Конечные марковские функционалы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ОРДЕНА ТРУДОЕОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

АЛИМОВ Дкумагельды

КОНЕЧНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Клев - 1591

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени Институте математики АН Украины.

Официальные оппоненты: академик АН Украины, доктор физико-

математических наук, доктор технических наук, профессор КОВАЛЕНКО И.Н.,

доктор физико-математических наук,

профессор

ВАТУТИН Б.А.,

доктор физико-математических наук,

профессор

ТУРБШ А.Ф.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института .

,Защита диссертации состоится " (О" 1992 Г.

в 1р чаейв на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины но адресу: 252601, Киев ГСП, ул.Репина,3. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Ы

Автореферат разослан " / " 'р.-/,_^Л* г#

Ученый секретарь специализированного совета

Г/САК Д.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

" Актуальность темы. Первая задача, овязашюя с понятием марковского функционала, была рассмотрена Л.Б.Скороходом в 1964 г., правда, без непосредственного использования этой терминологии ( Построение марковских процессов с помощью мультипликативных функционалов // Зимняя школа по теории вероятностей и математической статистике, Ужгород, 1964. - С.191-216). Именно, им были найдены необходимые и достаточные условия, при которых присоединение к марковскому процессу ХШ дополнительной компоненты £(1) не выводит пару <1 (О^ за пределы класса марковских процессов ( мы.в этом случае называем процесс ^ М марковским функционалом от процесса X (« ).

Интерес к марковским функционалам объясняется, с одной стороны, тем, что с их помощью можно изучать дополнительные характеристики исходного базового процесса X М .В качестве примера приведем отмеченный А.В.Скороходом гот факт, что. сокращение времени жизни процесса X Ш эквивалентно присоединению к X Ш дополнительной компоненты, принимающей два значения, одно из которых поглощающее. С другой стороны, понятие марковского функционала является обобщением таких важных понятий,как аддитивные и мультипликативные функционалы; решения обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от марковского процесса;.марковские процессы, однородные по второй компоненте и т.п. Хотя в диссертации рас- . сматриваются только конечнозначные марковские функционалы, полученные результаты вполне применимы к аддитивным и мультипликативным функционалам со значениями в конечных алгебраических нолях или группах.

Цель работы состоит в изучении асимптотичеокого поведения марковских функционалов с конечным числом значений и в применении полученных результатов к исследования конкретных стохастических систем, построенных на базе марковского эрго-дического процесса.

Общая мето.плка исследования заключается с систематическом примрччнпи тйортл типа мзркопского восстановления в схеме

серий - так называемых переходных явлений. Построение соответствующего аналитического аппарата также является одним из результатов диссертации.

Научная новизна. I. Доказаны принципиально новые предельные теоремы для конечных марковских функционалов, в которых, в частности, установлено существование так называемого малого -параметра - нормирующей последовательности, определяющей скорость роста временного.параметра, гарантирующей сходимость к нетривиальному пределу,.

2. Быяонен характер изменения этой нормирующей последовательности при преобразованиях марковских функционалов.

3. Доказаны законы больших чисел и утверждение типа центральной предельной теоремы.

4» Исследовано асимптотическое поведение момента первого достижения далекого множества и положения в этот момент для марковского эргодаческого процесса.

5. Исследовано предельное поведение момента первой потери требования в система массового обслуживания с потерями, управляемой. марковскйм эргодическим процессом.

6. Изучена асимптотика ореднего числа частиц в марковском ветвящемся процессе, близком к критическому, в марковской случайной среде. . ' ..

Теоретическая и практическая ценность. Работа является составной частью широкой программы научных исследований.по предельным теоремам для случайных процессов и по фазовому укрупнении сложных систем, проводимых в Институте математики АН Украины.

. Результаты диссертации могут быть применены при изучении сложных стохастических систем, построенных на базе марковских зргодических процессов в общем фазовом пространстве.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям ( Ашхабад, 1986 г.);

- на У Международной ЕилытсскоЯ конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989 г.);

на П Донецкой конференции по вероятностным моделям процессов в управлении и надегаюсти ( Мелекино, 1990 г.);

на конференции, посвященной 60-летию академика АН Украины Скорохода A.B. (Косово, 1990 г.);

на У1 советско-японском симпозиуме но теории вероятностей и математической статистике (Киев, 1991 г.);

на семинаре по теории вероятностей Санкт-Петербургского отделения Математического института ( IS90 г.);

на семинаре Института кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины (1991 г.);

на семинарах "Аналитические задачи теории эволюции стохастических систем" при отделе теории вероятностей и математической статистики Института математики АН Украины ( 1969, 1990, 1991 гг.) ;

на секции теории вероятностей и математической статистики при ученом совете Института математики АН Украины (1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ I - 14 J .

Структура и объем работы. ■••■ Диссертация состоит из введения, трех глав, которые разбиты на 15 параграфов, и добавления. Список литературы содержит 41 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Формулируемые ниже определения, теоремы, следствия имеют те же номера, что и в диссертации.

Во введении дается обзор исследований по тематика диссертации, обоснование актуальности работы, краткий перечень основных результатов.

Глава I. МАРКОВСКИЕ ФУНКЩОНАШ

Е § 1.1 приводятся определения основных понятий; примеры марковских функционалов.

Пусть X С-Ь), Ь У/ 0 ~ однородный марковский процесс с непрерывным или дискропкм временем в Газовом пространстве ( Б, . Длп простоты будоч считать £ полным се пара-

бельным метрическим пространством, - -алгебра боре-

левских множеств, а процесс Х^О стохастически непрерывным в случае непрерывного времени.

Определение 1.1.1. Случайный процесс называется марковским функционалом от процесса .если

пара образует однородный марковский про-

цесс ( вообще говоря, обрывающийся).

В диссертации изучаются только марковские функционалы с конечным множеством состояний X = { ... • Траек-

тории процесса £ ХШ, в случае непрерывного време-

ни считаем непрерывными справа и имеющими пределы слева с вероятностью единица.

Основным объектом исследования является последовательность марковских функционалов ^^ Л), п. от одного и того же процесса X , такая, что

¿лЮ> = /СО), П'Л,&, ... (1-1-1)

Обозначим через С ¿Г5 .¡Р ) - основное вероятностное пространство, а через и Ра регулярные условные вероятности при условии К СО) = й и при условии X¿0? = ас, = С соответственно. ■

Определение 1.1.2. Последовательность марковских функционалов , удовлетворяющих условию (1.1.1), называется предельно вырожденной, если

Ьт. С & 3 ' 0 (1.1.2)

для всех хеЕ, С £ I, I } 0.

Определение 1.1.3. Последовательность марковских функционалов (|п_ М от процесса ХЮ называется предельно эргодической, если имеет место (1.1.1),

(1.1.3)

П. —«- £»

для всех е I, А € 0,

и

у Л

(¡т. (О5/, 6 I. (1.4.3)

t

Цель работы - исследование предельного поведения распределения пар [Х^Ь), ПРИ а ^ —>■ о° • Поставленная задача решается в предположении, что процесс tУ/0 является эргодическим - это означает, что существует инвариантное распределение вероятностей X на (£, &) :

t

{ I / (хся>Ы.в = ¡¡лга^/с^) Рх-п.н. (1.1.6)

t —во о 2

для всех Л 6 £ и ограниченных «®> -измеримых функций / '

Кроме того, всюду в диссертации.предполагается, что процесс - непериодический, т.е. если время непрерывно, то

вт. £ Р Сх,4у1 = £ ¿рС^ЛГС^) (1.3.1)

I — ~ е * В

для всех X е £ и всех ограниченных непрерывных функций <Р .где Р^ С х, А) =

и если время дискретно, то

вт. Гк Сх,А) = «X СЛ) (1.3.2)

к —► ео

для всех х е £ равномерно по А £

Если временной параметр t принимает дискретные значения { а 0,^1 ••• , то интеграл в левой части (1.1.6) следует Заменить соответствующей суммой.

В § 1.2 доказывается существование момента марковского вмешательства ? в эволюцию процессов и {ХСМ, при всех а , такого, что для всякого р £ СО, 4 ) и для всякого &>0 найдутся натуральная подпоследовательность П1 оо и множество 3 е с <0ГС») >1*4, такие, что

Р *ЯСА), (2.2.5)

15

£ир Рх у (2.2.6)

хе Л5

5ир А^р с« I X ) <6 , (2.2.7)

а ^ е Э

I " а ц' '

сиен

"Р

<

где

тил 5ар ¿[[^РД^ОУЗ «О] Л (2'2"9)

^ -V» Л Л ^ ^^ ^

(^-О],

1=1 «.Л

т. = Р «е <*> ,

В § 1.3 доказывается следующая теорема. Теорема 1.3.1. Пусть дополнительно к условиям (1.1.1),(1.1.2),(1.3.1)

&рр ¿¿»у}

а-м

для всех ЪъО, х 6 5, ьД ё I.

..Тогда существуют последовательности —> 0 + и

С ¿,¡¿1,такие, что

Г1» и '

^ и

С I Ч

2 й^о, с^о при с

С^1

для всех

ФУНКЦИЙ (рСу)

jc.eE, ¡^£1

_ и всех непрерывных ограниченных где р ^ Са.3 - Си, Г ? -ый элемент Га с; Д. а

, С =11 С II £, ; - < •

' П. П- '(} " *

ыатривд £

Эта теорема является однш из ооновных результатов диссертации. При ее доказательство существенно используются так называемые моменты "искусственной" регенерации, построенные впер-. выо И.II.Коваленко, Здесь эти моменты используются в той конструкции, в которой они изложены в § 1.2.

В §.1.4 доказывается аналогичный теореме 1.3.1 результат в случае, когда последовательность <ЛпИ) является предельно эргодической.

Теорема 1.4.1. В условиях (1.1.1),(1.1.3),(1.4.3),

(1.3.3) найдется такая последовательность £ , что

/т.

"а «I,

Еш. г им), | = е ^

X ' 11 ^ _

и

для всех "Ь хе £, 6 X и всех непрерывных

ограниченных функций . Ч £ ^ '

Б. заключение § 1.3.и § 1.4 формулируется дискретный вариант теорем , 1.3.1 и 1.4.1 соответственно.

В § 1.5 изучаются преобразования марковских функционалов. Эти преобразования заключаются в присоединении к марковскому функционалу X Й)^ третьей компоненты

{ В частности, когда ^й) £ [¿,¿3

и одно из состояний I или 2 поглощающее, это соответствует сокращению времени жизни процесса { ^ п • .

Здесь ставится вопрос о соотношении между нормировками &п и - <?а соответственно до и после преобразования. Оказывается, всегда можно выбрать и так, что-

бы 4 <Гл. . Естественно возникает вопрос о том, ког-

да

(Т (1.5.9)

п. .-*■ ов

Ответ, вообще гюворй, отрицательный. Построен пример, показывающий, что это не всегда так, т.е. возможна ситуация, когда /<Уа —>0.

Получено условие, при котором имеет место (1.5.9). Чтобы сформулировать его, обозначим через - гпХа

Ф - момент первого скачка процесса

Теорема 1.5.1. Пусть существуют вероятностные меры £, и число > 0 1

(г —»о

для всех В <= ©& , о . СВ) > 1-Х.

Тогда имеот место (1.1.9).

В заключение параграфа приводится пример, показыващий, когда это условие эффективно проверяется.

Интерес к этим вопросам вызван запросами центральной предельной теоремы.

Глава 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДНЯ ЫАРКОЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ

В этой главе рассматриваются некоторые аспекты сходимости интегральных функционалов от последовательности предельно вырожденных и предельно эргодических марковских функционалов типа закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Обозначим в случае непрерывного времени

t

й СО = £ а СХс«, ¿^СвЭЫз, о

Бсо = {асксвмсозЫ*, (2ЛЛ)

а

и в случае дискретного времени

■к-А

5 со = Ц асхск), Д Ск)), 1= 0,х, ... ,

п. г^ ' " а

к=а

(2 1

вСО = £ аСксЮ, |<-»9 ± = 0,1,... , к = о

где ¿ux.i.} при кат.дом L ограниченная ей -измеримая функщя,и предположим, что существуют пределы

С^ = Еотг. С ^ . (2Л.З)

П.

В § 2.1 исследуется предельное распределение пары [J Ctl, ¿„.S^CO^ ПРИ п. t —>оа, tá^ —>■ а.

Теорема 2.I.I. Если в условиях теоремы I.3.I существует предел (2.1.3), то при любом начальном распределении совместное распределение величин

XCtt, ¿¿t),

при а »в, i —► во, —► ц. слабо сходится к

совместному распределению величин

и.

У, ¿ш, S 2 Cfcte))¿s9

о

где величина Т1 не зависит от цепи Маркова £ Си.) ;

р . [У ел} = <£СА>, л £ & i

íi ¿ tC „ y ¿ II P UJII. = e . , С = lie II i

aci) = £ SCdy.) a.Ly,i).

,E '.

-Теорема 2.1.3. Б условиях теоремы 1.4.1 при любом начальном распределении ' £X(Q),JéQ)J совместное распределение величин

хм, J^cti, S^tJ

при ^ ^rri сла(5о сходится при п. —я», t —^eojt£ — к совместному распредалению независимых величин ""

Г, ¿, аи.

при [ц- J 2г . ГД9

Р . {Г =

Л») I

-t

p [ «á >tj = e j a = Z p S

i V £

и не зависит от пары С У, % ) . Пусть теперь

S Г. (2>2<з)

£

Предположим, что

i ' SCr5|á 4 (2.2.4)

Г ¿

для всех i £Í , где - момент искусственной регенерации, удовлетворяет^ условиям (2.2.5Ы2.2.8) и условию (2.2.9) с р = 3/4.

Обозначим

а\х) а г

$ УА С^Св»

О

где стандартный винеровский процесс УС не зависит от процесса СО .

Теорема 2.3.2. Пусть в условиях (1.1.1),(1.1.2), . (2.1.3),(2.2.3),(2.2.4)-(2.2.9), (2.2.13) имеет место (1.5.9). Тогда при любом начальном распределении процесса X С') совместное распределение величин . .[ М, Й) 3 слабо сходится ;п[1И а —*■<*>, ± —^о^з —к сов~ местному распределению величин {¿ии,

Отметим,-что нарушение условия (1.5.9) ведет к нарушению утверждения сгзрремы 2.3.2. ■ ■

В § 2,2 доказывается утверждение теоремы 2.3.2 в случае дискретного .-времени, а в § 2.3 - когда время непрерывно. В заключение § 2.3 приводится следующая теорема. Теорема' 2.3.3. Пусть функции йлСхД) и при каждом £ £ I ограничены, ¿5- измеримы и выполнены условия теоремы 2.3.2 с функцией в качестве

функции . Тогда при любом начальном распределении пары

£ X, ^ СО)3 совместное распределение величин

и.

и.

а

где же, что и в теореме 2.3.2, а функции

¿¿а) и б^а ¿.¡.1 с-.'роятся ш и так

жо, как д(>5 т.. Ь(л> по а.(х,1) .

Глава 3. ПРИЛОЖЕНИЯ МАРКОЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Эта глава посвящена приложению марковских фунюдаоналов от эргодических процессов к различным задачам. Одна из них - об асимптотическом поведении переходной вероятности обргаагащихся марковских процессов, близких к эргодическому, - изугается в § 3.1. Именно, пусть последовательность обрнвающихоя марковских процессов Х^СО, t ^ ( где мом-знт обрыва)

с переходными вероятностями

Р^ ft,®,Л) = Рх a, t

удовлетворяет условиям

Ра Lt,x,A) ¿Pit,x,A), (3.1.1/

km. Р й,зс,Л) в pit, ж (3.1.2)

П —* 9С

для всех Л е «Й , где Pit, да, А ) =

На основании (3.1.I) и (3.1.2), не ограничивая общности, можно считать, что Ха Li) - X it), 0 4 t 4 J? п. , я ¿*п t оо 1Рх -п.н.

Теорема 3.1.1. Если процесс \Ct) эргодичен и непериодичен, то в условиях (3.I.I),(3.1.2) существует последовательность (£а —► 0 + такая, что

hn { Pact,x,Wc^= е"и

а —♦ оо g g u

■ t —»■ <»

для всех a £ E и всех непрерывных ограниченных функций ^ . В частном случае, когда

t

P^ct,*,^) =Р [е*р J , Xftj б А]

где последовательность -измеримых функций тако-

ва, что

Сх). йт <1)1^=0, (3.1.3)

П. ?

пи

п.

| «Г ^ <*> , (3.1.4)

Е

то из тзореш 3.1.1 вытекает следствие.

Сдедотв.ие 3.1.2. Пусть процесс Хй) эргоди-чен и непериодичен. Тогда если выполнено условие (3.1.4), то существует последовательность I 0 такая, что

р Ге*р [ - { ) =е

и

для всех х е Е .

Здесь также выясняется асимптотика . Оказывается,

если

С Ь. СгоЛЧДое) -> О , (3.1.8)

н ^ С > ос 3

[К^Ь

где оУ / ^ ¿Г, , то

~ ^ = < ¿Г, . (3.1.9)

Б § 3,2 исследуются интегралыше функционалы вида

га£« = | «У СхсвзЫв, о

где ХСО , кг.к всегда, - однородный марковский эргодический

непериодический процесс, а тот Ж0> что л в (3.1.3),

(3.1.4). Доказано следующее утверждение типа закона больших ■ чисел.

Теорема 3.2.1. В условиях (3.1.4),(3.1.3) конечномерные распределения случайных процессов £а Ш слабо сходятся к конечномерным распределениям процесса 2 .

Условие (3.1.8) в геореме 3.2.1 являетоя только достаточным условием. Приводится пример, когда это условие нарушается.

Следующей теоремой описываются всевозможные предельные распределения для £ 1±1&п}.

Теорема 3.2.2. Для всякой неограниченной последовательности натуральных чисел можно указать а) подпоследовательность п' —► оо ; в) числа а>0 , Ь У/О ;

с) меру > О на СО, <*>)

<*>

такие, что

■л 2 а) _ -чкш

а —* яс

—► во

—а.

п.

для всех

КСД) =

хе£3 t?fl, Л >0, £ & (С , гда

во

= Ь * ал + ¡а- е~ЛЬ ла^).

Перейдем к изложению результатов § 3.3. Пусть -^о. -последовательность множеств из , таких, что

£> эХ> ¿Г С-В 5 >0. сЯЧи ) ->0

И ГС.+ 1 ' п- п. (1 -90

(3.3.1)

Обозначим

Тогда Р х во 1 =1, Предположил, что

• Л» ь*

«Р* К —

(3.3.2)

Д.С.Сильвеотров и Д.Б.Корешок показали, что при подходящем выборе нормирующей последовательности & —> 0 +

»^Г-Ге "

п. —*

Этот результат уточняется в следующем направлении. Предполагается, что при каждом а

С (3.3.3)

и ставится вопрос об асимптотике вероятности

Я? \ &„ 1 и-, X С1? ) 6 Л) л / £ Г

Ж I П- ' П- п. с1е ^ при п -*-ао.

Теорема 3.3.1. Пусть процесс ХС*) непериодичен. Тогда в условиях (3.1.1)-(3.1.3) существуют последовательности & —>-0+, ^ 6 I такие, что

^ * " " А

для всех ц. >0, л в Е, ^ е I.

Б § 3.4 покгзнвается, как теорема 1.3.1 может быть применена к анализу систем массового обслуживания с. относительно быст-

рым обслуживанием и потерями. . .

Параграф 3.5 посвящен применению теорем 1.3.1 т 1.4.1 к исследованию асимптотики среднего числа частиц в ветвящемся процессе в марковской случайной среде.

В § 3.6 изучаются аддитивные функционалы от процессов с независимыми приращениями без отрицательных скачков з граничным условием в нуле и преобразованных-с помощью случайно I замены времени по дробно-линейной положительной функции. Получены точные формулы для двойного преобразования Лапласа ( по времени и по фазе) переходной вероятности итогового процесса.

В § 3.7 доказаны эргодические теоремы и вычислит стационарные распределения в терминах преобразований Лапласа для итогового процесса, введенных в § 3.6.

В добавлении доказываются.теоремы типа марковского восстановления в схеме серий. Точнее, в измеримом фазовом пространстве С£, ¿5) со счетно поро.здеиной <э-алгеброй рас-

сматривается последовательность неотрицательных полуоднородных ДДеР 1ц.^ I которая сходится при п —»■ <*з

к неотрицательному стохастическому ядру ^ (_ х, Лц,) в смысле '

ею

5Ц|5 £ШЭ I ^ $ -

А £& 0 а

во

- 5 4 | а

о

для любой непрерывной ограниченной функции

Обозначим через ф^ Си Сх^у)- основания ядер £1 ^ (.х, % АХ) и х, \cl-t) соответственно, а

через с х, с- потенциал ядра сЦ.*) .

Будем считать, что ядро не записит от X ,

т.е.

(I)

РО

где £(-А) - некоторое распределение вероятностей на (£,<£&).

Тьорема 4. Пусть дополнительно к условиям (1),(2) ядро £}, Сх, нерешетчато и

5ор £ujs J Цл Сл9 £ * <tt)t < ов , п хе£ о

(9)

I £ ЯЫх.) ^ Сх, Е*4*И (ю)

а Е г

последовательность 1 с© + -измеримых функций ос^)

, что ^С*,«*!»,

такова

00

П- 1йЕ fl

(29)

Sup Sup Sup IT (oo)

* HD

«с

kn. rSuto 5иь 2 So» a Cx,t) = 0,

Suf A J eTUx) £ | Sujs üif ^^«jtA —»£).

найдется такая -измеримая ¡Туккция ij tt) , что

«о

-» 0 ; (31)

d^ ч- -*■

О S

$ ljl*>- J litt ^

существует число такое, что

п. «

5 ¿г са.х) а ил* > <?сзг„ с А).

^ ^ 11* ™ 7 гь ✓

где «^а^а^, ЯЛСВ)*1.

Тогда существует пооледовательность & —* 0 +

п.

ей

. и К =е"с 4 5 р*"1*

Ч. -*с ■ о

равномерно по х. <5 £ , где

&н -

Ш-

$ Ц ЯсЛа) Щ, £х, 6 "¿Ш ее. £ О

Теорема 5. Если дополнительно к условиям (1);(2), (9),(10) шаг ядра £££&, ¿¿^¿¿Л) равен едшшцо и

ос

с о,-я = £ а^е* (54)

к=0

для всех X £ £ 1 п.1г 1;

ей -измеримые функции , Г1 У/1, куЛ таковы,

что

5г % *

а-7/А д. ее к.>/|У

найдется последовательность такая, что

Ь/О £

то

1ип. к л

С

Ьо

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах;

I. Алимов Д. Об одном полунепрерывном марковском процессе пуас-соновского типа // Укр.мат.журн. - 1985. - ЭТ., №. 2. - С.244-

2. Алимов Д. Об одном классе марковских процессов с дробно-линейными локальными характеристиками // Тезисы докладов всесоюз. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Ашхабад, 14 - 17 окт, 1986 г. -.Ашхабад: МинВУЗ ТССР, 1986. - С.14.

3. Алимов Д. Об одном классе марковских процессов с дробно-, линейными локальными характеристиками // .Пятая Междунар. Вильнюс.конф.по теории вероятностей и мат.статистике, Вильнюс 26 июня - I июля .1989 г.: Тез.докл. - Вильнюс: Лит.ин-т математики и кибернетики АН ЛитССР, 1989.-Т.3. - С. 14-15.

4. Алимов Д..06 эргодичности одного марковского процесса пуас-ооновского типа // Укр.мат.журн. - 1990. - 42, 6. - С.832-835.

5. Алимов Д., Шуренков В.М. Теоремы марковского.восстановления . б схеме серий // Там же.-№ II. - С. 1443-1448.

6. Алимов Д., Шуренков В.М. Асимптотическое поведение обрывающихся марковских процессов, близких к эргодическим // Там

. же.-№12. - С. 1735-1737.

7. Алимов Д. Одна теорема типа принципа усреднения // Бесконечномерный' стохастический анализ. - Киев: Ин-т математики АН

■ УССР, 1990. - С.4-10.

8. Алимов Д. Замечание о предельных распределениях интегральных .функционалов от эргодического марковского процесса // Укр.мат.журн. - 1991. - 43, № 9. - С.1313-1315.

9. Алимов Д. Полунепрерывные процессы с независимыми приращениями с границей т'. с "дробно-линейюи" заменой времени // Теория вероятностей и ее применения. - 1931. - 36, вып.З,-С. 562-560.

247

10. Алимов Д. Закон больших чисел для марковских & (.кционалов // Докл.АН УССР. - 1991. - 4. - С.27-29.

11. Алимов Д. Несколько замечаний об "искусственной'' регенерации // Стохастические уравнения и предельные теооемы. -Киев:'Ин-т математики АН УССР, 1991. - С. 4-14.

12. Алимов Д., Шуренков В.ГЛ. Марковские функционалы // У1 советско-японский симпозиум по теории вероятностей и Математической статистике, Клев 5-10 авг.1991 г.: Тез.докл. - Киев: Пн-т математики АН УССР, 1991. - С.15.

13. Алимов Д. Центральная предельная теорема для марковских функционалов. - Киев, 1991. - 35 с. -(Препр./АН УССР.Ин-т математики; 91.37).

14. Алимов Д. Три примера марковских функционалов // Укр.иат. ':сурн. - 1991. -43, № 12. - С. 1621-1625.

Поди, в печ. ЬЬ.И.У!. уормат 60x84/16. Бумага тип. Офс. печать. УсЛ.иеч.л. 1,39. Усл.кр.-отт. 1,39. Уч.-изд.л. 1,15. Тиран 120 ркз. оак. ¿¿3 ■ Ьесплатно.__

Подготовлено и отпечатано в Институте математики АН Украины. Киев 4, 1Ш, ул. Репина, 3