Стохастические задачи максимизации робастной полезности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Морозов, Иван Сергеевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
2011 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.05 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Стохастические задачи максимизации робастной полезности»
 
Автореферат диссертации на тему "Стохастические задачи максимизации робастной полезности"

&

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

^ г

4857414 На правах рукописи

УДК 519.21

Морозов Иван Сергеевич

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МАКСИМИЗАЦИИ РОБАСТНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 ОКТ 2011

Москва-2011

4857414

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Гущин Александр Александрович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич; доктор физико-математических наук, доцент Рохлин Дмитрий Борисович.

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН (ЦЭМИ РАН)

Защита диссертации состоится 28 октября 2011 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В.Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 27 сентября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических паук, профессор

Сс^

В. Н. Сорокин.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Фундаментальной проблемой финансовой математики является описание оптимального способа инвестирования при заданных предпочтениях инвестора и бюджетных ограничениях. Концепция максимизации ожидаемой полезности восходит к 1950-м годам, в частности, работе Дж. Тобина1, в которой были представлены теоретико-вероятностные обоснования портфельной теории Марковица, основанной на анализе ожидаемых средних значений и дисперсий случайных величин. Одной из предпосылок к сравнению именно средних ожидаемых доходов стали монографии Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна2 и JI. Сэвиджа3, где поставленный набор аксиом привел к представлению полезности ^ (£) того или иного исхода £ в виде математического ожидания Ер/7(£) по некоторой вероятностной мере Р от некоторой функции полезности U: = Ер[/(£).

Если предпочтения инвестора описываются возрастающей вогнутой функцией полезности U: R —» R U {—оо} и случайность на рынке реализована через вероятностное пространство (Q,,^, Р), то стандартная задача максимизации ожидаемой полезности финального благосостояния может быть поставлена в виде

suP Epi/(0, (1)

iejr(x)

где множество ,Х'(х) состоит из всех терминальных капиталов отвечающих допустимым (с точки зрения экономического агента) стратегиям с начальным капиталом х.

Наряду с задачей максимизации полезности терминального капитала в литературе рассматриваются и более общие постановки. Так, если в терминальный момент времени агент получает случайную прибыль В (например, от реализации опциона), то мы получим задачу максимизации полезности со случайным вкладом:

sup ЕР U(£ + B).

(е Х(х)

С этой задачей связано нахождение беспристрастной цены (indifference pricing) платежного обязательства (см., например, работу4).

1 ТоЫп J. Liquidity preference as behavior towards risk // Rev. Econ. Stud., 1958, Vol. 25, p. 68-85.

2 Von Neumann J., Morgenstern 0. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, 1944.

3Savage L. The foundations of statistics. N. Y.: Wiley, 1954.

*Biagini S., FYittelli M.t Grasselli M. Indifference price with general semimartingales // Math. Finance, 2011, Vol. 21, TO, p. 423^46.

Еще одна проблема максимизации полезности возникает в задачах с "потреблением", когда экономический агент извлекает прибыль (и потребляет) на протяжении всего временного горизонта, а не только в терминальный момент времени. Функции полезности ¿/(£,■) могут варьироваться со временем. План потребления С в момент времени £ 6 [0,Т] определяется случайной нормой потребления с(£) ^ 0, а общий объем потребления на промежутке [£,£ + с(£] увеличивается на с(£)сй. Если за Хс,р обозначить процесс капитала, отвечающий инвестиционной стратегии Р и плану потребления С, то его изменение с1ХС'Р будет удовлетворять соотношению ¿ХС'Р = + <Г°/Р(£), где ¿Ур{{) есть изменение стоимости инвести-

ционного портфеля вследствие изменения цен торгуемых активов. Таким образом агент заинтересован в получении наибольшей интегральной полезности

sup ЕР f U(t,c(t))dt,

PW(x) Jo

где максимизация происходит по множеству si(х) допустимых пар инвестиционных стратегий и планов потребления с начальным капиталом х. Одним из естественных ограничений на допустимые стратегии является неотрицательность капитала в заключительный момент времени: > 0.

Диссертация посвящена другому обобщению задачи (1) — максимизации функционала робастной полезности. Оно ведет начало от работы5, где был рассмотрен ряд более мягких аксиом, что привело к измерению полезности того или иного исхода £ в виде робастного функционала: ^(О = infQS^ Eq U(£), где U — по-прежнему некоторая функция полезности, а нижняя грань infQS.g математических ожиданий Eq{/(£) берется по некоторому семейству i? "субъективных" вероятностных мер. Такой подход может служить описанию предпочтений не склонного к риску инвестора, который в условиях неопределенности выбора вероятностной модели для будущего состояния рынка рассматривает наихудший сценарий.

В соответствии с таким способом измерения благосостояния, задача максимизации робастной полезности выглядит как

sup inf ЕQU(H). (2)

Отметим также дальнейшее ослабление аксиоматического подхода в работе6, приводящее к появлению функционала робастной полезности со

5Gilboa /., Schmeidler D. Maxmin expected utility with nonunique prior // J. Math. Econom., 1989, Vol. 18, p. 141-153.

6Maccheroni F., Marinacci M. Ambiguity aversion, robustness, and the variational representation of preferences // Econometrica, 2006, Vol. 74, №6, p. 1447-1498.

"штрафной" функцией:

sup inf[EQ[/(0+7(Q)].

(x)

Выбор методов исследования задачи максимизации полезности зависит от структуры финансового рынка. В классических работах Р. Мертона7'8 и П. Самуэльсона9 для марковских моделей финансового рынка задача максимизации полезности решалась с помощью методов динамического программирования. Применяемые методы позволили конструктивно описать решение, однако явный вид решения был возможен только в конкретных частных случаях. Альтернативой методам динамического программирования служат двойственные методы выпуклого анализа, не требующие практически никаких предположений о структуре модели. Суть этих методов заключается в решении сначала вспомогательной (двойственной) задачи, что позволяет охарактеризовать решение исходной задачи, а также найти ее цену. К недостаткам двойственных методов можно отнести то обстоятельство, что полученные с их помощью результаты о решении исходной задачи носят характер утверждений типа существования и единственности и, вообще говоря, не позволяют найти конкретное решение (которое, впрочем, не всегда можно получить и с помощью методов динамического программирования). Отметим, что в робастном случае (2) исходную задачу минимаксного типа на поиск седловой точки двойственный подход позволяет свести к (вообще говоря, более простой) задаче на минимизацию. Для марковских моделей рынка уже двойственная задача в некоторых работах решалась методами динамического программирования, что в дальнейшем помогло решить и исходную задачу.

В задачах стохастического управления впервые двойственные методы были применены Ж.-М. Висмутом10, а в задаче максимизации полезности — С. Плиска11. Во многом на развитие двойственных методов повлияла работа Д. Крамкова и В. Шахермайера12, где приводятся ссылки на предшествующую литературу.

7Merton R. С. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, №3, p. 247-237.

'Merton R. C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model // J. Econom. Theory, 1971, Vol. 3, №4, p. 373-413.

9Samuelson P. A. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, №3, p. 239-246.

10Bismut J.-M. Conjugate convex functions in optima] stochastic control // J. Math. Anal. Appl., 1973, Vol. 44, »2, p. 384-404.

nPliska S. R. A stochastic calculus model of continuous trading: optimal portfolios // Math. Oper. Res., 1986, Vol. 11, №2, p. 370-382.

12Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Prob., 1999, Vol. 9, №3, p. 904-950.

При изучении задач (1) и (2) в качестве моделей финансового рынка зачастую рассматривают динамические модели, в которых дисконтированные цены базовых рисковых активов описываются случайным процессом S (при самых общих предположениях являющегося семимартин-галом), инвестиционные стратегии — предсказуемыми S-интегрируемыми процессами Я, а доходы инвестора Xt к моменту времени t при заданной стратегии Я представляются векторными стохастическими интегралами Xt = Я ■ St = fg HudSu. В качестве Ж(х) тогда берут множество J(f(x) := {х + Н ■ St- Я £ Ж (а:)} , где Т — заключительный момент времени операций на финансовом рынке, а Ж{х) — множество допустимых стратегий, реализуемых при начальном капитале х.

С экономической точки зрения кредитная линия, открываемая инвестору, имеет конечные пределы, что привело к появлению классического ограничения о допустимости только таких инвестиционных стратегий Я, при которых доходы Xt = Н-St оказывались бы равномерно ограниченными снизу: Xt ^ const для всех моментов времени t. В частности, это ограничение позволило исключить мартингальные (удваивающие) стратегии, приводящие к появлению арбитража.

Существующая литература по максимизации полезности в основном разделяется на два общих случая: 1) функция полезности U конечна на полупрямой (а,+оо), а 6 R, и равна —оо на (—оо,а); 2) функция полезности U конечна всюду на R. В первом случае в стандартной (1) и робастной (2) постановках задачи максимизации полезности ограничение Xt ^ const, t € [О, Т], никак не ограничивает выбор инвестиционных стратегий. Действительно, из всех капиталов к = х + Хт 6 Ж(х) итоговая полезность не обращается в —оо только в тех случаях, когда х 4- Хт ^ а (соответственно Р-п.н. или Q -п.н. при всех Qe^), а при условии отсутствия арбитража (NA) условие Хт ^ с эквивалентно условию Xt ^ с, t е [О,Т].

Благодаря этому обстоятельству в работе12 (где был внесен наиболее существенный вклад в исследование задачи максимизации стандартной полезности с функцией полезности, конечной на полупрямой) авторы использовали следующую схему рассуждений. Сначала все основные результаты были сформулированы и доказаны для абстрактной модели рынка, в которой заданным предполагалось только множество Ж(х) терминальных капиталов, после чего полученные результаты переносились на случай динамической семимартингальной модели.

В случае конечной на R функции полезности допустимость только ограниченных снизу процессов капиталов является существенным предположением. Более того, оно является не вполне естественным, так как в классе стратегий с ограниченными снизу капиталами не приходится рассчитывать

на существование оптимальной стратегии. Так, в работе13 фактически решалась задача (1) со множеством Jfi(x), которое получалось расширением множества {х + Н ■ St- Н ■ St ^ const для всех t е [О,Г]} с помощью некоторой процедуры замыкания. При определенных условиях доказывалось существование оптимального решения к задачи (1), при этом случайная величина к, вообще говоря, уже не ограничена снизу, но представима в виде к = х + Н ■ St, где процесс {Я • 5(}(6[о,г], естественно, также может не быть ограниченным снизу. Отметим, что упомянутое расширение множества {х + Н • St - Н • St~Z const для всех t е [0,Т]} до Ж[х) не изменило ожидаемую полезность.

В работе13 было также отмечено, что множество стратегий с ограниченными снизу капиталами и вовсе может оказаться тривиальным. Например, такое возможно в семимартингальной модели рынка, если процесс цены S не является локально ограниченным. В то же время задача максимизации полезности может быть поставлена и иметь нетривиальное решение в более широком классе стратегий. А именно, такая задача максимизации стандартной полезности была рассмотрена С. Бьяджини и М. Фрител-ли14'15 •16'17, где в качестве допустимых они рассматривали такие стратегии Н, что Н ■ St > —cW для всех моментов времени t 6 [О, Т] и некоторого с > 0, где W есть положительная случайная величина, удовлетворяющая некоторым условиям интегрируемости. Особенно стоит выделить работу17, где было отмечено, что подобное расширение класса допустимых стратегий может привести к увеличению ожидаемой полезности.

В диссертации мы ставим целью расширить применимость двойственных методов в задаче максимизации робастной полезности. Исследуемая нами постановка носит абстрактный характер, т.е. мы имеем дело с задачей (2). Наши ограничения на множество Ж (х) оказываются более слабыми, чем в предшествующих работах. В частности, в стандартной задаче (1) от множества Ж{х) требуется только представимость в виде Ж(х) = х + Ж, где Ж — выпуклый конус.

Другим объектом исследования является вопрос о дифференцируемо-сти целевой функции и(-) в задаче максимизации робастной полезности (2).

13Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative // Ann. Appl. Probab., 2001, Vol. 11, №3, p. 694-734.

14 Biagini S. An Orlicz spaces duality for utility maximization in incomplete markets // Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications V, Progress Probab., Birkhauser, Basel, Vol. 59, Part 2, p. 445-455.

15 Biagini S-, Prittelli U. Utility maximization in incomplete markets for unbounded processes 11 Finance Stoch., 2005, Vol. 9, №4, p. 493-517.

Biagini S., Frittelli M. The supermartingale property of the optimal portfolio process for general semimartingales // Finance Stoch., 2007, Vol. U, №2, p. 253-266.

17Biagini 5-, Frittelli M. A unified framework for utility maximization problems: an Orlicz space approach // Ann. Appl. Probab., 2008, Vol. 18, №3, p. 929-969.

Выбор оптимального способа инвестирования позволяет при начальном капитале х получить итоговую полезность и(х): х и(х). В этом смысле целевая функция и(-) позволяет оценивать возможности финансового рынка, и поэтому сама может рассматриваться как функция полезности. А для функций полезности условия гладкости во многих задачах являются необходимыми, что ставит соответствующие вопросы и в задачах максимизации полезности.

Цель исследования. Целью исследования являются: постановка двойственной задачи к задаче максимизации робастной полезности при минимальных предположениях на множество капиталов; установление минимаксных соотношений между основной и двойственной задачами; изучение вопроса дифференцируемости целевой функции в задаче максимизации робастной полезности.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) в задаче максимизации робастной полезности при минимальных предположениях на множество капиталов доказана минимаксная теорема и установлена двойственная характеризация целевой функции;

2) доказано, что в задаче максимизации робастной полезности целевая функция может быть не всюду дифференцируемой, если только функция полезности не является степенной, экспоненциальной или логарифмической;

3) установлены свойства сопряженных пространств для некоторого класса пространств Орлича по семейству мер.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, функциональном анализе, математической статистике, теории случайных процессов и различных областях ее применения, в частности, в задачах финансовой математики.

Апробация работы. Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах

1. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН профессора А. Н. Ширяева, Москва, 2010;

2. Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения", проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, Москва, 2009

и конференциях

3. Международная конференция "Современная стохастика: теория и применения II", Киев, Украина, 2010;

4. Международная научная конференция студентов аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2009", Москва, 2009;

5. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2010", Москва, 2010;

6. Российско-японский симпозиум "Стохастический анализ сложных статистических моделей", Москва, 2007.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах [1-5] (полный список приведен в конце автореферата). Из них три — в журналах, внесенных в список ВАК. Работ, опубликованных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 93 страницах и состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 48 наименований.

Содержание работы

Глава 1 посвящена исследованию некоторых вспомогательных вопросов, которые также имеют и самостоятельный интерес.

В разделе 1.1 определяются пространства Орлича, построенные по семейству мер. Дадим некоторые определения.

Функцией Юнга называется ненулевая неотрицательная четная выпуклая функция Ф: К -+ К+ и {+оо} с Ф(0) = 0.

Пусть задано измеримое пространство (П,^) и семейство ¿2 вероятностных мер. Пространство Орлича Ьф(£2), построенное по семейству мер ¿2 и ассоциированное с функцией Юнга Ф, определяется как

Ьф(£) := {£ е L°(«2): sup Е0Ф(еС) < +оо для некоторого £ > 0}, QS.2

где пространство L°(J2) состоит из классов эквивалентности случайных величин, совпадающих Q-п.н. при всех Q е £?. Это пространство является банаховым (см. монографию Р. Розенберга18)относительно нормы Люксембурга

АГФ(0 := sup JVf (О = inf ¡К > 0: sup Е0Ф Ш < l) .

Qe3 I Qs.2 \л/ J

В разделах 1.2-1.5 свойства пространств Орлича по семейству мер £1 и сопряженных к ним изучаются при следующих предположениях на множество 3-:

• Л? — выпуклое подмножество вероятностных мер на (П, ;

• Q -С Р для всех Q 6 ¿2 и некоторой вероятностной меры Р;

• найдется такая Q0 € .3, что Qo ~ Р;

• семейство {^зр Р-равномерно интегрируемо и L^P)-замкнуто для любой случайной величины г), такой что supqgigEq|t?| < +оо.

В разделе 1.2 показано, что последнее свойство эквивалентно компактности В в »-слабой топологии о{1}{12)*, Ll(J2)). В этом же разделе доказаны некоторые свойства пространств Орлича по семейству мер, характерные для стандартных пространств Орлича.

Условие компактности на множество В не является интуитивно понятным, поэтому в разделе 1.3 дается описание широкого класса множеств, обладающих этим свойством.

Как и в случае любых банаховых решеток элементы ß сопряженного пространства допускают разложение на регулярные ff 6 Ьф(£?)г

и сингулярные fis Е Ьф(£?)в составляющие. Сингулярные функционалы г е Ьф(£2у могут быть охарактеризованы как функционалы, принимающие нулевые значения на L°°(P). Регулярным функционалам т 6 Ьф(£!)г можно поставить в соответствие меру dm, такую что для всех £ Е Ьф(£!)

18Hosenberg R. Orlicz spaces based on families of measures // Studia Math., 1970, Vol. 35, p. 15-49.

будет иметь место соотношение m(£) = Jü£dm. Для сингулярного функционала г £ ЬФ(12У с любой точностью е > О можно подобрать такое множества G £ &, что P(G) < е и z(£) = 0 при fie = 0.

Следуя подходу, предложенному А. А. Гущиным19, в разделах 1.4 и 1.5 вводится понятие /-дивергенции функционалов на пространствах Орлича, построенных по семейству мер, и исследуются ее свойства. Полученные результаты существенно используются для доказательства результатов главы 2.

Перейдем к задаче максимизации робастной полезности, которая исследуется в главе 2.

Пусть U — конечная функция полезности экономического агента, действующего на финансовом рынке, т.е. U: R —► К вогнута и возрастает. Свяжем с ней функцию Юнга Ф(л;) := -(7(-|а;|) 4- U{0).

Пусть также на измеримом пространстве (12, задано множество случайных величин Ж, которое мы будем интерпретировать как множество всех реализуемых на финансовом рынке доходов. Для начального капитала х 6 К в качестве допустимых предлагается рассматривать множество

Хх := {к е Х-. inf EqU(x - к~) > -оо}.

L Qe.2

Ожидаемая робастная полезность при начальном капитале х тогда определяется соотношением

и(х) := sup inf EqU(x + к), кале Qe.s

Индивидуальные целевые функции по мерам Q £ i? имеют вид uq(x) := suPfcSx,EQ U(x + k), Q € ¿2.

В теореме 2.1 доказываются основные свойства целевой функции и:

l(i) Функция и(х), I £ 1, принимает значения в RU {+оо}, является возрастающей и вогнутой, а также и(х) ^ U(x) для всех xel.

l(ii) Либо и(х) = +оо для всех i£l, либо и( х) £ К для всех

l(iii) Для любого начального капитала х £ К выполнены минимаксные соотношения:

и(х) = min uq(x).

19Гущин А. А. О расширении понятия /-дивергенции // Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 52, в. 3, с. 468-489.

Перейдем к описанию двойственной задачи. Зададим множество := (Ж — ¿°(Р)) п Ьф(£>), а также множество разделяющих функционалов

@ := {ц € Ьф{£)*: ц{1и) = 1 и /ДО ^ 0 для любой С £ Щ,

Пусть V — двойственная к II функция, т.е. У(у) := зир:с€К[С/'(ж) — ху], у € К. В случае = 0 положим щ(0) := ^(0) и ь{у) := +оо при у > 0. Если же М ф 0, положим двойственную целевую функцию v равной

v(y) := inf fr<Q

2/1И1 + EqK (у^

У> 0, (3)

где /л = цг + ц8 есть разложение функционала ц на регулярную // и сингулярную // составляющие.

Определим также для всех <3 € £1 функции г>о(у) := ь{у) в случае М = 0 и

vQ(y) := inf tiiM

У> о, (4)

в случае ф 0.

Основные свойства двойственной функции v перечислены в теореме 2.2:

2(i) Функция v(y), у > 0 принимает значения в RU{+oo}, является выпуклой и полунепрерывной снизу, а также v(y) ^ У {у) для всех

У> о.

2(ii) Нижняя грань в (3) и (4) достигается. 2(iii) Для любого у ^ 0

Решение двойственной задачи позволяет найти решение основной задачи, поскольку целевые функции и и v являются двойственными друг другу. Более того, между основной и двойственной задачами выполнены следующие соотношения:

3(i) Если dorn v = 0, то и(х) = + оо для любого isR. Если dorn v ф 0, то и[х) € R для любого х е R.

3(ii) Между функциями и и v выполнены двойственные связи:

и( х) = min[^(j/) + ху], I6R, (5)

у^О

и

v(y) = sup[u(z) - ху],

X6R

3(iii) Для любой Q € .2 двойственные связи выполнены между функциями uq и vq:

uq{x) = min[t)Q(y) + ху\, х € R,

и

Щ(У) = sup[uQ(y) - ху], 2У ^ 0.

гей

3(iv) Зафиксируем iel. Если минимум в (5) достигается на у, а минимум в (3) при у = у — на паре (fr, Q) 6 !% х ¿2, то

и(х) = Uq(x) = sup ЕqU(x + к). (6)

keJff,

Обратно, если для некоторой Q € £1 выполнено (6), то найдутся такие у ^ 0 и fr € ^, что минимум в (5) достигается на у, а минимум в (3) при у = у — на паре (/¿, Q).

Глава 3 имеет дело со следующей моделью финансового рынка:

• Функция полезности U: R KU {— оо} возрастает, вогнута, полунепрерывна сверху, не тождественно равна —оо и не является линейной. Совокупность int dorn U внутренних точек области конечности U обозначим (о, +оо), где а 6 R U {—оо} .

• Пространство элементарных событий Q дискретно и состоит из четырех исходов: П := {о> 1,0)2,0)3,0)4}. Сигма-алгебра & := Вероятностные меры и случайные величины тогда можно отождествить с четырехмерными векторами.

• Зафиксируем произвольные ri,r2 € (0,1) и зададим процессы (дисконтированных) цен двух рисковых активов (ß\)t=0,1 для ¿ = 1,2 соотношениями Sg := Sq := 1,

5f:=( 2-n, 1-n, 1, 1 ), S?:=( 1, 1, 2 — r2, l-r2 ).

Множество Ж допустимых доходов определим стандартным образом как X := {Л¡(S} - Si) + А2(S? - Sg): Аь Л2 € Щ.

• Зафиксируем произвольные <71,92 £ (0,1), две вероятностные меры зададим равенствами

Qi:=( 9ь 1-91, 0, 0 ), Q2:=( 0, 0, <72, 1-92 )

и положим множество субъективных мер 2 равным выпуклой оболочке и С)2: .2:= :=0()1 + (1-/3)02: 0^/3^1}.

Будем говорить, что функция V является степенной, логарифмической или экспоненциальной, если с точностью до константы, сдвига и умножения на положительную константу

... . Г —оо, х < 0. , . „ . Г —|х|", х < О,

и{х) = —е~х, ж 6 К

или

и(х) = ( Г00' Х?п

4 ' 1п х, х ^ О

соответственно.

Тогда в рассматриваемой постановке следующие условия эквивалентны:

1. Для любой рассматриваемой модели рынка целевая функция и(х) в случае конечности дифференцируема на (а, +оо) и при а > —оо удовлетворяет условию Инада на левом конце: НтХ|аи'_(х) = +оо.

2. Функция полезности и(х) имеет степенной, экспоненциальный или логарифмический вид.

А именно, если функция II(х) имеет один из указанных видов, то для любых параметров п, гг, 91, <72 € (0,1) целевая функция и(х) в случае конечности будет дифференцируемой на (а, +оо) и при а > —оо удовлетворять условию Инада на левом конце. Если же функция II(х) имеет иной вид, то всегда можно подобрать такие п, Г2, <71, <п £ (0,1), что целевая функция и(х) будет либо недифференцируемой по крайней мере в одной точке, либо не будет выполнено условие Инада на левом конце а > —оо.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Александра Александровича Гущина, которому автор выражает искреннюю благодарность за помощь в выборе направления исследования и постоянную поддержку.

Работы автора по теме диссертации

[1] Морозов И. С. Расширение класса допустимых стратегий в задаче максимизации робастной полезности с конечной на К функцией полезности // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 5, с. 617-634.

[2j Морозов И. С. Дифференцируемость целевой функции в задаче максимизации робастной полезности // Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 56, в. 2, с. 374-384.

[3] Морозов И. С. О характеристическом свойстве степенных, экспоненциальных и логарифмических функций полезности // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2011, т. 18, в. 2, с. 309.

[4] Морозов И. С. Дифференцируемость целевой функции в задаче максимизации робастной полезности // Тезисы докладов Секции "Математика и механика" XVI Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2009". М.: Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2009, с. 47.

[5] Morozov I. S. On an extension of the class of admissible trading strategies in the robust utility maximization problem // Abstracts of International Conference "Modern Stochastics: Theory and Applications II", Kyiv, Ukraine, 2010, p. 58.

Подписано в печать: 16.09.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 501 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, ул.Рождественка, 5/7,стр.1 (495)978-43-34; www.reelet.ru

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Морозов, Иван Сергеевич

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Вспомогательные результаты

1.1 Общие сведения о пространствах Орлича.

1.2 Свойства пространств Орлича по семейству мер, удовлетворяющему условию компактности.

1.3 Примеры выполнения условия компактности.

1.4 /-дивергенция функционалов на пространствах Орлича

1.5 /-дивергенция, связанная с функцией полезности.

ГЛАВА 2. Расширение класса допустимых стратегий в задаче максимизации робастной полезности

2.1 Постановка задачи и формулировка результатов.

2.2 О решении в задаче максимизации робастной полезности

2.3 Доказательство результатов.

ГЛАВА 3. Дифференцируемость целевой функции в задаче максимизации робастной полезности

3.1 Основные результаты.

3.2 Описание в двойственных терминах.

3.3 Доказательство.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Стохастические задачи максимизации робастной полезности"

Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета и затрагивает вопросы, связанные с задачей максимизации робастной полезности в финансовой математике.

Актуальность темы. Фундаментальной проблемой финансовой математики является описание оптимального способа инвестирования при заданных предпочтениях инвестора и бюджетных ограничениях. Концепция максимизации ожидаемой полезности восходит к 1950-м годам, в частности, работе [46], в которой были представлены теоретико-вероятностные обоснования портфельной теории Марковица, основанной на анализе ожидаемых средних значений и дисперсий случайных величин. Одной из предпосылок к сравнению именно средних ожидаемых доходов стали монографии [47] и [42], где поставленный набор аксиом привел к представлению полезности того или иного исхода £ в виде математического ожидания Ер £/(£)> по некоторой вероятностной мере Р от некоторой функции полезности U: = Ер £/"(£).

Если предпочтения инвестора описываются возрастающей вогнутой функцией полезности U: R —> М U {—схэ} и случайность на рынке реализована через вероятностное пространство (f2, J^, Р), то стандартная задача максимизации ожидаемой полезности финального благосостояния может быть поставлена в виде sup Eptfg), (0.1) х) где множество <Ж(х) состоит из всех терминальных капиталов £, отвечающих допустимым (с точки зрения экономического агента) стратегиям с начальным капиталом х.

Наряду с задачей максимизации полезности терминального капитала в литературе рассматриваются и более общие постановки. Так, если в терминальный момент времени агент получает случайную прибыль В (например, от реализации опциона), то мы получим задачу максимизации полезности со случайным вкладом: sup I Ер U(£ + B).

С этой задачей связано нахождение беспристрастной цены (indifference pricing) платежного обязательства (см., например, [19]).

Еще одна проблема максимизации полезности возникает в задачах с "потреблением", когда экономический агент извлекает прибыль (и потребляет) на протяжении всего временного горизонта, а не только в терминальный момент времени. Функции полезности U(t, ■) могут варьироваться со временем. План потребления С в момент времени t G [О, Т] определяется случайной нормой потребления c(t) ^ 0, а общий объем потребления на промежутке [:t, t+dt] увеличивается на c(t)dt. Если за обозначить процесс капитала, отвечающий инвестиционной стратегии Р и плану потребления С, то его изменение dXc>p будет удовлетворять соотношению dX°'P = —c(t)dt+dVF{t), где dVp{t) есть изменение стоимости инвестиционного портфеля вследствие изменения цен торгуемых активов. Таким образом агент заинтересован в получении наибольшей интегральной полезности sup ЕР [ U(t,c(t))dt,

C,P)es/(x) JO где максимизация происходит по множеству «я/(х) допустимых пар инвестиционных стратегий и планов потребления с начальным капиталом х. Одним из естественных ограничений на допустимые стратегии является неотрица

С4 Р тельность капитала в заключительный момент времени: Хт' ^ 0.

Диссертация посвящена^ другому обобщению задачи (0.1) — максимизации функционала робастной: полезности. Оно ведет начало от работы [25], где был рассмотрен: ряд более мягких аксиом, что привело к измерению полезности (£) того или иного- исхода £ в виде робастного функционала: = mfQ&£> EQU(£) , где U — по-прежнему некоторая функция* полезности, а нижняя грань. infqg^. математических ожиданий Eq£/(£) берется по некоторому семейству £2, "субъективных" вероятностныхмер.Такой подход может служитБ» описанию предпочтений не склонного к риску инвестора, который: в условиях неопределенности выбора вероятностной модели?для; будущего состояния рынка .рассматривает наихудший сценарий. *

В соответствии с таким способом измерения благосостояния; задача- максимизации робастной полезности выглядит как sup inf Eq£/(0- (0.2) еЛ'(х) Qe^

Отметим; также дальнейшее ослабление аксиоматического; подхода в [32], приводящее к появлению функционала робастной- полезности* со "штрафной" функцией: sup: inf[EQC/(0+7(Q)]. елг(х)

Выбор методов исследования! задачш максимизации полезности зависит от структуры финансового рынка. В классических работах Р. Мертона [33, 34] и П. Самуэльсона [41] для: марковских; моделей финансового рынка задача, максимизации полезности решалась с помощью методов динамического программирования. Применяемые методы позволили конструктивно описать решение, однако явный вид решения был возможен только в конкретных частных случаях. Альтернативой методам динамического программирования служат двойственные методы выпуклого анализа, не требующие практически никаких предположений о структуре модели. Суть этих методов заключается в решении сначала вспомогательной (двойственной) задачи, что позволяет охарактеризовать решение исходной задачи, а также найти ее цену. К недостаткам двойственных методов можно отнести то обстоятельство, что полученные с их помощью результаты о решении исходной задачи носят характер утверждений типа существования и единственности и, вообще говоря, не позволяют найти конкретное решение (которое, впрочем, не всегда можно получить и с помощью методов динамического программирования). Отметим, что в робастном случае (0.2) исходную задачу минимаксного типа на поиск седловой точки двойственный подход позволяет свести к (вообще говоря, более простой) задаче на минимизацию. Для марковских моделей рынка уже двойственная задача в некоторых работах решалась методами динамического программирования, что в дальнейшем помогло решить и исходную задачу.

В задачах стохастического управления впервые двойственные методы были применены Ж.-М. Висмутом в работе [20], а в задаче максимизации полезности — С. Плиска в работе [37]. Во многом на развитие двойственных методов повлияла работа Д. Крамкова и В. Шахермайера [30], где приводятся ссылки на предшествующую литературу.

При изучении задач (0.1) и (0.2) в качестве моделей финансового рынка зачастую рассматривают динамические модели, в которых дисконтированные цены базовых рисковых активов описываются случайным процессом 5 (при самых общих предположениях являющегося семимартингалом), инвестиционные стратегии — предсказуемыми Б-интегрируемыми процессами Я, а доходы инвестора Х± к моменту времени £ при заданной стратегии Н представляются векторными стохастическими интегралами XI = Н • = $Нис13и. В качестве <Ж(х) тогда берут множество Ж(х) := {х+Н-Зт- Н 6 Ж{х)}, где Т — заключительный момент времени операций на финансовом рынке, а Ж(х) — множество допустимых стратегий, реализуемых при начальном капитале х. 1 <

С экономической точки зрения кредитная линия, открываемая инвестору, имеет конечные пределы, что привело к появлению классического ограничения о допустимости только таких инвестиционных стратегий Н, при которых. доходы Xf= Н 5г~бказывал11сь бы равномерно ограниченными снизу:. Xt ^ const для всех моментов времени t. В частности, это ограничение позволило! исключить мартингальные (удваивающие) стратегии, приводящие к появлению арбитража. ■

Существующая литература по максимизации полезности в основном разделяется на два общих случая:. 1) функция полезности U конечна на; полупрямой- (а, +ос), а б My и равна —оо на. (—сю,а); 2} функция- полезности1 U конечна всюду на Ш. В первом случае в стандартной (0.1) и робастиой (0.2) постановках задачи максимизации полезности^ ограничение Xt ^ const , t Е [0, Т], никак не:; ограничивает выбор инвестиционных стратегий. Действительно, из всех капиталов к = ■ х X? € Ж{х) итоговая полезность не обращается в —со только в тех случаях, когда х+Хт ^ а (соответственно- Р-п.и. или Q -n.il. при всех Q € а при условии?отсутствия-арбитража (NA) условие Хт ^ с эквивалентно условию^ с , i Е [0, Т].

Благодаря этому обстоятельству в [30] (где был внесен наиболее существенный вклад в исследование задачи максимизации- стандартной: полезности с функцией полезностиj конечной на полупрямой) авторы использовали- следующую, схему рассуждений, ©начала все: основные результаты', были; сформулированы, и доказаны для абстрактной модели, рынка] в которой заданным; предполагалось только; множество сЖ(х) терминальных капиталов,. после чего полученные^результаты переносились на случай; динамической се-мимартингальной; модели.,.

Из большого числа последующих публикаций, отметим также работы [14, 15, 16, 17, 18, 23, 28, 31, 43] по максимизации стандартной полезности и [3, 21, 24, 26, 27, 45] по максимизации робастной, полезности.

В случае конечной на М функции полезности допустимость только ограниченных снизу процессов капиталов является существенным предположением. Более того, оно является;не вполне естественным, так как в классе стратегий с ограниченными; снизу капиталами не приходится рассчитывать на существование оптимальной стратегии. Так, в [43] фактически решалась задача (0.1) со множеством Ж{х), которое получалось расширением множества {х + Н - St- Н • St > const для всех t € [О,Т]} с помощью некоторой процедуры замыкания. При определенных условиях доказывалось существование оптимального решения к задачи (0.1),1 при этом случайная величина к, вообще говоря, уже не ограничена снизу, но представима в виде л к = х + Н - ST, где процесс {Н ■ <Si}i«=[o,r] > естественно, также может не быть ограниченным снизу. Отметим, что упомянутое расширение множества {х + Н • St : Н - St ^ const для всех t G [О, Т]} до Ж{х) не изменило ожидаемую полезность.

В [43] было также отмечено, что множество стратегий с ограниченными снизу капиталами и вовсе'может оказаться тривиальным. Например, такое возможно в семимартингальной- модели рынка, если процесс цены S не является локально ограниченным. В то же время задача' максимизации полезности может быть поставлена и иметь нетривиальное решение в более широком классе стратегий. А именно, такая задача максимизации стандартной полезности была рассмотрена С. Бьяджини и М. Фрителли в [15, 16, 17, 18], где в качестве допустимых они'рассматривали такие стратегии if, что Н • St ^ —cW для всех моментов времени t € [О, Т] и некоторого с > 0, где IV есть положительная случайная величина, удовлетворяющая некоторым условиям интегрируемости. Особенно стоит выделить работу [18], где было отмечено, что подобное расширение класса допустимых стратегий может привести к увеличению ожидаемой полезности.

В диссертации мы ставим целью расширить применимость двойственных методов в задаче максимизации робастной полезности. Исследуемая нами постановка носит абстрактный характер, т.е. мы имеем дело с задачей (0.2). Наши ограничения на множество оказываются более слабыми, чем в предшествующих работах. В частности, в стандартной задаче (0.1) от множества Jif(x) требуется только представимость в виде Ж(х) = х + Jif, где

Ж — выпуклый конусі

Другим объектом исследования является вопрос о дифференцируемости целевой функции и(-) в задаче максимизации робастной полезности (0.2). Выбор оптимального способа инвестирования позволяет при начальном капитале х получить итоговую полезность и{х)\ х . В этом смысле целевая функция и(-) позволяет оценивать возможности финансового рынка, и поэтому сама может рассматриваться как функция полезности. А для функций полезности условия гладкости во многих задачах являются необходимыми, что ставит соответствующие вопросы и в задачах максимизации полезности.

Цель исследования. Целью исследования являются:

1) постановка двойственной задачи к задаче максимизации робастной полезности при минимальных предположениях на множество капиталов; установление минимаксных соотношений между основной и двойственной задачами;

2) изучение вопроса дифференцируемости целевой функции в задаче максимизации робастной полезности.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) в задаче максимизации робастной полезности при минимальных предположениях на множество капиталов доказана минимаксная теорема и установлена двойственная характеризация целевой функции;

2) доказано, что в задаче максимизации робастной полезности целевая функция может быть не всюду дифференцируемой, если только функция полезности не является степенной, экспоненциальной или логарифмической;

3) установлены свойства сопряженных пространств для некоторого класса пространств Орлича по семейству мер.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, функциональном анализе, математической статистике, теории случайных процессов и различных областях ее применения, в частности, в задачах финансовой математики.

Апробация работы. Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах

1. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН профессора А. Н. Ширяева, Москва, 2010;

2. Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения", проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, Москва, 2009 и конференциях

3. Международная конференция "Современная стохастика: теория и применения II", Киев, "Украина, 2010;

4. Международная научная конференция студентов аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2009", Москва, 2009;

5. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2010", Москва, 2010;

6. Российско-японский симпозиум "Стохастический анализ сложных статистических моделей", Москва, 2007.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [5, б, 7, 8, 9, 35].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 93 страницах и состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 48 наименований.

Содержание работы. Глава 1 посвящена исследованию некоторых вспомогательных вопросов, которые также имеют и самостоятельный интерес.

В разделе 1.1 определяются пространства Орлича, построенные по семейству мер. Дадим некоторые определения.

Функцией Юнга называется ненулевая неотрицательная четная выпуклая функция Ф: R —> U {+оо} с Ф(0) = 0.

Пусть задано измеримое пространство (П, и семейство £И вероятностных мер. Пространство Орлича Ьф(£), построенное по семейству мер и ассоциированное с функцией Юнга Ф, определяется как {£ 6 L°(«0): sup < +оо для некоторого £ > 0},

Qe£? где пространство L°(J2) состоит из классов эквивалентности случайных величин, совпадающих Q-п.н. при всех Q € Это пространство является банаховым (см. [40]) относительно нормы Люксембурга

ЛГф(0 := sup = inf S.K > 0: sup ЕдФ f |Л < 1

В разделах 1.2-1.5 свойства пространств Орлича по семейству мер £1 и сопряженных к ним изучаются при следующих предположениях на множество J2\

• ¿2 — выпуклое подмножество вероятностных мер на (П, ;

• (3 Р для всех <3 6 и некоторой вероятностной меры Р;

• найдется такая 6 ¿И, что Оо ~ Р;

• семейство Р-равномерно интегрируемо и 2/*-(Р)-замкнуто ДЛЯ любой случайной величины Г] , такой ЧТО 5ирде<0 Ед|?7{ < +оо .

В разделе 1.2 показано, что последнее свойство эквивалентно компактности в *-слабой топологии Ь1(£?)). В этом же разделе доказаны некоторые свойства пространств Орлича по семейству мер, характерные для стандартных пространств Орлича.

Условие компактности на множество Л2 не является интуитивно понятным, поэтому в разделе 1.3 дается описание широкого класса множеств, обладающих этим свойством.

Как и в случае любых банаховых решеток элементы ¡л сопряженного пространства Ьф(£?)* допускают разложение на регулярные // 6 ЬФ(Л2)Г и сингулярные ¡^ Е ЬФ(£2У составляющие. Сингулярные функционалы г е могут быть охарактеризованы как функционалы, принимающие нулевые значения на Ь°°(Р). Регулярным функционалам т £ ЬФ{Л2)Г можно поставить в соответствие меру с/га, такую что для всех £ € Ьф(<£2) будет иметь место соотношение т(£) = /п£с1т. Для сингулярного функционала г е ЬФ(£У с любой точностью е > 0 можно подобрать такое множества в € что Р(£) < е и = 0 при = 0.

Следуя подходу, предложенному в [2], в разделах 1.4 и 1.5 вводится понятие /-дивергенции функционалов на пространствах Орлича, построенных по семейству мер, и исследуются ее свойства. Полученные результаты существенно используются для доказательства результатов главы 2.

Перейдем к задаче максимизации робастной полезности, которая исследуется в главе 2.

Пусть и — конечная функция полезности экономического агента, действующего на финансовом рынке, т.е. V: М —> К вогнута и возрастает. Свяжем с ней функцию ЮнгаФ(ж). := — £/(— |я|) + ¿7(0).

Пусть также на измеримом пространстве (Г2, задано множество случайных величин Ж, которое мы будем интерпретировать как множество всех реализуемых на финансовом рынке доходов. Для начального капитала жбК в качестве допустимых предлагается рассматривать множество

Ожидаемая робастная полезность при начальном капитале х тогда определяется соотношением

Индивидуальные целевые функции по мерам £ ¿2 имеют вид щ(х) зирле^Ео Щх + к),

В теореме 2.1 доказываются основные свойства целевой функции и:

1(1) Функция и(х), хеШ, принимает значения в 1и {+оо}, является возрастающей и вогнутой, а также и(х) ^ II {х) для всех х £ 1.

1(11) Либо и{х) = +оо для всех х € М, либо и(х) 6 М для всех жбЕ.

1(Ш) Для любого начального капитала х £ М выполнены минимаксные соотношения:

Перейдем к описанию двойственной задачи. Зададим множество ^ := ]> е Ьф(£)*: /¿(1П) = 1 и < 0 для любой £ €

Пусть V — двойственная к II функция, т.е. У{у) := зирж€1й[?/(а;) — ху], у Е Ж. В случае & = 0 положим -и(О) := У(0) и у (у) := +оо при у > 0. Если же & ф 0, положим двойственную целевую функцию v равной

Жх := {к Є Ж: ІІГЇ Е0ЇІ(х - к") > -сю}. и(х) := вир іігї Е(¿и(х + к). и(х) = тіп^о(а:

Ж — 1/+(Р)) П , а также множество разделяющих функционалов

0.3) где ц = {іг 4- ца есть разложение функционала ¡л на регулярную цг и сингулярную ¡Iе составляющие.

Определим также для всех с} Є л2 функции у<з(у) := у (у) в случае = 0 и в случае ф 0.

Основные свойства двойственной функции V перечислены в теореме 2.2:

2(1) Функция у (у), 2/ ^ 0 принимает значения в Ми {-Нею}, является выпуклой и полунепрерывной снизу, а также у (у) ^ У{у) для всех у ^ 0.

2(11) Нижняя грань в (0.3) и (0.4) достигается.

2(ш) Для любого у ^ О

Решение двойственной задачи позволяет найти решение основной задачи, поскольку целевые функции и и у являются двойственными друг другу. Более того, между основной и двойственной задачами выполнены следующие соотношения:

3(i) Если dorn у = 0, то и(х) — +оо для любого ж Gl. Если dorn v ф 0, то и (х) Gl для любого

3(п) Между функциями и и у выполнены двойственные связи:

0.4) v(y) =™ъу0(у). и(х) = min[i>(y) + ху], х Є R, у> о

0.5) и у(у) = вир\и(х) -ху], у > 0.

3(Ш) Для любой С) £ ¿2 двойственные связи выполнены между функциями щ и uQ(x) = nnn[vQ(2/) + ху], X Є Е, у> о и vQ(y) = sup[i/Q(2/) - xy], y^Q. x€R

3(iv) Зафиксируем x £ M. Если минимум в (0.5) достигается на у, а минил мум в (0.3) при у — у — на паре (Д, Q) £ & х ¿2, то и{х) = Uq(x) = sup EqU(x + к). (0.6) Л

Обратно, если для некоторой Q е выполнено (0.6), то найдутся такие у > 0 и ß Е &, что минимум в (0.5) достигается на у, а минимум в (0.3) при у = у — на паре (/¿, Q).

Глава 3 имеет дело со следующей моделью финансового рынка:

• Функция полезности U: R —» К U {—сю} возрастает, вогнута, полунепрерывна сверху, не тождественно равна —оо и не является линейной. Совокупность int dorn U внутренних точек области конечности U обозначим (а, +ос), где a€lU {—оо} .

• Пространство элементарных событий Г2 дискретно и состоит из четырех исходов: Q := {(^1,1^2,^3,^4} ■ Сигма-алгебра сР :=

Вероятностные меры и случайные величины тогда можно отождествить с четырехмерными векторами.

• Зафиксируем произвольные 7*1,7*2 Е (0,1) и зададим процессы (дисконтированных) цен двух рисковых активов (5£)t=од для ¿ = 1,2 соотношениями Sq := 6q := 1,

Sl:={ 2-n, 1-n, 1, 1 ), S!:=( 1, 1, 2-r2> l-r2 ).

Множество допустимых доходов определим стандартным образом как X := {AiOS? - S}) + A2(S? - 5g): Аь Л2 € Ж} .

• Зафиксируем произвольные q\■)q2 6 (0,1), две вероятностные меры зададим равенствами

Ох ( Яъ 1-91, 0, 0 ), 02:=( 0, 0, д2, 1 - ) и положим множество субъективных мер £1 равным выпуклой оболочке и 02: £-.= {01$ 001 + (1 - 0)0 < /3 < 1}.

Будем говорить, что функция II является степенной, логарифмической или экспоненциальной, если с точностью до константы, сдвига и умножения на положительную константу ч , -оо. х < 0, , ч I — Ыа, х < О,

11{х) = { а < 1,а 0 и Щх) = < а>1, и{х) = -е-х, .г- € К или щх) = / -<»■ - < °> I In х, х ^ О соответственно.

Тогда в рассматриваемой постановке следующие условия эквивалентны:

1. Для любой рассматриваемой модели рынка целевая функция и(х) в случае конечности дифференцируема на (а, +оо) и при а > —оо удовлетворяет условию Инада на левом конце: НшаЦа (х) = +оо.

2. Функция полезности U{x) имеет степенной, экспоненциальный или логарифмический вид.

А именно, если функция U{x) имеет один из указанных видов, то для любых параметров г25 <7ъ € (0,1) целевая функция и{х) в случае конечности будет дифференцируемой на (а, +оо) и при а > — оо удовлетворять условию Инада на левом конце. Если же функция U(х) имеет иной вид, то всегда можно подобрать такие Г\,Г2, <?ъ (¿2 £ (0,1), что целевая функция и(х) будет либо недифференцируемой по крайней мере в одной точке, либо не будет выполнено условие Инада на левом конце а > —сю.

Благодарность. Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Александра Александровича Гущина, которому автор выражает искреннюю благодарность за помощь в выборе направления исследования и постоянную поддержку.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Морозов, Иван Сергеевич, Москва

1. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

2. Гущин А. А. О расширении понятия /-дивергенции // Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 52, в. 3, с. 468-489.

3. Гущин А. А. Двойственная характеризация цены в задаче максимизации робастной полезности // Теория вероятн. и ее примен., 2010, т. 55, в. 4, с. 680-704.

4. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958.

5. Морозов И. С. Расширение класса допустимых стратегий в задаче максимизации робастной полезности с конечной на R функцией полезности // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 5, с. 617-634.

6. Морозов И. С. О характеристическом свойстве степенных, экспоненциальных и логарифмических функций полезности // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2011, т. 18, в. 2, с. 309.

7. Морозов И. С. Дифференцируемость целевой функции в задаче максимизации робастной полезности // Теория вероятн. и ее примсн., 2011, т. 56, в. 2, с. 374-384.

8. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.

9. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

10. Aliprantis С. D., Border Kim С. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer, 2006.

11. Attouch H., Brezis H. Duality for the sum of convex functions in general Banach spaces 11 Aspects of Math, and its Appl., J. A. Barroso ed., Amsterdam: North-Holland, 1986, p. 125-133.

12. Bellini F., Frittelli M. On the Existence of Minimax Martingale Measures // Math. Finance, 2002, Vol. 12, №1, p. 1-21.

13. Biagini S. An Orlicz spaces duality for utility maximization in incomplete markets // Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications V, Progress Probab., Birkhauser, Basel, Vol. 59, Part 2, p. 445-455.

14. Biagini S., Frittelli M. Utility maximization in incomplete markets for unbounded processes // Finance Stoch., 2005, Vol. 9, №4, p. 493-517.

15. Biagini S., Frittelli M. The supermartingale property of the optimal portfolio process for general semimartingales // Finance Stoch., 2007, Vol. 11, №2, p. 253-266.

16. Biagini S., Frittelli M. A unified framework for utility maximization problems: an Orlicz space approach // Ann. Appl. Probab., 2008, Vol. 18, №3, p. 929-966.

17. Biagini S., Frittelli M., Grasselli M. Indifference price with general semimartingales // Math. Finance, 2011, Vol. 21, №3, p. 423-446.

18. Bismut J.-M. Conjugate convex functions in optimal stochastic control //J. Math. Anal. Appl., 1973, Vol. 44, №2, p. 384-404.

19. Burgert C., Rüschendorf L. Optimal consumption strategies under model uncertainty // Stat. Decisions, 2005, Vol. 23, №1, p. 1-14.

20. Csiszar I. Eine informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodizität von Markoffschen Ketten // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutatö Int. Közl, 1963, Vol. 8, p. 85-108.

21. Delbaen F., Grandits P., Rheinlander T., Samperi D., Schweizer M., Stricker, C. Exponential hedging and entropic penalties // Math. Finance, 2002, Vol. 12, №2, p. 99-123.

22. Föllmer H., Gundel A. Robust projections in the class of martingale measures // Illinois J. Math., 2006, Vol. 50, №2, p. 439-472.

23. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin expected utility with nonunique prior // J. Math. Econom., 1989, Vol. 18, K°-2, p. 141-153.

24. Gundel A. Robust utility maximization for complete and incomplete market models /1 Finance Stoch., 2005, Vol. 9, №2, p. 151-176.

25. Gushchin A. On robust utility maximization // International Conference "Modern Stochastics: Theory and Application", Kyiv, Ukraine, 2006, p. 134135.

26. Kabanov Y. M., Strieker C. On the optimal portfolio for the exponential utility maximization: remarks to the six-author paper // Math. Finance,2002, Vol. 12, №2, p. 125-134.

27. Kozek A. Convex integral functionals on Orlicz spaces // Ann. Soc. Math. Polonae Ser. 1. Comm. Math. XXI, 1979, p. 109-135.

28. Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Prob., 1999, Vol. 9, №, p. 904-950.

29. Kramkov D., Schachermayer W. Necessary and sufficient conditions in the problem of optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Prob.,2003, Vol. 13, m, p. 1504-1516.

30. Maccheroni F., Marinacci M. Ambiguity aversion, robustness, and thenvariational representation of preferences // Econometrica, 2006, Vol. 74, №6, p. 1447-1498.

31. Merton R. C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, №3, p. 247-257.

32. Merton R. C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model // J. Econom. Theory, 1971, Vol. 3, №4, p. 373-413.

33. Morozov I. S. On an extension of the class of admissible trading strategies in the robust utility maximization problem // Abstracts of International Conference "Modern Stochastics: Theory and Applications II", Kyiv, Ukraine, 2010, p. 58.

34. Pitcher T. S. A more general property than domination for sets of probability measures // Pacific J. Math., 1965, Vol. 15, №2, p. 597-611.

35. Pliska S. R. A stochastic calculus model of continuous trading: optimal portfolios // Math. Oper. Res., 1986, Vol. 11, №2, p. 370-382.

36. Rao M. M., Ren Z. D. Theory of Orlicz Spaces. N. Y.: Marcel Dekker, 1991.

37. Rockafellar R. T. Integrals which are convex functionals, II // Pacific J. Math., 1971, Vol. 39, №2, p. 439-469.

38. Rosenberg R. Orlicz spaces based on families of measures // Studia Math., 1970, Vol. 35, p. 15-49.

39. Samuelson P. A. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, №3, p. 239-246.

40. Savage L. The foundations of statistics. N. Y.: Wiley, 1954.

41. Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative // Ann. Appl. Probab., 2001, Vol. 11, №3, p. 694-734.

42. Schied A. Optimal investments for risk- and ambiguity-averse preferences: a duality approach // Finance Stoch., 2007, Vol. 11, №1, p. 107-129.

43. Schied A., Wu C.-T. Duality theory for optimal investments under model uncertainty // Stat. Decisions, 2005, Vol. 23, №3, p. 199-217.

44. Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Rev. Econ. Stud., 1958, Vol. 25, p. 68-85.

45. Von Neumann J.; Morgenstern O. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, 1944.

46. Zalinescu C. Convex analysis in general vector spaces. Singapore: World Scientific Publishing, 2002.