Суперпозиция процессов марковского восстановления с зависимостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

В в е д е н и е

Глава I. СУПЕРПОЗИЦИЯ ДВУХ ПРОЦЕССОВ МАРКОВСКОГО

ВОССТАНОВЛЕНИЯ С ЗАВИСИМОСТЬЮ.

1.1. Основные понятия и определения

1.2. Некоторые сведения из общей теории уравнений типа свертки.

1.3. Суперпозиция двух процессов восстановления с зависимостью.Общий и некоторые частные случаи.

1.4. Суперпозиция двух процессов марковского восстановления с зависимостью

1.5. Суперпозиция альтернирующего процесса и процесса восстановления с зависимостью

Глава II. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ДВУХКАНАЛЬНЫХ

СИСТЕМ.

2.1. Алгоритм фазового укрупнения ПМ систем с одним классом устойчивых состояний.

2.2 Двухканальная система с зависимыми отказами.

2.3. Система с защитой и автоматической системой контроля.

2.4. Двухканальная система с резервными приборами

Л и т е р а т ур а.

При современном уровне развития техники вопросы надежности различного рода устройств особо важны. Этим и объясняется тот факт, что исследованию сложных систем, в том числе и резервно-ванных, посвящено большое количество работ. Анализ надежности различных резервированных систем успешно осуществляется теоретико-вероятностными методами. К числу первых работ в этом направлении следует отнести работы Ю.К.Беляева, Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко, Т.П.Марьяновича, А.Д.Соловьева [б, 13-15,28,30-33,46,54,55] .

В работах В.С.Королюка, А.Ф.Турбина и их учеников как удобный аналитический аппарат при описании функционирования резервированных систем широко и успешно используются полумарковские процессы и процессы марковского восстановления [20,25,39,40,42-45, 58 ] .Подробное изложение основных результатов теории полумарковских процессов и их приложений можно найти в ряде монографий [б, 7-9,12,16,26,29,35,36,41-43,50,53,60] и других публикациях ^20, 38,51,52,61-64] .

Особый интерес представляют результаты, связанные с асимптотическими исследованиями вероятностных характеристик таких систем. В работах Б.В.Гнеденко [l3] и А.Д.Соловьева [54] была поставлена задача о нахождении асимптотических характеристик надежности резервированных систем в предположении, что восстановление занимает в среднем значительно меньшее время, чем средняя длительность безотказной работы отдельного прибора (т.е.систем с быстрым восстановлением). А.Д.Соловьевым и его учениками Д.Б.ГЪв-денко, В.А.Зайцевым,В.Н.Овчинниковым было проанализировано большое число конкретных схем резервированных систем и получены предельные теоремы и асимптотические опенки их надежности. Основные результаты А.Д. Соловьева и его учеников по резервированию с быстрым восстановлением изложены в [17,18,23,48,49,56,5?] .

Большой вклад в разработку асимптотических методов расчета надежности сложных систем внес И.Н.Коваленко [28,30 и др.] .

Перспективным методом анализа высоконадежных систем является метод фазового укрупнения сложных систем. Задача асимптотического укрупнения состояния цепей Маркова и полумарковских процессов впервые была рассмотрена В.С.Королюком [37] . В дальнейшем В.С.Королюк и его ученики развили метод фазового укрупнения сложных систем. Основы этого метода представлены в книге В.С.Коро-люка и А.Ф.Турбина [42] , а систематическое изложение метода фазового укрупнения сложных систем, основанного на теории возмущения линейных операторов на спектре и теории сингулярно-возмущенных полугрупп операторов, дано в книге [4l] этих же авторов. Методу фазового укрупнения посвящены также работы [l-4,19,24, 29,34,43] .

При описании функционирования сложных систем часто используется предположение о независимости процессов, описывающих эти системы. Это предположение упрощает соответствующий математический аппарат, однако не позволяет учитывать имеющиеся в реальных ситуациях связи мезвду элементами. С целью более точного изучения реальных систем с функционально зависимыми элементами возникает необходимость изучения суперпозиции процессов с зависимостью, описывающих функционирование элементов системы.

- 5В настоящей диссертации изучаются двухканальные системы с зависимыми отказами, функционирование которых описывается суперпозицией двух процессов марковского восстановления с зависи-* мостью,в общих предположениях относительно функций распределения времен безотказной работы функционирующих каналов и времен восстановления восстанавливающих устройств. Зависимость каналов состоит в том,что выход из строя одного из каналов с определенной вероятностью влечет выход из строя другого канала.

Впервые для вычисления стационарных распределений таких систем используется метод решения системы интегральных уравнений, приводящий к решению краевой задачи Римана [и] . Наиболее полное изложение методов решения задачи Римана в классах функций , используемых в настоящей работе, имеется в монографиях Н.И.Мусхелишви-ли [47] и Ф.Д.Гахова [ю] .

Для определения времени безаварийной работы в условиях быстрого восстановления используются результаты теории фазового укрупнения [4l] .

Первая глава "Суперпозиция двух процессов марковского восстановления с зависимостью" состоит из пяти параграфов.

Основная задача - определить стационарное распределение суперпозиции двух процессов восстановления с зависимостью, процессов марковского восстановления с зависимостью, альтернирующего процесса и процесса восстановления с зависимостью через исходные распределения заданных процессов.

Под суперпозицией двух процессов С* ( i = с за~ висимостью будем понимать процесс Сц » в котором переход из состояния в состояние происходит в моменты изменения состояний sofi) процессов S^. Зависимость проявляется в следующем: в момент перехоto r i) да из состояния в состояние процесса S к. с определенной е Ф вероятностью происходит изменение состояния процесса , где tj ; h j =

В § I.I приведены основные понятия и определения, используемые в дальнейшем. Дается конструктивное задание процесса суперпозиции двух процессов марковского восстановления с зависимо-' стью.

В § 1.2 излагаются некоторые сведения из общей теории парных уравнений типа свертки.

Параграф 1.3 посвящен изучению суперпозиции двух процессов восстановления с зависимостью, в предположении, что времена между моментами восстановления 0к ( 1 ~ ^) -независимые одинаково распределенные случайные.величины. В этом случае предполагается следующая зависимость процессов: в момент восстановления L -го процесса с вероятностью р i происходит вое» становление J -го процесса, с вероятностью (J ± = pi восстановление j -го процесса не происходит [ i j • i/ j = £).

Суперпозиция двух процессов восстановления с зависимостью описывается процессом марковского восстановления (ПМВ) { £>„. би. tb>0} с дискретно-непрерывным фазовым пространством Е = { 4, 2 }* R+ U {о], где R + = [С, . Введем обозначения:

P{ew^bF(x), g(x),

Ffx) = -/ - F(*), G W - У - G (*>),

Цх) = cLFftfcU, f№ - dG(x)/dx, щ*) -1 <f [*ип, v*> - I it Ш

U.\ (*) = - , U-f(x) " <T(*) +- Uf(x),

•] - знак ft - кратной свертки функции, - дельта-функция Дирака, О, - класс функций, квадрат модуля которых интегрируем по Лебегу.

Доказана теорема.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть выполняются следующие условия:

1) f (х) и G М - абсолютно непрерывны с плотностями соответственно L£ ( О t >*=>) и ^(я) L&{ О , ;

2) 0 < М 9i « , L = ;

3) 0 < Cj, Cjt с 1.

Тогда для цепи Маркова { ^ и. , вложенной в ПМВ существует единственное стационарное распределение вероятностей с плотностями о <v=>

0 о где стационарная вероятность состояния (0) ро = [ 1+ J G (xjrfi )Uf(x^)uf(ij)d^ jfttckjuyix^u^llfictij] . о о о о

При доказательстве теоремы используются результаты теории парных уравнений типа свертки [il j . Предложен подход к решению системы интегральных уравнений для стационарных плотностей вида р, fx) - ^ [ J fi (ф-^Щ + /я^/Н)^] = Ро <j< /('

ЗС ян = PoffH.

Доопределив функции, входящие в систему интегральных уравнений для стационарных плотностей, на всю ось, записываем ее в виде парных уравнений, решение которых сводим к решению краевой задачи Римана.

Рассматриваются частные случаи суперпозиции двух процессов восстановления с зависимостью. В случае F'M = € " стационарные плотности

Я/1 + рл (я) - —3-—L- -е h + iz р (xj = Ьрг)

L + 1& о - hpi + b. bz L ♦ Ь '

Если ffoc) = е~ » то рЛсс) - ^GMe-^fil Je'^t UyW

Доказывается теорема. ТЕОРЕМА 1.5. Пусть

I) /*Yх) и G (х.) - абсолютно непрерывны с плотностями соответственно f(^) и ^ (о) '

Z) 0 « М 9li) * i = 2 ; 3) ^ - О f = /.

Тогда для цепи Маркова { S п. > 0 } » вложенной в ПМВ , существует единственное стационарное распределение вероятностей с плотностями р.- ' i+jF(tiujftyt и \Fи) и?т ' со где UfM = Z

В § 1.4 изучается суперпозиция двух ПМВ с зависимостью

С!11 - I 0 к' п >0\ i- 1,2 , описываемая ок. I >п. f п- I ' , ' процессом марковского восстановления ^ = { Рц, n ^ ^ j с дискретно-непрерывным фазовым пространством. Зависимость прог (I) цессов состоит в следующем: в момент перехода процесса из состояния из Е i в состояние К. Ei с вероятностью joK происходит изменение состояния процесса ^ ^ 1 ^ j • ij-jgJ в соответствии с переходными вероятностями вложенной цепи Маркова. Здесь Е L - фазовое пространство состояний вложенной цепи Маркова .

Теорема 1.6. обобщает теорем 1.4. ТЕОРЕМА 1.6. Пусть выполняются следующие условия: Fk* (я) абсолютно непрерывны с плотностями ft* (a) е Le ( О , -) ;

2) о < M0* * и EL f ; =

3) 0 4 of{t ft* + if * e- Ei; л 6 Ея ;

4) матрицы Pl = { Ркг- Ei.} неприводимы. Тогда для цепи Маркова ( (г^о} » вложенной в ПМВ

С к , существует единственное стационарное распределение вероятностей с плотностями

Г*=Z £ pHlLb-U, I.VmlbOdvi*),

J meti le E& rn.eE, где стационарная вероятность попадания в состояние [ttlL ) о

Pmt ~ элементы вектора р , являющегося решением уравнения p-pv

Здесь использованы обозначения:

Lt-N =1 h Р< ^М] ** и:н = I ОД - IL(«),

00 - -ft*

Ut W =£ L Ft WRot], UIH - J <г(*) ♦ цгfx),

J - единичная матрица ; сГ (?) - дельта-функция Дирака ;

- диагональные матрицы с элементами (jfJL} ( Ц ^ Е^ L~ ir

Р • fx) - диагональные матрицы-функции с элементами

Г / М t \ г- • J <я fK (%)] а е Ei, У, 2;

Р^ - матрица, транспонированная по отношению к матрице Р^

DO bOa* (*) = / M u*V (уЦ,

Л (*) = Ff М J ^ ^ (** yj о

- W * где Hisi(z) - элементы соответствующих матриц \J i (х) f У - стохастическая матрица с элементами mefi 5е£г. о

Замечание. Аналогично решается задача в более общей постановке, когда зависимость двух 1MB характеризуется вероятностями р кг. и ( \l ^ El, Г ^ Ец) , т.е. в момент перехода из состояния из £^ в состояние К £ Е7 с вероят

• f-d с ностью р Kh происходит переход из состояния /"- Ez в состояние из £г ; в момент перехода из состояния из в сос

I * (а) тояние в сг с вероятностью /у кг происходит переход из состояния К е Ei в состояние из Ел .В этом случае умножение матриц М - {рпкЛ и (jfi* { ,где = / - р£ определяется следующим образом Cji'M^ M'^l = {(^r tTi^}.

В § 1.5 рассматривается суперпозиция альтернирующего процесса ~ { jSrt. (Гц И-^З и процесса восстановления = {^ц зависимостью, где , - неотрицательные независимые случайные величины с функциями распределения соответственно GM и Ф(сс) .

- i;2

Случайная величина зависит от . Если восстало (г) ^ новление процесса Ци. происходит на периоде процесса Чи. равном Sn » то в момент восстановления происходит переключе-х=> м ние процесса Sm. .

Доказана следующая теорема. ТЕОРЕМА 1.7. Пусть

1) С fx) и Ф fx) абсолютно непрерывны с плотностями соответственно Cf-(x) £ 1-г> ( 0 , и faj е f 0 , ^^

2) 0 < М р < , О < М ^ ^ ^ •

Тогда для цепи Маркова j ^ п. > 0} » вложенной в ПМВ ^и. , существует единственное стационарное распределение вероятностей с плотностями о

Я«Н - p.JJuv^JifNa^bzJefcett,

О О

ОО оо „о

РоН = J + о 0 ° где стационарная вероятность состояния (I)

ОО оо ^ . р, = [ 5 + JJ Uv(ij Lf(z)a(t+z)cbcU\' о о

При доказательстве теоремы используются результаты статьи [59]. Рассматриваются частные случаи.

В главе II - "Асимптотический анализ некоторых двухканальных систем" рассматривается применение полученных в главе I результатов в анализе надежности некоторых двухканальных систем.

В § 2.1 обсуждается алгоритм фазового укрупнения полумарковских систем с одним классом устойчивых состояний.

Параграф 2.2 посвящен асимптотическому анализу двухканальной системы с зависимыми отказами в общих предположениях относительно распределений времен безотказной работы функционирующих каналов и времен их восстановления.

Рассматривается двухканальная система, обслуживаемая четырьмя приборами, два из которых заняты непосредственно обслуживанием, а два других находятся в холодном резерве. Каждый из резервных приборов обслуживает определенный канал. Отказавшие приборы поступают на соответствующие восстанавливающие устройства. Отказ системы наступает в том случае, когда момент отказа прибора попадает на интервал восстановления соответствующего резервного прибора. Фазовое пространство состояний системы определено в виде Е= и ,где R+=[o ^ .Состояния Ео = {^2х>0\ соответствуют рабочим состояниям системы, а состояние (3) - отказу системы.

Функционирование системы описывается посредством ПМВ хГцг {frt, п.ъО) ,представимого суперпозицией двух ПМВ с зависимостью. В предположении, что восстановление приборов происходит достаточно быстро, система допускает фазовое укрупнение.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть выполняются следующие условия: I) R(x) и абсолютно непрерывны с плотностями соответственно fii^j ^ К ( 0, н , LfiY*), I = 1,22) П(я)>0; ф*(х) >0 при сс 4

1 м

3) существует <?>0 такое, что М С П е скроме того, м tj] —> о при г —»С; 4) О ^ cflCft< </; где pi (у) - стационарные плотности опорной системы;

Р2£(з) - вероятности перехода ВЦДО {^п^о}из состояний z^ F0 в отказовое состояние (ь) . Тогда время безотказной работы системы аппроксимируется показательным распределением с параметром ±тк(ь)^ряу „р., £

Е I R(y) ibi(y)dif * ро nto где оо ОО

•го ОО оо

А=R +i Е (й + / НЦ fa Г

0 0 о о

- средние времена пребывания в состояниях Ес . Доказательство опирается на результаты, полученные в [43]. В качестве опорной выбирается двухканальная система с зависимыми отказами, в которой восстановление происходит мгновенно. Опорная система исследована в § 1.3.

В § 2.3 рассматривается система с защитой и автоматической системой контроля, состоящая из стабилизированного преобразователя (СП), устройства защитного отключения (УЗО) и автоматической системы контроля (АСК).

Предлагается цровести анализ надежности рассматриваемой системы в два этапа.

На первом этапе изучается функционирование блока защиты, состоящего из УЗО и АСК. Функционирование блока защиты описывается суперпозицией с зависимостью альтернирующего процесса сГи к>.0} и процесса восстановления.

Используя результаты § 1.5, находится стационарное распределение (Тк - времени неисправности УЗО до момента контроля.

Второй этап состоит в изучении суперпозиции процесса восстановления, описывающего функционирование СП, и альтернирующего процесса С^* = j сГк* п-ъо} ,описывающего функционирование блока защиты.

В § 2.4 главы II доказывается предельная теорема о времени безотказной работы двухканальной системы с JV резервными приборами и одним восстанавливающим устройством.

Система состоит из двух каналов, обслуживаемых М+ £ приборами и восстанавливающим устройством (ВУ). Времена безотказной работы каналов являются независимыми случайными величинами с функциями распределения Ft (я), I ~ i 2 . Отказавшие приборы поступают на ВУ, время восстановления которого f> имеет распределение

СгМ .

Система функционирует следующим образом: в начальный момент времени i ^ 0 отказывает прибор одного из каналов, прибор второго канала проработал время эс и продолжает работать, ВУ свободно. Отказавший прибор немедленно поступает на ВУ и заменяется резервным. Если в момент отказа ВУ занято, то прибор становится в очередь и в момент освобождения ВУ от обслуживания предшествующего прибора поступает на ВУ. Порядок обслуживания прямой. Отказ системы наступает тогда, когда в момент отказа прибора в системе V неисправных приборов.

Функционирование системы описывается посредством ПМВ {

0Пу п>о}

В предположении, что восстановление приборов происходит достаточно быстро, исходный ПМВ ^ = j £ пъО} ,описывающий

Л л > функционирование системы, укрупняется до ПМВ Си. ~ { 0) где цепь Маркова { K-^oj' имеет два состояния: Ео (соответствующее рабочим состояниям системы) и в (соответствующее отка-зовому состоянию).

Доказывается теорема 2.2.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть функции распределения Fi Ы) и (а) удовлетворяют условиям:

1) Fi (я) и (ос) абсолютно непрерывны с плотностями соответственно ft (я), Cjs.('x) '

2) Fi (я) >0 Gt (*) > О при >х < оо ■ оО оо

3) J Fi(v)cb: = mi <do( J^g^ctc = mc ^ О при <£ — ° 7 ° ty

4) существует о > С такое, что -< М £ < Тогда время безотказной работы С* двухканапьной системы с JV/ резервными приборами и одним восстанавливающим устройством асимптотически показательно распределено с параметром cj,Е , который вычисляется по рекуррентной формуле: где

Л ^ J - fo) f, ъ) + ^/^J С

ЧоЫ - f.fa) = ~ Як. » если в слагаемом есть множитель ^ifcx+f хД J * если в слагаемом есть множитель^Я*).

Замечание . Если и одинаково распределены где у (ХК,0:КМ) = ^(Хы-Хн) + /(lK+f + Як).

Для вычисления параметра используется принцип монотонных траекторий.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики АН УССР (руков.акад. В.С.Королюк), на семинаре кафедры прикладной статистики Киевского госуниверситета (руков. проф. В.В.Анисимов), на конференции молодых математиков (Киев, 1979г.), на семинаре "Проблемы анализа и обеспечения точности систем моделирования и управления" в Институте проблем моделирования в энергетике АН УССР (руков.проф. А.Ф.Верлань), на научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983г.).

Результаты диссертации использовались при изучении самоконтролирующейся системы электропитания повышенной надежности (А.с. № I00I298, а.с. № 1026129).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах f 65—

1. Ариас Е., Королюк B.C. Стационарное фазовое укрупнение марковских процессов восстановления. - Докл. АН УССР.Сер.А, 1980,№ 8, с. 3-6.

2. Анисимов В.В. Асимптотическое укрупнение случайных процессов.-Кибернетика, 1973, № 3, с.109-117.

3. Анисимов В. В. Предельные теоремы для переключающихся процессов и их применение.- Кибернетика, 1978, № 6, с.108-118.

4. Анисимов В.В., Ситюк В. Н. Удушение неоднородной цепи Марковас редкими нестационарными интенсивностями переходов между клас-- сами. В кн.: Теория вероятностей и математическая статистика, 19. Изд-во Киевского ун-та, К., 1978, с.18-28.

5. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности.- М.:Сов. радио, 1969.- 486 с.

6. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972. - 368 с.

7. Броди С.М., Погосян И.А. Вложенные стохастические процессы в теории массового обслуживания.- Киев: Наукова думка, 1973.-128с.

8. Бусленко Н.П.,Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем,- М.: Сов.радио, 1973.- 440 с.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

10. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки.- М.: Наука , 1978.- 295 с.

11. Гихман И.И.,Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.2.-М.: Наука, 1973.- 639 с.

12. Гнеденко Б.В. О дублировании с восстановлением.- Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1964, № 5, с.Ш-118.

13. Гнеденко Б.В. О ненагруженном дублировании.- Изв.АН СССР.Техн. кибернетика, 1964, № 4, с.3-12.

14. Гнеденко Б.В.,Беляев Ю.К.,Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности.- М.: Наука, 1965.- 524 с.

15. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.- М.: Наука, 1966.- 432 с.

16. Гнеденко Д.Б.,Соловьев А.Д. Одна общая модель резервирования с восстановлением.- Изв.АН СССР.Техн.кибернетика, 1974, № 6, C.II3-II8.

17. Гнеденко Д.Б.,Соловьев А.Д. Оценка надежности сложных восстанавливаемых систем.- Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1975, №:3, Щ21-128.

18. Гусак Д.В.,Королюк B.C. Асимптотическое поведение полумарковского процесса с расщепляющимся множеством состояний.- В кн.: Теория вероятностей и математическая статистика, 5. Изд-во Киевского университета, 1971, с. 43-51.

19. Ежов И.И.,Королюк B.C. Полумарковские процессы и их приложения.-Кибернетика, 1967, № 5, с.58-65.

20. Ежов И.И.,Скороход А.В. Марковские процессы, однородные по второй компоненте.I.- Теория вероятностей и ее применения,1969,т.14, вып.I,с.3-14.

21. Ежов И.И.,Скороход А.В. Марковские процессы, однородные по второй компоненте.2.- Теория вероятностей и ее применения, 1969, тЛ4, вып.4, с.679-£92.

22. Зайцев В.А.,Соловьев А.Д. Резервирование сложных систем.-Изв. АН СССР.Техн.кибернетика, 1975,№ 4,с.83-92.

23. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания.- М.: Наука, 1966.- 244 с.

24. Князев П.Н. Интегральные преобразования: Учебное пособие для матем.фак.унив. и пединститутов.-Минск: Вышэйшая школа, 1У69.-197 с.

25. Коваленко И.Н. Асимптотический метод оценки надежности сложных систем.- В кн.: О надежности сложных технических систем. М., 1966, с. 205-223.

26. Коваленко И.Н. Исследования по анализу надежности сложных систем." Киев: Наукова думка, 1975.- 20У с.

27. Коваленко И.Н. Некоторые вопросы надежности сложных систем.-В кн.: Кибернетику на службу коммунизму. Т.2., М.-Л., 1964, с. 194-205.

28. Коваленко И.Н. О некоторых классах сложных еистем.1.- Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1964, № 6, с. 3-9.

29. Коваленко И.Н. О некоторых классах сложных систем.II.- Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1965, № I с. 14-20.

30. Коваленко И.Н. О некоторых классах сложных систем. III.- Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1965, № 3, с.З-Н.

31. Коваленко И.Н.,Москатов Г.К.,Барзилович Ё.Ю. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами,- М.Машиностроение, 1973.-176 с.

32. Кокс Д.Р.,Смит B.JI. Теория восстановления.- М. :Сов.радио, 1967.300 с.

33. Королюк B.C. Асимптотическое поведение времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний,- УкрЛлатем. журн., 1969, т.21, № 6, с. 753-761.

34. Королюк B.C. Время пребывания полумарковского процесса в фиксированном множестве состояний.Укр.матем.журн., 1965,т.17,№ 3, с. 123-128.

35. Королюк B.C., Броди С.М., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их применения.- В кн.'.Теория вероятностей.Математическая статистика. Теоретическая кибернетика.( Итоги науки и техники), 1973, XI.Изд.ВИНИТИ, 1974, с.47-97.

36. Королюк B.C., Томусяк А.А. Описание функционирования резервированных систем посредством полумарковских процессов.- Кибернетика, 1965, № 5, с.55- 59.

37. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем,- Киев: Наукова думка, 1978,- 218 с.

38. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения,- Киев: Наукова думка, 1976,- 182 с.

39. Королюк B.C.,Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем.-Киев:Наукова думка,1982,- 235 с.

40. Кузнецов В.Н. О полумарковской модели для нагруженного дублирования.- Кибернетика, 1980, № 4, с.91-98.

41. Кузнецов В.Н.,Турбин А.Ф.,Цатурян Г.Ж. Полумарковские модели восстанавливаемых систем.- Киев: 1981.- 44с.-(Препринт/Ин-т математики АН УССР; №81.11).

42. Марьянович Т.П. Некоторые вопросы надежности резервированных систем.- Укр.матем.журн., 1963, т.15, № 2, с.145-157.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.- М.: Наука, 1968.- 512 с.

44. Овчинников В.Н. Асимптотическое поведение времени до первого отказа в модели неоднородного резервирования с быстрым восстановлением.- Изв.АН СССР.Техн.кибернетика, 1976, № 2, с.82-90.

45. Овчинников В.Н.,Соловьев А.Д. Асимптотический анализ послеот-казовых характеристик надежности.- В кн.: Теория массового обслуживания. T.I. Пущино-на Оке.Изд.Моск.ун-та, 1976,с. 211219.

46. Саати Т.Д. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения.- М.: Сов.радио, 1971.- 520 с.

47. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. Основы расчета функциональных и надежностных характеристик стохастических систем.- М.:Сов.радио,1980.272 с.

48. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для полумарковских процессов и их применения.I.2.- В кн.:.Теория вероятностей и математическая статистика, 3. Изд-во Киевского ун-та, 1970, с.155-194.

49. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций.- Киев: Вища школа. Изд-во при КГУ, 1974.-318 с.

50. Соловьев А.Д. Асимптотическое распределение времени жизни дублированного элемента.- Изв.АН СССР.Техн.кибернетика, 1964, № 5, с.119-121.

51. Соловьев А.Д. Надежность систем с восстановлением.- В кн.: Кибернетику на службу коммунизму. Т.2. М.,1964, с.189-193.

52. Соловьев А.Д. Резервнование с быстрым восстановлением.- Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1970, № I, с. 56-71.

53. Соловьев А.Д.,Зайцев В.А. Резервирование с неполным восстановлением.- Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1975, № I, с. 7276.

54. Чеботарев Г.Н. Об одном случае уравнения Винера-Хопфа в пространстве ограниченных функций.- Изв.высших учебных заведений. Математика, 1976, № 10, с.92-101.

55. Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова.- М.: Мир, 1964.- 426 с.

56. Cinlar Е. On semi-Markov processes on arbitrary space.-Proc.Cambridge Phil.Soc.,1969,v.66, No.2,p.381-392.

57. Pyke R. Markov renewal processes with finitely many states.-Ann.Math.Stat.,1961, v.32, No.p.1231x1242.

58. Pyke R.,Schaufele R.A. Limit theorems for Markov renewal processes.- Ann.Math.Stat.,1964, v.35, No.4,p.1746-1764.

59. Коновалюк B.C. Двухканальная система с зависимыми отказами. Кибернетика, 1981, № 6, с.81-87.

60. Коновалюк B.C. Суперпозиция двух зависимых процессов марковского восстановления. Укр.матем.журн., 1982, т 34, №2, с.171-176.

61. Коновалюк B.C. Суперпозиция зависимых альтернирующего процесса и процесса восстановления. В кн.: Интегральные уравнения в прикладном моделировании: Тез.докл. Респ.научно-техн.конф., т.1, Киев, 1983, с.158-159.

62. Коновалюк B.C. Суперпозиция альтернирующего процесса и процесса восстановления с зависимостью. В кн.: Аналитические методы в задачах теории вероятностей. Киев, Ин-т математики АН УССР, 1984, с.76-85.

63. А.с. I00I298 (СССР). Самоконтролирующаяся система электропитания постоянного напряжения (А.Ф.Верлань,А.И.Гудименко,A. И. Кривоно со в, И. Д. Ко л одее в, В. С. Коно валюк, П. Т. Передерий,B.Н.Скачко). Опубл. в Б.И., 1983, № 8.