Максимизация полезности со случайным вкладом и хеджирование платежных обязательств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Хасанов Руслан Ваизович

МАКСИМИЗАЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ СО СЛУЧАЙНЫМ ВКЛАДОМ И ХЕДЖИРОВАНИЕ ПЛАТЕЖНЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 * мар т

Москва-2013

005050520

005050520

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Гущин Александр Александрович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, профессор кафедры теории функций и функционального анализа;

доктор физико-математических наук,

доцент Рохлин Дмитрий Борисович,

Южный федеральный университет,

факультет математики, механики и компьютерных наук,

профессор кафедры высшей математики и исследования

операций.

Ведущая организация:

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики".

Защита диссертации состоится 29 марта 2013 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 28 февраля 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Описание оптимального способа инвестирования и хеджирование платежных обязательств являются одними из основных проблем в стохастической финансовой математике. Данные вопросы, как правило, находятся в тесной взаимосвязи с понятием арбитража на финалсовом рынке.

Под арбитражем обычно понимается безрисковая финансовая стратегия, позволяющая инвестору с положительной вероятностью получить прибыль от торговли на финансовом рынке. С точки зрения экономической теории арбитражные стратегии могут существовать на рынке лишь непродолжительное время, ведь ими поспешат воспользоваться инвесторы, что приведет к изменению цен финансовых инструментов, установлению на рынке состояния равновесия и исчезновению прибыльных стратегий. Однако с точки зрения современной теоретической финансовой математики рынки с наличием арбитража (в определенных смыслах) рассматриваются достаточно часто и представляют собой большую область для исследования уже решенных классических задач при более слабых допущениях, а также для создания контрпримеров.

С давних времен актуариями используется принцип эквивалентности, состоящий в том, что стоимость финансового инструмента (или денежного потока) вычисляется как математическое ожидание от дисконтированной суммы будущих выплат. Если рассматривать семимартингальную модель рынка с конечным числом активов, динамика цен которых задается процессом 5, то впервые в классических работах Ф. Блэка, М. Шоулза1 и Р. Мертона2 доказывается, что указанное ожидание необходимо брать по мере Q, относительно которой процесс S является мартингалом. Данный факт связывает понятие справедливого (риск-нейтрального) оценивания финансовых инструментов и понятия арбитража. С конца 1970-х годов начинается более глубокое изучение зависимости существования мартингальных мер для процесса цен активов и выполнения условий отсутствия арбитража. Отметим здесь выдающуюся работу Ф. Делбаена и В. Шахермайера3, в которой была доказана эквивалентность введенного ими понятия отсутствия арбитража в смысле NFLVR (no free lunch with vanishing risk) и существования эквивалентной а-мартингальной меры для процесса S (FTAP,

1 Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy, 1973, Vol. 81, p. 637-659.

2 Merton R. C. The theory of rational option pricing // Bell J. Econ. Manag. Sei, 1973, Vol. 4, p. 141-183.

zDelbaen F., Schachermayer ]V. The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Unbounded Stochastic

Processes // Mathematische Annalen, 1998, Vol. 312, №2, p. 215-260.

Fundamental theorem of asset pricing). В литературе на данный момент также часто используются понятия отсутствия арбитража в смысле NA (по arbitrage, см.4,5,3)ив смысле NUPBR (по unbounded profit with bounded risk, см.6,7,8'9). Широкое применение в стохастической финансовой математике, в том числе и в настоящей диссертации, нашел метод замены единиц измерения капитала. В связи с этим значимыми являются работы, в которых изучается, сохраняются ли условия отсутствия арбитража при замене единиц измерения капитала. Так, в работе5 данные исследования проведены для условия NA, а в работе6 — для условия NUPBR. В диссертации вводится новое понятие отсутствия сильного арбитража, доказывается аналог FTAP, состоящий в том, что введенное условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию абсолютно непрерывной относительно исходной меры (конечно-аддитивной) разделяющей меры, и доказывается, что данное условие сохраняется при замене определенным способом единиц измерения капитала.

Если имеется платежное обязательство, приносящее инвестору случайную прибыль (убыток) В и заданное на вероятностном пространстве (Q, Р), а я/(х) является множеством допустимых терминальных капиталов (полученных, например, от торговли имеющимися на рынке активами) инвестора с начальным капиталом х, то задачу определения верхней цены хеджирования можно описать, как нахождение такого минимального капитала х, для которого найдется терминальный капитал £ G д/(х), что

При изучении поставленной задачи нахождения верхней цены хеджирования, а также задачи максимизации полезности в качестве моделей финансового рынка зачастую рассматривают динамические модели, в которых дисконтированные цены базовых рисковых активов описываются случайным процессом S (при самых общих предположениях являющегося семимартин-галом), инвестиционные стратегии — предсказуемыми ¿'-интегрируемыми процессами Я, а доходы инвестора Xt к моменту времени t при задан-

*Delbaen F., Schachermayer IV. A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing // Mathematische Annalen, 1994, Vol. 300, №1, p. 463-520.

bDelbaen F., Schachermayer W. The no-arbitrage property under a change of numéraire // Stochastics and Stochastic Reports, 1995, Vol. 53, p. 213-226.

6Karatzas I., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models //' Finance and Stochastics, 2007, Vol. 11, №11, p. 447-493.

7 Takaoka K. On the condition of no unbounded profit with bounded risk. Graduate School of Commerce and Management, Hitotsubashi University, working paper, №131.

8Kardaras K. Market viability via arbitrage of the first kind // Finance and Stochastics, 2012, Vol. 16, №4, p. 6514567.

9Kardaras C. Finitely additive probabilities and the Fundamental Theorem of Asset Pricing //' Contemporary Quantitative Finance (Platen Festschrift), Springer, 2010, p. 19-34.

ной стратегии Я представляются векторными стохастическими интегралами = (Я ■ S)t = /0 НийЗи. В качестве (х) тогда берут множество ¿¡¿(х) := {х + (Я • 5)^': Я е Ж'(х)}, где Т — заключительный момент времени операций на финансовом рынке, а Ж (я) — множество допустимых стратегий, реализуемых при начальном капитале х.

Задача нахождения верхней цены хеджирования впервые была поставлена и исследована в работе10, где авторы работали в модели с непрерывным временем, при этом цены основных активов являлись многомерным диффузионным процессом. Независимо в работе11 изучалась аналогичная задача в модели с дискретным временем и конечным вероятностным пространством. Результаты работ в данной области исследования носят название "супер-хеджирующие теоремы", позволяющие явным образом вычислять верхние значения хеджирующих цен. Основной вклад в решение данной задачи в семимартингальной модели финансового рынка с конечным числом активов в случае, когда процесс 5 цен активов является локально ограниченным, множеством допустимых стратегий инвестора, капитал которых равномерно ограничен снизу константой, и ограниченного снизу платежного обязательства В был внесен в работе3. В ней искомое значение цены вычисляется как

где — множество эквивалентных локально мартингальных мер про-

цесса у?. В работе3 данное исследование было проведено для случая произвольного процесса цен, более широкого класса ^-допустимых стратегий инвестора и ^-ограниченного снизу платежного обязательства. Верхняя цена хеджирования здесь определяется но формуле

при этом ^¿(S) — множество ст-мартингальных мер процесса S с некоторым дополнительным предположением. Некоторые недостатки данных формул состоят в следующем: во-первых, они доказаны при достаточно сильном требовании о существовании локально (или а-) мартингальной меры, эквивалентном в свою очередь условию NFLVR, и во-вторых, верхняя грань в формулах (1) и (2), как правило, не достигается. В случае, когда множество = х + stf для некоторого не зависящего от х выпуклого конуса srf, мы доказываем суперхеджирующую теорему, из которой следует,

10El Karoui N., Quenez М.-С. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market 11 SIAM Journal of Control and Optimization, 1995, Vol. 33, №1, p. 27—66.

llNaik V., Uppal R. Leverage constraints and the optimal hedging of stock and bond options // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1991, Vol. 29, №2, p. Х9Э-222.

sup Eq B,

Q6 JC°{S)

(1)

sup Eq jB,

Qe.<«(S)

(2)

что всегда найдется (конечно-аддитивная) мера, доставляющая максимум в формуле для верхней хеджирующей цены. Также мы априори не налагаем на модель никаких условий на арбитраж, но показываем, что рассматриваемая задача нетривиальна лишь в случае отсутствия сильного арбитража, вводимого и изучаемого нами в главе 1. В том случае, когда л/(х) есть множество терминальных значений неотрицательных процессов капитала в семимартингальной модели финансового рынка с конечным числом активов, мы доказываем, что верхняя цена хеджирования выражается в виде верхней грани по множеству локально мартингальных или, эквивалентно, cr-мартингальных плотностей, существование которых равносильно условию NUPBR (независимому от условия сильного арбитража). В предположении, что — это множество терминальных значений процессов капитала,

ограниченных снизу константой, мы изучаем взаимосвязь рассматриваемых нами цен хеджирования.

Концепция максимизации ожидаемой полезности восходит к 1950-м годам, в частности, работе Дж. Тобина12, в которой были представлены теоретико-вероятностные обоснования портфельной теории Марковича, основанной на анализе ожидаемых средних значений и дисперсий случайных величин. Одной из предпосылок к сравнению именно средних ожидаемых доходов стали монографии Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна13 и Л. Сэви-джа14, где поставленный набор аксиом привел к представлению полезности того или иного исхода £ в виде математического ожидания Ер[/(£) по некоторой вероятностной мере Р от некоторой функции полезности U :

= Е Ри(0-

Если предпочтения инвестора описываются возрастающей вогнутой функцией полезности U: К —> R U {—ос} и случайность на рынке реализована через вероятностное пространство (Q, Р), то стандартная задача максимизации ожидаемой полезности от терминального капитала может быть поставлена в виде

sup Epl/(0, (3)

где, как и прежде, множество состоит из всех возможных терминаль-

ных капиталов инвестора, имеющего начальный капитал х.

Наряду с задачей максимизации полезности от терминального капитала в литературе рассматриваются и более общие постановки. В том случае, если инвестору неизвестно, какой вероятностной мерой Q описывается будущее

12 Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Rev. Econ. Stud., 1958, Vol. 25, p. 68-85.

13 Von Neumann J., Morgenstern О. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, 1944.

14Savage L. The foundations of statistics. N. Y.: Wiley, 1954.

состояние рынка, но есть предположение, что данная мера содержится во множестве .2, то рассматривается задача максимизации робастной полезности, имеющая вид

sup inf ЕQU(t). (4)

Элементы множества Ш обычно называют субъективными мерами, и вид функционала полезности говорит о том, что инвестор не склонен к риску и выбирает наихудший для себя сценарий.

Еще одна проблема максимизации полезности возникает в задачах с "потреблением", когда инвестор извлекает прибыль (и потребляет) на протяжении всего временного горизонта, а не только в терминальный момент времени. Функции полезности U(t,-) могут варьироваться со временем. План потребления С в момент времени t £ [О, Т] определяется случайной нормой потребления c(t) ^ 0, а общий объем потребления на промежутке [i, t + dt] З'величивается на c(t)dt. Если за Хс,р обозначить процесс капитала, отвечающий инвестиционной стратегии Р и плану потребления С, то его изменение dXc'p будет удовлетворять соотношению dXc'P = —c(t)dt + dVp(t), где dVp{t) есть изменение стоимости инвестиционного портфеля вследствие изменения цен торгуемых активов. Таким образом, инвестор заинтересован в получении наибольшей интегральной полезности

sup Ер

(С,Р) е*{х)

( U(t, c(t))dt, Jo

где максимизация происходит по множеству (х) допустимых пар инвестиционных стратегий и планов потребления с начальным капиталом х. Одним из естественных ограничений на допустимые стратегии является неотрицательность капитала в заключительный момент времени: Х^'р ^ 0.

Глава 3 диссертации посвящена другому обобщению задачи (3) — максимизации функционала ожидаемой полезности со случайным вкладом, имеющего следующий вид:

вир ЕР 17{£ + В). (5)

£6^(1)

Здесь В — это случайный вклад инвестора (к примеру, выплата, полученная по платежному обязательству). Впервые данная задача была поставлена и исследована в работе10 в семимартингальной модели финансового рынка в случае множества допустимых стратегий, капитал которых ограничен снизу константой, и ограниченного случайного вклада. Отметим также рабо-

15Cvitarnc J., Schachermaysr W., Wang H. Utility maximization in incomplete markets with random endowment // Finance and Stochastics, 2001, Vol. 5, N>2, p. 259-272, 2001.

ту16. В ней авторы видоизменили функционал полезности (5), включив в него дополнительный параметр. Это позволило им в более удобной форме поставить двойственную задачу. В диссертации также содержатся результаты, дополняющие исследования данной статьи. С задачей (5) тесно связана задача нахождения беспристрастной цены (indifference pricing) платежного обязательства (см., например,17'18).

Существующая литература по максимизации полезности в основном разделяется на два общих случая: 1) функция полезности U конечна на полупрямой (а, +оо), а е R, и равна —оо на (—оо,а); 2) функция полезности U конечна всюду на R. Решения задачи максимизации полезности существенно различаются в каждом из этих случаев. В данной работе мы имеем дело с первым из них.

Выбор методов исследования задач нахождения верхней цены хеджирования и максимизации полезности зависит от структуры финансового рынка. В классических работах по суперхеджированию10 и но максимизации полезности19'20,21 данные задачи решались с помощью методов динамического программирования. Применяемые методы позволили конструктивно описать решение, однако явный вид решения был возможен только в конкретных частных случаях. Альтернативой методам динамического программирования служат двойственные методы выпуклого анализа, не требующие практически никаких предположений о структуре модели. Суть этих методов заключается в применении двойственных теорем, позволяющих получить дуальные соотношения на значение верхней цены хеджирования, а также свести исходную задачу максимизации полезности к двойственной задаче, решения которой взаимосвязаны с решениями исходной задачи. К недостаткам двойственных методов можно отнести то обстоятельство, что полученные с их помощью результаты носят характер утверждений типа существования и единственности и, вообще говоря, не позволяют найти конкретное решение (которое, впрочем, не всегда можно получить и с помощью методов динамического программирования).

16Hugonnier J., Kramkov D. Optimal investment with random endowments in incomplete markets // Ann. Appl. Probab., 2004, Vol. 14, №2, p. 845-864.

17 Hugonnier J., Kramkov D., Schachermayer W. On Utility Based Pricing of Contingent Claims in Incomplete Markets // Mathematical Finance, 2005, Vol. 15, №2, p. 203-212.

™Biagir.i S., Frittelli U-, Grasselli M. Indifference price with general semimartingales // Math. Finance, 2011, Vol. 21, №3, p. 423-446.

19Merton R. C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, №3, p. 247-257.

2üMerton R. C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model //J. Econom. Theory, 1971, Vol. 3, Ш, p. 373-413.

21 Samuelson P. A. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, №3, p. 239-246.

В задачах стохастического управления впервые двойственные методы были применены Ж.-М. Висмутом в работе22, а в задаче максимизации полезности — С. Плиска в работе23. Во многом на развитие двойственных методов повлияла работа Д. Крамкова и В. Шахермайера24, где приводятся ссылки на предшествующую литературу. В ней был внесен основной вклад в решение задачи максимизации стандартной полезности в случае функции полезности, конечной на полупрямой.

Результаты диссертации, как уже отмечалось, получены с помощью применения двойственных теорем выпуклого анализа, работающих в локально выпуклых топологических пространствах. Как правило, исходные задачи ставятся в пространстве случайных величин, которое (наделенное топологией сходимости по вероятности) не является локально выпуклым. В классических работах по максимизации полезности и хеджированию платежных обязательств, где применяются двойственные методы (см., например,24 ' 15 ' 3) исходные задачи сначала сводятся к пространству L00 существенно ограниченных случайных величин, что накладывает условие ограниченности на случайные обязательства (или случайный вклад). Другой возможный подход связан с переходом к пространству Орлича, построенному по функции полезности инвестора (см., например,25,26, 18 ). Отметим также работу27, в которой изучалась задача (4). В ней исследовались и использовались пространства Орлича, построенные по функции полезности инвестора и семейству субъективных мер. Данный подход позволил значительно продвинуться в вопросе расширения класса допустимых стратегий в исследуемой задаче. В настоящей работе мы используем пространство L°° с неограниченным сверху весовым коэффициентом, построенным по платежному обязательству (случайному вкладу) инвестора. Данное пространство (топологически) изоморфно что позволяет, с одной стороны, применять двойственные теоремы, а с другой, отказаться от ограниченности платежного обязательства (случайного вклада). Также рассматриваемые нами постановки исследуемых задач носят абстрактный характер и имеют слабые, по сравнению с

22Bismut J.-M. Conjugate convex functions in optimal stochastic control // J. Math. Anal. Appl., 1973, Vol. 44, »2, p. 384-404.

23Pliska S. R. A stochastic calculus model of continuous trading: optimal portfolios // Math. Oper. Res., 1986, Vol. 11, №2, p. 370-382.

2iKramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Prob., 1999, Vol. 9, №3, p. 904-950.

2^Biagini S., Frittelli M. Utility maximization in incomplete markets for unbounded processes // Finance Stoch., 2005, Vol. 9, №4, p. 493-517.

2sBiagini S., Frittelli M. A unified framework for utility maximization problems: an Orlicz space approach // Ann. Appl. Probab., 2008, Vol. 18, №3, p. 929-966.

27Морозов И. С. Расширение класса допустимых стратегий в задаче максимизации робастной полезности с конечной на R функцией полезности /'/ Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 5, с. 617-634.

предшествующими работами, ограничения на модель финансового рынка.

Цель исследования. Целями исследования являются: изучение введенного понятия сильного арбитража на финансовом рынке; нахождение верхних цен хеджирования платежных обязательств; постановка двойственной задачи к задаче максимизации полезности со случайным вкладом, сведение двойственной задачи к виду, не содержащему конечно-аддитивные меры.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) введено понятие сильного арбитража в статической модели финансового рынка и найдены необходимые и достаточные условия его отсутствия в терминах конечно-аддитивных мер и сг-мартингальных плотностей;

2) получены формулы для верхних цен хеджирования платежных обязательств в статической и семимартингальной моделях финансового рынка при достаточно слабых требованиях на арбитраж на финансовом рынке и нестандартных предположениях на класс допустимых стратегий; получена характеризация моделей финансового рынка, в которых верхние цены хеджирования вычисляются в виде верхней грани по множеству счетно-аддитивных мер;

3) поставлена двойственная задача к задаче максимизации полезности с неограниченным случайным вкладом и доказаны дуальные связи между ней и исходной; двойственная задача сведена к виду, не содержащему конечно-аддитивные меры.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, функциональном анализе, математической статистике, теории случайных процессов и различных областях ее применения, в частности, в задачах финансовой математики.

Апробация работы. Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах:

1. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством действительного члена РАН, профессора А. Н. Ширяева, Москва, 2011;

2. Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения", проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством действительного члена РАН, профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, Москва, 2009-2011, неоднократно;

и конференциях:

3. Международная конференция "Стохастическая оптимизация и оптимальная остановка", Москва, 2012;

4. XVIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам, Казань, 2011;

5. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2011", Москва, 2011;

6. Международный симпозиум "Стохастика и ее видение", Москва, 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах [1-4] (полный список приведен в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 91 страницах и состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 70 наименований.

Содержание работы

В диссертации исследования в основном проводятся в статической модели финансового рынка. Дадим соответствующие определения. Пусть на измеримом пространстве (Г2, ¿Р) задано множество случайных величин ¿г/, элементы которого интерпретируются как возможные доходы инвестора от финансовых операций. Предполагается также заданной случайная величина ф, интерпретируемая в главе 1 как стоимость новых единиц измерения капитала в основных единицах, в главе 2 — как прибыль (убыток), полученная от "базового" платежного обязательства, и определяемая равенством у = 1 + |В| в главе 3, где случайная величина В — платежное обязательство (случайный вклад) инвестора. Далее введем необходимые объекты, используемые в работе. Пусть

По множеству ^ построим множество разделяющих функционалов:

(1 Е Ьа+ : ¡л

(1) = 1, ЖКо^}

Глава 1 посвящена изучению понятия сильного арбитража в статической модели финансового рынка. Будем говорить, что данный рынок удовлетворяет условию отсутствия сильного арбитража, если не существует дохода £ € л/ такого, что £ ^ е для некоторого е > 0. Предложение 1.1 является критерием отсутствия на финансовом рынке сильного арбитража и утверждает, что данное условие эквивалентно непустоте множества для любой случайной величины -ф > 5 > 0, хеджируемой доходами из множества ¿¡4. Также показывается, что условие отсутствия сильного арбитража не зависит от выбора единиц измерения капитала, задаваемых с помощью величины ф ^ 5 > 0, хеджируемой доходами из множества л/.

Далее мы переходим к изучению взаимосвязи введенного понятия сильного арбитража с уже известными понятиями ХА, МиРВЫ и МП-УИ в се-мимартингальной модели финансового рынка с конечным числом основных активов (см., например,3) и множеством Жъь допустимых стратегий, капитал которых ограничен снизу. Результаты сведены в предложение 1.2:

И КА, ^ =>

(и) 5$ф$ =£• ШРВ11, ШРВИ. Ф.

(ш) @ ф 0 + ГШРВЯ Ф-

Далее формулируется и доказывается критерий отсутствия арбитража разных типов в терминах множества 2?" а -мартингальных плотностей. Основная нетривиальная и полезная для конкретных примеров его часть состоит в следующем:

В главе 2 рассматриваются вопросы нахождения верхних цен хеджирования платежных обязательств. Под верхней ценой хеджирования платежного обязательства, выплата по которому задается случайной величиной В, на финансовом рынке с множеством возможных доходов инвестора понимается следующее значение У&(В) :

Бир Егт = 1-

У*(В) := тф € К : е : х 4- £ ^ В}.

В теореме 2.1 выводится формула нахождения значения цены:

= (б)

Из данной формулы можно получить уже известные результаты статей5 ' 3, выражающих верхнюю цену хеджирования в виде верхней грани по а-мартингальным мерам. Также показывается, что необходимым и достаточным условием того, что при вычислении верхней грани в формуле (6) можно ограничиться счетно-аддитивными мерами из является равенство замыканий множества Щ- в топологии нормы и топологии u{L°°,Ll) пространства L00.

Далее в главе 2 изучается вопрос нахождения верхней цены хеджирования неотрицательного платежного обязательства В неотрицательными процессами капитала в семимартингальной модели финансового рынка. Данная цена + {В) определяется следующим равенством:

Г+{В) := inf{a; е R : ЭХ е ЗС{х) : Хт > В},

где ¿ВГ(х) — множество неотрицательных процессов капитала (определяемых по заданному процессу цен основных активов) с начальным значением х € R+ (см., например,7). В теореме 2.2 выводится формула нахождения значения цены:

У+{В) = sup ЕBZT= sup ЕBZT, ZeST1

где 2fl и 2?а — множества локально мартингальных и сг-мартингальных плотностей соответственно.

Перейдем к задаче максимизации полезности со случайным вкладом, которая исследуется в главе 3.

Пусть [/: R -» R U {—оо} — вогнутая, неубывающая, конечная на интервале (0, +оо) функция, интерпретируемая как функция полезности инвестора, действующего на финансовом рынке. Ожидаемая полезность инвестора при начальном капитале х € R и случайном вкладе В определяется соотношением

и(х) := supE[f(x + £ + B). (7)

(Si/

В предложении 3.1 доказываются основные свойства функции цены и :

(i) функция и: R —» R U {—оо} U {+оо} является неубывающей и вогнутой.

(ii) Пусть a — inf{x € R : u(x) > —oo}. Тогда либо u{x) = +00 для всех x > а, либо u(x) e R для всех x > а. В последнем случае функция и непрерывна на (а,+оо).

Перейдем к описанию двойственной задачи. Пусть V — преобразование Фенхеля-Лежандра функции U, т. е. V(y) := 8ирг€К[[/(а;) — ху], у е Ш. В случае ^ = 0 положим и(0) := V(0) и v(y) := +00 при у > 0. Если же ё% ф 0, положим двойственную целевую функцию v равной

+ У/л } , У> 0, (8)

где ß = ßr + ßs есть разложение функционала ß на регулярную ßr и сингулярную ßs составляющие.

Основные свойства двойственной функции v перечислены в предложении 3.2:

(i) функция v(y), у ^ 0, принимает значения в R U {+00}, является выпуклой и полунепрерывной снизу;

(ii) нижняя грань в (8) достигается;

(iii) если множество ф 0, то v(y) > V(y) - у%/(-В) и liminf ^ ^

уТ+ОС *

-УА-В);

(iv) если множество ф 0 и dorn v ф 0, то limsup^ ^

yt+OO

Взаимосвязи целевых функций и и v посвящена теорема 3.1, утверждения которой состоят в следующем. Пусть

:= {х 6 R : е si, е > 0 : х + f + ß ^

Тогда

(i) функция и конечна на интервале {%/{—В), +оо);

(ii) для х 6 ЛГ0

к(х) = nün{u(y) + ху}. (9)

Соотношение (9) называют двойственной связью между функциями и и v. Оно позволяет выразить решения основной экстремальной задачи (в случае их существования) через решения двойственной задачи. Данную взаимосвязь изучает предложение 3.3, утверждение которого состоит в следующем.

v{y)

:= inf it I

Vl^

\i>d P

Если х € ! £ L° — решение задачи (7). то

+ £. + #)

^ (!) =0 , (10) ^ = о

где у* — значение, доставляющее минимум в формуле (9). а д* — решение двойственной задачи (8) при у = у*.

Дальнейшие исследования в рассматриваемой главе посвящены преобразованию функции цены v двойственной экстремальной задачи к виду, не содержащему конечно-аддитивные меры и, тем самым, более удобному для применения в конкретных моделях. Основной результат содержится в теореме 3.2 и состоит в том, что функцию v можно вычислять по следующей формуле:

v(y) = min

{Я-Ьа+)Пса+

Vil 1 ibdP

(и)

где

В) := sup < fi(r)) - inf esssup(?? - £,)ф •7+feb? I

при этом

Г /1 ~7ч?ф\\

п L:

?—Ьа+)Пса+ - е са+ : ^ 1 для любой f е ^ + (j^^J

где черта обозначает замыкание по норме пространства Ь°°.

В предложении 3.4, используя теорему 3.2, получены необходимые условия существования решений в задаче (7), аналогичные (10), но не содержащие конечно-аддитивных мер:

Г^лф1едщх + Ь + В)

где — решение задачи (7) для некоторого х € , у, - значение, доставляющее минимум в формуле (9) при данном х, а ¿¿»„(у,) — мера, доставляющая минимум в формуле (11) при у — у„.

Далее в главе 3 рассматривается задача максимизации с параметризованным функционалом полезности:

й(х,д) :=8ирЕг/(ж + £ + {<?./)). (13)

Здесь / — Лг-мерный случайный вектор, задающий набор выплат по платежным обязательствам инвестора, аде — количество данных платежных обязательств. Введение дополнительного параметра д позволяет более простым способом избавиться от конечно-аддитивных мер в двойственной задаче. Здесь наши результаты дополняют исследования статьи16. Двойственная задача в этом случае ставится в виде

ь(у,г) := т£

1 ¿Р

(у,г)€КЛ'+1, (14)

где в качестве множества г) может быть взято любое из множеств Щу,г) или &2(у,г) :

Яг(у,г) := {м € са+ : ц(0 < х'у+{д',г) Щ,х',д') £ <*?+},

3?2(у,г) := {/х 6 Ьа+ : = у, КО < <9» Ч&я') € V}; при этом

<*?+ := {(€, я', д') 6 х М^1 :£-х' - (д\ /) £ * - Ь°+}

V := 1') £ X К* : £ - (<?', /) 6 в/ - Ь%).

В заключительной части рассматриваемой главы 3 ставится задача расширения множества допустимых стратегий в задаче максимизации полезности с неограниченным случайным вкладом в семимартингальной модели рынка и показывается, что множество Ж41, определенное как

Ж* := {# еЦБ) : Зс е К+ : УС) е М*, т.ч. Е(3 ф < 00,

действительно является нетривиальным, то есть приводящим к увеличению ожидаемой полезности, расширением класса Жьь стратегий с ограниченным снизу капиталом.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Александра Александровича Гущина, которому автор выражает искреннюю благодарность за помощь в выборе направления исследования и постоянную поддержку.

Работы автора по теме диссертации

[1] Хасанов Р. В. О верхней цене хеджирования платежных обязательств // Теория вероятн. и ее примен., 2012, том 57, №4, с. 667-681.

[2] Хасанов Р. В. О максимизации полезности с неограниченным случайным вкладом // Деп. в ВИНИТИ, 05.10.2012, №384-В2012, 20 стр.

[3] Хасанов Р. В. Максимизация полезности со случайным вкладом: новая постановка двойственной задачи // Обозр. приклад, и промышл. матем.,

2011, том 18, №1, с. 96-97.

[4] Khasanov R. V. On superhedging prices of contingent claims /'/ International Conference Stochastic optimization and optimal stopping, The book of Abstracts,

2012, p. 103-104.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж /00экз. Заказ № ?