Случайные блуждания в случайных средах общего вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ6

1 3 ИОП 1303

РОССЧЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А.СТЕКГЮВА

На правау рукописи

БУТОВ Александр Александрович

ЧПК 519.21

СЛУЧАЙНЫ? БПУХДАНИЯ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ ОБШЕГО ВИДА (ПАРТИНГАПЬНЫЕ МЕТОДЫ)

(01.01.05 - теаоия вероятностей и математическая статистик?)

Автореюзоат диссертации на соискание ученой степени доктора оизикс'-матемвтичесцич наук

Москва 1993

Работа выполнена в Математическом институте имени Е.й.Стеклова.

Научный консультант -доктор гоизико-матгматмческиу. наVI: прптессор А.Н.Ширяев

Официальный оппоненты -

Ведущая организация - •

Защита диссертации состоится 1393 г. в

часов на заседании спецналиализиром иного ученого сое-ета Д002.~":3.03 при ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математическом институте имени В.А.Стеклоеа РАН по а'дрес\ : 117966. ГСП-1 Москва, ул.Вавилова,42.

С диссертацией можно ознакомиться в йивппоте^е института.

Автореферат разослан 1993 г.

Чченый секре^апо сивета доктор шнзнко-математических наук

поотессор д.С.Хо/ево

Актуальность темы. Одним из важны* разделов теории случайных процессов является теория процессов случайно--о блуждания. Перспективное направление развития этой области составляют исследования процессов случайного блуждания в случайных :редах. Изучению таим* процессов посвящено ёалыгар число работ (см. » частности Александер С., Бернасксни Т., Шнайдер В.Р. и ОРбах Р. ;П. Кавацу К. и Кестен Х.С21 .Синей Я.Г.СЗ] , Аншелееич В.В., Санин К.М. и Синай Я.Г.С43. Козлов С.М. С53, Летчиков Д.В. С63 и 'чблиограюия в 5тих работа*). Заметный интерес к задачам о 1лу.*даниях в случайны* средах объясняется большим числом адекватных юделгй физических, биологических и других объектавч Так наглядным юинером такой модели служит описание движения заряженных частиц в 1Роводнике: траектория процесса отвечает движению частицы, случайная даеда - это набор неотрицательных случайных величин, являющихся интенсивиостями" переходов частиц из одной области проводника в ругую. В большинстве работ предполагается, что соада симметрична 23, С41, т.е. "интенсивность" переходов из' некоторой области <■ в класть ) равна "интенсивности" обратных переводов - иэ j в I , что . теечает отсутствию тока в проводнике. Даже для такой постановки адачи исследования асимптотического поведения процессов представля-1т сложные задачии соответствующие предельные творВны нетривиальны существенна используют' свойства симметрии случайной сседс-). В оследкие годы появился орд- работ, е катосы* вместо симметрии редпапагаются иные свойства случайной срр-ш- отражательная имметрня, композиция симметрии и отражательной симметрии, ^зависимость и одинаковое распределение, интенсивно«:теп. Каждый из лу-чаее потребовал отдельного изучения и методов.

Н.^сущ-гай является ■ задача об исследовании поведения пооц<?ссов лучайного блуждания .в случайной сорлв общего вида: с "ннгснсие--зстями".н"е только не. регулярными случайными величинами том числе-.

не симметричными), ио являющимися случайными. зависящими от врет «ункционалами траекторий блужданий.

Цель работы. Цель предлагаемой работы состоит в том, чтобы осуществить описание случайной среды функционального типа и эволюционирующего е ней случайного блуждания. Для построенного объекта (среда.и процесс) необходимо развивается новая техника (в том чио/ методы "натуральной шкалы" и "замены меры" адекватно семимартингал ному представления процессов), что находится в едином новом напраЕ лении в изучений процессов случайного блуждания. В рамках данного описания предлагается рассмотреть теоремы существования объекта, р предельных теорем для нормированных процессов случайного блукдания оценки для распределений на конечны* периода* времени, исследовать на основе новой техники условно-марковские процессы (такие задачи, как построение оценок, вормуяироекг функциональных прелельных теорем, большие "уклонения, задача о пересечении границы и другие), ре шение смежных и прикладных задач (для модели системы массового обслуживания в'случайной среде, «ильтраичя для частично наблюдаемого объекта, непрерывны! дишаузионный аналог). Также предлагается нссл давать и задачу в обратной постановке - об оценивании параметров среды по наблюдениям траекторий эволюционирующего в ней случайного йлухдания.

■ ' Методика исследованияОписание объекта построено на оено "теории мартингалов" (Липцер P.E., Ширяев А,Н. С"]!. Двумя оскобны методами исследования, развиваемыми е настоящей работе. ягляст метод "натуральной шкалы" и метод 'оэмгны меры". Также используют применительно к данной схеме методы локального времени (здесь - ко пенсаторов. модулей мартингалов), методы обратного осемени и другие Научная новизна. Все осное-мые . Результаты работы являют ноеьии.

Теоретическая ч практическая ценность. Полученные в работе ре-!ультаты могут быть использованы для исследований случайных блужда-пчй в случайных средах- (в том числе в вопросах слабой сходимости >аспределений, задачах статистики., задачах шильтрации, при нсследо-■ании систем массового обслуживания).

Апробация результатов и публикации. Результаты работы доклады->.ались на конференциях 6-й EYSM (1989-в- Поаге), 7-й EYSM (1391. !берволм1ах. Германия), Seminaire Européen de Statistique (1992. 1ания), на семинарах в НИРАН, , ИППИ. ИЛУ, Литовский институт матема--ики и кибернетики и др. По теме диссертации опубликована 13 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения « трех глав , каждая из которых разделена на-параграфы. Текст работы ¡зложен на 217 страницах. Список литературы содержит 34-наимейова-)ия. Нумерация теорем.: лемм, утверждений и одомул отдельная в каждой ■лаве работы. . " 1

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.' Первая глава посвящена описанию объекта (случайный процесс в :пучайной среде оёшего вида) и развитии методов его исследования. 1атериал изложен в шести парагсаоах.

1.1. 8 j§ 1 главы: 1 диссертации - дано: oSuse представление процвс-

X = ' J" S зсуй (и ; X ; eis , dx )

О £

где , , , ХйЕ , Е - набор векторов, у которых

только одна из компонент отлична от нуля и равна +1 либо -1, -случайная мера скачков.

Отметим, что процесс X представим в виде разности двух векторных процессов. .'■'-.

; х = л - в

у которых компоненты являются'считавшими процессами общего вида. Распределение процесса X .таким образом, характеризуется Р) -компенсаторами А и б процессов А и В ','построенными по предсказуемой мере ~ компенсатору меры скачков,'рЛ (компенсатором будем называть для любого субмартингала (В^ процесс в его

разложении Дуба-Мейера - В0 ■+ -+ т^ с С^^^-к^-о ~ мартингалом; компенсатор У меры скачков ^И? отвечает соответственно мартингальной мере ~)Р) ). Случайной средой назовем упорядоченные компоненты меры :

£ = ««■>; X; С'»

где компоненты вектора - (У/, .определяются как компенсаторы мер скачков компонент процесса X "из точки К-Ж^ * (что отвечает традиции описания случайной среды): при { £ к & с£

=1СХ&-*1) X; Ыь, {Ф

_ о I ег.* .

В* Ая-

о ■ . , . ,

Предложенное описание позволяет единообразно (как для случая непрерывного, так и для дискретного времени) рассмотреть большой класс процессов.

Одним из . центральных моментов . е построении теории является

■ - ■ » _ - -

введение понятия натуральной, шкалы для процессов общего вида (обобщающее известное понятие для марковских процессов). При'этом наряду с блужданием X рассматривается (полученное с покошыо

'•..''.' - о - .. ■

шкалы <2Р > "синхронное" блуждание У-Ф(Х) : моменты и знаки скачков процессов X и У совпадают, их траектории кусочно-постоянны, шкала Ф = {< ФС/Ч О^^ , А/еЖ^] не едао*денна § ("Л/, ()-

— ф (Л/, () >0 VЫи такова, что процесс У~Ф(Х) -локально мартингал.

Возникает естественный вопрос: возможно ли такую шкалу ввести? Ответ содержится в следующей теореме,

Теорема 1. Пусть для к -й компоненты X* процесса X (4 £ К $ сС), эволюционирующего в случайной среде ё , выполняется следующее условие: предсказуемые меры (.сИ , ¿1 ]) и I//5 (с£4 , {-(} ) Р-п.н. эквивалентны для каждого се (и соответствующие производные - р-п.н. положительны, с траекториями из Л !..Тогда для К-й компоненты существует (и,■ в определенном смысле, единственна с точностью до нулевого "шага" Щ О = фкО, *)-Фк(0,

натуральная шкала

Если настоящее условие вьполнено для всех компонент К- !,..., Ж , то соответственно существует натуральная икала - Ф' ^Р^З.

С помощью шкалы Ф устанавливается взаимнооднозначное соответствие траекторий процессов X и У . что позволяет вместо исследований процесса X рассматривать поведение процесса У = Ф (X) , и о поведении X судить по характеристикам V и обратного отобоа-лвния Ф~':

X = Ф'(У) .

Однако оказалось, что. имеет место и следующий неожиданный результат: процесс "синхронного" блуждания У - не просто вспомогательный объект, но процесс, определяющий процессы локального времени: т.е. время "пребывания" процесса X на некотором усоене ¿еХ за период [0,~с] определяется компенсатором "урезанного" на уровне Ф ( О

ПЭШвсса V .

Тесоейа 2. Пусть для к -й компоненты процесса X еьлолнено услс еие теоремы 1, и пусть Ф* - соответствующая натуральная шкала У*= Ф"(ХК} . Тогда для ллбого (Г, Р)- м.о. Г ЪО х при 1>о

при ¿<0

где ,-О = <РКХг+1,Ы—ф^Су,*) - "шаг" шкалы, символ "л/

означает компенсатор.

Из этой теоремы следуют некоторые оценки для процессов X и У на конечных промежутках времени (в том числе неулучиаемые неравенства апр £ I У{ ), но особенно интересны ее применения в исследованиях асимптотического поведения распределений Х^ при о° .Та^ ОДНИМ из наиболее сбших результатов этой техники является следуиы.а$ теооема, увязывакшгя воедино конструкцию натуральной шкапы, нормировки процессов X и У и асимптотическое поведение нормированные процессов и нормированной шкалы Ф (здесь и далее для любогс процесса 2 = нормировкой будем называть лвйую нормируюшук

шункци-о -Гг«) такую, что 1(0}>С, 3 (п.) 4 сю при п -> и

р{ \ > АЗ =о

А-»с п -

¿¿™^>р{ {ъ^/Рсп) I <■e^ </

£ С И.-90О еИ&Т

для любого т.е. ноомпраеанныд гооцесс асимпто-

тически конечен и нееывожден).

Теорема 3. Пусть в схеме серия при и.-» « имеет м^сго слабая сходимость распределений ({ £ - - '

( ^Д —^ Л! =

где - некоторая нормировка, ЛТ - непрерьеню локзльньй мар-

тингал.. Пусть также существует строго монотонная случайная функция.с. регулярны™ траекториями = 0 , ¥(<*>, =: «»о,

и такая, что с некоторой ноомираекойпри любых С>0

и Т>&

ъ-ир о при л-»«

Тогда имеет место слабая сходимость распределений

а^/з^го при к-«

Заметим, что необходимые и • достаточные условия слабой сходимости распределений мартингалов хоогзию мэумены С71, и проверка; первого условия теосемы трудности нэ представляет. Проверка второго условия, как показано в гл.2, млпримео, ляп условно-марковских процессов также легко осуществим«*, , ■ ■

1.2. Во втором паоаграше пвевой -главы' диссертации. рассматривается метод-замены меры,, существенно дополняствий предложенный метод натуральной шкалы. Этот мчто*. Ггазеапявт получать предельные теоремы не только для простых структур сред § и натуральных шкал но

и в случае соответствия шкалы Ф со сложной структурой шкале со структурой простой.. " - ;

Пусть

а

- распределение траекторий процесса X на

и если

по мере О, случайная ссеаа имеет , -то по некоторой мере

А Л - Л

(&.<Х Сь) структура & может оказаться существенно гдааше. в том

-'"'"::-.. * л

числе асимптотическое поведение процесса X с распределением О.

хорошо изучено. Следовательно, задача исследования асимптотического

поведения X по мере (2 сводится к изучению асимптотического по' ■ Л

ведения отношения правдоподобия я Ы. / оСпри Ч ->• о®

В схеме серий при «.=» (с обозначением , г? - 2n.ii

как г^ = + /я^. >г&в мартингал

О

определяется из разложения.. Яолеан-Язд) справедлив следующий общий результат. . , "

Теорема 4. Пусть при кг -> со г^- гс (о 0<£е<оо й^-п.н,), и с некоторой нормировкой имеет место слабая

сходимость распределений (с мерами <2.Л )

сх?/^с«> , /ис х, ; ; ■

где (Л - непрерывный локальньй мартингал. Тогда имеет место слабая . сходимость распределений процессов (по мере. <2**>» "

<Х1/20*>)+>0 = \

где распределенное ^ процесса х связано с предельным распределе- ' нием Ы процесса сс соотношением , и ,

Здесь же в качестве иллюстрации рассматривается " процесс случайного блуждания в среде, представимой. как симметричная случайная - среда с "Функциональна зависимыми" возмущениями. Соотеетсгвуюк>«ч результат1 содержится в предельной теореме 5. *

1.3. В § 3 содержится отдельное исследование обиих свойств мар- * тингалов. Оно необходимо для зшшективного применения равенств теоремы 2 в поеделньЫ теорема* (в наютинга.пьны* термина* >. .

Теорема 6. Пусть Мп в (М™- локально квадратично интегрируемые мартингалы (с квадратичными характеристиками <!ГЛ (Х))>, удо-влетворяшими условии ваеномерной "щункциональнсй" непрерывности (3.21), для которых имеет место, слабая сходимость при <*>

А1Л ГА =

Тогда также имеет место и слабая сходимость совместных распределений при гг —»•

Обобщает этот результат на случай кусочно дважды непрерывно дитоеренцируемых функций < (Мп) > ) теорема 7. Из

теорем 2 и 6 вытекает следующая локальная предельная- теорема обарго вида.

Теорема В. Пусть выполнены условия теоремы 3 для некоторых нормировок -ГСп) и , и выполнены условия (3.2) теоремы 6 для

<М(Х)> ,§згл.п Уг>о к

2$ Р иГт. - <~>>] > *} = О

Пусть в схеме серий для номеров С имеет место сходимость при

и->со к некоторому (произвольному) числу :х-

Тогда при кг. —> оо имеет место слабая сходимость совместных распределений ."■'.;

-и -

1,4. В £ 4 приведен известный прием рассмотрения r.pauecca X в обратном времени: для Л = ( X и. и S Т с В виде отдельных утверждений приведены описания в обратном г-оемеки простых процессов блуждания с постоянней коэфшициентами. В теооеме S дано общее семимартингальное представление процессов А и ß с X — /{—Q . Следствием является возможность простого описания шкалы в немар.'.овском сл/чае (см. также § 5 гл.2).

1.5. Обшев семимартингальное представление лрсмвссов случайного блуждания вызывает еще один вопоос - о с-.-шэствсвании мецы ¿2 (распределения процесса X ) на Ц)^ .Эта проблема сердится к задаче об -отсутствии "взрыза"" траекторий. В § 5 в теоремах 10 и 11 стормули-рованы достаточные условия существования в терминах характеоистик случайной среды, охватывающие практически все широко известные случаи процессов в случайных средах. -

1.6. Б § 6 приведены некоторые обобщения основных результатов на скучай процессов с произвольными целочисленными скачками, и даны конструкции шкал с криволинейными траекториями, и кеазинатуральных скал - не точащихся натуральными, : нр приводящими - к. xopdiümu. результатам в силе предельных теорем. -V. - , .

2. Во второй главе изучается услоьнэ-мариовские прсцвссы случайного бпухдания в случайной среде. Отлетим, что б псоеой главе методами натуральной шкгяк, занеиы меры, локальнога ееенени палучены достаточно обац-иг результаты, и прежде всего предназначенные длч г<с-елвдований прошссое в «¡ункциш^ая>но ¡зависимой случай«« средаЛ ем интереснее занетить применимость 'этих o&s-rx «еюдсс к объекту хорошо чеучекнеку - услсвт-каркхюсы« ^ Как^ оказалось »шгиг

следствия теяеыи бсухданий обгего вида <гл.1 > является юйж и для

этого класса процессов. На основе методов натуральной шкалы в гл.2 изучаются одномерные условно-марковские процессы с "непрерывньи временем"; результаты (не претендуя на полноту е описании услсвно-мар-ковских процессов» аккумулируют то новее, что даот предложенные представления объектов и техника,

2.1. в § I метод натуральной шкалы развивается лля конкретного случая - неизменных интенсивности Я С» } , ( О , составляю»« случайнуо среду В . Оказалось. что общие результаты, приведенные в тл.1, для случая условно-марковских процессов позволяют найти общие выражения для нормировок Д^и) процессов случайного блуждания X"1=

Сформулировать условия, обеспечивавшие относительную компактность семейства распределений нормированных процессов I Ж*1 = Х^/Л/Сп) , л = 2, ... ]

Теорема 2 (гл.2). Пусть при п-*оо имеет место слабая сходимость

с №-ЛГ(*г)

ф(и-Л/) . X

U<00 "" С V С **■ С И < оо

п. ' Л с-м, Л/)/2.

где if f3 - непрерывная в нуле, у (О) - О , строго монотонная вункцмя с".траекториями из Ü ' . Тогда ;

lu*X Р { Ix" { > 4 1 -О

А-»о п *■ os&st . s J ,

Если такха для N - N(.>*■) и а (-А/ г /У) рыполнпются сизтноие-•««« '.''.. ' • . ' V. •

■ : ¿S^ - л/спЕуХА/с*) - о

го семейство распределений, ^эс"*, «г = /, 2.J...J относительно компактно

(здесь Л <-/V, л/; = -2__

л/ . у ^ С О -

М (к) . -

I - при £ и аналогично при с 4-/ )

Д

Настоящая теорема позволяет сводить задачу с поведении распределений процессов Х* к изучению закона больших чисел для ф (¿^ е ( I ) тем самым, определять нормировки дл!

процессов Хл ■ В Этом же параграше приведена оценка для локальноп времени в общем условно-марковском случае (теорема 3).

2.2, В ё 2 методом, основанным на конструкции натуральной шкаль исследуются две задачи с "несимметричными" случайными средами. £ первой рассматривается аналог (с "непрерывным временем") схемы, предложенной Синаем Я.Г. в СЗЗ. Эта задача здесь представляет интерес в качестве демонстрации метода в связи с "неклассическим' характером нормироеок. Вторая задача - об,асимптотическом поведенш, процесса чистого размножения.

2.3. В 53 рассматривается известная задача о больших уклонениях для случая процессов, эволюционирующих, в симметричной случайной среде. Обшие методы натуральной шкалы позволил1ъ применить техника стохастических экспонент, и получить экспоненциальную оценку.

Теорема 4 (гл.2). Пусть для симметричной случайной среды

выполняется ограничение О < С, £ Л (¿)зсг> Я- "

Тогда

ДЛЯ ЛЮБОГО МИСЛд осЦ конбчного 'Т СУ1Ш?СТВУбТ • коыстзнтз

С - С (а, Т, С4> сг) И номер п0 - п0 (а ,Т, с/г такие, что пл.

все* n>ti0 выполняется неравенство

Р{ ¡Xn.4l>«-'J S {-cij

Отметим, что в шормулировке результата собственно натуральная акала не участвует.

2.4'.' В § 4 общие методы развизаотся применительно к известной проблеме о пересечении границы. Предложены к рассмотрению две постановки задачи. В первой - для нормированного процесса хп= С с xf^Xn^. /{п , построенного по случайному блуждание X - ( в симметричной среде, и для дважды нгпрерьено диеяерёнаируемой положительной шункции -f(i) изучается асимптотическое поведение распределений моментов "пересечения границы

Эта задача., по существу, является некоторым распространением результатов Новикова ft.ft. [83 в область случайны* блужданий в случайный средах (предполагаются эьполненньии условия C8J для /СО).

Л*тверждение 5 (гл.2). При 7"-»со

. А* Р{бГ»>Т] . Um --—- —> 4 .

П-*С* (~жВ Г <¿s л

где 5 = ЕС</Х(0)> <°°

Аналогичная оценка приведена и для односторонней границы. - ¡

Значительно сложнее оказывается задача в схеме серий пси п - , _ / • оценить > ~ГС*-) }, где граница 7?>t) - прцизеольная

монотонно возрастапш&я санкция Т(п)-*гх> при п —* СО . Решение требует привлечения методов натуральной сжалы ц соответствуюпих равенств для локального времени (в теснинах компенсаторов).

' . ... ; : ' " ' : Г

Чтверждение 6 (гл.2). Пусть случайные величины n sJ.Z,...

обозначают (с А/ =Л/(м.) а и • >

/ . - -

f * = JI6W с<ДГ/</Ш)

о

Тогда при . л'г»во имеет место сходимость С?"/А (/л>) -fL» ]/E(4SA СО))/г- -ЯГ ,

"где 'Tv^T - компенсатор модуля винеровского процесса I И/^ / в. момент i ~ i. . ..

При каждом и^/ выполняется неравенство : ...

Р{е" ъ Т<.«.)} s [Е{4/&хр(%". (*

2.5. В $ 5 содержатся некоторые дополнительные сведения для многомерных условно-марковских блужданий (в том числе уравнения для условных вероятностей нахождения процесса X в состоянии ¿бЖ1^ ' •

3. Глава 3 посвяшена ' демонстрациям возможностей применения разработанной теории в некоторых смежных: областях. Прежде всего рассматривается ряд задач, обратных исходным, ..т.е. решается проблема оценивания параметров среды € при наблюдениях тоаекторий X ■ . ' В §1 приведен обивай критерий "различимости" случайных сред,-который в случае условно-марковской схемы сводится к. проверке возвратности состояний ¿е^^ для процесса /^ (утверждение 1, гл.ЗК В рамках этой модели устанавливается вид оценок максимума правдоподобия. :

Теорема t (гл.З). Пусть состояние Ж является возвратны«.

СО •

т.е; J 2(Xs=íj oís = оо P-n.Hv.

Тогда оценки и УЧ* СО интенсивностей Л*(0 и

для К = 2,... с '

t о ■ о

M со = Г /«*<_. «О / с = о «¿О

о 4 о

являются состоятельными и асимптотически нормальными со случайней нормирующими функциями соответственно

( I тех, = о** /лкс о и сîias=¿)cis/S-f(0)'/г

о * о :

<т.е. ошибка оценивания, умноженная на нормирующую функцию, схсаится

по распределению' к стандартному гауссовскому закону).

В этом же параграфе на основе общего метода замены меры изучается вопрос об оценивании параметров вУнкционально зависимой случайной среды, строятся асимптотически оптимальные оценки. Для процессов чистого размножения используется метод "квазинатуральной" шкалы,

В § 2 рассматриваются модели систем массового обслуживания в случайной среде. В утверждениях 3 и А (гл.З) формулируются предельные теоремы для нормированных процессов длины очереди соответственно для услсвно-маокоеской й оункционально-зависимой случагкнь.'х сред (преодолеть трудности, связанные с описанием процессов с отражением, помогает процедура рандомизации).

В § 3 областью применения общей теории служит задача шильтрации для процессов блуждания в случайной соеде. Здесь рассматривается простая демонстрационная модель типа схемы Калмана. Ненаблюдаемым является процесс блуждания X в симметричной случайной среде.•набля-_ деннсм — процесс У с интенсивностр-мн, линейно засисяшики от X н X , Показано, что распределения нормированных пооцессоз аг ** , с

г^п -Х^У/п, у" = слабо сходятся совместно с Калмановской

оценкой 7Г(ул) к распределением (X у) в схеме Калмана совмесгнс с оптимальной оценкой 7Г — С ¿) с ТГ^ ~ .

Рассматриваемые в §4 процессы не мо^ут быть включены в общу схему главы 1. Однако они служат демонстрацией возможности распрост ранения результатов общей теории на близкую область - теории диякоу зионньк процессов в случайной среде. Сказьеается, что -задача с асимптотическом поведении одномерны* процессов в случайной сред распадается на три подзадачи, каждая иэ которых в зависимости о наличия дополнительного сноса и диювузми имеет по два решения. Пр решении существенно используется прием, эквивалентный постооени натуральной шкалы, Обшее поведение нормированных процессов описыва ется шестью предельными теоремами (с номерами 3.1, 3.2. 4.1, 4.2 5.1, 5.2 в гл.З)

Автор приносит блзгойврность за помощь в работе ft.Н.Ширяеву.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Alexander S., Bernasconi J.,.Schneider W.R., Orbach R. Exitation dynamics in random one-dimensional systems //Rev. Modern Phys. 1S81. - V.53. N2.- p.175-193.

2. Kavazu K., ICesten H. On the birth and death process in symmetric rancio« environment //J. Statist. Phys, -1334. - У. 37, K516. -P.561-576.

3. Син.ай Я.Г. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде //Теория вероятн. и ее примен. - 1SS2. - т.27, Н2. - с.247 - 259.

4. Anshelevich V.V.. Khanin K.M.. Sinai Ya.G. Symmetric random ualks in random environments //Coraaun. Math. Phvs. - 1S82. -vol. 85. -p.449 - 470.

- ÎB -

5. Козлов С.М. Метод усреднения и блуждания в неоднородных средах /' ЧМН. -1S85.-т.40.выл,2.-с.61 - 120.

Ь. Letchickov A.V. Locali?ation of one-dimensional random walks in random environments //Sov. Sci. Rev. Math. Phys. - 1S39. - v.8. -p.173 - 220.

г. Липцер Р.Ш., Ширяев Й.Н. Теория март:(нгалов. - М.: Наука. 1936.

3. Novikov A.A. On the exit time of sums of bounded random variables out of a curve ^trip //Theory Prob. flpplic.-lSBl.-v.26.-p.287 - 301.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Работы с Формулировками результатов

1. Бутов А.Д. К вопросу о слабой сходимости последовательности семимзртингалов. к процессу диффузионного типа //ЧМН. - 13B3. -т.38, №5. - с.181-182. .

2. Бутов А.Д..Кричагина Е.В, "Рункцнональная предельная теорема для симметричного блуждания в случайной среде // ЧМН. - 1983., т.43, W2, - с.133-134.

3. Бутов А.А. Предельная теорема для процесса размножения и гибели в случайной среде функционального типа // ЧМН. - 19S0, - т.45, КЗ. - с.183-184. ■

4. Butov A.A. Procedures for estimation of the parameters of multidimensional random walk. - 7th EYSfl, Math. Forshunginstitut Dberuolfach. - 1391, p.5.

5. Бутов А.Д. Одномерные процессы размножении и гибели в случайной среде шункиионального типа //Тез. 6й Сов.-Японский семинар по теории еероятнос ,'ечч и математической статистисэ. Киев — 19S1. с.33.

6.Butov Q.ft. The martingale approach to the analysis of the

— IP - -

queueing networks generated by random environipent .-Seminaire European de Statistique, Denmark, 13S2, p.4.

Работы с Формулировками и доказательствами результатов

7. Butov ft,ft. On the multiplicity of the observable process in the general Kalraan scheme // Stochastics. - 13B2. - v.5, p. 175-132.

8. бутов ft.A,, Лмпцер Р.Ш. Дишоузионная аппроксимация с отражением для модели массового обслуживания с автономным прибором. - В сб, "Статистика и управление случайными процессами" , И.: Наука. -1SB8. - с.11-16.

S. ButovA.fi. Functional limit theorems for the process of birth and death. - pr. 6th EYSM, Prague. -1983. - p.35-45.

!0. Бутов ft.А. Некоторые оценки для одномерного процесса размножения и гибели в случайной среде // Теория вероятностей и ее применение, - 1591. - т.36, НЗ, с.561-565.'

11. Бутое А.О. Некоторые задачи статистики случайных сред при наблюдаемых процессах размножения и гибели // Сб. трудов МИРАН. Москва, т.202, 1993, с.22-32.

12. Бутов ft.А. МаРтингальные методы изучения процессов случайного блуждания в одномерной случайной среде //Теория вероятностей и ее применение, 1S93 , с. i - 13 (?> печати;

13. Butov A.A. Random walks in гепбоя environments cf the general type if Stochastics and stochastics reports. - 1393. - v.5,

p. 4-22.

Подписано в печать 19.10.93. Формат 60x84/16. Бумагаоберточная.. ■ л

Объем 1,25 ял. Тираж^О экз. Заказ93& Бесплатно.

Офсетвла лаборатория УлПИ. 432600, г.Ульяновск, улЗнгельса, 3.