Предельные теоремы для статистик, связанных с большим числом редких событий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОПИСАНИЕ НЕСОСТОЯТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ

ВЕРОЯТНОСТИ.

§ I. Состоятельные оценки плотности вероятности

§ 2. Несостоятельные оценки плотности вероятности

ГЛАВА П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РАЗДЕЛИМЫХ СТАТИСТИК В СЛУЧАЕ ОЧЕНЬ РЕДКИХ СОБЫТИЙ

§ I. Предельная теорема для линейных разделимых статистик.

§ 2. Теорема о сходимости разделимых статистик к гауссовскому процессу

§ 3. Мартингальные предельные теоремы для разделимых статистик

§ 4. Сходимость по распределению при альтернативах

Во многих задачах математической статистики вакную роль играют разделимые статистики (см., например, ): где (j^Qoc), Н~ 1,2,. - последовательность измеримых функций, определенных для значений ое О ,а , • • ♦ > «и

О, - случайные величины (сл.в.)» имеющие мультиномиальное

N Уь распределение с вероятностями ., . , р и числом испытаний ru . В случае, котаа функция cj^ имеет вид Я^ОД,.} Т {* } - индикаторная функция), статистика (I) представляет собой ^ ^-статистику, статистику максимального правдоподобия и так называемую статистику спектра, соответственно.

В диссертации рассматривается более общий объект- процесс, значения которого представляют собой нормированные частичные суммы вида (I). Более точно: пусть Х^ > .jX^ независимые одинаково распределенные сл.в. с функцией распределения (ф.р.) Р - согласно гипотезе и с ф.р. - согласно альтернативе. Без ограничения общности рассматриваемой нике задачи монно предполагать, что ф.р. F и Р заданы на интервале [o,ll . Обозначим через и > соответственно, плотности вероятности (пл.в.) сл.в. X^ . Введем биномиальный процесс zc*) =С х. .

К. . , U -V. J ish.

Разделим интервал [0,lQ на N подинтервалов (t./N,(t+i)/M j, 1=0^1, . ., N -1 . в этом случае wCh) = ^vxC^r) > а p.=&P(»-/Nl) или в зависимости от того рассматривается гипотеза или альтернатива. Рассмотрим процессы вида где a N = к •••

- последовательность измеримых функций, определенных для значений ос > О и zf^ Г^Д! » причём £ - наименьшее целое положительное число такое, что при всех N и -6 выполняются следующие соотношения:

Заметим здесь, что, во-первых, рассматривать процессы X ' в вышеприведённой конструкции, т.е. связывать значения процесса Xм с приращениями биномиального процесса Е^ удобно с точки зрения применения мартингального подхода при нахождении предельных теорем для Х""'^ • Во-вторых, поскольку кавдому набору вероятностей , . . . } р^ мы; всегда мокем поставить в соответствие пл.в. ^ по следующему правилу: и наоборот, для заданной пл.в. £ мощно положить ri/M . д ci+lVM то, приведенная выше конструкция нисколько не умаляет общности рассматриваемой задачи.

Существует большое количество работ, посвященных нахождению предельного распределения для статистик (I) в случае, когда с ростом п. вероятности plrv стремятся к нулю, а N возрастает; Например, в работах [i - 9 J были получены предельные распределения статистик и доказывались теоремы о сходимости конечномерных распределений процессов, аналогичных процессам . Но при этом не была приведена конструкция предельного процесса У. . В работе [ю] при асимптотике ъ/Ы ск , 0 < oL < оо была сформулирована теорема о сходимости по распределению процессов X*'** » траектории которых линейно сглаживались, т.е» рассматривались как элементы пространства непрерывных функций.

Во всех этих работах вывод предельного распределения статистик (i) основывался на следующем факте: где , i= 1? N - независимые пуассоновские сл.в, с интенсивностями ^p^r».; Таким образом сл.в.

• ••» заменялись независимыми сл.в. , после IN IX. Я ' 7 14 чего находили предельное распределение статистики при условии I^гр ги . В работе [И] было предложено рассмат

N ., как семимартингал относительно "удобного" потока ег-алгебр , ■£> ^ £) , порошденного биномиальным процессом 2:п. Легко можно увидеть, что условное распределение приращений = субмартингала {zKU>, \

Cr'Z ^ при условии J-^ имеет очень простой вид, а именно р [л^) = * \ } = € (сс, К- ^U), ) , где -биномиальное распределение с числом испытаний шгъ и вероятностью успеха р . Поскольку необходимые и достаточные условия сходимости по распределению семимартингалов выражаются в терминах условных распределений приращений семимартинга-ла, то удобно рассматривать процесс хПо [ь^Ы) как семимартингал относительно потока ^-алгебр

В работе [12] была доказана сходимость по распределению процессов к процессу Ито X в следующем случае

N , т.е. когда rt/Nl 1 при п,—> оо .

Там нее приведено конструктивное описание процесса X .

Нике (см. §§ 2- 4 гл.П) будет рассматриваться случай 2) п-о(Ы) ,т.е. тъ/Ы 0 при rt; Ы —> .

Поскольку среди интервалов (l/NJ, + / ^ , i~ 0}. . ^ N - 1 в случае I) найдётся "очень мало" интервалов, в которые попало "большое" число сл.в. Ху^ , а в случае 2) найдётся "очень мало" интервалов,в которые попало больше одной из сл.в. , . . .} Х^, то случаи I) и 2) будут называться случаями редких и очень редких событий, соответственно.

Если разделить интервал [0,l] на подинтервалы J.= = - i , где [аЗ обозначает целую

часть числа а , и рассматривать гистограмму

Leo = ^ . * е

Ih. ^ ^

14 ^'rv

Vv^v. здесь \>iYb - приращения биномиального процесса zn в точках it , I =0Д,.,|Ч/У-1 ) ,то 'нетрудно обнаружить, что суммы вида (i) выракаются через интегральную статистику вида о . ^

Так, например, при и |получаем равенство: i+l)/N Л =£ 5 ?Ht Leo) At = Ны

Поскольку при асимптотике tv-fw/^o? оценка пл.в. ^ не является состоятельной, то полагая и i-J N заключаем, что в случаях I) и 2) мы сталкиваемся с несостоятельны

Гч/ ми оценками пл.в.

Хотя не существует традиции изучать интегральные статистики или процессы вида 0

5 , о основанные на оценках пл.в. общего вида

•V 1

V\

Uvv изучение условий, при которых оценки пл.в. общего вида (2) являются состоятельными или несостоятельными представляет самостоятельный интерес.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам.

1. Медведев Ю.И. Некоторые теоремы об асимптотическом распределении статистики^2,- ДАН СССР, 192, 5 (1970),987-989.

2. Медведев Ю.И. Разделимые статистики в полиномиальной схеме I,-Теория вероятн. и её примен., 22, I (1977), 3-17.

3. Медведев Ю.И. Разделимые статистики в полиномиальной схеме,П,-Теория вероятн. и ее примен., 22 , 3 (1977), 623-630.

4. Hoist L., Asymptotic normality and efficiency for certaingoodness of fit tests .-Biometrika, 59, 1 (1972 ) , 137145.

5. Ивченко Г.И., Лёвин В.В. Асимптотическая нормальность одного класса статистик в полиномиальной схеме.- Теория вероятн. и её примен., 21, I (1976), 190-195.

6. Morris С., Central limit theorems for multinomial sums „-Ann. Statist., 3 , 1 (1975 ), 165-188.

7. Steck G.P., Limit theorems for conditional distributions.-Univ. California Publ. Statist., 2 , 12 (1957 ) , 237284.

8. Кодчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения .- Наука, М.: 1976.

9. Колчин В.Ф. 0 распределении одной статистики в полиномиальной схеме»* Труды МИЭМ, вып.32 (1973), 73-91.

10. Ивченко Г.И., Лёвин В«В. Нормальная аппроксимация для повторных выборок из конечной совокупности.- Третья мевдународ-ная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, т.1, Вильнюс, 1981 , 217-218.

11. Хмаладзе 9.В. Некоторые применения теории мартингалов в статистике УМН 37 , 6 (1982), 193-212.

12. Хмаладзе Э.В. Мартингальные предельные теоремы для разделимых статистик.- Теория вероятн. и её примен., 28, 3 (1983), 504-520.

13. Abou-Jaoude S., Conditions necessaires et suffisantes de convergence L^ en probabilite de 1'histogramme pour une desite.-Ann. Inst. H. Poincare , 12 ( 1976 ) , 213-231.

14. Abou-Jaoude S., Sur la convergence L^ et Lj de l'estima-teur de la partition aleatore pour une densite.-Ann. Inst. H. Poincare , 12 ( 1976 ) ,299-317.

15. Rosenblatt M., Remarks on some nonparametric estimates of a density function.-Ann. Math. Statist., 27 (1956) , 832-837.

16. Parzen E., On the estimation of a probability density function and the mode.-Ann. Math. Statist., 33 (1962) , 10651076.

17. Cacoullos T., Estimation of a multivariate density.-Ann. Inst. Statist. Math. 18 (1965) , 179-190.18* Надарая Э.А. 0 непараметрических оценках плотности вероятности и регрессии.- Теория вероятн. и её примен., 10, I (1965), 199-203.

18. Van Ryzin J. On strong consistency of density estimates.-Ann. Math. Statist., 40 (1969), 1765-1772.

19. Deheuvels P. Conditions necessaires et suffisantes de convergence ponctuelle presque sure et uniforme presque sure des estimateurs de la densite.- C.R. Acad. Sci. Paris, Ser A278 (1974), 1217-1220.

20. Надарая Э.А. 0 непараметрической оценке байесовского риска в задаче классификации.- Сообщения АН ГССР, 82, 2 (1976),278.280.

21. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии,- ТГУ, Тбилиси: 1983.

22. Devroye L., Wagner T.J. L,- convergence of kernel densityestimates.- Ann. Statist., 7 , 5 (1979) , 1136-1139.24. uevroye L., The equivalence of weak, strong and complete convergence in for kernel density estimates.- Ann.Statist., 11, 3 (1983), 896-904.

23. Walter G., Blun J. Probability density estimation usingdelta sequencesi- Ann. Statist., 7, 2 (1979), 328-340.

24. Мнацаканов P.M., Хмаладзе Э.В. Об Ly* сходимости статистических ядерных оценок плотности распределения.- Х1У Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, Мецниереба, Тбилиси:, 1980, 17-18.

25. Мнацаканов P.M., Хмаладзе Э.В. Об Ц- сходимости статистических ядерных оценок плотностей распределений.- ДАН СССР, 258, 5 (1981), 1052-1055.

26. Орлов А.И., Непараметрические оценки плотности в топологических пространствах.- Сб. Прикладная статистика, Наука , М.: 1983, 12-40.

27. Мнацаканов P.M. Об одной предельной теореме для несостоятельных оценок плотности вероятности.- Предельные теоремы и стохастические уравнения.- Сборник статей, Мецниереба, Тбилиси: 1984, 72-82.

28. Ивченко Г .И., Медведев Ю.И» Разделимые статистики и про* верка гипотез для группированных данных.- Теория вероятна и её примен., 25, 3 (1980), 549-560.

29. Мнацаканов P.M. Функциональная предельная теорема для аддитивно разделимых статистик в случае очень редких событий.- Теория вероятн. и её примен. (в печати).

30. М'нацаканов P.M. О сходимости разделимых статистик к вине-ровскому процессу,- ХУ1 Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятн. и мат. статистике. Тезисы докладов, ТГУ, Тбилиси: 1984, 34-35.

31. Мнацаканов P.M. О сходимости разделимых статистик к вине-ровскому процессуТеория вероятн. и её примен. (в печати).

32. Мнацаканов P.M. Мартингальные предельные теоремы: для статистик аддитивного типа.- Случайный анализ и асимптотические задачи теории вероятн. и мат. статистики, Мецниереба, Тбилиси: 1984, ЦЗ-П4.

33. Н5этансон И.П. Теория функций вещественной переменной.-М.: 1957.

34. Данфорд Н., Шварц Дк.Т. Линейные операторы.Общая теория.-Ш1, М.: 1962.

35. Stein Е.М. Singular integrals and differentiability properties of functions.- Princeton Univ. Press, Princeton, H-J: 1970.

36. Минусинский Я., Сикорский Р, Антосик П. Теория обобщенных ^функций.- Секвециальный подход, Мир, М»: 1976.

37. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, т.2, Мир, М.: 1967.

38. Леман Э. Проверка статистических гипотез.- Наука, М.: 1979.

39. Биляингсли П. Сходимость вероятностных мер.- Наука, М.: 1977.

40. Орлов Ю.К., Читашвили Р.Я. Некоторые проблемы статистического оценивания в относительно малых выборках.- Сообщения АН ГССР, 108, 3 (1982), 513-516.

41. Хмаладзе Э.В. Замечание о слабой сходимости линейных разделимых статистик.- Теория вероятн. и её примен., 25, 3(1980), 633-636.

42. Лоэв М. Теория вероятностей.- ИЛ, Mf: 1962.

43. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Функциональная центральная предельная теорема для семимартингалов.- Теория вероятн. и её примен., 25 , 4(1980), 683-703.

44. Боровков А.А. Теория вероятностей.- Наука, М.: 1976.

45. Больиев-Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.- ВЦ, М.: 1968.

46. Гихман И.Н. Об асимптотических свойствах некоторых статистик, аналогичных величине % .- Теория вероятн. и её примен., I, 3(1956), 344-348.

47. Чибисов Д.М., Гванцеладзе Л.Г. О критериях согласия, основанных на группированных данных.- Ш Советско-Японский симп. по теор.вероятн., ФАН; Ташкент: 1975, 183-185.