Асимптотические методы статистики считающих процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ и». Т.Г.ШЕВЧЕНКО

На прввах рукописи

Мунир ель Шахф

УЖ 519.21

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ СЧИТАЩИХ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидате физико-математических наук

Киев - 1992

Работе выполнена но кафедре алгебры к теории вероятностей Донецкого государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико - математических

неук, профессор ЛИНЬКОВ Г. Н. 1

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Анисимов В.В.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Зуев Л.А.

Ведущая организация - Институт математики АН Украины

(г.Киев)

Защита состоится " 1992 года в^^шсов

на заседании специализированного совета К 068.18.11 при Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко по адресу: Киев - 127, проспект Академика Глушкова, 6, КГУ, механике- математический фафльтет, ауд. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко.

Автореферат разослан г-

Ученый секретарь специализированного совета

СУЩАНСКИЙ В. И.

Ъ!Г

••; ОПЦАП ХАРАКТЕРИСТИКА 1'ЛБОТЫ

—^Актуальность При решении задач статистики для различ-

ных схем наблюдений важную роль играют асимптотические свойства отношения прпвдоподо^ия. Создание методов математической статистики, основанных нв использовании асимптотических свойств отношения правдоподобия, восходит к работам А.Ьальда и Л.Ло Кама. При этом сначала рассматривались последовательности независимых случайных величин и использовалась центральная предельная теорема для отношения правдоподобия, что привело к появлению понятия локальной асимптотической нормальности семейств вероятностных мер, порождаемых наблюдаемыми величинами. Позднее в работах Д.М.Чибисова, Я.Гоекп, Дж.Русаса, И.А.Ибрагимова и Р.З.Упсьмин-ского и других авторов была развита достаточно общая асимптотическая теория оценивания параметров и проверки гипотез, основанная на использовании асимптотических свойств отношения правдоподобия, для последовательностей случайных величин, вообще говоря, с произвольной зависимостью.

Распространение этой теории с последовательностей случайных величин на случайные процессы с непрерывным временем связано с развитием сомой теории случайных процессов. Полученные в последнее"^время удобные формулы плотностей мер и доказанные предельные теоремы для различных классов случайных проиессов способствовали распространению этой теории на различные классы случайных процессов. Отметим здесь работы И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского, К.О.Джапаридзе, В.Л.Проказы Рао, Ю.А.Кутоян-са, Ю.Н.Линькова, А.Ф.Тараскина, Е.Огаты и др.

Далее, Д.М.Чибисовым, И.А.Ибрагимовым и Р.Э.Хасьминским было замечено, что асимптотический метод А.Вальда и Л.Ле Кама носит общий характер. Он применим к любой модели наблюдения, отношения правдоподобия для которой обладает свойствами, устанавливаемыми этим методом. Поэтому развивая метод А.Вальда и Л.Ле Кама, следует устанавливать те или иные свойстве статистических процедур для схем наблюдений произвольной природы, накладывая ограничения на отношение правдоподобия, а затем применять эти результаты к конкретным моделям наблюдения. Такой подход привел к развитию асимптотических методов статистики общих статистических экспериментов, в которых ограничения накладываются на отношения правдоподобия. Затем развитые обшяе

методы применяются к конкретным моделям наблюдения, что приводит к необходимости исследовать асимптотические свойства отношения правдоподобия и является, вообще говоря, далеко нетривиальной задачей.

Настоящая диссертация посвящена применению общих методов, основанных А.Вальдом и Л.Лв Кзмом и развиты? их последователями, к наблюдениям считающих процессов, которые представляют собой математическую модель многих явлений в медицине, биологии, физике, технике, в теории надежности и массового обслуживания. В настоящее время статистике считающих процессов посвящено достаточно много работ, среди которых отметим работы Ю.Н.Линькова, Ю.А.Кутояниа, Е.Огаты, близкие к теме диссертации и посвященные применению и развитию метода А.Вальда и Л.Ле Кама. В настоящей диссертации в отличие от предыдущих работ допускаются разрывы у компенсаторов считающих процессов и исследование основвно на изучении асимптотического поведения отношения правдоподобия. ■

иель_[шботы - доказать предельные теоремы для отношения правдоподобия при различных альтернативных гипотезах и полученные теоремы применить к исследованию асимптотических свойств наиболее мощных критериев, оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок неизвестных параметров.

Методика.исследования^ В работе используются мартингальные методы теории случайных процессов, методы стохастического интегрирования, асимптотические методы математической статистики.

Научная.нгвизна. В работе получены следующие новые результаты:

- доны достаточные условия, при которых логарифм процесса локальной плотности мер для считающих процессов является специальным семичпртингвлом, и получено каноническое представление этого семимартингвла;

- для логарифма отношения правдоподобия в неппраметрической постановке доказаны закон больших чисел, теоремы о слабой сходимости при подходящем центрировании и нормировании и получены условия справедливости теорем о больших уклонениях;

- в параметрической постановке для случая близких параметров получено асимптотическое разложение отношения правдоподобия, а для нормированного отношения правдоподобия получены оценки приращения по параметру и интеграла Уеллингера порядка 1/2 :

- полученные результаты применены к считающим процессам

с детерминированными компенсаторами и процессам восстановления;

- на основе установленных свойств отношения правдоподобия изучены асимптотические свойства критерия Неймпна-Пирсонв, опенок максимального правдоподобия и байесовских оиенок.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и развитые методы могут найти применение в математической статистике при разработке методов обработки данных.

Аппробадия_работы._. Основные результаты работы докладывались на Республиканской конференции "Вероятностные модели процессов в управлении и надежности"(Донецк,- 25-20 мая 1990 г.) и на семинарах по теории вероятностей и Математической статистике в Донецком государственном университете и Институте прикладной математике и механике АН Украины (Донецк, 1990 - 1991 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

?£1Ш1ХЕ!1_и_обгем_£Иссертаоии. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (54 наименования). Общий объем работы 134 мрюинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ -

Во_вве.дения обоснована актуальность выбранной темы исследования и дано краткое изложение диссертации.

В^главе_1 собраны основные результаты для случайных процессов, используемые ниже на протяжении всей работы. В § 1.1 приведены необходимые сведения из общей теории случайных процессов, связанные с понятием мартингала и его обобщениями. Введена классы случайных процессов, двны определения и обозначения для случайных мер, стохастических интегралов по локальным мартингалам, случайным мерам и семимартингалвм и приведены формула Ито для семимартингалой, неравенство Ленгляра и некоторые другие факты. В § 1.2 приведена факты из теории считающих процессов.

Пусть X - пространство траекторий считающего пропесся § -СЮ . - наименьшая О1 - алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, (Зс^- фильтрация на С X, X") , а Р и Р - две вероятностные меры на ( ,

<Л'(Р+Р)/2 . Пусть <.0,$", Р, Р") - С).- полный стохастический базис, где П - X , У- Ж9 - 9 - пополнение X Р-С^ . Ж® . «^-С^ и^ - - кок-

пенсвторн считающего процесса 9 относительно мер' Р и Р соответственно. В § 1.2 введены интеграф Хеллингера порядка в М^ (. 6; Р , Р } щя мер Р и Р и проиесс Хеллингера порядка Е Р) для мер Р и "Р Приведены условия локальной абсолютной непрерывности меры Р относительно меры Р и дянввд процесса локальндй платности 5С ~

«сз*^,гле Ч^Р^ЛР* •8 р -°уже-

иил мер Р и Р на <У -алгебру $^(леммэ 1.1.5). Даны условия, при которых процесс Л—- является специальным семимартингалом, и дано каноническое представление се-мимартингалв К (лемма 1.1,7). В заключении § 1.2 рассмотрен параметрический случай, когда на С К , задано параметрическое семейство вероятностных мер ( ^(Ц)") , где (Ц) - некоторое множество из К , К*!.

В_главе_2 исследуются асимптотические свойства отношения правдоподобия & ^ при •» как в параметрическом, так й в непаряметрическом случае. В § 2.1 рассматривается непараметриЧеский случай и в условиях леммы 1.2.7 доказываются Предельные теоремы для Л^ ™ при ^ •• .При этом существенно используются известные предельные теоремы для семи-мартингалов. В теореме 2.1.1 даны достаточные условия справедливости закона больших чисел Л^ при . Теорема 2.1.2 двет условия^ ^ - устойчивой слабой сходимости:

^^ —УСТОЙЧИВО), — ,

к квазинепрерывному слева семимартингалу X на стохастическом Оазисе Р,Р") с Ч^ - условно независимыми приращениями, где чГ^-»- при 4«— , а - некоторая С? -алгебра такая, что с: . Теорема 2.1.3 двет частный случай теоремы 2.1.2 для тривиальной С -влгебры 41 {% , . Теорема 2.1.4 двет условия Ч^ - устойчивой слабой сходимости ^ '

V ^ - У^ойчиво) > где - непрерывная детерминированная йнкоия,

при \ . Слабая - устойчивой сходимость к ло-

кально квадратично интегрируемому мартингалу с - условно

гвуссовскими независимыми приращениями дана в терминах 2.1.5 и 2.1.6. В теореме 2.1.7 даны достаточные условия в теоремах процесса Хеллингера справедливости следугь

щих соотношений .для интеграла Хеллингера п.(Д', г, г)«

-ИСб'^РМ: ■

йт Ьдт. Тм> (1)

к к 4 (2)

где ^ , ^ 'при ^ <»*» . ?ти соотношения играют

важную роль в теоремах о больших уклонениях для Д^..

В §§ 2.2 и 2.3 рассматривается параметрический случай и исследуются свойство процесса <£(5, б4) локальной плотности меры Р-ц относительно меры Р^ . В § 2.2 получены асимптотические разложений для Л^Св^б")» при

■Ь -*■ , где В^. эввисит от "Ь и В^-»- в при 4 *■*•«-•. В теореме 2.2.1 доказано асимптотическое разложение вида

- симметричная

положительно определенная матрица твквя, что О

при Ъ 00 ~ локально квадратично интегрируемый

мартингал такой, что

—V

в и р^ - случайте вектор и матрице такие, что

Здесь I ^ - единичная матрице порядка К. . »К (0,1^ -нормальный закон с вектором средних 0 и матрицей ковариапий

. о£ Рд4) - закон распределения ^ относитель-

но меры Р0 , -У^, означает слабую сходимость, штрих оз-

- Й -

начает транспонирование. В случае и.«г ,

из теоремы 2.2.1 вытекает локальная асимптотическая нормальность семейства вероятностных мер С Р^ , В © при.-Ь ■»■«> в

точке 8 . В теореме 2.2.2 доказанаравномерная по б е. К локальная асимптотическая нормальность для любого компакта К с © . В § 2.3 для случайной ^ункоии „сил -

■»•'^б^и., доказаны следующие свойстве: для любо-

го компакта К с: (Ц) равномерно по «Т\СВН©-6>),\и.\,\,0иЫ при всех

г- ГУ4/»- Л Г. . »Л I

^ Вса^-м т-уг,

где ОсСК^ О 0 (теорема 2.3.1); для любого

компакта К с. (0) и любого N 0 равномерно по

е « Н, и,« (0\е

_ . 1/1 ' Л -Н

ЕеЧо^^м^ »

где Сц ■<• «*» (теорема 2.3.2).

В § 2.4 приведены примеры проверки условий теорем из §§2.1

- 2.3 для считающих прооессов с детерминированными компенсаторами, в в § 2.5 применяются предельные теоремы из §§ 2,1 - 2.3

к прооессам восстановления.

Главе 3 посвящена применению свойств отношения правдоподобия, установленных в главе 2, к задачам статистики считающих проиессов. В § 3.1 рассматривается задача проверки двух ^простых статистических гипотез Н и П по наблюдению ^ ■ считающего пропесса ^Предполагается, что

Р* << при всех ^ & , где и Р ^ - распределения наблюдения ^^ .лиш гипотезах п и Н соответственно, и ^с»^ Ау*/А,Р*сал .для проверки гипотез М* и п рассматривается критерий Неймана-Пирсона уровня о^ е. С. :

' к + оС

где С^еИ), «О, 10,11 - параметры критерия ' *

определяемы из условия оССЙ^"'06* ^ —• . Здесь о(.

- вероятность ошибки 1-го рода критерия , через

- S -

будем обозначать вероятность ошибки 2-го рода критерия С^ Доказано (теорема 3.1.1), что в условиях теоремы 2.1.Справедлива импликаиия

( об I), ( U 2) СС>,С$Л , (Э)

где _

( d I) W dL^ о; ( où 2) îim. (¿ï l; CCI îim \L înc^-i; • ton

В теореме 3.1.2 доказано, что если процесс Хеллингера VxC£;'?,P') удовлетворяет условиям, обеспечивающим справедливость соотношений (I) и (2) при — ^ — ^ > то имеет место импликация

( оС I), ( çi2') СС^СЗО

где

( с* I) W koC^- 0; ( оСг') W \ taU-c^-D.

Далее, введем условие: ( 2)

где U - вероятностный закон на (.- »«» , O'i с непрерывной Функцией распределения L ССС.") , строго монотонно возрастающей на (. Ь. , о} , где

fc- UîtWi] .

В теореме 3.1.3 даны условия выполнения условия ( ^ 2), при котором для любого ©¿©СОД') (лемма 3.1.3):

--i \ M ^

где — p - квантиль закона Ц . ^ ^

Далее вводится условие: ( 3)

-ю ~

где "ио и Ъ "Г • пРичем * > 6

- вероятностный закон на Я с непрерывной строго монотонно возрастающей ра функцией распределения. Доказана лемма 3.1.4, утверждающая, что при условии ( О 3) для любого обе (0,0

- а ^ и ^ + -

В теореме 3.1.4 даны.условия , обеспечивающие справедливость условия ( ^ 3) и соотношений (5). Заметим, что если — --*" (0» 1Л . то импликации (3) - (5) дают следующие скорости убывания ^

в , е , е

в зависимости от того, выполняется закон больших чисел для

1а , условие ( ^ 2) или условия ( ^ 3) соответст-

венно. В заключение § 3.1 рассмотрено поведение^ £ когда выполняется условие ( 4) ^ ^ ^

где и - вероятностный закон на с непрерывной и стро-

го монотонно возрастающей но С ^ , »Л функцией распределения Ц СЯЛ . В частности, показано, что при этом условии для любого ^ в 10,11

1ИЛ ва ^С&^-ХсЬ^,

где

В § 3.2 на основании теорем из §§ 2.2 и 2.3 для байесовской оценки при доказаны утверждения (теорема 3.2.1): а) равномерно по В е. К при "к-*-*"

—ff

i .. б) для любой функции , имеющей поли-

номиальную мажоранту, равномерно по ^ е. V*

где Ig - К - мерный случайный вектор, ЬбС^ХР") К С О, Т ^

в) опенка асимптотически эффективна в К по отношению к семейству функций пбтерь. ÜC?^ С.0^ X") , где

- любая точка, а Ь имеет полиномиальную мажоранту. Здесь К

- тобой компакт из @ а - байесовская оценка относительно положительной априорной плотности и функции потерь

, где

В,® ц

- лгсбяя точка, а и -некоторая функция. Такие же свойства установлены и для оценки максимального правдоподобия о ^ при К.—i (теорема 3.2.2).

В § 3.3. приведены примеры, иллюстрирующие применение теорем из §§ 3.1 и 3.2.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы':

1. Линьков Ю.Н,, Мунир аль Шахф. Асимптотические свойства отношения правдоподобия для считающих процессов с детерминированными компенсаторами. - Донецк: Донецкий ун-т, 1990.- 47 с.

- Деп. в УкрНИИНГИ 06.06.90, » 972 - Ук90.

2. Линьков Ю.Н., Мунир аль Шахф. Об отношении правдоподобия для считающих процессов с детерминированными компенсаторами Ц Вероятн. модели процессов fl управл. и надежн. (Донецк, 25-28 мая 1990 г.) / 2-я Донецкая конфер, - Тез.докл. - Донецк: \ ИПММ АН УССР, ГЭ90. - С.38-39.

3. Линьков Ю.Н., 1$нир аль Шахф. Асимптотические свойства отношения правдоподобий для считающих процессов. - Донецк, 1991.

- 56 с. - (Препринт / АЙ УССР. Ин-т прикп. математики и механики; 91.02).

Подп«са«о а tiwa» 18.02.92.

Фориаг iOxüit/ii. Бумага тсча*.Офсвтма* п«ча»ь.

Усл.п.л. 0,75. fcaita» 6П. 100 эк», бесплатно.

Р-т НЭП Ш Ук|а»ны. 34004?, г.Донецк, ул.У*иврс1твгстя,77.