, М.А. Наймарка и И.Е. Сигала ([31, 204]), разработавших представление, сейчас называемое "Гельфанда-Наймарка-Сигала"или "ГНС"алгебры с инволюцией по заданному на ней состоянию. В контексте построения квантовых белых шумов развитие теории представлений ГНС привело к созданию метода [202]. В главе 4 подробно изучены представления ГНС алгебры канонических антикоммутационных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума, отвечающие некоторому специальному классу состояний на этих алгебрах. Материал четвертой главы состоит из двух независимых частей, касающихся квазисвободных эволюций на алгебре канонических антикоммутационных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума. В первой части показывается как условие возмущения операторами класса Гильберта-Шмидта действует в приложениях. Таким образом, первая часть 4.2 главы непосредственно связана с главой 2. В части 4.3 метод Шурмана используется для построения алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Далее определяются квазисвободные эволюции алгебры квадрата квантового белого шума и связанные с ними состояния Кубо-Мартина-Швингера (см. Приложение). Представления алгебры ККБШ, связанные с этмим состояниями построены в явном виде. Результаты главы 4 опубликованы в работах [7, 8, 11, 78, 77, 78].

Пусть Н есть комплексное гильбертово пространство конечной или бесконечной размерности dimH = I < -foo. Обозначим о~(Н), Proj(H) и 1н множество всех состояний, то есть положительных операторов с единичным следом, множество всех одномерных проекторов и тождественный оператор в Н, соответственно. Пусть К есть другое гильбертово пространство. Квантовым каналом (передачи информации) Ф в Н называется ([60]) афинное (линейное на выпуклых линейных комбинациях элементов) отображение о(Н) —> сг(К), такое что сопряженное линейное отображение Ф*, определенное на алгебре В (К) всех ограниченных операторов в К, является вполне положительным и унитальным (оставляющим на месте тождественный оператор). Любой квантовый канал Ф можно расширить до линейного вполне положительного отображения В(Н) —> В(К). Если такое продолжение, которое мы будем обозначать той же буквой Ф унитально, то есть Ф(/#) = //<-, тогда канал Ф называется бистохастическим. Отметим, что для конечномерных пространств (I < -foo) унитальность эквивалентна условию сохранения хаотического состояния: Ф(у/#) = jIr.

Обыкновенно предполагается, что за счет шумового окружения, квантовый канал Ф искажает информацию. Это, с одной стороны, может проявляться в том, что чистое состояние \ф >< ф\ переводится им в смешанное, например, так что

Ф(|ф >< ф\) = а\фг >< 1 + (1 - а)\ф2 ><

О < а < 1. С другой стороны, поскольку для кодирования информации нужно больше, чем одно состояние, искажение информации может проявляться в том, что Ф переводит ортогональные чистые состояния \ф{ >< ф{\, г — 1, 2, в также чистые, но уже неортогональные состояния \ф{ >< фг| = Ф(|^г >< ф{D) г = 1, 2, что может не позволить уже точно их различить. Переход от передачи "букв"к передаче "слов", состоящих из п букв соответствует операции взятия тензорного произведения ф®п. С другой стороны, множество а{Н®п) содержит так называемые "сцепленные состояния", то есть такие состояния р € сг(Н®п), которые не могут быть представлены в виде р = & • • • ® р^ к где Pks £ Одной из важнейших задач квантовой теории передачи информации является определение, может ли кодирование сцепленными состояниями увеличить пропускную способность канала.

Существует много различных характеристик, позволяющих определить, насколько точно можно передать информацию через квантовый канал Ф. Все такие числовые характеристики ь'(Ф) должны удовлетворять условию ^(а-Ф) = г/(Ф) для произвольного ^-автоморфизма а(-) = U-U* алгебры всех ограниченных операторов В(Н), выполняемого унитарным оператором U. Действительно, квантовый канал, осуществляемый автоморфизмом, ни при каких условиях не искажает информацию. Возмущение Ф = а • Ф квантового канала Ф естественно считать аналогом коциклических возмущений унитарными коциклами в дискретном случае. С этой точки зрения, характеристики ^(Ф) являются инвариантами коциклических возмущений.

Основной задачей, встречающейся в приложениях теории квантовой передачи информации, является нахождение оптимального для данного канала кодирования и, отвечающего ему, оптимального декодирования, приводящего к наименьшему искажению информации. Кодирование предполагает выбор определенного набора состояний в пространстве Я, которые будут представлять некий исходный алфавит, передающийся через канал. Исходный канал может действовать в бесконечномерном пространстве. В частности, мы рассматриваем в первой части главы 5 пространство Н состояний квантового осциллятора с базисом основного и возбужденных состояний \п >, п = 0,1,2,. Одной из важных задач является оценивание выигрыша от использования при кодировании состояний, в ортогональное разложение которых по базису {|п >} входят возбужденные состояния с большими номерами п. В первой части главы 5 предложен общий подход к этой задаче. Кроме того, для частного случая канала, демпфирующего амплитуду, мы показываем что использование возбужденных состояний с большими номерами, в некотором смысле, выигрыша не дает.

Целый класс задач в квантовой теории информации, просто формулируемых, но почти не поддающихся решению, касается аддитивности ряда характеристик квантового канала связи типа "классической пропускной способности "или "максимальной чистоты выходного состояния" по отношению к операции тензорного произведения каналов. Все известные результаты, включая численную проверку, находятся в согласии с этой гипотезой. Положительное решение этой проблемы означало бы, в частности, что использование сцепленных состояний не увеличивает классической пропускной способности квантового канала и имело бы важное значение для приложений (см. [64]).

Верхняя энтропийная граница для канала Ф определяется следующей формулой г г

С!(Ф)= SUP ^ТГ^^-Е^^М)' XjEo(H), тг j=1 j=1 где S(x) = —Trxlogx есть энтропия фон Неймана х и супремум берется г по всем распределениям вероятностей 7г = 0 < -kj < 1, J2 nj = 1. i=i

Гипотеза аддитивности утверждает, что для любых двух каналов ФиФ

Сг(Ф <g> Ф) = Ci(<£) + С^Ф).

Если гипотеза аддитивности справедлива, становится возможным без труда найти классическую пропускную способность С(Ф) канала Ф по формуле С(Ф) = lim = С^Ф) (см. [64]). В [64] гипотеза аддиn-Я-оо п тивности была доказана для так называемых классически-квантовых и квантово-классических каналов. Как следует из определения Ci,

Сх(Ф) < 5(у/я) - inf' S(*(x)).

I хбо\Н)

Равенство в предыдущей формуле было установлено в [79] для бисто-хастических двоичных каналов, в [121] для так называемых кудитных каналов и в [147] для ковариантных каналов. Более того в [206] доказано, что справедливость гипотезы аддитивности величины С\ для всех каналов эквивалентна справедливости гипотезы аддитивности для минимума выходной энтропии для всех каналов, mf 5(Ф ® Щх)) = inf 5(Ф(Ж1))+ inf 5(Ф(Ж2)). хеи(Н1®Н2) xiEu(Hi) х2еа(н2)

Фиксируем число р > 1. Тогда можно определить 1р-нормы канала Ф по формуле ||Ф||р == ( sup Тг^(х)р)р. В [10] показано, что гипотеза xeProj(H) аддитивности тесно связана со следующей гипотезой мультипликативности, которая утверждает что для двух каналов ФиФ

1|Ф®Ф|1р = 1|ф||р1|ф||„.

В частности, если гипотеза мультипликативности верна для р близких к 1, гипотеза аддитивности также верна. Гипотеза мультипликативности для деполяризующего канала доказана в [13] в случае целых значений р. Гипотезы аддитивности и мультипликативности доказаны для унитальных двоичных каналов в [158], для квантового деполяризующего канала в [159], для каналов разрушающих сцепленность в [205], для каналов, представляющих смесь транспонирования и операции взятия следа, в [131, 122]. В [149] была установлена связь гипотез аддитивности для произвольных каналов и для каналов с ограничениями. Тем не менее, не было еще найдено пути для проверки гипотез для произвольного канала. В [148] приведен контрпример к гипотезе мультипликативности. Следовательно, можно ожидать, что гипотеза аддитивности может быть не справедливой для некоторых каналов.

Во второй части главы 5 мы вводим мультипликативные Zp-нормы канала, показываем, как из справедливости гипотезы мультипликативности для р близких к единице следует справедливость гипотезы аддитивности (см. [10, 79]). С другой стороны, с помощью доказательства специального неравенства, касающегося следа произведения операторов, мы расчитываем впрямую Zp-иормы квантового деполяризующего канала и доказываем гипотезу мультипликативности для натуральных значений р= 2,3,4,. ([13]).

Фиксируем квантовый канал Ф в гильбертовом пространстве Н. Для каждого р £ <у(Н) можно ввести характеристику ([149]) к

Н$(р) = тт^тг,-5(Ф(^)),

Pav=P

3 = i к где pav = KjPj и минимум берется по всем распределениям вероятно-i=i стей 7г = {7Г^} и состояниям pj £ о-(Н). Гипотеза сильной супераддитивности утверждает, что

Яфвф(р) > НФ(ТгК(р)) + ЯФ(ТгяМ), р 6 а(Н <Э К) для двух каналов Ф и Ф, действующих в гильбертовых пространствах Н и К, соответственно. В работе ([149]) показано, что гипотеза сильной супераддитивности эквивалентна гипотезе аддитивности для произвольных каналов с ограничениями. Тем самым, гипотеза сильной супераддитивности является более сильным утверждением, чем гипотеза аддитивности. В третьей части главы 5 мы доказываем гипотезу сильной супераддитивности для квантового деполяризующего канала, основываясь на свойстве убывания относительной энтропии.

Результаты, представленные в главе 5, опубликованы в работах [10, 13, 21, 79, 88].

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получены уравнения эволюции симплектических квантовых томограмм для параметрического осциллятора (с выписыванием пропага-тора, дающего решение), квантовых систем с гамильтонианом формы Н == F(q) + G(p) и нелинейного уравнения Шредингера. При дополнительном условии "факторизуемости" состояния доказано, что при стремлении числа степеней свободы к бесконечности, симплектическая томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения.

2. Построена модель, позволяющая строить марковские коциклы группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам. На ее основе полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами W, удовлетворяющими условию Wf—I £ S2 (класс Гильберта-Шмидта). Выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации.

3. Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретировано как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком. Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному. Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков.

4. Показано, что вторичное квантование коцикла W со свойством Wt — I Е £>2, Для представлений алгебры канонических антикоммутационных соотношений (КАС), порождает коцикл Г(МК) колмогоровского потока на КАС с марковским свойством вида Г(И^ Е Мф t > 0 (согласованный с фильтрацией (Мф t > 0), состоящей из алгебр фон Неймана, образующих колмогоровский поток). Выведена классификация квазисвободных эволюций алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Построены состояния Кубо-Мартина-Швиигера алгебры

ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы.

5. Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала квантового канала передачи информации. Оптимизация надежности (fidelity) разобрана на примере канала, демпфирующего амплитуду. Получена оценка энтропии выходных состояний вейлевских каналов, ковариантных относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов, из которой вытекает справедливость гипотезы сильной супераддитивности для деполяризующего канала.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Конференция, посвященная столетию Б.М. Гагаева (г. Казань, 1996 г.)

2. Ежегодная научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 1997 г.)

3. Международный конгресс математиков (г. Берлин, 1998 г.)

4. "Проблемы устойчивости в стохастических моделях"(г. Налечев,

1999 г.)

5. "Теория операторов и ее приложения "(г. Бородо, 2000 г.)

6. Международный конгресс по математической физике (г. Лондон,

2000 г.)

7. Европейский математический конгресс (г. Барселона, 2000 г.)

8. Ежегодная конференция по математическому анализу (г. С.-Петербург, 2000-2006 гг.)

9. "Квантовая вероятность и бесконечномерный анализ"(г. Коттбус,

2001 г.)

10. Конференция, посвященная столетию И.Г. Петровского (г. Москва, 2001 г.)

11. Зимняя школа "Квантовые марковские цепи и их приложения в физике и квантовой информации"(г. Левико-Терме, 2001 г.)

12. "Квантовые процессы Леви"(г. Охен, 2002 г.)

13. "Квантовая информация"(г. Сан Фелю де Гисоль, 2002 г.)

14. "Колмогоров и современная математика" (г. Москва, 2003 г.)

15. "Актуальные вопросы математики и механики"(г. Казань, 2004 г.)

16. "Классические и квантовые интегрируемые системы"(г. Дубна, 2004-2005 гг.)

Материалы диссертации докладывались на многих научных семинарах, включая:

1. Семинар "Математические проблемы теорфизики и механики" Московского физико-технического института (рук. С.П. Аллилуев, В.Б. Лидский)

2. Семинар по математической физике института прикладной математики им. Келдыша (рук. В.В. Веденяпин)

3. Семинар лаборатории математического анализа ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. В.П. Хавин)

4. Семинар по теории представлений и динамическим системам ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. A.M. Вершик)

5. Q-семинар Копенгагенского университета (рук. Ф. Топсе)

6. Семинар кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ (рук. A.M. Чеботарев)

7. Семинар Международного института Солвея, г. Брюссель (рук. Я. Антониу)

8. Семинар по теории операторов механико-математического факультета МГУ (рук. А.Д. Костюченко)

9. Семинар "Алгебра в анализе"механико-математического факультета МГУ (рук. А.Я. Хелемский)

10. Семинар по алгебре и теории операторов Казанского государственного университета (рук. А.Н. Шерстнев)

11. Семинар по квантовой теории поля ФИАН им. Лебедева (рук. М.А. Васильев)

12. Семинар кафедры высшей математики МФТИ (рук. Е.С. Поло-винкин)

По теме диссертации опубликовано 33 работы, из них 17 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе рассмотрено томографическое представление некоторых квантовых систем, а именно, параметрический осциллятор, система с гамильтонианом вида Н = F(x) + G(p), уравнение Шредингера с нелинейностью вида Для параметрического осциллятора выведено уравнение эволюции для томографических распределений вероятностей, выписан пропагатор дающий решение этого уравнения и решения, отвечающие когерентным и возбужденным состояниям осциллятора. Для квантовых систем гамильтонианом формы Н = F(x) + G(p) выведено уравнение эволюции функций распределения, отвечающих квантовым томограммам. Отдельно рассмотрен случай G(p) = у. Также выведено эволюционное уравнение для функций распределения и томографических вероятностных мер в случае нелинейного уравнения Шредингера. Кроме того, симплектическая томограмма центра масс системы исследована с точки зрения центральной предельной теоремы. При дополнительном условии "факторизуемости"состояния доказывается, что при стремлении числа степеней свободы к бесконечности, томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения.

Вторая глава носит чисто математический характер. Все результаты, полученные в ней, применяются для приложений к физическим системам, рассмотренным в главах 3 и 4. Исследованы общие свойства марковских коциклов произвольных групп унитарных операторов. Далее построена модель, позволяющая строить марковские коциклы группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам. С помощью этой модели доказана конструктивная теорема существования и единственности дилатации сжимающего коцикла до марковского унитарного коцикла группы сдвигов на прямой. Кроме того, с помощью введенной модели полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами W = {Wt, t G R}, удовлетворяющими условию Wt — / G £2 (класс Гильберта-Шмидта). В завершении главы выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации.

В третьей главе исследуются марковские возмущения классических и квантовых колмогоровских потоков, порожденных квантовым белым шумом. Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретируется как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком. Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному. Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков.

В четвертой главе исследуются квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений и на алгебре квадрата квантового белого шума. Показано, что условие Ut — Vt G S2 (класс Гильберта-Шмидта) необходимо и достаточно для построения динамических групп на алгебре всех ограниченных операторов В(Н) = Л4 V Л4', где М есть фактор фон Неймана, порожденный представлением алгебры канонических антикоммутационных соотношений. Причем динамика на Л4 и Л4' получена вторичным квантованием унитарных групп U = {Ut, t G R} и V = {Vt, t £ I}, соответственно. Для колмогоровского потока на М., полученного вторичным квантованием группы сдвигов на прямой S, доказано, что коциклическое возмущение S марковским коциклом W порождает колмогоровский поток, изомофный исходному. Более того, вторичное квантование коцикла W со свойством Wt — I G £2, £ G R, порождает коцикл W колмогоровского потока с марковским свойством вида Wt € Л4ф t > 0 (согласованный с фильтрацией {Л4ф t > 0} отвечающей колмогоровскому потоку). Во второй части четвертой главы выведена классификация квазисвободных эволю-ций алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Построены состояния Кубо-Мартина-Швингера алгебры ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы.

В пятой главе исследуются характеристики максимально возможной чистоты выхода квантовых каналов передачи информации. Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала. Показано, что исследование надежности (fidelity) квантового канала сводится к рассмотрению его кубитных подканалов. Оптимизация надежности разобрана на примерах каналов, демпфирующих фазу и демпфирующих амплитуду. При этом показывается, что бесконечномерность канала, приводящая к его бесконечной емкости не позволяет увеличить надежность, которая оптимальна при использовании только конечного числа фоков-ских состояний с минимальными номерами. Далее гипотеза сильной супераддитивности доказывается для квантового деполяризующего канала с использованием свойства убывния относительной энтропии. Для каналов Вейля, ковариантных относительно максимальной группы унитарных операторов получена оценка снизу энтропии выходных состояний.

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966.

2. Адамян В.М., Аров Д.З. Об одном классе операторов рассеяния и характеристических оператор функций сжатий // ДАН. - 1965. -Т. 160, N 1. - С. 9-12.

3. Адамян В.М., Аров Д.З. Об операторах рассеяния и полугруппах сжатий в гильбертовом пространстве // ДАН. 1965. - Т. 165, N 1. - С. 9-12.

4. Амосов Г.Г., Булинский А.В. О некоторых полугруппах вполне положительных отображений алгебр фон Неймана // Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики. М.: Изд-во МФТИ, 1995. С. 4-11.

5. Амосов Г.Г., Булинский А.В. Сопряженные полугруппы сдвигов гиперфинитных факторов типа II I\ j j Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики. М.: Изд-во МФТИ, 1995. С. 12-15.

6. Амосов Г.Г. К теории индекса непрерывных полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: Изд-во МФТИ, 1996. С. 14-24.

7. Амосов Г.Г. О классах коциклической сопряженности квазисвободных К-систем // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: Изд-во МФТИ, 1997. С. 4-16.

8. Амосов Г.Г., Булинский А.В. Индекс Пауэрса-Арвесона для квазисвободных динамических полугрупп // Математические Заметки.- 1997. Т. 62, в. 6. - С. 933-936.

9. Амосов Г.Г. Об аппроксимации полугрупп изометрий в гильбертовом пространстве // Известия Высших Учебных Заведений. Математика. 2000. - N 2. - С. 7-12.

10. Амосов Г.Г., Холево А.С., Вернер Р.Ф. О некоторых проблемах аддитивности в квантовой теории информации // Проблемы передачи информации. 2000. - Т. 36, N 4. - С. 25-34.

11. Амосов Г.Г., Булинский А.В., Широков М.Е. Регулярные полугруппы эндоморфизмов факторов Неймана // Математические Заметки. 2001. - Т. 70, в. 5. - С. 643-659.

12. Амосов Г.Г. Аппроксимация по модулю s2 изометрических операторов и коциклическая сопряженность эндоморфизмов алгебры КАС // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т.7, в. 3.- С. 925-930.

13. Амосов Г.Г., Холево А.С. О гипотезе мультипликативности для квантовых каналов // Теория вероятностей и ее применения. 2002.- Т. 47, в. 1. С. 143-146.

14. Амосов Г.Г. О марковских возмущениях группы унитарных операторов, ассоциированной со случайным процессом со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 2004.- Т. 49, в. 1. С. 145-155.

15. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Математические заметки.- 2004. Т. 76, в. 3. - С. 335-343.

16. Амосов Г.Г., Манько В.И. Эволюция вероятностных мер, связанных с квантовыми системами // Теоретическая и математическая физика. 2005. - Т. 142, N 2. - С. 365-370.

17. Амосов Г.Г. О марковских возмущениях квантовых случайных процессов со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 2005. - Т. 50, в. 4. - С. 754-763.

18. Амосов Г.Г. Эволюционное уравнение для марковских коциклов, полученных вторичным квантованием в симметричном пространстве Фока // Теоретическая и математическая физика. 2006. - Т. 146, N 1. - С. 186-192.

19. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. Дилатация сжимающих коциклов и ко-циклические возмущения группы сдвигов на прямой // Математические заметки. 2006. - Т.79, в. 1. - С. 3-18.

20. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. Дилатация сжимающих коциклов и ко-циклические возмущения группы сдвигов на прямой, II // Математические заметки. 2006. - Т.79, в. 5. - С. 779-780.

21. Амосов Г.Г. Замечание о гипотезе аддитивности для квантового деполяризующего канала // Проблемы передачи информации. 2006.- Т. 42, N 2. С. 3-11

22. Баранов АД. Изометрические вложения пространств Kq в верхней полуплоскости // Проблемы математического анализа. 2000. - Т. 21. - С. 30-44; англ. перевод в J. Math. Sci. - 2001. - V. 105. - P. 2319-2329.

23. Белавкин В.П. О квантовых стохастических дифференциальных уравнениях как краевых задачах Дирака //Матем. Заметки. 2001.- Т. 69. С. 735-748.

24. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986.

25. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982, 512 С.

26. Браун К.С. Когомологии групп. М.: Наука, 1987, 384 С.

27. Булинский А.В. Алгебраические К-системы и полупотоки сдвигов Пауэрса // Успехи математических наук. 1996. - Т.51, N 2. - С. 145-148.

28. Булинский А.В. Некоторые асимптотические свойства Нединамических систем // Функциональный анализ и его приложения. 1995. - Т.29, в.2. - С. 64-67.

29. Булинский А.В. Неизоморфные потоки сдвигов на гиперфинитных факторах // Проблемы математики в физических и технических задачах. М: МФТИ, 1994. С. 211-220.

30. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

31. Гельфанд И.М., Наймарк М.А. О вложении нормированных колец в кольца операторов в гильбертовом пространстве // Мат. сб. 1943. - Т. 12. - С. 197.

32. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: Наука, 1961.

33. Гохберг И.Ц., Крейн М.А. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов // УМН. -1957. Т. 12. - С. 43-118.

34. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Ч. 1, Общая теория. М.: Мир, 1962; Ч. 2, Спектральная теория. - М.:Мир, 1966.

35. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

36. Додонов В.В., Манько В.И. Инварианты и коррелированные состояния нестационарных квантовых систем // Труды ФИАН им. П.Н. Лебедева. 1987. - Т.183. - С. 71-181.

37. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. М.: Мир, 1984, 262 С.

38. Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. -М.: Наука, 1970, 384 С.

39. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

40. Като Т. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир, 1972.

41. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.

42. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений // ДАН. 1940. - Т. 26, N 1. - С. 6-9.

43. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // ДАН. 1940. - Т. 26, N 2.- С. 115-118.

44. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН.- 1958. Т. 119, N 5. - С. 861-864.

45. Крейн М.А. О самосопряженных расширениях ограниченных и полуограниченных эрмитовых операторов // ДАН. 1945. - Т. 48. -С. 323-386.

46. Крейн М.А. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. II // Матем. сб. 1947.- Т. 29. С. 431-498.

47. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979.

48. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968.

49. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980, 384 С.

50. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.: Физмат-гиз, 1963, 284 С.

51. Рид М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1977.

52. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954.

53. Сакбаев В.Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредин-гера, вырождающегося на полупространстве // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2002. - Т. 42, N 11. - С. 1718-1729.

54. Сакбаев В.Ж. О свойствах решений задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегося на полупрямой // Современная математика и ее приложения. Труды конференции "Суздаль-411. -2003. Т. 10. - С. 176-192.

55. Секефальви-Надь В., Фойаш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1970.

56. Соловьев М.А. Алгебры пробных функций со звездочным произведением // Теоретическая и математическая физика. 2007. - Т. 153, N 1. - С. 3-17.

57. Тютин И.В. Общий вид *-произведения на алгебре Грассмана // Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 127, N 2. - С. 253-267.

58. Фок В.А. Работы по квантовой теории поля. Ленинград, 1957.

59. Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1987, 304 С.

60. Холево А.С. О математической теории квантовых каналов передачи информации // Проблемы передачи информации. 1972. - Т. 8, в.1. - С. 62-71.

61. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980.

62. Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 83, М.: ВИНИТИ, 1991, С. 5-132.

63. Холево А.С. О формуле Леви Хинчина в некоммутативной теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. - 1993. - Т. 38, No 4. - С. 842-857.

64. Холево А.С. Квантовые теоремы кодирования // УМН. 1998. - Т. 53. N 6. - С. 193-230; LANL e-print quant-ph/9808023.

65. Чеботарев A.M. Что такое квантовое стохастическое дифференциальное уравнение с точки зрения функционального анализа // Ма-тем. Заметки. 2002. - Т. 71. - С. 408-427.

66. Чеботарев A.M. Квантовое стохастическое уравнение унитарно эквивалентно симметричной краевой задаче для уравнения Шредин-гера // Матем. Заметки. 1997. - Т. 61. - С. 510-518.

67. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

68. Accardi L. On the quantum Feynmann Kac formula // Rendiconti del seminario matematico e fisico Milano. - 1978. - V. 48. - P. 135-180.

69. Accardi L., Frigerio A., Lewis J.T. Quantum stochastic processes // Publications RIMS Kyoto Univ. 1982. - V. 18. - P. 97-133.

70. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. White noise approach to classical and quantum stochastic calculi // Centra Vito Volterra, Universita di Roma "Tor Vergata", Preprint 375, 1999.

71. Accardi L., Amosov G.G., Franz U. KMS states on the square of white noise algebra // LANL e-print quant-ph/0208070 (2002).

72. Accardi L., Amosov G.G., Franz U. Second quantized automorphisms of the renormalized square of white noise (RSWN) algebra // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Rel. Top. 2004. - V. 7, N 1. - P. 183-194.

73. Accardi L., Schurmann M., von Waldenfels W. Quantum independent increment processes on superalgebras // Math. Z. 1988. - V. 198. - P. 451-477.

74. Ahern P.R., Clark D.N. On functions orthogonal to invariant subspaces // Acta Math. 1970. V. 124. P. 191-204.

75. Ahern P.R., Clark D.N. Radial limits and invariant subspaces // Amer. J. Math. 1970. - V.92. - P. 332-342.

76. Amosov G.G. Cocycle perturbation of quasifree algebraic K-flow leads to required asymptotic dynamics of associated completely positive semigroup // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Rel. Top. 2000. - V. 3. - P. 237-246.

77. Amosov G.G. On cocycle conjugacy of quasifree endomorphism semigroups on the CAR algebra // J. Math. Sci. 2001. - V. 105, N 6. - P. 2496-2503.

78. Amosov G.G., Holevo A.S., Werner R.F. On additivity/multiplicativity problems for quantum channels // Quantum communications, measurement and computing 3, Edited by O. Hirota and P. Tombesi, Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2001, 502 P.

79. Amosov G.G. On the Wold decomposition for cocycle perturbations of a quantum Levy process // MaPhySto Miscellanea. 2002. - N 22. - P. 10-11.

80. Amosov G.G. Stationary quantum stochastic processes from the cohomological point of view // Quantum Probability and White Noise Analysis XV, Edited by W.Freudenberg, World Sci. Publ. Co., 2003, 260 P. P. 29-40.

81. Amosov G.G. On Markovian cocycle perturbations in classical and quantum probability // Internat. J. Math, and Math. Sci. 2003. -N 54. - P. 3443-3468.

82. Amosov G.G., Man'ko V.I. Quantum probability measure for parametric oscillators // Physics Letters A. 2003. - V. 318, N 4-5.- P. 287-291.

83. Amosov G.G., Man'ko V.I. Quantum tomograms as von Neumann probaility distributions // Squeezed states and uncertainty relations, Rinton Press, 2003. P. 7-16.

84. Amosov G.G., Man'ko V.I. Quantum probability measures and tomographic probability densities // J. Russian Laser Research. 2004.- V.25, N 3. P. 253-266.

85. Amosov G.G., Baranov A.D. On perturbations of the group of shifts on the line by unitary cocycles // Proceed. Amer. Math. Soc. 2004. -V.132, N 11. - P. 3269-3273.

86. Amosov G.G., Man'ko V.I. Tomographic probability measure for many degrees of freedom and the central limit theorem // J. Physics A. -2005. V. 38, N 10. - P. 2173-2177.

87. Amosov G.G., Mancicni S., Man'ko V.I. Transmitting qudits through larger quantum channels // J. Physics A. 2006. - V. 39. - P. 3375-3380.

88. Amosov G.G. On the Weyl channels being covariant with respect to the maximum commutative group of unitaries // J. Mathematical Physics. 2007. - V. 48, N1. - P. 012104.

89. Amosov G.G. On strong superadditivity for a class of quantum channels // e-print quant-ph/0610098.

90. Amosov G.G. Strong superadditivity conjecture holds for the quantum depolarizing channel in any dimension // Physical Review A. 2007. -V. 75, N 6. - P. 060304.

91. Applebaum D.B., Hudson R.L. Fermion's Ito formula and stochastic evolutions //Commun. Math. Phys. 1984. - V. 96. - P. 473-496.

92. Araki H., Woods E.J. Representation of the canonical commutation relations describing a nonrelativistic infinite free Bose gas // J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - P. 637.

93. Araki H. On quasifree states of CAR and Bogoliubov automorphisms // Publ. RIMS Kyoto Univ. 1971. - V.6. - P. 385-442.

94. Araki H. Representations of the canonical commutation relations // Commun. Math. Phys. 1971. - V. 20. - P. 9.

95. Araki H. Expansional in Banach algebras // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. - V. 6. - P. 67-84.

96. Araki H., Yamagami S. On quasi-equivalence of quasifree states of the CCR // Publications RIMS Kyoto Univ. 1982. - V. 18. - P. 283-338.

97. Araki H. Bogolyubov automorphisms and Fock representations of canonical anticommutation relations // Contemp. Math. 1985. - V. 62. - P. 21-141.

98. D'Ariano G.M., Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Reconstructing the density operator by using generalized field quadratures // Quantum Semiclass. Opt. 1996. - V. 8. - P. 1017-1028.

99. Arkhipov A.S., Lozovik Yu.E., Manko V.I., Sharapov V.A. Center-of-mass tomography and probability representation of quantum states for tunneling // Theor. Math. Phys. 2005. - V. 142. - P. 311-323.

100. Arkhipov A.S., Lozovik Y.E., Man'ko V.I. Center of mass tomography for reconstructing quantum states of multipartite systems // Physics Letters A. 2004. - V. 328. - P. 419-431.

101. Arkhipov A.S., Man'ko V.I. Quantum transitions in the center-of-mass tomographic probability representation // Physical Review A. 2005. - V. 71. - P. 012101.

102. Arveson W. Continuous analogues of Fock space // Mem. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 80. - P. 1-66.

103. Arveson W. The index of a quantum dynamical semigroup //J. Funct. Anal. 1997. - V. 146. - P. 557-588.

104. Barreto S.D., Bhat B.V.R., Liebscher V., Skeide M. Type I product systems of Hilbert modules //J. Funct. Anal. 2004. - V. 212: - P. 121-181.

105. Bayen F., Flato M., Fronsdal C, Lichnerowicz A., Sternheimer D. Quantum mechanics as a deformation of classical mechanics // Lett. Math. Phys. 1975. - V. 1. - P. 521-530.

106. Beckner W. Inequalities in Fourier analysis // Ann. Math. 1975. - V. 102. - P. 159-182.

107. Belavkin V.P. Quantum stochastics, Dirac boundary value problem and the ultrarelativistic limit // Rep. on Math. Phys. 2000. - V. 46. - P. 359-382.

108. Belavkin V.P., Kolokol'tsov V.N. Stochastic evolution as a quasiclassical limit of a boundary value problem for Schrodinger equations // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Rel. Top. -2002. V. 5. - P. 61-91.110111112113114115116117118

109. Bennett C.H., Shor P.W. Quantum information theory // IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. - V. 44. - P. 2724-2742.

110. Bertrand J., Bertrand P. A tomographic approach to Wigner's function // Found. Phys. 1987. - V. 17. - P. 397-405.

111. Bhat B.V.R. Minimal isometric dilations of operator cocycles // Int. Equat. Oper. Theory. 2002. - V. 42. - P. 125-141.

112. Bhat B.V.R. An index theory for quantum dynamical semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. - V.348. - P. 561-583.

113. Bhat B.V.R., Partasarathy K.R. Markov dilations of nonconservative dynamical semigroups and a quantum boundary theory // Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. - V. 31. - P. 601-651.

114. Bhat B.V.R., Skeide M. Tensor product systems of Hilbert modules and dilations of completely positive semigroups // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. Rel. Top. 2000. - V. 3. - P. 519-575.

115. Bratteli 0, Robinson D. Operator algebras and quantum statistical mechanics II. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1981.

116. Cahill K.E., Glauber R.J. Density Operators and Quasiprobability Distributions // Phys. Rev. 1969. - V. 177. - P. 1882-1902.

117. Carey R.W., Pincus J.D. Unitary equivalence modulo the trace class for self-adjoint operators // American J. of Math. 1974. - V. 98. - P. 481-514.

118. Chebotarev A.M. Quantum stochastic differential equation is unitarily equivalent to a symmetric boundary value problem in Fock space //1.f. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Rel. Top. 1998. - V.l. - P. 175-199.

119. Connes A. Une classification des facteurs de type III // Annales Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. - T. 6. - P. 133-252.

120. Cortese J. The Holevo-Schumacher-Westmoreland channel capacity for a class of qudit unital channels // LANL e-print quant-ph/0211093.

121. Datta N., Holevo A.S., Suhov Y. Additivity for transpose depolarizing channels // LANL e-print quant-ph/0412034.

122. Datta N, Ruskai M.B. Maximal output purity and capacity for asymmetric unital qudit channels // J. Physics A: Mathematical and General. 2005. - V. 38. - P. 9785-9802.

123. Davies E.B. Quantum theory of open systems. London: Acad. Press, 1976.

124. Davies E.B. Irreversible dynamics of infinite fermion systems // Commun. Math. Phys. 1977. - V. 55. - P. 231-258.

125. Dixmier J. Algebres de von Neumann. Paris, 1957.

126. Dodonov V.V., Man'ko V.I. Positive Distribution Description for Spin States //Phys. Lett. A. 1997.- v.229. - P. 335-339.

127. Emch G.G. Generalized K-flows // Commun. Math. Phys. 1976. - V. 49.- P. 191-215.

128. Evans D. Completely positive quasifree maps on the CAR algebra // Commun. Math. Phys. 1979. - V. 70: - P. 53-68.

129. Faddeev L.D., Takhtadzhan L.A. Hamiltonian methods in the theory of solitons. Springer Series in Soviet Mathematics. IX, 1987.

130. Fannes M., Haegeman В., Mosconyi M., Vanpeteghem D. Additivity of minimal entropy output for a class of covariant channels // LANL e-print quant-ph/0410195.

131. Feldman J. Equivalence and perpendicularity of Gaussian processes // Pacific J. Math. 1958. - V. 8. - P. 699-708.

132. Feynman R.P. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. - V. 20. - P. 367-387.

133. Fivel D.I. Remarkable Phase Oscillations Appearing in the Lattice Dynamics of Einstein-Podolsky-Rosen States // Phys. Rev. Lett. -1995. V. 74. - P. 835-838.

134. Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order // Boundary problems in differential equations. The University of Wisconsin Press. Madison, 1960. P. 97-120.

135. Fock V. Konfigurationsraum und zweite Quantelung // Zs. f. Phys. -1932. V. 75. - P. 622.

136. Friedrichs K.O. Mathematical aspects of the quantum theory of fields. New York: Interscience Publishers, Inc., 1953.

137. Fukuda M., Holevo A.S. On Weyl-covariant channels // LANL e-print quant-ph/0510148.

138. Glauber R.J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field //Phys. Rev. 1963. - V. 131. - P.2766-2788.

139. Gohm R. Noncommutative stationary processes. Berlin-Heidelberg: Springer, 2004.

140. Gross E.P. Structure of a quantized vortex in Boson systems// Nuovo Cimento. 1961. - V. 20. - P. 454.

141. Gross E.P. Hydrodynamics of a superfluid condensate //J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - P. 195.

142. Guichardet A. Symmetric Hilbert spaces and related topics. Lecture notes in mathematics, V. 261, Springer, 1972, 197 P.

143. Heisenberg W. Die "beobachtbaren Groessen"in der Theorie der Elementartellchen 1 // Z. Physik. 1943. - V. 120. - P. 513-538.

144. Holevo A.S. Statistical structure of quantum theory. Springer, 2001, 159 P.

145. Holevo A.S. Levy processes and continuous quantum measurements // Levy processes. Theory and applications, ed. O.E. Barndorff-Nielsen et al., Birkhauser, 2001, P. 225-239.

146. Holevo A.S. Remarks on the classical capacity of quantum channel // LANL e-print quant-ph/0212025.

147. Holevo A.S., Werner R.F. Counterexample to an additivity conjecture for output purity of quantum channel // J. Math. Phys. 2002. - V. 43, N 9. - P. 4353-4357; LANL e-print quant-ph/0203003.

148. Holevo A.S., Shirokov M.E. On Shor's channel extension and constrained channels // Commun. Math. Phys. 2004. - V. 249, N 2. - P. 417-430; LANL e-print quant-ph/0306196.

149. Hudson R.L., Parthasarathy K.R. Quantum Ito formula and stochastic evolutions // Commun. Math. Phys. 1984. - V. 93. - P. 301-323.

150. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics, II // Prog. Theor. Phys. 1953. - V. 9. - P. 381-402.1.anovich I.D. Geometrical description of quantum state determination // J. Physics A. 1981. - V. 14. - P. 3241-3245.

151. Jauch J.M. Theory of the scattering operator // Helv. Phys. Acta. V. 31, N 6. - P. 127-158; N 7. - P. 661-684.

152. Journe J.-L. Structure des cocycles markoviens sur l'espace de Fock // Probab. Theory Rel. Fields. 1987. - V. 75. - P. 291-316.

153. Karpov E., Daems D., Cerf N.J. Entanglement enhanced classical capacity of quantum communication channels with correlated noise in arbitrary dimensions // LANL e-print quant-ph/0603286.157158159160161 162163164

154. Kato Т. Perturbation of continuous spectra by trace class operators // Proc. Japan Acad. 1957. - V. 33. - P. 260-264.

155. Keyl M. Fundamentals of Quantum Information Theory //Phys. Rep.- 2002. V. 369. - P. 431-548.

156. King C. Additivity for unital qubit channels // J. Math. Phys. 2002.- V. 43, N 10. P. 4641-4653; LANL e-print quant-ph/0103156.

157. King C. The capacity of the quantum depolarizing channel // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. - V. 49, N 1. - P. 221-229; LANL e-print quant-ph /0204172.

158. King C., Ruskai M.B. Minimal entropy of states emerging from noisy quantum channels // LANL e-print quant-ph/9911079.

159. Kraus K. States, Effects and Operations. Berlin: Springer, 1983.

160. Kubo R. Statistical mechanical theory of irreversible processes I //J. Phys. Soc. Japan. 1957. - V. 12. - P. 570.

161. Kummerer B. Markov dilations on iy*-algebras // J. Funct. Anal. -1985. V. 63. - P. 139-177.1.x P.D., Phillips R.S. Scattering theory // Bull. Amer. Math. Soc. -1964. V. 70. - P. 130-142.

162. Lewis H.R., Riesenfeld W.B. An Exact Quantum Theory of the Time-Dependent Harmonic Oscillator and of a Charged Particle in a Time-Dependent Electromagnetic Field // J. Math. Phys. 1968. - V. 10. -P. 1458-1473.

163. Liebscher V. How to generate Markovian cocycles on boson Fock space // Infin. Dimen. Anal., Quantum Probab. Rel. Top. 2001. - V. 4. - P. 215-219.

164. Lindblad G. Completely positive maps and entropy inequalities // Commun. Math. Phys. 1975. - V. 40. - P. 147-151.

165. Lindsay J.M., Wills S.J. Markovian cocycles on operator algebras adapted to a Fock filtration // J. Funct. Anal. 2000. - V. 178. -P. 269-300.

166. Mackey G.W. Mathematical foundations of quantum mechanics. New York: W.A. Benjamin Inc., 1963.

167. Malkin I.A., Man'ko V.I. Coherent states and excitation of N-dimensional non-stationary forced oscillator // Phys. Lett. A. 1970. - V. 32. - P. 243-244.

168. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Wigner function and probability distribution for shifted and squeezed quadratures // Quantum Semiclass. Opt. 1995. - V.7, no. 4. - P. 615-624.

169. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems //Phys. Lett. A. 1996. - V. 213. - P. 1-6.

170. Man'ko M.A. Soliton signals in tomographic representation // Squeezed states and uncertainty relations, Rinton Press, 2003. - P. 246253.

171. Man'ko O.V., Man'ko V.I., Marmo G. Alternative commutation relations,star-products and tomography // J. Physics A: Math, and Gen. 2002. - V. 35. - P. 699-719.

172. Man'ko O.V. Symplectic tomography of nonlinear coherent states of a trapped ion // Phys. Lett. A. 1997. - V. 228. - P. 29-35.

173. Man'ko O.V. Photon-number tomogram for two-mode squeezed state // Squeezed states and uncertainty relations, Rinton Press, 2003. P. 254-261.

174. Man'ko V.I., Mendes R.V. Non-Commutative Time-Frequency Tomography // Phys. Lett.A. 1999.- V.263, N.1,2. - P. 53-61.1781 Man'ko V.I., Man'ko O.V. Spin state tomography // JETP. 1997. -V. 85. - P. 430-434.

175. De Nicola S., Fedele R., Man'ko M.A., Man'ko V.I. Tomographic probability description of solitons in Bose-Einstein condensates // Eur. Phys. J. B. 2003. - V. 36. - P. 385-390.189190191192193194195196197

176. De Nicola S., Fedele R., Man'ko M.A., Man'ko V.I. Quantum tomography, wave packets and solitons // J. Russ. Las. Res. 2004.- V. 25, no. 1. R 1-29.

177. Ohya M., Petz D. Quantum entropy and its use. Texts and Monographs in Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

178. Parthasarathy K.R. An introduction to quantum stochastic calculus. -Birkhauser, 1992, 290 P.

179. Pearcy C., Salinas N. Compact perturbations of semi-normal operators // Indiana Univ. Math. J. 1973. - V. 22. - P. 789-793.

180. Pitaevskii L.P. Vortex lines in an imperfect Bose gas //Sov. Phys. JETP. 1961. - V. 13. - P. 451.

181. Powers R.T. An index theory for semigroups of *-endomorphisms of B(H) and IIi factor // Cand. J. Math. 1988. - V.40. - P. 86-114.

182. Powers R.T., Stormer E. Free states of canonical anticommutation relations // Commun. Math. Phys. 1970. - V. 16. - P. 1-33.

183. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte lengs gewisser Mannigfaltigkeiten // Leipz. Ber. Verch. Sachs. Akad. 1917. - V. 69. - P. 262 - 277.

184. Rocca F., Sirugue M., Testard D. Translation invariant quasi-free states and Bogoliubov transformations // Ann. Inst. Henri Poincare A. 1969.- V. 10. P. 247.

185. Rocca F., Sirugue M., Testard D. Quasifree states as equilibrium states under the Kubo Martin - Schwinger boundary condition // Commun. Math. Phys. - 1969. - V. 13. - P. 317.

186. Rocca F., Sirugue M., Testard D. On a class of equilibrium states under the KMS condition. II, Bosons // Commun. Math. Phys. 1970. - V. 16. - P. 119.

187. Rocca F. Complexification des evolutions quasi-libres // Cargese lect. in phys. 1970. - V. 4. - P. 323-333.

188. Rosenblum M. Perturbation of the continuous spectrum and unitary equivalence // Pacific J. Math. 1957. - C. 997-1010.

189. Schiller S., Breitenbach G., Pereira S., Muller Т., Mlynek J. Quantum statistics of the squeezed vacuum by measurement of the density matrix in the number state representation // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - P. 2933

190. Schurmann M. White noise on bialgebras. Lecture notes in mathematics, V. 1544, Springer, 1993, 146 P.

191. Schwinger J. Brownian motion of a quantum oscillator // J. Math. Phys. 1961. - V. 2. - P. 407-432.

192. Segal I.E. Postulates for general quantum mechanics // Ann. Math. -1947. V. 48. - P. 930.

193. Shor P. Additivity of the classical capacity of entanlement-breaking quantum channels // J. Math. Phys. 2002. - V. 43. - P. 4334-4340; LANL e-print quant-ph/0201149.

194. Shor P. Equivalence of additivity questions in quantum information theory // Commun. Math. Phys. 2004. - V. 246, N 3. - P. 453-472; LANL e-print quant-ph/0305035.

195. Sirugue M. Le etats quasi-libres de l'algebre de Clifford comme solution des conditions de KMS //Cargese lect. in phys. 1970. - V. 4. - P. 335348.

196. Umegaki H. Conditional expectation in an operator algebra. IV. Entropy and information // Kodai Math. Sem. Rep. 1962. - V. 14. -P. 59-85.

197. Bolotin K.I., Vasiliev M.A. Star-product and massless free field dynamics in AdS4 // Phys. Lett. B. 2001. - V. 479. - P. 421-468.

198. Vogel K., Risken H. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions of the rotated quadrature phase // Phys. Rev. A. 1989. - V. 40. - P. 2847-2849.

199. Weyl H. Gruppentheorie und quantenmechanik. Leipzig: S. Hirzel, 1928.

200. Wigner E.P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Phys. Rev. II. 1932. - V. 40. - P. 749-759.