Асимптотическое оценивание параметров рекуррентных процессов полумарковского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Р Г 5 вйвскш УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

ИЪ тгг<оъссг -тги-птшгптх

чч «^ичиип. ..........-

ОРАЗКЛЫЧЕВ Акойлы Ашисмамедовшг

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕКУРРЕНТНЫХ ПРОЦЕССОВ ПОЛУМАРКОВСКОГО ТИПА

ПТ ПТ П1^ _ гро/лтуггст тэотулафхтплгра'й' т*

• 'Л • и^.' 4 М X С/-»А

мофомапшчтапг/'а а ОГРО^Т* лпппга

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V т» а т> _ ТОО'З

Работа выполнена на кафедре прикладной статистики в Киевском университете имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор АШСИМОВ В.В.

Официальные оппоненты: - академик АН Украины,

доктор физико-математических наук, профессор КОРОЛЕК B.C.

- доктор физико-математических наук, профессор К03АЧЕНК0 Ю.В.

Ведущая организация - Институт прикладной математики

и механики АН Украины, г.Донецк

Защита состойся "Z ¿УОРХ-и jjJiA' 1993г. в /У Ч1СОВ на заседании специализированного совета К 068.18.11 пел Киевском университете имени Тараса Шевченко по адресу: 252127, г.Киев-127, пр'.Аквдвмика Глушкова, 6, мехашжо-мзтематический факультет

О диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке университета (ул. Владимирская,62).

Автореферат разослан "ZHn C^tCiT.

Ученнй секретарь специализированного совета еЛ ( СУ1ДАНСКИЙ В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Общетеоретические проблемы статиста-га! и прикладные задачи анализа стохастических систем стимулируют исследования в области оценивания параметров различных классов случайных процессов. Теория оценивания параметров в классических схемах независим« наблюдений в основном завершена в работах И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского. Ряд моделей для марковских процессов исследов-энн в работах П.Биллингсли,

A.Я.Дороговцева, Г.И.Ивченко, В.А.Каштанова, И.Н.Коваленко, Ю.А.Кутоянца. В работах В.Ш.Липцера и А.Н.Ширяева рззЕИ-ватотся мартингалыше методы в задачах статистики случайных ироце—с02 Результаты но оценивание? параметров разрывных процессов с независимыми приращения?« и процессов пуассоксЕ-сксго типа получены в работах Ю.Н.Линкоза .

Еместе с тем теория зсиптотического оценивания параметров случайных процессов в нестационарных (переходных) ситуациях разработана недостаточно.

Данная работа посвящается задачам асимптотического оценивания параметров специального подкласса, , введенных в работах Анисимова В.В., переключающихся процессов - рекуррентных процессов полумарковского типа (РППМ). Ряд результатов в области асимптотического оценивания марковских и переключаемых пуассоновских процессов был получен в работах

B.В.Анисимова.

В работе исследуются асимптотические свойства оценок метода моментов и метода максимального правдоподобия, построенных по наблюдениям на траекториях РППМ и РППМ с марковскими переключениями.

Цэль работы. Доказательство состоятельности и сходимости центрированных отклонений к диффузионному процессу для сценок, построенных по наблюдениям на траекториях РППМ методами моментов и максимального правдоподобия.

Методика исследования. В работе используются методы теории случайных процессов, методы теории статистического оценивания и асимптотические методы.

Научная новизна.Для процесса накопления для РППМ доказаны принцип усреднения и диффузионная аппроксимация. На базе этих

теорем и результатов об асимптотическом поведении решений стохастических уравнений доказана состоятельность и асимто-тическая нормальность для оценок, построенных на траектории РШШ и РППМ с марковскими переключениями методами максимального правдоподобия и моментов, а также доказано поведение этих оценок как функций длины промежутка наблюдения.

Применение. Полученные результаты могут бить использованы в задачах статистики случайных процессов, исследования нестационарных и переходных явлений в технике, экологии и медицине .

Работа выполнена в соответствии с планом научных исследований кафедры прикладной статистики Киевского университета им. Тараса Шевченко.

_Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на Республиканской научной школе-семинаре " Компьютерный анализ данных и моделирование" (г.Минск,1992), научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Ашгабат, 1993), на семинарах кафедры прикладной статистики Киевского университета им. Тараса Шевченко.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из результатов работ, написанных в соавторстве,- в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие соискателю.

Структура и обьем работа . Работа состоит из введения, трех глав к списка литературы. ООьем работа страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор результатов, связанных с тематикой диссертации. Отмечается актуальность проводимых иссле дований, их связь сжато изложены основные результаты. Первая глава.посвящена предельным теоремам для РПГИ и исследованию асимптотического поведения решений стохастических уравнений.

§1.1 косит вспомогательный характер. В нем приводится опре деление РППМ без марковских переключений и РШШ с марковскими переключениями.

"Г 1'! 1 ? ПНЧ TTr-rf vav ПГ-М Я ^ Т n^TTOUtl TlCiO -С/ nr]iJ/-.Vrrnjrvr»1TTff

семейства случайных векторСЕ

(et) <at),(с:) >» а € H"'} & ? О,

СО ЗНЗЧвНЛЯМИ В R~* [0,со) *н'" , И Н833ВИСИМСе ОТ ВЕвДеКНЫХ СвМбЙСТЕ

начальное значение SnC>. Зададим рекуррентным оСразсм последовательности:

по '

t . = t ,.+ t , ( S . .) , fc о

nkti п к nii г*к

Тогда РППМ Sn(t) определяется следуацим оСразсм:

S (0)=S , S (t) = S\ при T < t < i ,i 0. C)

71 О П ' rik-t ic ki-i ' '

2. Пусть

{(lnV(x,a),tr>k(-.а)), д £ X,a e Еи| й г о,

-независимые в совокупности семейства случайных векторов, .г - независимы^ от них марковский процесс в X и независимое от введенных величия начальное значение S . Положим

S . = S . + 5 ; (I ,, S , )

r.V + 1 r»V nV: »V' nV , i t = t v+ t ь v» S . J , t л = 0,

r,k* 1 nk nk 4 nie* ri У ' ' nö '

S (t) = S „ при t -< i < t , iX), £20.

Тогда S (i) образует РППМ с марковскцуи переключения?™.

Для кэздой конструкции введенных процессов приводятся предельные теоремы тала принципа- усреднения и диффузионной аппроксимации, которые1 используются в последующа параграфах.

Имеет место слэдунцая теорема. -•

Пусть распределения величин ?ni(Q)i (а) не зависят от индекса й и

,т.л{а) = Ечп. (па), (па).

Теорема 1.1.1. Предполоким, что для любого п > О Етп1(а)2 + Е||п1(а) |2< С тп(а)+|Ьп(а)| $ С(1+\а\),

для любого I > 0 при |а4 | V |а2|<1

Iя, (Ъ (аг > 1+ \ &п К ) - П < I ! +СП ' *

где сп—>0 равномерно по 1^1 V ]а21, и

существуют функции т(а)>0, Ь(а) такие, что для любого а ( В""

ип(а) -> т(а,), Ьп(а; -> Ъ(а)

т*

1 р - 2 „—> Эя.

в по

Тогда

1 - я

sup | - S (ni)-s(i)j—> 0 , D^ST P. "

где s(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

<3s(r}=b(a(t(3(t))dt, s(0)=ao (3)

В соотношении (2) Т можэт быть любым числом таким, что у(+<»)>Т, где

i

¡/(t)= Jm(s(u))du,

о

a s(t Удовлетворяет дифференциальному уравнению

ds(i)=b(3(t))dt, з{6)-зо.

Далее рассматриваются процессы накопления ка РЖ?.!. Пусть задана первая конструкция РППМ. Зададим Гп0 и полома!

rile ► A nl: 'л* 1 nr

Введем процесс

Г (t) = Г . при t t < t v , i»0.

nx 7 nk nk л)с + 1 '

Тогда процесс Г (t) образует процесс накопления на РПШ S (t). Исследовано поведение процессов

(Sn(î), TJî)).

1 1

Доказаны сходимость процесса (- S (t),- Г (i)) к решению

в n п п

ветствущих систем дифференциальных уравнений и сходимость центрированных процессов (Çn(î), к даффузиснному процессу, ко-

ФЛТМГЛ r>rrr*nt.iTic\ûn»r>a г> тгогг.pttjttjqnvrjv тггт^г^опситп^г» ттхиггу

2 UJUlUliUUU > './VI ^JIV^'.'I'IW" VtWAUUAiliv »'^.^¿Л-/ JpM./ i iij,* 1 •_« С» U1 Л Jf ^/WJ-W

Н9НИЙ,

где r^(t)=(5r(nt)-na(i))//n,

!ВП (1 ) = (Гп (nt)-nc (î ) )//n,

a(t) и c(t)- решения уравнения вида (3).

Получению результаты используются при исследовании момент-ных оценок.

В §1.2 рассматриваются леммы об асимптотическом поведении решений стохастических уравнений.

Пусть /П(Э), вп€ 0, гс >. О- последовательность непрерывных полей со значениями в Rm, где в- некоторая ограниченная область в ïT. При каждом фиксированном i^Q рассмотрим стохастическое уравнение

;ri(i,S)=0, (4)

решение которого (если оно существует) обозначим -через 8n(t) Лемма 1.2.2. Пусть для некоторого t>0 выполняются следующие условия :

fn(t,6)->/o(t,0), 8 € в при П—>00

1Ш Ilm pf аир ,ВА )-/л (t ,92 ) | > s | = О,

h->o г.->ю ■ 1|8 -92 ' )

для любого е > О и выполнено условие В:существует такое S>0, что для любого -б, ¡-б) <ö уравнение

/0<*,Э> = Ö

имеет единственное решение и

70(t.e0) = о, где е0€ е. «

Тогда с вероятностью, стремящейся к единице, существует решение 8„(*) уравнения (4) и

р

8 (t)->6Л .

п о

Далее, пусть существует такая неслучайная последовательность о_—>0, что меры, порожденные полем fn(t,Qo+ апи) в каждой конечной области 0 < t < I, |и| i к, слабо сходятся в пространстве Скорохода при п —>ю к мере, порожденной полем £0(t)+G0(t)u, и матрица Go(t) невырождена на некотором отрезке [io,T], ie> 0, где ?0(i) и Go(i) - непрерывные векторно и матричнозначные случайные процессы. , Тогда с вероятностью, стремящейся к единице, существует решение 6 (t) такое, что процесс

a-/(9Jt) - во)

СЛЗбО СХОДИТСЯ (2 СМЫР-Лв СЛ2^СЙ СХ^ДИМОСТЛ В ТХрО^Тр2М0Т26 D}

на отрезке [t .Т] к процессу

-G'Ut)?, {t) .

о 4 ' эо 4

Во второй главе изучаются асимптотические свойства методов моментов и максимального правдоподобия для РПШ.

В § 2.1 исследована состоятельность оценок метода максимального правдоподобия. Рассматривается первая конструкция РПШ .

Пусть на промежутке [0,nt] наблюдаются величины s t v " 7 v(S Jri), й ^ v (t),

г>к n k ' nk г> k ' ' ' *

где , .

v (t) = mtn{ k: t , > nt }.

r> + 1

Предположим, что плотности распределения величин

TTntTTJO 7Т ПО VOf TTQT-\CU,ia ТТУШТО nvrwtir TT HA'PUnoTiCirt r> ( О n r? ^

U^lUlU^illy OVUl X i.4 <-l j^UlifiU* * VlkVjl»IJ l_i итил «_» Л ¿-/^ iluivy Л 'J 1 У '_/ f iw» у <J / |

0 € 6, г t r", где 8-некоторое ограниченное замкнутое множест-

во е кг. Пусть рп(9о,а,2) =рп(а,г), где pn(a,z)~ плотность распределения 7n(Q)' а • _ внутренняя точка 9. Соответствующее нашим наблюдениям уравнение максимального правдоподобия имеет вид

I/п^ фп (9,SriV/n,7n)c) = 0, (5)

к=о

где фп (в,а,2)-рп (в,а, 2)_1Vg р^Э,а,з)

(предполагается, что для любых 0,а,з функция pn(9,a,?)>0 и дифференцируема по 6 и выполняется условие N: функция (в,а,уп1 (с)) разномерно по га и по а в каждой ограниченной области |а)<1 непрерывна по 8 в среднем:

Ilm Tim вир Е вир (QJ,a,jni(а))-фп(9г,а,7 (а))|=0,

0->О п->00 )о]<Ь ¡6J-62t<.C

выполнение которого предполагается во всех теоремах о состоятельности оценок метода максимального правдоподобия). Обозначим Рп(8,а)= (а)).

Теорема 2.I.I. Пусть для любого £ > О при |а| < i sup Есрп(8,а,7п1(а))ф*(9ра,7 (а))<Си«*>,

функция Рп(9,а) равномерно по паре 9,а в любой ограниченной области стремится к непрерывной функции Р(8,а), выполняются условия теоремы I.I.I и условие N, для данного фиксированного t > 0 существует б > 0-такое, что уравнение

Ц.С1>

J F(e,s(u))du = Л , где n(t)=y"'(t)

D

при любом < б имеет единственное решение. Тогда с вероятностью, стремящейся к единице, существует решение 8n(t) уравнения (5) и

ё (t)->8

Л N » О

П —#>со

В §2.2 доказана сходимость центрированных оценок к диффузионному процессу.

Предположим, что для любого L>0 при л—>со

2.п=Ш зир Ефп(9о,а,7п1(а))2х(|фп(6о,а,тг,1(а)|>м)—>0, (5)

N->00

где %(А)~ индикатор события А. Обозначим

Я (Э,а)=Еф'(Э,а,7 • (а)),

где ф^(0,а,7п1 (а))- матрица частных производных производных вектор-функции <рп(е,а,7п1 (а)),

Фп (В,а,г)=р~* (в,а,г)ъврп (в,а,г), Есрп (8,а,7п1 (а) )<р* (в,а,7П1 (а) )=<(9.а).

Теорема 2.2.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.1.1 и

Е|ф>,а,Тг11(а>}|2 < С, К(в,а)1 < С.

Функция (9,а)=Ефп(0,а,7п1 (а)) равномерно по п,а непрерывно дифференцируема в окрестности точки 0о,при п—><» Кп(в0,а)—>К(в0,а),

о*(8с>а)—>а2(во,а) равномерно по а в каждой ограниченной области и выполняется условие (В).

Тогда с вероятностью, стремящейся к единице, при п—>«> существует решение 0(1) уравнения (5) такое, что на каждом отрезке [*о,ТЗ, Хо>0 процесс

(0п(П-ео)

слабо сходится (в смысле слабой сходимости в пространстве Бг. ,) к процессу

1*о» -1

4 к

[ | и"1 (з(и))К(6о,а(и))^"1 | а{Ъо,з(и))т{з(и))'1Уг<31>{и),

о о

где ь){и) - стандартный Еинеровский процесс, а (и) удовлетворяет уравнении (3). (Предполагается, что

| т~£(з(и))К(9о,з(и))сги - невырожденная матрица ).

В §2.,;'- исследованы асимптотические свойства моментных оценок.

Рассматривается первая конструкция РПШ. На отразив [О.пТ] наблюдается траектория РПШ, т.е. величины Б , и Ееличккы 7 . (£' ./я), 0$ К V (Г), где V Ц)=т1п{к;г , >п~).

пк 'пР пк п * п * пк г 1

Предположи, что существует Е7п1(а)= £п(а) к функция (а) принадлежит параметрическому семейству функций .§п(9,а).

Ставится задача - по данным наблюдениям указать методику определения неизвестного параметра 9 и исследовать асимптотические свойства построенных оценок.

Уравнение моментного типа напишем в виде

V го V (1>

п п

I ¿^Ч^/п) = -1 ^„(б^/п) (7) .

к =о к =о

Теорема 2.3.1. Пусть для любого Ь>0 при |а|<1

еир ^„(0)7^ (а)<СЬ<» Iе

и функция £п(9,а)= Е07п1(а) равномерно по паре 9,а в любой ограниченной области стремится к непрерывной функции ¿(9,а), выполняются услоЕия теоремы 1.1.1 и условие : для данного фиксированного ЪО существует б>0 такое, что уравне-. ■ ние

I (в(ео,я(и)) - (в(в,а(и)))£Ы = Л

о

при |?1|<б имеет единственное решение.

Тогда с вероятнбстью, стремящейся к единице, существует решение 9П(£) уравнения (7) и

я

6 (1)-> 8.

Л ч

л->00

Далее в диссертации доказывается сходимость центрированных момелтшх оценок к диффузионному процессу.

Рассмотрен также случай, когда траектория РЛПМ не наблюдается, а наблюдается только величина 7 , fe^v(t). Уравнение моментов напишем в виде

t

| m_1(8(u))6v8fa(u))dti (8)

о

И в этом случае также исследованы асимптотические свойства решений уравнения (3).

В главе III исследуются асимптотические свойства оценок, полученных методом максимального правдоподобия и методом моментов, для РПШ с марковскими переключениями. Рассмотрены эргоди-ческий и неэргоднческий случай.

В §3.1 исследована состоятельность оценок, полученных методом максимального правдоподобия. Рассматривается вторая конструкция РПШ.

Пусть на промежутке [0,nt] наблюдаются величины t .,х ,,S , и 7 =7 . (х . ,S . ), (t), v {t)=min[P.:t ,>nt},

nk n Je r» Je 'nJс 'nk nlc nji n 1 ' ' rt * ' nk '

при этом плотности распределений 7nk(x,a) принадлежат семейству плотностей {pn{z,x,a.,Q), z е Rl, веб}, где в является ограниченной областью в IT.

Исследуются свойства оценок 6П(£) метода максимального правдоподобия как процессов по t. Положим

(предполагается, что для любых z,a:,а,8 функция pn (z,r,a,9)>0 и дифференцируема по в)

Тогда уравнение максимального правдоподобия имеет вид

V С1>

^^.«м» о)

к = о

V ч> п

- V- L

k=D

Пусть распределения величин ?пк (•) ,т.пк (•) (•) не зависят

г-'т» тшттоупо Ъ '<х ттг^пппп т гггл* тггля п\П атэттао^ппа ппил-плтггпп*

марковским со стационарной мерой тсп(А).

Определоцие 3.1.1. Марковский процесс 7пк, й>0, удовлетворяет условию асимптотически сильного перемешивания, если существует такая .неслучайная последовательность тп, что га^/гс—>0 и

лиррп(й)—>0,

где

РП(Й)= аир |РСУ В}-Р(УЛ с А}Р{у С В}].

;. хв

Опраделот;)-.'.) 3.1.3. Марковский процесс упк асимптотически эргодичен, ос».--, он удовлетворяет условию асимптотически сильного перемешивания тт существует.вероятностная мера тс (А) такая, что для той же последовательности и

где

-г ип <

к>т

РП(А)= зир 1?{упк€ А}-1СП(А)|. А

Рассмотрим случай, когда двумерный процесс явля-

ется асимптоюгчески эргодическим со стационарной мерой тс (А,В). Обозначите т (х,а) = Е1 . (х,а),

11 ПК

Б* (х,а,в) = Ефп(7п)< (х,а),т,а,6)ф*(7пк (л:,а),х,а,в),

и введем оператор вида хп(д(-))=|д(г,а)хп(сй:,йа)

геели д (?) векторно пли матр^гчкозязчнзя Функция то интеграл берется поэлементно). Положим

17! =ТС (И (•)), Ф (9)=Х (Ф (',9)).

г> п 4 п 'г» 4 п 4 т п х * ' '

Теорема 3.I.I. Пусть процесс (.rnk,S ) асимптотически эргодичен со стационарной мерой тсп (а , Б> и существует такая непрерывная функция фо(i), что

вир |фп(9)-ф (0)|—>0 еее

и выполняются условие В леммы 1.2.2 для /o(f,0)=<po (9) и условие N,

11т вир (х,а,д)\<С, (10)

1Ш sup Етп1 {x,af <С (II)

п—

и я —>т >0.

г» о

Тогда с вероятность», стремящейся к единице при п—:>а>, существует решение Вn(t) ураЕШ1Шя (9). таксе, что

р

э (t )—>е„, Î>O .

п Л о

Далее рассматривается случай, когда двумерный процесс (xnt,Snk) является неэргодическим. Подразумевается, что марковский процесс является эргодическим со стационарной мерой хп(А в то время, как двухкомпонентный процесс (^nk.snk) не будет эргодическим. При этом будем предполагать, что траектория snk развивается в переходном режиме, т.е. для нее выполнен принцип усреднения (нормированная траектория сходится к решению дифференци ального уравнения).

Положим

!Rntr,а) = Ern]t(z,na), £»n(J,a) = Е1гЛ(х,па),

Фп(х,а,0) = Ефп(7пк (х,па),х,па,в),

Б*(х,а,е) = Ефп(тлк (x,na),.r,n.a,e)cp*(7nV (л:,па),х,пл,е).

Обозначим

тп (а)=. (ип ( • ,а) )=Jmn (г,а)хп (&т)

Фп(а,9)= кп«рпКа.в)), Ьп(а)= %п(Ьп(- ,а)), . В*(а,в)= хп(В*(-,а,0)-),

где (А)- стационарная мера процесса хпк, йК).

Теорема ЗЛ.2. Пусть процесс асимптотически эргодичен и выполняются условия (10),(II) и условие N. для каждого Ь>0 функция фп(а,9) равномерно по п непрерывна е области |а|<1, е е в и

(рг (а,е)—>ф(а,е),' а € И™, 9 е е,

функции тп{2,а) и Ьп(а:,а) равномерно по г удовлетворяют локальному условию Лишица и имеют не более чем линейный рост по переменной а,

тп(а)—>т(а), Ьп(а)—>&(а), а € К",

1 я

- Б ->з

„ лО О

п

и функция

I

ри,е)=|т" (з(и))(р(з(и) )с2и

о

удовлетворяет условию В леммы 1.2.2 при фиксированном Т, где з(ц)-рещение дифференциального уравнения

бэи)=т~1 (а(Шй(зЦ ))(й, з(0)=зо (12)

Тогда с вероятностью, стремящейся к единице, существует решение 6 №) уравнения (9) и

в_(П->9,

(предполагается, что решение уравнения (12) существует и единственно).

В §3.2 исследуется сходимость центрированных оценок как процессов по t вида

/п (0n(t)-9o)

к диффузионному процессу. Рассматриваются случаи, когда процесс (xnk,Sn]c) является эргодическим и неэргодическим.

Приведем доказанный результат для первого случая.

Теорема 3.2,1. Пусть процесс {ссгЛ_,БгЛ ) асимптотически эргодичен и удовлетворяет условиям теоремы 3.1.1" для любого L> О

Ilm sup аир Е)фп(7п1 (х,а),г,а,0о)-фг1(7п1 {х,а) —

г,->СО |= J <1- у-

Функция <р (х,а,в0> равномерно по п,х,а непрерывно дифференцируема е точке 9о к

где фпЦ\а,ео)- матрица частных производных вектор-функции Фпи,а,Эо), матрица Б(9о) невырожденная,

Um Um вир Е|фп (7л1 (x,a),z,Q,eo) |2%( |фп (7nl (х,а) ,.r,a,8ü ) | >L}-.

L—*>СО П—>С0 х ,а

т?

(условие Линдебергз) и

х (D*(.,e ))—>D2(9 )

n 4 г» ' о ' ' ' а '

Тогда существует решение 6nU) уравнения (Э) такое, что

на каждом отрезке [fo,T], i:>0, процесс -fn (0n(t)-9o) слабо сходится (в смысле слабой сходимости в пространстве 1>) к процессу

(■\/t)/m0 Ъ'1 {QoiT)(tio)w[i), где w{t) - стандартный винеровский процесс.

В §3.3 исследованы асимптотические свойства чоментних оценок в случае наблюдаемой и ненаблюдаемой траектории.

Рассматривается вторая конструкция РППМ и эргодаческий случай.

1. На отрезке [О,nt] наблюдается траектория РПШ, т.е. величины

С тл Т/П гттгггтгитг т »у (т- С ^ Л b / Ii ("t \

"nie " lnk^rk'"r,k" w "гЛ*"

где vn(t)=minik; tny&1 >nt}.

2. Траектория РППМ не наблюдается, а наблюдаются только величины 7nk, OSfc$vn(t).

Соответствуйте данным наблюдениям уравнения моментшх типов мо:кно записать в Еиде(предполагается, что существует Е7п(х,э) = 8пU.3.9))

1

п

7 . (д* . а . )

»nk 4 nk nk '

I т> а П \

(13)

У 111 п

Z-v - •• (rr f, in С Т Д Л

к = 0

Исследованы асимптотические сеойстеэ решений уравнений (13) и (14). Доказаны состоятельность и сходимость центрированных отклонений к диффузионному процессу для моментных оценок.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.В.Анисимову за научнее руководство, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные положения диссертация опубликованы е следутацих работах:

1. Анисимов В.В., Оразклычев A.A. Асимптотическое оценивание в стохастических моделях с переключениями // Компьютерный анализ данных и моделирование, Минск, 1992. Тез. докл. респ. науч. школы-семинара. - С.17-18.

2. Анисимов В.В., Оразклнчев A.A. Асимптотичоскоо свойство оценок метода максимального правдоподобия для рекуррентных процессов полумарковского типа. -Киев, 1993. -25с.-(Препр./АН Украины. Ин-т математики; 93.17).

3. Анисимов В.В., Оразклычев A.A. Асимптотическое оценивание параметров рекуррентных процессов полумарковского типа//Тр. науч.-практ. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения".-Ашгабат, 1993. - СЛ6-22.

4. AHiciMOB В.В., Оразкличев A.A. Асимптотике оцшмвання параметр^ рекурентних процес^Е нзшвмаркхвського типу в первх!д-

хп**т TApvirvioY f/ Фогуп-та "йткШ-рттазпптй-Л т мот» пф а тп* п ттл.' о _Ртттт

UIX14 <|<~4Л./ / А •_/ ^ i А JUIIUC^ J4 А. I>I'J 1 ■ u i U 1 i <U'>U • Ж >-" W • i^J t L-Li •

49.- C.3-II.

5. Оразклычев A.A. Об асимптотической оценке параметров рекуррентных процессов полумарковского типа// Тр. Туркм. политехи, ин-та. - Ашгабат, 1993. - С.23-25.

Подписано к печати 5.0S.S3 года формат булаги 60x34 I/I6 объем 1,0 п.л. уч - пздат 0,5 Заказ 1067 тиран 100 экз

Отпечатано ООП ГВЦ Госкомстата Туркменистана

г. Ашгабат - S3 г.