Асимптотические свойства редеющих случайных множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САЙТГ^ЕТЕРБУРГСШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

. ■ ' " на гтрапах рукописи-

РИВЛИН Михаил Иосифович

АСШПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕДЕЮЩИХ СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена в Морском техническом университете Санкт-Петербурга.

Научный руководитель -

кандидат физико-математических наук, доцент

Л.А.Золотухина

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Б.П.Харламов каццидат физико-математических наук, доцент

С. С. Валланпер Ведущая организация - Московский государственный

университет

Защита состоится "¿f." .fifi^rt?.. 1993 г. в час.

на заседании специализированного совета К.063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г.Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета..

Автореферат разослан " .".. .. 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент О.И.Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ, АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. За последние десятилетия появилось большое количество работ, в которых исследуются асимптотические свойства тех или иных потоков редких случайных событий. Подобные задачи возникают во многих областях теории вероятностей, как, например, при изучении серий испытаний с маловероятным успехом, длинных повторений в цепочках случайных символов, редких событий в схеме регенерирующего процесса, результатов сильного прореживания точечных процессов, марковских и по-, лумарковских процессов с труднодостижимыми состояниями, высоконадежных стохастических систем, пересечений стационарными процессами высокого уровня. В работе дан обзор исследований, проведенных в этих направлениях. Их истоки восходят еще к теореме Пуассона. Элементарный анализ выявляет значительную общность результатов, полученных для приведенных выше различных вероятностных моделей, связанных с потоками редких событий. Такая общность наводит на мысли о том, что многие асимптотические свойства потоков редких событий можно получить, абстрагируясь от природы возникновения этих событий. Данная идея реализуется в настоящей работе.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ - Исследование общих свойств потоков редких событий абстрактной природы.

3. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Моменты наступлений событий трактуются как случайные точки на временной оси, что приводит к изложению на языке теории точечных процессов и более общем языке теории случайных множеств, позволяющем включить в рассмотрение модели с бесконечным числом событий.

4. НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Данная работа позволяет с общих позиций взглянуть на ряд исследований, проводившихся ранее независимо друг от друга. Все результаты являются новыми. К наиболее существенным относятся решения следующих задач:

1). Определение условий, при которых вероятность появления на фиксированном интервале хлтя бы одного элемента стационарного редеющего случайного подмножества Бе полуоси вещественной прямой асимптотически пропорциональна длине этого интервала, и нахождение коэффициента асимптотической пропорциональности.

2). Изучение предельного вида вероятности появления хотя бы одного элемента редеющего случайного множества Б® на расту-

щем интервале, определение условий асимптотической пуассоно-вости.

3). Получение с общих позиций ряда обобщений известных результатов, касающихся различных редеющих случайных множеств конкретной природа. (Рассматриваются такие области как цепочки зависимых испытаний с маловероятным успехом, превышение стационарными последовательностями высокого уровня, сильное прореживание точечных процессов, суммирование редеющих точечных процессов, большие уклонения диффузионных процессов)!1)

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в перечисленных в первом пункте областях теории вероятностей.

5. АПРОБАЦИЯ, ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты работы докладывались на семинарах лаборатории математической статистики ЛОМИ и лаборатории теории вероятностей МГУ. По материалам диссертации опубликовано две научные статьи, приведенные в конце автореферата.

6. ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Работа состоит из введения, девяти параграфов и заключения, содержит 122 страницы машинописного текста. Список литературы включает 127 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика работы.

В §1 анализируются известные результаты изучения различных потоков редких событий конкретной природы, выявляются общие моменты.

В §§2-3 формулируются необходимые факты теорий точечных процессов и случайных множеств, вводятся основные обозначения и определения (в том числе понятие сопровождающих точечных процессов).

Основные понятия и обозначения.

Пусть (П,ВП,Р) - исходное вероятностное пространство, иеп,

И+=[0,оо).

Определение_1. Множество 3=8щс называется случайным множеством (СМ), если для каждого боре ленского У<= К* функционал Т2(У), определенный с помощью равенства

Г 1, БПУ*0

'о"' - { о,

БПУ=0,

' Более подробно основные результаты работы сформулированы в конце раздела "Содержание диссертации". 4

является случайной величиной.

Введем над множеством Б операции Ну(БМх:х^Н+,х+у€Б), у^О. Определение_?. СМ Б называется стационарным, если для каждых у^О и ограниченного борелевского множества V распределение Т^(V) и Тн (з)(V) одно и то же.

У Опреде.лениб-З. СМ Б называется простим точечным процессом (ПТП), если для каждого ограниченного борелевского Ус функционал

И3(У) = число точек (БПУ) почти наверное конечен.

Для ПТП значение функционала (V) является собственной случайной величиной. Функционалы и N5 связаны очевидной формулой

Т3(У)=1 <=> ^тмз. (1)

Рассмотрим семейство операций

Ра(3)={г:хеБ*;(х,з+5)ПБ=0>, 6>0. Здесь и далее Б* - замыкание Б. Нетрудно показать, что для

каждого б>0 значение функционала (V), где Бв=Ра(Б), будет собст-

в

венной случайной величиной на исходном вероятностном пространстве, то есть Б. является ПТП.

о

Определение _4. Семейство ПТП Бв=Р_5(Б), б>0 назовем сопровождающим семейством простых точечных процессов случайного множества Б (а сами ПТП Бд - сопровождающими).

Если СМ Б стационарно, то стационарны и все сопровождающие ПТП

Будем использовать для интервала У=[зД) запись

Тд(У)=Т3(8,1); Ns(V)=Ns(з,t). Введем для стационарного СМ операцию растяжения-сжатия Са(Б)={х:ахеБ},

а>0, функции

адда)=Р(Тд(о,г)=1). ъо, Чз(1:1'1:2)=Р(Т3(1:1,1:1 + 1:2)=1/Т3(0,1:1 )=1)* Ь'12>0

8д(11,12,13)=Р(ТБ(11+г3,11+г2+г3ы/тБ(0Рг1)=1). ^,г2Л3>о

(для ПТП с помощью (1) можно переписать эти формулы, пользуясь функционалом Ыд) и для стационарного ПТП, кроме того, операцию дробления

С^ а(Б)={х:х-1а€Б при некотором 1=0,1,2,....т), а>0, т=1,2,3,..., число

Мз = Е N3(0,1),

называемое интенсивностью ПТП Б, и нулевую функцию Пальма-Хинчина

=11я Р(Но(1,т)=0/ТИд(1-г,1 )>0).

•с-»О

Ощ)еделэние_5. Семейство СМ Бе назовем редеющим, а сами СМ Бе - редеющими, если для каждого ЪО ш5е{г) - О при е->0.

Далее мы будем предполагать, что все предельные перехода совершаются при е->0, если не оговорено ^противное, и использовать упрощенные обозначения Т, <р®, qe1 ш®, ¡Iе и т.д. вместо ТБ , Ы8е,

Ф5е, д^е, Шцв, ц|с и т.д. соответственно.

5 б

В §4 приводятся различные варианты ограничений на зависимость появлений элементов случайного множества на непересекающихся интервалах, необходимые для дальнейшего изложения.

В §5 исследуется вероятность появления элемента редеющего СМ на фиксированном интервале. Выясняются условия, при которых эта вероятность асимптотически пропорциональна длине интервала. Находится коэффициент асимптотической пропорциональности.

Основные результаты §5.

Будем говорить, что для семейства СМ Бе выполняется условие Л1 (3е), если для некоторого 10>0 и каждого 1;>0 qe(to,t)-»0.

Положим 5|=Рв(Бс), е,б>0.

Теорема 1. Для произвольного семейства стационарных СМ Бе выполнения условия Л1(5е) необходимо и достаточно для существования функции р(е), такой что для любого ЪО

ше(1;) ~ р(е)г.

При этом для каждого б>0

Р(в) ~

Теорема 2. Для выполнения Л1(Зе) необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для некоторого го>0 и каждых 1г>0, г>0

8еа0,ъ,ь)~, 0.

Теорема 2 позволяет иметь малый "зазор" величиной 11 между интервалами, проверяемыми на зависимость, что во многих случаях облегчает проверку выполнения условия Л1(Бе).

Замечание_1. Теорема 1 относится к редеющим семействам. Это не оговорено явно, но вытекает из условий теоремы.

Замечание_2. В том случае, когда Бе - ПТП и р.е конечно, можно, интерпретируя как временную ось, говорить, что в условиях теоремы 1 вероятность появления редкого события на фиксированном временном интервале пропорциональна длине этого интервала. В качестве коэффициента пропорциональности в этом случае мы интуитивно ожидаем иметь интенсивность процесса р.®. Как показывает следующий пример,

<М*>

это не всегда так. _

Пример_1- Положим Se=QIiE(SE), Se=Q[1/e] e2(Se), где Se - пуассоновский процесс интенсивности е, i-J - операция взя-

«V А <V А Л «V

тия целой части; S®= =F6(Se), S®=Fô(Se). Можно показать, что Se и

А /V Л

S® стационарны, выпол/няются^ Л1 (Se) и Л1(Зе), но для любого ô>0

Й 1 ¿я

llmsun-^-ç— ; llm-*2-=0.

(Iе 2 |ie

Условия, при которых ц® в теореме 1 все-таки может быть заменено на це, содержит следующая теорема.

Теорема 3. Пусть Se - стационарные ПТП, це«х>. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны:

1) выполняется Л1(5е) и для некоторого tj>0 cp^tjM,

2) для каждого t>0 (pe(t)-»l,

3) для каждого t>0 ue(t) ~ |J.et,

4) для каждого ô>0 це ~

В §6 изучаются асимптотические свойства редеющих случайных множеств на растущих интервалах.

Основные результаты §6. Для получения содержательных результатов необходимо наложить на CM Se условия слабой зависимости. Если бы речь шла об отдельно взятом CM S, мы легко могли бы по аналогии с условиями слабой зависимости для случайных процессов построить различные варианты условий, требующих асимптотической независимости появлений элементов СМ S на множествах, разделенных растущим интервалом длины а. Но нам нужно построить такие условия для семейства Se с целью изучения предельного поведения при е-0. Появляются два предельных параметра: а-«» и е-0. В приводимых ниже вариантах условий эти параметры согласованы .

л»

Пусть Se - семейство CM, Se - семейство ПТП, а(е) - положительная функция, с>0. Будем говорить, что выполняются условия Дl°(S?a(e)), если для каждых функций t1(e), t2(e), t3(e), таких что t1(e)^ca(E), t2(£)^a(s), t3(e)>0,

|ge(t1,t2,t3) - (oe(t3)| - 0 (аргументы функций tj, t2, t3 в последней строчке опущены), Д2(Бе,а(е)) (на '10,si), если для любых чисел tj, t2, t3, таких что 0<tj<t2<t3 «s),

Л2(Бе,а(е)), если для некоторого tQ>0

limaup qE(t0,T/a(e)) -* 0 при т-«0,

<v e-»0

JI2' (Se,o(8) ), если llmlnf <pe(a/a(e)) - 1 при г-0.

е-Ю

Последние условия регулируют зависимость появлений элементов СМ (ПТП) на соседних интервалах. Их смысл состоит в том, что наличие элемента редеющего СМ на некотором интервале не меняет вероятность появления элемента этого СМ на соседнем интервале настолько, что она перестает стремиться к нулю.

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия асимптотической пуассоновости редеющих ПТП.

Теорема 4. Пусть Se - стационарные ПТП, це«х>, aI(e)~a3(e)~oi3(e)~fxe.

Тогда выполнение условий Л2'(Se,aj(E)) и Д2(Бе,а2(е)) (на

[0,8]) необходимо и достаточно для того, чтобы GI/a (e)(Se)-^-» S

(на [0,s]). Здесь и далее S - стационарный пуассоновский процесс единичной интенсивности, символ означает сходимость по распределению. 1

Как показывают следующие теоремы, при переходе к СМ общего вида в определенных ограничениях сохраняется экспоненциальный характер l-ue(t/a(E)) при надлежащем выборе а(е). Сходимость по распределению переносится на сопровождающие ПТП.

Теорема 5. Пусть Se - стационарные редеющие CM, ô1,ö2>0, оц (е)~ц,® , с^(6), выполняются JI2(Se,a1 (е)), Д2(БЕ,а2(в)).

Тогда для каадого 5>0 и функции о(е), такой что а(е)~|х|,

I. для любого t>0 ue(t/a(e)H-e.xp(-t),

I- G1/a(e)(Se)-g.

Теорема 6. Пусть Se - стационарные СМ, существует функция б(е)>0, такая что ые(8(е)Ь0, выполняются Л2* (Sl^.o, (е)), ДЗ^^.^^)), ГДе а1 (б)~а2(е)~^в(е)-

Тогда для каждых t>0 и функции ct(s), такой что ue(t/a(E))-*1-eip(-t).

Замечание. Даже в том случае, когда Se - ПТП, |ie<co и выполняются условия теорем 5 и (или) 6, нормировка может существенно отличаться от нормировки 1/це, фигурирующей в теореме 4.

Убедиться в этом можно, обратившись к примеру 1.

Следующая теорема интересна простотой условий и тем, что для установления с ее помощью существования функции а(е), такой что ue(t/a(E)M-ezp(-t), не требуется знания интенсивности сопровожда-

цих ПТП.

Теорема 7. Пусть Se - стационарные CM; h(e),a(e) - неотрица-эльные функции, с>0, выполняется Д1°(Зе,Ь(е)),

a(e) » h(e)(l+c), ue(a(e)) -» О Тогда J. Для каждого t>0 "^М-^е) ) l-exp(-t).

В этом параграфе рассматриваются также локальные свойства нор-фованных редеющих СМ (вероятности появления элемента редеющего СМ î интервале длиной т/р.® при малых т).

В §7 рассматривается связь между математическим ожиданием ниж-!й границы CM Se (Е (Inf Se)) и интенсивностью сопровождающего ПТП i|) Доказывается, что в условиях теоремы 5 при некотором дополни->льном ограничении Ilm Inf Se) = 1 ив соответствии с ре-

гльтатами §5 Р( Inf Se< t) ~ t / Е( Inf Se).

В §§8,9 полученные результаты применены для исследования неко->рых редеющих случайных множеств конкретной природы.

Число успехов в стационарных цепочках зависимых испытаний

с маловероятным успехом. Пусть при каждом п=1,2,... задана последовательность случайных щикаторов {т)|п)}, 1=1,2,..., с вероятностью единицы Р(т}[п)=1)=рп.

Положим R<n) = У т]|п), 7(n) = min (1: т?{п)=1}, к i=l 1 1

¡n) , = P(r1'.n)=Q,...,Til.n)=0), где .....Iç {1,2,...}.

, • • « > Jjç J1 J]^ I К.

,n) естественно интерпретировать, как число успехов в к зависимых :пытаний, 7(п)- как номер первого успешного испытания.

Будем считать, что все предельные переходы' совершаются при ■со, если не оговорено противное.

Будем говорить, что выполняется условие ДП2({т)|п)}), если для кзых t1,t2,t3, таких что 0<t1 <t2<t3$1

lb(n) - b(n) -b(n) I —» 0

|u1,2,...tn1,n2+1,...,n3 "1,2.....n1 "iig+1, ...,n3'

;e n.^t^-nl, 1=1,2,3;

ловив ЛП2({т)£п))), если

[f [n/k] ,

llmsup P[[ U (T).j=1 )J / ij^lJ —♦ 0, k-K».

Приведенные ниже теоремы будут несложными следствиями теорем раграфа G.

Теорема 8. Пусть при каждом n=l,2,... ir)[n)}, 1=1,2,... - ста-

йионарная последовательность случайных индикаторов с вероятностью единицы рп; п>р -» а, а>0; выполняются ДП2({т).[п)}), ЛП2({т)[п)}).

Тогда сходится по распределению к пуассоновской с.в. с

параметром а.

Замечание. Теорема 8 без изменений формулируется для схемы серий. Она является обобщением теоремы Пуассона, поскольку для последовательности независимых одинаково распределенных случайных индикаторов выполнение условий ДП2 и ЛП2 очевидно.

Будем говорить, что для семейства стационарных последовательностей случайных индикаторов {т)1п)} и целочисленнозначной функции

т выполняется условие ДП1°(т]|Г1),шГ1)> если для любых целых к?п)^п)>1с(п)> таких что цсш^^

Теорема 9. Пусть при каждом п (г)?} - стационарная последовательность случайных индикаторов, 1 ,п^€{1,2,...}; выполняется

ДШ0^,!^); 11т1пГ ,(1+£)тп ^ 1; Р(Т(П) < У—► О-

Тогда Р(7(п)>ай > г)—► ехр(-г),

где а = РО^И.т^О.....т^ =0) = Р(т)..=0.....т^ =1).

п , , п п

Следствие. Пусть при каждом п {г)| ') - стационарная последовательность ш-зависимых случайных индикаторов с вероятностью единицы рп, рп-0, 1>ш, целое.

Тогда Р(7(П)РП > Ю—» ехр(-г),

где рп = Р(т}1=1,г)2=0,...,т11=0) (= РСп^О.....^=0,^=1)).

При 1=пн-1 утвервдение следствия совпадает с известной

теоремой Соловьева [3].

Асимптотическое распределение к-х наибольших значений стационарной последовательности случайных величин. Пусть {^>,1=1,2,... - стацинарная последовательность случайных величин, £ (х1,... .х^ - совместная функция распределе-

^ п {к ^ ния с.в. Е-! ..•••£-( . Мп - к-е наибольшее из

п 1 I п

Ш ) л „ - числовая последовательность, п п=1,2,... "

Нас будет интересовать поведение вероятности ' $ ип) при п-к». Последовательность (ип> выбирается при этом так, чтобы искомая вероятность не выровдалась. В рассматриваемом случае это достигается, если для некоторого а>0

п(1-Р1 (Чп)) —► а. (2)

Будем говорить, что выполняется условие ДВ2((,Шп)), если для любых 0<t1<t2<t3<1

F1,2.....n, ,n2.....n3(Un,---,Un)

-F1.2.....n, (Un..........n3<Un.....V|-°'

"Де n^ttjnl, 1=1,2,3;

условие ЛВ2({^},{и )) выполняется, если

1 imsup Pli U (id>Un)J / ^ > Un — 0, к-».

n-w J=2

Следующая теорема является следствием теоремы 9. Георема 10. Пусть {g^} - стационарная последовательность с.в., Un) - числовая последовательность, при некотором а>0 выполняется

1авенство (2), выполняются ДВЗ(£Ç±3.ÎUn3). ЛВ2({,<Un>). Тогда P ' <Un ) —» e_<x .

Теорема 10 является усилением соответствующей теоремы Лидбет-ера, Ротсена и Линдгрена 121.

Сильное прореживание точечных процессов. Пусть S - ПТП с атомами т., ,г2,..., (т).}, 1=1,2,... - последо-атвльность случайных индикаторов.

Введем операцию прореживания ЩЭДт^}), ставящую в соответст-

ле ПТП S и последовательности (т^) ПТП S с атомами т^.т^..... та-

ями что

Л2,... ) = (t. ,'с1 ,...>, где i 11,12____> = (1: ^=1).

Теорема И. Пусть при каждом е>0 заданы стационарная последо-зтельность случайных индикаторов Ст)|) с вероятностью единицы ре, ;овлетворяющая условиям ЛП2 (Ст)®>), ДП2 (Ст)р) и независимый от ie ПТП Se; для каждых t1tt2>0, t2>t1 и некоторой функции ке

Je- 1Р

2 1 1 Яере \Ере 1

5е = С1мерв и(8е,{т)р).

Тогда

Следствие, пусть для некоторых ПТП Э, числа Х>0 и любых

,,^>0 л., при г-к»;

е>0 - семейство стационарных независимых от Б последователь-

стей случайных индикаторов с вероятностью единицы ре; ре-*0, вы-

лняются ЛП2 (Сф), ДП2 (Сп?}), Бе = С иО.С-п?}).

1 1 1/ре 1

Тогда SeA, s\ где Sx - процесс Пуассона интенсивности X.

В частном случае, когда (т)?} - последовательность независимых одинаково распределеннх случайных индикаторов (независимое прореживание) следствие совпадает с известной теоремой Беляева Ш.

Большие уклоненния диффузионных процессов.

Пусть а - положительная константа, Ь(х) удовлетворяет условию b(h) sign h J, - oo. h * oo (3)

Тогда существует стационарный диффузионный процесс Ц с диффузией а и сносом Ь(£) с плотностью распределения

тс(х) = С exp[-§-J b(y)dy], (4)

о

где С - постоянная нормировки.

Рассмотрев CM Sh = it^O: проверив выполнение JIl(Sh) и

найдя интенсивность в соответствии с результатами §5 получаем следующую теорему.

Теорема 12. Пусть стационарный диффузионный процесс с диффузией а и коэффициентом сноса Ь(£), удовлетворяющим (з).

Тогда для кавдого t>0 и h-»

Pi sup f ^ hi ~ -2-f(h)Tt(h)t,

где u(h) определяется (4), i(h) = j J exp|^-|- J b(y)dyjdx| .

h-1 x

При некоторых дополнительных условиях возможна простая асимптотическая оценка 1(h).

Теорема 13. Пусть в дополнение к условиям теоремы 12 urn ) _ н

¿2 -W - 1-

Тогда для каждого t>0 при h-co

pi sup I > hi ~ -b(h)it(h)t.

4>s *<t 1

Теоремы 12,13 обобщают результаты работы Дирске [5], в которой получена аналогичная оценка для процесса Орнштейна-Уленбека (b(x)=const) и пересекаются с результатами Бермана [41.

Суммирование редеющих точечных процессов.

Пусть при кавдом п=1,2,.. .S ,Sj, • • • - одинаково распределенные независимые стационарные ПТП, каждый из которых распределен как ПТП S(n) с интенсивностью ц(п^<оо; ^€(1,2,...},

S(n) = и" Б}?'

1=1 1XJ

Следующая теорема оказывается тесно связана с результатами §5.

Теорема 14. Пусть существует предел lim к^ц"1' = Л.

Тогда выполнение при каждом t>0 и п-*х> условия ф,п' (t)—► 1 несводимо и достаточно для того, чтобы

g(n)_d, SA при П-мо.

Основные результаты диссертации суммированы в заключении.

В работе показано, что многие потоки редких событий (редеющие лучайные множества) обладают общими асимптотическими свойствами, е зависящими от природы возникновения событий. А именно: . Доказано, что при достаточно слабых и легко проверяемых ограничениях вероятность появления на фиксированном интервале хотя бы одного элемента стационарного редеющего случайного подмножества Se полуоси вещественной прямой асимптотически пропорциональна длине этого интервала (приведены необходимые и достаточные условия).

В том случае, когда число элементов Se на каждом ограниченном интервале с вероятностью единица конечно, это утверждение хорошо согласуется с интуитивным понятием о том, что вероятность наступления редкого события за время t пропорциональна t. . Найден коэффициент асимптотической пропорциональности. В его роли может выступать интенсивность любого из введенных так называемых сопровождающих точечных процессов S®, которые состоят из элементов замыкания исходного случайного множества Se, имеющих справа от себя интервал длины Ô, свободный от других элементов Se.

. Доказано, что при определенных условиях вероятность появления хотя бы одного элемента Se на растущем интервале длины a(e)t, где а(е) - надлежащим образом подобранная функция - стремится к l-exp(-t). Роль функции a(s) в большинстве случаев играют интенсивности сопровождающих точечных процессов. . Найдены необходимые и достаточные условия сходимости редеющего стационарного точечного процесса к пуассоновскому при определенном масштабировании.

Приведенные теоремы позволили с общих позиций взглянуть на ряд [¡следований, проводившихся ранее независимо друг от друга.

Получены новые результаты о предельном пуассоновском распределили числа успехов в зависимых испытаниях, об асимптотическом расселении k-ых наибольших стационарной последовательности случай-IX величин, о сходимости суммарного потока, а также результата

сильного зависимого прореживания точечного процесса к пуассоновско-му процессу. Найдена точная асимптотика вероятности больших уклонений стационарного диффузионного процесса с постоянной диффузией.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Л.А. Золотухиной за постоянное внимание и помощь в работе.

Литература.

1. Беляев Ю.К. (1963). Предельная теорема для редеющих потоков // Теория вероятностей и ее применения. - Т.8, Вып.2. - С.175-184.

2. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. (1989). Экстремумы случайных последовательностей и процессов. - М.: Мир. - 392 с.

3. Соловьев А.Д. (1966). Одно комбинаторное тождество и его применение к задаче о первом наступлении редкого события // Теория вероятностей и ее пременение. - Т.11, J42. - С.313-320.

4. Berrnan S.M. (1982). Sojourns and extremes of a dlfluslon process on a iixed Interval // Adv. In Appl. Probab. - V.14, *4. -P.811-832.

5. DlrsKe J.P. (1975). An absorption probability for Omsteln-Uhlenbeck processes // J. Appl. Probab. - Jt3. - P.595-599.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях автора:

6. Ривлин М.И. (1992а). Асимптотика вероятности появления элемента редеющего случайного множества на фиксированном интервале // деп. в ВИНИТИ 25.09.92, ЛЙ846-В92.

7. Ривлин М.И. (1992в). Асимптотические свойства редеющих случайных множеств на растущих интервалах // деп. в ВИНИТИ 25.09.92, Я2847-В92.