Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Глава

I. Базовые модели дискретного времени

1.2.0сноЕные результаты

Глава

II.Базовые модели непрерывного времени

2.2.0сновные результаты

2.3.Предельный переход от дискретных моделей к непрерывным

Глава

III.Обобщение модели Крамера-Лундберга на случай процессов Кокса и влияния экономической среды

3.1.Возмущение диффузией

3.2.Модели на основе процесса Кокса

3.3.Оценка платежеспособности в случае произвольных точечных процессов

Глава 1У.Инвестирование на финансовом рынке

4.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна

4.3. Модель Б.лэка-Шоулса

В работе исследуется проблематика платежеспособностиховой компании на основе методов современной актуарно-финансовой математики, как в случае дискретного, так и непрерывного времени.

Договор страхования предполагает, что за определенную плату (премию) страховая компания (страховщик) берет на себя обязательство возместить возможные убытки клиента (страхователя). Основанием для оплаты указанных убытков является полис страхования. Страховаться может достаточно широкий круг возможных убытков (рисков): автомобиль на случай кражи или аварии, имущество на случай пожара или стихийного бедствия, здоровье и жизнь. Помимо юридических и экономических аспектов перед страховой компанией неизбежно встают и чисто математические задачи: моделирование сроков подачи и размеров поступающих исков, адекватный расчет премии - если она будет слишком высокой, клиенты обратятся к услугам компаний-конкурентов, слишком низкой - появится существенный риск неплатежеспособности.

Выражаю благодарность своему руководителю в Математическом Институте им. В.А. Стеклова д.ф.-м. н. проф. А.В. Мельникову за предложенную постановку и внимание к работе.

В расчетах такого типа естественно использовать методы теории вероятностей, математической статистики, случайных процессов.

Применение математических методов в страховании имеет достаточно долгую историю. Например, (см. [18]) в страховании жизни ключевым параметром является остаточная продолжительность жизни - вероятность того, что индивид возраста х проживет по меньшей мере еще t лет, обозначаемая tpx. Сила смертности определяется как jj,x+t — —j-tlntpx- В 1724 году Де Муавр предложил считать (jLx+t — i 0 < t < oj — х, где ui - "максимально возможный" возраст на момент смерти (полагают равным 100-120 лет). К 1824 относят закон Гомпертца fjLx+t — B<f+t(B > 0, с > 1). В 1860 Мэйкхем постулировал рхН = А + Bcx+t(A > 0, В > 0, с > 1), откуда tPx = exp(—At + — 1)), что хорошо согласуется с реальными данными. Данные законы о виде остаточного распределения жизни находили свое применение в работе пенсионных фондов. Помимо [18], проблематика страхования жизни подробно описана в книге [9].

В страховании "не жизни" используется два основных типа моделей: модель коллективного риска и модель индивидуального риска. В модели индивидуального риска рассматривается п полисов с независимыми выплатами Ui,.,Un; характерными чертами индивидуальной модели является сравнительно короткий промежуток времени, фиксированное и неслучайное количество договоров п. 4

Примером работы в данном направлении может служить [32]. В коллективной модели риска по одному полису допускается более одной выплаты, и количество подаваемых исков заранее неизвестно. Здесь часто рассматривают динамические модели, когда процесс подачи исков "растянут" во времени. Именно к такому типу моделей относится как большая часть математических работ по страхованию, так и содержание данной работы.

Традиционно для математических работ по страхованию выделяют следующие объекты, заданные на фиксированном вероятностном пространстве (f2,F,P)

• х - начальный капитал компании.

• Неубывающая последовательность случайных величин ctq = О < < . - моменты наступления отдельных исков от клиентов. Разность Тп — <тп — ап-\, п > 1 называется временем между наступлениями исков,

• Общее количество поданных исков к моменту времени t > О обозначим N(t) — sup„{n : ап < t}. Между случайным процессом N(t) и случайной последовательностью {сгп} имеется взаимосвязь {N(t) = п} = {сп < t < Оге-н}.

• Последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин {уп} определяет возможный размер исков уп в момент ап. Для функции распределения F(u) = Р{у„ < и} естественно считать F(0) = 0.

• R(t) = J2iJi Уг определяет суммарные выплаты до искам к моменту t Считаем R(t) = 0, если N(t) = 0.

• П(£) - величина премий, полученных к моменту времени t.

• X(t) = х + П(£) — R(t) определяет капитал компании к моменту t > 0.

В данной работе процессы 11(f) и R(t) считаются независимыми. Если t € то говорят о моделях дискретного времени, если t € Ж+ - а моделях непрерывного времени.

Согласно актуарной традиции мерой платежеспособности выбирается вероятность неразорения: р(х) = P{X(t) > 0для Bcext > 0}, <f(x, t) = P{X(s) > 0 для всех t > s > 0}.

Поскольку договор страхования предполагает передачу того или иного риска от клиента к компании, то говорить о гарантии исполнения компанией своих обязательств и вообще о целесообразности своей деятельности имеет смысл лишь в случае, когда в среднем поступающие премии больше средних выплат по искам:

П(г) > ER(t) (0.1)

Данное соотношение предполагается выполненным для всех моделей, рассмотренных ниже. Распространенным принципом начисления премий является т.н. принцип математического, ожидания, когда выбирается некоторое числа в > 0, называемое коэффициентом нагрузки, и полагается П(£) — (14- Q)ER(t). О других принципах начисления премий и соответствующих числовых примерах см [9], [17], [27}.

Безусловно, введенные выше вероятности зависят не только от временного промежутка функционирования страховой компании и начального капитала, но и от "внутренних" параметров процессов П(t).,. Д(£)л Тем не менее, из соображений удобства указывается зависимость именно от времени, t и капитала ж. Как будет видно.иа содержания работы, но этим параметрам удается получать уравнения интегрального (разностного) и интегро-дифференциального типа для нахождения вероятностей неразореиия.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы,

В начале каждой главы дается краткое описание соответствующих моделей страхования, результатов работ по данной тематике с соответствующей ссылками. Затем приводятся описание новых моделей, и, основные результаты,

Основная идея работы - по возможности шире охватить направления и методы исследований в области формирования капитала. страховой компании и оценивания ее платежеспособности и затем описать и исследовать модели страхования, где процесс поступающих премий предполагается стохастическим, а также проследить, как меняется вероятность иеразорещш при возможности инвестирования на финансовом рынке. Ранее некоторые из моделей со стохастическими премиями путем замены времени сводились к известным моделям Крамера-Лундберга (см. |4|).

Капитал, компании полагается однородным марковским, процессом для простейших моделей, точечным- процессом- для продвинутых, либо решением стохастического дифференциального уравнения - для моделей., допускающих инвестирование на финансовом рынке. Предлагается получать, интегральные (разностные в сл,у- чае дискретного времени) и интегрогдифференциальные уравнения для вероятности неразорения, исследовать возможности аналитического, решения. Как правило, поиск явного аналитического решения представляет существенные технические трудности, либо, получаемые при- этом- формулы неудобны для дальнейшего- анализа. В- такой ситуации оказывается полезным иметь по возможности простые оценки снизу для вероятности неразорения. Экспоненди-альные оценки (также называемые оценками Крамера-Лундберха), полученные для одноименной- модели непрерывного,времени, предлагается распространить и для других моделей. Здесь оказываются полезными методы теории мартингашв.

Перейдем к. краткому содержанию диссертации,

В главе I дается обзор биномиальной модели, где время п — 0,1,2.,

• N(n) - биномиальный процесс, т.е. представим как сумма п бернуллиевских случайных величин, с некоторой, вероятностью успеха q.

• П(п) = п (детерминированные премии).

• Щп) — У> * составной биномиальный процесс.

Далее в.качестве процесса премий рассматривается независимый от R(n) другой составной биномиальный процесс Щп) — Тогда капитал- компании имеет вид

Щп)- Щп)

Х{п) = х + Ci ~ £

Это. означает, что. в, каждый, момент времени, независимым, от прошлого образом с некоторой вероятностью р компания получает (случайную) премию с», и с некоторой вероятностью q вынуждена выплачивать величину у».

В. случае, целочисленных процессов R(n), П(?г), х для вероятностей неразорения получены разностные уравнения, которые удается разрешить аналитически для некоторых типов распределенийпремий и исков. В общем случае оценивание вероятности неразорения проводится с помощью техники мартингалов дискретного времени: если R - положительное решение характеристического уравнения

1 - р + рЕе~^}[ 1 -q + qEeRvi] = 1, или, что эквивалентно,

1 -р + р Г

J о

-Rv dG(v)

1 -q + q

00 eRudF(u) Jo 1 (0.2) то e~RX№ - мартингал и tp(x) > 1 — e-Kx.

В главе II дается обзор широко известной модели Крамера-Лунд-берга, где t Е R+

• N(t) - пуассоновский процесс с интенсивностью Л.

• П(t) — ct,c> 0 -линейная функция времени.

• R(t) = H'^i/i - сложный пуассоновский процесс.

Далее в качестве процесса премий рассматривается независимый от R(t) сложный пуассоновский процесс П(£) = S^^Cj. Тогда капитал компании имеет вид x(t) = * + x£f« + Щ'и.

Для вероятности неразорения получены интегральные уравнения, которые в случае экспоненциальных распределений размеров исков удается решить аналитически. В общем случае оценка вероятности неразорения проводится с помощью техники мартингалов непрерывного аргумента: если Я - положительное решение характеристического уравпспия

Л ,[Яе

-Ftr.

1] + Л[ЕеНу - 1] = 0,

EN(t) = Xt,ENi(t) = Xit), или, что эквивалентно,

Ai fOO 1 Г лоо E~RvdG(v)~ 1 +Л / eRndF(u) — 1 уо J ыо 0.

0.3) то - мартингал и у>(а;) > 1 — е-Яа:.

В заключение главы II исследуется вопрос о единстве моделей дискретного и непрерывного времени. При измельчении параметра времени путем деления единичного отрезка на 2" равных частей, имеем последовательность дискретных моделей и последовательность {(р(п\х)} вероятностей неразорения для них. Считаем распределения F(u),G(v) неизменными, а частоты р = p(n),q = q{n) зависящими от п. При "погружении" таких дискретных моделей в непрерывные имеем сходимость по распределению составных биномиальных процессов к сложным пуассоновским. Удается найти достаточные условия, при которых ip^n\x) имеют своим пределом вероятность неразорения для модели Крамера -Лундберга со стохастическими премиями.

В главе III делается обобщение рассмотренных в главах I-II моделей па следующие случаи:

-возмущения процесса капитала диффузией, -стохастических интенсивностей считающих процессов премий и исков,

-произвольных точечных процессов.

К возмущенным диффузией моделям относят модели вида Y(t) = X(t)+Z(t), где X(t) - "классический" процесс капитала из главы II, Z(t) - некоторый "возмущающий" процесс, описывающий случайное воздействие внешней среды, независимое от чисто страховой составляющей. Обычно полагают Z(t) — aw(t) и для получения экспоненциальных оценок для вероятности неразорения используется мартингал вида e~RY<-^f(R,t), R > 0. Далее предложено рассматривать возмущающий процесс вида Z(t) = \/<т2 + Да2(-1 )N^w(t), Асг <С а, где Ni(t) - новый пуассоновский процесс, обеспечивающий "колебание волатильности". Таким образом, рассматривается капитал вида

Ni(L) Щ1)

X(t) = x+Ylci-J2yi + ya2 + Асг2(-1)^)Ц4), i=l i=1 и для оценки вероятности неразорения найден субмартингал вида е RXWf(R,t),R> 0.

12

Далее предлагается исследовать случай непостоянных (вообще говоря, стохастических) интенсивностей процессов премий и исков (здесь в случае детерминированных интенсивностей удается найти мартингал вида t), R > 0), а также случай, когда данные интенсивности - скачкообразные марковские процессы (в этом случае в зависимости от начальных состояний интенсивностей имеем семейство вероятностей неразорения и для них выписана система интегральных уравнений). Завершает главу III рассмотрение произвольных точечных процессов премий и исков и по аналогии с [28], где приведены достаточные условия для существования экспоненциальных оценок вероятности неразорения.

Поскольку страховая компания часто инвестирует свои средства на финансовом рынке, то весьма актуальным является изучение ее платежеспособности с учетом этого обстоятельства. В главе IV рассматривается проблематика инвестирования на рынках Кокса-Росса-Рубинштейна и Блэка-Шоулса на основе моделей капитала из глав I и II. В модели Блэка-Шоулса случай вложения страховой компанией своих средств (со стохастической премией) на банковский счет рассматривался в работе [21], случай вложения в акции для детерминированной линейной функции премий рассматривался в работах [5], [11]. Типичные результаты главы IV такие.

Пусть задан финансовый рынок ((В-З)-рынок) Кокса-Росса-Рубинштейна. Он состоит из двух активов В (безрискового, банковский счет) и S (рискового, акции), цены которых эволюционируют согласно разпостпым уравнениям: где Bq — 1, So > 0, г > 0, {рп} - последовательность независмых бернуллиевских величин, Р{рп = b} = р, Р{рп — а} = q, — 1 < а < г <Ь.

При инвестировании всего капитала в акции динамика капитала описывается уравнением:

Х(п + 1) = (1 + pn+l)X{n) + ??п+1сп+1 - £n+lj/n+l- (0.5)

Для модели Кокса-Росса-Рубинштейна получены экспоненциальные оценки вероятности неразорения при инвестировании всех средств в банковский счет или же в акции: например (инвестирование в акции), если R > 0 - решение характеристического уравнения

ДВп+1 = Впг,

A^n+l — Snpn+1,

0.4)

1 - р + ре"*6] [1 - q 4- qEeRv] = 1, то ip(x) > 1 — Д+е Ях, где = sup q[l - EF(x( 1 + pi) + гцс)] х>о 1 Ее~Лхс 1 1 — ae~Rrnc f°° х Чу Jx(i еоо x(l+pi)+i)ic

Пусть задан рынок Блэка-Шоулса как пара активов 5-безрискового (банковский счет) и S-рискового (акция), цены на которые эволюционируют согласно стохастическим дифференциальным уравнениям dBL = Btrdt (0.6) dSt — St(pAt + a dwt), где Bo — 1, r,ju, a > 0, ^-стандартный винеровский процесс. Для модели Блэка-Шоулса рассмотрен случай инвестирования всех средств в банковский счет и инвестирования всех средств в акции. В случае инвестирования всех средств в банковский счет удается найти мартингал вида //(Д,£), R > 0 и с помощью него находить оценки вероятности неразорения на конечном промежутке: для всякого R > 0 такого, что f(R,t) = exp j J [Ai + A - AiEexp{-Rde~rs} - XEexp{Ryle}]ds j < < oo (0.7)

Результаты диссертации проходили апробацию на международной конференции "Функциональные методы в теории приближений, теории операторов, стохастическом анализе и статистике" в

1. Базовые модели дискретного времени

1.1. Введение. В случае, когда временной параметр t принимает значения 0,1,2,., говорят о моделях дискретного времени. Одна из наиболее распространенных моделей для капитала компании может быть записана в следующем виде (см. [9]):

Х(п) = х + п- + . + ynin] (1.1) где размеры исков {у{\ - последовательность положительных, независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F(y),F(0) = 0 , процесс поступления исков N(t) -биномиальный, т.е. N(ri) — +. + fn, где - независимые бер-нуллиевские случайные величины, = 1} = q, = 0} = 1 — q, которые так же независимы от {yi}. Здесь процесс премий детерминирован, П(п) = п.

Рассмотрим новый биномиальный процесс N\ (п) = щ ■+. +г)п и новый процесс премий Ili(n) = Еfl^Cj, , где {с,;} - последовательность положительных, независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих функцию распределения G(v), G(0) = 0, {rji} - независимые бернуллиевские величины, Р{г]г — 1} = р, P{r]i = 0} = 1 — р, которые так же независимы от {уг},{с*} и {&}. В соответствии с этим капитал компании имеет вид

Х(п) =х + гцсх + . + Г)псп - [^2/! + . + £пуп]. (1.2) на вероятность неразорения. В момент времени п — 1 возможны следующие несовместные события: отсутствие скачков как у процесса N(n), так и у процесса Ni(n), с вероятностью (1 — р)(1 — q)\ один скачок процесса N(n) и отсутствие скачка у процесса Ni(n), с вероятностью (1 — p)q; отсутствие скачка у процесса N(n) и один скачок процесса Ni(ri), с вероятностью р( 1 — q); одновременные скачки N(n), Ni(n), с вероятностью pq. Тогда можем записать: р(х, n + 1) = (1 - р)(1 - q)ip(x, п) 4- р(1 - q)<p{x 4- с, п) 4рх+с рх pq / (р(х + с- y)dy + (1 -p)q / <р(х - y)dy, <р{х, 0) = 1 (1.7) J О Jo

Условие положительности дохода pEci > qEyi считаем выполненным.

Теорема 1. Пусть с = 1 и Уг гш,еет распределение fy — P{yi — у}, у € N и конечную дисперсию. Тогда имеют место формулы ¥>(0) = Щ^у /* = Еъ;

2) для Уг = 2

-i^r^ + VB-n,,), где D = q2 + Apq(l -p)(l-q),x€ Z+; (3) для fv-(l- a)ay~\ у = 1,2,., ск € (0,1)

Доказательство. В условиях теоремы рекуррентное соотношение для вероятности неразорения имеет вид р(х,п-1-1) = (1 ~р){ 1 - q)(p(x,n)+p( 1 - q)<p{x + l,n) +

Ж+1 X

Р4 + n)fy + (1 - - V,n)fv. (1.8) у= 1 У=1

Обозначим для 0 < z < 1 f(z) — X^i zVfy(производящая функция исков), <Pi(z,n) = E£L0zxtfi{x, n).

Умножим уравнение (1.8) на/и просуммируем по ж от нуля до бесконечности. Члены ряда г* j/i^ii 'Pix + 1 - У, расположим для наглядности в виде таблицы:

0,гг) Д г1* <p(l,ri)fi + ip(0,n)f2 z2 * v>(2, ra)/i + y>(l,n)/2 + ¥>(0,n)/3; частичные суммы S*. = o^ {X^iiVOz +1 ~ данного положительного ряда ограничены сверху величиной f(z)ipi(z, n)/z, и поэтому S = limfc^>00 Sk < f(z)cpx(z. n)/z. Поскольку для каждого к имеем неравенство S > (p\{z, n)[fi + /2-г ■+.+ fkZ% то

ЕГ=о ^ {ES Ф + 1- у)!у} = №Ф n)/z. Аналогично ** {E£=i Ф ~ V)fv} = 'М2- n)f(z). Итак, приходим к уравнению p1(z,n + 1) + (1 1 g^n) + рд/~{г)тШ + (1 p)qf(z)<pi(z, п), (1.9) или

LZ

1-0 + р{ 1 - 5)

V>(0,n). (1.10)

Производящие функции случайных величин —г), у^—щ имеют, соответственно, вид c(z) = f + 1 - р, g(z) = 1 - q + qf(z), 0(0)0(2). Обозначим для 0 < t < 1 p{z, t) = J2 <h(z, n)tn = £ £ n=0 n=0 ж=0 n=0

Умножая уравнение (1.10) на tn и суммируя по £ от нуля до бесконечности, приходим к уравнению я*,t) \р-+а -р)] [(1 - ?)+я/и t L Z J L p( 1 - ?) o(i). (1.11)

Аналитическую функцию h(z) = jf^ запишем тогда в виде

Пусть далее {&•»} - независимая от {уг}, последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин ¥{a,i — 1} = 1 — р, P{ai = 0} = р. Тогда выражение sg(s)c(s) есть производящая функция неотрицательной случайной величины Uiii + o<i и справедливо представление где Sn = Ziyi + . + ^пУп + oil + ■ ■ ■ + <*«•

Подстановка в (1.12) найденного .г как функции от t дает

1.14)

1.15)

Из полученного выражения

1 1 п ^ШЧ) SP{5n+1"к} = (1'16) яг^) {Р{5"+1 ^ °>+ • • •+ * п» =

1 f F{Sn+1 >0} + . + P{5n+1 >п}\ = p{l-q)\ п+1 J р(1-д){ п + 1 J P{5„+i>0}- 1 1 n + lp(l-q)

1 fi+P{Sn+1>0} р(1 — q) \ п + 1

ESn+1 + n+2 P{Sn+1 > fc} n+1

Поскольку ESn+i — (n+l)(qfj,+l—p), справедливы соотношения

ST=n+2HSn+l>k} < n+1 Sfcln+2р(1^п+1 - (n + 1)(1 -p + дм)| > \k-(n+l)(l-p + qM)\} < ~ n + 1 ~ oo ^

00 />fc

-1X1 -PW^E, (t-(n+1)(i-y+w.H £ * - rtix^a E2 L (f—(n+i)(i—p+4fi))2^s f°° 1 1 откуда имеем утверждение (1) теоремы:

Полагая ф(г) = 12^L0ip(x)zx, отметим, что для каждого к оо оо

Hm(l - l)(p{z, I) = Кт(1 -ОЕЕ t|i поэтому (^(г) = Нтщ(1 — t)<p(z,t), откуда ф{г) = p-qH

1.17)

Данная формула является ключевой для получения утверждений (2) и (3) теоремы, которые получаются теперь разложением в степенной ряд: для пункта (2) имеем f(z) = г2, <p(z) = для пункта (3) имеем f(z) = г(1 - a)cvn~1zn = □

Замечание 1. Подставим х = О е утверждения (2) и (3) теоремы: для г/, = 2 имеем d/u = (1 — а)»2'-1, у — 1,2,., а g (0,1) имеем

-1 - a-pd-*^

- 1 (l-a)p(l-q) ~ p(l-g) > что согласуется с утверждением (1) теоремы.

Замечание 2. Яри р | 1 получаем, редукцию к случаю детерминированных премий и соответствующие формулы работы [10]: для yi = 2 у>"(а?)(р + q - pq) + V»'(®)0>(1 - ~ С1 ~ + +¥»(ar)(p(l - q)\1 + (1 - p)qXl + pq\iX2) -= I Ml - q)X\ + pqX1X2 - pqX\] + J2(l - p)qX22 + llpqX\. (1.32)

Правая часть уравнения (1.30), умноженная на А]А2, в сумме с правой частью уравнения (1.31), умноженной на (Ai — Л2), дает правую часть уравнения (1.32). Это позволяет записать дифференциальное уравнение для (р(х):

Р + Я~РЯ) + Vip^i ~ ?Аа) - 0,

1.33) pX2-gXL откуда <р(х) — А + Be" . Условие положительности дохода (0.1) здесь имеет вид ^ — ^ > 0. Характеристическое уравнение (1.18) имеет вид

1-р + р

Ai + R l-q + q

Ао

Xo-R 1,

1.34)

R = — - его единственное положительное решение, поэтому рХ по теореме 3 tp(x) >1 — е~ р+я-ря х. откуда lirn^oo <р(х) — 1 и А — 1. Костанту Б найдем из уравнения (1.29), положив х — 0:

ОС р(0) = (1- р)( 1 - д)<р(0) 4- р(1 - q) / +

J о оо / ^(v-y)AiA2e-Al9e-A2^dy (1.35) Jo Jo откуда окончательно получим = 1 — р+«-р? □

33

В следующей теореме существование характеристического коэффициента не требуется. Обозначим Z(n) = П(п) — R(n).

Теорема 6. Пусть Еу\ < оо,р > 1, тогда справедливы неравенства

1) ф,п) > [ x+(EZ(n)p) р

2) ф,п) > [

-г-Г19 1 -J. i — 1. x+{E\Z{n)-EZ(n)\v)v ,р q

Доказательство. Процесс Z(n) - сумма независымых случайных величин, каждая из которых имеет положительное математическое ожидание, поэтому Z(n) - субмартингал, и Z(n Л т) - субмартингал (см. [30]). На основании этого EZ{ 1) < EZ(nar) = EZ(tiat)I{t < п} + EZ(n Л T)I{t > п] = EZ(T)1{T < п} + EZ(n)I{r > п}.

По определению {Z(r) < —ж}; последнее слагаемое оценим по неравенству Гельдера, тогда цепочку неравенств можно продолжить:

EZ{ 1) < . < -х[1 - Р{т > п}] + (Е\г(п)\р)^р[¥{т > п}}1^, х + EZ{ 1) < жР{г >п} + (E\Z(n)\p)1/p[F{r > n})1/q < < [¥{т > n}]1f9[x + (E\Z(n)p\)1/p], откуда следует неравенство (1). Рассматривая мартингал Z(n) — EZ(n), неравенство (2) получим аналогичным образом. □

2. Базовые модели непрерывного времени

2.1. Введение. Пусть параметр времени t принимает значения в ВТ1". В этом случае говорят о моделях непрерывного времени. В качестве процесса, считающего количество поданных исков, обычно берут иуассоновский процесс с достоянной интенсивностью Л. Процесс премий - линейная функция времени. При таком описании капитал компании имеет вид:

N(t) + (2.1) i-l

Для вероятности неразорения ip(x) = P{X(i) > 0 для всех t} справедлива

Теорема 7. [9] Если F(y) € С"[0, оо), то вероятность неразорения, ср(ж) € Сп-1[0,оо) и удовлетворяет интегро-дифференциальном,у уравнению

Гх

Хф) = с<р'(х) + Л / ф-у)йР{у) (2.2)

J о

Для экспоненциального распределения F(y) = 1 — решение данного интегро-диффференциалъного уравнения выписывается в явном виде ф) = 1 1//0* (2.3)

Для вероятности неразорения на конечном промежутке <р(х, t) = Р{ X(.s) > 0, s е [0, i]} справедлива

Теорема 8. [8] Если F(y) € Cn[0, оо), то вероятность неразорения tp{x, •), <p{-,t) g cn 1 [0. оо) и удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению в частных производных д<р(х, t) д<р(х, t) срх -Аф, t) + Л / ф- y)dF(y) (2.4) Jo dt дх

Для экспоненциального распределения F(y) — 1 — е~у^ решение данного интегро-диффференциального уравнения выписывается в леном виде: с 1 Г « у^D cos+ (Л + 5 + c/fj) rinQrffi ^ ж JS2 -sc/fi где D = (-Л + с/р - sf + 4cs/ц > 0.

В приведенной модели страхования важную роль играет характеристическое уравнение — 1, часто записываемое в виде (см. [4], [9]) £ /0°° е**(1 - F(z))dz = 1.

В случае существования положительного решения R справедлива экспоненциальная оценка вероятности неразорения (называемая также оценкой Крамера-Лундберга) ф) > 1 - е~ш (2.6)

Процесс Уг называют сложным пуассоновским процессом.

Рассмотрим другой пуассоновский процес Ni(t) и новый процесс тогда <р(х) > 1 — е"^®.

Доказательство. Справедливость интегрального уравнения (2.10) следует из формулы полной вероятности. В течение малого промежутка времени At возможны следующие несовместные события: отсутствие скачков как у процесса N(t), так и процесса N} (t), с вероятностью (1 — АД£)(1 — AiAf) + 6(At); один скачок процесса N(t) и отсутствие скачков Ni(t), с вероятностью AAt(l - AiAt) + 6(At); один скачок процесса Ni(t) и отсутствие скачкой N(t), с вероятностью AiA*(l - A At) + o(At); одновременные скачки N(t),Ni(t) или более одного скачка любою из процессов, с вероятностью o(Al). Тогда можем записать р(х) = (1 - АД£)(1 - АхAt)<p(x) +

Jfx ip(x — u)dF(u) + о poo AiAt(l — XAt) / ip(x + v)dG(v) + o{At), Jo что после деления на At и предельного перехода At —► 0 дает первое утверждение теоремы.

Используя независимость премий и суммарных исков, вычислим

Ee-R{U(t)-R{t)) =

Далее, если R - решение характеристического уравнения (2.11), то из стационарности и независимости приращений П(<), R(t) имеем для t > s

Момент разорения г = inf{t б М+ : X(t) < 0} для согласованного непрерывного справа, имеющего пределы слева процесса X(t) - марковский, поэтому для всякого фиксированного t € К+ имеем, что г At - ограниченный марковский момент и для мартингала е-я(П(()-я(*)) справедлива цепочка неравенств

I = £е-Я(П(тЛ4)-Я(тЛ<)) •> Ee-R(n(rAt)-R(rAt))I^T < =

- ехр{Ы[Ее-Ш1 - 1] + Xt[EeRvi - 1]}. е

-ЩП(а)-Ща)) Ее-ЩП(*-а)-ЩЬ-а)) = е-ЩП(а)-Ща)) Ee~R(a(T)-R{T))I{T <t}> e**P{r < t}, откуда

P{r<t} = 1 - ф, t) < е~ш.

Здесь использованы положительность и неравенство

П(г) — R(r) < —х для г < оо. □

В некоторых случаях, как и в классической модели Крамера-Лундберга, удается найти точные формулы для (р(х).

Теорема 10. Справедливы утверждения

1) Если P{ci = 1} = P{yi = 1} = 1, тогда

2) Если P{ci <х}-1- P{yi <х} = 1- е-™, то ф) =1

Доказательство. (1). Условие положительности дохода Лj > Л. Характеристическое уравнение имеет вид

А1[е~й — 1] + А[ей — 1] = О, откуда eR = ^ или 1. По теореме 9 имеем <р(х) > 1 — (j^ , <р(оо) = 1. Равенство <р(х) = <р([ж]) очевидно. Для целых х интегральное уравнение (2.10) переходит в разностное

Мф + 1) - (А + AM®) + Аф — 1) =0, (2.12) откуда (р(х) — Ci + , С\ = (fi(oo) — 1. Константу С^ найдем при подстановке в уравнение (2.12) х = 0, (А + Ai)^(O) = Ai<^(l),

Л + Ai)<р"(х) + (Ai& - Аа)<р'(х) + (Aj62 + Аа2)<р(х) рос рх Ь2Ах / ф + vjbe^dv + а2А / <^(ar - u)ae~audu. (2.15) Jo Jo

Правая часть уравнения (2.13), умноженная на ab, в сумме с правой частью уравнения (2.14), умноженной на Ъ — а, дает правую часть уравнения (2.15). Для левых частей получим уравнение п , . Аb — AjO /. .

V (Х) = Л , Л У

A + Ai

ЛЬ—Xi а откуда <р(ж) = Ci + С2е X+Ai Ci = найдем при подстановке в уравнение (2.13) х Xг f-С2 ^

2.16)

1. Константу С'2

О, (А + Ах)^(О) = □

Следующая теорема, как и в дискретном случае, позволяет находить явные формулы для вероятности неразорения, когда выплаты по искам имеют экспоненциальное распределение.

Теорема 11. Пусть F{u) — 1—е~аи, тогда уравнение (2.10) имеет не более одного решения в классе ограниченных на полуоси [0, +оо) функций fix), таких, что Нтж^+00 /(ж) — 1. Если при этом существует характеристический коэффициент R, то решение уравнения (2.10) имеет вид <р(х) — 1 +

Доказательство. Доказательство практически дословно воспроизводит соответствующее доказательство для моделей дискретного времени. □

Последовательным дифференцированием получим уравнение в частных производных

2.19) для сокращения записи зависимость от х, t не указывается.

Для решения полученного уравнения введем вспомогательную функцию W{s, х) = /0°°(1 — «/'(ж, L))e~tsdL и отметим для нее следующие факты

W(s,x) = - - Г fp(x,t)e~udt = -- Г ^e~isdt, s J о $ J0 dt

J о дх s J о дх d2W(s,x) д2х

Ю дх i [

Jo ox2 s J о dxdt ay о

Умножим уравнение (2.19) на e ts и проинтегрируем затем по t от 0 до оо. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение d2W dW

Л + Лх + s)-^ - (ЛЬ - Аю 4- s(fr - а))-^- ~ = 0. (2.20)

Характеристическое уравнение для (2.20) имеет два действительных корня противоположных знаков. Функция (р(х, t) ограничена, поэтому W(x,s) также ограничена и W(x, s) = A(s)ea^x, где a(s) то для всех t имеем: при к —» оо Xk(t) сходится по распределению к процессу, задаваемому уравнением (2.7), с естественными переобозначениями - теперь интенсивность процесса премий р. исков -q.

Теорема 13. Пусть liminffc^oo R^ > 0, F(u) < 1 для всех и < оо. Тогда при к —> оо <£(к>(х) сходится к <р(х) из уравнения (2.8).

Доказательство. Имеем (1 - --§:)J\{k}(x + v)dG(v)+ fOO px+v / V{k){x + v-u)dF(u)dG(v). (2.24)

4 Jo Jo

Поскольку для каждого k существует характеристический коэффициент R(k\ то lim^oo ip^'-ix) = 1 для всех к. Поэтому в силу теоремы Хелли можно выделить подпоследовательность щ такую, что Нш^^оо '~р{Пк> = ф{х). Поскольку liminffc>00 Rik) > 0, имеем

Итх^ооф{х) = 1.

Для предельной функции ф(х) выполняется иптсргадьпос уравнение роо рх р + я)ф(х)=р Ф(х + v)dG(v) + <? / ф{х-и)дР{и), (2.25) J о Jo то <р(х) > 1 — е Rx.

Будем рассматривать капитал вида

X(t) = х + U(t) - R(t) + S(t)w(t),

3.3) где премии П(£) — pt + с%-, I1 > 0 - константа, ^il1^ с« " сложный пуассоновский процесс с параметрами Ai, G(v), (G(0) = о); выплаты R(t) = Уг ~ сложный пуассоновский процесс с параметрами А2, F(y), (F(0) = 0);

T,(t)w(t) - вклад внешней среды, w(i) - стандартный винеровский процесс, E2(t) = а2 + (-1)*® Аа2, 0 < А а а2 - константы, N(t) - пуассоновский процесс с интенсивностью А.

Введенные объекты TL(t), R(t),T,(t),w(t) предполагаются независимыми в совокупности. Считаем выполненным условие положительности дохода ц + AiEci > \-zFyi- Введем функции tp(x) = F{X(t) > 0 для всех t > 0, iV(0) = 0} р+(х) = P{JC(t) > 0 для всех t > 0, N(0) = 1},

3.4) первая из которых есть вероятность неразорения, вторая - вспомогательная.

Nft) имеет независимые приращения

N(t)-N(s) имеет распределение Пуассона со средним A(t)-A(s).

Известно (см. [4|, [6]), что заменой времени А~г{£) = sup{s|v4(s) < t} введенный процесс N сводится к однородному Пуассоновскому с единичной интенсивностью. Поэтому для процесса риска вида

N(t) i=1 где /j = EZk, 0 - коэффициент нагрузки, (1+9)/j,A(t) - процесс премий), соответствующей заменой времени можем свести его к классическому, что сводит задачу отыскания вероятности неразорения на бесконечном промежутке к уже решенной. Тем не менее отметим, что такая модель позволяет учитывать сезонные факторы и иные детерминированные флуктуации потока исков.

Определение 2. Случайный процесс А = {A(t):t > 0} с неубывающими траекториями и свойствами Л(0) = 07 h(t) < оо для всех t < оо называется случайной мерой.

Определение 3. Пусть Л(t) - случайная мера и N независимый от нее (стандартный) Пуассоновский процесс. Процесс N = N о Л называется процессом Кокса (или дважды стохастическим Пуас-соновским процессом). тогда из последнего интегро-дифференциального уравнения получим систему (см. [4]): сф'^и) = (<*! + - — Г - Г7!Ф2(и)

Й J о сФ'2(и) = (а2 + 2{и) - — Г Ф^е-^'Чг - щФх(и) (3.12)

Й Jo

Далее рассмотрим случайную меру Ai(t) с интенсивностью Ai (t) и новый процесс Кокса N\ о Ль Новый процесс премий определим как П(2) = ci- Относительно интенсивности Aj(i) также предположим, что Aj(i) - марковский скачкообразный процесс с пространством состояний Si Е Ж+, интенсивностью rji(x) и мерой скачков Pil{x,B). Тогда получим естественное обобщение модели (2.7)

Ni(t) N(t)

X{t)=x+ (3.13) 1 i=l

Здесь для момента разорения т = inf{i : X(t) < 0} введем вероятность неразорения, зависящую, помимо начального капитала, уже от двух параметров ipq>w(x) = Р{т = <х>, Ai(0) = q, А(0) = w}.

Теорема 17. Вероятность неразорения удовлетворяет уравнению x)(r](w) + rj1(q) + q + w) = rf(w) JГ <pq!y(x)pL(w, dy) +

Vi(q) / <Pz,w(x)Pu<(q, dz) + q / ifiglW(x + v)dG(v) + J Si Jo px w / <pq,w(x - u)dF(u). (3.14) Jo

Доказательство. Доказательство в делом проводится как и для классической модели Крамера-Лундберга. В течение малого промежутка времени At возможны следующие несовместные события: отсутствие скачков у процессов N(t), Ni(t), A(t) и Ai(t), с вероятностью (1 - wAt)(l - qAt){ 1 - rj(w)At)( 1 - r)i(q)At) + o(At); один скачок процесса N(t) и отсутствие скачков у Ni(t), A(t) и Ai(t), с вероятностью wAt + d(At); один скачок процесса Ni(t) и отсутствие скачков у N(t), X\{t) и A (t) с вероятностью qAt + o(At); один скачок процесса A(t) и отсутствие скачков у Ni(t), N(t) и Ai(t), с вероятностью rj(w)At + o(At); один скачок процесса Xi(t) и отсутствие скачков у N(t), N(t) и А(£) с вероятностью rh(q)At + o(At); одновременные скачки некоторых из процессов из N(t),Ni(t), A(t), Ai(t) или более одного скачка любого из процессов, с вероятностью o(At).

Тогда на основе формулы полной вероятности можем записать ж) = (1 -(q + w + 771 (g) + V {w))At)4>q<w{x)+ v(w) / ^yPbiw^y)-^^) y>ZjWp1L(q,dz) + o(At), что после делениния на At приводит к требуемому интегральному уравнению. □

Пусть интенсивности \(t),\i(t) детерминированы. Для R > О рассмотрим процесс MR(t) =

Теорема 18. Мд(£) - .мартингал и для вероятности неразорения на конечном промежутке имеем неравенство ip(x,T) > 1 — suPo<t<T {eAl^Ec~Bci^eA^(-EcRvi~1^}e~Bx.

Доказательство. Доказательство практически не отличается от случая составных пуассоновских процессов.

Ee-R{U(t)-R{t)) = У^ Л1 № Ec-kRa V^ К1УП EcmRv, = Z-j Z—j m\ fc=0 та—О ^Л1 (t) (ЕеЛсг — 1) ^Л(t)(EeRVi j)

3.15) что вместе с независимостью приращений Il(t),R(t) доказывает, что - мартингал.

Дальнейшая оценка вероятности неразорения в целях экономии места не приводится. □

3.3. Оценка платежеспособности в случае произвольных точечных процессов. Общая методология оценивания вероятности неразорения изложена в [28]. Рассматривается капитал

V{t) = v + B(t) + M(t) +X{t),

3.16)

62

4. Инвестирование на финансовом рынке

4.1. Введение. Пусть помимо процессов премий и исков задан финансовый рынок, состоящий из двух активов: В-банковского счета и S-акции. Такие рынки называются (В, ^-рынками, подробнее см. [26], [28]. Эволюция активов рынка во времени описывается стохастическими дифференциальными уравнениями (соответственно дискретного или непрерывного аргумента), и в зависимости от вида этих уравнений говорят о той или иной модели финансового рынка.

Пусть страховая компания выступает на финансовом рынке как инвестор и может использовать его в целях увеличения платежеспособности, ожидаемого дохода и т.д.

Основными моделями финансового рынка являются: в дискретном времени - модель Кокса-Росса-Рубинштейна, в непрерывном -Блэка-Шоулса.

Погружение страховых моделей в модели финансовых рынков -сравнительно новое направление, и в одной из таких работ (см. [5]) рассматривается инвестирование капитала модели (2.1) в акции, эволюция которых подчиняется уравнению dS(t) = S(t)(pbdt+adw(t)) (модель Блэка-Шоулса): 2

Теорема 19. В случае ц — — < О разорение происходит с вероят

2 1 — ностъю единица. В случае ц — > 0 <р(х) = К\ -f Ki,K2

- константы.

4.2. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Пусть задан финансовый рынок ((В-8)-рынок), состоящий из двух активов В (безрискового, банковский счет) и S (рискового, акции), цены которых эволюционируют согласно разностным уравнениям:

ЛД„+1 = Впг, ASn+1 = Snpn+1, (4.1) где Во — 1, So > 0, г > 0, {рп} - последовательность независимых бернуллиевских величин, Р{рп = Ь} = р, Р{рп = а} = q, — 1 < а < г < Ь.

Ha. данном рынке работает страховая компания, формирующая свой капитал следующим образом. В момент времени п = 0, имея начальный капитал х, компания инвестирует его на данном рынке, распределяя доступные средства в количестве /?о в банковский счет и в количестве 70 в акции. Соответсвенно

Х(0) = х = & + Yo-So

В момент времени п = 1 изменяются цены активов рынка, компания получает премии и оплачивает иски клиентов. Процесс премий и исков будем считать сложными биномиальными процессами

Доказательство. Доказательство проводится совершенно аналогично предыдущей теореме и в целях сокращения записи опускается. □

4.3. Модель Блэка-Шоулса. Модель Блэка и Шоулса доставляет пример непрерывной модели (Б-З)-рынка. Пусть задана пара активов В-безрискового (банковский счет) и S-рискового (акция), цены на которые эволюционируют согласно стохастическим дифференциальным уравнениям dBt = Btrdt (4.6) dSt = Stipdt + crdwt), где В0 — 1, г, [л, a > 0, «^-стандартный винеровский процесс.

На данном рынке работает страховая компания с начальным капиталом х. По аналогии со случаем дискретного времени финансовую активность компании характеризует пара Tt - измеримых случайных процессов уt). Компонента j3t - количество "единиц банковского счета" в портфеле компании, yt - количество акций. В связи с этим

X(t)=ptBt + >ytSt Для эволюции капитала во времени имеем уравнение dX(t) = [3tdBt + jtdSt + Btdf3t + Stdlt

Выражение (5tdBt + 7tdSt есть изменение капитала за счет изменения цен на финансовом рынке. Выражение Btdj3t + Std~/t характеризует изменение капитала за счет изменения средств в портфеле, и здесь установим ограничение па класс используемых стратегий:

Jroa roo xfii(u>,dt,dx) — / y/i(w,dt,dy), о Jo где /j,i,/x - меры скачков процессов премий и исков соответственно. Это означает, что перераспределение средств в портфеле может происходить лишь за счет излишков "страховой" составляющей.

Пусть сначала весь капитал инвестируется в банковский счет. Тогда динамика капитала описывается уравнением

ЛОО /-оо dX(t) = X(t)rdt + / xyi(uj,dt,dx) - / yn(u,dt,dy) (4.7) J о Jq или t mt) Nv<*) rX(s)ds + ]T Ci - ]T & (4-8) i=1 «=1

Заметим, что решение данного уравнения имеет вид Ni(t) N(t) .

X(t) = etrl X+J2 + f' (4-9) i-1 i= 1 > где Gi - скачки Ni(t), r,i - скачки N(t).

Ведем случайную величину т = inf{£: X(t) < 0} - момент разорения, и вероятность неразорения <р(х) = Р{т = оо}.

X{t)=x + [ J о

Теорема 23. В случае инвестирования капитала в банковский счет вероятность неразорения <р(х) удовлетворяет интегро-диф-ференциальному уравнению гх<р'(х) — (Лг 4- А )<р(х) + рх роо

4-А / ф - y)dF(y) + Aj / ф 4- v)dG{v) = 0, (4.10) J о J о

Доказательство. Поскольку при фиксированном X(t) — х дальнейшее развитие процесса не зависит от предыстории и t, пользуясь (4.7), для малого промежутка времени At запишем: ф) = (1 - (А 4- Ai)АЬ)ф + rxAt)-\poo

AiAt / ф 4- rxAt 4- v)dG(v)+

J о px-j-rxAt

4 A At / ф 4- rAt - u)dF{u) 4- o(At). (4.11) Jo

По формуле Тейлора ip{x 4- rxAt) — cp(x) 4- <p'(x)rAt + o(At). Поэтому при делении на At и предельном переходе при At —* 0 получим утверждение теоремы. При г = 0 будем иметь уравнение для вероятности неразорения из главы II. равенство по распределению:

X(t)-X(s) = X(t — s)e~

Отсюда

Ее-щт-щ*)) = Ee-Re-"X(t-) = ежр{-(А1 + А)(< - а)}

• ежр j jf + dl = ежр| J^ [X1Eexp-Rcie~Tl + XEexpRy^1] сй|

• e®p{-(Ai + A)(i - 5)} = /(Д, *)//( Д, s) и поэтому процесс t) - мартингал.

Далее с помощью техники мартингалов для момента разорения г можем записать цепочку неравенств:

1 = Ee~RjtW/f{R,t) = Ее-**^/ f{R,t Лт) > > £e-^(tAT)J{r < t}/f(R,tAr) > еш¥{т < t}/f(R,t), откуда следует утверждение теоремы.

Пусть теперь весь капитал вкладывается в акции, эволюционирующие согласно модели Блэка-Шоулса (что соответствует стратегии fit = 0). В этом случае капитал компании удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению:

•оо лоо dX(t) = X(t—)(p,dt + adw{t)) + / хр,\{и>, dt, dx) — / ур(и>, dt, dy)

Jo Jo

4.19)

ИЛИ t iVi(t) iV(t) x(s)dw(s) + * - I> (4-2°)

1=1 i=l

Ведем случайную величину г = inf{£ : X(t) < 0} - момент разорения, и вероятность неразорения (р(х) = Р{г = оо}.

Теорема 25. В случае инвестирования капитала в акции вероятность неразорения <р{х) удовлетворяет интегро-дифференциаль-ному уравнению а2 „ хг(р'(х) + цх<р{х) - (Ai + А)ф) + рх роо

А / ф - y)dF(y) + Ai / ф + v)dG(v) = 0, (4.21) Jo Jo которое в случае экспоненциального распределения выплат и премий G(v) = 1-е F(u) = 1 — е aw может быть сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению третьей степени и для ц > ^ имеем асимптотику <р(х) = Ki + ж1-2^2Н- 6(1)).

Доказательство. Поскольку при фиксированном X(t) = х дальнейшее развитие процесса не зависит от предыстории и t, то, пользуясь (4.19), для малого промежутка времени At можем записать ф) = (1 - (Ai + A)Af)£ty(:r(l + pAt + aw(Af)))+ poo

4-AjAtE / ф(1 + pAt + aw(At)) + v)dG(v)+ Jo

XAtE / ф( 1 + pAt + w{At)) - u)dF(u) + o(At).

Jo

78

Сделаем замену G{x) = <р {х) и запишем уравнение (4.25) в виде о - Ъ) +

2(/i + 2С2У

72Х

-ab +

G^(x) +

2{ц + <г2)(а - Ъ) 2(Лг + Л - 2р - <т2) т2х

Т2Х2

2 abp 2(Ai о — Ай + /i(b — а))' а2х ст2х2

G (х)+ <J(X)+ G(x) = 0 (4.26)

Далее будем искать асимптотику решения данного уравнения при х —> оо согласно методике, изложенной в [23].

Сделаем замену G{x) — eTSGi(x), выбирая коэффициент т таким образом, чтобы свободный член в коэффициенте при G\ (х) остался равным нулю. Получим уравнение на т: г3 + т2(а -Ъ)- таЬ = О, откуда г = О, —й, Ъ. Значение т — Ь отбрасывается, поскольку (р(х) -ограниченная функция. Рассмотрим случай т — О, тогда уравнение не изменится. Далее делаем замену Gi(x) — xrG2(x), чтобы новый коэффициент при G2(x)/x был равен нулю. Уравнение для г имеет вид —rab — = 0, г = — Данная замена позволяет найти решение в виде ряда Сг(х) — YIT-u который формально может расходиться, но дает асимптотику G2 (ж) = со + 6(1). В этом случае ip'(x) = + 5(1)). Рассмотрение случая г = — а приводит к асимптотике <р(х) — о{х~2^"2). □

83

21| Жилина Л.С. Оценка вероятности разорения страховой компании для некоторой модели страхования. Прикладиа статистика, актуарна та фшан-сова математика. N1, 2000, 67-78, Донецьк.

22] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейны.м дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1993.

23] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1965.

24] Математическая энциклопедия, m.l. М., Советская Энциклопедия, 1977.

25] Мельников А.В. Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. М., АНКИЛ, 2001.

26] Мельников А.В., Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М., ТВП, 1997.

27] Мельников А.В., Бойков А.В. Элементы страхового риск-мепедэкмепта. Препринт N6. М., АФЦ, 2001.

28] Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М., ГУ ВШЭ, 2001.

29] Теория вероятностей и ее применения. М., Наука, т. 39, вып. 1, 1994.

30] Ширяев A.IL, Вероятность. М., Наука, 1980.

31] Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. т."Факты, модели", т. 1,2. М., ФАЗИС, 1998.

32] Шоргин С.Я. Асимптотические оценки оптимальных страховых тарифов в условиям вариации страховых сумм. М., Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 4, вып. 1, 1997, 124-156.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации (здесь под экспоненциальной оценкой вероятности нера;зорения понимается оцен ка снизу вида 1 — ае"'^'^, а, Д > О, ж - начальный капитал):

1. В биномиальной модели риска предложено считать процесс пре мий составным биномиальным процессом, в модели Крамера Лундберга предложено считать процесс премий сложным пуассоновским процес сом. В случае существования характеристического коэффициента для обеих моделей найдены эксионенциальные оценки вероятности неразо рения, явный вид вероятности неразорения, когда величина выплаты по одному иску имеет экспоненциальное распределение. Для биномиальной модели (со стохастической премией) в отсутствие характеристического коэффициента также найдены: оценки вероятности неразорения с по мощью техники мартингалов и классических перавепств теории вероят ностей; при некоторых целочисленных распределениях премий и исков получены точные формулы для вероятности неразорения за бесконеч ное число шагов. Для модели Крамера-Лундберга (со стохастической

премией) для вероятности неалорвния на конечном промежутке полу чено иытехро-дифференциальное уравнение в частных производных, из которого в случае экспоненциального распределения премий и исков по лучен явный вид интегрального преобразования искомой вероятности.При некоторых условиях указано на единство моделей дискретного и непрерывн01'0 времени в смысле сходимости вероятностей неразорения.2, В модели Крамера-Лундберга со стохастической премией предложе но учитывать влияние внешней среды. Рассмотрен случай аддитивной диффузии как со стохастической волатильностью, так и с постоянной, и для обоих случаев получены экспоненциальные оценки вероятностей неразорения на бесконечном промежутке (при некоторых технических

условиях).3. В биномиальной модели со стохастической премией рассмотрен слу чай инвестироваиия на рынке Кокса-Росса-Рубинштейиа: как инвести рования всех средств в банковский счет, так и в акции. В обоих случаях получены экспоненциальные оценки вероятности неразорения за беско нечное число шагов (при существовахши характеристического коэффи циента).В модали Крамера-Лупдберга со стохастическими премиями рассмот рен слз'чай инвестирования на рынке Блэка-Шоулса: как инвестирова ния всех средств в банковский счет, так и в акции. В первом случае полу чено интегро-дифференциальное уравнение и экспоненциальная оценка вероятности неразорения на, конечном промежутке, во втором - интегро дифференциальное уравнение для вероятности неразорения на бесконеч ном промежутке, у которого в случай экспоненциального распределения премий и исков найдена асимптотика при стремлении начального капи тала к бесконечности.

1. Boikov A .V . The Bounds for Non-Ruin probability in Discrete Time Models.Moscow, URSS, 6, 2002,

2. Durresne F., Gerber Hans U. Risk theory for the compound Poisson process thatis perturbed by diffusion Insurance: Mathematics and Economics 10, 1991, 51-59, North Holland.

3. Grandell J . Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag New York Inc., 1991.

5. Jacod J. , Shiryaev A . N . Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer,Berhn, 1987.

6. Paulsen J . Stochastic calculus with applications to risk theory. Preprint ofUniversity of Bergen, Norway, 1998.

7. Pervozvansky A . A Jr. Equation for survival probability in a finite time intervalin case of non-zero real interest force. Insurance: Mathematics and Economics N23, 1998, 287-295.

8. Rolsky Т., Schmidtli H. , Schmidt V. , Teugles J . Stochastic Processes for1.surance and Finance. John Willey & Sons, 1998.

9. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. М., ТВП, т. 2, вьш. 4, 1996, 957-976.

10. Бойков A .B . Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями.М., ТВП, т. 47, вып. 3, 2002, 549-553.

11. Бойкок A . B . О дискретных моделях страхования. Меж^|,унароу1,ный Университет в Москве, Материалы научной конференции "Сократовские чтения 2002", 50-51.

13. Гербер X . Математика страхования жизни. М., "Мир", 1995.

14. Гихман И.И., Скороход A .B . Теория случайных процессов, т.2. М., Наука,1973.

15. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейни.м дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1993.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,и., Паука, 1965.

17. Математическая энциклопедия, т.1. М., Советская Энциклопедия, 1977.

18. Мельников A.B. Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков вэкономике финансов и страхования. М., АНКИЛ, 2001.

19. Мельников A.B., Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет,производных ценных бумаг. М., ТВП, 1997.

20. Мельников A.B., Бойков Л.В. Элементы страхового риск-менедокмепта.Препринт N6. М., АФЦ, 2001.

21. Мельников A.B., Волкок C.H. , Нечаев М,Л. Математика финажовых обязательств. М., ГУ ВШЭ, 2001.

22. Теория вероятностей и ее применения. М., Наука, т. 39, вьш. 1, 1994.

23. Ширяев A.n., Вероятность. М., Паука, 1980.

24. Ширяев A.H., Основы стохастической финансовой математики.т."Факты, модели", т. 1,2. М., ФАЗИС, 1998.

25. Шоргин Я. Асимптотические оценки оптимальных страховых тарифов в условия,х вариации страховых сумм,. М., Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 4, вып. 1, 1997, 124-156.