Моделирование финансовых рынков методами стохастических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1.1 Постановка задачи.

1.2 Модель с непрерывным временем.

1.3 Построение приближенного слабого решения стохастического дифференциального уравнения.

1.3.1 Понятие сильного и слабого решения.

1.3.2 Разложение решения стохастического дифференциального уравнения.

1.3.3 Разностная схема нахождения сильного решения

1.3.4 Моделирование кратных интегралов.

1.3.5 Слабое решение. Метод Монте-Карло.

1.4 Построение функции гладкой двумерной регрессии на ограниченном объеме данных

1.5 Построение функции регрессии для цены опциона.

1.6 Построение параметризации на реальных данных . . . . 37 1.6.1 Параметризация.

1.7 Дельта-хеджирование.

1.8 Результаты численных расчетов для задачи ценообразования и хеджирования.

1.9 Рисунки.

2.1 Модель с дискретным временем.

2.1.1 Модель гарантированного оценивания для дискретного времени.

3.1 Асимптотическое поведение модели гарантированного оценивания при измельчении масштаба.

3.1.1 Хеджирующая стратегия.

3.2 Численная реализация расчетов функции Беллмана в дискретном случае.

3.2.1 Описание алгоритма.

3.2.2 Пример расчета для конкретных значений коэффициентов.

В работе рассматривается задача ценообразования опционов. Данная тематика привлекает исследователей уже несколько десятилетий и к данному моменту получен ряд принципиальных классических результатов. К ним можно отнести работы [1]. Формула Блэка-Шоулса для "справед-ливой"цены стандартного опциона европейского типа, полученная в [2] и [3], получила всемирную известность благодаря своей простоте и достаточно хорошей точности. Простота обусловлена двумя вещами: специфическим видом опциона и простотой модели. Но в этой простоте заложены как достоинства (например, показана робастность модели Блэка-Шоулса по отношению к используемым в модели параметров волатильности ), так и недостатки. К ним относится прежде всего все-таки недостаточность предположений о постоянности волатильности (тренд не входит в формулу, т.к. у мартингальной меры трендовая составляющая равна безрисковой ставке) и неучтенными остаются ряд других эффектов динамики базового актива, таких как эффект возврата к среднему ("mean-reversing"). Таким образом, приходим к необходимости с одной стороны несколько усложнить модель динамики рынка, а с другой — получить возможность рассматривать более или менее произвольные типы опционов. Современное состояние теории можно найти, например, в книгах

4], [5], [6] и [7].

Цель работы Исследование задачи ценообразования и хеджирования обусловленного обязательства опционов для модели финансового рынка с двумя рисковыми активами с использованием численного интегрирования стохастического дифференциального уравнения в непрерывном случае.

Исследование гарантированного подхода к задаче ценообразования и хеджирования для случая обусловленного обязательства с несколькими рисковыми активами в дискретном случае.

Исследование асимптотического поведения модели гарантированного оценивания при измельчении масштаба. Построение хеджирующей стратегии.

Построение адаптивных статистических оценок неизвестных параметров задачи и проведение вычисления для опциона "RAINBOW'Ha реальных данных с использованием фондовых индексов и котировок наиболее ликвидных акций.

Научная новизна В работе разными методами решаются задачи ценообразования и хеджирования для непрерывной и дискретной моделей, затем проводится анализ взаимосвязи полученных результатов, и результаты применения стратегии, оптимальной в рамках модели с дискретным временем в условиях модели с непрерывным временем. В работе разработаны оригинальные методы, позволяющие эффективно учитывать дискретность торговли. В частности транзакционные издержки, не позволяющие проводить непрерывную торговлю, могут быть регулируемы с помощью регулирования частоты торговых операций. Построенная модель выглядит более реалистично, чем традиционная (Блэка-Шоулса). Работоспособность методов была протестирована на реальных финансовых данных.

Мы рассматриваем конкретную параметризацию модели отражающую некоторые качественные свойства поведения рынка. В первой главе предлагается метод нахождения цены опциона RAINBOW европейского типа на рынке с двумя коррелирующими активами путем нахождения слабого решения системы стохастических дифференциальных уравнений. П. 1.1 посвящен математической постановке задачи, также были выбраны акции IBM и Microsoft на период с 22.07.93 по 08.02.99. П. 1.7 посвящен дельта-хеджированию т.е хеджирующей стратегии в рамках непрерывной модели в случае полного рынка. В этом же пункте рассматривается возможный пример задания функций локальной вола-тильности и приводится явный вид схемы для этого случая. Пункт 1.8 описывает результаты численных расчетов.

Во второй главе приводится метод решения задачи с дискретным временем, опирающийся на идеи динамического программирования с элементами выпуклого анализа. Рассматриваемая дискретная модель является аналогом модели, рассмотренной Крамковым и Эль-Каруи (см., например, [8] [9]) в подходе гарантированного хеджирования. Однако если непосредственно применить этот подход для получения модели с дискретным временем, то носители приращений двумерного процесса цен рисковых активов Xt не будут ограниченными, в связи с чем расчетная цена в рамках такой модели окажется бесконечной. Поэтому предположим, что приращения AXt принадлежат эллипсу, с матрицей, равной /3(Xt,t), а масштабный множитель эллипса есть константа с, фиксированная в данной модели. В дальнейшем, варьируя данную константу и шаг по времени мы можем адекватным образом адаптировать модель к различным условиям.

В третьей главе проводится сравнение полученных результатов с результатами, полученными в рамках модели с непрерывным временем. Рассматривается последовательность моделей с дискретным временем с уменьшающимся шагом по времени At -4 0 и фиксированным параметром с, отвечающим за линейные размеры носителей AXt. В п. 3.1 рассматривается хеджирующая стратегия.

Получена следующая Теорема. Пусть в неравенстве (2.1.2) правая часть в зависимости от, At имеет вид к (At) = с At, для некоторой константы с, т.е.

AYk+1 - fj,k(Yk)At, L(k, Yk)(AYk+l - ^(Yk)At)) < cAt. (0.0.1)

Тогда соответствующие распределения процесса Yt, порожденные мак-симизаторами в уравнении Беллмана (2.1.4), при At 0 будут сходиться в слабом смысле к некоторой мартингальной мере Р*.

Замечание. Предельная мера Р* существенным образом зависит от вида обусловленного обязательства.

Доказывается, что для с*, 1 ^ с* ^ \/2, хеджирующие стратегии для модели с дискретным временем будут являться асимптотически хеджирующей последовательностью. Поскольку класс дискретных стратегий (то есть стратегий, для которых возможность сделки предусмотрена только в фиксированные моменты времени) существенно уже, то расчетная цена обусловленного обязательства выше его цены, полученной в рамках соответствующей модели Блэка - Шоулса. В п. 3.2 приводится численная реализация расчета функции Беллмана для модельного примера с дискретным временем, описывается алгоритм и приводятся результаты расчета для конкретных значений коэффициентов.

В заключение отметим, во-первых, что разработанная методика применяется к расчету премии и хеджирующей стратегии на конкретных рыночных данных, используя статистическую оценку неизвестных параметров модели. Во-вторых, гарантированная цена в дискретном смысле будет не меньше, чем в непрерывной модели, что является естественным, поскольку в дискретном случае класс стратегии уже.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Научных семинарах "Финансовые рынки: Моделирование и Вычислительные Аспекты"в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на факультете Вычислительной математики и кибернетики и на научных семинарах кафедры дифференциальных

1. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4-1- Printemps 1973.

2. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities /'/' Journal of Political Economy, May-June 1972.

3. Black F., Scholes M. The valuation of options contracts and a test of market efficiency // Journal of Finance, May 1972.

4. Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Т 1; Т 2. // М.: ФАЗИС 1998.

5. Dana R.- A., Jeanblanc-Picque М. Marches financiers en temps continu: Valorisation et Equilibre. // Paris: Economica, 1994.

6. Мельников А.В. Финансовые рынки: Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.: ТВП, 1997.

7. Мельников А.В., М.Л.Нечаев Л Вопросу о хеджировании обусловленных обязательств в среднеквадратическом. Теория вероятностей и ее приложения, 1998, Т. 43, вып. 4, стр. 672 691

8. Kramkov D.O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. Probability theory and related fields. 1996. V.105, p. 459-479.

9. El Karoui N. et Quenez M.C. (1995), "Programmation dynamique et evaluation des actifs contingents en marche incomplet,"Siam Journal of control and optimization, 33, pp. 29 66.

10. Захаров А. В., Мусса Д. А. Гарантированный подход к задаче ценообразования и хеджирования для случая обусловленного обязательства с несколькими рисковыми активами. 2001. - 19 с. - Деп., ВИНИТИ, 24.04.01., № 1092 - В01.

11. Новиков А.А. Об одном тождестве для стохастических интегралов // Теория вероятностей и её применения. 1972. Т. 4. № 4. с. 761-765.

12. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры// Теория вероятностей и её применения. 1960. Т.5. ЛГ£3. с. 314-330.

13. Rogers L.C.G., Williams D. Diffusions markov processes and martingales. // Wiley, New York. 1988.

14. Крылов H.B. Управляемые процессы диффузионного типа. // М.: Наука 1977.

15. Вентцель A.D. Курс теории случайных процессов. // М.: Наука, 1996.

16. Мильштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. // Свердловск.: Уральский Гос. Ун., 1988.

17. Peter Е. Kloeden, Eckliard Platen. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. // Springer Verlag Berlin Heidelberg, 1992.

18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. // М.: Наука, 1977.

19. Икеда Н., Ватанабэ С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. // М.: Наука, 1986.