Предельные распределения для случайных последовательностей со случайными индексами и некоторые их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГО од

■) /, ЛМ1моски

московским государственный университет

им. М. В. ЛОМОНОСОВА

факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи КОРОЛЕВ Виктор Юрьевич

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ИНДЕКСАМИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.05 —теория вероятностей и математическая статистика

автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: академик АН Украины Б. В. Гнеденко; доктор физ.-мат. наук, профессор В. М. Золотарев; доктор физ.-мат. наук, профессор Л. Б. Клебанов.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится « 4-1 »_¿р££>рАЛЯ_ 1994 г

в « » часов на заседании специализированного со-

вета Д 053.05.38 при МГУ им. М. В. Ломоносова (119899, ГСП-3, Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан « ^ »_&^&/Ар Я_ 199-^-г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

Н. П. ТРИФОНОВ

Ор*АЯ ХАРАКТЕРИСТИК*. РАБОТЫ *

Актуальность проблемы. Интерес к изучению асимптотического поведения случайна* последовательностей со случайными индексами нб ослабевает с середины сороковых годов прежде всего, по-видимому,. в связи с необходимостью рассмотрения частных случаев таких последо-ва'Ч'епьностей, например, сумм случайного числа случайных величин (случайных сумм) или некоторых статистик в выборках случайного объема в прикладных задачах.

К пастояиему моменту накоплено большое число результатов о слу-. чайных последовательностях со случайными индексами. Подобные объекты были предметом исследования многих математиков. Имеювиеся результаты можно условно разделить на две группы. К первой из них относятся утверждения, в которых непременным условием выступает независимость случайных индексов от исходных последовательностей. Вторую группу составляют результаты, в которых такое предположение не делается. При анализе результатов из второй группы прослеживается четкая взаимосвязь метода исследования и вида зависимости между случайными индексами и исходной последовательностью в кяждоя отдельной задаче. В связи с этим исчерпывающая систематизация результатов из второй группы представляется весьма затруднительной, в то время как в отношении результатов из первой группы она вполне осуществима.

В данйоя диссертации изложены результаты, относящиеся к первой из упомянутых групп. На первый взгляд требование независимости случайных индексов и исходных последовательностей может показаться излишне ограничительным. Однако, во-первых, на практике подобные модели успешно применяются даже чаче, чем можно было бы ожидать. В качестве подтверждения сказанного можно сослаться на примеры из теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономики, финансовой математики, математической теории страхования (актуарной математики!, ядерной физики к других областей, где случайные последовательности с независимыми случайными индексами играют определяющую роль. Во-вторых, требование' независимости позволяет получать не только достаточные, но и необходимые условия сходимости случайно индексированных случайных последовательностей.

Среди исследования по асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, которые могут быть отнесены к числу основополагающих, следует отметить пионерную работу Г.Роббкнса (1948), в которой приведены некоторые достаточные условия сходимости распределения "нарастающих" сумм случайного числа независимых случайных величии (с.в.) к сдвиговым или масштабным смесям

нормальных законов. Результаты Роббинса были обобщены Р.Л.ДоВруюиным (1955), который с помощью специального выбора центрирующих и нормирующих констант продемонстрировал возможные виды связи между предельными распределениями произвольных случайно и неслучайно индексированных последовательностей.

Следующий этап развития асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случвввыми индексами связан с исследованиями Б.В. ГнеденкО! В 1969 им и ЗЕ.Фахимом получены достаточные условия сходимости случайных сумм в схеме серия. Б.В.Гнеденко впервые поставил задачу об отыскании не только достаточных, но и необходимых условии сходимости случайных последовательностей со случайными индексами. Ему и его ученикам Д.Саасу, Б.Фрайеру, В.М.Круглову и др. принадлежат основополагающие результаты в этом направлении как для случайных сумм, так и для порядковых статистик в выборках случайно-ного объема в схеме серий. Некоторые итоги исследований в этой области подведены в монографии [5], содержащей, помимо прочего, исчерпывающее описание предельного поведения случайных сумм в схеме Гнеденко.

Однако асимптотическую теорию случайных последовательностей со случайными индексами нельзя было считать завервенной. Причина этого в том, что Предельные схемы Роббинса-Добруиина и Гнеденко не связаны так, как аналогичные схемы в предельных теоремах, скажем/ для сумм неслучайного числа с.в., где схема серий вбирает в себя схему нарастающих сумм. Суть этого противоречия мы поясним на примере случайных сумм независимых одинаково распределенных слагаемых с конечными дисперсиями. Схема "нарастающих" сумм с указанными свойствами приводит к предельным распределениям, имеющим вид либо чисто сдвиговых, либо чисто масштабных смесей нормальных законов. В схеме серий Гнеденко возникают предельные законы, характеристические функции которых являются показательными смесями характеристических функций безгранично делимых законов. Класс таких законов не включает в себя чисто сдвиговые смеси нормальных законов, которые могут быть предельными для "нарастающих" случайных сумм. С другой стороны, в схеме "нарастающих" случайных сумм с указанными свойствами в качестве предельных не могут возникнуть смеси нормальных законов, где смешивание происходит одновременно к па параметру сдвига, й по параметру масштаба, В схеме серки же такие смеси могут появляться. Все дело в том, что центрирование константами случайных сумм, используемое в схеме Роббинса-Добруиина, и центрирование константами отдельных слагаемых, используемое в схеме Гнеденко, в отличие от суммирования с.в. в неслучайном числе,

приводят, вооВие говоря, к различным предельным законам.

С целью смягчить описанное противоречие между схемами РоВВияса-ДоВруиина и Гнеденко в диссертации предложены две прёдепьные схемы: покоординатная и диагональная, которые применительно к случайный суммам оСоВиают схемы "нарастающих" случайных сумм и схему серия соответственно, Эти схемы различаются, прежде всего, формулировками условия сходимости неслучайно индексированных последовательностей.

Особо следует подчеркнуть, что случайность индексов .привносит в. возможные постановки задач принципиальне новые элементы по сравнение с асимптотическими задачами, связанными со случайными последовательностями с неслучайными индексами. Из-за того, что наличие нового источника случайности - случайных индексов — мохет по-разному учитываться в формулировках задач покоординатной и диагональной предельных схем, ни одна из них, вооВие говоря, не-сводится к другой. Это по сути разные подхода к формулировкам предельных задач. Упомянутое выше смягчение противоречия между схемами РоСОинса-Добрукина и Гнеденко с помопью введения покоординатной и диагональной предельных схем сводится к тому, что в рассмотренном в диссертации варианте покоординатной схемы даже для сумм случайного числа независимых одинаково распределенных с.в. удается получить в качестве предельных законов помимо чисто сдвиговых и чисто масвтабных ene и сложные сдвиг-масштабные смеси, а в диагональной схеме - наряду с другими еие и чисто сдвиговые смеси. При этом впервые во всей полноте рассмотрено асимптотическое поведение центрированных константами сумм случайного числа независимых случайных величин в схеме серий.

Основываясь на упомянутых выие результатах, удалось предложить единую математическую теорию роста надежности, имеюпую большое значение для ревения важной практической проблемы прогнозирования надежности сложных систем в ходе их отладочных испытаний, ' когда в тестируемую систему вносятся изменения.Эта задача чрезвычайно актуальна для снижения риска отказов сложных программных, программно-агрегатных , технических к организационно-технических систем, которые чреваты серьезными авариями, катастрофами и экономическими потерями. Первые работы/ описывавшие математические модели роста надежности постоянно модифицируемых систем появились в середине пятидесятых годов, и в настоящее время их число огромно. Одним только • моделям роста надежности программного обеспечения посвящено Солее четырехсот работ.

Вместе с тем следует отметить, что универсального метода ревения описанной проблемы не суиествует. В связи с этим весьма актуапь-

воя является задана удобное систематизации существующих моделея роста надежности. Однако до сих пор попытки построения таких классификация были чисто описательными и практически .бесполезными для облегченна выбора нухяоя модели в конкретной ситуации. До последнего времени отсутствовал единил математический подход к построению моделей роста надежности. По-видимому, именно поэтому модели роста надежности обходятся стороной в канонических руководствах по математической теории надежности.

Дели и задачи работы. Основными целями диссертации являются соэ вание целостной асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, исчерпывающее описание предельного поведения случайных сумм и создание на этой основе единой математической теории роста надежности.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью методики, сочетаюцей элементы метода характеристических функция и метода вероятностных метрик. Также используются прямые вероятностные методы.

Научная новизна работы состоит в следующей: 1} Впервые исследованы необходимые к достаточные условия слабой

сходимости произвольных одномерных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, а также сходимости их моментов. Показана зависимость предельных распределения от поведения нормирующих и цевтрируюцих констант и случайных индексов. Эти результаты позволяют считать асимптотическую теорию случайных последовательностей с независимыми индексами в целом завершенной.

2) Впервые получены необходимые и достаточные условия слабой относи-сительяои компактности и слабой сходимости центрированных сумм случайного числа независимых произвольно распределенных случайных величин как в схеме серий, так и в схеме "нарастающих сумм".

3) Получены уточнения оценок скорости сближения распределения случайных сумм со смесями нормальных законов.

4) Впервые предложена единая математическая теория роста надежности модифицируемых систем, вбирающая в себя большинство известных ранее результатов и позволяющая строить новые классы моделей роста надежности.

Апробация рвВоты и публикации. Результаты диссертации докладывались на I Всемирном конгрессе общества Бернулли в Ташкенте (1986), на V Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и

математической статистике (1989), на международных семинарах по про- ' блемам устойчивости стохастических моделей в Кириллове (1989), в Суздале (1991) и в Перми (1992), на Ломоносовских чтениях в ИГУ (1990) , на юбилейной конференции в МГУ, посвященной 80-летию Б.В.Гнеденко (1992), на семинарах по надежности программного обеспечения в Минске (1992) к Санкт-Петербурге (1993),а также"неоднократно на научных семинарах кафедры матема тическоя статистики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководитель Б.В.Прохоров) и на семинарах по избранным вопросам теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания в МГУ (руководители В.М.Золотарев, В-В.Калинников и В.М.Круглое).

По теме диссертации опубликовано 23 научные работы. Основные результат» опубликованы в работах

1. В.Ю.Королев. Сходимость моментов сумм случайного числа независимых случайных величин . - Теория вероягн. и ее примен., 1985, т. 30. К 2, с. 361-364.

2. В.Ю.Королев. Приближение распределении сумм случайного числа независимых случайных величин смесями нормальных законов. - Теория ве-роятн. и ее примен., 1989, т. 34. N 3* с. 5S1-588.

3. В.Ю.Королев. Неравномерные оценки устойчивости нормального закона к случайным возмущениям параметра маситаба и некоторые их применения. - в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М.:ВНИУ1СИ, 1988, с. 84-92.

4. В.Ю.Королев. Асимптотика случайно индексированных случайных последовательностей . - в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М.ГВНИИСИ, 1989, с. 60-72.

5. В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. - М.: изд-во МГУ, 1990, 269 с.

6. В.Ю.Королев. О предельных распределениях случайно индексированных случайных последовательностей. - Теория вероятн. и ее примен., 1992, т. 37. К 3, с. 564-570.

7. В.Ю.Королев. Вероятностно-статистические методы прогнозирования надежности сложного программного обеспечения. - Вестник моек, ун-та, сер. 15 вычйсл. матем. и киберя., 1992, N 3, с. 3-21.

8. V.Yu.Korolev. The asymptotic distributions of random sums. - Lect. Notes in Math., 1989, vol. 1412, p. 110-123.

9. V.Yu.Korolev, V.M.Kruglov. Limit theorems for random sums of independent random variables. - beet. Notes in Math., 1993, vol. 1546, p. 100-120.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 136 наименовании. Объем диссертации - 265 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В автореферате сохраняется нумерация утверждения и формул, использованная в диссертации.

Во введении содержится'историческая справка, обсуждаются общие постановки задач и кратко описываются основные результаты, представленные в диссертации.

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения случайных последовательностей со случайными «индексами в покоординатной предельной схеме. В столь общих постановках подобные задачи прежде не рассматривались.

Рассмотрим семейство последовательностей S „ , п=1,2,...

п,к к£1

случайных величин (с.в.). Пусть fa ) . , п=1,2,... - семейства

п,к к£1

таких числовых последовательностей, что Ь >0 для всех пик и

п, к

при каждом nil

* ь ~ (s . " а J/b . * Y 'Ь-«0' ' <1Л>

n,k л, k n,k ft , k л

где Y - с.в., характеристическую функцию (х.ф.) которой обозначим h (tl , teü , а символ ■» здесь и далее обозначает слабую сходи-

п

мость. Рассмотрим семейство положительных целочисленных с.в. (N I _ таких, что при каждом nfcl с.в. N к последовательность

n nil • п

IS I ^ стохастически независимы. Подчеркнем, что независимость n,k kil

элементов последовательности {S I между собой не предполагала kÄl

ется. Пусть fс ) и ld 1 - числовые последовательности, d >0 .

к n£1 п п£1 п

при каждом Л21. Нас будет интересовать асимптотическое поведение

с.в. 2 = (S - с )/d при n-w>. Теорема 1.1.1 описывает эффект, n п, И n п

п

связанный с изменением предельных распределений последовательностей с.в., когда индексирование последовательностей константами заменяется индексированием случайными величинами. Следуя Б.В.Гнеденко, подоб' вые утверждения называют теоремами переноса. Обозначим

К (fi,Y) = [k: 6d s Ъ s fd 1 ,

n n n , к n

где 0<6iy<a>. Будем говорить, что выполняется условие согласованности, если для любых положительных Т и 6 < ц

lim ьир sup |f (t)-h (t)|=0 . (1.3)

„-.ю к e к n (S, у) |t|5T "

Теорема 1.1.1. Предположим, что семейства с.в. (Y 1 _

п,к к21,ni!

и (b /d I v слабо относительно компактны. Пусть при каждой n,M п nil п

nil имеет место (1.1) и выполнено условие согласованности (1.3). Если существуют такие с.в. Y и пара с.в. (U#V), что

Y * У (П о) , (1.16)

п

(b ы /d , (а ы -с ) /а ) * (U,vi fn -»'о), (1.17)

n, N и п, N п п

■ п п

ТО

Z * UY* + V (п ■» со) , . (1.18)

п •

где с.в. Y* стохастически не. зависит от пары (U,V) и Y* « Y. (Здесь и далее символом = мы обозначаем совпадение распределении).

Легко видеть, что если ф.р. с.в. Y обозначить Н, то ф.р. предельной с.в. в (1.18) будет сдвиг-масвтабноя смесью ф.р. Н:

PIUY+V < х) EH((x-V) /О) , ~о < х < о . (1.20)

Из предположения о том, что Ь^ и d^ положительны при всех п и к, вытекает, что P(UkO)"l. Поэтому мы можем впредь для onpeeertesF-ности считать, что, какой Оы ни была совствениая ф.р. Н,

Н ( (x-v) /и) I „ I(v<x) .

1 цяО

Таким образом, если P(U«const*0)"1, то, как следует из теоремы

1.1.1, ф.р., предельная для с.в. Z^,. является сдвиговой смесью ф.

р. Н. Если же P(U=0)«1, то предельная $.р. совпадает с ф.р. с.в. V.

Если P(V=const)=1, то ф.р., предельная для с.в. Z , является масм-

п

табноя смесью ф.р. Н с точностью по выбора начала координат.

В теореме 1.2.1 приведены необходимые и достаточные условия слабой сходимости случайных последовательностей со случайными индексами в предположении сходимости тех же последовательностей с неслучайными индексами. Для фиксированных с.в. Z и Y с х.ф. f(t) и h(t) соответственно определим множество W(Z|Y), состоящее из пар с.в. (U,V), с помощью которых х.ф. fit) может быть представлена в виде

f (t)=Eh(tU)exp!itVI , teR1, (2.1)

причем P(U20)=1. Какими вы ни были с.в. Z и Y, множество F(Z|Y) всегда не пусто, поскольку оно всегда содержит тиару (0,Z). Несложно убедиться, что соотноиение (2.1) эквивалентно возможности представления ф.р. F(x)=P(Z<x) в виде смеси, стоящей в правой части (1.20), где Н - ф.р., соответствующая х.ф. h. Множество FtZjY) мо-' жет содержать более одного элемента.

Пусть L^l-,-) и Ьг(-,-) - метрики в пространствах соответственно одномерных и двумерных распределения, метризующие слабую сходимость. Если X и Y - с. в. с ф.р. G и Н соответственно, то мы

1Ь

не будем делать различия между Ь^Х.У) и ^(С.Н). Аналогично, если (X1,Xг) и ("V^,У^) - двумерные с.в. с ф.р. С и Н соответственно, то мы не будем различать 1^(0,Н1 к Ь., ( (X ,Х2) , <У ,У ) ) .

Теорема 1.2.1. Предположим, что семейства с.в. (У I и

/й ) слаСо относительно компактны. Предположим, что при п , N п 1

каждом п£1 имеет место (1.1) и выполнено ^ловие согласованности (1.3). Пусть имеет место (1.16). Для того чтобы при некоторой последовательности (с I .

п т>2.1

г # 2 (п -» ю), (2.2)

п

необходимо и достаточно, чтобы суиествовала слабо относительно компактная последовательность пар с.в. 1(и',У)| . ,' (О' .V' )£

П П П£1 п п

еЖ(2|У), для которой

Ь ((Ь /<3 , (а -с )/а ), IV. V')) * О (п о) . (2.3)

2 п.И п п, N п п л П

п п

Всюду далее в первой главе рассматривается ситуация, когда при всех 11^1 последовательности (У I ^ одинаковы. Такой частный слу-

п,к к£1

чай покоординатной схемы назван однородным. Итак, = а^ к=

= а , Ь = Ь . (Заметим, что если с.в. Б образованы последова-к п, к к п , к

тельными суммами с.в., то однородный случай покоординатной предельной схемы - это просто схема нарастаюиих сумм). Обозначим Уь = (Б - а ) /Ь , - (Б - с ) /(3 ,

к ккк к N к к

к

где I _ - последовательность целочисленных положительных с.в., к к£1

стохастически независимых от последовательности I (элементы

к к21

которой, как и ранее, не предполагается независимыми между собой),

а |й I _ и (с 1 . — как и ранее, последовательности вещественных к к£1 Ь к£1

чисел, ¿^>0, к>1. Теоремы 1.3.1 - 1.3.3 содержат необходимые и достаточные условия слабой сходимости случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. Представление (2.1) эквивалентно соотношению

■ 2 = ЦУ + V, - (3.10)

где % г. У - с.в. . с х.ф. f к Ь соответственно, а пара (и.V) и с. в. \

независимы. Введем класс У(Ъ), включается в себя все трояки

(У,и,У), в которых с.в. У к пара (и,У) независимы, у. которые

допускают представление (3.10). Какой бы ни была с.в. 2, класс

У(2) всегда не пуст, поскольку он всегда содержит тройку (У,0,2),

где У - произвольная с.в., независимая от 2.

Теорема 1.3.3. Пусть последовательностМ 1а I _ , 1Ь I . и

к к£1 к к£1

¡31. таковы, что к к£1

Ьк -» ш, -» о (к-«>). (3.4/

и последовательности с.в. (У I ' и (Ь /йЛ . слабо относительно

к к£1 *к к к&1

компактны. Спя того* чтобы имела место сходимость

2 Ф Ъ. <к-ю>) , (3.5)

к

необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно компактная последовательность троек с.в. ((У|,и'.V*)1 , (У',и',У')е

к к к к£1 .к к к.

СТ(2), удовлетворяющая соотношениям

Ь„МЬ /й,., (а -с)/а), (И'.УМ) -»О (к-«о) (3.6)

2 N к N к к к к

к к

К

О (к-»ш). (3.9)

1 к к

В теоремах 1.4.1 и 1.4.2 приводятся достаточные условия асимптотического сближения функция распределения (ф.р.) случайно индексированных случайных последовательностей со сдвиговыми смесями ф.р., предельных для последовательностей с неслучайными индексами-*бёэ~"ка-ких бы то ни было моментных или структурных предположения об исходной последовательности. Эти теоремы можно считать идейным развитием соответствующих утверждения Г.РобСинса (1948) и З.Рыхлика и П.. Пинал я (1972) о случайных суммах. Теорема 1.4.3, описывающая необходимые и достаточные условия сходимости к сдвиговым смесям, - это частный случай теоремы 1.3.1. В 9 1.5 приведены необходимые и достаточные условия слабой сходимости ф.р. случайно индексированных последовательностей к масштабным смесям ф.р.,предельных для последовательностей с неслучайными индексами.

Для»произвольных фиксированных с.в. 2 и V обозначим

У(г|У) = Ъ = ЦУ, Р(иг0)=1, и и У независимы!.

Вообще говоря, множество .7(2 |У) при некоторых 2 и У. может содержать' более одного элемента (как и ранее, йы отождествляем с.в. с их ф.. р.). Единственность с.в. иеУ(г|У) имеет место для идентифицируемых семейств, рассматриваемых в 5 1.6.

Теорема 1.5.1. Пусть Ь^-кв, <1к-»« и Ук ♦ У при где Р(У«0)<1.

Предположим, что

Лк -> о (к-*о) (5.1)

по вероятности, и последовательности (с1к1 , Г а ^ | и (с ^ I таковы, что

(а -с.)/с1. + О (к-ю>). 15.2)

\ к "

Для того чтобы имела место сходимость (3.5), необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно компактная поспедователь-

аость с.в. для которых

Ь (Ь„ /а ,и') 0 (к-мо) . (5.3)

1 К к к к

В $ 1.6 описывается связь предельных теорем для случайных последовательностей. со случайными индексами и понятием идентифицируемости семейств смесей вероятностных распределении, введенным Г.Теичером (1960). Условия сходимости к распределениям'из таких семейств приобретает совсем простой вид. В качестве примера использования идентифицируемости смесей приведены необходимые и достаточные условия сходимости максимальных случайных сумм центрированных слагаемых. Пусть X ,Х , . . . - независимые с.в. с IX ■ О, ПХ а2<®>, з*1. Обозначим

\ 2 , J J i

э '

В"" - аг+...+аг, 5 « X +...+Х , й» ■= тах(5.....5 ), Ф(х?) - стаи-

к 1 к к 1 кк 1 к

дартнув нормальную ф.р..

Теорема 1.6.4. Пусть В^ * ш при к-«», с.в. удовлетворяют

условию Пиндеберга, а Удовлетворяют (5.1) и независимы от IX I . . Для того чтобы

Э* /В * 2 (к-«») ,

"к ,к

необходимо и достаточно, чтобы существовала с.в. и такая, что Р(игО) - 1,

Р(г<х) = 2ЕФ(тах(0)) - 1, хек',

и

В /В * 0 (к-чо) .

"к к

Следует особо обратить внимание на то, что, привлекая понятие идентифицируемости, оказывается возможным использовать хорошо разработанные статистические методы разделения смесей для статистического анализа прикладных задач, в которых возникают последовательности со случайными индексами (см. выше). В $ 1.7 приведены необходимые и достаточные условия слабой сходимости произвольных "нарастающих" случайных сумм, центрированных константами. Ранее такие условия были получены В.М.Кругповым -(1988) и независимо Г.Такером и его коллегами (1989) лишь для частного случая, когда слагаемые распределены одинаково и имеют койЬчную дисперсию. Пусть Х^Х , ... - независимые с.в., а каждая из целочисленных положительных с.в. Мк, кг1, независима от

последовательности IX I _ . Положим 8= Х+...+Х.

4 к 1 к

Напомним, что в $ 1.3 дпя произвольной с!в. 7. введен класс ,

содержащий все тройки с.в. (У,и,\М , с помощью которых возможно представление

! 1 V, (7.1)

где с.в: У и пара (U,V) независимы. Теорема 1.7.1. Предположим, что

<о (к-м>) . -(7.2)

по вероятности и семейство с.в. f (S,-а,) /Ъ. I слабо относительно

к к к к21^

компактно при некоторых Ь >6, Ь.-to (к*а} , ■'к a.€F,. Для то го чтобы г к к к

при некоторых последовательностях положительных чисел

d -ко (k-w>) , и вещественных чисел 1с, ),. имела место сходимость к к к£1 - t

X -с 1 * Z (к-мо) , (7.3)

№•0

необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно комт

пактная последовательность с.в. 1 (Y' ,U',V') 1-.- , (Y* ,U', V') eYlZ) ,

k k k k¿l k k k

для которой

EXj-aJ , YjJ 0 №•«.). (7.4).

L ((b /d , (a -c ) /d i , (U'.V'D - O (k-«>) . (7.5)

2 Й k Nkk kk

V k

В качестве следствия основной теорема 1.7.1 получены следующие результаты. Положим m^EXj, А^чп^. . .+mjf В

Теорема 1.7.2. Предположим, что. выполнено (7.2) и jil,

причем В^-ко (к-«а). Для того чтобы при некоторых последовательностях положительных чисел Id !.. , d (k-xo) , и вещественных чисел

k kil к

|с ) . имела место сходимость (7.3), необходимо и достаточно, к k£t

чтобы существовала слабо относительно компактная последовательность троек с.в. I(Y',U',V')1 _ , (Y', U', V')eT{Z) , удовлетворяющая kkkkalkkk

условиям (7.4) и (7.5) с bk=Bk и а^А^.

Теорема 1.7.3. Предположим, что имеет место (7.2), и для некоторых последовательностей положительных чисел {Ь , Ь.-ма, вещест-

k h£l . k

венных чисел fa | и с.в. Y выполнено k k£l

g-j ". -.i ■» Y (к-ко). (7.9)

Для того чтобы при ' некоторых последовательностях положительных

чисел (й I . , d -м», вещественных чисел 1а I „ и с.в. % имела к к£1 к к к£1

место сходимость (7.3), необходимо и достаточно, чтобы

существовала слабо относительно компактная последовательность пар

I (и', V') ) , II}', У)еГ(2|У) , для которой имеет место (7.5). к к к£1 к к ' ,

Напомним, что в § 1.5 для произвольных фиксированных с.в. Ъ и У введено множество ^СХIV), состоящее из неотрицательных с.в. и, допускающих представление 2 = (ТУ, где с.в. и и У независимы. Теоре-

ме 1.7.3 позволяет получить совсем простые условия сходимости "нараставших" случайных сумм, центрированных случайными величинами, или, что эквивалентно, случайных сумм центрированных слагаемых.

Теорема 1.7.4. Пусть в дополнение к условиям теоремы 1.7.3 Р(У»0)<1. Для того чтобы при некоторых последовательности положительных чисел ш (к-ко) и с.в. Ъ имела место сходимость

| [Ъ ХГаи 1 *г <*-«>. (7.10)

к -I"1 *

необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо относительно

компактная последовательность с.в. Ш'| „ , и'еТ(г|У), для которой

к к£1 к 1

выполнено (5.3). '

Условия сходимости распределений "нарастающих" случайных сумм к идентифицируемым смесям приобретает совсем простой вид. Мы здесь рассмотрим ливь случай, когда предельные законы являются масвтабны-ии смесями нормальных распределения с нулевым средник, потому что, во-первых, условия сходимости к другим идентифицируемым смесям могут быть получены из следующего далее результата простым переобоз на чением; во-вторых, класс масштабных смесей нормальных законов весьма впрок и содержит помимо прочих, например, рапределения Лапласа (двойное экспоненциальное), Копи, Стьюдента, симметричные устойчивы законы. В-третьих, подобные распределения имеют мирсткое практич'еско применение. Следующая теорема устанавливает не только достаточные, но и необходимые условия сходимости в классической теореме Роббинса Теорема 1.7.5. Предположим, что имеют место (7.2) и (7.9), причем'^-«» (к-м>) и Р(У<х) ■ Ф(зс) , хей'. Для того чтобы при некоторых

последовательности положительных чисел 1<1,1 _ , <3-»<о (к-и») и с.в.

к к21 к

Ъ имела место сходимость (7.10), необходимо и достаточно, чтобы существовала неотрицательная с.в. и, удовлетворяющая условиям:

1) Р(г<х) - ЕФ(х/1Л, хеК1;

2) Ь /<3 * и ' (к-ко) .

к

В ситуации, когда с.в^ 2 в (7.10) сама имеет нормальное распределение, утверждение теоремы 1.7.5 можно существенно усилить.

Теорема 1.7.6: Предположим, что имеет место (7.2) и для некоторых последовательностей положительных чисел -'Ь Ьк* ю

(1со), и вещественных чисел [а I . выполнено

, к

Д- I (X -а ) * У (к-мх>)

I. 1.4 * ^

к 1.1

причем слагаемые равномерно предельно - постоянны: для

любого О0

lim max P(|X-e | > cb ) - 0. (7.11)

к-»ю' t£jSk ' ' .

Для ■ того чтобы дпя некоторой последовательности положительных

чисел Id 1 . , d -ко (к-*о),. имела место сходимость к к£1 к

• "к

pfgi- Z (X - а ! < х] Ф(х) (к*х>) , (7.12)

V j -1 ' . J

необходимо и достаточно, чтобы для некоторого Ь>0 были выполнены следующие условия:

1) Р(У<х) = Ф(Ьх);

2) b /d ♦ Ь (к-л>) .

нк к

Как следствие теоремы 1.7.1 получен также аналог закона больиих чисел для случайных сумм, из которого, в свою очередь, получен окончательный вид известной теоремы Реньи-Иодьороди о редеющих потока-х^ имеющей важное значение в теории надежности и играющей определяющую роль в рассматриваемых в главе 4 моделях.роста.надежности. .

Пусть X , X ,независимые одинаково распределенные с.в. с ЕХ^ m * 0. Для определенности будем считать, что т>0. Пусть, как и ранее, положительные целочисленные с.в. • fik при каждом k£l независимы от последовательности

Теорема 1.7.8. Пусть имеет место (7.2) и F(x) - произвольная ф. р.. Для того чтобы

р

(I I X < их] * F(x) (k-*°) , j.1 '

необходимо и достаточно, чтобы

Р(N < kx) * F(х) (к-ио) . к

В S 1.8 приведены утверждения, представляющие собой теоремы переноса для оценок скорости сходимости произвольных случайных последовательностей со случайными индексами. В столь общем виде результаты сформулированы впервые.

§ 1.9 посвящен условиям сходимости моментов случайно индексированных случайных последовательностей. Как и раньке, рассматривается последовательность с.в. IS 1и предполагается,что в дополнение к

(1.16) при некоторых числовых последовательностях Га) ^ и lb I ■,

к kil к

(b | , b >0, b -w> (к-хо) , для некоторого г>0 выполнено условие к к к

|S - а .г

lim Е . " = E|Y|■ . (9.1)-

к->0 ' к '

В частности, доказана .

Теорема 1.9.2. Пусть имеет место (3,2), (5.1) и (9.1) для

некоторого г>0, причем 0<Е|У|г«о . Для того чтобы

5.. а.

—4 Ï (9.7)

к одновременно

dk

Е

при к-*», необходимо и достаточно, чтобы Ь

-ч

S а I

*>."• " Jr

- 1 -» Е|Y| (9.8)

-j-i 1 - (к-та) (9.9)

и одновременно

■Й* • '

—=•( -» 1 (к-«о> . (9.10)

В качестве следствия теоремы 1.9.3 получен окончательный вариант зна менитои теоремы Г.Роббинса (1948) об асимптотическом сближении распр . делении центрированных случайных сумм одинаково распределенных слага емых, обладающих конечной дисперсией, со сдвиговыми смесями нормальных законов.

В 5 1.10 приведены необходимые и достаточные условия сходимост? некоторых статистик, построенных по выборкам случайного объема. Теорема 1.10.1 описывает сходимость л-ых максимальных порядковых статис тик в выборках случайного объема при нелинейной нормировке. Теорема 1.10.2 описывает трансформацию свойства асимптотической нормальност; при случайном объеме выборки. 0на усиливает ряд результатов Л.Б.Клебанова и И. А-Не ламе да. Пусть с.в. определены на измеримом пространстве (ô,it) . Рассмотрим семейство вероятностных мер 0€в| , каждая из которых определена на Л. Здесь в - некоторое подмножество вещественной прямой. Пусть Т «=Т (Х.,...,Х ) - некоторая ста-

п п .1 л

тистика. Определим с.в. Т^ следующим образом. Если элементарный

к

исход оеО таков, что X (u)=x , H (u)=n, то положим Т (и) '= J J к "к

» Т (х ). Будем говорить, что статистика Т. асимптотически

п 1 а п

нормальна, если существует нетрицательная функция а (0) , беб, такая что при каждом бе9

lin Р.(п1/2(Т -в) < х) = Ф(х/ст(в)) , xeR1.

„ о п

п-»С0

Свойство асимптотической нормальности при достаточно общих условиях

регулярности присуще многим статистикам..В качестве примера модно привести, по-видимому, наиболее известное утверждение оС асимптотической нормальности опенок максимального, правдоподобия.

Теорема 1.10.2.* Пусть статистика Т^ асимптотически нормальна и имеет место (5.1). Для того чтобы при каждом Оев существовала:Ф.р.• F(x,6) такая, что

Рд(к,/г(Т - 0) < х) .» Г(х,в) (к-м>) 0 "к

необходимо и достаточно, чтобы суиестоовало семейство'ф.р. в » = {(?(х;9): 9ев| , удовлетворяющих-условиям

1) G(x;9)«0, х<0, 9ев ; '

<о '

2) F(х;0) ■ Л>(и1/2х/ст(е) )äG(u;6), xeR1, дев ;

о '

3) P.(N < кх> * С(х;б) (к-<в), ве в

и ж -

При этом если ф.р. с.в. N^ не зависит от в, то не зависит.от-ф.р. G, то есть семейство 8 состоит из единственного элемента.

Глава 2 посвящена изучение асимптотического поведения случайных последовательностей со случайными индексами (и йре*де всего, случайных сумм) в диагональной предельной схеме. В S 2.1 сформулированы теоремы переноса для произвольных случайных последовательностей. В остальной части второй главы рассматривается случайные суммы, центрированные константами, в схеме серий. За счет центрирования случайных сумм константами класс возможных предельных законов существенно расширяется к даже для случайных сумм одинаково распределенных независимых предельно малых слагаемых совпадает с множеством всех распределений. В схеме серий центрированные случайные суммы ранее рассматривались . лииь в работе Г.Такера и его коллег 11Э91), где приведены условия их сходимости к тому же закону, к которому сходятся суммы с неслучайным числом слагаемых. В упомикаввихся выше работах Б-В. Гнеденко, Д.Сааса, Б.Фрайера и В.М.Круглова в схеме серий рассмотрены лииь случайные суммы центрированных слагаемых. К числу результатов, связанных со случайными суммами цёнтрированиых" слагаемых в схеме серий, можно от. нести и работы Л.Б.Клебанова и его коллег, посвященные изучению аналитических свойств 1»-Сезгранично делимых законов.

В §5 2.2 - 2.3 приведены необходимые и достаточные условия слабой относительной компактности и слабой сходимости центрированных случайных сумм необязательно одинаково распределенных независимых слагаемых. Пусть (X ,1 п=1,2,... - последовательность серий независимых в каждой серии с.в., а целочисленные положительные с.в.

N при каждом п независимы от {X I . . Положим п а,j jil

S =Х +...+Х n, k а, 1 к, k

Центром Дуба с.в. X с ф.р. Е, как известно," называется число Д(Х) = "Д1Н), однозначно определяемое условием

Earctg(X-ü(X)) - 0 .

Обозначим ^„fsi - s-квантиль с.в. К^, p-liffl - предел в смысле сходимости по вероятности,

d (sI = i(S , , J. F (x) = f(S . - с < x).

n (•) n n,N n

a n

Теорема 2.2.1. Пусть выполвено условие

p-lim шах Р(|Х | > х) = О (2.7)

n-w» lSkS»

п

для любого х>0. Для слабое относительной компактности семейства ф. р. центрированных случайных сумм 1F I необходимо и достаточно,

п п£1

чтобы для лвСой последовательности натуральных чисел X существовали измеримый безгранично делимый случайный процесс с независимыми приращениями X(s), удовлетворяющий условию A(X(s)) = О, s£[0,l), последовательность ЛГ^С Ж и с.в. V такая, что для почти всех se[0,1)

S , , -d (s) *X(s) (в-ха, neJT ) , n,-С (•) n 1

n

(X(U) , d (O)-c ) ■» (X(U),V) (n-«D, neJT), n n 1

где пара с.в. (U,V) независима от процесса X(s), причем с.в. U

распределена равномерно на (0,1).

Множество измеримых безгранично делимых случайных процессов

X(s) , se[0,l), с независимыми приращениями таких, что Х(0)=0 и

Д(X(s)) =0 для всех se(0,l), обозначим 2).

Каждой ф.р. F поставим в соответствие множество A(F), состоящее

из троек (X(-),U,V), где Х(-)еЗ>, с.в. U распределена равномерно на

[0,1), и х.ф. t, соответствующая ф.р. F, представима в виде

f(t> « Eh(t;U)expIitVI.

где h(t;s) - х.ф. с.в. X(s). Для каждой ф.р. F множество A(F) не пусто, так как содержит по крайней мере одну тройку вида (Igt-) ,U,tF(U) ), где Р(1о(з)=0)=1 для всех se[0,l), а t (s) - точная нижняя грань s-квантилея ф.р. F. «

Пусть Y^ls) и Y (в), se[0,l) - два случайных процесса. Введем расстояние между процессами и"У2<") следующим образом:

MY (•) , Y (•)) - / L <Y'(s) ,Y_(»))ds . (3;1)

i z 0 \ г г

расстояние ЛГ*,*); очевидно, неотрицательно-, симметрично и удовле—

творяет неравенству треугольника! Равенство A(Yj{•) .Y (•)) ■ О

равносильно тому,- что для почти всех se[0,l) с.в. Y^ls) и Y2('s)

имеют одинаковые ф.р.. •

Обозначим X ls) • S , , -d (s)v F - ф.р. с.в. Z.

n я,-с [•) f>

n

Теорема 2.3.1. Предположим, что выполнено условие {2..71 . Для того чтобы при некоторой последовательности с €R*

S - с * Z (п-kd) , (3.2)

В , Н R

Л

необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность троек С (У (•) ,U ,V ) I , (Y (•) *U , V ) € A(F), таких, что

Л П П П21 n П П

Д(Х ( ),Y (•)) -»0 (п*>) . ' (3.3)

п п

I, ((Y (U ) ,d (U 1-е ) , (Y (U ) ,V )) -» 0 (n^D) . (З.ТГ

2nnnnnnnn

Необходимые и достаточные условия слабой сходимости случайных сумм, центрированных константами, для общего случая схемы серия неодинаково распределенных слагаемых, приведенные выпе, сформулированы в терминах так называемых квантильных процессов'и не всегда легко проверяемы. В связи с этим желательно иметь более простые и удобные условия сходимости случайных сумм хобы в частных случаях. Один их таких частных случаев — "нарастающие" случайные, суммы - рассмотрен в § 1.7. Далее во второй главе изучается еще один частный случай, для которого также удается серьезно упростить условия сходимости - когда слагаемые в сумме имеют одинаковое распределение. Пусть

IX i , п=1,2,-.. - последовательность серия.независимых и одина-n,J Jil

ково в каждой серии распределенных с.в.. Следующее утверждение

является обобщением теоремы переноса Гнеденко-Фахиыа на случая дён-

трированных случайных сумм.

Теорема 2.4.1. Пусть последовательности fk J , la I ,

h n2i n п21

Г с I - (к - натуральные, а и с - вещественные) таковы, что

П П21 n П А

имеет место

S - а ♦ Y (п*®) . (4.1)

И, к Я

Л

к для некоторой пары с.в. (lf,V)

(К /к , а N /к -с ) * (U,V) (п-ко) . (4.9)

n h n п п п

S —с + Z (п-ка) , (4.10) " .

n»H ei

Тогда

где Z- с.в. с х.ф.

fit) - EhU(t)expIitVl . (4.11)

В рассматриваемом случае класс предельных законов можно

описать достаточно подробно.

Будем говорить, что пара с.в. (U,V.) принадлежит классу X,

если, во-первых, P(U40)=1 и , во-вторых, лиСо хотя бы одна из с.в.

U или V является вырожденной, либо для некоторых вещественных- акр

P<V = aV + ß) =1.

Если слагаемые (X ,1 предельно малы, то из теоремы а.Я.Хинчина п. 1

о сходимости типов вытекает, что класс распределения, предельных для центрированных случайных сумм независимых одинаково распределенных с.в., состоит из тех Ф-р., которым соответствуют • х.'Ф., предста-вимые в виде (4.11), где Ь - безгранично делимая х.ф., а пара с.в. (U,V) принадлежит классу X.

Если при этом с.в. V вырождена, то для некоторого реК1

fit) = explitß)Ehu(t) , (4.12)

то есть предельная х.ф. с точностью до неслучайного сдвига является показательноя смесью безгранично делимых х.ф. Эта ситуация детально изучена в [5J.

Если обе с.в. U и V невырождены, то для некоторых а и ß

f(t) = EhUexp(itatJIexpIitotI = explitß! Eh^(t) ,

где h^lt) — e'tah(t) , и поскольку h^ безгранично делима, снова имеет место ситуация (4.12).

Принципиально новой для схемы серия является ситуация, когда с.в. U вырождена. В этом случае для некоторого Ji.О

f(t) - h*(t)EexplitVI , (4.13)

и распределение с.в. Z из (4.10) представляет собой сдвиговую смесь безгранично делимых Ф-Р-, соответствующих х.ф. h*, или , что то же самое,' распределение с.в. Z из (4.10) в случае вырожденности с.в. U является сверткой безгранично делимой ф.р., соответствующей х.ф.

Y

h , и Ф.р. с.в. V.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.4.2. Если слагаемые IX I предельно малы, .то класс

n, J

распределения, предельных для центрированных случайных сумм независимых одинаково распределенных с.в. в схеме серия состоит из законов, чьи х.ф. имеют вид либо eil^EjU(t), либо qft)g(t), где P(Ui0)=l, ßeR1, g - безгранично делимая х.ф., q - произвольная х.ф.

Заметим, что если с.в. U вырождена, то из (4.13) вытекает

возможность представления предельной с.в. в виде Z«Y + V, где У -j ' • ■

с.в. с х.ф. h', и с.в. Yy и V независимы. Следовательно, в отличие

от схемы серия центрированных слагаемых, если не фиксированы ни час-

массив ÍX ,1, ни последовательность IN I , то предельной дл;я ф.р. о, J и

с.в. S „ - с может Сыть любая ф.р..

R.K П

П

Обозначим F(x)=P{ZOc) , Н<х)=Р(У<х). Для произвольных ф.р. F и

Н введем множество •

А = A^FjH) = ((U,V)e3C: £<t) « Ehu<t>ехр(itVlI

тех пар (U,V) из X, с помощью хоторых х.ф. f, соответствующая ф.р. F, может быть представлена в виде (4.11) при фиксированной х.ф. Ь, соответствующей ф.р. Н. Отметим, что, какими бы ни были ф.р. F и Н, множество Д.1(Р|Н) всегда не пусто, так как всегда содержит пару (0,V), где P(V<x)«F(x). Более того, множество Aj может содержать более одной пары.

Теорема 2.5.1. Пусть существуют такие последовательности (k^t и la L (к - натуральные, а - вещественные), что имеет место

п rt£l п п

(4.1), причем ф.р. Н с.в. У иевырождева. Для того чтобы при некоторой последовательности вещественных чисел Ic 1 . имела место сходимость случайных сумм (4.10), необходимо и достаточно, чтобы су-чествовала-слабо относительно компактная' последовательность пар с.в. !(U ,V )I _ , (U ,V )еЛ (F|H), удовлетворяющая условию

n n n¿l П (1 I 1

L ((N /к , а N /к '-с ), (U , V )) + 0 (п-»о) . (5.1)

2 пп ппПп пп

Рассмотрим еще один вариант обращения теоремы 2.4.1. Пусть ф.р. F произвольна, а пара с.в. (U,V) принадлежит классу X. Введем множество Ж?= *2(F|U,V), состоящее из таких с.в. У, х.ф. которых позволяют представить х.ф. f, соответствующую- ф.р. F, в виде (4.11) при фиксированной паре (U,V)eX:

А = A (F!и,V) = [У: f(t) = Eh"(t)eltv , h(t) » Ee'tv).

г 2 1

Заметим, что при некоторых ф.р. F и парах (U,V)e3C множество A2(F|U,V) может быть пустым.

Теорема 2.5.2. Пусть существуют такие последовательности ík 1 1а ) ^ й 1с ) . (к - натуральные, а и с - вещественные), что

Г) П21 nn£1n on

выполнено 14.9), причем P(U=0)<1. Для того чтобы имела место сходимость цегтрированных случайных сумм (4.10), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая слабо относительно компактная последовательность с.в. '^„'„¿j» принадлежащих множеству AZ(F|U,V),'

LIS . -a , 1 ft, к ft ft

у ) - о

В

(п-*») . (5.8)

Следствие 2.5.1. Если множество *2(F|U,V) состоит из единственного элемента V, то в условия* теоремы 2,5.2 для сходимости центрированных случайных сумм (4.10) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено (4.1) .

В заключение данного параграфа приведены два важных утверждения, описывавших условия сходимости центрированных случайных сумм одинаково распределенных слагаемых к нормальному закону.

Теореиа 2.5.3. Пусть последовательности la I . и Ik I . тако-

ft nil fl nil

вы, что выполнено (4.1), где У - невырожденная безгранично делимая с.в.. Для того чтобы при некоторой последовательности l°nlnil имела место сходимость

P(S -с < х) Ф * г(х) (п-м>) , (5.10) п.м я а,О

" 12

необходимо и достаточно, чтобы существовали числа о^еК , <^>0 и

последовательности чисел lb I .. и

R R£t

условиям:

1) . Р(У < X)

2).

3).

4).

5).

Ф„ 2(х)

Vi

xcR

0 s. Ь s

n 1

P(V ( x) = Ф ' „2 „2 2(x) ■ a-a ь ,<т -о ь

L (N /k , b ) -» 0

t n R n

1 П

(n-Ko)

L (а Я /к -с. ,V ) * 0

t n n А П fl

,v 1

n D£l

удовлетворяющие

xeR

(ll-K>) .

Теорема 2.5.4. Пусть

p-ÜM M = в «-»о» "

(5.13)

и последовательности (а | , {с 1 .. и (к I . таковы, что выпол-й Ш п п£1 п П£1

нено (4.9), где Р(и»0)<1. Для (5.10) необходимо и достаточно,чтобы существовали числа Ь>0, а €К*( 0<о^<о2, удовлетворяющие условиям

1). P(U-b) - 1,

2) . P(V < х) - Ф 2(х) ,

i l

3). P(S -а < х) * Ф

xcR1 ,

л,к

2 2 (х ) (a-a^/b.ia -а^/ь

(п-ко)

Аналогичные утверждения справедливы и для слабой сходимости центрированных случайных сумм к пуассоновскоя с.в. и к сумме независимых нормальной и пуассоновскоя с.в.. Вместо теоремы Крамера-Леви следует лишь воспользоваться теоремой Л.Д.Райкова о разложи-

мости пуассоновского закона лишь на пуассоновские компоненты.

§ 2.6 содержит необходимые и достаточные условия слабой относительной компактности случайных сумм независимых одинаково распределенных с.в.. Эти условия сформулированы с помощью привлечения понятий v-центра и v-раэброСа случайных величин, введенных В.Н.Золотаревым. Пусть G и о - соответственно ф.р. и х.ф. некоторой с.в. X, а число v>0 таково, что g(t)*0 при |t|sv. Центром и разбросом с.в. X (у.лк ф.р. G) называются соответственно величины

<T(v,X> « <t(v,G)'» ^ Im In a(v)

и

- »

B(v,X! = B(v,G) = - Sv~ J Re In o(t)dt.

о

Каждой ф.р. F поставим в соответствие множество Д-о « Ао(Г) троек случайных величия (Y,U,V) таких, что f представиыа в виде (4.11), где У - безгранично делимая с.в., а пара (U,V) принадлежит классу X. Для любой ф.р. F множество J*0(F) не пусто, так как содержит по крайней мере одну трояку (I ,t ,Z1 , где P(Z<x) « F(x) , xeR1, P(J =a) =1, aeS1.

а

Теорема 2.7.1. Пусть выполнено (5.13) и при некотором v>0 су

чествуют центры (Г (v)*<T(v,X ,) и разбросы В (v)itB(v,X ) при n n, j n fl » }

всех п, причем последовательность с.в. IN В (v)) ^ не содержит ни г n n nil

одно?, подпоследовательности, слабо сходящейся к нулю. Для того чтобы при некоторой последовательности констант (c^l имела место сходимость центрированных случайных сумм

S - с * Z (n-w») , (7.1)

п, и г»

п

необходимо о достаточно, чтобы существовала слабо относительно

компактная последовательность троек f (У ,U , V )) _ из Л {F) ,

r п п п t&l О

удовлетворяющая условиям

Ь (S -а , Y ) О (ii-коJ , (7.2)

1 n, k n п п

Ь {(К /к , а N /к -с ) , <U , V ) ) — 0 (п-хо) , (7.3)

2 п р. п п п п пп

где

к * [1/В (v)3, а = С (v)/B (v).

п п п п п

К сожалению, в отличие от ситуации со случайными суммами центрированных слагаемых (5], при рассмотрении центрированных случайных сумм в самой общей ситуации пока не удалось получить условия, являю-необходимыми и достаточными для слабой сходимости, и выраженные в

терминах последовательностей lk I и 1а ). Однако имеет место следую-

п п

иее утверждение.

Теорема 2.7.2. Пусть выполнено условие (5.13). I. Для того чтобы имела место сходимость центрированных случайных сумм (7.1) при некоторой последовательности Iс^1, необходимо, чтобы существовали числовые последовательности Ik I ^ к (а I _ (к -

п nil п п£] п

натуральные, а^ - вещественные), а также 'последовательность троек i (Y^.U^.V^) I из (F) г удовлетворяющие условиям (7.2) и (7.3). XI. Для (7.1) достаточво, чтобы существовали числовые последовательности Ik I .. и [i I (к - натуральные, а - вещественные),

П П&1 П 1**1 П П

а такхе слабо относительно компактная последовательность троек ( (Y ,U ,V II из Л (FI, удовлетворяющие условиям (7.2) и (7.3).

п п п пй.1 О

Глава 3 посвящена уточнению оценок, приведенных в S 1.8, для

случая сходимости к смесям нормальных законов. В S 3.1 получены оценки точности приближения распределения случайных сумм сдвиговыми смесями нормальных законов. При выводе этих оценок используется метод свободного параметра, который позволил впервые получить так называемые адаптивные оценки, в которых компенсируется вклад наибольвего из составляющих ее двух слагаемых, из которых первое характеризует скорость сближения суммы неслучайного числа с.в. с нормальным законом, а второе - относительный разброс индекса вокруг его центрального значения. В 5 3.2 уточняется известный результат Г.Энглунда (1983) В частности, получена такая его модификация, которая не зависит от моментов индекса. S 3.3 посвящен разнообразным оценкам точности аппроксимации распределений случайных сумм центрированных слагаемых нормальным законом. Здесь уточнение известных результатов достигнуто за счет использования (1) абсолютного момента отклонения нормированного индекса от единицы более высокого порядка; (ii) уже упоминавшихся адаптивных оценок; (iii) метрики Леви в качестве характеристики отклонения нормированного индекса от единицы. Приведем несколько примеров полученных оценок.

Пусть X ,Х ____- независимые с.в. с ЕХ =0. Положим S =Х +..,+Х ,

1 2 j л 1 п

nil. Будем считать, что N - целочисленная положительная с.в., распределение котороя зависит от некоторого параметра 0. Не ограничивая общности, можно считать, что 0 - это некоторый параметр положения с.в. N, скажем, йедиана. Пусть с.в. N, X , X ,... при каждом 0 независимы. Введем следующие обозначения: o^DXj, BZ=a2+...+a2 , Fn(x) * =P(S /В <x), B2=EB2, A=sup)P(S 7B<x) - Ф(х)1, Д = suplF (x) - Ф(х) I ,

n n N ' И n n 1

X X

где Ф, как и раньше, - стандартная нормальная ф.р.. Положим

х-Е|В^/8г-1|, х2=Е(В2/Вг-1)2 (-B-4DBjj)"; F(x)= Р(^/В<*), Теорема 3.3.1. Имеет место оценка

Д s ЕД^ + min (1.04Х , 1.95хг) . (3,1)

Пусть L(--,-) - метрика Певи. В связи с теоремой 1.7.6 интерес-

i*/B*,l). Обозначим а-ЫВ*/

но оценить L (F, Ф) ^ерез L (F ,Ф) и ЫВ*/Вг,1). Обозначим а-ХЛВ^/В2,1) ,

Следствие 3.3,1. Если Е|Х^| «о, ji.1, то

Д s Со(1-а)"Э/гЛ3 + 4.242а,

где Лз - дробь Ляпунове порядка 3, С - абсолютная постоянная в неравенстве Эссеена. ' • Следствие 3.3.3. Имеет место оценка

L(F,4>) £ 1.399max|L(F ,40 :ne» 1 + 4.242a, (3.30)

n 1 -a

где Jf, = (n:|B2/B-l|sol .

1-0C 1 n 1

В S 3.4 получены неравномерные оценки отклонения ф.р. нормированной случайной суммы центрированных слагаемых от нормального закона. Эт»(Ценки упучиают имеющиеся результаты за счет уточнения констант и отбрасывания ненужных слагаемых, входящих в оценку. При этом получена такая зависимость скорости убывания мажоранты при |х|»® от порядка момента индекса, которая позволяет максимально упростить структуру мажоранты. В 5 3.5 получена неравномерная оценка точности приближения распределений центрированных случайных сумм сдвиговыми смесями нормальных законов. Результаты 5 3.6 уточняют неравномерные оценки из работ В.Сакалаускаса, Я.Ю.Никитина, М.Т.Салиева и 3.Рыхли-ка. В S 3.7 приведены неравномерные оценки скорости сходимости в предельных теоремах для. надкритических сетвяцихся процессов. Эти оценки основаны на лемме 3.4.1, содержащей неравномерную оценку устойчивости нормального закона к случайному возмущению параметра масштаба ,

Четвертая глава посвящена применению некоторых методов асимптотической теории случайного суммирования к ревению важной практической проблемы прогнозирования надежности сложных систем в ходе их отладочных испытаний, когда в тестируемую систему вносятся изменения.

В § 4.1 сформулированы несколько основных предположений (аксиом) , формализующих общие представления о процессе устранения олибок или дефектов в ходе разработки, тестирования или отладки программного обеспечения или технических систем. Согласно навим предположениям основным объектом исследования является не сама отлаживаемая система, а пространство ее входных значения. При этом весьма плодотворным оказывается использование байесовской идеологии, поскольку при отладке сложных систем можно выделить два источника случайности в функционировании системы, являющейся детерминированной в том смысле.

что на один и тот же вход система, не будучи измененной, каждый раз реагирует одинаково. Во-первых, случайность проявляется как результат непредсказуемых заранее (до начала испытаний) изменений, вносимых в систему. Во-вторых, случайность проявляется как результат применения преобразования, реализуемого системой, к случайному входу. Случайность первого из двух указанных типов формализуется в виде случайных параметров байесовских моделей - объемов так называемых дефектных подмножеств множества входных значений системы, •характеризуемых тем свойством, что любой их элемент, будучи поданным на вход системы, влечет ее неправильное функционирование.

Среди авторов, на чьих идеях базируется описанный подход, укажем Э.Нельсона (1973), который предложил при определении надежности системы учитывать мощности различных подмножеств множества ее входных величин, и Б.Литтлвуда (1981), впервые рассмотревшего байесовскую модель роста надежности.

В рамках используемого подхода иодель роста надежности определяется как семейство конечномерных распределений последовательности моментов времени, в которые в систему вносятся модифицирующие изменения. Это, в частности, позволяет свести задачу выбора наиболее адекватной модели роста надежности к задаче проверки статистических гипотез.

В 5 4.2 вводится понятие условно геометрических моделей роста надежности и описываются их простеииие свойства. § 4.3 посвящен условно экспоненциальным моделям роста надежности и оценкам точности приближения условно геометрических моделей условно экспоненциальным?.. Основную роль здесь играет упоминавшаяся выше обобщенная теорема Реньи-Модьороди. В 5 4.4 описан класс простейших условно экспоненциальных моделей роста надежности - обновляющиеся модели. Отмечается, что за редкими исключениями все известные модели роста надежности являются глобально параметризованными обновляющимися условно экспоненциальными моделями роста надежности. В §§ 4.5 и 4.6 описаны некоторые классы условно экспоненциальных моделей - модели с независимыми изменениями и модели типа порядковых статистик (мозаичные модели). § 4.7 посвящен обобщенным.условно экспоненциальным моделям роста надежности. Попутно получен ряд оценок устойчивости показательного закона к случайному возмущению параметра масштаба (теорема 4.7.3). Самостоятельный интерес здесь может представить теорема 4.7.4, являюща-" яся своеобразным связующим звеном ыехду предельными теоремами для случайных сумм и предельными теоремами для экстремальных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема, в схеме серий.

SS 4.8 и 4.9 содержат описание методов статистического прогноз.ирова- ~ ния надежности с помощью обновляющихся и мозаичных моделей. В § 4.9 помимо прочего рассмотрена необычная статистическая задача об оценивании количества отсутствующих наблюдения в урезанных выборках.

В достаточно общих предположениях совместное распределение времен Yt,...,Y отказов системы, после каждого из которых дефект, вызвавшие отказ, исправляется, совпадает с совместным распределением вариационного ряда, построенного по выборке объема, п из распределения

Н(х) » E(l-expf-xÇI), (*)

где Ç - положительная с.в., xiO. (см. работу М.В.Гальпова и А.Д.Соловьева (1991)). Это свойство характеризует так называемые мозаичные модели роста надежности. Оно позволяет использовать для анализа

моментов отказов Y ,...,Y в мозаичных моделях хорово известные * п

свойства порядковых статистик и соответствующих спеясянгов. -OnWaîso статистический анализ надежности с помоцью мозаичных моделей имеет одну особенность, приводящую к необычным статистическим задачам. А именно, как правило, известны линь . Yt,...,Y - моменты первых а отказов - где m i n, а объем полной выборки п, имеющий смысл общего числа дефектов в программе (системе) до начала тестирования, неизвестен.

Основная идея подхода к статистическому анализу таких моделей заключается в интерпретации моментов отказов Y как вариаци-

онного ряда, построенного по выборке объема m из урезанного (усеченного) распределения. Однако в отличие от традиционных статистических задач, связанных с урезанными распределениями, в наяем случае нельзя ограничиться оцениванием распределения. Вадо еще и определить (например, оценить) количество отсутствующих, наблюдения, как бы отбровенных при усечении, играющее роль числа оставшихся дефектов. Подобная задаче не рассматривается ни в одной из известных нам работ по обработке данных с пропусками.

Статистический анализ будем производить в два этапа. Как мы уже отмечали, набору Y рассматривается как выборка объема ni из

ф.р.

О, х<0, F(х) =■ H(x)/H(t), Osxit, „ 1, X>t.

где t - момент прекращения испытания, а ф.р. Н(х) определена выше.

На первом этапе осуществляется идентификация ф.р. F. Например, ф.р. H может быть задана в параметрической форме: H(х)«Н(х;0). К

числу распределения, представимых в виде (*), относятся, помимо прочих, экспоненциальное, гиперэкспоненциальное распределения, а также распределения Вевбулла, Рэлея и Парето. Таким образом, класс законов (*) довольно вирок, и параметризацию можно осуществить, выбрав конечное число типов законов, различающихся, скажем, поведением хвостов, а затем использовать естественную параметризацию внутри .типа. Стаио быть, Г(х) "Fix-, в), к задача идентификации сводится к отысканию оценки й параметра 8 Ф.р. F(x;6) °(и, следовательно, Н(х;0)) , например, с помощью метода максимального правдоподобия с последующей ' проверкой соответствия экспериментальных данных V .....Y^ выбранной модели (полностью определяемой ф.р. F)

с помощью традиционно используемых критериев проверки сложных гипотез согласия (скажем, хи-квадрат).

Поскольку параметр а (общее количество элементарных дефектных подмножеств) играет важную роль при прогнозировании надежностных характеристик системы, но не был определен на первом этапе, на втором этапе ищется его оценка. Отметим важную черту рассматриваемой задачи: идентификацию ф.р. Н на первом этапе можно провести независимо от значения л, а методы оценивания п на втором этгпе не зависят от значения t - момента прекращения испытания.

Теорема 4.9.1. Оценка максимального правдоподобия для п при известной ф.р. Н задается соотношением

&М1 = max (m,^). (9.10)

где

[п], если L([n];Y ,m) г L([п]+1;У ,я);

■ »

[п}+1, если LIInJ;Y ,m) < L([n]+1;Y ,и),

м •

л m

п " НТУТ '

(9.11)

(9.12)

Ып;у,т) = £ 1п з + п 1п(1-Н(у)). (9.13)

Непосредственное исследование аналитических свойств оценки

максимального правдоподобия п на основании теоремы 4.9.1 затруд-

л

нено. Однако уже при п&20 распределение п^^ практически неотличимо от отрицательного биномиального, какой бы ни была ф.р. Н. Этот факт экспериментально установлен путем моделирования с помощью статистического блока диалоговой программной системы СОКРАТ, позволяющего производить идентификацию распределения.

Оценка максимального правдоподобия п не является несмещенной. Положим

А . Л1—¿Л , _ _ ..

п1, " • (9.24)

И! ш щ

Свойства оценки (9.24) исследовать аналитически весьма непросто. Однако преобразование (9.24), примененное не к оценке п^, а к п, дает несмещенную оценку. Положим

Л Гго-П Л

п = - п.

о 1 т )

Теорема 4.9.3. Какой бы ни была известная ф.р. Н, имеет место соотношение

п £ (га-1)г, (9.32)

О (п-в«1)

где 2(п ~ (п-т+1)-я порядковая статистика, построенная по вы-

борке объема п из распределения Парето с Ф.р., (9.16), то есть

Р (п < х) = О для х<т-1, а для хгт-1 п о ■

Р,А<*> - И" £ «фа:-1)'- (9-33)

причем

Л _ _ л _ п(п-т+1)

Е п = п, Вп ■

п О п О ГО—2

Возникающие асимптотические задачи имеют интересную особенность. Действительно, традиционно рассматривается асимптотика оценок по отношению к неограниченно увеличивающемуся объему выборки, интерпретируемому как объем доступной информации. В нашем же случае можно

рассматривать асимптотику и по отношению к количеств наблюдений . ул, И по отношению к неизвестному параметру п. Данная ситуация вообще интересна тем, что традиционные асимптотические постановки задач зл.есь неприемлемы, поскольку с ростом объема доступной информации неиз-бежно изменяется и сам неизвестный параметр в силу очевидного условия п^га.

Положим 6(ш)=5ир(В п )'/2/п. Можно показать, что 6(п>) =0^ш-2)",/2) п о \ /

п . '

В частности, 6(20) а 0.236, 5(60) а 0.132, 5(100) а 0.101, 6(200) а

0.071. Другими словами, относительная погрешность оценки п явля-

-1/2

етс.ч величиной порядка 0(т ) при т-ко.

Теорема 4.9.6. Пусть т фиксировано. Тогда для любого х>0

!,-[ х ).'

Нт Р (п /п < х) = 1 - Г

п О

П-М0

Ит Р (п/п < х) = Г ((га-1)х).

п О 1,ш

Условия теоремы 4.9.6, по-видимому, можно считать выполненны-

а »

ми, если, во- первых, значение по велико, во-вторых, зафиксировано немного отказов и, в-третьих, промежутки времени между отказами

относительно малы и примерно одинаковы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертации являются следующие.

1) предложены две предельные схемы - покоординатная и диагональная -для изучения асимптотического поведения случайных последовательностей со случайными индексами 'з? доказаны- соответствующие теоремы переноса;

2) в покоординатной предельной схеме описан класс предельных законов для случайно индексированных случайных последовательностей, представляющий собой класс сдвиг-масштабных смесей распределении, предельных для последовательностей с неслучайными индексами;

3) получены необходимые недостаточные условия слабой сходимости произвольных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами в однородной покоординатной схеме;

4) продемонстрирована тесная связь условий сходимости случайных последовательностей со случайными индексами с понятием идентифицируемости семейств смесей вероятностных распределений;

5) получены' необходимые и достаточные условия слабой относительной компактности и слабой сходимости центрированных константами сумм случайного числа независимых случайных величин как в схеме серий, так и в схеме "нарастающих" случайных сумм, в частности, найдены окончательные варианты известных теорем РобСинса, Реньи-Модьороди и Гнедекко;

6) получены необходимые, и достаточные условия сходимости максимальных случайных сумм и некоторых статистик, построенных по выборкам случайного объема;

7) приведены способы построения правильных оценок скорости сходимост случайно индексированных случайных последовательностей и уточнены оценки скорости сходимости случайных сумм к смесям нормальных зак нов,-

8) найдены необходимые и достаточные условия сходимости моментов слу чайных последовательностей со случайными индексами;

9) предложена математическая теория роста надежности сложных систем, опирающаяся на асимптотические свойства случайных сумм;

10) описаны широкие классы моделей роста надежности и методы их статистического анализа.

Тн Зак._££5_

Предприятие «ПАТЕНТ>. Москва, Г-59, Бережковская наб., 24