Хеджирование в среднеквадратическом в стохастических моделях финансовой математики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

У

Российская академия Наук Математический институт им. В. А. Стек лов а

На правах рукописи УДК 519.21

Хеджирование в среднеквадратическом в стохастических моделях финансовой

математики

М. Л. Нечаев

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

специальность 01.01.05 (теория вероятностей и математическая статистика)

Научный руководитель:

член-корр. РАН, профессор А. Н. Ширяев

Москва - 1999

Содержание

1 Введение 2

2 Общие проблемы хеджирования на дискретных рынках 6

2.1 Хеджирование в среднеквадратическом......................................8

2.1.1 Постановка задачи оптимального хеджирования....................8

2.1.2 Структура оптимальной стратегии....................................9

2.1.3 Примеры и дополнения...........................19

2.2 Хеджирование при ограничениях на доступную информацию......26

2.2.1 Постановка задачи......................................................26

2.2.2 Структура оптимальной стратегии..................................27

2.2.3 Примеры и замечания..................................................38

3 Хеджирование на рынке облигаций 41

3.1 Хеджирование в среднеквадратическом в Модели Хо-Ли..................42

3.1.1 Формулировка модели..................................................42

3.1.2 Свойства структуры процентных ставок..............45

3.1.3 Задача хеджирования в среднеквадратическом ....................54

3.2 Непрерывный аналог модели Хо-Ли..........................................63

3.2.1 Формулировка модели..................................................64

3.2.2 Свойства структуры процентных ставок............................66

3.2.3 Задача хеджирования в среднеквадратическом ....................75

4 Хеджирование на рынке фьючерсов 82

4.1 Структура модели рынка фьючерсов........................................82

4.2 Свойства самофинансируемых стратегий....................................83

4.3 Хеджирование на фьючерсном рынке........................................86

1 Введение

Одним из ключевых понятий стохастической финансовой математики является понятие модели финансового рынка. В контексте данной работы, финансовым рынком называется совокупность активов, которые определяются своими ценами, эволюционирующими во времени. В случае двух активов, безрискового В и рискового 5, говорят о (В, 5)-рынке (см. [7]). Рынок может содержать и бесконечное число активов. Например, рынок облигаций в большинстве случаев предполагается состоящим из бесконечного числа ценных бумаг с различными сроками погашения (см. [15], [8], [12]). Цены облигаций являются сильно зависимыми и представляют определенную структуру, которая естественным образом определяет и ставки привлечения средств, ввиду чего модели рынка облигаций часто именуются моделями структуры процентных ставок.

Участник финансового рынка, заключая контракт на некоторый период (например, на покупку или продажу актива), принимает на себя платежное обязательство, определяемое всей эволюцией цен, а иногда и другими факторами (действиями других участников рынка, решениями финансовых властей и т.п.).

Действия на рынке сводятся к формированию портфеля (стратегии), состоящего на каждый момент из двух составляющих: количества безрискового и рискового активов. Поскольку инвестор вынужден принимать решения в условиях неопределенности, его стратегия может основываться только на доступной информации, иными словами, должна быть предсказуемой. Если средства только перераспределяются в портфеле, то говорят о его самофинансируемости.

Рынок называют безарбитражным, если с помощью самофинансируемого портфеля нельзя создать положительный капитал, исходя из нулевого начального без риска разорения (получения отрицательного капитала). Если же произвольное (зависящее от всей эволюции цен) платежное обязательство на рынке может быть выражено

терминальным капиталом некоторого самофинансируемого портфеля (_репликация), то такой рынок называют полным.

Проблема хеджирования платежного обязательства понимается как построение портфеля, терминальный капитал которого "доминирует" это обязательство. Следовательно, для полного рынка она может быть решена в точности построением реплицирующего портфеля (см. статью [7], в которой могут быть найдены формальные определения используемых понятий: финансовый рынок, арбитраж, полнота, портфель, самофинансируемость и т. д.). Однако, даже в условиях полного рынка встречаются ситуации, когда реплицирующий портфель (стратегию) использовать невозможно (например, ввиду недостаточного начального капитала).

В условиях неполного рынка эта проблема еще менее однозначна. Здесь необходимо выделить в первую очередь подход, основанный на построении нижних и верхних цен заданного платежного обязательства. При этом основополагающую роль играет опциональное разложение (см. [16]). Другой же подход, впервые предложенный в [13] и развиваемый в целом ряде других работ (см. [14],[19]—[22]), состоит в том, чтобы минимизировать в среднеквадратическом разность между терминальным капиталом самофинансируемой стратегии и заданным платежным обязательством. К этому направлению относится и настоящая работа.

Первая часть работы посвящена рассмотрению задач хеджирования произвольного платежного обязательства на дискретном рынке. В отличие от целого ряда работ (см. [13, 14],[19]-[22]) предлагаемые решения свободны от дополнительных технических предположений, подобных "условию N0" (см. п. 2.1.3 и [20]), относительно процесса цен. Представлены решения двух вариантов проблемы хеджирования в среднеквадратическом, которые можно было бы охарактеризовать как хеджирование при полной информации относительно цен, когда инвестор в момент п владеет точной информацией относительно значений ¿ои хеджирование при ограничениях на доступную информацию, когда инвестор в момент п не имеет полной информации относительно значений 5о,... ,5„ (см. также [23]). Поток информации, которой обладает инвестор определяется фильтрацией (В — ({5„)о<п, заданной на некотором стохастическом базисе (Г^,^7, Ж, Р), где Ж = (Тп)о<п — фильтрация, характеризую-

щая всю информацию относительно цен активов и иных факторов, которая имеется на рынке. Таким образом, задача естественным образом формализуется. Если инвестор обладает полной информацией, то фильтрации Ж и (Б совпадают, в противном случае, фильтрация С лишь содержится в Р1. Очевидно, что поскольку инвестор в момент п обладает лишь информацией то его решения в этот момент должны основываться только на этой информации (быть ¿/„-измеримыми).

Во второй части работы предлагается решение проблемы хеджирования в средне-квадратическом на рынке облигаций для случаев дискретного и непрерывного времени. В качестве модели рынка облигаций использованы модель Хо-Ли [15] и ее непрерывный аналог, являющийся частным случаем модели Хиса-Джерроу-Мортона [12]. Основной особенностью данного типа моделей является наличие бесконечного количества активов на финансовом рынке, цены которых являются зависимыми. Условие безарбитражности, накладываемое обычно на цены облигаций, позволяет установить форму этой зависимости и представить структуру процентных ставок. Предложенные решения позволяют также решить проблему хеджирования в среднеквадрати-ческом на финансовых рынках, отвечающих указанным моделям, при ограничениях на используемые активы.

Третья часть посвящена рассмотрению задачи хеджирования в среднеквадрати-ческом на рынке фьючерсных контрактов, модель которого была предложена автором (см. [4]). Одной из основных особенностей указанной модели, продиктованных механизмом расчетов на фьючерсном рынке, является наличие такого специфического актива, как маржинальный счет и зависимость между количеством совершенных сделок и средствами, которые инвестор обязан держать на маржинальном счете. Мартингальные методы и проекционная техника пространства £2 позволяют решить задачу хеджирования и в этом случае.

В заключение, хочу выразить огромную благодарность моим учителям — члену-корреспонденту РАН А. Н. Ширяеву и доктору физико-математических наук А. В. Мельникову за постоянное внимание и поддержку, а также сотрудникам Отдела те-

1 Задача, когда Ж содержится в (В не представляет интереса, поскольку сводится к задаче простым расширением базиса до (С1, Р)

ории вероятностей и математической статистики Математического Института РАН им. В. А. Стеклова за поддержку и полезные обсуждения.

2 Общие проблемы хеджирования на дискретных рынках

Рассмотрим дискретную модель (Б, ¿>)-рынка (см. [7]), где В = (Бга)0<п представляет эволюцию цен безрискового актива (облигации или банковского счета), а5 = (5„) о<п — цен рискового актива (акции). Пусть задан стандартный стохастический базис (П, Т, Р) на котором определены цены активов В и 5, составляющие указанный рынок. Фильтрация Р представляет поток информации относительно цен активов и, возможно, других факторов, имеющихся на рынке. Естественно, что стохастические последовательности В и 5 должны быть согласованы с фильтрацией Р. Предположим, что эволюция цен определяется уравнениями

АВп = Вп — Вп-1 = гпВга_ 1, Во > 0; Д5П = <5П -- 5П_1 = т1пЗп-1, во > 0;

где {г„}о<п — детерминированная последовательность, гп > 0, а {г/га}0<п — стохастическая последовательность, г]п > —1. Последовательность 7г = (7Г„)1<П, тгп = (/?П,7П), где (Зп и 7П количество единиц банковского счета и акций, которыми инвестор владеет на интервале (п—1, п], называется инвестиционной стратегией. Капиталом инвестора в момент п называется величина

Хп — Рп+гВп + 7

представляющая количество средств, которыми владеет инвестор в момент п. Фильтрация Ж = (Тп)()<„ представляет поток информации, доступной для инвестора. Тогда, поскольку в каждый момент п он принимает решение только на основании информации, содержащейся в сг-алгебре Тп, случайные величины ¡Зп+\ и 7„+1 должны быть ^„-измеримы и 7г — Р-предсказуемая последовательность.

Инвестиционная стратегия 7г = (7гп)1<„, тхп — (/?„, 7п) называется самофинансируемой, если эволюция капитала, отвечающего этой стратегии удовлетворяет уравнению

ах: = х:~ = ¡ЗпАВп+7иа5п.

Таким образом, самофинансируемая стратегия 7г полностью определяет эволюцию капитала инвестора. Действительно, XI = В0/Зх + ¿'071 и, если в момент п X* = -ВпАи-1 + £п7ти-1, то в момент п + 1 Х*+1 = Х^ + рп+хАВп+1+^п+1АБп+1. Рассмотрим дисконтированный относительно Вп капитал самофинансируемой стратегии 7г

Хж в

^п = ~БГ ~ Рп+1 + 7п+1тг-

Из условия самофинансируемости следует, что

АУ: = 1пАгп, гп = §4 =

откуда

¿=1

С другой стороны, предположим, что задана Ж-предсказуемая последовательность 7* и начальное значение капитала Хд, тогда

Уо = = +

во ¿=1

Положим (3* = — 7*^„_1, 7г* = (/5*, 7*). Очевидно, последовательность 7г* = (7г*)х<п является Ж-предсказуемой. Ввиду определения /3*, капитал стратегии тг* отвечает уравнениям

Хп = Рп+1Вп

АХГ = ^абп + 7;А5п.

Таким образом, стратегия ж* является самофинансируемой, причем в каждый момент п дисконтированный капитал стратегии п* совпадает с У*. Указанное взаимооднозначное соответствие между самофинансируемой стратегией 7г и парой (Уо,7 = (7п)г<п) привело к упрощенным формулировкам в задачах финансовой математики,

когда рассматривается эволюция дисконтированного капитала инвестора, которая определяется значением начального капитала Уо> предсказуемой последовательностью 7 и отвечает уравнению

п г=1

Задачи хеджирования, рассматриваемые в пп. 2.1 и 2.2 формулируются с учетом указанного упрощения.

2.1 Хеджирование в среднеквадратическом 2.1.1 Постановка задачи оптимального хеджирования

Пусть (Г2, Т, Ж, Р) — стандартный стохастический базис (см. [9]). Все рассматриваемые объекты предполагаются заданными на этом базисе, стохастические последовательности согласованы с фильтрацией ¥ = {Тп)п>о. Множество предсказуемых последовательностей 7 = (7„)п>1 (70 £ ^о,7п £ Рп-ъп = !,•••) обозначим V. Предположим,

что задана стохастическая последовательность 5 — (5га)га>о и случайные величины Я е € Элементы последовательности Я и случайные

величины Я, С0 принадлежат пространству £2(Р)-

к

Обозначим АЗп = 5П — ¿"„-г и С к (7) = ]Е 7пА.Бп. Будем строить такую предска-

п=1

зуемую последовательность 7 = (7„)га>1, что для любой 7 € V

Е

(Я - Со - Слг(7))2|^О] < Е [(Я - Со - СИТ))2|^о] (Р ~ п-н0 (2-1.1)

Соответствующее решение задачи (2.1.1) будем называть оптимальной стратегией.

Сформулированную оптимизационную проблему можно интерпретировать как задачу хеджирования платежного обязательства Я с помощью актива, дисконтированная цена которого принимает значения £га в моменты времени п = 0,..., N. Данная интерпретация будет полезна для нас при построении оптимальной последовательности 7 задачи (2.1.1). Наличие определенных правил "торгов" и ограниченность средств "хеджера" накладывают на класс стратегий ограничения, например 7П > О

(запрет на "короткую продажу"). В некоторых случаях такая оптимизационная задача также может быть решена, но это выходит за рамки настоящей работы.

2.1.2 Структура оптимальной стратегии.

Будем придерживаться следующих, не приводящих к противоречию, соглашений.

Произведение П ак, где © = 0, равно единице, сумма £ ак есть нуль и неопреде-

ке@ кее

ленности вида 0/0 также равны нулю, равенства и неравенства в отношениях между случайными величинами понимаются в смысле Р-п.н. Определим следующие предсказуемые последовательности

Е

Рп =

Е

д5„ п

1=п+1

П (1-ДД5,)

1=п+1

рп-1

, п = 1,...,ДГ;

(2.1.2)

Е

Рп =

яд5„ п

_г=п+1_

Е

ДП (1-АД5«)

¡=п+1

1

, п = 1,..., N.

(2.1.3)

Из приводимой ниже леммы будет ясно, что определения (5п и рп корректны.

Лемма 2.1 Пусть /Зп определены формулой (2.1.2) для п = 1 ,...,ЛГ,. Тогда для любого п, п = 1,..., N

N

1=п

N

Д5пП(1-АДЯ)е£2(Р),

=п N

¡Зп^п П (1-АД5г)б£2(Р),

1=11+1

(a)

(b)

(c)

Е

N

Л=п

?ч-1

Е

N

П(1 - АД5{)

Л=п

<1 Р - п.н.

Для полноты изложения, приведем доказательство леммы 2.1.

Доказательство. Будем следовать доказательству, приведенному в [22]. Рассмотрим случай п = N. Утверждение (Ь) при п = N сводится к утверждению АЯ^ €

и

£2(Р), и, следовательно, оно выполнено. Ввиду неравенства Гёльдера значение (Зм определено корректно. Обозначим

у;

(т) __ Е [А^!^!]

N

Е Е [АЗЦ^г}1^3^-^}-

Очевидно, что У^ 1Р - п.н. и У^' принадлежит пространству С2(Р) (О < У^ < АЭ^т). Тогда

_ 1« ЕГАб'дг!^-!]2 Т ^ 1

- Д -ЩКЩ^Не^^уЛ.} < 1» Р - п.н.

откуда [/З^Аб^] < 1 и утверждения (а), (с) для п = N доказаны. Покажем, что верно и утверждение (4).

Е

Т;

N-1

_ 1 оЖА^лН^у-г]2 , Д[А5н|^у-х]2 171 г л С2 I т 1

- 1 - 2 ф^-!] +

Заметим, что

= Е[{1- /ЗлгА^лг) 1^-1] Р - п.н.

1 - уу^и

1 1 ]

~-- ^ Р-П"Н"

то есть утверждение (с/) для к = N верно.

Предположим, утверждения (а) — {й) выполнены для п — к + 1,..., N. Докажем, что они выполнены для к = N. Из утверждения (г!) для п = к + 1 следует

Е

А % П (1-АА5,)

1=к+1

Е А

Е

Е

N

АП (1-АА5г)2^ 1=к+1

п (1-ААйГ 1=к+1

< Е [А5|] < оо

Таким образом, утверждение (Ь) для п = к выполнено. Обозначим

Е П (1-АА50 1=Ь+1 2 П ¡=«¡+1

Е А5! П (1-АА51) Е П (1-АА5,) г=й+1

У

х/1

Iе

Д51 П (1-АД5,)

¡=/¡+1

Очевидно, что

N

Ук 1" $п (1 - АА5,)2,

.ЛГ

О < УГ < П (1 - АА5{) , У™ е А(Р).

1=к+1

Далее

Е

N

р2кАБ1 П (1 - АД^)2

г=*!+1

Иш Е Ыт) ТкЛ =

т—юо I. Л J

Е

Иш

т—>оо

1=к+1

Е

N

АП (1-АА50

Ь—1

в

Д5* П (1-АД^) К-г

!=*:+! 1

>

4

т [

< 1, Р-п.н.

и, следовательно,

Е

N

Д (1 " АА^У

1=к->г 1

¿V

<1, П (1 - АДй) е (Р)

1=к+1

N

Используя П (1 — А Аб";) € £2 (Р) получим утверждение (а) для п = А;

/=Ь+1

П(1-АД5,)= П (1 - - &Д& П (1 - Ад^) е А (Р) •

Для доказательства утверждения (с1) заметим, что N ,

Е П (1-АДйУ Ъ-1 1=к

= Е = Е +Е

/=й+1

п (1-АА^)2^-1 -2Я

г=й+1

/31Д51 П (1-АД^)2^-! 1=к+1

АГ

PkA.Sk П (1-АА5,Г^-1

1=к+1

+

= E -2 E

+РкЕ

= Е

= Е Кроме того,

N

Е

pkASkE

ASIE

Fk-1 2

п (l-AAS,) J7*

l=k+1

п (1 -PAStfTk l=k+1

п (1 - faASi)2 Tk l=k+1

N

п (1 - PiASi) П-1

l=k+1

п (l-AASi)

Fk-1 1

+

jv

/=fe+i

E

N

п (1 - AASi)

l=k

= E

N

п (1 - PiASi) Tk-\ l=k+1

E

N

pkASk П (1 — PiASi) Tk-\ l-k+l

<

< 1 -E

< 1

N

f3kASk П (l-AA5,)^-i

l=k+1

<

E

ASk П (1-АА5г) _î=fc+i _

Fk-1

E

ASl П (l-AASO l=k+1

Fk-i

< 1

Таким образом, утверждения (а) — (й) доказаны.

□

Следствие 2.1 Последовательности (3 = (Аг)п>1 и Р — (Рп)п>х определены корректно.

Доказательство. Как было указано выше, значение Ду

Е

Е

asiv

определе-

но корректно ввиду неравенства Гёльдера. Аналогичные рассуждения показывают корректность определения /Зп, п = 1,..., N. Рассмотрим рп, п = 1,..., N. Пусть п = к

Е

Рк

х

HASk П (1 - PiASi) J~k—\

1=к+1

Е

N

A SI П (1 — PiASi) !Fk-i l=k+1

Используя неравенство Гёльдера, получим

Е

N

HASk П (1-АА5,) ^jb-i 1=к+1

<

E [H2\Tk.

2Е

N

ASl П (1-АДЯ)

l=k+1

Это показывает, что если

Е

N

Ав2к П (1 - АДЯ) Гн-1

1=к+1

то

Е

N

НАБк П (1-АА5,)

1=к+1

= 0,

= 0.

Следствие доказано.

□

Лемма 2.2 Пусть 76? такова, что Е (Я — Со — С^(7))2 ^о] < оо (Р — п.н.) для любой 7 £ V такой, что Е [(Н — Со — С^(7))2 ^о < оо (Р — п.к.)

и

Е

(Я - С о - С* (7)) (^(7) - Сдг(7)) >0 (Р - п.к.)

Тогда 7 является оптимальной стратегией.

Доказательство. Пусть стратегия 7* £ V такова, что

Е

(я-со-си7*))2и)] <оо.

Тогда имеем (Р — п.н.)

Е

(Я - С0 - Ся (7*))2 = Е [(Я - Со - Ом (7) + С* (7) - О» (7*))2

= Е +Е

\Н -С0 -Ом (7))2+ 2Я [(Я - Со - Сж (7)) (<3лг (7) - (7*)) +

(Сдг (7) - (т*))5

Л,

Учитывая предположение леммы, получаем, что (Р — п.н.)

Е

(Я - Со - С^г (7*))2 И) > Я (Я - Со - О* (7))2 ^о

Лемма доказана.

□

Лемма 2.3 Пусть 7 е "Р такова, что Е [(Я — С0 — С^(7))2 ^о < оо (Р — п.н.) и Е [(Я - Со - СлгОу)) Д^п-х] =0 Р - п.н., п = 1,... N.

Тогда 7 является оптимальной стратегией.

Доказательство. Пусть стратегия 7* е V такова, что Тогда

Е

(Н-О0-Ом(Г)?

То

= Е

сЯ - С0- Ом (7) + СЛГ (7) - Ом (7*))2 = = Е [(Я - Со - С^ (7))2 + [(Я - С0 - С* т (Ом (7) - Ся (7*)) +

+Е [(Ом (7) - С^ (Г))21Л>] • Определим последовательность множеств А^

= {а; € ^ : |7к - 7* I < к = 1,... АГ} е Тм-1.

Поскольку I и

(Я - Со - Сдг (7)) (СУ* (7) - (7*)) /ЛЯ <

< |(Я - С0 - С* (7)) (<?* (7) - С„ (7*))|