Асимптотические методы статистики считающих процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ и*. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

Мунир аль Шахф

УДК 519.21

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ СЧИТАПЦИХ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 - теория вероятностей я математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидате физико-математических наук

Киев - 1992

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории вероятностей Донеокого государственного университета,

4 '

Научный руководитель - доктор физико - математических

наук, профессор

ЛИНЬКОВ Ю.Н. >

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Анисимов В.В.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Зуев Л.А.

Ведущая организация - Институт математики АН Украины • (г.Киев)

Запита состоится "___" _____________ 1992 года в ____часов

на заседании специализированного совета К 068.18.11 при Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко по адресу: Киев - 127, проспект Академика Глушкова, 6, КГУ, механико- математический факультет, ауд. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университете им. Т.Г.Шевченко.

Автореферат разослан "_____*______________..„1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета СУЩАНСКИЯ В.И.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

_темн._ При решении задач статистики для различных схем наблюдений вакную роль играют асимптотические свойства отношения правдоподобия. Создание методов f-атематической статистики, основанных па использовании асимптотических свойств отношения правдоподобия, восходит к работам А.Вальда и Л.Ле Кама. При этой сначала рассматривались последовательности независимых случайных величин и использовалась центральная предельная теорема для отношения правдоподобия, что привело к появлении понятия локальной асимптотической нормальности семейств вероятностных мер, порождаемых наблюдаемыми величинами. Позднее в работах Д.М.Чибисова, Я.Гаека, Дж.Русаса, И.А.Ибрагимове и Р.З.Упсьмин-ского и других авторов была развита достаточно общая асимптотическая теория оценивания параметров и проверки гипотез, основанная на использовании асимптотических свойств отношения правдоподобия, для последовательностей случайных величин, вообще говоря, с произвольной зависимостью.

Распространение этой теории с последовательностей случайных величин на случайные процессы с непрерывным временем связано с развитием сомой теории случайных процессов. Полученные в последнее время удобные формулы плотностей мер и доказанные предельные теоремы для различных классов случайных процессов способствовали распространению этой теории на различные классы случайных процессов. Отметим здесь работы И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского, К.0.Джапаридзе, В.Л.Проказы Pao, Ю.А.Кутоян-па, Ю.Н.Лянысова, А.Ф.Тараскина, Е.Огаты и др.

Далее, Д.М.Чибисовым, И.А.Ибрагимовым и Р.З.Хасьминским было замечено, что асимптотический метод А.Впльда и Л.Ле Кама носит общий характер. Он применим к любой модели наблвдения, отношения правдоподобия для которой обладает свойствами, устанавливаемыми этим методом. Поэтому раэвиввя метод А.Вальда и Л.Ле Кама, следует устанавливать те или иные свойство статистических процедур для схем наблюдений произвольной природы, накладывая ограничения на отношение правдоподобия, а затем применять эти результаты к конкретным моделям наблюдения. Такой подход привел к развитию асимптотических методов статистики общих статистических экспериментов, в которых ограничения накладываются на отношения правдоподобия. Затем развитые общие

методы применяются к конкретным моделям наблюдения, что приводит к необходимости исследовать асимптотические свойства отношения правдоподобия и является, вообще говоря, далеко нетривиальной задачей.

Настоящая диссертация посвящена применению общих методов, основанных А.Вальдом и Л.Ле Камом и развиты) их последователями, к наблюдениям считающих процессов, которые представляют собой математическую модель многих явлений в медицине, биологии, физике, технике, в теории надежности и массового обслуживания. В настоящее время статистике считающих процессов посвящено достаточно много работ, среди которых отметим работы Ю.Н.Линькова, Ю.А.Кутояноа, Е.Огаты, близкие к теме диссертации и посвященные применению и развитию метода А.Взльда и Л.Ле Кама. В настоящей диссертации в отличие от предыдущих работ допускаются разрывы у компенсаторов считающих процессов и исследование основано на изучении асимптотического поведения отношения правдоподобия.

иель_£аботы - доказать предельные теоремы для отношения правдоподобия при различных альтернативных гипотезах и полученные теоремы применить к исследованию асимптотических свойств наиболее мощных критериев, оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок неизвестных параметров.

Метпдика_ксследованшь В роботе используются мартингальные методы теории случайных процессов, методы стохастического интегрирования, асимптотические методы математической статистики.

Научная ^¡овизнп. В работе получены следующие новые результаты:

- доны достаточные условия, при которых логарифм процесса локальной плотности мер для считающих процессов является специальным семш^ортингалом, и получено каноническое представление этого семимартингала;

- для логарифма отношения правдоподобия в неппраметрической постановке доказаны закон больших чисел, теоремы о слабой сходимости при подходящем центрировании и нормировании и получены условия справедливости теорем о больших уклонениях;

- в параметрической постановке для случвя близких параметров получено асимптотическое разложение отношения правдоподобия, а для нормированного отношения правдоподобия получены оценки приращения по параметру и интеграла Уеллингера порядка 1/2 :

- полученные результаты применены к считающим процессам

с детерминированными компенсаторами и процессам восстановления;

- на основе установленных свойств отношения правдоподобия изучены асимптотические свойства критерия Неймана-Пирсона, оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок.

Практическая_ценндстЬ;_ Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и развитые методы могут найти применение в математической статистике при разработке методов обработки данных.

Аппробвцгаработы,. Основные результаты рэботы докладывались на Республиканской конференции "Вероятностные модели процессов в управлении и надежности"(Донецк, 25-20 мая 1990 г.) и на семинарах по теорий вероятностей и математической статистике в Донецком государственном университете и Институте прикладной математике и механике АН Украины (Донецк, 1930 - 1991 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Ст^уктхра и объемдиссертации^ Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (54 наименования). Общий объем работы 134 машинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ •

Во_вве.цении обоснована актуальность выбранной темы исследования и дано краткое изложение диссертации.

собраны основные результаты для случайных процессов, используемые ниже на протяжении всей работы. В § 1.1 приведены необходимые сведения из общей теории случайных процессов, связанные с понятием мартингала и его обобщениями. Введены классы случайных процессов, даны определения и обозначения для случайных мер, стохастических интегралов по локальным мартингалам, случайным мерам и семимартингалам и приведены формула Ито для семимартингалов, неравенство Ленгляра и некоторые другие факты. В § 1.2 приведены Факты из теории считающих процессов.

Пусть X - пространство траекторий считающего процесса ? . - наименьшая О1 - алгебра, порожденная

цилиндрическими множествами, (Зц.')- фильтрация на (.X, X) . в Р и Р две вероятностные меры нэ ( ,

0.-(Р+р)/2 . Пусть (ПД, Р, р4) - С) - полный стохастический базис, где Уч , - Р - пополнение X Я-С^ . . а^.С^ « - ком-пенсяторы считающего процесса 9 относительно мер' Р и Р соответственно. Б § 1.2 введены интеграф Хеллингера порядка в М^ СБ; Р , Р) для мер Р и Р и пропесс Хеллингера порядка Е Рч Р) для мер Р и Р Приведены условия локальной абсолютной непрерывности меры Р относительно меры Р и данвид процесса локальной платности 3£

, где с1Г/ А Р* , в Р « Р - суше-

ния мер Р и Р на <5Г -алгебру "¡^(лемма 1.1.5). Даны условия, при которых процесс А» lfX.it является специальным семимартингалом, и дано каноническое представление се-мимвртингалв Г^ (лемма 1.1.7). В заключении § 1.2 рассмотрен параметрический случай, когда на С К, задано параметрическое семейство вероятностных мер С , где (5) - некоторое множество из й , К.-*

В_главе_2 исследуются асимптотические свойства отношения правдоподобия прикак в параметрическом, тек й в

непараметрическом случае. В § 2.1 рассматривается непараметриЧеский случай и в условиях леммы 1.2.7 доказываются Предельные теоремы для А^ при ^•*» . При этом существенно используются известные предельные теоремы для семи-мартингалов. В теореме 2.1.1 даны достаточные условия справедливости закона больших чисел А ^ при ^ •«» . Теорема 2.1.2 дает усйовия^ ^ - устойчивой слабой сходимости:

М?~ А^ —^ Хъ устойчиво), — ,

к квазинепрерывному слева семимартингалу X на стохастическом базисе (П.Ф, Р,Р} с Н^ - условно независимыми приращениями, где •<» при , а - не-

которая Ф -алгебра такая, что С *3г% . Теорема 2.1.3 двет частный случай теоремы 2.1.2 для тривиальной С* -алгебры

"Ч» , О.} • Теорема 2.1.4 двет условия - устойчи-

вой слабой сходимости ^

V ^ - ^«йчиво)Л -где - непрерывная детерминированная функция, *"в

(1)

(2)

при \> —*"" . Слпбпя ^ - устойчивоя сходимость к ло-

кально квадратично интегрируемому мартингалу с - условно

гвуссовскими независимыми прирпщенипми даня в терминах 2.1.5 и 2.1.6. В теореме 2.1.7 даны достаточные условия в теоремах процесса Хеллингерв Р, Р} спрведлвдрсти следугь

щих соотношений для интеграла Хеллингера

- ИСб;Т> , Р )'• л

Ьп 11т. 4«' 1л.Н.Св;¥,Р) .

и ь 4

где ПРИ ^ ■ ?ти соотношения играют

важную роль в теоремах о больших уклонениях для Д^.

. В §§ 2.2 и 2.3 рассматривается параметрический случай и исследуются свойство процесса 56(5,9^ локальной плотности меры Р-ц относительно меры Р0 . В § 2.2 получены асимптотические рачложения для Л^СЭ^В-) Ьл^О^,©) при ■к •""* , где В^. зависит от "к и © при

t В теореме 2.2.1 доказано асимптотическое разложе-

ние вида

- симметричная

положительно определенная матрица такая, что

при ^ 00 , ^ -- локально квадратично интегрируемый

мартингал такой, что

^Р^^соД^Д —, \

в и р^ - случайные вектор и матрица такие, что

Здесь I ^ - единичная матрица порядка К. , ^(ОД^Л -нормальный закон с вектором средних 0 и матрицей коворипаий

, об Рд") - закон распределения ^ относитель-

но меры Р . означает слабую сходимость, птрпх оз-

- и -

начает транспонирование. В случае и,^ Неб. ,

из теоремы 2.2.1 вытекает локальная асимптотическая нормальность семейства вероятностных мер С Р^ , В © (у)^ при-Ь-»-«•« в точке Э . В теореме 2.2.2 'доказана равномерная по О С К локальная асимптотическая нормальность для любого компакта Кс© . В § 2.3 для случайной функций Л, *

- -•-Ч^&^и,, доказаны следующие свойства: для любого компакта К СГ ([у равномерно по фстл, Ц.^е(Й), —

при всех

где (Х- ОьСК} » о о (теорема 2.3.1); для любого

компакта Неф и любого N ^ 0 равномерно по 8«Н,ае <8>*1в , ■Ь^.сМ.Ю

г ы1'1 Г.

где «в (теорема 2.3.2).

В § 2.4 приведены примеры проверки условий теорем из §§2.1

- 2.3 для считающих процессов с детерминированными компенсаторами, а в § 2.5 применяются предельные теоремы из §§ 2.1 - 2.3

к процессам восстановления.

Главе_3 посвящена применению свойств отношения правдоподобия, установленных в главе 2, к задачам статистики считающих процессов. В § 3.1 рассматривается задача проверки двух ^простых статистических гипотез Н и П по наблюдению £ » • считающего процесса ^ ^Предполагается, что

Р*<< 1Р% при всех <=; & , где Р я Р ^ - рас-

пределения наблюдения .при гипотезах п и И соответственно, и

АР/ЛРЧа» . для

проверки гипотез Н* и п рассматривается критерий Неймана-Пирсона уровня о^ е. С^Д^ :

' + оС

где С^еЮ,«] , - параметры критерия ' *

определяемы пз условия

. Здесь

- вегоятнопть ошибки 1-го рода критерия . через М^4)

будем обозначать вероятность ошибки 2-го родя критерия Доказано (теорема 3.1.1), что в условиях теоремы 2.1. справедлива импликация

( сС I). ( ^ 2) Ссп , (3)

где

( ОС I) С^:- О', ( ОС 2) ^т. I;

со Ы "^¡лс,—1; • 11Я1 1.

В теореме 3.1.2 доказано, что если процесс Уеллингера \\(£; удовлетворяет условиям, обеспечивающим справедливость соотношений (I) и (2) при — — ^ • то имеет место импликация

( оС I), (

где

( оС I) 0; ( иг') 1иа \ «аЦ-^-О.

"4. ^ V

Далее, введем условие: ( 2)

где и - вероятностный закон на С- , (П с непрерывной функцией распределения 1дС.ССЛ , строго монотонно возрастающей на С к , о ^ . где

1. - ЫЦ> : иа^ ~ о! , I « Я>: С 31 ^ - I] .

В теореме 3.1.3 даны условия выполнения условия (^ 2), при котором для любого (лемма 3.1.3):

где — р - квантиль закона Ц ^

Далее вводится усппр;;е: < 3)

хде "ив и , причем ^^ * . ь Vi

- вероятностный закон на R с непрерывной строго монотонно возрастающий на С , Ц} функцией распределения. Доказана лемма 3.1.4, утверждающая, что при условии ( О 3) для любого ode *

torn с£. — lim Active +

** ^jC^C A > ^ - h-* (5)

Ь теореме 3.1.4 даны.условия , обеспечивающие справедливость условия ( ^ 3) и соотношений (5). Заметим, что если — —^ (0, , то импликации (3) - (5) дают следующие скорости убывания ^ :

+ 0CW -VV*V

в , е , е

в зависимости от того, выполняется закон больших чисел для

(д. , условие ( ^ 2) или условия ( ^ 3) соответст-

венно. Б заклычание § 3.1 рассмотрено поведени^. $ когда выполняется условие ( 4) ^ Vj ,

где L - вероятностный закон на R с непрерывной и строго монотонно возрастающей на С ^ , 1Л функцией распределения 1* (Ж") • D частности, показано, что при этом условии для любого ^ в 10,11

Ът lim' ^C^'S-ict^,

ГД9 ~ I U

- «о

В § 3.2 на основании теорем из §§ 2.2 и 2.3 для байесовской оценки при доказаны утверждения (теорема 3.2.1): а) рввнокерно по Q е. R при i-«-*»

б) для любой функции 1СЭД: Я - К , имеющей полиномиальную мажоранту, равномерно по ^ о V»

и. ЕЪоу»;

где ^ - К - мерный случайный вектор, «б С^чР-) X ^

в) оценка ^^ асимптотически эффективна в К по отношению к семейству функций потерь, Сб^ Х^ , где

еле К

- любая точка, в I имеет полиномиальную мажоранту. Здесь К

- любой компакт из (н) , а - байесовская оценка относительно положительной априорной плотности и функции потерь

, где

В,е. К - любая точка, а о -Некоторая функция. Такие же свойстве установлены и для оценки максимального правдоподобия о ^ при К.-« 1 (теорема 3.2.2).

В § 3.3. приведены примеры, иллюстрирующие применение теорем из §§ 3.1 и 3.2.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы':

1. Линьков Ю.Н., Мунир аль Шахф. Асимптотические свойства отношения правдоподобия для считающих процессов с детерминированными компенсаторами. - Донецк: Донецкий ун-т, 1990.- 47 с.

- Деп. в УкрНИИНТИ 06.Об.90, * 972 - Ук90.

2. Линьков Ю.Н., Мунир аль Шахф. Об отношении правдоподобия для считающих процессов с детерминированными компенсаторами Ц Вероятн. модели процессов й управл. и надежн. (Донецк, 25-26 мая 1990 г.) / 2-я Донецкая конфер. - Тез.докл. - Донецк: ; ИПММ АН УССР, 1990. - С.38-39.

3. Линьков Ю.Н., Мунир аль Шахф. Асимптотические свойства отношения правдоподобий для считающих процессов. - Донецк, 1991.

- 56 с. - (Препринт / АЙ УССР. Ин-т прякл. математики и механики; 91.02),

Полисам ) Нчагь 18.02.92.

Фориаг <0x8tt/K. Бумаг* п*ечая.Офсвт*ая п»чя»1.

Усл.п.л. 0,75. f-акяш «П. ICO ski, Пвсплатно.

Р-т !1ЭП \Н Украшнн. Э400ЧЯ, р.Донвпк, ул.У**1е|с»твгс*1Я,77.