Стохастические актуарные модели, учитывающие перестрахование тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Ярцева Дарья Андреевна

СТОХАСТИЧЕСКИЕ АКТУАРНЫЕ МОДЕЛИ, УЧИТЫВАЮЩИЕ ПЕРЕСТРАХОВАНИЕ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Механико-математический факультет

МОСКВА 2011

2 1 ДПР

4844183

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Булинская Екатерина Вадимовна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Королев Виктор Юрьевич

кандидат физико-математических наук Белкина Татьяна Андреевна

Ведущая организация Институт Проблем

Информатики РАН

Защита диссертации состоится «29» апреля 2011 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «29» марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Страхование является важной частью жизни современного общества. В 20-м веке изучение работы страховой компании дало большой толчок развитию современной теории вероятностей: в диссертации Лундберга1 впервые был рассмотрен пуассоновский процесс. Крамер был одним из тех ученых, которые стояли у истоков теории случайных процессов.

Основная задача страховой компании — обеспечение выплаты возмещений полисодержателям. Именно поэтому в первых работах по изучению деятельности страховых компаний ставился вопрос, сможет ли компания выплатить все поступившие требования, т.е. какова вероятность неразорения компании. Для вычисления вероятности разорения в модели Крамера-Лундберга применяется формула Поллачека-Хинчина-Беекмана2. В дискретном времени для составной биномиальной модели имеются рекурсивные формулы для вычисления вероятности разорения, предложенные Гербером3. В дальнейшем предметом изучения стали среднее время до разорения и величина долга компании в момент разорения. Эти величины исследовались как в моделях с непрерывным временем4, так и в моделях с дискретным временем5.

Еще одним важным аспектом работы страховой компании является возможность пользоваться услугами перестраховщика6 или для уменьшения вероятности разорения, или увеличения среднего времени до разорения, или для оптимизации какой-либо еще характеристики работы. Поиск оптимальных в разных смыслах стратегий перестрахования является важным направлением исследований на протяжении нескольких десятилетий и не потерял своей значимости до сих пор, ему посвящено множество работ, в частности, работы Эрроу7, Хиппа и

•F. Lundberg, Approximations of the Probability Function/Reinsurance of Collective Risks, doctoral thesis, 1903.

2B. Ю. Королев, В. E. Бенинг, С. Я. Шоргин, Математические основы теории риска, М.: Физико-математическая литература, 2007.

3Н. U. Gerber, Mathematical fun with compound binomial model, ASTIN Bulletin, 1988, Vol. 18(2), pp. 161-168.

4H. U. Gerber, E. S. W. Shiu, The joint distribution of the time of ruin, the surplus immediately before ruin, and the deficit at ruin, Insurance: Mathematics and Economics, 1997, Vol. 21(2), pp. 129-137.

SS. Li, J. Garrido, On the time value of ruin in the discrete time risk model,Working paper 02-18, Business Economics, University Carlos III of Madrid, 2002, pp. 1-28.

®E. В. Булинская, Теория риска и перестрахование, М.: Мейлор, 2009.

ТК. J. Arrow, Essays in the Theory of Risk Bearing, Chicago: Wiley, 1971.

Вогта8, Белкиной и Матвеевой9, Голубина10. В диссертации исследуется вопрос нахождения стратегий перестрахования, минимизирующих средние издержки.

В 1957 году де Финетти11 предложил обратить внимание на то, что страховая компания является акционерным обществом и имеет также задачу выплачивать своим акционерам дивиденды. Как следствие, появилось много работ в этом направлении12,13,14. А именно, искались стратегии, максимизирующие средние дисконтированные дивиденды, полученные до разорения. В большинстве случаев оптимальными оказываются барьерные стратегии выплаты дивидендов, а модели, учитывающие выплату дивидендов становятся новым объектом исследований. Работа Лина и соавторов15 посвящена изучению среднего времени до разорения и величины долга компании в момент разорения в классической модели Крамера-Лундберга с барьерной стратегией выплаты дивидендов.

Де Финетти показал, что при использовании барьерной стратегии выплаты дивидендов компания неминуемо разоряется. Поэтому в 2004 году Диксоном и Уотерсом16 была предложена модификация таких моделей, позволяющая продолжать работу бесконечное время. В ней предполагается, что в момент, когда капитал компании становится отрицательным, акционеры выплачивают долги клиентам и доводят капитал до некоторого положительного уровня. В такой модификации

8С. Hipp, М. Vogt, Optimal Dynamical XL Reinsurance, ASTIN Bulletin, 2003, Vol. 33, pp. 193-207.

9T. А. Белкина, M. В. Матвеева, Об оптимальных стратегиях перестрахования в моделях с диффузной аппроксимацией процесса риска. В сб. "Инновационная система государства и перспективы ее развития". Гомель: ЦИИР, 2010. с. 43-54.

10А. Ю. Голубин, Оптимизация дележа риска в статической модели с перестрахованием, Автоматика и телемеханика, 2009, №8, с. 133-143.

llB. de Finetti, Su ип' impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio, 1957, Transactions of the XVth International Congress of Actuaries 2, pp. 433-443.

nH. Biihlman, Mathematical methods in risk theory, Springer-Verlag. Heidelberg. 1970.

13 M. Жанблан-Пике, A. H. Ширяев, Оптимизация потока дивидендов, УМН, 1995, 50:2(302), с. 25-46

UH. Albrecher, S. Thonhauser, Optimality results for dividend problems in insurance, RACSAM Revista de la Real Academia de Ciencias; Serie A, Matematicas, 2009, 103(2), pp. 295-320.

ISX. S. Lin, G. E. Willmot, S. Drekic. The Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier: Analysis of the Gerber-Shiu Discounted Penalty Function, Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33(3), pp. 551-566

1SD. С. M. Dickson, H. R. Waters, Some Optimal Dividends Problems, Astin Bulletin, 2004, Vol. 34(1), pp. 49-74.

новым объектом для исследования становится доход акционеров.

Большинство рассматриваемых моделей относилось к случаю непрерывного времени. Однако на практике расчеты чаще всего производятся методом дискретизации (метод дискретизации классической модели Крамера-Лундберга был предложен Диксоном и Уотерсом17). Кроме того, выплата дивидендов и заключение договоров перестрахования производятся обычно в конце финансового года. Именно поэтому проводимое в диссертации исследование моделей работы компании в дискретном времени является актуальным.

Цель работы

Целью работы является исследование математических моделей работы страховой компании с выплатой дивидендов и перестрахованием.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены оценки различных количественных показателей качества работы страховой компании в дискретном времени для случаев дискретного и непрерывного распределения страховых выплат.

2. Для моделей, в которых деятельность компании рассматривается на некотором ограниченном временном промежутке, доказано существование стратегий пропорционального и непропорционального перестрахования, минимизирующих средние издержки.

3. Доказана устойчивость моделей к изменению распределения страховых выплат.

4. В модели, модифицированной по Диксону-Уотерсу, установлены условия существования предельного распределения капитала компании и найден вид этого распределения.

Методы исследования

Методика исследования основана на общих методах теории вероятностей, линейной алгебры, динамического программирования и функционального анализа.

17D.C. M. Dickson, H.R. Waters, Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, Vol. 21(2), pp. 199-221.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут представлять интерес для специалистов в области страховой математики как при теоретических исследованиях, так и на практике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (2010г., руководитель семинара и заведующий кафедрой - член-корреспондент РАН А.Н.Ширяев), на спецсеминаре "Проблемы теории запасов и страхования" кафедры теории вероятностей мехмата МГУ (2007-2010гг., руководитель - профессор, д.ф.-м.н. Е.В. Булин-ская), на спецсеминаре "Теория риска и смежные вопросы" кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ (заведующий кафедрой - академик РАН Ю.В. Прохоров) под руководством д.ф.-м.н. проф. В.Е. Бенинга и д.ф.-м.н. проф. В.Ю. Королева (2010 г.), на семинаре "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании" ЦЭМИ РАН под руководством д.ф.-м.н. Э.Л. Пресмана и к.ф.-м.н. В.И. Аркина (2010 г.), на XVII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2010" (МГУ, Москва, 12-15 апреля 2010 г.), на 6-м Международном семинаре по моделированию (Санкт-Петербург, 24 июня - 4 июля 2009 г.), на Международной конференции по методам стохастического моделирования и анализа данных в г. Ханья (Греция, 8-11 июня 2010 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ, из них 2 в журналах перечня ВАК, список работ приведен в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем диссертации составляет 97 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 рассматриваются две модели работы страховой компании в дискретном времени. Предполагается, что компания использует барьерную стратегию выплаты дивидендов, состоящую в том, что

при превышении текущим капиталом компании некоторого уровня Ь, называемого барьером выплаты дивидендов, весь излишек капитала немедленно выплачивается в качестве дивидендов и капитал компании становится равным Ь.

В первом параграфе рассматривается модель, в которой распределение выплат и капитал компании дискретны. Пусть — капитал компании в момент г, тогда капитал компании в момент г + 1 есть

= тт(51 + с - 6+1,6),

где с — приход премий в единицу времени, 6, с б К, а выплаты 6 — неотрицательные независимые одинаково распределенные случайные величины, р( = Р(6 = £), £ = 0, к, и с < к < Ь. Начальный капитал ¿>о = х. Момент разорения

г = тт{г : 5; < 0}. Дивиденды, полученные в (г+ 1)-й год, задаются равенством

¿,+1 = + с - 6+1 - Ь)+, где (/(х))+ = тах(/(х),0).

Нас интересуют ь'х — средние дисконтированные дивиденды, полученные до момента разорения, при условии, что начальный капитал равнялся х, х = 0, Ь, т.е.

т

VI = Ех

¿=1

где 0 < а < 1 — коэффициент дисконтирования.

Величины ьх удовлетворяют системе линейных уравнений, имеющей решение при а < 1, которое в общем случае можно найти лишь численно, поэтому возникает вопрос поиска оценок ьх как функций от распределения случайных величин 6-

Теорема 1.1 Среди всех распределений случайных величин

таких, что Щ Р& = I) > ЕЙ И « £1с+1 = 0 > £?=«+1Й. максимальное значение дивидендов достигается на распределении случайной величины ¡;™ах, для которой Р((,Т"Х = 0) = Е;=оР1 и Р^Г"* = с + 1) = Е?=с+1Р<- Минимальное значение дивидендов задается распределением случайной величины для которой Р{£ГЫ = с - 1) = д « Р{(.ГЫ = к) = ЕысП-

Для случая двуточечных распределений требований, т.е. при ро = р и рк = 1 —р, можно рассмотреть средние дисконтированные дивиденды как функции р и построить линейные оценки ьх(р).

Теорема 1.4 Для всех 0 < р < 1 имеют место неравенства тах(0, (р- 1)П + рх(1)) < юх{р) < тш(с(1 - а)~1р, (р - 1)с1 + ьх(1)), где Б = тах(к1)1=о^ и (1 = тт(лсх)х=5^, а кх = «х(1)(1 - а)"1 и

-1

кх = 1^(1) при 0 < х < к-с, икх = кх = (г>х(1) —аг;1_(^_с)(1))(1 —а) при к — с < х < Ь.

В модификации Диксона-Уотерса предполагается, что в случае разорения компании акционеры покрывают убытки из средств, ранее выплаченных в качестве дивидендов, и возвращают капитал компании на некоторый уровень ха. Капитал компании в момент г 4-1 при таких условиях есть

5- = + если 5; + с - £¡+1 > О,

1+1 1 х0, если Si + c- < 0.

Пусть 1 — изменение баланса акционеров в (г + 1)-й год (полученные дивиденды или выплаченные убытки), задающееся следующим образом

+ с - - 6, если ^ + с - > 6, + с - - ж0, если + с - < 0, 0, если 6 > + с - &+1 > 0.

Рассмотрим Ь]х — дисконтированную прибыль акционеров при начальном капитале ж, ж = 0, Ь, т.е.

оо

■Шх = Ех а'г>-¡=1

Как и в случай средних дисконтированных дивидендов, средняя дисконтированная прибыль удовлетворяет системе линейных уравнений, имеющей решение, которое можно найти лишь численно. Поэтому ищутся оценки средней дисконтированной прибыли, которые можно получить аналитически.

Теорема 1.2 Для -шх справедливы неравенства х + а(1- о)"1Е(с - - Ь < ых < х + а(1 - а)_1Е(с - &).

В случае двуточечных распределений выплат справедлива Теорема 1.6 Для всех 0 < р < 1

Т)р2 + (ТБХ - ~5)р + шх(0) < и>х(р) < др2 + {Шх - 2)р + и>*(0),

где D = max(Ax)x=ô$,d = min(AJ)I=ô^, wx = wx(l) - wx(Q), a Xx

вычисляются следующим образом:

\x = a(wx+c — wx0)(1 — q)-1 при 0 < x < к — с,

Ax = a(wx+c - wx-(k-c))(l - a)-1 при к-с < x < b - с,

Xx = a(Wb - wJx-(fc_c))(l - а)-1 при b - с < x < b.

Во втором параграфе первой главы исследуется модифицированная модель, в которой распределение выплат абсолютно непрерывно и имеет плотность Р((-). Также добавляется возможность перестрахования: страховая компания может отдать долю рисков tq(x) в перестрахование, 0 < tq(x) < 1 — е. Дополнительно предполагается, что обязательства по выплате дополнительных средств перестраховщику характеризуются коэффициентом в 6 (—1,1). В этом случае капитал компании при i > 0 эволюционирует по закону

Si+i = minis + с(1 - t,(S,)) - cetq{Si) - - t,{Si)), b\.

Определение момента разорения остается прежним. Средние дисконтированные убытки 1(х) = Е(—qt5t|So = х). Средние дисконтированные дивиденды, полученные до разорения, при начальном капитале So = х есть

т

«(i) = Е, £ ¿(Si + с(1 - tq(Si)) - cÔtq{Si) - i(l - tq(Si)) - Ь)+.

¡=0

Выведены интегральные уравнения для отыскания средних дисконтированных убытков и средних дисконтированных дивидендов, полученных до разорения, и доказано существование решений этих уравнений. Предложен метод нахождения оценок решений таких уравнений и получены оценки средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков.

Утверждение 1.5 Имеет место неравенство

f (b) ff'M

- a-гш , x , / Pi(y)dy + fv{x),

где h(x) = I+C(1"'i(:y(l)'6.

fv(x) = al0Ml)(x + c(l-tq(x){l + e))-y(l-tq(x))-b)Pt(y)dtj при fi(x) > 0 и fv(x) = 0 при fi(x) < 0.

Также получены оценки среднего времени до разорения. Если ставить задачу нахождения стратегии перестрахования, максимизирующей среднее время до разорения, то такая стратегия может быть найдена среди стратегий вида tq(x) = const при ограничениях, указанных

в следующем утверждении.

Утверждение 1.7 Если pç.{y) = А на отрезке [О, Л-1], причем Л-1 > (Ь+с£—св( 1—а соотношение параметров Ь, сив таково, что Ь + св < О, то оптимальная стратегия перестрахования имеет следующий вид: tq(x) — 1 — е.

Более подробно вопрос существования оптимальных стратегий перестрахования исследуется во второй главе. Предполагается, однако, что в случае, если капитала компании не хватает для покрытия всех требований, то компания берет банковский кредит под процентную ставку ß, и ставится задача минимизации средней платы за пользование кредитом. Рассматривается конечный временной горизонт п лет.

В первом параграфе рассматривается модель с динамикой капитала, задаваемой соотношением

= min[5j_i + с - сгр+1(й_!)(1 + в) - (1 - iJ-'-^Si-Otè, 6],

где Ь,с,в и имеют тот же смысл, что и во втором параграфе первой главы, Sq — х, a доля t£~,+1(')i отдаваемая в перестрахование, зависит не только от капитала в конце предыдущего года, но и от оставшегося до момента п числа шагов. Минимальная средняя плата за пользование кредитами в течение п лет есть

п

<fn(x) = min Ех ß(Si(Si-i>tq~i+1(Si-i)))~, .....;=i

где S~ = -min(S, 0). Издержки за 1 год есть K(x,t4) = ß(Si(x,tq))~.

Теорема 2.1 Минимальные средние издержки, возникшие за один год, задаются равенством

¥>i(x) = Е K{x,tq{x)),

где tq(x) — оптимальная квота, подсчитываемая следующим образом:

если х > св или EÇj > с(1 + в), то tq(x) = 1 - с, если св > х > св( 1 - е) — ее и E£i < с(1 + в), то tq(x) = mm[max(i*(a:),0), 1 — е],

еслисв(1— е)-£с >х> -си E£i < с(1+в), motq(x) = max(i*(a;), 0), если х < -с и EÇi < с(1 + в), то tq(x) = 0, где t*(x) — это решение уравнения

г+оо

/ (2 - С(1 + e))Pi{z)dz = 0,

g(g = , + c-t,(l + *)c (2)

При n >2 справедлива следующая георема.

Теорема 2.2 Пусть p$(z) е С[0, оо), 0) = 0 и Ре(г) > 0 при z > 0, тогда для любого п > 1 функция <рп(х) G Z?2(-oo, 6j, (pjj(i) < 0, VÜfa) > 0, a оптимальное перестрахование í?(x) на первом шаге п-шагового процесса находится следующим образом. Если с( 1 + в) ~ Е£х < 0, то tnq{x) = 1 - е. Если с(1 + в) - EÇi > 0, то t^(x) = 0 при ci(x) > 0, tq(x) = 1 — £ при С2(х) < О,

где лос

Cl(i) = -р / (z — е(1 + e))p¿z)dz+

Jx+C

roo

+ / vCjOt + с - z)Pi(z){z - c(l + в)) dz,

Jx+c-b

fOO

c2(x) = -¡5 (z-c{l + 0))Pí(z)dz+ Jy( 1-е)

roo

+ / <p'n_1(x+£c-(l-£)ce-ez)pi(z){z-c(l + e))dz.

jy(l-e)-í

Для остальных х оптимальная квота 7^{x) — это единственный корень уравнения hn(x,tq) = 0. Функция hn(x,tq) задается следующим образом.

Если tg > {х + с)(с(1 + в))'1, то

hn(x,tq) = /3( c(i + 0)-Efc)+ /•+00

+ / v'„-l((l - t4)(y(tq) - z))(2 - c(l + 6))p¿z)dz. J 0

Если {x + c- Ь)(с(1 + 0))_1 <tq<{x + c)(c(l + 6»))_1, то

Л+00

hn{x, tq) = -/3 / (z - C(1 + 9))Pi{z)dz+ hit,) r+ oo

+ / vCi((l - *,)(»(«,) - *))(* - c(l + <?))Pí(2)ífe.

vo

Если tq < {х + с — b)(c(l + 0))"1, то

г+ао

hn(x, tq) = ~ß \ (z - C(1 + (z)dz+ Jy(t,)

r+co

+ / - t4){v(t4) - z))(z - c(l + e))pt{z)dz.

Функция y(tq), как и прежде, задается равенством (2).

Во втором параграфе рассматривается следующая модель, использующая непропорциональное перестрахование. Пусть х — начальный капитал компании, с — премии, полученные за один год, положительное число R — уровень собственного удержания, р — 1 — страховая нагрузка перестраховщика, р > 1. Выплаты задаются последовательностью неотрицательных независимых одинаково распределенных случайных величин г > 1, имеющих плотность ?>((z) и F(z) = /2°°pz(y)dy, причем р^(г) > 0 при г > 0.

Предполагается, что компания работает п лет, уровень собственного удержания зависит от капитала в конце предыдущего года и времени до конца работы, а капитал компании эволюционирует по закону

где а(х, R) = х + с - ¿>E(£i - R)+. Минимальная средняя плата за пользование кредитами в течение п лет есть

= Ех Д"-^1^-!)))-.

Теорема 2.3 Оптимальная стратегия перестрахования R(x) и минимальная средняя плата банку за 1 год следующие. Если х > х*, то R(x) = R' и y>i(x) = 0. Если х* > х > х, то R(x) = R1(x) и <pi(x) — ß/д. ^ F(y)dy. Если х > х > -с, то R(x) = оо и <Р\{х) = ß J™cF(y)dy. Если —с > х, то R(x) = оо и ipi(x) = /3(E?i — х — с). При этом R* — это_корень уравнения 1 — pF(R) = 0, х = R* — с, х* = R* + pJ^F(y)dy — с, а R1(x) задается соотношением a(x,R1(x)) = R\

При п > 2 верна следующая теорема.

Теорема 2.4 При х > пх* оптимальная стратегия перестрахования на первом шаге п-шагового процесса Rn(x) = R*.

При п = 2 существует и единственное Х2 < 2х' — корень уравне-

г ОС

/3(1 - рЁ(хг + с)) + р + С - у)р^у) ¿у+ (5 = 0.

-/(12+С-1")+

При х < Х2 оптимальная стратегия перестрахования Я2(х) = оо. При Х2 < х < 2х* рассмотрим уравнение

/3(1 - рР{а(х, Д)))/{а(х,л)<л} + Р 4>[(а(х, Я) - у)р{(у) ¿у+

+ (р^(Я) - 1)^ (0(1, Л) - Л) = 0, (3)

Для каждого х возможны 2 случая:

либо уравнение (3), имеет единственный корень Я2(х), который и является оптимальным значением уровня собственного удержания, либо уравнение (3) не имеет корней, тогда оптимальное значение уровня собственного удержания Я2 (ж) — это корень уравнения а(х,В.2{х)) = й2{х).

Оптимальные стратегии на первом и втором шаге связаны следующим образом. На отрезке [а;*, 2х"} выполняется соотношение Я2(х) > Я*, а на отрезке [х,х"\ выполнено Я2(х) > Я}(х) при

ЛОО

Фоэ = р <РЖ~уЫУ)(1У + Р<0,

а при фсо > 0 имеют место неравенства

Я.1{х)<к2(х) прих>хш, Я.1{х)>В.2(х) прих<хы,

где хт1 — это корень уравнения Я1(ж"") = Яш(, а Я"1' — это корень

уравнения р Я* - у)р^(у) йу + (^(Я"") - 1)^(Я* - Я'"') = 0.

В первом параграфе третьей главы рассматривается вопрос устойчивости средних дисконтированных убытков и средних дисконтированных дивидендов к изменению распределения величин страховых выплат. Рассматривается модель из второго параграфа первой главы. Показано, что при небольшом изменении распределения величин страховых выплат дивиденды и убытки изменятся мало.

Утверждение 3.1 Пусть ^(.т) — средние дисконтированные дивиденды, полученные до разорения, при отсутствии перестрахования и при выплатах, имеющих распределение Р^-) и плотность распределения р,(-), » = 1,2. Тогда

. . . . .. ^ ас ( аЬ а2 \

^(х) - «2(1)1 < ^ + I+ J '

где ер,с = шахо<у<с|р1(г/) - Рг(у)|, = шахо<у<с - Рг{у)\.

Во втором параграфе изучается вопрос существования предельных распределений капитала компании в модификации Диксона-Уотерса, т.е. в модели, в которой капитал компании эволюционирует по закону (1) и случайные величины & имеют плотность рс(-). Верна следующая теорема.

Теорема 3.5 Последовательность случайных величин 5„ слабо сходится при п —» оо, если гь

max 0<х<ю

[ \Р{(У + с-х)~ pz(y + c)\dy<l Jo

max

xt)<x<b „

, [ pt(y + c-x)dy < 1. 'J 0

Предельная функция распределения F(x) имеет вид

F(x) = PbI{x >b) + PxaI{x > x0) + F(x),

где

F(x) = (1 - Px°){Ft{b + c-x)~ F£(6+ c)) + PIaF((xo + c-x)-

- Px°Fl(xo + c) + / F(z)(p{(z + с - x) -p((z + c))dz, Jo

pxо = (1 _ ръщц, + c) + Px«pi(x0 + c)+ [ F(y)pt(y + c) dy,

Jo

pb = 1 - p*° - F(b).

В случае, если компания использует, например, квотное пропорциональное перестрахование с долей отдаваемой в перестрахование, и премией с4, получаемой после выплаты премии перестраховщику, и капитал компании эволюционирует по закону

(Ь, если ^ + с»-(1-*,)&+! >6;

Бчп+1 = | ЗЦ + с' - (1 - если 0 < + с" - (1 - «,)?„+, < 6;

если + с5 - (1 - £,)£„+1 < О,

будет верна

Теорема 3.6 Последовательность случайных величин слабо

сходится при п —> оо, если

max

0<х<хо

и

max / (1 - g_1Pi((?/ + С - х)(1 - i,)-1) dy < 1.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Екатерине Вадимовне Булинской за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Ярцева Д. А. Верхние и нижние оценки дивидендов в дискретной модели, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009. № 5, с. 60-62.

[2] Ярцева Д. А. Предельное распределение капитала компании в модели с выплатой дивидендов, Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Том 17, выпуск 6, с. 830-838.

[3] Ярцева Д. А. Устойчивость некоторых актуарных моделей, Деп. в ВИНИТИ №668-В2010, 31 стр.

[4] Yartseva D. Optimal Reinsurance Strategies for Some Discrete Time Models, Proceedings of 6th St. Petersburg Workshop on Simulation, 2009, p. 73-78.

[5] Bulinskaya E., Yartseva D. Discrete Time Models with Dividends and Reinsurance, Book of Abstracts of Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference, Chania, Greece, 8-11 June 2010, p. 21.

Булинской E.B. принадлежит постановка задачи, остальные результаты принадлежат Ярцевой Д.А.

Подписано в печать: 26.03.11

Объем: 1,5усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 783 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение

Глава 1. Поиск и оценивание различных количественных показателей работы страховой компании в дискретном времени.

§1.1 Модель с дискретным капиталом.

1.1.1 Основные уравнения.

1.1.2 Верхние и нижние оценки.

§1.2 Модель с непрерывно распределенными требованиями.

1.2.1 Основные уравнения.

1.2.2 Нахождение оценок средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков.

1.2.3 Оценивание среднего времени до разорения.

1.2.4 Оптимальное перестрахование с точки зрения среднего времени до разорения

Глава 2. Оптимальное перестрахование в многошаговых моделях.

§2.1 Модель с пропорциональным перестрахованием и барьерной стратегией выплаты дивидендов.

2.1.1 Оптимальное перестрахование за один год.

2.1.2 Случай п ^ 2.

§2.2 Модель с непропорциональным перестрахованием.

2.2.1 Случай п = 1.

2.2.2 Случай п ^ 2.

Глава 3. Устойчивость моделей и предельные распределения капитала компа

§3.1 Устойчивость модели к изменению распределений выплат.

3.1.1 Устойчивость решений интегральных уравнений.

3.1.2 Устойчивость средних дисконтированных дивидендов.

3.1.3 Устойчивость средних дисконтированных убытков.

3.1.4 Устойчивость средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков при перестраховании.

§3.2 Предельные распределения капитала.

Страхование является важной частью жизни современного общества, практически каждый хоть раз в жизни обращался к услугам страховых компаний, чтобы оградить себя от возможных больших трат, связанных, например, с медицинским обслуживанием или порчей имущества. В ХХ-м веке изучение и моделирование работы страховой компании дало мощный толчок развитию современной теории вероятностей. В диссертации шведского актуария Лундберга [42], посвященной коллективной модели риска, был впервые рассмотрен пуассоновский процесс. Другой шведский актуарий, Крамер, стоял у истоков теории случайных процессов и математической статистики. В 1929 году, специально для Крамера в университете Стокгольма была создана кафедра актуарной математики и математической статистики. Работы Крамера были посвящены теории риска [22] и ее приложениям к страхованию [23], коллективной теории риска [24]. Полный список его публикаций и биографию можно найти в [16].

Основная задача страховой компании — обеспечение выплаты возмещений полисодержателям. Именно поэтому в первых работах по изучению работы страховых компаний ставился вопрос, сможет ли компания удовлетворить все поступившие требования, т.е. какова вероятность неразорения компании. В классической модели Крамера-Лундберга капитал [/(¿) страховой компании в момент £ задается равенством т и(Ь) ^и + сЬ-^Хи г=0 где Х{ — это размер г-го поступившего требования, и — начальный капитал, с — приход премий в единицу времени, М(£) — число требований, поступивших за время Предполагается, что все Х{, г = 1,2,., независимые случайные величины, с общей функцией распределения -Р(ж), такой, что -Р(О) = 0 и ЕХх = /1, а ЛГ(£) — пуассоновский процесс с интенсивностью Л, не зависящий от случайных величин

Случайная величина т = шф > 0 : и(Ь) < 0} (1) называется моментом разорения страховой компании. Если С/(¿) ^ 0 для любого £ > 0, то т = оо. Вероятностью разорения при начальном капитале и называется ф(и) = Р(г < оо|[/(0) = и). (2)

Верхнюю грань для вероятности разорения дает неравенство Лундберга. Также существует явная формула для вычисления вероятности разорения, это формула Поллачека-Хинчина-Беекмана (см. [8]).

Модель Крамера-Лундберга описывает работу страховой компании в случае непрерывного времени. В 1991 году Диксон и Уотерс [25] предложили метод дискретизации модели Крамера-Лундберга, обосновав возможность перехода к дискретному времени и дискретным распределениям выплат. При практическом моделировании работы страховой компании также часто прибегают к дискретизации моделей, поэтому изучение дискретных моделей имеет важное прикладное значение.

Гербер в 1988 году в работе [31] предложил рассматривать составную биномиальную модель в качестве дискретного аналога составной пуассоновской модели. В этой модели капитал компании в момент времени п есть п

Бп = и + пс — ^^ г=1 где — независимые одинаково распределенные неотрицательные целочисленные случайные величины, а момент разорения г и вероятность разорения 1р(и) задаются формулами, аналогичными (1) и (2), соответственно, с заменой 11({) на и £ на п. В этой же работе Гербер привел формулы для рекурсивного вычисления вероятности разорения, в дальнейшем эти результаты были обобщены и уточнены Михелем [43], Шиу [44], Виллмотом [47], Ченгом и соавторами [20], Диксоном и соавторами [26].

Дискретный аналог неравенства Крамера-Лундберга упоминается в книге Бауэрса и соавторов [18]. Ли и соавторы в работе [40] привели обзор основных результатов, полученных к 2009 году.

В данной диссертации во всех рассматриваемых моделях время дискретно. Поскольку практически любую постановку задачи для случая непрерывного времени можно перенести на случай дискретного и наоборот, то и далее будут упоминаться работы, в которых рассматривается классическая модель Крамера-Лундберга, но появляются новые идеи и проблемы.

В 1957 году де Финетти [29] предложил поставить в основу исследований другой аспект работы страховой компании, а именно то, что компания является коммерческой организацией и должна приносить прибыль своим владельцам или акционерам за счет выплаты дивидендов. Де Финетти исследовал простейшую дискретную модель, в которой капитал компании в течение одного года может изменяться на плюс или минус единицу, и доказал, что барьерная стратегия выплаты дивидендов будет оптимальна с точки зрения максимизации прибыли акционеров. Эта стратегия состоит в том, что при превышении текущим капиталом компании некоторого уровня Ь, называемого барьером выплаты дивидендов, весь излишек капитала немедленно выплачивается акционерам и капитал компании становится равным Ь. Позднее, идеи де Финетти были популяризованы и развиты Борхом в [17].

При таком подходе естественным образом возникает вопрос поиска оптимальных стратегий выплаты дивидендов, т.е. стратегий, при которых максимизируются средние дисконтированные дивиденды. Первые исследования были посвящены дважды дискретным моделям, в которых дискретны и время, и капитал компании. В этом случае капитал компании в момент п есть п п п = £о + ПС - Х{ ~ X) ¿=1 ¿=1 где выплаты Х{ — неотрицательные одинаково распределенные целочисленные случайные величины, а йп — дивиденды, выплаченные в момент п, начальный капитал

5о = х- Средние дисконтированные дивиденды равны т г=1 где а — коэффициент дисконтирования, индекс х у математического ожидания подчеркивает, что начальный капитал был равен х.

Бенинг и Ротарь в [11] показали, что в дискретном времени в большинстве случаев оптимальной стратегией выплаты дивидендов будет барьерная стратегия. Для случая непрерывного времени в модели с броуновским движением Жанблан-Пике и Ширяев [7] показали, что барьерная стратегия будет оптимальной. Поиском оптимальных значений барьера занимался Гербер с соавторами в [32], [34], [35].

Диксон и Уотерс в 2004 году [27] предложили несколько модификаций моделей с выплатой дивидендов. Причиной для введения модификаций послужил тот факт, что при использовании барьерной стратегии компания неминуемо разоряется. Диксон и Уотерс предположили, что в случае разорения акционеры должны участвовать в возмещении убытков компании. Акционеры также могут вернуть капитал компании на некоторый положительный уровень и компания продолжит работу. В этом случае возникает вопрос о размере прибыли акционеров (доходы минус участие в убытках компании). Куленко и Шмидли в [38] показали, что в классической модели Крамера-Лундберга с выплатой дивидендов и возмещением убытков акционерами оптимальной стратегией выплаты дивидендов также будет барьерная стратегия.

В классических моделях помимо вероятности разорения также изучались среднее время до разорения и величина убытков компании в случае разорения. Гербер и Шиу в [33] рассматривали дисконтированные убытки в классической модели Крамера-Лундберга, Ли и Гарридо [39] проводили анализ для составной биномиальной модели. Поскольку в моделях с барьерной стратегией выплаты дивидендов вероятность разорения равна единице, то в этих моделях представляется особо важным исследование среднего времени до разорения и величины убытков. Модели с выплатой дивидендов в непрерывном времени изучали Лин и соавторы [41], а также Жоу [48].

Еще одним важным аспектом работы компании является возможность пользоваться услугами перестраховщика либо для уменьшения вероятности разорения, либо для увеличения среднего времени до разорения, либо для оптимизации какой-либо еще характеристики работы компании (см. [3]). Существуют разные механизмы перестрахования, основные два класса — это пропорциональное и непропорциональное перестрахования. Далее в диссертации речь будет вестись о квотном перестраховании, как представителе пропорционального класса, и о договоре эксцедента убытка, как представителе непропорционального класса.

При квотном перестраховании страховая компания отдает долю рисков £ [0,1] перестраховщику. Точно такая же доля премий отдается в качестве платы за услуги. Тем самым, при поступлении требований размера X страховщик выплачивает лишь (1 — однако и размер премий, которые получает страховщик теперь равен (1 — ¿9)с (при ранее получаемых премиях с). Также в рамках договора о перестраховании могут возникать дополнительные обязательства страховщика по отношению к перестраховщику или наоборот, которые характеризуются числом в £ (—1,1) и равны Ьдвс. Если 9 > 0, то дополнительные деньги получает перестраховщик, если в < 0, то дополнительные средства получает страховщик.

При использовании договора эксцедента убытка задается число Я — уровень собственного удержания. При поступлении требования размера X страховщик выплачивает величину тт(Х,В), а перестраховщик — величину тах(0,Х — Я). Премии, отдаваемые в перестрахование, в этом случае равны /?Етах(0, X — Я), где р — 1 — страховая нагрузка перестраховщика, р > 1.

Поиску оптимальных в различных смыслах стратегий перестрахования посвящено множество работ, среди которых работы Эрроу [14], Белкиной и Матвеевой [2], Го-лубина [5], [6], Хиппа и Вогта [36], Хойгаарда и Таксара [37], Шмидли [45]. Рассматривались также модели, в которых производятся дополнительные денежные вливания в случае нехватки капитала компании для возмещения требований, т.е. фактически аналог модификации Диксона-Уотерса. В этом случае ставится задача минимизации этих денежных вливаний. Для модели Крамера-Лундберга задача поиска оптимальной стратегии перестрахования рассматривалась Эйзенберг и Шмидли в [28].

Стоит также отметить, что договоры перестрахования, как правило, заключаются в определенные фиксированные моменты времени, например в конце финансового года, поэтому для описания работы компании, пользующейся услугами перестраховщика, вполне логично использовать модели с дискретным временем.

Краткое содержание диссертации.

В главе 1 рассматриваются две модели работы страховой компании, использующей барьерную стратегию выплаты дивидендов. В первом параграфе рассматривается модель, в которой распределение выплат и капитал компании дискретны. Изучаются средние дисконтированные дивиденды, полученные до момента разорения. Эти величины удовлетворяют системе линейных уравнений, имеющей единственное решение в предположениях модели, которое в общем случае можно найти лишь численно, поэтому возникает вопрос поиска его оценок. Теорема 1.1 указывает двухточечные распределения выплат, при которых дивиденды будут принимать минимальное или максимальное значения. Для случая двухточечных распределений требований, можно рассматривать средние дисконтированные дивиденды как функции от вероятности принять одно из значений и построить линейные оценки дивидендов, приведенные в теореме 1.4.

В модели, модифицированной по Диксону-Уотерсу, изучается дисконтированная прибыль акционеров (дивиденды минус убытки). Как и в случае средних дисконтированных дивидендов, средняя дисконтированная прибыль удовлетворяет системе линейных уравнений, имеющей решение, которое можно найти лишь численно. Поэтому ищутся оценки средней дисконтированной прибыли, которые можно получить аналитически. В теореме 1.2 предъявлены оценки для произвольных распределений выплат. В случае двухточечных распределений выплат линейные оценки прибыли приведены в теореме 1.5, квадратичные — в теореме 1.6.

Во втором параграфе первой главы исследуется модифицированная модель, в которой распределение выплат абсолютно непрерывно. Также добавляется возможность использовать квотное перестрахование. Показано, что средние дисконтированные дивиденды и средние дисконтированные убытки удовлетворяют интегральным уравнениям и доказано существование решения этих уравнений.

Предложен метод нахождения оценок решений таких уравнений и получены оценки средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков. Также получены оценки среднего времени до разорения. Затронута задача нахождения стратегии перестрахования, максимизирующей среднее время до разорения, в утверждении 1.7 приведены условия, при которых такая стратегия может быть найдена среди стратегий с постоянной квотой.

Более подробно вопрос существования оптимальных стратегий перестрахования исследуется во второй главе. Предполагается, однако, что в случае, если капитала компании не хватает для покрытия всех требований, то компания берет банковский кредит, и ставится задача минимизации средней платы за пользование кредитом в течение п лет.

В первом параграфе рассматривается модель с пропорциональным перестрахованием. При п = 1 оптимальное перестрахование ищется при помощи теоремы 2.1, при ть ^ 2 — при помощи теоремы 2.2, в которой также установлены некоторые свойства средних издержек.

Во втором параграфе рассматривается модель, в которой используется непропорциональное перестрахование. Оптимальное перестрахование находится при помощи теоремы 2.3 и теоремы 2.4.

В первом параграфе третьей главы рассматривается вопрос устойчивости средних дисконтированных убытков и средних дисконтированных дивидендов к изменению распределения величин страховых выплат. Рассматривается модель из второго параграфа первой главы. Показано, что при небольшом изменении распределения величин страховых выплат дивиденды и убытки изменятся мало.

Во втором параграфе изучается вопрос существования предельных распределений капитала компании в модификации Диксона-Уотерса. В теореме 3.5 приведены условия при которых будет существовать предельное распределение капитала компании и указан вид этого предельного распределения.

1. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы, М., 1987.

2. Т. А. Белкина, М. В. Матвеева. Об оптимальных стратегиях перестрахования в моделях с диффузной аппроксимацией процесса риска. В сб. "Инновационная система государства и перспективы ее развития". Гомель: ЦИИР, 2010. с. 43-54.

3. Е. В. Булинская. Теория риска и перестрахование, М.: Мейлор, 2009.

4. О. П. Виноградов. Об одном элементарном методе получения оценок вероятности разорения, Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, 5(1), 134-139.

5. А. Ю. Голубин. Оптимизация франшизы в статической модели страхования Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, 10(2), 287-302.

6. А. Ю. Голубин. Оптимизация дележа риска в статической модели с перестрахованием, Автоматика и телемеханика, 2009, 8, 133-143.

7. М. Жанблан-Пике, А. Н. Ширяев. Оптимизация потока дивидендов, УМН, 1995, 50:2(302) , 25-46.

8. В.Ю. Королев, В.Е. Бенинг, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска, М.: Физико-математическая литература, 2007.

9. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, 7-е изд. М.: Физико-математическая литература, 2006.

10. А. Б. Пиуновский. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями, М., 1996.

11. В.И. Ротарь, В.Е. Бенинг. Введение в математическую теорию страхования, Обозрение прикладной и промышленной математики,1994, 1(5), 699-779.

12. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 1. — М.: Мир, 1984.

13. Н. Albrecher and S. Thonhauser. Optimality results for dividend problems in insurance, RACSAM Revista de la Real Academia de Ciencias; Serie A, Matematicas, 2009,103(2), 295-320.

14. K.J. Arrow. Essays in the Theory of Risk Bearing, Chicago: Wiley, 1971.

15. B. Avanzi. Strategies for dividend distribution: A review, North American Actuarial Journal, 2009, 13, 217-251.

16. G. Blom. Harald Cramer, 1893-1985, The Annals of Statistics, 1987, 15 (4): 1335-1350.

17. К. H. Borch. The Mathematical Theory of Insurance, Cambridge, MA: Lexington Books, 1974.

18. N. L. Bowers, H. U. Gerber, J.C.Hickman, D.A.Jones and C. J.Nesbitt. Actuarial Mathematics, 1997, Society of Actuaries, Schaumburg.

19. H. Biihlman. Mathematical methods in risk theory, Springer-Verlag. Heidelberg. 1970.

20. S. Cheng, H.U. Gerber, E. S.W. Shiu. Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model, Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 26, 239-250.

21. M.M. Claramunt, M. Marmol у A. Alegre. Expected present value of dividends with a constant barrier in the discrete time model, Sixth International Congress on Insurance: Mathematics and Economics, ISEG Technical University of Lisbon.

22. H. Cramer. On the mathematical theory of risk, Forsakringsaktiebolaget Skandia 1855-1930, Stockholm, 1930, 2, 7-84.

23. H. Cramer. The theory of risk in its application to life insurance problems, Proceedings of Ninth International Congress Actuaries, 1931, 2, 380-394.

24. H. Cramer. Collective risk theory The Jubilee Volume of Skandia Insurance Company, Stockholm, 1955, 1-92.

25. D. С. M. Dickson, H. R. Waters. Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, 21(2), 199-221.

26. D.C.M. Dickson, A.D. Egidio dos Reis, H.R. Waters. Some Stable Algorithms in Ruin Theory and Their Applications, Astin Bulletin, 1995, 25(2), 153-175.

27. D. C. M. Dickson, H. R. Waters. Some Optimal Dividends Problems, Astin Bulletin, 2004, 34(1), 49-74.

28. J. Eisenberg, H. Schmidli. Minimising expected discounted capital injections by reinsurance in a classical risk model, Scandinavian Actuarial Journal, 2010. http: / / www.informaworld.com / smpp/content~db=all~content=a920027023

29. B. de Finetti. Su un' impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio, 1957, Transactions of the XVth International Congress of Actuaries 2, 433-443.

30. H. U. Gerber. An Introduction to Mathematical Risk Theory, SS Huebner Foundation. 1979.

31. H. U. Gerber. Mathematical fun with compound binomial model, ASTIN Bulletin 1988, 18(2), 161-168.

32. H.U. Gerber, E.S.W. Shiu. Optimal Dividends: Analysis with Brownian Motion North American Actuarial Journal, 2004, 8(1), 1-20.

33. H. U. Gerber, E, S. W. Shiu. The joint distribution of the time of ruin, the surplus immediately before ruin, and the deficit at ruin, Insurance: Mathematics and Economics, 1997, 21(2), 129-137.

34. H.U. Gerber, E.S.W. Shiu, N. Smith. Maximizing dividends without bankruptcy, ASTIN Bulletin, 2006, 36(1), 5-23.

35. H. U. Gerber, E. S. W. Shiu, H. Yang. An elementary approach to discrete models of dividend strategies, Insurance: Mathematics and Economics. 2010, 46(1), 109-116.

36. C. Hipp, M. Vogt. Optimal Dynamical XL Reinsurance, ASTIN Bulletin, 2003, 33(2), 193-207.

37. B. H0jgaard, M. Taksar. Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models with transaction costs, Insurance: Mathematics and Economics, 1998, 22(1), 41-51.

38. N. Kulenko, H. Schmidli. Optimal dividend strategies in a Cramer-Lundberg model with capital injections, Insurance: Mathematics and Economics, 2008, 43, 270-278.

39. S. Li, Y. Lu and J. Garrido. A review of discrete-time risk models, RACSAM Revista de la Real Academia de Ciencias; Serie A, Matematicas, 2009, 103(2), 321-337.

40. X. S. Lin, G.E. Willmot, S. Drekic. The Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier: Analysis of the Gerber-Shiu Discounted Penalty Function, Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33(3), 551-566.

41. F. Lundberg. Approximations of the Probability Function/Reinsurance of Collective Risks, doctoral thesis, 1903.

42. R. Michel. Representation of a time-discrete probability of evential ruin, Insurance: Mathemaics and Economics,1989, 8, 149-152.

43. E. Shiu. The probability of eventual ruin in the compound binomial model, Astin Bulletin, 1989, 19(2), 179-190.

44. H. Schmidli. On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance, The Annals of Applied Probability, 2002, 12, 890-907.

45. K.-H. Waldmann. On optimal dividend payments and related problems, Insurance: Mathematics and Economics, 1988, 7(4), 237-249.

46. G. E. Willmot. Ruin probabilities in the compound binomial model, Insurance: Mathematics and Economics, 1993, 12, 133-142.

47. X. Zhou. On a Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier, North American Actuarial Journal, 2005, 9(4), 95-108.

48. Д. А. Ярцева. Верхние и нижние оценки дивидендов в дискретной модели, Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009, 5, 60-62.

49. Д. А. Ярцева. Предельное распределение капитала компании в модели с выплатой дивидендов, Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, 17(6), 830-838.

50. Д. А. Ярцева. Устойчивость некоторых актуарных моделей Деп. в ВИНИТИ ДО668-В2010, 31 стр.

51. D. Yartseva. Optimal Reinsurance Strategies for Some Discrete Time Models, Proceedings of 6th St. Petersburg Workshop on Simulation, 2009, 73-78.

52. E. Bulinskaya, D. Yartseva. Discrete Time Models with Dividends and Reinsurance, Book of Abstracts of Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference, Chania, Greece, 8-11 June 2010, p. 21.