Асимптотические свойства локальной плотности мер для процессов с независимыми приращениями и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ргв

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

Он

1 институт шшладной математики и механики

• / /;7 ? .

На правах рукопаса

ДИАДЯО Ыашзду Салау

АаеИПТОТИМЕСХЛЬ. СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ №Р ДЛЯ ПРОЦЕССОВ С НЕЗАВИСИМА Г?>МРА1!ЕНИЯ?»§1

. м их гримосния

01.01.СБ - тооряя ворояттюстой а иптоматачоская статистика

Автореферат

Диссертации на соискания уютюй стогюни кандидата физико-натомятичоских наук

Дршэцк - 1994

Дассортацзя яаляотся рукопись».

Работа шаолшопа па кпфодра ядгебра и теории вероятностей Доптргаго государственного унипорситвта.

Научный руководитель - доктор физико-ыатомзтачвских наук,

профоссор Линьков D.H.

0{яцкалышв оплатили - доктор фмзшт-кзтсматичвскнх наук, стар

пий научный сотрудник Ыяхио С.Я. кандидат фят.П1со-млтомзт1Г1Вских пая?. Ж> цвет Шурко Г.К

Вадущзя организация - Институт мптзмлтики HAH Украины

ЭПЕ5ЯТЗ состоится 994 года в .....часов

аасодвняи спппиа.1татглровапного сопота К 06.01.03 при Институте пр клядиоЛ тлптадатася п мохшг.гкя HAK Укряипы По ядросу: Дояэцк-1 ул.Розм Лшсомяург 74.

С диссортшг.юй можно ознакомиться в б'.гйшптскв Кяститута прдасвя, ной мзтоюттаки и мэтзпяки HAH УкрЗЯГЩ.

Апторпфорпт разослан ддд г.

Учшгт/З спкротлрь / v

' / V>Y'

сдацаотаппровяппого совата ^-ч, (. л с v Чвш А.

А

общая харшеристика. работы

Актуальность теш. При решении задач статистика для различит Х8М ваблвдвний вагнуо роль играет асимптотачоскйв свойства отио-яния правдоподаоцл. Создания методов математической статистики, -снованных на использования асшштотаческих свойств отношения [равдодадрбия, начато в работа? А.Вальда и Л.Ла Кама.При этом сна-[ала рассматривались последовательности независимых случайных ва-езчнн и использовалась центральная продольная теорема для логараф-ш отношения правдоподобия,что привело к появлении понятия локаль-юй асимптотической порлальноста семейств вероятностных мэр, порождаемых наблвдяомыда величинами. Позднее в работах Д.И.Чибисова , 1.Гавка,Дг.Русаса,И.А,Шрэгдмова и Р.З.Хасьмансхого, К.О.Дгапарвд-за была развита достаточно обадея асимптотическая теория оценивания мраматров и проварка гипотез .основанная на использовании асиыпто-гачаских свойств отношения правдоподобия, для последовательностей случайных величин, вообще говоря, с произвольной зависимостью.

Распространение этой теория с последовательностей случайных величин на случайные приноси с ыапраршшнм временам связано с развитием самой теории случайных процвссов. Подучошшэ в по ело дина врркя формулы для локальных плотностей мар и доказанные продольные таорэш для различна* классов случайных процессов способствовала распространения этой теории аа различные классы случайна* процессов. Откатам здесь работы И.А.Ибрагимова а Р.З.Хасьшшского, К.О. Даапаридза, Б.Л.Проггззц Pao, В.&.Кутоянца, П.Н.Лиоькова, А.Ф.Та-раскнна, Ё.Отаты и др.

Далее, Д.М.'ййисовым, й.&.йбраиаювым а Р.З.Хасышклш* было замечено, что асимптотический метод А.Вальда а Л.Ла Кака носит общий хпрэг^р. Он пражганм к шЗой шдоли нэблэдэнзя, отшзэпав ирзвдз.с-й ¡¡jaa дяя которой обладает свойства?-®, ооредвлявки?« cv.it:-

сгааин, опраделнешш зтш (льтодом. Поэтому, развивая матод ¿.Вальда и Л. Лв Кама, слидуат устанавливать та шш ш:ие свойства статистических процедур для схом цайлвдзииЯ произвольной природа, нагихадаваа ограничивая на отшзймжш правдоподобия, а затем пришит» а та результаты к конкретным моделям наблвдчкия. Такай подход привод к создянеа асиштотошскшс штодов статистшси общих статистических акстаршаитов, в которых ограничения накладываются на отаошэннв правдоподобия. Затем обздяа метода применяются к кошсрат-ш модалим нлблвдацая, что приводит к необходимости исслздовать асшптотич&ыаш свойства отношения правдоподобия и является, вооб-щв гонора, далако натривиалъной задачей.

Настоящая диссертация посваядена примэнвшт обща методов, ос-поватшх ¿чВаиздом и Л.Ла Камом и развитых их последователями» к найявдошям случайных процессов с назавиеямшла арзраа^наяки. В на-стоядэо вромя стнтийтика случайных процессов с независимыми прара-вднияш носвящано достаточно много работ, срада которых отштам работы Т.Камацу,Ц.Г.Акрптаса и Р.А.Джонсона,близкий к тема диссертации и посвященные асимптотическим задачам оцаниаагщя пвраматров идя процассов П.Лэш. В дзшюй диссертации в отлична от гтрадцдущих работ допускаются разрывы по времени у траплата предсказуема* характеристик, в исследование основана на изучении асимптотического поводаная отношения правдоподобия для различных типов альтернативных распределений. Отаэтш здесь недавние работи Ю.Н.Линъкова и Мупирз азщ Шахфа.в которых асяодтоткчвскиа цатода А.Валвдз и Л.Ла Кама распространяется цз считащао процессы, когяшнсатори которых такгэ ыогут иметь разршш. Заматим также, что состояние асишгота-чаской теории статистики са&тшртннгалов с непрерывный по врэмэш гришштш предсказуема* характеристик изложено 6 недавней шногра-фда О.Н.Лашгова.

Цель работ - дох«ш"л» прздальинэ тсоракн дин. отаоааная прав-

донодоОия, норождаотго йаблвдаяиямд процчссон в пвздвясишми приращениями при различных альтврнатпвннх гипотезах и получоштыо -теоремы приманить к иосладппвида асотлтотичостгах свойств пзиболвв шщшх критершзв, оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок нвизвэстпвх нярамэтров.

Методики исследования. С рэббото используется мартингяльпда мэтодн теории случайних предоссов, штода стохастического шггогря-рования й асимптотическая метода математической статистики.

Научная новизна. В работа получены слвдуицио новые результаты:

- датм достаточные условия, при которых лог8рге|м яроцоссэ локальна А плотности мэр дяя процпссп с независимыми прирящэняяш яв~ ляотся специальным свмямартингплом, п подушно каноническое прзд-ставлапяо этого сомимяртшггэлэ;

- для логарифма отношения, правдоподобия в нэпарамотричоской постановка доказали закон больших чисол, теоремы о больших уклонениях и тоорпмн о слабой сходимости при подходящем цэнтрировапш нормировании;

- в параметрической постановке для случая близких параметров ■ подучено ссилеттотлчосксо разложений логарифме отношения правдоподобия, а для нормированного отношения правдоподобия получены оценки приращения по параметру я интеграла Хеллиягврз порядна 1/3;

- на основа установленных свойств отношэния правдоподобия изучены асимптотические свойства критерия Нойманя-Пзрсона, оценок ,-максимального правдоподобия и байесовских оценок.

Практическая я теоретическая ценность. Работа пост? ' теорэтн-чоскяй характер. Полученный в ней разультатн и развитые штода могут найти применение в математической статистике при разработка методов обработки да 1 тих.

Адпробзция роботы. Основано результата работу докдядаватась

е

на III Международной Донецкой конференции "Вероятностные модел! процессов в управлении и надежности" (Донецк, 6-Ш сентября 1993г. III Российско-Финском симпозиуме по теория вероятностей i математической статистика (Москва, 4-8 октября 1993 г.) и на семинарах по тоорин вороятностей и математической статистика в Донецком государственном университете и Институте прикладной математики и механики HAH Украина (Донецк, 1993 - 1994 тт.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 2 работа.

Структура в оОъеы диссертации. Диссертация состоит из введения, трах разделов и списка литературы (46 наименований). Общи! объем работы 128 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной тема исследования и дано краткое изложение результатов диссертации.

В разделе I собраны основные результаты для случайных процессов. используемые низа на протяжении всей работы. В подразделе 1.1 приведены необходамио сведения из общей теории случайных процесса! связанные с понятием мартингала и его обобщениями. Введены клзссь случайных процессов, дани определения и обозначения для случайню мер, стохастических интегралов по локальным мартингалам и семимар-тингалам и приведены формула Ито для семимартингалов, неравенстве Ленгляра, каноническое разложение для семимартингалов и некоторые другие факты.

В подразделах 1.2 и 1.3 приведены результаты, касалциеся семимартингалов с дазятсимыш пргфащвниями-

Пусть V - пространство траекторий семимартингала с шэзависи-кнмя прираа^енияма í = Ц,), 6 - наименьшая о- алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, (St) - фильтрация на (V.f,), a I

и Р - две вероятностные меры на (V,g), Q=(P + V )/г.

Пусть {0,3е",P,Q) - q-uq,xiimü стохастический базис, гдя П = т>

7 = S°- Q-шполпениа Q, F = (Jt), Da>t S® Семимартии-

гад С = ) есть координатный процесс на измеримом пространтве Щ,?). Рассматриваются также стохастические базисц (Cl,f,F,P) и (0,j",p,f), которые, вообще говоря, на удовлетворяют обичным условиям по Дадлашери. Предполагается, что í е S(F,P) и £ е S(F,F) с триплетами предсказуемых характеристик (8,<U>,v) и (B,<i>,v) соответственно. В подразделе 1.2 введены интеграл Холдингера 111 (е.-р.-Р) порядка е для мор Р и Í и процесс Халлингерэ Же.-Р.Р) порядка е для шр F я Р. Приведены паабходяше а достаточные условия локальной абсолвтной непрерывности мэра Р относительно мари Р и дан вид

процесса локальной плотности z - (zt), где zt - tiP /dP . а Р и * "

Р - суаэнив мер F и'Р па о - алгебру (лемма 1.2.5). Дан таюэ внд процесса Холлнягерз h(e;P,P) при условии локальной абсолютной

~ loe

непрерывности Р « Р {лем?.«а 1.2.6). В заключение подраздела 1.2 рассмотрен параметрический случай, когда на (D,6) задано параметрическое семейство (Р0, в е в), где е - некоторое многзство вз Я*1, к >1. В подразделе 1.3 дани условия, при когорте процесс А --Inz является специальным семимартингалом из класса SpfF,PJ,a дано соотвэтствущае разложение (теорема 1.3.1).В этих ав условиях подучено каноническое нродставлэние евмимартшггала A t S^ÍP.P) и найден соотватствувдий триплет предсказуемых характеристик (тооре-ма 1.3.2).

В разделе 2 исследуются- асимптотические свойства отношения правдоподобия как в параметрическом, так и в напараштркческом случаях. В подраздела 2.1 рассматривается шэпарамэтридеский случай и в условиях таоремц 1.3.1 доказываются предельные теоремы для kt=.ln zt при í - ш. В теореме 2.1.1 дана достаточные условия справедливости закона больших чисел для К± при 1 Затем дани

достаточные условия в терминах процесса Халлингера Ti(e;P,P), при которых имеет место теорема о больших уклонения^ для At относитесь-

па мери Р (теорема 2.1.2), а такта относительно мера Р (тоорэма 2.1.3). Эти теоремы представляют собой иримвнвнио к процессу Л об-а?а: предельных теорем о больших уклонениях,известных но работам Ю-Н.Линьковэ и Р.С.Эллиса. Тооромз 2.1.4 даэт достаточные условия слабой сходимости фГ'ГА . + ф * при I -* где (X ) -

л А* в В

квазшшнрорцвний слева процесс с^шззависимшт приращениями на иэ-котором стохастичэском Оззисв (П,7,Р,Р).

В подразделах 2.2 и 2.3 рассматривается парэмэтричэский случай и исслодуются свойства процесса "(в,О) локальной плотности мври Рд относительно мэры Рр. В подраздела 2.2 получены асимптотическую разложения для Аг(Вг,В) = 1п где зависит от I п -* в при I -» ш. В теореме 2.2.1 доказано асимптотическое разложение вида

л (О^В) ш и; (Ц* + д*? - * р1) иг,

где и4= <р^(в)(В - В), фt<'в^ - симметричная положительно определенная матрица такая, что - о при 4 ш, т)1 = (т}* -

локально квадратично интагрпрусмиа мартингалы такав, что

£ Ре) Л (О, ГЛ), I -

д*- случайный векторный процесс , а р'- детерминированная матричная функция такиа, что

Р0 ~ 19*1 = О, На )р*| = О.

Здесь 1Л- единичная матрица порядка к, Л (О, Гк ) - нормальный закон с вектором средних О и ковариационной матрицей Ть, £ ("•! Рв)~ закон распределения относительно дара Ре, штрих означает транснонированш матриц, в —-» означает слабуо сходимость за-

конов распределения. В случае = 9 + и» " е Й*, из

асимптотического разложения теореш 2.2.1 вытекает локальная асимптотическая нормальность семейства вероятностных мэр в € ( в) при 1 оо в точке в. В теореме 2.2.2 доказала равномерная по бей локальная асимптотическая нормальность для любого компакта К с е. в подрзздэлэ 2.3 для случайной функции в(и) = г±(в * + Ф4С0) и, в) доказаны следующие свойства: равномерно по В е К, «.у € в1 в = Ф^'сэя® - в)г 'и!, 'vi < г? при всех ¡УД е

, ! /2 1/2 ,2 . _ ъв Г11) - гХшв ГУЛ «В (1 + Я") .'и - и;2,

где а = а(К) ? О, В = В(К) > О (теорема 2.3.1); для любого компакта X с в и либого Л > О равномерно ш В { I, а ( е 9 ,1 > t0(!frK)

В& л"; (и) « СЙШГ*.

где Ся < га (теоремы 2.3.2 и 2.3.3).

В подразделе 2.4 приведены примеры проверки условий теорем из подразделов 2.1 - 2.3 в трех случаях: гауссовскив семимартингалы, считавшие процессы с детерминированными компенсаторами и однородные процессы с независимыми приращениями.

Раздал 3 посвящен применении свойств отношения правдоподобия, установленных в раздела Я, к задачам статистика процессов с нвза-

о

висимыни превращениями. В подраздвлэ 3.1 рассматривается задача

пропарки двух простых статистических гипотез Я1 а Н* по наблиденип = процесса с независимыми приращениями 5- Предполага-

ется, что ¡г* « т1 при всех 1 е Я+, где г* я р* - распределения при гипотезах Нь и Нг соответственно, и Рг(х1 = с! (гг/<1 !Р*(х), при-

+ Л А

"чем р (5 .)= г (Р- п.н.;. Для проверки гипотез Н я И рассматривается критерий Ноймана-Пирсона уровня а е (0,1):

Öt' * = i(Kt > dt) + Bti(Kt = at).

где Л4= 1п а £(-со,о>), Et с [0,11 -параштри критерия *,

4. а

определяемые аз условия аСОг . Здесь а(0 ^-вероятность ошиб-

ки 1-го рода критерия а через обозначается вероят-

ность ошибки 2-го рода критерии о^. Доказано (теорема 3.1.1),что в условиях тоораш и.1.1 справедлива импликация

(а1}, (а2) «

где

(gjj Ilm а > О; fa2j It® a <: í;

t-»a> * t-ч»

(й) Ii« фТ'а = -í; Cßi Ш fc'în =-1.

t-wo * 1 t-4» *

В творама 3.1.2 доказвно, что если процесс Хеллшгара 1Цв) = ч h(e;P,PJ удовлвтовряэт условии (И) из теореш 2.1.2, то имеет шсто импликация

(aV), (02' ) » (d),(ß),

где

(Ш;) Ш C'ïn a. « О; (а2') Um (pl'ln (t - a.; = О.

t-KO г г t-X» 1 1

Здесь (J>t = -c40.)Xt« а функция cíe J и нормировка %t взяты из условия (И), имемцего вид:

(В) существует интервал содержащий точку О и такой,

что для каждого е е существует конечный предел

lim xr'ïn £t(-3lgn(e(1-e) h(e))) = efe;,

где £(>) -экспонента Долаан, xt " 00 при t а с(е) - строх'о ш-цукдая a дифференцируемая функция ва

Далзо рассматривается условие (Н*),состоящее в том,что выполняется услойие (В), в котором 1 е Пусть 70 = с'(0),ч ,= = с'(1), 1(т) = 7 еСт.' - с(е(т)), где е(т) - единстаотюв решение уравнения с'(в) = 7. В теореме 3.1.3 доказано, что при выполнения условия (В*) я условий летом 1.2.5 справедливы слод5гндлэ утверздэ-

иия о поведении а^ я .) : 1) для любого а е (0,т})

гш х^'т аг = - а «=» гш РС^'"1; = -Ь/а^

где bfo.) = а - 7Га) е (0,-7^, a 7(а) - единственное решение уравнения I(-j) = а в области 7 е Í7D,7?J; 3) для лпбого a S? 7;

Ilm хГ in а = - а =? lira 'in ß(ö г) = О,

t-W0 t-m>

'О

a для лвбого Ь ? - 7С

иш xr'irx ßföl'-'j = -ь * к» хг'гп «i = о.

t-ки t-tflo

Творема 3.1.3 представляет собой распространение одного результата Л.Бирав на процессы с нвзавиыюашя приратцвиияяга. Далее вводится условие:

¿hb) £ (-ф'1 (Kt + ¡r*) -5U i tipa t -* «.где <pt > О и ф^—детерминированные функций, a L - вероятностный закон с нвпрернвной функцией распределения Ъ(х), строго монотонно возрастай^ на множестве (х: О < L(x) <11.

В тоорода 3.1.4 дани условия справедливости (К5), в котором ф4 = О, Э «pt - а> при t -* CD, при hotcpix для лиЗого а с (0,1)

lim а. = а » . lin <p~'lnß(ö. *) = I, „,

t-tc t-«30 Х 1 '

где I ость р-кваиталь закона В таотги.-г» 3.1.5 дани уело?

Гг

справедливости (h5), в котором ф4 оо й ф4 <pt = o(t|)t.), п]

которых для любого а € (0,1)

♦ .а,

q>riw

t-»co i-xw

1Г +

lim а. = а « IIa ф~ !Inßfö. f ф = l * * *

Наконец, в твороко 3.1.6 даны условия справедливости (К5) с = Ф = f. при которых для любого а е ГО,11

Ни а, = а « Ilm ßfO *) = IfX

t-НЯ t-HO

где I(.rJ = J evOL(y).

-по

В подразделе 3.2 на основании теорем из подразделов 2.3 и 2

для байесовской оценки Bt при к л 1 доказаны утверждения (творя 3.2.1): для любого компакта Ее©

а) равномерпо по 0 € К при t -» со

Ä Г<р;ЧвДе4 - ел ф -Ь» Я (Ot Ik)„

б) для любой функции 1(х): R* •* й'.пшщой полиномиальную и edранту, равномерно ш 0 е К

На Е0 10р~'(в)(в - в)) = Е~1(т]),

i-<oo

где £ (v I Р) = Л (О,

г»

• в) оцвши 0t асимптотически аффективна в К по отношении к с кэйству функций потерь lf<p~'{В0)х), где В0 е К - любая точка, а имеет полнношальпуи мажоранту. Здесь Bt- байосовская оценка oti ситвльно положительной априорной плотности и функции поте

гг . Г,

(В')х), гдэ В* е К - любая точка, о I - некоторая функц! Такие же свойства установлены и для оценки максимального прзвдот

добая Bt при h = 1 (теорема 3.2.2).

В подраздвле 3.3 приведена примера, шишстрирунциэ ириштаииа эорам из подразделов 3.1 а 3.2.

По результатам диссертации опубликованы следующие работа:

1. Un'kov Yu.N., Мааийоц Sallou Llallo. Ъез proprletea

ayinptotlquea de la denalte lócale без шезигеа pour lea ргосеазиз w • i , accroi3aement3 lr¡dependaní3. - DonletaK, 1993. - 32p. - (Prepub-

lcatlon / ln3t. Matíi. Appl. et mécanlque; 93.06).

2. Линьков B.H., Мамаду Салиу Дзалпо. Свойства отношения ¡равдошдобия дня процессов с назависюаша приращаншши в парагжэт-¡нчвском случае.- Донецк: Дрнвцк. ун-т, 1994. - 21с. - Дап. в ГНТВ 'крайни 22.08.94, & 1709 - Ук 94.

Диализ Ü.C. Асимптотические свойства локальной плотности мар для 1роцассов с независимыми приращениями и их применения. Цассартация на соискание ученой Степана кандидата фгзшга-ыатешп-а-зкшс наук по специальности 0).01.05 - теория вероятностей и математическая статистика, Институт прикладной катаматшси и механика ЙАН Украины, Донецк, 1994.

Развивается асиштотичаскиа ?=ютоди статистики для случайных процессов с независимы®! приращэниями.Получвно каноническое продетая-ланшз для логарафда локальной плотности мвр, шроздэашх процассвш с назависашма прзращвншдои, и доказана продольные твореш дяя логарифма отношения правдоподобия в параметрическом и нэпараматра-чоском случав. Подученные предельные таораш приманены к исследованию асимптотических свойств критерия Неймана-Пирсона,оценок мак-сшалькога правдоподобия a байосопсгон оценок.

Diallo U.S. Asymptotical properties or the local density of measures for processes with independent Increments and their applications.

Dissertation for a candidates degree of physical and mathercatical sciences on the speciality 01.01.05 - Theory of Probability and Mathematical Statistics, Institute of Applied Kathematics and Kechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk,1994.

Asymptotical methods of statistics for 3tochastical ргосезэез with Independent increments are developed. The canonical representation for the logarithm of the local density of measures, generating by processes with independent increments, is obtained mid limit theorems for the logarithm of the likelihood ratio in paraipetrical and ranparametrlcal сааез are proved. The obtaining limit theorems are applied to investigation of asymptotical properties of Neyman-Pearson teat, maximum likelihood estimators and Bayea estimators.

KJimoBi .слова:

героцае з незалаанша приростами, локальна шютн1стъ Mip, асдаато-тога! метода статистики.