Применений мартингальных методов в некоторых задачах, связанных с гауссовскими процессами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Условия эквивалентности и сингулярности гаус-совских мер в терминах детерминированных характеристик мартингальных представлений канонических процессов.

§ I. Постановка задачи и формулировка основного результата. /

§ 2. Доказательство теоремы.

§ 3. Дополнительные результаты и примеры. Я

ГЛАВА 2. Слабая сходимость семимартингалов к процессам диффузионного типа.

§ I. Относительная компактность мер, отвечающих семимартингалам. Условия слабой сходимости к процессам диффузионного типа. Гауссовский случай.

§ 2. Доказательство теоремы.

§ 3. Применения и примеры. к

ГЛАВА 3. Исследование гауссовских семимартингалов в обобщенной схеме Калмана.

§ I. Связь обобщенного фильтра Калмана с проблемой кратности один.

§ 2. Доказательства теорем.

§ 3. Достаточные условия оптимальной линейной фильтрации в многомерной схеме Калмана при вырождении шума" в наблюдениях.

§ 4. Линейная фильтрация семимартингалов в схеме

1. Диссертационная работа посвящена исследованию ряда га-уссовских объектов мартингальныыи методами. С помощью этих методов удается единообразно рассмотреть следующие вопросы:

I) сформулировать условия абсолютной нецрерывности и сингулярности гауссовских мер, отвечающих каноническим процессам, 2) установить условия слабой сходимости семимартингалов общего вида к гауссовским процессам диффузионного типа, 3) рассмотреть процессы в обобщенной схеме Калмана (установить кратности этих процессов, необходимые и достаточные условия непрерывности порожденных ими потоков б -алгебр и, наконец, необходимые и достаточные условия существования обобщенного фильтра Калмана).

Работа состоит из трех глав.

2. В первой главе рассматриваются условия эквивалентности и сингулярности гауссовских мер, отвечающих каноническим процессам некоторой кратности к? ( п 4 об) , . Следует отметить, что условиям абсолютной непрерывности гауссовских мер посвящено большое количество работ (см., например, библиографию в [2~| ). Достаточно полно эти условия представлены для различных классов процессов, например, в терминах характеристик гауссовских мер в гильбертовом пространстве [2,3^ , в терминах характеристик спектральных разложений процессов [2,4^ , в терминах гильбертова пространства с воспроизводящим ядром [5, б] и др. В настоящей работе условия формулируются в терминах детерминированных характеристик мартингальных представлений гауссовских процессов. Близкие задачи решались в £5,7,8,9^ , где, например, найдены условия эквивалентности распределений гауссовского процесса кратности один и винеровского процесса, гаусеовского мартингала, доцускающего скачки, и некоторых других процессов. Вопрос об абсолютной непрерывности мер, отвечающих семимартингалам общего вида достаточно полно изучен в [ю] . В частности и для случая гауссовских семимартингалов. Представляется интересным распространение развитых в [ю] методов на случай мер гауссовских процессов, не являющихся семимартингала-ми.

Гауссовские канонические процессы, для которых здесь формулируются условия эквивалентности мер, рассматриваются в следующей схеме: на измеримом пространстве заданы две верол* ятностные меры Р и Р (распределения определенного на (£2,5") процесса X = (Х^)^^о • Поток 6* -алгебр ~ , порожденных процессом X , предполагается непрерывным сцрава и пополненным по мере О ~(Р+Р)/2- ( если необходимо, вместо потока рассматривается (¿ъ+Ьъо) • Предполагается, что процесс X гауссовский и допускает каноническое представление кратности и . (п 4 оо) 9 , как . относительно (¡Г,Р) , так и относительно (Рг Р) (заметим, что в случае различных кратностей процесса X меры Р и Р были бы заведомо сингулярны; см. например, [П^ ):

X, =Х<, \ ь * (=< До,-у

Х*=Хв+А>± $ Г^^) ад где А^Е(Ь,-ХВ), = , , = (соотв., - ) - независимые гауссовские мартингалы относительно Р) (соотв., (¡Г} р) с выходящими из нуля траекториями из О (см.

12] ), с квадратичными характеристиками £ ,

Р - п.н. (I) Р - п.н. (2) тс\ = (I) , ¿= э такими, что и « ¿<тО± при ¿ = v Детерминированные функции £¿(4,*) и

I 4>. }п у измеримы по £ и 6 и при каждом £<со квадратично интегрируемы:

Основной результат главы формулируется в терминах следующих условий:

I Р и Р -распределения Х0 эквивалентны П <Кт?>+ = с1 \ d - с/<при

Ш существует конечная функция р± такая, что р±>0 при ^вТг^^^А^т^+д^т^ >о ^ и а) - а<гп4\ б) 21 (<-Р*)2 < 00 4сТ

ТУ существуют измеримые функции > Ч) = и - >п> удовлетворяющие условию (в) и такие, что /Н^ и /"¿(¿»V связаны с Л. а л, следующим образом: а) Я. б) для всех £ ^<^¿>5 - п.н. при <=/,. г; а,«)

-< ад в> ± < оо а/

Теорема I. Гауссовские меры Р и Р , отвечающие каноническому процессу кратности и {п ^ оо) , эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют варианты представлений (1)-(2) с характеристиками (А^ , /-¿(¿Л), <™1 и ( у

-¿(¿> <гг) 1>± ) 1-<у.уп) такими, что выполнены условия I - ЗУ.

Заметим, что о существовании вариантов представлений приходится говорить поскольку представления (I) и (2) неединственны. Невыполнение хотя бы одного из условий I - 1У в каждой паре представлений процесса X относительно (Р,Р) и в силу, известной альтернативы Гаека-Фельдмана ( £13^ , [14] ) влечет сингулярность мер Р и Р

Доказательство теоремы I проводится в § 2 на основе методов, развитых в [ю] . В § 3 приведены некоторые следствия и примеры.

2. Вторая глава посвящена изучению условий слабой сходимости последовательности семимартингалов Х°= > (с соответствующими распределениями С}*1 ), к процессу диффузионного типа (и в частности, к гзуссовскому) X = (с распределением С} ). Условия формулируются в терминах триплетов предсказуемых характеристик Впу и " ) семимартингалов X" (см. [15] ) в их канонических представлениях относительно пар (IТ" , Р) > п ^ / : * * з4ащ>1

Предельный процесс X предполагается непрерывным с

X 4 = В,(Х) + М±(Х), X. *0, (3) где по мере С? (определенной на пространстве Скорохода И с соответствующим потоком б'-алгебр Ю на (И , <£)) , см. [16,17,18} ) В0О=(Вда>»

- цроцесс локально ограниченной вариации, а М(Х) = (М±(Х))-±>о - мартингал с квадратичной характеристикой (М(Х))> = ((МСХ)^. » то есть,

19] , мера О на о,*» решает мартингальную проблему диффузионного типа (<М(Х)^ >'Ё>±(Х))±^о •

В формулировке основного результата этой главы участвуют две группы условий. Первая их группа - ограничения на коэффициенты предельного процесса, вторая - условия "сближения" коэффициентов допредельных и предельного процессов:

X (а) В0 (X) = <М(ЮХ = о б) В+(Х)и<М(Х^ > -в®ю - измеримые ( 3 - поток борелевских б -алгебр на ), Ю - предсказуемые функционалы на О в) существует непрерывная, неубывающая, конечная функция оЦ такая, что при любых ~Ь > $ > о вариации процессов и <М(Х)) удовлетворяют следующим неравенствам: при X £ О г) при каздом из сходимости ^р (X *& , к] —=> со , где ^ С' * - метрика Скорохода на О

18] , > X - непрерывная функция, следует сходимость

М(Х)\ - неубывающая функция ~к

Сд) мера С} на (О } £)) » решающая мартингальцую проблему (ЧМ(Х)У, > 6,00^ , существует и единственна.

Се) В^СХ) - при линейный функционал на

И } КМ(Х)\ - - непрерывная неубывающая, детерминированная функция с » уравнение (3) имеет единственное сильное решение.

П при всех и а) $ б) ¡<Х"%+ 1 [ ^Ш^)2--<М(Х")>4| -Р+о в) ^ |в; - в,(Хп;| Л о

Теорема 2. I) Если выполнены условия Г(а,б,в) и ПСа,б,в), то семейство мер Я " , п >4 , относительно компактно.

Z) Если выполнены условия 1(а,б,в,г,д) и ПСв), то для слабой сходимости Ф " к О при п -> необходимо и достаточно выполнение условий П(а,б).

3) Если выполнены условия 1(а,б,в,г,е), то мера О гаусеовекая (решает мартингальную проблему > ), и при выполнении условия ПСв) для слабой сходимости б?" к С? при п-*оо необходимо и достаточно выполнение ПС а, б).

Заметим, что эта теорема в первой и второй частях выходит за рамки гауссовского случая: она является обобщением некоторых результатов

16,20] где предполагалась равномерная Спо X ) ограниченность коэффициентов В±(Х) и <(М (Х)}± предельного процесса. В настоящей работе вместо равномерной ограниченности предполагается условие 1(в) - типа "линейного роста", что позволяет применить в главе 3 результаты теоремы 2 для исследования слабой сходимости в схеме серий пар семимартингалов к гаус-совской паре, удовлетворяющей уравнениям Калмана.

Доказательство теоремы цроводится в § 2 методами, указанными в [1б] и [21] . В § 3 содержатся некоторые замечания и примеры, в том числе рассматриваются (на основе теоремы 2) классический пример сходимости к "броуновскому мосту" и пример сходимости к управляемому диффузионному процессу с квадратичным критерием качества.

4. В главе 3 исследуются гауссовские процессы, определяемые обобщенными уравнениями Калмана, [22] , [бз] :

У* - + 3 *А1 $ где и А^ - детерминированные функции из О с ограниченной вариацией, т = и М - (М± - гауссовские мартингалы относительно некоторой меры Р и потока 6" -алгебр удовлетворяющего обычным условиям Дел-лашери, [23} ; траектории т и м лежат в и , и = = Мо=0

Процессы подобного типа часто рассматриваются в различных задачах управления, фильтрации ( X - ненаблюдаемый процесс, У - наблюдения), управления по неполным данным (см. например, [24 - 26 ] у [52] ). В этих задачах традиционно предполагается непрерывность сцрава потока б' -алгебр (р~У = * порожденных процессом У и, более того, требуется существование обновляющего мартингала М = (М±)ь>у0 относительно (РУ, Р) о такого, что потоки 6 -алгебр, порождаемых М и У совпадают:

FV =ГМ . Эти условия либо требуются априорно, либо обеспечиваются некоторыми - всегда достаточными - условиями (типа условий равномерной "невырожденности" щума в наблюдениях [27] ). Так уравнения фильтрации в [22] были получены при предположениях (наиболее общего вида) (а) - (б): (а) «сКМ^

В § I главы 3 в терминах детерминированных характеристик ) А-ь > ><М\ и МУ± приводится конструкция множеств ("особых точек" на ) 5 и ^ , на которых в некотором смысле нарушаются условия (а) и (б) соответственно. В терминах этих множеств и производных от них множеств , Н4, Н2 и О (см. § I гл. 3) удается сформулировать необходимые и достаточные условия кратности один процесса У , условия непрерывности справа потока /р ^ и условия кратности один процесса У с мартингалом обновления М (откуда следуют условия существования обобщенного фильтра Калмана):

Теорема 3. Процесс У имеет кратность один тогда и только тогда, когда

В этом случае где Д/=(7- гауссовский мартингал относительно Р) с Д/ = пу (ХГЩ)1 Нг)

Теорема 4. Поток ру непрерывен справа тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: а) а о б) Н2 С б?

Теорема 5. Процесс V имеет кратность один с мартингалом обновления М (и, следовательно, = I определяется обобщенными уравнениями Калмана) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: б) Н2 с о

Доказательство теорем 3-5 приводится в § 2. В § 3 рассматривается многомерная схема Калмана с "вырождением щума" в наблюдениях, . При этом удается подучить (теорема б) достаточные условия существования фильтра Калмана (эти условия не являются необходимыми - непосредственное обобщение теоремы 5 на многомерный случай представляется безмерно громоздким).

В четвертом параграфе рассматривается последовательность частично наблюдаемых пар семимартингалов (Х"> У") , я На основе результатов второй главы устанавливаются условия слабой сходимости (X" У") (X , У) при у) оо , где (X, У) - пара гауссовских семимартингалов, определяемых уравнениями Калмана (теорема 7). При этом имеет место сходимость линейной оценки Калмана процессов Xй по У"" к оценке

Калмана X по У при т -» оо (что определяет в некотором смысле "устойчивость" фильтра Калмана).

5. Нумерация теорем единая в работе, нумерация форщгл и лемм - отдельная в каждой главе.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю Р.Ш.Липцеру.

1. Гихман И.И., Скороход А.В. О плотностях вероятностных мер. УМН, 1966, т.21, № 6, с.83-152.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. - 352 с.jl3j Hajek J. On a property of normal distributions of an arbitrary stochastic process.- Czech. Math. J., 1958, N0.8, p.610-618.

3. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980^ - 576 с.129J Jain N. С., Monrad D. Gaussian semimartingales.- Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. G., 1982, N.59, p.139-159.

4. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных цроцеесов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн., 1956, т.1, № 2, с.177-238.

5. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965. - 231 с.

6. Хасьминский Р.З. Предельная теорема для решений дифференциальных уравнений со случайной правой частью. Теория вероятн., 1966, т.II, №3, с.444-462.

7. Григелионис Б.И., Кубилюс К., Минулявичюс P.A. Мартингальный подход к функциональным предельным теоремам. УМН, 1982, т.37, $ б, с.39-51

8. Григелионис Б.И., Лебедев В.А. Новые критерии относительной компактности последовательностей вероятностных мер. -УМН, 1982, т.37, » б, с.29-37.

9. Микулявишос. О проблеме мартингалов. УМН, 1982, т.37, № б, е.125-135.

10. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. О необходимых и достаточных условиях в функциональной центральной предельной теореме для семимартингалов. Теория вероятн., 1981, т.26, № I, с.132-137.

11. Сирая Т.Н. О канонических представлениях случайных процессов кратностей один и два. Теория вероятн., 1973, № 18, с.155-160.

12. Hitsude M. Multiplicity of some classes of Gaussian processes.- Nagoya Math. J., 1973, Я.55, p.39-46.

13. Emery M. Covariance des semimartingales quassiennes.-C.R. Acad.Sc. Paris, 1982, v.295, H.6, p.703-705.

14. Бутов A.A. Об эквивалентности мер, отвечающих гауссовским каноническим процессам. УМН, 1982, т.37, № 5, с.169-170.

15. Butov A.A., Kuznetsov N.A., liptser R.Sh., Miller B.M., Rubinovich E.Ya., Serebrovskii A.P., Yashin A.I. Generalized observations control in problem of stochastical optimization.- Proo. IPAC Control Sc. and Technol., Kyoto, 1981,P. 851-856.

16. Butov A.A. On the Multiplicity of the Multiplicity of the Observable Process in the General Kalman Scheeme.- Stochast., 1982, v.6, p.175-192.55.