Обобщенный процесс плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями: вычисление и применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

и У

ЬИ£392

На правах рукописи УДК 519.21

Хихол Семён Александрович

ОБОБЩЕННЫЙ ПРОЦЕСС ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЕМИ МАРТИНГАЛОВ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ: ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.05-теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

? 0 млп ог^г)

Москва 2010

004602392

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Гущин Александр Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич,

доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН

Защита диссертации состоится 21 мая 2010 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 19 апреля 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

И.Н. Сергеев

Актуальность работы.

Вопросы эквивалентности, абсолютной непрерывности и сингулярности распределений случайных процессов, а также вид их плотности являются классическими и находят применение в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, финансовой математике.

Одним из хорошо исследованных и широко встречающихся в приложениях классом случайных процессов являются процессы с независимыми приращениями. Первые результаты о плотностях распределений непрерывных процессов с независимыми приращениями были получены Р. Камероном и В. Мартином1'2 в связи с изучением вопроса о замене переменных в интеграле по винеровской мере. Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и формула для их плотности были получены А. В. Скороходом3,4 (см. также статью И. И. Гихмана, А. В. Скорохода5).

Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений произвольных семимартингалов с независимыми приращениями и выражение для их процесса плотности были получены Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым6 и Ж. Жакодом7 как след-

■ 1 Cameron R. H., Martin W. T. Transformation of Wiener integral under translation. // Ann. Math. 1944. Vol. 45. P. 386-396.

2 Cameron R. H., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under a general class transformation. // Urans. Amer. Math. Soc. 1945. Vol. 58. P. 184-219.

3 Скороход A.B. О дифференцируемости мер, соответствующих случайным процессам. // Теория вероятв. и ее примен. 1957. Т. 2 № 4. С. 417-443.

* Скороход A.B. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.

ъРихман И. И., Скороход А. В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах. // Успехи матем. наук. 1966. Т. 21, № 6. С. 83—152.

'Кабанов Ю. М., Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений IL // Матем. сб. 1979. Т. 108(150), № 1. С. 32-61.

Tjacod J. Calcul stochastique et problèmes de martingales. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979. (Lect. Notes Math. Vol. 714)

ствие общей теории, детальное изложение которой можно найти в монографии Ж. Жакода, А. Н. Ширяева8.

Выражение для плотности абсолютно непрерывной компоненты одного распределения относительно другого без предположения об абсолютной непрерывности в случае процессов Леви было получено К. Сато9. Упомянем также работы Ч. Ньюмена10,11 и Ж. Мемена, А. Н. Ширяева12, прилегающие к этому кругу вопросов.

Понятие большей информативности статистических экспериментов было введено X. Боненбластом, JI. Шепли, С. Шерманом в 1949 году в неопубликованной работе и развито в статьях Д. Блекуэлла13,14. Дальнейшее развитие теория получила, в первую очередь, в работах Л. Ле Кама и Э. Торгерсена, см. монографии15'16. "Очень часто" эксперименты несравнимы между собой (что привело к введению Л. Ле Камом понятия дефекта одного эксперимента относительно другого17), и даже если они сравнимы, то доказать это бывает непросто. Большинство из известных результатов о сравнимости конкретных экспериментов относятся к случаю гауссовских экспериментов или экспериментов с параметром сдви-

sJacod J., Shiryaev А. N. Limit theorems for stochastic processes. Second edition. Berlin: SpringerVerlag, 2003.

9 Sato K. Density transformation in Lévy processes. Lecture notes for "Concentrated advanced course on Lévy processes". // MaPhySto, Centre for Mathematical Physics and Stochastics, Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, 2000.

10Neviman C. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. 11 Bull. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 78 P. 268-271.

uNevmum C. On the orthogonality of independent increment processes. // Topics in probability theory. Courant Inst. Math. Sci., New York, 1973. P. 93-111.

nMemtn J., Shiryayev A. N. Distance de Hellinger-Kakutam des lois correspondant à deux processus à accroissements indépendants. // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1985. Vol. 70, № 1, P. 67-89.

nBlackwell D. Comparison of experiments. // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1950 — University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951. P. 93-102.

,4B!ackweU D, Equivalent comparisons of experiments. // Aim. Math. Statistics. 1953 Vol. 24. P. 265-272.

15 Le Cam L. Asymptotic methods in statistical decision theory. New York: Springer-Verlag, 1986.

ie Torgersen E. Comparison of statistical experiments. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

17Le Cam L. Sufficiency and approximate sufficiency. // Ann. Math. Statist. 1964. Vol. 35, P. 14191455.

га, а в качестве стандартного приема при доказательстве использовался рандомизационный критерий Jle Кама.

В последние годы в финансовой математике стали появляться задачи, в которых требуется максимизировать или минимизировать /-дивергенцию по некоторому множеству пар вероятностных мер, причем нередко это требуется сделать одновременно для всех выпуклых функций /. Последнее эквивалентно нахождению наиболее или наименее информативного в некотором множестве бинарных экспериментов.

Так, задача, двойственная задаче максимизации полезности, состоит в минимизации /-дивергенции между "физической" мерой и абсолютно непрерывными локально мартингальными мерами (см., например,18,19). Как правило, если локально мартингальная мера неединственна (т.е. рынок является неполным), мера, на которой достигается минимум /дивергенций, зависит от функции /.

Весьма распространенное предположение о модели финансового рынка состоит в том, что процесс цен есть экспонента от процесса Леви относительно "физической" меры. Для некоторых специальных / было доказано, что относительно локально мартингальной меры, доставляющей минимум в указанной выше задаче минимизации /-дивергенции, процесс цен также является экспонентой от процесса Леви (см., в частности, ра-боты20,21,22,23,24), однако нет оснований предполагать, что это справед-

leKramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets. // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, № 3. P. 904-950.

19Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative. // Ann. Appl. Probab. 2001 Vol. 11, Я 3. P. 694-734.

20 Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by Livy processes. // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, JV 2. P. 504-528.

nEsche F., Schweizer M. Minimal entropy preserves the Livy property: how and why. // Stoch. Proc. Appl. 2005. Vol. 115. P. 299-327.

22Fajimara Т., Miyahara Y. The minimal entropy martingale measures for geometric Ьёуу processes. // Finance Stoch. 2003. Vol. 7, № 4. P. 509-531.

23Hurd T. R. A note on log-optimal portfolios in exponential XAwy markets. // Statististics and Decisions. 2004. Vol. 22, № 3. P. 225-233.

34Jean6lanc M., Kloppel S. and Mtyahara Y. Minimal /'-martingale Measures for Exponential Livy Processes. // Ann. Appl. Probab. 2007. Vol. 17, № 5/6, P. 1615-1638.

ливо для всех выпуклых /.

В работе А. А. Гущина и Э. Мордецки25 рассматривалась задача нахождения верхней и нижней цен выпуклых опционов европейского типа. Был предложен подход к решению этой задачи, основанный на нахождении наиболее и наименее информативных экспериментов в некотором множестве бинарных экспериментов. Для реализации этого подхода в конкретных моделях ими была доказана так называемая лемма о сравнении, дающая достаточные условия сравнимости бинарных экспериментов, отвечающих наблюдениям за случайными процессами с непрерывным временем, т.е. в ситуации, когда применение рандомизационного критерия затруднено и, может быть, даже невозможно. Однако, даже в случае наблюдения за процессами Леви условия леммы о сравнении являются только достаточными, но, вообще говоря, не необходимыми.

Упомянем еще работу А. Шида26, в которой была полностью решена задача максимизации робастной полезности на полном рынке в предположении, что существует субъективная мера, на которой достигается минимум /-дивергенции между субъективными мерами и единственной локально мартингальной мерой одновременно для всех выпуклых функций /. Иными словами, во множестве соответствующих бинарных экспериментов существует наименее информативный.

В работе Д. Крамкова и М. Сирбу27 доказано, что существование так называемого риск-толерантного процесса капитала (что означает важные качественные свойства цен платежных обязательств, основанных на принципе максимизации полезности) для всех функций полезности эквивалентно существованию эквивалентной супермартингальной меры, максимизирующей /-дивергенцию между всеми эквивалентными супер-мартингальными мерами и "физической" мерой одновременно для всех

25Гущин А. А., Мордецки Э. Границы цен опционов для семимартингальных моделей рынка. // Тр. МИАН. Т. 237. Стохастическая финансовая математика. М.: Наука, 2002. С. 80-122.

MSchied A. Optimal investments for robust utility functional in complete market models. // Math. Oper. Res. 2005 Vol. 30, № 3. P. 750-764.

27Kramkov D., Strbu M. Sensitivity analysis of utility-based prices and risk-tolerance wealth processes. // Ann. Appl. Probab. 2006. Vol. 16, № 4. P. 2140-2194.

выпуклых функций /. Другими словами, речь идет о существовании наиболее информативного в соответствующем множестве бинарных экспериментов.

Круг вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, во многом мотивирован перечисленными выше задачами из финансовой математики. В частности, решается следующая задача. Берется произвольный семимартингал с независимыми приращениями. Усредняя его локальные характеристики по времени, мы преобразуем его в процесс Ле-ви. Показано, что этот процесс Леви "ближе" к любому процессу Ле-ви, чем исходный процесс, где "большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями, что эквивалентно сравнимости бинарных экспериментов, составленных из распределений соответствующих процессов.

Из этого результата вытекает следующий факт. Предположим, что на некотором пространстве с фильтрацией на конечном временном интервале задан процесс Леви. Пусть также есть мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс является процессом с независимыми приращениями. Тогда найдется третья мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс есть процесс Леви, и которая "ближе" (в прежнем смысле) к исходной мере, чем вторая. При этом, если процесс был мартингалом по второй мере, то он им останется и по третьей. Этот факт может быть полезен при решении задач минимизации /-дивергенции, рассмотренных выше.

В решении задачи, касающейся усреднения локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, используется доказанный в диссертации критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви, и имеющий самостоятельный интерес для теории сравнения бинарных экспериментов, поскольку он позволяет строить вспомогательные эксперименты, эквивалентные ис-

ходным, но более удобные для сравнения.

Как для решения задачи об усреднении локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, так и для доказательства критерия эквивалентности экспериментов требуется уметь вычислять обобщенный процесс плотности распределения произвольного семимартингала с независимыми приращениями относительно распределения процесса Леви без предположения о локальной абсолютной непрерывности этих распределений.

В диссертации решается более общая задача: установлен вид обобщенного процесса плотности распределений двух произвольных семи-мартингалов с независимыми приращениями. Таким образом, обобщаются упомянутые выше результаты, относящиеся к локально абсолютно непрерывному случаю и случаю процессов Леви.

Цель работы.

Диссертация преследует следующие цели.

• Получить представление для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.

• Показать, что процесс Леви, полученный из семимартингала с независимыми приращениями усреднением локальных характеристик по времени, "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс, в смысле большей близости всех /-дивергенций между их распределениями.

• Получить критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

• Получены два представления для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.

• Показано, что усреднение локальных характеристик по времени преобразует семимартингал с независимыми приращениями в процесс Леви, который "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс. "Большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями.

• Доказан критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.

Методы исследования.

В работе применяются методы стохастического исчисления и теории статистических экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, теории случайных процессов, а также в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, а также в задачах финансовой математики.

Апробация диссертации.

Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения", проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, г. Москва, март 2009 г.

2. Международная конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2009", г. Москва, апрель 2009 г.

3. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева, г. Москва, март 2010 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [1-5] (полный список приведен в конце автореферата), в том числе 3 из них [1-3] в журналах, внесенных в список ВАК. Работ, опубликованных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 41 наименований. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

Диссертация построена следующим образом. В первой главе приводятся некоторые определения и известные факты из стохастического анализа, теории статистических экспериментов и теории /-дивергенций, используемые в последующих доказательствах. Также в первой главе приведены некоторые вспомогательные результаты.

Во второй главе доказывается формула для процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями, обобщающая хорошо известный результат, относящийся к случаю локально абсолютно непрерывных распределений (см., напр., теорему III.5.35 из монографии8), а также результат К. Сато (формулу (3.32) из работы9) для процессов Леви без требования локальной абсолютной непрерывности.

В третьей главе с помощью полученной во второй главе формулы для процесса плотности доказано несколько важных результатов о сравнении и эквивалентности некоторых бинарных статистических экспериментов, отвечающих наблюдениям за процессами с независимыми

приращениями. В частности, показано, что усреднение локальных характеристик по времени преобразует семимартингал с независимыми приращениями в процесс Леви. Показано, что этот процесс Леви "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс, где "большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями, что также допускает эквивалентную формулировку в терминах сравнения соответствующих бинарных статистических экспериментов. Кроме того, доказан критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви, имеющий самостоятельный интерес для теории сравнения статистических экспериментов.

Цитируемые утверждения носят название "предложение". Собственные результаты автора названы "теоремами" (вспомогательные утверждения называются "леммами").

Нумерация утверждений — сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 3.1 указывает на первую теорему в третьей главе. То же самое относится и к нумерации формул.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе собраны основные определения и некоторые вспомогательные результаты, которые используются в последующих главах.

Во второй главе получена формула для обобщенного процесса плотности распределений двух произвольных семимартингалов с независимыми приращениями без требования локальной абсолютной непрерывности их распределений.

Далее мы формально опишем постановку задачи и введем некоторые вспомогательные объекты, необходимые для приведения здесь двух полученных нами представлений для обобщенного процесса плотности распределений двух произвольных семимартингалов с независимыми при-

ращениями в терминах триплетов локальных характеристик канонического процесса относительно заданных мер.

Рассмотрим на пространстве = Ю>(№*) = В(К+; Ш.*1) всех непрерывных справа, имеющих пределы слева функций ш : —> канонический процесс X, задаваемый соотношением Х^ш) — Обозначим д меру скачков процесса X. Пусть фильтрация Р = порождена

X, т.е. ъ = Г? = *5 < г}, т = = 0=1-

е>0

Рассмотрим на две вероятностные меры Р и Р', по которым

процесс X является семимартингалом с независимыми приращениями (в отличие от монографии8 мы не предполагаем, что Хо = 0). Сужения Р и Р' на а-алгебру с{Хо} обозначим Р# и Р'н соответственно.

Фиксируем произвольную функцию усечения /1: К*2 —+ Е*2. Детерминированные версии триплетов X относительно Р и Р' обозначим соответственно

(1)

Свяжем с этими триплетами несколько детерминированных объектов. Пусть Л — мера на Е+ х такая, что (¡ж[2 Л 1) * А{ < оо для всех ^ < оо и 1/ <С А, г/ <С А. Положим II = йи/¿X, V — <1у'¡¿\.

Существует единственное разложение и' = и[ + ь^, где и[ <С V и

_]_ г/, причем = 1д • 1/ и 1>'2 = 1д= • у' для некоторого множества А 6 х К11). Обозначим У — вариант плотности и[ относительно

и : и[ — У • V. Обозначим также

сц = 1/({<} х К*), а[ = ✓({<} х К*), = х И*), г = 1,2.

Из критерия сингулярности распределений семимартингалов с независимыми приращениями несложно показать существование такого детерминированного момента а е [0, +оо], что а = тт{4 : Р* ± Р[}, где Pt и Р£ есть сужения мер Р и Р' соответственно на более того, о явно выражается через триплеты (1).

Из того же критерия вытекает существование такой измеримой функции /3 : [0, а) что

В' = В + к{х) (и'-и)*Х + (ф) ■ А на [0,ст).

Здесь А — непрерывная возрастающая функция, а Сг — функция со значениями в множестве симметрических неотрицательно определенных матриц размера й х <1 такие, что С =- с - А.

Под обобщенным процессом плотности меры Р' относительно Р будем понимать такой (единственный с точностью до Р-неразличимости) согласованный Р-п.н. непрерывный справа и имеющий пределы слева случайный процесс 2 = со значениями в М+, что для любого

{ € К+ случайная величина есть плотность абсолютно непрерывной компоненты Р^ относительно Р;.

Основным результатом второй главы являются два представления для обобщенного процесса плотности 2 меры Р' относительно Р.

Теорема 1 Обобщенный процесс плотности 2 меры Р' относительно Р имеет следующий вид Р-п.н.:

ИР' ИР'

2=ё£{ю ° 1м=й£{м~ф) 110,а[' (2)

где

К - + уГ^1^!}) * (А» -

п п{ ^ ТТ ГТ У(д,А-Х,)

а,< 1 а,=1

ДХ,=0 а[ ,<1 илиУ(8,Д^.)>0

о>..<1

** = £ т^ + Еа-и ^ 1

а,<1 а„=1

ЛХ,=0

кг = 14 ({5 < * : а8 = а'3 = 0} х К'2)

и Xе — непрерывная мартингальная составляющая канонического процесса X по мере Р.

В случае Р' «С Р, согласно критерию абсолютной непрерывности имеем сг — оо, <С ^ и = 1 если с^ = 1, поэтому Б = 1, Ф = 0 и формула (2) сводится к известной формуле Ш.5.218 для процесса плотности.

В случае, когда Р и Р' — распределения процессов Леви, известно, что а — 0 или а = оо. Поскольку для процессов Леви а; = = 0, в случае ст = оо представление (2) приобретает вид

£ — £{(3 • Xе + (У - 1) * (д - у) -

причем ¡3 не зависит от а У зависит только от Это представление для ¿Г совпадает с несколько более сложным представлением (3.32)9 у К. Сато.

В разделе 2.1 формулируется основной результат второй главы, в разделе 2.2 приведено его доказательство: в подразделе 2.2.1 осуществляется сведение к случаю несинулярных распределений, в подразделе 2.2.2 строится мера, доминирующая исходные распределения, в подразделе 2.2.3 приведены вспомогательные вычисления, результаты которых используются в подразделе 2.2.4 для явного выражения обобщенного процесса плотности меры Р' относительно Р через их триплеты (1).

В третьей главе рассматриваются приложения полученной во второй главе формулы для процесса плотности к сравнению некоторых бинарных статистических экспериментов.

На протяжении всей третьей главы рассматриваются распределения семимартингалов с независимыми приращениями, заданных на отрезке [0,1]. Обозначим О = ©(К**) = В([0,1]; Е4) пространство всех непрерывных справа, имеющих пределы слева функций ш : [0,1] —+ М.^. Также, как и во второй главе, X — канонический процесс, задаваемый соотношением Х((о;) = /л мера скачков процесса X и фильтрация ¥ = (^^(од)

порождена X, т.е. .Тч = П?? ~ а в < =

£>0

Определим Р/ (Рх, "Рдо) как класс всех вероятностных мер на (Г2,37), по которым процесс X является семимартингалом с независимыми при-

ращениями (соотв. однородным процессом с независимыми приращениями, соотв. процессом Леви).

Обозначим С класс всех выпуклых функций, определенных на (0; оо). Для / е С доопределим по непрерывности

/(0) = Иш/(«)1

lio ОО xToo X

Благодаря выпуклости оба предела существуют и принадлежат (—оо, +оо]. Будем использовать соглашение 0/(|) = a^jp.

В следующем определении предполагается, что Л — a-конечная мера, доминирующая Ро и Pi; zq и z\ — плотности мер Ро и Pi относительно Л.

Определение 2 (И. Чисар) 28 Пусть / 6 С. /-дивергенцией двух мер Pi и Р0 называется величина

J>(Pi, Ро) = / 2o/(~)áA = E0f(Z) + = оо}.

J ZQ ОО

Основным результатом третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3 Пусть Р' G Vi, тогда найдется такая мера Р 6 Vl¡ что для любой Р € VLfi бинарный статистический эксперимент (Í2, JF, (Р, Р)) является менее информативным, чем (Г2, J-, (Р, Р')).

Иными словами, для любой Р £ Vl,q и для любой выпуклой функции / : (0, оо) —> R имеет место следующее неравенство для f-дивергенций:

Jf(P,P)^Jj(P',P).

Более того, мера Р строится явно по мере Р' по сути дела усреднением по времени локальных характеристик процесса X следующим образом. Пусть (B't, С[, и'{dt, dx)) — детерминированная версия триплета характеристик процесса X относительно меры Р', тогда, например, в

2sCsiszár I. Eine Informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodiatät von Markoffschen Ketten. // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutatö Int. Közl. 1963. Vol. 8. P. 85-108.

качестве Р можно взять меру из Vl,ü с триплетом {B{t, C[t, dtF(dx)), где F(A) = i/((0,1] x А), для А £ B(Rd).

Для доказательства теоремы 3 строится вспомогательный эксперимент (Q, Q'), эквивалентный (Р, Р') и более информативный, чем (Р, Р). Оказывается, что меры Q и Q' можно выбрать из классов Vi,о и Ть соответственно на пространстве О(М).

Большая информативность эксперимента (Q, Q') по сравнению с (Р, Р) доказывается с помощью так называемой леммы о сравнении (см. раздел 5.4 статьи25) и второго представления для обобщенного процесса плотности из (2). При этом следует отметить, что лемма о сравнении не всегда применима непосредственно к экспериментам (Р, Р') и (Р, Р).

Для доказательства эквивалентности экспериментов (Р, Р') и (Q, Q') используется результат, доказываемый в разделе 3.2 и имеющий самостоятельный интерес, а именно приводятся необходимые и достаточные условия эквивалентности экспериментов (Р, Р') и (Q, Q'), где меры Р € Vl,o, Р' 6 Vi заданы на B(Rd), а меры Q е Vl,о, Q' е ~Р/ заданы на ©(R^).

Предполагается, что меры Р и Р', а также Q и Q' не сингулярны. Обозначим детерминированные версии триплетов канонических процессов по мерам Р, Р', Q, Q' соответственно

(bt, ct, dtF{dx)), (B't, ct, u'(dt, dx)), (¿>qí, cqí, dtG(dx)), (B'Q t, cqt, i/q{dt, dx)).

Обозначим также u(dt, dx) — dtF(dx), vq (dt, dx) = dtG(dx). Для произвольной меры R обозначим Ro = R(Xo = 0). Введем для экспериментов (Р,Р'), (Q,Q') вспомогательные объекты /?, У, а', ¡3^, YQ, Vq2, a'q, которые понадобятся для формулировки критерия эквивалентности экспериментов, по аналогии со введенными выше при описании результатов второй главы.

Теорема 4 (Критерий эквивалентности) Введенные выше эксперименты (Р, Р') и (Q, Q') эквивалентны тогда и только тогда, когда вы-

полняетпся условие

о о

< р(У е В) = е В), в е В(Е+ \ {1}), Ро Зо Ш1"**,)

0<д<1_ _ _

к ехрК{(8,1):0<в<1,а;=0}) ~~ ехр(^ 2{(5,1):0<5<1,а^ ,=0}) '

Следствие 5 Для экспериментов, составленных из распределений процессов Леей, необходимые и достаточные условия эквивалентности принимают следующий вид:

< и(У € В) = 1/ч(Уч € В), В е В(Ж+ \ {1}), (ЕЬ)

В заключительном разделе 3.4 приведен следующий результат, который может быть полезен для задач минимизации /-дивергенции, возникающих в финансовой математике.

Теорема 6 Пусть на прозвольном измеримом пространстве с фильтрацией (П, Р) на интервале [0,1] заданы ¿-мерный процесс Ь с непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями, мера (3, относительно которой Ь — процесс Леей, и мера О* -С О., относительно которой Ь — мартингал с независимыми приращениями. Тогда на том же пространстве найдется мера С}, такая что

1) § « Я,

2) Ь — мартингал и процесс Леей относительно меры Я,

3) Jf{Q,Q) < .7/(С}',С)) для всех выпуклых / : (0, оо) —> К. Если (3' ~ С}, то (3 ~ Р.

Так же как и выше, характеристики процесса Ь относительно меры <3 получаются усреднением по времени его характеристик относительно меры С)'.

Благодарность.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Александра Александровича Гущина, которому автор выражает искреннюю благодарность за выбор направления исследования, поддержку и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Хихол С. А. Формула для обобщенного процесса плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями. // Теория вероятн. и ее примен. 2009. Т. 54, № 4. С. 716-729.

2. Хихол С. А. Усреднение локальных характеристик приближает семимартингал с независимыми приращениями к процессам Леви. // Успехи матем. наук. 2010. Т. 65, № 2. С. 199-200.

3. Хихол С. А. Два представления для обобщенного процесса плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями. // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2009. Т. 16, 2. С. 278-279.

4. Хихол С. А. Усреднение локальных характеристик сближает семимартингал с независимыми приращениями с процессами Леви. // М.: МГУ имени М.В. Ломоносова, 2010. - 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.03.2010, № 143-В2010.

5. Хихол С. А. Процесс Леви, который ближе, чем заданный процесс с независимыми приращениями, ко всем процессам Леви. // Тезисы докладов Секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоно-сов-2009». — М.: Механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова, 2009. С. 72-73.

Подписано в печать /¿>, Ои, ¿0-{0 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж ЮО экз. Заказ 25

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

1 Некоторые сведения из теории семимартингалов и их статистики и вспомогательные результаты

1.1 Триплеты локальных характеристик семимартингала

1.2 Критерии абсолютной непрерывности и сингулярности распределений семимартингалов с независимыми приращениями

1.3 Явная формула для процесса плотности локально абсолютно непрерывных распределений семимартингалов с независимыми приращениями.

1.4 Сравнение статистических экспериментов.

1.5 Вычисление триплетов.

2 Два представления для обобщенного процесса плотности семимартингалов с независимыми приращениями

2.1 Формулировка результата.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

2.2.1 Сведение к случаю несингулярных мер.

2.2.2 Построение доминирующей меры.

2.2.3 Вспомогательные вычисления.

2.2.4 Завершение доказательства теоремы 2.1.

3 О сравнении некоторых бинарных экспериментов

3.1 Формулировка основного результата.

3.2 Критерий эквивалентности экспериментов

3.3 Доказательство основной теоремы.

3.4 Применение к одной задаче минимизации /-дивергенщш

Вопросы эквивалентности, абсолютной непрерывности и сингулярности распределений случайных процессов, а также вид их плотности являются классическими и находят применение в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, финансовой математике.

Одним из хорошо исследованных и широко встречающихся в приложениях классом случайных процессов являются процессы с независимыми приращениями. Первые результаты о плотностях распределений непрерывных процессов с независимыми приращениями были получены Р. Камероном и В. Мартином в работах [13, 14] в связи с изучением вопроса о замене переменных в интеграле по винеровской мере. Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и формула для их плотности были получены А. В. Скороходом [4, 5] (см. также статью И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [1]).

Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений произвольных семимартингалов с независимыми ириращени-ями и выражение для их процесса плотности были получены Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [3] и Ж. Жакодом [22] как следствие общей теории, детальное изложение которой можно найти в монографии Ж. Жакода, А. Н. Ширяева [23].

Выражение для плотности абсолютно непрерывной компоненты одного распределения относительно другого без предположения об абсолютной непрерывности в случае процессов Леви было получено К. Сато [36]. Упомянем также работы Ч. Ньюмена [34, 35] и Ж. Мемена, А. Н. Ширяева [33], прилегающие к этому кругу вопросов.

Понятие большей информативности статистических экспериментов было введено X. Боненбластом, Л. Шепли, С. Шерманом в 1949 году в неопубликованной работе и развито в статьях Д. Блекуэлла [11, 12]. Дальнейшее развитие теория получила, в первую очередь, в работах JL Ле Кама и Э. Торгерсена, см. монографии [29, 41]. "Очень часто" эксперименты несравнимы между собой (что привело к введению JI. Jle Ка-мом понятия дефекта одного эксперимента относительно другого [30]), и даже если они сравнимы, то доказать это бывает непросто. Большинство из известных результатов о сравнимости конкретных экспериментов относятся к случаю гауссовских экспериментов или экспериментов с параметром сдвига, а в качестве стандартного приема при доказательстве использовался рандомизационный критерий Ле Кама.

В последние годы в финансовой математике стали появляться задачи, в которых требуется максимизировать или минимизировать /-дивергенцию по некоторому множеству пар вероятностных мер, причем нередко это требуется сделать одновременно для всех выпуклых функций /. Последнее эквивалентно нахождению наиболее или наименее информативного в некотором множестве бинарных экспериментов.

Так, задача, двойственная задаче максимизации полезности, состоит в минимизации /-дивергенции между "физической" мерой и абсолютно непрерывными локально мартингальными мерами (см., например, [27, 37]). Как правило, если локально мартингальная мера неединственна (т.е. рынок является неполным), мера, на которой достигается минимум /-дивергенций, зависит от функции /.

Весьма распространенное предположение о модели финансового рынка состоит в том, что процесс цен есть экспонента от процесса Леви относительно "физической" меры. Для некоторых специальных / было доказано, что относительно локально мартингальной меры, доставляющей минимум в указанной выше задаче минимизации /-дивергенции, процесс цен также является экспонентой от процесса Леви (см., в частности, работы [15, 18, 19, 21, 25]), однако нет оснований предполагать, что это справедливо для всех выпуклых /.

В работе А. А. Гущина и Э. Мордецки [2] рассматривалась задача нахождения верхней и нижней цен выпуклых опционов европейского типа. Был предложен подход к решению этой задачи, основанный на нахождении наиболее и наименее информативных экспериментов в некотором множестве бинарных экспериментов. Для реализации этого подхода в конкретных моделях ими была доказана так называемая лемма о сравнении, дающая достаточные условия сравнимости бинарных экспериментов, отвечающих наблюдениям за случайными процессами с непрерывным временем, т.е. в ситуации, когда применение рандомизационного критерия затруднено и, может быть, даже невозможно. Однако, даже в случае наблюдения за процессами Леви условия леммы о сравнении являются только достаточными, но, вообще говоря, не необходимыми.

Упомянем еще работу А. Шида [38], в которой была полностью решена задача максимизации робастной полезности на полном рынке в предположении, что существует субъективная мера, на которой достигается минимум /-дивергенции между субъективными мерами и единственной локально мартингальной мерой одновременно для всех выпуклых функций /. Иными словами, во множестве соответствующих бинарных экспериментов существует наименее информативный.

В работе Д. Крамкова и М. Сирбу [28] доказано, что существование так называемого риск-толерантного процесса капитала (что означает важные качественные свойства цен платежных обязательств, основанных на принципе максимизации полезности) для всех функций полезности эквивалентно существованию эквивалентной супермартингальной меры, максимизирующей /-дивергенцию между всеми эквивалентными супермартингальными мерами и "физической" мерой одновременно для всех выпуклых функций /. Другими словами, речь идет о существовании наиболее информативного в соответствующем множестве бинарных экспериментов.

Круг вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, во многом мотивирован перечисленными выше задачами из финансовой математики. В частности, решается следующая задача. Берется произвольный семимартингал с независимыми приращениями. Усредняя его локальные характеристики по времени, мы преобразуем его в процесс Jle-ви. Показано, что этот процесс Леви "ближе" к любому процессу Ле-ви, чем исходный процесс, где "большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями, что эквивалентно сравнимости бинарных экспериментов, составленных из распределений соответствующих процессов.

Из этого результата вытекает следующий факт. Предположим, что на некотором пространстве с фильтрацией на конечном временном интервале задан процесс Леви. Пусть также есть мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс является процессом с независимыми приращениями. Тогда найдется третья мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс есть процесс Леви, и которая "ближе" (в прежнем смысле) к исходной мере, чем вторая. При этом, если процесс был мартингалом по второй мере, то он им останется и по третьей. Этот факт может быть полезен при решении задач минимизации /-дивергенции, рассмотренных выше.

В решении задачи, касающейся усреднения локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, используется доказанный в диссертации критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви, и имеющий самостоятельный интерес для теории сравнения бинарных экспериментов, поскольку он позволяет строить вспомогательные эксперименты, эквивалентные исходным, но более удобные для сравнения.

Как для решения задачи об усреднении локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, так и для доказательства критерия эквивалентности экспериментов требуется уметь вычислять обобщенный процесс плотности распределения произвольного семимартингала с независимыми приращениями относительно распределения процесса Леви без предположения о локальной абсолютной непрерывности этих распределений.

В диссертации решается более общая задача: установлен вид обобщенного процесса плотности распределений двух произвольных семимартингалов с независимыми приращениями. Таким образом, обобщаются упомянутые выше результаты, относящиеся к локально абсолютно непрерывному случаю и случаю процессов Леви.

Цель работы.

Диссертация преследует следующие цели.

• Получить представление для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.

• Показать, что процесс Леви, полученный из семимартингала с независимыми приращениями усреднением локальных характеристик по времени, "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс, в смысле большей близости всех /-дивергенций между их распределениями.

• Получить критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

• Получены два представления для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.

• Показано, что усреднение локальных характеристик по времени преобразует семимартингал с независимыми приращениями в процесс Леви, который "ближе" к любому процессу Леви, чем исходный процесс. "Большая близость" процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями.

• Доказан критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.

Методы исследования.

В работе применяются методы стохастического исчисления и теории статистических экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, теории случайных процессов, а также в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, а также в задачах финансовой математики.

Апробация диссертации и публикации.

Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар "Стохастический анализ: теория и приложения", проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, г. Москва, март 2009 v.

2. Международная конференции студентов, аспирантов и молодых учёных :£Ломоносов-2009", г. Москва, апрель 2009 г.

3. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева, г. Москва, март 2010 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]—[10].

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 41 наименований. Общий объем диссертации составляет 85 стр.

1. Гихман И. И., Скороход А. В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах. // Успехи матем. наук. 1966. Т. 21, № 6. С. 83-152.

2. Гущин А. А., Мордецки Э. Границы цен опционов для семимар-тингальных моделей рынка. // Тр. МИАН. Т. 237. Стохастическая финансовая математика. М.: Наука, 2002. С. 80-122.

3. Кабанов Ю. М., Липцср Р. Ш., Ширяев А. Н. Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений II. // Матем. сб. 1979. Т. 108(150), № 1. С. 32-61.

4. Скороход А.В. О дифференцируемое™ мер, соответствующих случайным процессам. // Теория вероятн. и ее примен. 1957. Т. 2 № 4. С. 417-443.

5. Хихол С. А. Формула для обобщенного процесса плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями. // Теория вероятн. и ее примен. 2009. Т. 54, № 4. С. 716-729.

6. Хихол С. А. Усреднение локальных характеристик приближает се-мимартингал с независимыми приращениями к процессам Леви. // Успехи матем. наук. 2010. Т. 65, № 2. С. 199-200.

7. Хихол С. А. Усреднение локальных характеристик сближает семи-мартингал с независимыми приращениями с процессами Леви. // М.: МГУ имени М.В. Ломоносова, 2010. 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.03.2010, № 143-В2010.

8. Blackwell D. Comparison of experiments. // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1950 — University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951. P. 93102.

9. Blackwell D. Equivalent comparisons of experiments. // Ann. Math. Statistics. 1953 Vol. 24. P. 265-272.

10. Cameron R. H., Martin W. T. Transformation of Wiener integral under translation. // Ann. Math. 1944. Vol. 45. P. 386-396.

11. Cameron R. //., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under a general class transformation. // Trans. Amer. Math. Soc. 1945. Vol. 58. P. 184-219.

12. Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by Levy processes. 11 Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, № 2. P. 504-528.

13. Csiszar I. Eine Informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodizitat von Markoffschen Ketten. /1 Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1963. Vol. 8. P. 85-108.

14. Eberlein E., Jacod J. On the range of options prices. // Fin. and Stoch. 1997. Vol. 1. P. 131-140.

15. Esche F., Schweizer M. Minimal entropy preserves the Levy property: how and why. 11 Stoch. Proc. Appl. 2005. Vol. 115. P. 299-327.

16. Fujiwara TMiyahara Y. The minimal entropy martingale measures for geometric Levy processes. // Finance Stoch. 2003. Vol. 7, № 4. P. 509531.

17. Hubalek F., Sgarra C. Esscher transforms and the minimal entropy martingale measure for exponential Levy models. // Quantitative Finance. 2006. Vol. 6, № 2. P. 125-145.

18. Hurd T. R. A note on log-optimal portfolios in exponential Levy markets. // Statististics and Decisions. 2004. Vol. 22, № 3. P. 225-233.

19. Jacod J. Calcul stochastique et problemes de martingales. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979. (Lect. Notes Math. Vol. 714)

20. Jacod J., Shiryaev A. N. Limit theorems for stochastic processes. Second edition. Berlin: Springer-Verlag, 2003.

21. Jakubenas, P. On option pricing in certain incomplete markets. // Tp. МИАН. T. 237. Стохастическая финансовая математика. M.: Наука, 2002. С. 123-142.

22. Jeanblanc М., Kloppel S. and Miyahara Y. Minimal /^-martingale Measures for Exponential Levy Processes. // Ann. Appl. Probab. 2007. Vol. 17, № 5/6, P. 1615-1638.

23. Kallsen J. Optimal portfolios for exponential Levy processes. // Math. Methods Oper. Res. 2000. Vol. 51, № 3. P. 357-374.

24. Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets. // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, № 3. P. 904-950.

25. Kramkov D., Svrbu M. Sensitivity analysis of utility-based prices and risk-tolcrance wealth processes. // Ann. Appl. Probab. 2006. Vol. 16, № 4. P. 2140-2194.

26. Le Cam L. Asymptotic methods in statistical decision theory. New York: Springer-Verlag, 1986.

27. Le Cam L. Sufficiency and approximate sufficiency. // Ann. Math. Statist. 1964. Vol. 35, P. 1419-1455.

28. Liese F., Miescke K. Statistical decision theory. Estimation, testing and selection. Springer (Springer Series in Statistics), 2008.

29. Liese F., Va,jda I. Convex statistical distances. Leipzig: Teubner, 1987.

30. Memin J., Shiryayev A. N. Distance de Hellinger-Kakutani des lois correspondant a deux processus a accroissements independants. // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1985. Vol. 70, № 1, P. 67-89.

31. Newman C. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 78 P. 268-271.

32. Newman C. On the orthogonality of independent increment processes. // Topics in probability theory. Courant Inst. Math. Sci., New York, 1973. P. 93-111.

33. Sato K. Density transformation in Levy processes. Lecture notes for "Concentrated advanced course on Levy processes". // MaPhySto, Centre for Mathematical Physics and Stochastics, Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, 2000.

34. Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative. // Ann. Appl. Probab. 2001 Vol. 11, N2 3. P. 694-734.

35. Schied A. Optimal investments for robust utility functional in complete market models. 11 Math. Oper. Res. 2005 Vol. 30, № 3. P. 750-764.

36. Shiryaev A. N., Spokoiny V. G. Statistical experiments and decisions. Asymptotic Theory. Syngapore: World Scientific, 2000.

37. Strasser H. Matematical theory of statistics. Berlin: de Gruyter, 1985.

38. Torgersen E. Comparison of statistical experiments. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.