Верхние оценки фрактальной и хаусдорфовой размерности аттракторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ляшко Сергей Андреевич

ВЕРХНИЕ ОЦЕНЮ! ФРАКТАЛЬНОЙ И ХАУСДОРЮВОП РАЗМЕРНОСТЕЙ АТТРАКТОРОВ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-мохашчо ского факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛЕ - доктор физико-штематичэских наук, профессор Леонов Г.А.,

кандидат физико-математических наук Бойченко В.Д..

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук, профессор Вавилов С.А.,

кандидат физико-математических наук ст.научн.сотрудник Пономарекко Д.В.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт проблем машиноведения РАН.

Защита состоится 19Э4 г. в /V часов

на заседашш специализированного согета К 063.57.49 по присуждению ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198804, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, математихо-механический факультет СЛОГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета то адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 10" _1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Иепелявый

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В поведении большого числа динамических систем обнаруживается явленно стохастичности. В фазовом пространства таких систем, описываемых системами обыкновенных диф^ренциальных уравнений, существуют особые ' притягивающие множества, получившие название странных аттракторов. Возможность количественного описания аттрактора дают его различные размрностныв характеристики. Ваквейшими из них являются фрактальная и хаусдорфова размерности. Трудности, которые возникают при экспериментальном определении величины размерности аттракторов, сделали актуальной задачу получения аналитических оценок фрактальной и хаусдорфовой размерностей.

Не менее важным для "чких систем является получение условий их глобальной асимптотической устойчивости.

Цель работы состоит в получении верхних оценок фрактальной и хаусдорфовой размерностей аттракторов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и условий глобальной асимптотической устойчивости автономных систем.

Метода исследования. В работе используются второй метод Ляцунова и результата теории слабо сжимающих: операторов в евклидовом пространстве.

Научная новизна. В работе получены теоремы, обобщающие ранее известные, о верхних оценках фрактальной размерности компактов, инвариантных при дайэренцируемых отображениях, фрактальной и хаусдорфовой размерностей аттракторов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, об условиях глобальной асимптотической устойчивости автономных систем.

Эти результаты позволили получить нетривиальные верхние оценки фрактальной размерности аттракторов известной системы Лоренца и системы,, возникающей при изучении волн в плазме.

Для широкой области параметров системы Лоренца доказана гипотеза Идена о верхней оценке хаусдорфовой размерности аттрактора. ' Получена таквд лучшая на сегодня оценка области глобальной асимптотической'устойчивости .системы Лоренца.

Ка основе полученных в диссертации результатов найдены оценки хаусдорфовой размерности аттрактора' и области глобальной

асимптотической устойчивости обобщенной системы Лоренца. Эти оценки применены к система Лоренца, систэмзм, описывающим взаимодействие волн в плазме и конвекции вращающейся жидкости.

Показывается, что подученные результаты улучшают известные.

Оценена также хаусдорфова размерность аттрактора пягикерной системы связанных гиростатов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в исследовании нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в поведении которых возможно явление стохастачьости. Результаты относительно обобщенной системы Лоренца могут быть использованы при изучении различных физических систем, сводимых к ней.

Апробация работы. • Основные результаты диссертации докладывались на Куйбышевском областном межвузовском научном совещании-семинаре (1984), на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механичэсксго факультета СЛОГУ (1991 -1994 гг.).

Структура и объел работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 68 наименований, изложена на 96 страницах машинописного токста.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы С1-31.

КРАТКОЕ СОДЕРЯАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цели исследования, обсуждаются известные методы и результаты, необходимые в дальнейшем изложении. Приводится краткая аннотация глав диссертации.

Первая глава посвящена верхним оценкам фрактальной размерности компактов, инвариантных при дифференцируемых отображениях, и аттракторов систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В § 1.1, используя методику, разработанную А.Дуада, Н.Оэстэрла, Р.Темамом, Г.А.Леоновым, В.А.Бойченко, доказаны теоремы, дающие верхние оценки фрактальной размерности компактов при дифференцируемых- отображениях. Пусть V - открытое

множество в ОТ; ф - отображение У в К" класса С, то есть для любой точки х(У прирзщение у(х) при перехода из х в точку х+Ъ. е V

допускает представление <^(х+Ь)-^(х)=(1'х<р)К+о(Ю, где ЗЧр -линейное преобразование- производная отображения <р в точке х; К и К - компакты, для которых выполнены соотношения К с К с ¡7, <ртШ с К при всех натуральных т. сКи^Я - фрактальная размерность Я. Рассмотрим покрытие Я шарами радиуса е>0 и обозначим

у.р(К,(1,ь)=1п/ 2с*3, \1р(К,Л}- ТШ^р(К,<1,е),

где й - положительное число, а нижняя грань берется по всем конечным покрытиям К. Пусть р,(х), рг(х), ...,рп(х) - отображения

и в I' класса С1 такие, что р^ , 5 р^Гл1^ ^ р1 г, ¿=1,2.....п,

где риг, рг ,, р2)2.....р^,. рП(2 - положительные числа.

Для линейного преобразования А с сингулярна™ числами «( > аг >

..а (т.е. собственными значениями преобразования ЛРГ) положим

ы}(А) = а(а2...а^, Введем обозначения:

С Р3(¥х))

"¿.кСРг^Р «Д-р^Г ^

. р/ФСЯ;;

шс/.к.р ,<р;=зир ш -г <р ,

3 к р^ "Ч

Теорема 1.1.1. Если Оля некоторого с? » -

натуральное, СКБ^) выполняются условия

ик lolfJ.K,p f"^)■ad-J (р ^..^Л-О

»♦■¡та1 1 А0 + 1,К а '

при 1=1,2,... ,<10 и < +00, шо 11т \х~[<рп(К),<Н=0.

т+н»

Теорема 1.1.2. Еоли для некоторого й = й0+3 (с10 -натуральное, Ос5<1) выполнятся условия 1

■Ш (р. ,,<рп1Л'*0

ИГ.+С01- •» ао+1,К °о+' Л

при „М,?,...,и Я *» (рСЯЛ по сггст^Х <$ й и для любого

натурального т \х?(ч>т(К) ,d)=0.

Теорема X.I.3. Если для некоторого d = d0+S (dQ -натуральное, CXS^I) выполнятся условия

л-j

w(jXpj.V)-u>(d0+1,i,pda+1,VА+) < i при J=1,2,...,ü и ц (Z.d) < но, то Ilm piJ<pm(K),d}=0.

m-»+oo

Теорема I.I.4. Если Оля некоторого й « d0+S (dQ -

натуральное, CXS<i1) выполняются условия

d-j

an

u>(J,K,p ,K,Pd +,.<P-> < 1

о

при J=1,2.....dQ u К « (pf£J, то dlK^K Z d и для любого

натурсиъного и

Теорема 1.1.4 обобщает результат Константина, Фойяша и Темама'. Последний получается из теоремы 1.1.4 при PjsU ■М.2.....dQ+1.

В § 1.2, используя теорему 1.1.4, получена теорема, позволяющая дать верхнюю оценку фрактальной размерности компактного инвариантного множества неавтономной нелинейной системы обыкновенных, дифференциальных уравнений, использующая функции Ляпунова3.

Рассмотрим систему

х - f(t,x), х е Кп.

Здесь вектор-функция f(t,x) непрерывно дифференцируема по х и t и действует из R'-G в R", где G с Еп- открытое множество. Обозначим через

'Тетал Е. Inflnlte-Dlmentional Dinaaiical System In Mechanics and Phisics. New York. 1988.

2Впервые функции"Ляпунова в оценке размерности были введены в Леонов Г.А. Об оценках хаусдорфовой размерности аттракторов // Веста. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1991. Вып.З. С.41-44.

ога.х) Ш,х)--

дх

матрицу Якоби функции /(Г,х). Пусть \jft.x) 2 Хга,х) 2 Хп(Х,х) - собственные значения матрицы

+ «г

о

Через аг^.д; обозначим решение системы (1.2.1) с начальным условием x(0,q)=q, где д с в. Будем также предполагать существование такого открытого множества О <= С, что из условия qí.D следует включение при t£[0,1J. Пусть У - оператор

сдвига по траекториям рассматриваемой системы, действующий из О в в и определенный равенством

Эf¿q) - qíD.

Пусть, наконец, К с о - компакт, для которого выполнено соотношение К = Э^^СК). Тогда справедливо следующее утверждение. Теореыа 1.2.1. Предположил, что существует целое число ,п-1 ], числа 3^(0,1], тхЭ и непрерывно дифференцируежш на К функции и^х), Уг(х),..., vd татю, что для 1,2.....й0

о

* X

чм Л

— -аир АХ.ЦХ^)) +

К -»О1 о

+

+ йа < О,

где vJ(x)=(grad vJ(x))*f(t,x) при ^1,2,...,й0+1. Тогда йЫг К < 60 +5.

В этом же параграфе доказаны аналогичные теоремы, но уже не использующие собственных чисел симметризованной матрицы Якоби правой части системы. При этом используются идеи Р.Смита и Г.А.Леонова.

В § 1.3 с помощью результатов предыдущего параграфа получены

нетривиальные верхние оценки фрактальной размерности аттракторов системы, описывающей взаимодействие волн в плазме, и широко известной системы Лоренца.

При рассмотрении волн в плазме получена следующая система"

х - Пу - х - уг,

у - Нх - уу + хг, . (1)

г = -г + ху,

описывающая взаимодействие трех резонансно связанных волн, две из которых возбуждаются параметрически. Здесь Л, V - положительные параметры.

Пусть компакт К, инвариантен относительно системы (1). Теорема 1.3.1. Если, и по

/г 54 h

f(v-lf +- + v - 1

13^3* - 35

<Ня_ К < -

7 ' 2(2+у)

Численным анализом у системы (1) установлено при Н=4,92 существование странного аттрактора. При этих значениях параметров из теоремы 1.3.1 вытекает, что фрактальная размерность этого аттрактора оценивается сверху числом 2,978.

Э.Лоренц* при рассмотрении конвекции в слое жидкости ввел следующую систему:

х ■ - ах + ау,

у - гх - у - хг, (2)

г = -Ъг + ху,

где. о,г,Ь - положительные числа. Эта сиотема знаменита тем, что в ее фаговом пространстве был впервые обнаружен странный аттрактор. Ко она интересна еще и тем, что к ней сводятся уравнения из различных областей естествознания.

Пиковский ¿.С..Рабинович М.И.,Трахтенгерц В.Ю. Возникновение стохвстичности при • распадном ограничении параметрической неустойчивости//ЖЭТФ. 1978. Т. 74. Вып. 4. 0. 1366-1374.

'Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.

Пусть компакт Кр инвариантен относительно систем (2). Теорема 1.3.2. Пусть выполнены неравенства

Ь 2 1, г 2 1, c+1-Zb > О,

гс?(4-Ъ) + 2а(Ъ-1)(2а-ЗЬ) - Ъ(Ъ-1)г > О.

Тогда

. atn,

о + 1 - гь + зУ(о-1)г + 4го

к. Í

2 2(а + Ъ + 1)

При наиболее часто встречающихся в численных экспериментах параметрах Ь=8/3, с =70 теорема 1.3.2 дает верхнюю оценку для dimменьшую 3, при г<14,1в.

Вторая глава диссертации посвящена верхним оценкам хаусдорфовой размерност? аттракторов и условиям глобальной асимптотической устойчивости автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3 § 2.1 с помощью обобщения Г.А.Леонова*'" теоремы Дуади-Оэстерле и аналога теоремы Хартмана-Олеха для система Лоренца в широкой области параметров доказывается гипотеза Идена о верхней оценке хаусдорфовой размерности аттракторов и оценивается область глобальной асимптотической устойчивости.,

А.Иден7 применительно к системе Лоренца (2) высказал гипотезу, которая заключается в том, что хаусдорфова размерность ' dlmu К аттрактора К системы (2) может быть оценена сверху через локальную хаусдорфову размерность в нулевом состоянии равновесия:

2(0 + Ь +1)

dlmB К $ 3--— . (3)

а + 1 + VÍo-íf + 4ra

Ранее эта гипотеза была доказана В.А.Бойченко и

"Леонов Г.А. Об оценках хаусдорфовой размерности аттракторов // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып. 3. С.41-44.

"Леонов Г.А. Об одном способе исследования глобальной устойчивости нелинейных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып. 4. С. 11-14. •

'Eden A. local lyapunov Exponents and local Estimate oi Hausdorif Dimension // Hath. Model and Numer. Anal. 1989. 7.23. .КЗ. P. 405-413.

Г.А.Леоновым*'0 при 1В настоящем параграфе показано, что гипотеза Идена справедлива для существенно более широкой области параметров г,Ъ,о. А именно, для

ъ^г, о+1-гь » о,

(4)

го2(4-Ъ)+2а(Ъ-1)(га-ЗЪ)-Ъ(Ъ-1)г > О ;

При этом, что особенно важно, в эти случаи включены наиболее часто рассматриваемые в численных экспериментах параметры г=28, Ъ-8/3, 0=10 И Г=40, Ь=4, а=16.

Теорема 2.1.1. Для систем (2) при условиях (4) выполнена оценка (3).

Творена 2.1.2. Если выполнены неравенства (4) и (о+Ъ)(Ъ+1)

г <--, (Б)

о

то систела (2) глобально асимптотически устойчива.

Далее показывается, что при Ь>2 и условиях (4) оценка (3) лучше оценки10

а + Ъ +1

аш„ к 4 з--, (в)

л л.

I

1

где 1г.' -' 2

оценки1

Ьг

а + b *

гУ ь-1

Is

dtn_. HJt - , (7)

* o+b+1tb2

Бойченко В.А., Леонов Г.А. О хаусдорфовой размерности аттрактора системы Лоренца // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. ¿11. 0. 1999-2000.

"Бойченко В.А., Леонов Г.А. Частотные оценки хаусдорфовой размерности аттракторов нелинейных систем // Ди®еренц. уравнения. 1ЭЭ0. Т. 26. Л6. .

"Smith H.A. Some applications- oi Hausdorff dimension inequalities lor ordinary differential equations // Proc. Roy. Soc: Edinburgh. 1986. V. 104A. JÖ-4. F. 235-259.

Ь(Г+а)

где U2= ~(а+Ы1)+ m(+ — . m,= тах(Ъ,а), mg= mln(1,a)\

4-/ m (Ъ-1)

оценки

dlma 152t

1

где . fe = -и оценки"'"

/г 2оЪг (а - 1) + ■-

/ьТ

dlmB К $ 3 -

о + Ъ +1

(9)

1

где й. = -

о + Ъ + / (а - Ъ) +

-/ Ъ-1

+ 2

or

При г=28, а=Ю, Ъ=3/3 оценка (в) дает сПтп К (2,665, оценка (7) - dlmJ¡ К €2,539, оценка (8) - <2£т„ К < 2,40в, оценка (9) - й1тЕ К 2,421. Получена также оценка '" &1тп К < 2,405. Оценка (3) дает й1тя К ^ 2,4013.

Показывается такке, что оценка (5) при Ъ>2 и условиях (4) лучше оценки"*

г <

г/ Ьг-1 ' с/ъТТ -(o+b) а + 1

•min

г/ о + 1 •(O+Ö; о + г I а + Ь + 1 V а + Ъ + 1 '

и. оценок"'"

Г <

4т/Ъ - 1 -(Ъ + 1)(а + 1)

а (Ъ

+ г/ь - v' j

,10)

dt)

ь

"Леонов Г.А., Буркин И.Н., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. Спб., 19Э2. 4.2.

"Ьеопот G.A., Bolchenlco V.A. Lyapunov'в Direct Method in the Estimation of Hausdorif Dimention oi the Attractors // Acta. Applic. Mathimatical. 1992. V. 26. P. 1-60.

г/П

г <

—•Го+Ъ)(о+1)(Ъ+1).т1п {—— , -1-1, (12)

аЬ [а + 1 Ъ - 1)

4(Ь + 1)(а + Ъ) г<--. (13)

2+

(а+Ъ)Ъг - 4(Ъ-1)г (а > 1)(Ъ - 1)

При о=Ю, Ь=8/3 оценка (10) дает г<3,29, оценка (11) -г<3,96, оценка (12) - г<4,4, оценка (13) - г<4,5, оценка (5) -г<4,64.

В § 2.2 доказываются две теоремы: о верхней оценке хаусдорфовой размерности инвариантных компактов в фазовых пространствах нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений и об оценке областей глобальной асимптотической устойчивости таких систем. В втих теоремах не требуется знания явного вида собствонных значений сидавтризованной матрицы Якоби правой части системы. При доказательстве использувтся результаты Р.Смита об оценке сингулярных чисел, обобщение Леонова аналога теоремы Хартмана-Олэха и методика Г.А.Леонова введения в оценки разморности функций Ляпунова.

Рассмотрим систему

х ~ /(х), X € Кп, / е С'. (14)

Пусть ¿(х) - матрица Якоби правой части этой системы, компакт К инвариантен относительно (14).

Хеореиа 2.2.1. Предположил, что существует вещественная непрерывная в 0?п функция v(x), для которой везде в выполнено неравенство

J(x) + ¿*(х) . г»(х)-1п 2 О, (15)

еде ±п - единичная п*п-латрица. Тогда, если существуют непрерывно дифференцируемая в Шп функция ц(х) и число р£10,п], Оля которых в Е" справедливо неравенство

(п-р)р(х) + ^ J(x) + 1(ы}(х) < О , (16)

то («Ид К < р.

Теорема 2.2,2. Пусть в фазовом пространстве системы (14) существует ограниченное открытое односвязное множество V такое,

что граница 80 пересекается строго вовнутрь любой, траеютюрией, выпущенной из дБ; сиотела (14) идеей конечное число состояний равновесия в области О, для нее выполняется неравенства (15) и (16) при р=2. Тогда любое решение этой сиспежы с начальных условиел б Б стрелится при {—ко к нексторолу состоянию равновесия.

В § 2.3 результаты предыдущего параграфа применяются к обобщенной системе Лоренца":

действительное число. К этой системе помимо система Лоренца (а-=0) сводится целый ряд систем из различных областей естествознания, причем и при в системе (17) численные

эксперименты обнаружили странные аттракторы. Некоторые из этих систем рассматриваются в следующем параграфе.

- Пусть компакт Я, - инвариантное множество системы (17), ААО -вещественный варьируемый параметр.' Обозначим

х « - ох + оу - ауг, у = гх - у - хг, г - -Ьг + ху.

(17)

где а,г,Ь - положительные числа, а

произвольное

Ь(а,Ь,г,а)= 1п/ А*0

г

Бойченко В.А., Леонов Г.А. Об оценках размерности аттракторов и глобальной устойчивости обобщенной системы Лоренца // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 2. С. 7-13.

Teopeua 2.3.1. Для систелы (17) при выполняется оценка

din К £ 3--2(° + Ъ+ 1) _

о + b +Dfo,b,r,cü

Teopeua 2.3.2. Вели Ь>1 и д(о,Ъ,г,а) < а+Ъ+2, то система (17) глобально асимптотически устойчива.

В § 2.4 результаты предыдущего параграфа применяются к конкретным системам, сводимым к системе (17).

Для системы, описывающей поведение волн в плазме, при v=1, ft-4,92 получено, что хаусдорфова размерность аттрактора этой системы оценивается сверху числом 2,246; а при v=1 и h<2,9655 система глобально асимптотически устойчива.

Для системы, описывающей конвекцию вращающейся жидкости",

а.о2

х = о(у - х)--"-— yz,

(a¿l + 1)г *

R

У = —fa0R + 1)х - у - xz, (18)

Z = —Z + ху,

где а, R, aQ - положительные параметры, и компакта Я, инвариантного относительно системы (18), получена теорема.

Teopeua2.4.1. Для систехи (18) выполнена оценка 2(а * 2)

йи^КЗ--• (19)

о + 1 + -/(0-1 )г +4R(aJít1)

В (18) при о»4, ао=0,04, R-250 численным моделированием обнаружено существование странного аттрактора. По формуле (19) имеем, что при етих значениях параметров величина хаусдорфовой размерности аттрактора оценивается сверху числом 2,891.

Для системы Лоренца и компакта Я, ивариантного относительно нее, получены следующие теоремы.

ГлуховскиЯ А.Б., Должанский В.Ф. Трехмодовые геострофические модели конвекции вращавдеся жидкости // Изв. АН СССР. Физика втм. и океана. 1980. Т. 16. *5. С. 451-462.

Теорема 2.4.2. При 1 $ Ъ $ 4 выполнена оценка

2(а + Ь + 1) (НИд К < 3--- .

о + Ъ + У(а-Ъ)г +4го

Теорема 2.4.3. При 1 « Ь < 4 и. г < (Ъ + 1){1 +

система Лоренца глобально асихптотмески устойчива.

Теореиа 2.4.4. При Ь>4 выполнена оценка 2(о + Ь + 1)

dta^ К < 3 -

о + b + Djfa.b.r)

/ г robf/b +1)

где Т),(а,Ъ,г) = /(о - Ъ) +- . i

' Y Ъ-1

Теореиа 2.4.5. При Ь>4 и г < )(Ьг-1) слетела

ob(VTV 1) Лоренца глобально асижтотчесш устойчива.

Результаты параграфа сравниваются с известными.

В § 2.5, используя результаты § 2.2, доказывается гипотеза

Идена для системы Лоренца при

ь<о. i «ь<4. г >imrff, aaií. ías5=á2±íM. (2о>

I О аг(4-Ъ) i

(При условиях (4) эта гипотеза доказана в § 2.1.) В этом же параграфе для области глобальной асимптотической устойчивости системы Лоренца доказана оценка (5) в условиях (20).

В 5 2.6 теорема 2.2.1 применяется для оценки хаусдорфовой размерности аттрактора пятимерной системы связанных гиростатов. -

Публикации, содержание основные результаты диссертации

1. Леонов Г.А., Лягаю С.А. О гипотезе Идена для системы Лоренца // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1993. Вып. 3. С. 14-16.

2. Леонов Г.А., Ляшко O.A. Верхние оценки хаусдорфовой размерности аттракторов. Балашов,1993. Деп. в ВИНИТИ 5.11.93, JS2766-B93, 19 с.

3. Леонов Г.А., Ляшко С.А. Прямой метод Ляпунова в оценках фрактальной размерности аттракторов. Балашов, 1993. Деп. в ВИНИТИ 5.11.93, J52767-B93, 16 С.