Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коциклов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Слепухин Александр Сергеевич

ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ РАЗМЕРНОСТИ ХАУСДОРФА ОТРИЦАТЕЛЬНО ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ И АТТРАКТОРОВ КОЦИКЛОВ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 ОПТ 2012

Санкт-Петербург 2012

005052951

005052951

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

РАЙТМАНН Фолькер

доктор физико-математических наук, профессор ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет, профессор)

доктор физико-математических наук, профессор БУРКИН Игорь Михайлович (Тульский государственный университет, профессор)

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Защита состоится "07" ноября 2012 г. в И часов 00 минут на заседании совета Д 212.232.49 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14 линия В. О., д. 29, математико-механический факультет, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научней библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " ¿3 " 2012 г.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ .ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию коциклов, порождённых в первую очередь неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, изучению инвариантных множеств и глобальных аттракторов таких коциклов, а также оценке сверху размерности по Хаусдорфу этих инвариантных множеств и аттракторов.

Актуальность темы.

Теория коциклов является мощным инструментом в различных областях теории динамических систем. В частности, коциклы можно рассматривать в качестве обобщённых динамических систем и эффективно использовать их для исследования неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из наиболее важных и актуальных направлений в теории коциклов является изучение их глобальных аттракторов и оценка размерности (например, размерности по Хаусдорфу) таких аттракторов.

Важными результатами на пути развития теории общих динамических систем и их аттракторов были работы М. В. Бебутова [6], Р. К. Миллера и Д. Р. Селла [4], Д. Р. Векмана [5], П. Е. Клоедена и Б. Шмалфуса [2] и другие. Впервые общие верхние оценки размерности Хаусдорфа для отрицательно инвариантных множеств и аттракторов конечномерных динамических систем были получены А. Дуади и Д. Оэстерле [1]. Г. А. Леонов и В. А. Бойченко впервые ввели функции ляпуновского типа в оценки размерности Хаусдорфа инвариантных множеств [3, 7].

Диссертация является развитием указанных исследований из теории динамических систем на случай аттракторов и инвариантных множеств коциклов.

Цель работы.

Целью работы является обобщение на случай коциклов, в частности, порождённых неавтономными уравнениями, известных методов оценки размерности Хаусдорфа глобальных аттракторов динамических систем, использующих функции ляпуновского типа. Работа также направлена на развитие эффективных методов оценки сингулярных чисел линейных неавтономных систем, используемых в теории оценки размерности.

Методы исследования.

Для исследования аттракторов коциклов и их размерности Хаусдор-

фа, в частности, для коциклов, порождённых неавтономными обыкновенным дифференциальными уравнениями, в работе используются:

— общая теория глобальных аттракторов коциклов;

— развитие теории Дуади-Оэстерле о верхней оценке размерности Хаус-дорфа инвариантных множеств динамических систем;

— методы функций ляпуновского типа и матричных неравенств Ляпунова в оценке сингулярных чисел.

Результаты, выносимые на защиту.

— Получены теоремы существования коциклов, порождённых квазилинейным уравнением и системой Лоренца с непрерывными по времени возмущениями.

— Получены теоремы о существовании глобального В-аттрактора при вытягивании назад для коциклов, порождённых квазилинейным уравнением и системой Лоренца с непрерывными по времени, в том числе реккурентными или почти периодическими, возмущениями.

— Получено обобщение на случай коциклов известной теоремы Дуади-Оэстерле о верхней оценке размерности Хаусдорфа инвариантных множеств динамических систем.

— Получено обобщение на случай коциклов метода, использующего функции ляпуновского типа в теории оценки размерности по Хаусдорфу для динамических систем. Доказана теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств коциклов, порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

— Получена вехрняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного множества локального коцикла, порождённого системой Рёссле-ра с гладким по времени возмущением. Результат содержит как частный случай известную верхнюю оценку размерности Хаусдорфа инвариантного множества автономной системы Рёсслера [3].

— Для эффективной оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств коциклов получено обобщение метода матричных неравенств Ляпунова.

— Приведены результаты численных экспериментов, показывающие зависимость аттракторов системы Лоренца с различными возмущениями от класса таких возмущений и параметра.

Достоверность результатов.

Все основные полученные теоретические результаты математически строго доказаны.

При использовании доказанных методов верхней оценки размерности Хаусдорфа в частном случае для исследования отрицательно инвариантного множества локального коцикла, порождённого системой Рёсслера с возмущением, был получен результат, который содержит как частный случай известную оценку сверху размерности по Хаусдорфу инвариантного множества автономной системы Рёсслера [3].

Научная новизна.

Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования коциклов, в частности, порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальныи уравнениями, и верхней оценки размерности Хаусдорфа их глобальных аттракторов. Также полученные методы и результаты работы могут быть использованы для дальнейшего обобщения теории Дуади-Оэстерле верхней оценки размерности по Хаудорфу инвариантных множеств, в частности, на случай коциклов на многообразиях.

Апробация работы.

Результаты представленной работы докладывались на международных конференциях "Topology, Geometry and Dynamics: Rokhlin Memorial"(Санкт-Петербург - 2010), "PhysCon-2011"(Леон, Испания - 2011), "Science and Progress - 2011 "(Санкт-Петербург - 2011).

Кроме того, в рамках стипендиальной программы имени Леонарда Эйлера Германской службы академических обменов (DAAD) диссертант прошёл научную стажировку в Свободном университете Берлина, в течение которой были представлены доклады по теме диссертационной работы (2009).

Публикации.

Основные результаты диссертации представлены в 5 печатных работах [1*-5*], в том числе в 2 статьях [1*, 2*], опубликованных в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК.

В работах [1*-4*| соавторам принадлежит постановка задачи, все основные результаты получены диссертантом самостоятельно.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, включающего 53 наименования. Работа изложена на 113 страницах машинописного текста и содержит 41 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава полностью посвящена общей теории коциклов, в частности, порождённых неавтономными дифференциальными уравнениями. Исследуются вопросы существования коциклов и их глобальных В-аттракторов при вытягивании назад.

Пусть (в, ре) обозначает некоторое метрическое пространство, гдере ~ его метрика. Пусть задано непрерывное отображение <т:Мх 9—>6, действующее как (¿,0) н-> и удовлетворяющее следующим свойствам:

1) а\) = ¡ае;

2) а'+»(.) = а\-) о стй(.), для любых ¿,«6®.

Тогда пара ({сг^ек, (©,ре)) называется базисным потоком.

Пусть далее М С К" - открытое множество, рп - метрика в К™, порождённая евклидовой нормой, и пусть Ы рассматривается как топологическое пространство с индуцированной топологией и метрикой рц. Пусть Те{М,М+}, ©:=ТхвхЕп.

Пусть на множестве В задано непрерывное отображение ¡р:В —>Ы, действующее как (г,0,и)|-к£>((0,гх) и удовлетворяющее следующим свойствам:

1) •) = ¡с!^, для любых в <Е ©;

2) <р*+"{в, •) = </(<?, •)), для любых в € 9 и любых а 6 Т.

Тогда пара ({<р*(в, •)}вее. (¿Л ри)^ называется коциклом над базисным

потоком ({<т(}<бК,(е,ре)).

Пусть задано уравнение

й = /(г,и),

где / : Е х и —» Е" - непрерывное отображение.

Для правой части уравнения (1) задаются отображения сдвига

АЛ :=/(• + «,•).

для каждого і Є К, и берётся замыкание множества {/(• + і, •),£ Є М} всевозможных таких сдвигов в некоторой топологии.

Полученное множество 7і(/) = {/(■ + •), і Є М}, где черта означает замыкание в выбранной топологии, называется оболочкой /.

Пара ({<т(}гєк, (Ні/), Рщ/)))> построенная указанным образом, называется потоком Бебутова па оболочке ~Н(/)-

Далее рассматривается расширение исходного уравнения (1) на оболочку. Для этого используется непрерывное отображение взятия значения / : 'Н(/) х 1А —^ К", заданное для любых О Є Н(/) и и Є Ы как

¡(в, и) := 0(0, и).

Если вместо Оо брать /, т. е. правую часть уравнения (1), то

Т(а%в0),и) = /(і,и),

для любых £ Є К и любых и & Ы. Таким образом, рассматривается семейство уравнений

й = Па\в),и), 9 є Н(/), (2)

где і Є М, и Є Ы и где при в = во уравнение (2) совпадает с исходым (1).

Пусть для уравнения (1) с начальными данными ¿о Є К, щ Є Ы существует единственное глобальное решениеи(-, ¿о, ^о), определённое для всех і є Т, такое что и(Ьо,Ьо,щ) = щ. Пусть оно непрерывно и непрерывно зависит от начальных данных.

Тогда пусть ір((в0,и0) — и(90 + £,0(Ьио) для любых í є Е, 0 о Є Н(/),

и0 є Ы. Для таких а и ір пара ({ф*(в,-)}веН(./)ЛМ>Ри)} есть коцикл над

V геТ )

потоком Бебутова на оболочке, порождённый исходным уравнением (1).

Пусть для коцикла 1{<рЧв, Ри)\ задано отображение, действу-

V (ет /

ющее как 9е9и 2(9) С Ы, тогда совокупность 2 — {2(9)}вев называется неавтономным мнооюеетвом для заданного коцикла.

Неавтономное множество 2 = {2(9)}вев называется компактным, если для каждого 0 є в множества 2(0) С 1А компактны.

Неавтономное множество 2 = называется инвариантным

для заданного коцикла, если

для любых £ € М, в € В, и отрицательно инвариантным для заданного коцикла, если

для любых t 6 R+, 9 S ©.

Множество -Z называется глобально В-притягивающим при вытягивании назад [globally B-pullback attracting] для заданного коцикла, если для любого в € 0 и любого ограниченного множества В С И выполнено

Компактное, инвариантное, глобально б-притягивающее при вытягивании назад множество Z называется глобальным В-аттрактором при вытягивании назад [global B-pullback attractor] для заданного коцикла.

Далее в первой главе описываются классы дифференциальных уравнений с возмущениями, исследуемые в данной работе. Затем, также описыают-ся классы этих возмущений, приводятся их свойства. Кроме того, в первой главе доказаны теоремы существования коциклов, порождённых квазилинейным уравнением и системой Лоренца с непрерывными по времени возмущениями. Для этих коциклов доказаны теоремы существования глобальных В-аттракторов при вытягивании назад.

Система Лоренца с непрерывным по времени возмущением рассматривается в следующем виде

<р\в,2{0)) = 2{о*т

diet Иа-\в),В),3(в))

(-►+00

0.

х = а{у - x)+£x{t), у = гх - у - xz + ¿ = -bz + xy + £z(t),

(3)

ограниченная и равномерно непрерывная функция возмущения.

где а, г, Ъ > 0 — положительные

Пусть построено расширение системы (3) на оболочку Н(/), где / -правая часть (3).

Теорема 1. Коцикл, порождённый системой Лоренца (3) на оболочке, имеет глобальный В-аттрактор при вытягивании назад для всех значений параметров а,г,Ь > 0.

Вторая глава полностью посвящена вопросам оценки размерности по Хаусдорфу отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коциклов.

Пусть Ь : К" —> К" - линейный оператор и пусть а\{Ь) ^ ... ^ сип{Ь) обозначают его упорядоченные сингулярные числа с учётом кратности.

Пусть для любых <іє [0, п], таких что д = ¿а + в, где с?0 є {0,1,... ,п— 1} и в є (0,1]

Шкщ .= / аЛь)а2Щ ... а^Ща^Ь), при к > 0, У 1, при к = 0.

Величина и>а(Ь) называется функцией сингулярных чисел оператора Ь порядка й.

Пусть задан глобальный коцикл •)} вев , (Кп,рп)) над базисным

te R.

потоком ({<Tf}ieR, (Q,pe)), для которого отображения <р*{9,-) : К™ —> R" С'-гладкие для всех в € 9 и t Е М+ и пусть задано неавтономное множество Z = {Z(B)}geQ для этого коцикла.

Пусть выполнены следующие предположения.

(А1) Неавтономное множество Z = {2(в)}вее компактно и отрицательно инвариантно для коцикла.

(А2) Пусть д2ф1{0,и) : Кп -> Мп обозначает для произвольных точек {в, и) е 6 х К" и t > 0 дифференциал функции <р*{в,и) относительно и, который обладает следующими свойствами: i) для любых е > 0 и t > 0 функция

т;е(М):= sup «)(«-«)»

v,ueZ{6) - w||

0<||«-U||<£

ограничена на 6 n r]s(t,e) —^ 0 для каждого фиксированного i;

ii) для любых t > 0 выполнено

sup sup \\д2ф*(в,и)\\ор < 00,

0€в ueZ(0)

где ||L||op обозначает операторную норму L.

Пусть для произвольного множества Z с К™ величина dim// Z обозначает размерность Хаусдорфа множества Z.

Теорема 2. Пусть выполнены предположения (А1) и (А2) и следующие условия:

1) существует компактное множество К. С Кп такое, что

и 2(9) С /С;

й€в

2) существуют непрерывная ограниченная функциях: & х К" ■ момент времени т > 0 и число (I Е (0, п\ такие, что выполнено:

2(9)с2(аТ(9))-

н(аТ(в),^(9,и)) вир -тт:-г-[9, и)) < 1.

ч->

(0,и)евх>С

УС-

(в,и)

Тогда сИтя 2(9) ^ с1 для каждого 9 € ©.

Аналогичный результат получен для случая локальных коциклов. Пусть задано неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение

« = /(«,«), ' (4)

где / : К х К" —> К" — С^-гладкое (к ^ 2) отображение. Относительно (4) рассматривается оболочка /, заданная как

Н(Я = {/(• + *,■),*€ К},

где замыкание берётся в компактно-открытой топологии. Пусть далее

й = ?(аг(9),и), ее Н(/), (5)

есть расширение (4) на оболочку.

Пусть (5) порождает коцикл -)}йен(/) 1 (Кп,рп)) над базисным

\ ¿6®+ / потоком ({сг'}(6к, (К(/), р7Щ))), где отображение <р задаётся с помощью решения уравнения (5).

Пусть w(t,do,uo) обозначает решение вариационного уравнения вдоль траектории коцикла через точку (во, щ) € W(/)xRn. Вариационное уравнение имеет вид

w = d2f{at{eQ),ipt{0Q,uQ))w, (6)

где t € R+ и задано начальное условие ги(0,во,ги0) = Щ € Rn. Тогда

д2(рг(в0, Uq)wq = w(t, в0, w0)

для любых t € R+.

Пусть Ах (в, и) ^ Х2(в,и) ^ • • • ^ Ап(в,и) — упорядоченные собственные

і [д2¡(в,и) + д2/(в,и)1

, взятые с учетом кратности.

числа матрицы

Пусть 2 = {2(в)}о£н{}) ~ неавтономное множество для коцикла, порождённого дифференциальным уравнением (5).

Теорема 3. Пусть для коцикла, порождённого уравнением (5) выполнены предположения (А1), (А2) и следующие условия:

1) существует компактное мноэ/сество 1С С М" такое, что

и с ь

вещ/)

2) существуют 'непрерывная функция V : Н(/) х К" -» Е, для которой существуют производные ¿¡У(а1(0),<р1(в,щ)) вдоль данной траектории траектории коцикла, число т > О и число с£ є (0,п], записанное как <1 = «¿о + в, где ¿о Є {0,1,..., п — 1} и в Є (0,1], такие, что выполнено:

г /

2(9) с 2(аТ(в)У, Х1(<у\9),^(в,щ)) + ... + Хіо(аі(в),^(в,щ))+

dt < О

+ sXb+ifrW, uo)) + ^У(ст1(Є), <p\0, Щ))

для всех в є Н(/) и ще К..

Тогда сіітя 2(9) < сі для всех в є Ті(/).

Аналогичный результат получен для случая локальных коциклов.

Система Рёсслера с неавтономными коэффициентами имеет вид х = —у — z,

у = х, (7)

z = -b{t)z + a{t){y-y2), где а, Ъ : К —» R+ — гладкие функции, такие, что

a{t) = a0 + ai(i), b(t) = ba + bi(t).

Здесь an и bo — положительные константы, aj(-) и bi(-) — С'-гладкие функции, удовлетворяющие неравенствам

|oi(i)| «S еа0, |bi(i)| < £b0 (8)

для всех i 6 1, где с е (0,1) — малый параметр. Пусть существует I > О такое, что

|Ь(*)1 < d, (9)

для всех t € M.

Пусть оболочка Tï{f), где в качестве / берётся правая часть (7), компактна в компактно-открытой топологии.

Расширение системы (7) на оболочку имеет вид

х = -у- z,

У = Х, о е «(/). (10)

¿ = -Ъ{ст\0))г+Ца\в))(у-у2),

Семейство (10) порождает локальный коцикл [{^(в, -)}eeH(f) > Р«)]

\ te{ о,р(в,и)) J

над базисным потоком ({сгг}«ек, (W(/), Pn(f)))> гДе интервал [0, Р(в, и)) - неотрицательная часть максимального промежутка существования решения (10), проходящего через точку (в,и) G "H{f) х

Пусть для этого локального коцикла существует компактное неавтономное множество Z = {2-{9)}eeH(f)> Для которого выполнено:

1) существует компактное множество 1С С К" такое, что

U Z{9) С /С;

вещ/)

2) существует такое время 0 < г < min ß(d,u), что Z отрицательно

9eH(f) ueZ(6)

инвариантно для локального коцикла.

Пусть Лк((т\в),<Р*(0,х,у,г)), где к = 1,2,3, Ai(-, •) ^ Л2(-, -) ^ Л3(-, •) -упорядоченные собственные числа симметризованной матрицы Якоби \ д2!{сгь{в),(р1{в,х,у,г)) + д2/{сгг(в), 1р*(в,х,у, z))T для правой части уравнения (10) вдоль траектории локального коцикла.

Пусть У(аь(в), tp*(d, х, у, z)) есть функция Ляпунова, заданная для всех t € [0,г], (x,y,z) € К. и 9 € H(f) следующим образом

V{a\e),x,y,z) := 1(1 - s)£{z -Ь(о*{0))х),

где £ € R — варьируемый параметр.

Для оценки сверху размерности Хаусдорфа множества Z с помощью теоремы 3 проверяется неравенство

\г(а\в), <р*(в, х, у, z)) + А2(а'(0), ц>*(в, х, у, z))+

+ з\3(о*(0), <р*(в, х, у, z)) + х, у, z)) < 0

для всех, t € [0,г], (x,y,z) е К. и в € H(f).

После некоторых преобразований с использованием оценок (8) и (9) получена верхняя оценка

<Шпя2(0)<3--, -, (П)

(1 + е)Ь0 + ^/(а0 + 260)2 + b02 + 1 + е ■ С

для всех в G H(f), где множитель С > 0 вычисляется из параметров системы а о, b0, е, I системы (7). Множитель С ограничен сверху для любого малого ее (0,1).

При е —> 0 оценка (11) совпадает с извествной верхней оценкой размерности Хаусдорфа компактного инвариантного множества /С автономной системы Рёсслера [3]

2б0

dim# 1С ^ 3

bo+^J (а0 + 2Ь0)2 + Ь02 + 1

Далее доказана модификация теоремы 2 с использованием метода матричных неравенств Ляпунова.

Пусть для уравнения (4) построено расширение на оболочку (5), построен коцикл, порождённый этим уравнением, проведена линеаризация этого коцикла и получено вариационное уравнение (6). Пусть 2 = {2}дещ^ ~ неавтономное множество для коцикла.

Пусть У(аь(в),<рь(в,и)) := ¿^/(с*(в),1рь(в,и)) — матрица Якоби правой части системы (5).

Теорема 4. Пусть для коцикла, порождённого уравнением (5) выполнены следующие условия:

1) предположения (А1) и (А2) теоремы 2;

2) существует компактное множество 1С С Мп такое, что

и 2(в) С 1С; веН(Л

3) существуют непрерывная наН(/) функция <3, такая что для любого в 6 ~Н(/) — непрерывная симметричная положительно определённая матричная функция порядка п х п; и непрерывная на Н.(/) функция 7, такая что для любого в € И(/) Щб),<рЩв,;)). : Е+ х К -> К -непрерывная функция, для которых имеет место матричное неравенство

7{а\в), <р\в, и))ТЯ{а\в)) + Я{а\в))7{а\в), ¿(в, и))+,

для всех (0, и) е Н(/) х 1С, < С- X..; "Г' ' '

4) существуют такие т > 0 и <1 € (0, га], что

г

J[(п - ¿)%о*{0),(р'(в,и)) + Ьт1(а%в),^{в,и))}сИ< О, о

для любых (в, и) х К., и .

а?/2 (р{атт) К'2 {я(яттл)< 1,

для любых в € 6.

Тогда сНтя 2{в) ^ д, для каждого в € Н(/)-

В условии 3) неравенство означает, что симметричная матрица в левой части неотрицательно определена.

В условии 4) Ai (<2(<тт ((?))),и Ai (qKO?))-1) для всех в 6 H(f) обозначают наибольшие собственные числа матриц Q(aT(0)) и Q((TT(0))_1, соответственно.

В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов по локализации глобальных Б-аттракторов коциклов, порождённых системой Лоренца с различными непрерывными возмущениями. По результатам экспериментов можно проследить зависимость этих аттракторов от класса функции возмущения и параметров.

Список цитируемой литературы.

1. DuadyA., OesterleJ. Dimension de Hausdorff des attracteurs // Comptes Rendus de Г Academic des Sciences Paris Serie A. 1980. №290. P. 1135 1138.

2. KloedenP. E., SchmalfufiB. Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. V. 14, J\r= 1-3. P. 141-152.

3. LeonovG.A., Boichenko V. A. Lyapunov's direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors // Acta Applicandae Mathematica. 1992. V. 26. P. 1-60.

4 Miller R. K., ScllG.R. Existence, uniqueness and continuity of solutions of integral equations // Annali di Mathematica Рига ed Applicata.. 1968. V. 80. P. 135-152.

5. WakemanD.R. An application of topological dynamics to obtain a new invariance property for non-autonomous ordinary differential equations // Journal of Differential Equations. 1975. V. 11, Iss. 2. P. 259-295.

6. Бебутов M. В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций //' Бюллетень Механико-математического факультета. МГУ 1940. Т. 5. С. 1-52.

У. Леонов Г. А. Об оценках хаусдорфевсй размерности аттракторов // Востник ЛГУ. Серил 1. 1991. Вып.З. С. 41-44.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1*. Леонов Г. А., Райтманн Ф., Слепухин А. С. Верхние оценки хаусдорфовой размерности отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов // Доклады Академии Наук. 2011. Т. 439, №6. С.736-739.

2*. Райтманн Ф., Слепухин А. С. О верхних оценках размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. 2011. Вып. 4. С. 61-70.

3*. LconovG.A., ReitmannV., Slepukhin A. S. Upper Hausdorff dimension estimates for the global attractors of non-autonomous systems / Abstracts of the "Topology, Geometry and Dynamics: Rokhlin Memorial" conference, January 1116, 2010, Saint-Petersburg, Russia. 2010. P. 60-63.

4*. LeonovG. A., ReitmannV., Slepukhin A. S. Lyapunov functions in Hausdorff dimension estimates of cocycle attractors / Proceedings of the 5th International Conference "PhysCon", September 5-8, 2011, Leon, Spain. 2011.

5*. Slepukhin A. S. Lyapunov functions in Hausdorff dimension estimates of cocycle attractors / Proceedings of the 2nd International Conference "Science and Progress", November 14-18, 2011, Saint-Petersburg, Russia. 2011.

Подписано к печати 24.09.12. Формат 6Пх84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Гаймс. Печать цифровая. Неч. л. 1,00. __Тираж 100 экз. Заказ 5^21.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического фак\льтета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 425-0419

Введение

1 Существование коциклов и их глобальных ^-аттракторов

1.1 Основы теории коциклов

1.2 Коциклы, порожденные обыкновенными дифференциальными уравнениями

1.3 Рассматриваемые классы задач.

1.4 Изучаемые классы возмущений.

1.5 Существование коциклов для иссследуемых классов задач

1.6 Понятие глобального Б-аттрактора для коцикла.

1.7 Существование глобальных /3-аттракторов коциклов

2 Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных неавтономных множеств и глобальных В-аттракторов коциклов

2.1 Понятие размерности Хаусдорфа для неавтономного множества коцикла.

2.2 Теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных /^-аттракторов коциклов

2.3 Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных ^-аттракторов коциклов, порождённых обыкновенными дифференциальными уравнениями

2.4 Верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного неавтономного множества локального коцикла, порождённого системой Рёсслера с гладким по времени возмущением

2.5 Верхняя оценка размерности Хаусдорфа глобального В-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с квазипериодическим возмущением.

2.6 Обобщение неравенства Лиувилля с помощью матричных неравенств Ляпунова.

2.7 Использование матричных неравенств Ляпунова для модификации обобщённой теоремы оценки размерности

3 Численный анализ зависимости глобального 23-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с непрерывными по времени возмущениями, от класса таких возмущений и параметра

Теория коциклов является мощным инструментом в различных областях теории динамических систем [1, 5, б, 7, 8, 16, 19, 20, 27, 29]. В частности, коциклы можно рассматривать в качестве обобщённых динамических систем и эффективно использовать для исследования неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений [13, 16, 31, 32, 33, 38]. Эта теория даёт возможность для широкого класса неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений получить результаты аналогичные результатам для автономного случая: например, условия существования глобального аттрактора и его свойства [16, 17].

Важными результатами на пути развития теории коциклов и их аттракторов были работы М. В. Бебутова [41], Р. К. Миллера и Д. Р. Сел-ла [26], Д. Р. Векмана [38], П. Е. Клоедена и Б. Шмалфуса [16] и другие.

Основная идея построения коцикла заключается в следующем. Для заданного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения, используя топологический поток Бебутова, строится расширение этого уравнения на новое фазовое пространство. На языке полученного расширения появляется возможность получить обычные групповые или полугрупповые свойства динамической системы. То есть, используя такой приём расширения возможно, при некоторых технических предположениях, интерпретировать неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение как обычную динамическую систему (систему расширения).

На язык коциклов распространяется целый ряд понятий из теории динамических систем, таких как, инвариантные множества и аттракторы, а также появляются новые понятия: поглощающее при вытягивании вперёд (назад) [forward (pullback) absorbing] множество, притягивающее при вытягивании вперёд (назад) [forward (pullback) attracting] множество, аттрактор при вытягивании вперёд (назад) [forward (pullback) attractor] [1, 13, 16].

В представленной работе изучаются неавтономные системы, полученные из автономных с помощью внешнего возмущения. Особенно выделяются следующие классы функций возмущения: почти периодические функции, рекуррентные функции и, в общем случае, ограниченные и равномерно непрерывные по времени функции. Для таких возмущений можно построить функциональное пространство (оболочку) [41, 38], которое позволяет рассматривать семейство уравнений в расширенном фазовом пространстве.

Один из важных вопросов изучения аттракторов динамических систем — вопрос их размерности (например, размерности Хаусдорфа) [3, 7, 10, 14, 22, 28, 35, 42, 45, 46, 52]. Впервые общие верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов конечномерных динамических систем были получены А. Дуади и Д. Оэстерле в [10]. Г. А. Леонов и В. А. Бойченко в [22, 45] впервые ввели функции ля-пуновского типа в оценки размерности Хаусдорфа. Дальнейшее развитите эти подходы получили в [3, 21]. Некоторые из результатов [10] были обобщены на бесконечномерные динамические системы [37]. Используя понятие коцикла, также можно расматривать случайные динамические системы и соотвествующие случайные аттракторы. Элементы теории оценки размерности Хаусдорфа случайных аттракторов были развиты в [8, 20].

Для аттракторов коциклов вопрос верхней оценки размерности также рассматривается для различных классов систем [5, б, 7, 8, 20, 29]. Во всех этих работах предлагаются общие методы верхней оценки размерности без использования функций ляпуновского типа.

Первая глава представленной диссертационной работы посвящена общей теории коциклов, в частности порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями. В ней исследуются вопросы существования коциклов и их глобальных аттракторов.

В разделе 1.1 приведены общие определения коцикла. Далее, в разделе 1.2 показано, как связано понятие коцикла с изучением неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений и каким образом такие уравнения могут порождать коциклы. Для такой интерпритации исходного уравнения в виде коцикла в основном используется метод построения расширнения исходного уравнения на оболочку. Подробное описание этого метода изложено в разделе 1.2. Далее приведено описание классов задач (раздел 1.3) и классов неавтономных функций (раздел 1.4), которые в данной работе рассматриваются как приложение развиваемой теории, а также некоторые их важные свойства.

Затем обсуждается вопрос существования коциклов, в том числе, для рассматриваемых классов задач. В разделе 1.5 приведена общая теорема о существовании коцикла, и с её помощью получены теоремы существования коциклов для задач из раздела 1.3.

Главным объектом, изучаемым в первой главе, является глобальный В-аттрактор коцикла. Для построения этого аттрактора в разделе 1.6 изложены все необходимые определения. Завершается первая глава изучением вопроса существования глобальных Б-аттракторов для рассматриваемых классов задач из раздела 1.3. В разделе 1.7 изложены результаты этого анализа.

Вторая глава полностью посвящена вопросам верхней оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных аттракторов коциклов, в том числе, порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Сначала, в разделе 2.1 определено понятие размерности Хаусдорфа для неавтономных множеств коциклов. Затем, в разделе 2.2 сформулирована и доказана теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантах множеств коциклов для общего случая. Теорема приводится в двух формулировках: для локальных и глобальных коциклов.

Далее, как приложение общей теоремы оценки размерности, в разделе 2.3 сформулирована и доказана теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств коциклов, порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, включающая функции ляпуновского типа. Теорема так же сформулирована для локальных и глобальных коциклов.

В качестве примера в разделе 2.4 с помощью доказанной в разделе 2.3 теоремы об оценке размерности для порождённых коциклов получена верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного множества локального коцикла, порождённого системой Рёсслера с гладким по времени возмущением. Затем, в разделе 2.5 получена верхняя оценка размерности Хаусдорфа глобального /3-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с квазипериодическим возмущением.

Для эффективной оценки сингулярных чисел в полученных теоремах об оценке размерности из разделов 2.2, 2.3 в разделе 2.6 доказано обобщение неравенства Лиувилля на случай коциклов. Благодаря этому методу оценки сингулярных чисел в разделе 2.7 получена модификация теоремы оценки размерности из раздела 2.2, использующая матричные неравенства Ляпунова.

В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов по локализации глобальных ^-аттракторов коциклов, порождённых системой Лоренца с различными непрерывными возмущениями. По этим результатам можно проследить зависимость таких аттракторов от класса функции возмущения и параметров.

Основные результаты работы представлены в работах [23, 24, 34, 47,

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию коциклов, в частности порождённых неавтономными дифференциальными уравнениями, а также изучению аттракторов таких коциклов и оценке их размерности по Хаусдорфу.

В работе применяются современные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью общей теории коциклов и их глобальных аттракторов, а также обобщаются на случай коциклов методы оценки размерности по Хаусдорфу инвариантных множеств динамических систем.

В представленной работе получены новые теоремы существования глобальных аттракторов коциклов, порождённых некоторыми классами дифференциальных уравнений с непрерывными возмущениями. Основными результатами работы являются теоремы о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств общих коциклов, а также коциклов, порожднных неавтономными дифференциальными уравнениями. Кроме того, в работе представлены эффективные методы проверки условий этих теорем и, в частности, с их помощью получена верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного множества коцикла на примере системы Рёсслера с гладким по времени возмущением.

1. BoichenkoV. A., LeonovG.A. Lyapunov functions, Lozinskii norms, and the Hausdorff measure in the qualitative theory of differential equations // American Mathematical Society Translations Series 2. 1999. V. 193. P. 1-26.

2. BoichenkoV.A., LeonovG.A., ReitmannV. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. Wiesbaden: Vieweg-Teubner Verlag, 2005. 444 p.

3. Burkinl. M., LeonovG.A., Shepeliavij A. I. Frequency Methods in Oscillation Theory. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1996. 410 p.

4. CaraballoT., LangaJ.A., Valero J. The dimension of attractors of non-autonomous partial differential equations // ANZIAM Journal. 2003. V. 45. P. 207-222.

5. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. A Hausdorff dimension estimate for kernel sections of non-autonomous evolution equations // Indiana University Mathematics Journal. 1993. V. 42, № 3. P. 1057-1076.

6. Chepyzhov V. V., VishikM. I. Attractors of non-autonomous dynamical systems and their dimension // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1994. V. 73, № 3. P. 279-333.

7. CrauelH., FlandoliF. Hausdorff dimension of invariant sets for random dynamical systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 1998. V. 10. P. 449-474.

8. DoeringC.R., Gibbon J. D. On the shape and dimension of the Lorenz attractor // Dynamical Systems. 1995. V. 10, № 3. P. 255-268.

9. DuadyA., OesterléJ. Dimension de Hausdorff des attracteurs // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris Série A. 1980. № 290. P. 1135 1138.

10. Ermakovl. V., Kalinin Yu. N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equations. 2011. V. 47, № 13. P. 1837-1852.

11. FabbriR., Johnson R., Nünez C. On the Yakubovich frequency theorem for linear non-autonomous control processes // Discrete and Contirmoius Dynamical Systems. 2003. V. 9, № 3. P. 677-704.

12. GruneL., KloedenP. E., SiegmundS., WirthF. Lyapunov's second method for non-autonomous differential equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A. 2007. V. 18, № 2-3. P. 375-403.

13. HausdorffF. Dimension und äußeres Maß // Mathematische Annalen. 1919. V. 79, № 1-2. P. 157-179.

14. Horn R. A., Johnson C. R. Topics in Matrix Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. 608 p.

15. KloedenP. E., SchmalfufiB. Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. V. 14, № 1-3. P. 141-152.

16. KloedenP. E., Stonier D. Cocycle attractors in nonautonomously perturbed differential equations // Dynamics of Discrete, Continuous and Impulsive Systems. 1998. № 4. P. 221-226.

17. LedrappierF. Some relations between dimensions and Lyapunov exponents // Communications in Mathematical Physics. 1981. V. 81, № 2. P. 229-238.

18. LadyzhenskayaO. Attractors for Semi-Groups and Evolution Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. 74 p.

19. LangaJ.A., SchmalfufiB. Finite dimensionality of attractors for non-autonomous dynamical systems given by partial differential equations // Stochastics and Dynamics. 2004. V. 4, № 3. P. 385-404.

20. LeonovG.A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. Saint-Petersburg: St. Petersburg University Press, 2008. 162 p.

21. LeonovG. A., Boichenko V. A. Lyapunov's direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors // Acta Applicandae Mathe-matica. 1992. V. 26. P. 1-60.

22. LeonovG.A., Reitmann V., Slepukhin A. S. Lyapunov functions in Hausdorff dimension estimates of cocycle attractors / Proceedings of the 5th International Conference "PhysCon", September 5-8, 2011, Leon, Spain. 2011.

23. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Joural of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. P. 130-141.

24. Miller R. K., SellG. R. Existence, uniqueness and continuity of solutions of integral equations // Annali di Mathematica Pura ed Applicata. 1968. V. 80. P. 135-152.

25. PilyuginS.U. Introduction to Structurally Stable Systems of Differential Equations. Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. 184 p.

26. Reitmann V., Schnabel U. Hausdorff dimension estimates for invariant sets of piecewise smooth maps // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2000. V. 80. Iss. 9. P. 623-632.

27. Robinson J.C. A topological time-delay embedding theorem for infinite-dimensional cocycle dynamical systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. 2008. V. 9, № 3-4. P. 731-741.

28. Rössler O. E. Different type of chaos in two simple differential equations // Zeitschrift für Naturforschung A. 1976. V. 31. P. 1664-1670.

29. Sell G. R. Non-autonomous differential equations and topological dynamics, I. The basic theory // Transactions of the American Mathematical Society. 1967. V. 127. P. 241-262.

30. Sell G. R. Non-autonomous differential equations and topological dynamics, II. Limiting equations // Transactions of the American Mathematical Society. 1967. V. 127. P. 263-283.

31. Sell G. R. Lectures on Topological Dynamics and Differential Equations. London: Van Nostrand-Reinbold, 1971. 202 p.

32. Slepukhin A. S. Lyapunov functions in Hausdorff dimension estimates of cocycle attractors / Proceedings of the 2nd International Conference "Science and Progress", November 14-18, 2011, Saint-Petersburg, Russia. 2011.

33. Smith R. A. Some applications of Hausdorff dimension inequalities for ordinary differential equations // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1986. V. 104A. P. 235-259.

34. TakensF. Distinguishing Deterministic and Random Systems / Nonlinear dynamics and turbulence. Edited by G. I. Barenblatt, G. Jooss, D.D.Joseph. New-York: Pitman, 1983. P. 314-333.

35. TemamR. Infinite-Domensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. New York-Berlin: Springer, 1988. 648 p.

36. WakemanD.R. An application of topological dynamics to obtain a new invariance property for non-autonomous ordinary differential equations // Journal of Differential Equations. 1975. V. 17. Iss. 2. P. 259-295.

37. Wang U., ZhongC., ZhouS. Pullback attractors of nonautonomous dynamical systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A. 2006. V. 16. Iss. 3. P. 587-614.

38. Yakubovich V. A. Dichotomy and absolute stability of nonlinear systems with periodically nonstationary linear part // Systems к Control Letters. 1988. V. 11. Iss. 3. P. 221-228.

39. БебутовМ.В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций // Бюллетень Механико-математического факультета МГУ. 1940. Т. 5. С. 1-52.

40. БойченкоВ. А., Леонов Г. А. Об оценках размерности аттракторов и глобальной устойчивости обобщённой системы Лоренца // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1990. Вып. 2, № 3. С. 7-13.

41. ЖабкоА. П., Кирпичников С. Н. Лекции по динамическим системам. Часть 3. Устойчивые по Пуассону, рекуррентные и почти периодические движения. Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2004. 140 с.

42. ИльяшенкоЮ. С. О размерности аттракторов ^-сжимающих систем в бесконечномерном пространстве // Вестник МГУ. Серия 1. Математика и механика. 1983. Т. 3. С. 52-59.

43. Леонов Г. А. Об оценках хаусдорфовой размерности аттракторов // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1991. Вып. 3. С. 41-44.

44. Леонов Г. А. Формулы ляпуновской размерности аттракторов Хенона и Лоренца // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, № 3. С. 155-170.

45. Леонов Г. А., РайтманнФ., СлепухинА. С. Верхние оценки хаусдорфо-вой размерности отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов // Доклады Академии Наук. 2011. Т. 439, № 6. С. 736-739.

46. ПлиссВ.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1964. 304 с.

47. Райтманн Ф., СлепухинА. С. О верхних оценках размерности Хаусдор-фа отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика, механика и астрономия. 2011. Вып. 4. С. 61-70.

48. Харасахал В.Х. Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1970. 199 с.

49. ЧебанД. Н. Асимптотически почти периодические решения дифференциальных уравнений. Кишинёв: Издательский центр Молдавского университета, 2002. 230 с.

50. Чуешов И. Д. Конечномерность аттрактора в некоторых задачах нелинейной теории оболочек // Математический сборник. 1987. Т. 133, № 4. С. 419-428.

51. Якубович В. А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем. I // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27, № 4. С. 181-200.