Принцип Ванга в математической теории страхования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

004612551

Ирхина Наталья Александровна

ПРИНЦИП ВАНГА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТРАХОВАНИЯ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА /

2010

1 1 НОЯ 2010

004612551

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

додент

Лебедев Алексей Викторович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Бенинг Владимир Евгеньевич

кандидат физико-математических наук Куликов Александр Владимирович

Ведущая организация Московский государственный институт

электроники и математики

Защита диссертации состоится «26» ноября 2010 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослал « 26 » октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тематика диссертации относится к математической теории страхования как важного раздела современной теории вероятностей и математической статистики. Одним из ключевых вопросов математической теории страхования является научно обоснованное построение принципов назначения страховых премий и изучение их свойств. С точки зрения теории вероятностей, страховые премии можно рассматривать как числовые характеристики случайных величин (рисков) и их распределений. Некоторые виды премий выражаются через более традиционные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.), а некоторые имеют иную структуру. Но все их можно рассматривать как функционалы Н на неотрицательных случайных величинах (называемых рисками), отображающие X н-» [0, оо). Поиск надежного принципа (метода, формулы, алгоритма) подсчета премии является предметом многочисленных актуарных исследований, однако вопрос о том, какой именно принцип предпочтителен, все еще не решен.

В диссертации исследуется так называемый принцип Ванга, введенный С.С.Вангом1 в 1996 году. Для расчета премии используется интеграл от некоторой неубывающей функции (называемой функцией искажения), берущейся от функции дожития (хвоста распределения риска). После ряда обобщений, сделанных как самим Вангом, так и его последователями, формула подсчета премии выглядит следующим образом:

/О поо

(g(Sx(t))-l)dt+ g(Sx(t))dt. (Wp) оо J О

Было установлено, что принцип Ванга является надежной мерой риска, обладая рядом важных практических свойств1'2,3,4. Необходимо отметить, что принципу Ванга в страховании соответствует очень важный класс когерентных мер риска в финансовой математике — WV@R (взвешенный F@i?)5. Однако формула Ванга подсчета премии достаточно громоздкая, а также требует знания всей функции распределения рассматриваемого риска, что не всегда доступно в реальных условиях. Поэтому важной задачей является определить, при каких условиях данный принцип эквивалентен более удобному в применении принципу подсчета премии, например, наиболее распространенному в страховой практике методу, основанному на двух первых моментах распределения. В качестве

1 "Wang S.S., Premium calculation by transforming the layer premium density, ASTIN BULLETIN 1996, Vol.2G, pp: 71-92.

2\Vang J.-L., A note on Christofides' conjecture regarding Wang's premium principle, ASTIN BULLETIN, 2000, Vol.30, №1, pp: 13-17.

aYoung V.R., Optimal insurance under Wang's premium principle, Insurance: Mathematics and Economics, 1999, Vol.25, pp: 109-122.

4Wu X.-Y., The natural sets of Wang's premium principle, ASTIN BULLETIN, 2001, Vol.31, №1, pp: 139-145.

5Cherny A.S., Weighted V@R and its properties, Finance and Stochastics, 2006, Vol.10, pp: 367-393.

такого принципа рассматривался традиционный принцип подсчета премии по среднеквадратическому отклонению или среднеквадратический принцип (SDp — Standard Déviation Premium principle):

TrfD(X) =EX + \VDX, Л > 0.

Понятие сводимости принципов для конкретной функции искажения было обобщено на классы функций, ряд работ был посвящен проблеме сводимости принципов для различных классов функций искажения, и сводимость была доказана для множества всех функций искажения2, множества ступенчатых функций, принимающих два значения: 0 и I2, множества сюръективных функций4, множества степенных функций4.

В диссертации получено три достаточных условия сводимости Wp к SDp, применимых как к классам функций, в определенном смысле приближающих "ступеньку", так и для многих классов вогнутых функций. Полученные условия представляют собой большой шаг вперед в плане универсальности, поскольку ранее сводимость доказывалась специфическими методами в каждом частном случае.

Далее в диссертации изучаются различия между принципом Ванга и средне-квадратическим принципом, а также преимущества первого для семейств распределений рисков с нулевым средним и единичной дисперсией. Риски из таких семейств нельзя различить и упорядочить с помощью среднеквадратического принципа, в то время как для принципа Ванга это оказывается возможным. Рассматриваются верхняя и нижняя грань премии Ванга, введено понятие чувствительности премии как их разности. Исследуется чувствительность премии и решается задача ее максимизации для семейств распределений Парето, Рассмотрен известный пример Янг®, опровергающий предположение Кристо-фидеса7, и проведено его более глубокое изучение, чем это делалось ранее. Методами вариационного исчисления найдена верхняя грань премии Ванга на семействе всех распределений с нулевым средним и единичной дисперсией.

Практический вывод из полученных результатов заключается в том, что принцип Ванга позволяет успешно различать и упорядочивать риски с близкими моментными характеристиками.

Также в диссертации изучается вопрос непрерывности премий Ванга относительно функций искажения и распределений рисков.

В теории вероятностей широко изучается вопрос о сходимости распределения центрированных и номированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин к стандартному нормальному распределению. Эта сходимость описывается центральной предельной теоремой и ее различными

6Young V.R., Discussion of Christofides conjecture regarding Wang 's premium principle, ASTIN BULLETIN, 1999, Vol.29, №2, pp: 191-195.

7 Christofides S., Pricing for risk in financiul transactions, Proceedings of the GISG/ ASTIN Joint Meeting in Glasgow, Scotland, October, 1998, pp: 62-109.

уточнениями. Она имеет большое практическое значение, в том числе, в страховании8. Поэтому представляет интерес сходимость премий Ванга от центрированных и нормированных сумм.

В диссертации при определенных условиях на случайную величину, а именно, конечности абсолютного момента порядка 2 + 5, 0 < б < 1 (что является существенным усилением результата по сравнению с более традиционным требованием конечности 3-го момента), а также на функцию искажения доказан ряд предельных теорем для премий Ванга в случаях обычных и пуас-соновских сумм, получены оценки скорости сходимости. Для доказательства теорем существенно использовались неравномерные оценки абсолютного отклонения распределения преобразованной суммы от стандартного нормального распределения8,3.

С точки зрения математической статистики, важной задачей является получение оценок премий по наблюдениям. В диссертации построена эмпирическая оценка премии Ванга:

i=i 4 '

и при определенных ограничениях на случайную величину и функцию искажения были доказаны теоремы о сходимости с вероятностью 1 и об асимптотической нормальности оценки. Полученные оценки относятся к классу так называемых L-оценок, изучавшихся, например, в работах10'11,12.

В случае масштабного семейства распределений с положительными премиями построен асимптотический доверительный интервал для премии Ванга.

, В диссертации изучается вопрос об экономии от совместного страхования рисков клиентом (названной Кристофидесом7 "synergy value"), возникающей в силу субаддитивности принципа Ванга в случае вогнутости функции искажения. Чтобы устранить эффект масштаба, рассматривается относительная экономия. Получен ряд общих свойств относительной экономии. Рассмотрены также примеры равномерного, показательного, нормального распределения рисков, распределений Лапласа и Бернулли, а также устойчивых распределений. В качестве функции искажения выбрана квадратичная функция (которая соответствует принципу Джини). Результаты приводят к выводу, что относительная экономия слабо чувствительна к типу распределения, и для ее оценки на практике можно использовать модельные распределения из числа перечисленных

8Королев В.Ю., Бенинг D.E., Шоргин С.Я., Математические основы теории риски, Физыатлит, 2007.

0Нефедова Ю.С., Шевцова И.Г., О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассонов-ских случайных сумм, Информатика и ее применения (в печати).

10 Jung J., On linear estimates defined by a continuous weight function, Arkiv for mathematik, 1955, 3, 15.

"Shao J., Mathematical statistics (Second edition), Springer, 2007.

12Opлов Д.В., О двух оценках одной меры риска, Теория вероятностей и ее применения, 2008, Том 53, №1, стр: 168-172.

выше. В случае независимых рисков получены функции относительной экономии и найдены их максимумы. Рассмотрен также случай зависимых рисков, с различными видами зависимости, в том числе на основе копул Фарли-Гумбеля-Моргенштерна, Спирмена и Рафтери13. В страховании копулы активно используются для агрегации рисков и моделирования капитала14,15.

Цель работы

Целью работы является исследование свойств принципа Ванга подсчета премии, являющегося надежной мерой риска.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят следующем:

1. Получено три достаточных условия сводимости принципа Ванга к средне-квадратическому принципу для различных классов функций искажения. Проведено обобщение на случай бесконечной дисперсии.

2. Описано поведение чувствительности премии Ванга и решена задача ее максимизации для семейств распределений Парето. Методами вариационного исчисления найдена верхняя грань премии Ванга для класса всех распределений с нулевым средним и единичной дисперсией.

3. Доказана непрерывность премий Ванга относительно функций искажения и распределений риска (в специальных метриках). Доказан ряд предельных теорем для премий Ванга в схеме суммирования для случаев классических и пуассоновских сумм, получены оценки скорости сходимости. Построена статистическая оценка премии Ванга, доказаны теоремы о ее строгой состоятельности и асимптотической нормальности.

4. Получен ряд общих свойств относительной экономии от совместного страхования рисков в случае назначения премии согласно принципу Ванга с вогнутой фукнцией искажения. Произведены оценки относительной экономии для различных распределений в случаях независимых рисков и зависимых рисков с различными видами зависимости, в том числе на основе копул Фарли-Гумбеля-Моргенштерна, Спирмена и Рафтери.

Методы исследования

В работе используются классические методы теории вероятностей и математической статистики, высшей алгебры, математического и функционального анализа, используется вариационное исчисление и метод копул.

I3Nelsen R.B., An Introduction to Copulas, Springer Series in Statistics, 2nd ed. 2006.

14fYees E.W., Valdez Б.А., Understanding Relations Using Copulas, North American Actuarial Journal, January 1998, Vol. 2, №1, pp. 1-25.

15Bisignani R.. Masala G., Micocci M., Economic Capital Management For Insurance Companies Using Conditional Value at Risk and a Copula Approach, Economía, Societae Istituzioni, 2006, Vol.18, ЖЗ.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты и методы диссертации могут быть полезными как с теоретической, так и с практической точек зрения, специалистам в области страховой и финансовой математики, актуариям.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством член-корр. РАН, проф. А.Н. Ширяева (7 октября 2009 г. и 15 сентября 2010 г.), на спецсеминаре "Теория риска и смежные вопросы" кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ (заведующий кафедрой -академик РАН Ю.В. Прохоров) под руководством д.ф.-м.н. проф. В.Е. Бенин-га и д.ф.-м.н. проф. В.Ю. Королева (3 марта 2010 г.), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 26-30 января 2006 г.), на XVI и XVII Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (МГУ, Москва, 13-18 апреля 2009 г. и 12-15 апреля 2010 г.), на XVI Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.), а также на Научной конференции "Тихоновские чтения" факультета ВМиК МГУ (29 сентября 2010 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 4 в журналах из перечня ВАК, список которых приведен в конце настоящего автореферата [1-7]. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 61 наименования. Общий объем диссертации составляет 137 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор по тематике работы, изложены цели исследования, а также перечислены основные полученные результаты с указанием использованных методов и подходов.

В главе 1 приводятся три достаточных условия сводимости принципа Ванга к среднеквадратическому принципу.

В параграфе 1 главы 1 даны основные определения.

Определение 1.1 Принцип подсчета премии по среднеквадратическому отклонению (Standard deviation premium principle):

irf{X) = EX + \VDX, (SDp)

где X — риск, Л > 0, 7t|d(X) — премия, назначаемая за риск X.

Определение 1.2 Принцип Ванга подсчета премии (Wang's premium principle):

/О reo

(g(Sx(t))-l)dt+ 9{Sx{t))dt, (Wp) 00 J 0

где Sx{t) = P(X > t) — функция дожития для риска X, g : [0,1] —> (0,1] — неубывающая функция искажения.

Определение 1.3 Если в принципе Ванга подсчета премии ограничиться случаем, когда д(х) = х1^, то получим принцип пропорционального изменения интенсивности (Proportional hazard premium principle):

/О yoo

(Sx(t)^~l)dt + Sx(t)^dt, (PHp)

oo JO

где p > 1 — так называемый индекс неприятия риска.

Дж.-JI. Ванг ввел понятие натурального множества как множества всех распределений, на котором Wp сводится к SDp для фиксированной функции искажения.

Определение 1.4 Пусть С-г — множество распределений, имеющих конечные среднее и дисперсию. Натуральным множеством для функции д в отношении распределения Fx 6 £2 случайной величины X называется:

N(X\-ir .Нд(Х)-ЕХ Hg{Y)~EY \

N°{x) ~ YY ■ vm ~ -~VW~'Fy e ■

Предполагается, что Нд[Х) конечно.

Определение 1.5 Натуральным множеством для класса функций искажения G называется Ng{X) = Предполагается, что в пересечение включаются только те функции д S G, для которых Нд{Х) конечно.

Результаты данной главы позволяют производить проверку, для каких классов функций искажения натуральные множества являются сдвигово-масштабными семействами. В таких случаях говорят о сводимости принципа Ванга к среднеквадратическому принципу для заданного класса функций искажения (или о эквивалентности принципов).

Первое достаточное условие сводимости сформулировано в параграфе 2 главы 1.

Теорема 1.2.1 Пусть Fx 6 С-г- Если в некотором классе функций А С Q для любых а, Ь, с, таких, что 0 < а < b < I, с > 0, найдется функция д, такая, что

ig(x)<cx, 0< х<а,

\$(®)>1-с(1-а;), b < х <1, U

то Na{X) является сдвигово-масштабным семейством.

С его помощью было проведено доказательство сводимости Wp к SDp для класса возрастающих ломаных (кусочно-линейных функций) из к звеньев (к > 3), класса, состоящего из склеек двух степенных функций, класса возрастающих многочленов, а также приведены контрпримеры. А именно, для некоторых классов функций искажения, не удовлетворяющих условию сводимости, построены примеры различных рисков (с нулевым средним и единичной дисперсией), для которых премии Ванга одинаковы при всех функциях искажения из данного класса.

К сожалению, первое достаточное условие имеет ограниченную сферу применимости. В параграфе 3 главы 1 предложено более общее достаточное условие, применимое, в том числе, к классам вогнутых функций (как изначально и предполагал Ванг1).

Теорема 1.3.1 Пусть Fx € С2. Если задан класс функций А С G и для любых а, Ь, с, таких, что 0<а<Ь<1, с>0, найдутся натуральное п, действительные Ai,...,An и функции gi, ...,gn е Л, такие, что функция g = А1З1 + ... + Лпдп принимает значения в отрезке [0, lj и верно:

(д(х) <сх, 0 < х < а,

> 1 -с(1 -х), Ъ<х<\, U

то Na(X) является сдвигово-масштабным семейством.

С помощью второго достаточного условия проводится доказательство сводимости Wp к SDp для класса возрастающих вогнутых ломаных из двух звеньев, класса многочленов вида 1 — (1—х)п, классов функций {хи {1 — (1— х)0"}, где 1 < ai < аг < — и = +00 и ДРУГИХ специальных классов функций

искажения (например, вида gr{x) = f{rx)/f(r), г е I С (0,+оо), где f(x) — аналитическая функция, обладающая определенными свойствами), в том числе, рассмотренных в работе Ванга1. В доказательствах используется известная теорема Мюнца.

В страховании могут наблюдаться распределения данных с конечными средними, но бесконечными дисперсиями, в частности, при изучении катастрофических рисков. Например, в работе Резника16 обсуждаются данные о страховых потерях от пожаров в Дании, где показатель степенного хвоста распределения а оказывается около 1,4. В параграфе 3 главы 1 диссертации рассказано о том, как можно обобщить результаты о сводимости на такие случаи, используя второе достаточное условие.

Предположим, что распределение Fx риска X не принадлежит £2, но можно подобрать такое р £ [1,2), что Fx € Ср (т.е. имеет конечный момент порядка р). По аналогии со среднеквадратическим отклонением определим среднее р-ическое отклонение:

а^(Х) = (Е|Х - ЕXY)lt?.

16Resnick S.I., Discussion of the Danish data on large fire insurance losses, ASTIN BULLETIN, 1997, Vol.27, №1, pp: 139-152.

Введем премии

тг^ = ЕХ + ЛоЧ Л > О, и соответственно обобщим определение натуральных множеств для Ср\

(р) _ Г Нд(Х)-ЕХ Нд(¥)-Е¥ \

- . ст(р)(х) - а(р)(Г) ' ^ е

для функции д в отношении распределения риска X и

для класса функций искажения С.

В данном случае также можно говорить о сводимости, когда являет-

ся сдвигово-масштабным семейством. Поэтому можно получить аналог теоремы 1.3.1.

Теорема 1.3.2 Пусть Ех € Ср. Если задан класс функций А С Я и для любых а, 6, с таких, что 0 < а < Ь < 1, с > 0, найдутся натуральное п, действительные Ах,..., Хп и функции д\, ...,дп 6 Л такие, что функция д — Х\дх + ... + Ап<?п принимает значения в отрезке [0,1] и верно:

)д(х) ^ сх> 0 < х < а,

1 д{х) > 1 - с(1 - х), Ь < х < 1,

то является сдвигово-масштабным семейством.

Второе достаточное условие хотя и является менее ограничительным, чем первое, однако неприменимо, например, к РНр. В параграфе 4 главы 1 предложено более общее достаточное условие сводимости принципа Ванга к средне-квадратическому принципу.

Теорема 1.4.1 Пусть Ех 6 £2• Если задан класс функций Л С 0 и для любых а, Ь, с, таких, что 0<а<Ь<1, с>0, найдутся натуральное п, действительные А1,...,А„ и функции д1,.-,дп € Л такие, что функция д = Ахс?1 + ... + Апдп принимает значения в отрезке [0,1] и для некоторых а,Р> 1/2 верно:

д{х)<сха, 0 < х < а, ,

д{х)>\-с{1~хУ, Ъ<х< 1, ,

то Nл{X) является сдвигово-масштабным семейством.

Отметим, что с помощью третьего достаточного условия удается доказать сводимость РНр к ББр без дополнительных ограничений на распределения, введенных Ву4, а именно, непрерывности функции дожития случайной величины и выпуклости ее носителя.

Глава 2 посвящена, главным образом, различиям между среднеквадратиче-ским принципом и принципом Ванга, а также преимуществам последнего.

В параграфе 1 главы 2 изложены определения и мотивация исследований.

При изучении различий между принципом Ванга и среднеквадратическим принципом естественно рассматривать характеристику

Нд{Х) - ЕХ

т.е. центрированную и нормированную премию. В случае, если для данной функции искажения эта характеристика остается постоянной (и равной, например, некоторому Л) на некотором семействе рисков, это означает, что на данном семействе рисков имеет место сводимость принципа Ванга к среднеквадратичен

скому, т.е. _

Нд(Х) = тгР(Л") = ЕХ 4- Ху/ВХ.

В случае же, если указанная характеристика принимает различные значения, сводимости нет. При этом представляет интерес разброс этих значений.

Заметим, что в силу сдвигово-масштабной инвариантности принципа Ванга

На(Х) - ЕХ _ (Х-ЕХ\ л/шг ~ 9 { УПХ ) '

т.е. вместо того, чтобы центрировать и нормировать премии для некоторого семейства рисков, мы можем сначала центрировать.и нормировать сами риски, а потом рассматривать премии для них.

Таким образом, возникает задача изучения премий Ванга на семействах рисков с нулевым средним и единичной дисперсией. Понятно, что с помощью сред-неквадратического принципа такие риски нельзя ни различить, ни упорядочить. А с помощью принципа Ванга это оказывается возможным. В качестве меры того, насколько хорошо это получается, предлагается использовать разность между верхней и нижней гранями премии Ванга с данной функцией искажения на данном семействе. Эта разность названа абсолютной чувствительностью премии.

Определение 2.1.1 Абсолютной чувствительностью премии Н{Х) для класса рисков (случайных величин) Я назовем разность:

г){к,н) = 5щ>н{х)-ытх). хея

Определение 2.1.3 Премию назовем биективной на классе рисков, если разным рискам из этого класса она ставит в соответствие разные значения.

Таким образом, если премия биективна, то все риски в классе можно различить и строго упорядочить (по величине премии).

В параграфе 2 главы 2 рассмотрены классы центрированных и нормированных рисков, распределенных по Парето: й(ах) = {Уа,а > ах}, где ах > 2,

т.е. _

где Ха<р — случайная величина, распределенная по Парето с параметрами (а, /?) (а > 2). Тогда ЕУ„ = 0, = 1 и по свойству инвариантности принципа Ванга относительно сдвигово-масштабных преобразований

^оо, р > а.

. /-7-*

р1 = а1- л/аЦо! - 2), = --

й! — 1

Данные точки будут критическими для индекса неприятия риска р в свете рас-смариваемой задачи.

Следующая теорема описывает поведение чувствительности. Теорема 2.2.1 Для класса рисков Я{а{) чувствительность РН-премии вычисляется по следующей формуле:

Обозначим

11{Р)

(Р- /*</>

РН-премия оказывается биективна при р > р^-

Задача максимизации чувствительности решена с помощью следствия 2.2.3.

Следствие 2.2.3 Пусть параметр р ограничен отрезком \рг,р2\ С (1,01). Если ах < а*, то максимум чувствительности достигается в точке рг вне зависимости от положения точки р\. Если ац > а*, то максимум чувствительности достигается в точке р2 при р2 < р или Р2 > р, в точке р при 1 < рх < р < р2 < р, в точке р\ при р < р\ < р% < р\. Если же р < Р\ < р\ < р2 < Р, то максимум чувствительности достигается либо в р\, либо в рг, в зависимости от того, где г)(р) больше.

В параграфе 3 главы 2 изучается пример Янг и его обобщения.

Еще в 1998 году при изучении принципа пропорционального изменения интенсивности Кристофидес предположил, что для любых параметрических семейств распределений с постоянной асимметрией РНр эквивалентен ББр7.

Определение 2.3.1 Асимметрия случайной величины X:

V/ЩхТъ

Янг удалось опровергнуть предположение Кристофидеса в общей его форме, предложив контрпример6: двустороннее показательное распределение (а,/?,ад),а,/? > 0,0 < го < 1. Функция дожития имеет следующий вид:

ад) = ,

гу+(1-ги)(1-е/?г), t < О, we~a\ t > 0.

Как показала Янг, если взять ai = a<i = Pi = 4, /?2 = 2,27466, tui = 0,9, = 0,1, 17(0:) = i/5, то у случайных величин ^ и Хг асимметрии равны: SkewXi = SkewX2 = 1,84166, однако

= 0,98684, ^^1^ = 1,02386,

v/ШТ

т.е. принцип Ванга и среднеквадратический принцип не эквивалентны.

В параграфе 3 главы 2 без ограничения общности было положено ¡3 = 1 — а и а 6 (0,1). Тогда все рассмотренные величины можно изучать в единичном квадрате (по ш и по а).

Были получены следующие результаты.

1. Нижняя грань премии по квадрату равна 0, а верхняя грань равна

^/(21п2-1)2Т2.

2. На линиях уровня асимметрии в отрезке от —2 до 2 предел премии на нижнем конце равен 2 In 2 — 1, на верхнем — 1.

3. На линиях уровня асимметрии, большей 2, предел премии на нижнем конце равен 2 In 2 — 1, а на верхнем — некоторому числу в интервале от 1 до л/2> которое можно найти численно по приведенным формулам для данного значения асимметрии.

4. На линиях уровня асимметрии, меньшей —2, предел премии на верхнем конце равен 1, а на нижнем — некоторому числу в интервале от 0 до 2 In 2—1, которое можно найти численно по приведенным формулам для данного значения асимметрии.

С учетом этого, можно оценить нижнюю и верхнюю грани премии на любой линии уровня. Понятно, что нижняя грань не больше наименьшего из предельных значений на концах, а верхняя грань — не меньше наибольшего из этих значений. Было бы хорошо, если бы значения премии на концах были экстремумами, но это не так: численное моделирование показывает, что максимумы могут достигаться не на концах линий, а внутри квадрата.

В общем случае, абсолютная чувствительность премии на подсемействах постоянной асимметрии составляет не менее 2 — 2 In 2 « 0,614, что приблизительно равно 42% от абсолютной чувствительности премии по всему семейству распределений, равной *У(21п2 — I)2 + 2 рз 1,466.

В параграфе 4 главы 2 рассмотрен класс случайных величин

CN = {X :EX = 0,DX = 1}

и получены следующие основные результаты.

Утверждение 2.4.1 При любой вогнутой функции искажения, имеющей производную в точке 1, нижняя граница премии Ванга по классу СИ равна нулю.

Теорема 2.4.1 Пусть функция искажения д возрастающая, вогнутая на [0,1], имеющая непрерывную производную на (0,1). Пусть С = (<?'(«) )2^и < оо. Тогда таххеся Нд(Х) = \/С — 1.

В главе 3 диссертации изучается вопрос непрерывности премий Ванга относительно функций искажения и распределений рисков.

В параграфе 1 главы 3 рассмотрена следующая метрика, определенная на множестве функций искажения (таких, что указанное выражение конечно):

Pq{9u92)= sup

0<Í<1

9i(t) ~ Ш

№

где q{t) > О, q{0) = ?(1) = 0. Обозначим Iq{X) = {Sx{t))dt.

Тогда имеет место следующая теорема о непрерывности премий Ванга относительно функций искажения.

Теорема 3.1.1 Рассмотрим класс функций дг{х), непрерывных в точке го в метрике ря, т.е. ря{дТ,дг0) —> 0, г —» го- Пусть 1д{Х) < оо. Тогда Hgr(X) —> ндгв{Х) при гг0.

В параграфе 2 главы 3 приводятся предельные теоремы для классических и пуассоновских сумм.

Пусть — н.о.р.с.в.: E£i = /í,D£i = ст2. Обозначим

Хп —

6 + ... + £„ - n/j.

crvn

Тогда Хп —> X, л —> оо, где X имеет стандартное нормальное распределение.

Теорема 3.2.1 Если £^1|2+|5 < оо, 0 < 8 < 1, функция искажения д вогнута и д'(0) < оо, то

Нд{ХП) - Нд(Х)

где

rB

2 + 6 \2+6

1

2 + 6J

В{а,Ь) — бета-функция, С(6) — абсолютная постоянная8.

Теорема 3.2.2 Если £|£1|2+<5 < со, 0 < д < 1, функция искажения д вогнута и д'{0) = оо, но д{х) < Аха, 1/(2 + 5) < а < 1, А > 0, то

Нд{Хп)-Нд{Х)

<

К2

па6/2'

где

М-Я f-L. _ J—\ (Ca№\b-ß\2+6

Рассмотрим

у- _ Sn=i ín ~ Ад Ал ' • -------

где ЛГ — с.в., имеющая распределение Пуассона с параметром А, не зависящая от £„, п > 1.

Теорема 3.2.3 Если 2?|£1|2+|5 < оо, 0 < 5 < 1, функция искажения д вогнута и д'{0) < оо, то

- Jsß' где

| Hg{Xk)-Hg{X) 2 / 1

Аз = •.Л' „в —i -

3 2 + 5 № + \2+7'* 2 + 6;'

К(6) — абсолютная постоянная9.

Теорема 3.2.4 Если < со, 0 < 3 < 1, функция искажения д вогну-

та ид'(0) = оо, но д(х) < Аха, 1/3 < а < 1, то

Нд(Хд) - Нд(Х)

где

2 АК(6)°( ( 1 1

К* = ТГГТ • -ТУГ—

2 4- <5 (М2 + ст2)(2+6)а/2 ^2 + 5' 2 +.6,

В параграфе 3 главы 3 предлагается некоторая эмпирическая оценка премии Ванга.

Доказаны следующие теоремы о состоятельности и асимптотической нормальности построенной оценки.

Теорема 3.3.1 Пусть Х\,...,Хп — случайная выборка из распределения ^ такого, что Е\Х\Т < оо для некоторого г > 0. Рассмотрим эмпирическую оценку премии Ванга:

п -f-f V п + 1 где Хщ — i-ая порядковая статистика. Предположим, что |5'(í)| < M{t{ 1 - 0 < t < 1

для некоторого 5 > 0, где д' непрерывна за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда

lim Hg[X)n = HS{X) с вероятностью 1,

71—*<Х>

Теорема 3.3.2 Пусть Х\, ...,Хп — случайная выборка из распределения Г, такого что Е\Х\Г < оо для некоторого г > 0. Рассмотрим эмпирическую оценку премии Ванга:

о2

п V п+1

где Хщ — г-ая порядковая статистика. Предположим, что д" существует и непрерывна на (0,1) и выполнено условие:

1/(4)1 < М(г{ 1 - ¿))-З/2+1/г+4 Q<t<l для некоторого 5 > 0. Тогда

уЪ{Нд{Х]п - Нд{Х)) Л N(0,а2),п оо, где

= [ [ {зМ-зЬ)д'{1-з)д'(1-1)<1Р-1{з)(1Р-1^). Jo ¿0

В следующей теореме строится асимптотический доверительный интервал для премии Ванга.

Теорема 3.3.3 Пусть Х\, ...,Хп — случайная выборка из распределения F из некоторого масштабного семейства, такого что ЩХ\Т < оо для некоторого г > 0, X = сХ0 (с > 0) и существуют конечные Н9[Хо) > 0 и о2(Хо). Предположим, что д" существует и непрерывна на (0,1) и выполнено условие:

1/(4)1 < М(*( 1 - $Г3/2+1/г+',0 < < < 1.

Тогда асимптотический доверительный интервал для премии Н9{Х) может быть построен следующим образом:

ТТ [VI Ня\Х]п оЩ .Я/у, .„[у, , НдЩп *[Х0)

где и7 определяется из соотношения Фо(и7) = т/2, Фо — функция стандартного нормального распределения.

Глава 4 посвящена проблеме совместного страхования рисков. В параграфе 1 главы 4 изложены определения и постановка задачи. Одним из важных свойств принципа Ванга является его суббад дитивность в случае вогнутости функции искажения. Проще говоря, премия от суммы случайных величин не больше суммы премий от каждой случайной величины. При этом равенство достигается только в случае комонотонности случайных величин, т.е. когда каждая выражается как непрерывная возрастающая функция от другой1. Интересно выяснить, несколько велика разность между правой и левой частями неравенства в остальных случаях. С практической точки зрения, эта

величина показывает, сколько может сэкономить клиент, имеющий два риска X я¥, если застрахует их вместе, а не по отдельности (при условиии, что страховая компания руководствуется принципом Ванга при назначении премий). Далее везде полагаем функцию искажения вогнутой.

Определение 4.2 Назовем величину:

(Нд(Х) + Нд(У))-Нд(Х + У) (Нд(Х)-ЕХ) + (Н3(У)-ЕУ)

относительной экономией (от совместного страхования рисков по сравнению с раздельным).

Предполагается, что распределения рисков X и У принадлежат некоторым сдвигово-масштабным семействам. Тогда легко заметить, что экономия не зависит от параметров сдвига. Более того, она не зависит и от самих параметров масштаба распределений X и У, а только от соотношения между ними. Поэтому целесообразным представляется следующая параметризация случайных величин: X = аХ0, У = (1 — а)Уо, где Хо, Уо имеют стандартные распределения (в своих семействах), а а пробегает значения от 0 до 1. Таким образом, интерес представляет исследование зависимости 5д(а) от параметра а:

(аНд(Хо) + (1 - а)Нд(У0)) - Нд(аХ0 + (1 - а)У„) з[а} а(Нд(Хо) - Е*0) + (1 - а)(Нд(У0) - ЕУ0) '

Здесь и далее будем предполагать, что ЕХо, ЕУЬ, Нд{Хо), Нд(Уо), Нд{Хо — Уо), Яа(Уо - Ха) конечны.

В параграфе 2 главы 4 получены общие свойства относительной экономии.

Теорема 4.2.1 Относительная экономия является непрерывной функцией, удовлетворяющей условию Гелъдера 1-й степени.

Теорема 4.2.2 В случае, когда Хо и Уо имеют одинаковое распределение, относительная экономия является вогнутой функцией.

Теорема 4.2.3 (о симметрии). Если (А^Уо) распределено как -^о); 5(а) = 5(1 - а).

Следствие 4.2.2 Если (Х0, У0) распределено как (Уо,-Хо), тпо относительная экономия достигает максимума в точке 1/2.

В параграфе 3 главы 4 рассмотрен случай независимых рисков. Поскольку вычисление относительной экономии в явном виде для большинства случаев либо невозможно, либо затруднительно, то были рассмотрены примеры равномерного, показательного, нормального распределения рисков, распределений Лапласа и Бернулли, а также устойчивых распределений, В качестве функции искажения рассмотрена квадратичная функция д{{) = 1 — (1 — ¿)2 (в соответствии с принципом Джини).

Графики относительных экономии представлены на рисунке 1 (для распределения Бернулли принято р = 1/2, для строго устойчивого распределения — А = 3/2).

Рис. 1: Графики относительных экономий для независимых рисков

Результаты приводят к выводу, что относительная экономия слабо чувствительна к типу распределения, и для ее оценки на практике можно использовать модельные распределения из числа перечисленных выше. В случае независимых рисков получены функции относительной экономии и найдены их максимумы.

В параграфе 4 главы 4 рассмотрен случай зависимых рисков. Сначала рассмотрена традиционная корреляционная зависимость (с коэффициентом корреляции р) для двумерного нормального распределения и нормальных масштабных смесей. Получен замечательный факт, что относительная экономия не зависит в этих случаях от выбора функции искажения и равна

5д{а, р) = 1 - Vl-2a(l-a)(l - р), тах6д{а,р) = 1 -

Отметим, что одномерные масштабные нормальные смеси подробно изучались в главе 12 книги Королева, Бенинга, Шоргина8, а многомерные масштабные нормальные смеси — в книге МакНейла, Фрея, Эмбрехтса17.

Здесь, однако, необходимо отметить, что большинство данных на практике (в том числе, страховые и финансовые риски) имеют формы зависимости, сильно отличающиеся от гауссовской,-и ее использование в расчетах может привести к серьезным ошибкам. Наиболее полной и при этом свободной от влияния частных распределений характеристикой зависимости случайных величин является копула13.

Были проведены оценки относительной экономии для копул Фарли-Гумбеля-Моргенштерна, Спирмена и Рафтери в случае показательного распределения рисков и квадратичной функции искажения.

"McNeil A.J., Ftey R.., Embrechts P., Quantitative Risk Management, Princeton University Press, 2005.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту A.B. Лебедеву за постановку задач, внимание и помощь в работе, а также докторам физико-математических наук, профессору Е.В. Булинской и профессору Ю.В. Королеву за полезные замечания и советы.

Работы автора по теме диссертации

[1] Ирхина H.A., Обобщение достаточного критерия сводимости принципа Ванга, Обозрение прикладной н промышленной математики, 2009, Том 16, выпуск 4, стр. 594-606.

[2] Ирхина H.A., Об одном достаточном условии сводимости для принципа Ванга, Теория вероятностей и ее применения, 2010, Том 55, выпуск 1, стр. 148-156.

[3] Ирхина H.A., Максимизация чувствительности РНр-премии для семейств рисков, распределенных по Парето, Вестник МГУ, Сер. 1. Математика. Механика, 2010, выпуск 4, стр. 28-33.

[4] Ирхина H.A., Принцип Ванга подсчета премии в страховании и некоторые критерии сводимости, Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009, Том 16, выпуск 2, стр. 262-263.

[5] Ирхина H.A., Принцип Ванга подсчета премии и проблема сводимости в теории страхования, Тезисы докладов секции "Математика и механика" Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2009", 2009, стр. 28-29.

{6] Ирхина H.A., Экономия от совместного страхования рисков по принципу Ванга, Деп, в ВИНИТИ № 549-В2010, 35 стр.

[7] Ирхина H.A., Предельные теоремы и оценки для премий Ванга, Деп. в ВИНИТИ № 550-В2010, 25 стр.

Подписано в печать 21,10.10 Формат 60x90 1/16- Усл. печ. л./, Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

Введение

1 Достаточные условия сводимости

1.1 Основные определения и предшествующие результаты

1.2 Первое достаточное условие.

1.2.1 Теорема о приближении "ступеньки"

1.2.2 Примеры

1.2.3 Контрпримеры.

1.3 Второе достаточное условие.

1.3.1 Теорема о линейных комбинациях.

1.3.2 Примеры

1.3.3 Обобщение па случай бесконечной дисперсии.

1.4 Третье достаточное условие.

1.4.1 Теорема о нелинейном приближении.

1.4.2 Примеры

2 Границы и чувствительность премии

2.1 Определения и мотивация исследований.

2.2 Чувствительность для распределений Парето.

2.2.1 Абсолютная чувствительность.

2.2.2 Относительная чувствительность.

2.2.3 Чувствительность в случае бесконечной дисперсии

2.3 Пример Янг и его обобщения.

2.3.1 История вопроса.

2.3.2 Поведение премии и асимметрии в предельных случаях

2.3.3 Структура линий уровня асимметрии.

2.3.4 Выводы.

2.4 Границы премии при моментных условиях.

3 Предельные теоремы и оценки

3.1 Теоремы о непрерывности и оценки разности.

3.2 Предельные теоремы для сумм.

3.3 Статистические оценки

4 Экономия от совместного страхования

4.1 Определения и постановка задачи.

4.2 Основные свойства экономии.

4.3 Случай независимых рисков

4.4 Случай зависимых рисков.

В современном обществе страхование является универсальным средством защиты всех форм собственности, доходов и других интересов предприятий и организаций, арендаторов, фермеров, отдельных граждан, т.е. юридических и физических лиц.

Страхование — это операция, посредством которой одна из сторон (страхователь), внося определенную сумму денег (премию или страховой взнос), обеспечивает себе или третьему лицу (выгодоприобретателю) при осуществлении риска (т.е. наступлении страхового случая) выплату возмещения другой стороной (страховщиком), принимающем на себя целый ансамбль рисков, которые он компенсирует в соответствии с законами теории вероятностей [1, с. 8].

В диссертации рассматривается модель, в которой страхователь страхует свои будущие случайные убытки, описываемые случайной величиной X (называемой риском), за что страховщик берет с него некоторую неслучайную сумму денег Н(Х) (называемую премией). Различные методы (формулы, алгоритмы) подсчета премии называются принципами.

Одним из ключевых вопросов математической теории страхования является научно обоснованное построение принципов назначения страховых премий и изучение их свойств. С точки зрения теории вероятностей, страховые премии можно рассматривать как числовые характеристики случайных величин (рисков) и их распределений. Некоторые виды премий выражаются через более традиционные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.), а некоторые имеют иную структуру. Но все их можно рассматривать как функционалы Н на неотрицательных случайных величинах, отображающие X н-» [0, оо). Поиск надежного принципа подсчета премии является предметом многочисленных актуарных исследований, однако вопрос о том, какой именно принцип предпочтителен, все еще не решен.

Интуитивно понятно и аналитически доказано, что если назначать премию за риск, руководствуясь соображениями равенства средних затрат страхователя и страховщика, то вероятность разорения последнего будет составлять 1/2 в модели для совокупного убытка, что на практике недопустимо. Поэтому при расчете в тариф необходимо заложить некоторую рисковую надбавку, методы оценки которой активно исследуются учеными.

В страховой практике наиболее распространенными способами оценки премии являются методы, основанные на первых двух моментах распределения. Однако поскольку распределения убытков часто сильно ассимметричны, первые два момента не могут адекватно отразить степень страхового риска. Рамсэй [34] в своей формуле вычисления премии рассматривал также третий момент. Однако здесь возникают проблемы, связанные с порядком рисков. Первый стохастический порядок рисков определяется так: случайная величина Х1 стохастически не больше случайной величины Х2 (обозначают: если для любого £ выполнено: Fl(t) > где ^ — функция распределения Х{. Для премий весьма желательно, чтобы они сохраняли этот порядок, т.е. чтобы выполнялось Н(Х\) < Н(Х2). Тем не менее, методы, основанные на моментах, обычно нарушают первый стохастический порядок рисков. Интерес актуариев к математическим методам упорядочивания рисков привлекли работы [13], [15], [23]. В течение последних десятилетий велись многочисленные исследования с целью получить условия, при которых различные лица, принимающие решения и имеющие различные предпочтения, делают одинаковый выбор в аналогичных ситуациях, связанных с неопределенностью. Несостоятельность в этом смысле методов, основанных на моментах, обсуждалась рядом авторов (см., например, [1], [37], [44]).

Помимо методов, основанных на моментах, которые наиболее часто применяются на практике, разработан ряд теоретических принципов подсчета премип (см., например, [1], [4], [24]). Большинство из них опираются на теорию полезности, например, принцип экспоненциальной полезности ([1], [4], [20], [21]), согласно которому премия Н(Х) за риск X равна и принцип Эшера ([1], [4], [14]), согласно которому Н(Х) = ЕХд, где случайная величина Х^ имеет функцию распределения Fx,h, задаваемую соотношением: е dFx,h{x) = —тт-rdFx(x),

9x(h) a gx{h) — ~E,ehx — производящая фукнция моментов (h > 0). Однако Рейх ([35]) показал, что ни один из этих теоретических принципов не удовлетворяет условию сдвигово-масштабной инвариантности, которое также является желательным условием для премий.

Голландский принцип ([43]), который определяется следующим образом:

Я(Х) =Е(Х + 0тах[Х-аЕХ,О]), 0 < в < 1, а > 1, превосходит все предыдущие тем, что он является инвариантным относительно сдвигово-масштабных преобразований (точнее говоря, он обладает масштабной инвариантностью всегда, а сдвиговой — при а = 1). Более того, он сохраняет первый стохастический порядок рисков. Однако в перестраховании данный принцип имеет существенные ограничения в применении, поскольку его относительная нагрузка (Н(Х) — ЕХ)/ЕХ не превосходит 100%.

Деннеберг [18] предложил принцип абсолютного отклонения:

Н(Х) = ЕХ + От(Х), 0 < в < 1, где т(Х) — Е|Х — medX| — среднее абсолютное отклонение от медианы. Данный принцип также является инвариантным относительно сдвигово-масштабных преобразований и сохраняет первый стохастический порядок рисков. Однако для рисков с вероятностью наступления страхового случая менее 50% он эквивалентен принципу среднего (Н(Х) = (1 + (9)ЕХ, 0 > 0), что ограничивает его применимость.

В последние десятилетия особый интерес вызывает так называемый принцип Ванга подсчета премии, изложенный С.С. Вангом в [46] и [47]. Еще в 1991 году Вентер [44], изучая вопросы безарбитражиости в страховом ценообразовании, предложил использовать принципы подсчета премии на основе трансформации функции распределения. Развивая идеи Вентера, Ванг предложил определить премию за риск, как полный интеграл от модифицированной функции дожития случайной величины убытка {Sx{t) = Р(Х > t)).

Первоначально [46] формула подсчета премии выглядела следующим образом: roa

НР0 = / Sx(t)l/Pdt, р > 1, Jo где р — так называемый индекс неприятия риска, а принцип носил название Proportional Hazard Premium principle (PHp), т.е. пропорционального изменения интенсивности [1].

Несколько позднее Ванг [47] обобщил РНр, а именно, вместо степенной трансформации функции дожития случайной величины он предложил использовать произвольную возрастающую вогнутую функцию искажения д : [0,1] [0,1], такую что д(0) - 0, д{ 1) - 1: оо

Нд(Х) = / g(Sx(t))dt. (Wp)

Jo

Условия на граничные значения функции д необходимы для того, чтобы не назначать премию в случае отсутствия риска и брать премию в полном объеме в случае, если страховое событие произойдет наверняка.

Можно отметить несколько положительных свойств данного метода. Во-первых, в случае вогнутости функции искажения рисковая надбавка является положительной величиной, но не чрезмерно увеличивает премию, т.е. общая премия за риск не оказывается больше максимально возможного убытка по данному риску:

EX < Нд(Х) < supX.

Во-вторых, нагрузка не является необоснованной в том смысле, что если риск фиксированный, то за него не назначается рисковая надбавка:

Р(Х = Ь) = 1 Нд(Х) = Ь.

В-третьих, данный принцип инвариантен относительно сдвигово-масштабных преобразований в следующем смысле:

Нд{аХ + Ь)= аНд(Х) + 6, a, b > 0.

В-четвертых, в случае вогнутости функции искажения Wp субаддитивен по произвольным случайным слагаемым, т.е. не дает преимуществ страхователю в случае дробления риска на части:

Hg(X + Y)<Hg(X) + Hg(y).

Страховщик, определяя фиксированную премию за каждый риск, тем самым неявно упорядочивает риски. Поэтому еще одним важным свойством ¥/р является сохранение первого стохастического порядка рисков:

X ^ У Нд{Х) < Нд(¥).

Более того, данный механизм не использует функцию полезности, в связи с чем относительно более легок в применении в сравнении с традиционными методами теории полезности.

Помимо степенной функции искажения Ванг рассматривал следующие классы функций [47]:

• дуальные степенные: д(х) — 1 — (1 — я;)а, а > 1;

• кусочно-линейные, что соответствует принципу Деннеберга [18]:

Г(1 + г)х, 0 < а: <1/2, д{х) = I } ~ ' ' 0 < г < 1;

1 г + (1 — г)х, 1/2 < X < 1;

• квадратичные, что соответствует принципу Джини: д(х) = (1 + г)х — гх2, О < г < 1;

• включающие квадратные корни: у/1+ГЖ-1 д{х) = > г > О, х, г — 0;

• включающие экспоненту:

Ф) =

• включающие логарифм:

1-е ге-г , Г > 0, х, г = 0;

I 1п(1+гж) п ) 1п(1+г) ' Г > и' х, г = 0;

• а также смеси и композиции функций искажения.

Принцип Ванга обсуждался многими авторами, которые обобщили его для распределений на всей числовой оси [52], что позволило рассматривать преобразованные (например, центрированные) случайные величины и обеспечить инвариантность относительно любых сдвигов (как положительных, так и отрицательных) :

О роо g(Sx(t))-l)dt+ / g(Sx(t))dt. оо Jo

Поэтому мы будем далее понимать под рисками произвольные случайные величины без условия их неотрицательности, что позволяет распространить теорию не только на страховые, но и на финансовые риски.

Также последователи Ванга отказались от требования вогнутости функции искажения, что расширило класс допустимых функций, однако при этом было потеряно свойство суббаддитивности ([45], [50], [52]).

В настоящее время характерна тесная связь между актуарной и финансовой математикой. Существует глубокое внутреннее сходство между страхованием и хеджированием. Многие банки занимаются страхованием [1]. В этой связи необходимо отметить, что принципу Ванга в страховании соответствует очень важный класс когерентных мер риска в финансовой математике — WV@R (взвешенный V@R) [16]. Данное соответствие устанавливается заменой знака у случайной величины риска, поскольку в страховании изучают убытки, а в финансовой математике — прибыли.

Было установлено, что принцип Ванга является надежной мерой риска, обладая рядом важных практических свойств (см. [17], [45]-[48], [50]-[52]). Однако формула Ванга подсчета премии достаточно громоздкая, а также требует знания всей функции распределения рассматриваемого риска, что не всегда доступно в реальных условиях. Поэтому важной задачей является определить, при каких условиях данный принцип эквивалентен более удобному в применении принципу подсчета премии, например, наиболее распространенному в страховой практике методу, основанному на двух первых моментах распределения. В качестве такого принципа рассматривался традиционный принцип подсчета премии по среднеквадратическому отклонению или сред-неквадратический принцип (SDp — Standard Deviation Premium principle): тг1в(Х) — EX + \Vl5X, Л > 0.

Кристофидес [17] изучал частный случай принципа Ванга и выяснил, что для нормального, логистического, треугольного, равномерного, гумбелевского и вейбулловского семейств распределений рисков РНр эквивалентен ЭБр, т.е. для каждого р > 1 найдется такое А > 0, что тг^н(Х) = 7Г^0(Х).

Янг [52] обобщила выводы Кристофидеса и доказала, что для фиксированной функции искажения принцип Ванга эквивалентен ББр на сдвигово-масштабных семействах распределений и некоторых других двухпараметрп-ческих семействах распределений, обладающих определенными свойствами.

Дж.-Л. Ванг [45] ввел понятие натурального множества как множества всех распределений, на котором \Ур сводится к ББр для фиксированной функции искажения, и доказал один фундаментальный результат о том, что для фиксированной функции искажения натуральное множество является объединением сдвигово-масштабных семейств, удовлетворяющих определенным условиям, и, более того, никакое другое множество не является натуральным.

Однако более интересным вопросом является изучение свойств натуральных множеств не для фиксированной функции искажения, а для целого класса таких функций. При этом натуральное множество для класса определяется как пересечение натуральных множеств по всем функциям этого класса. Были исследованы различные классы функций, а именно- множество всех функций искажения [45], множество ступенчатых функций, принимающих два значения: 0 и 1 [45], множество сюръективных функций [50], множество степенных функций [50].

В итоге, для различных классов функций искажения было доказано, что их натуральные множества являются сдвигово-масштабными семействами. В таких случаях говорят о сводимости принципа Ванга к среднеквадрати-ческому принципу для заданного класса функций искажения (или о эквивалентности принципов). Понятно, что речь идет уже о более абстрактном понятии, чем в случае одной конкретной функции. Здесь, однако, необходимо отметить следующий замечательных! факт: из справедливости данного утверждения для более узкого класса функций следует его справедливость для более широкого, поэтому интерес представляет доказательство для достаточно узких классов функций искажения. Более того, до сих пор не было известно никаких общих условий для проверки утверждения, и в каждом случае приходилось доказывать его отдельно, строя свои функции.

В главе 1 предложен^ достаточные условия сводимости принципа Ванга к среднеквадратическому принципу.

В параграфе 1 главы 1 диссертации изложены основные определения и предшествующие результаты.

В параграфе 2 главы 1 диссертации предложено достаточное условие сводимости \Ур к ББр, позволившее достаточно легко проверять эквивалентность принципов для различных классов функций искажения, в некотором смысле приближающих "ступеньку" (от 0 до 1). С его помощью было проведено доказательство сводимости \Ур к ББр для класса возрастающих ломаных (кусочно-линейных функций) из к звеньев {к > 3), класса, состоящего из склеек двух степенных функции, класса возрастающих многочленов, а также приведены контрпримеры. А именно, для некоторых классов функций искажения, не удовлетворяющих условию сводимости, построены примеры различных рисков (с нулевым средним и единичной дисперсией), для которых премии Ванга одинаковы при всех функциях искажения из данного класса [54], [56], [57].

В параграфах 3 и 4 главы 1 диссертации приводятся два более общих достаточных условия (второе и третье) сводимости принципа Ванга к среднеквадратическому принципу [55]. Их преимущество заключается в том, что они1 применимы и к некоторым классам вогнутых функций искажений, как это первоначально предполагал Ванг. С помощью этих условий проводится доказательство сводимости \¥р к ЭБр для класса возрастающих вогнутых ломаных из двух звеньев, класса многочленов вида 1 — (1—х)п, классов функций {аЛ1} и {1 —(1—ж)а"}, где 1/2 < а\ < а2 < . и Х^пЛ 1/а« = и ДРУГИХ специальных классов функций искажения (например, вида дг(х) — /(тх)//(г), г € I С (0,+схз), где /(х) — аналитическая функция, обладающая определенными свойствами), в том числе, рассмотренных в работе Ванга [47]. В доказательствах используется известная теорема Мюнца (см., например, [3]).

В страховании могут наблюдаться распределения данных с конечными средними, но бесконечными дисперсиями, в частности, при изучении катастрофических рисков. Например, в работе Резнржа [36] обсуждаются данные о страховых потерях от пожаров в Дании, где показатель степенного хвоста распределения а оказывается около 1,4. В параграфе 3 главы 1 диссертации рассказано о том, как можно обобщить результаты о сводимости на такие случаи, используя второе достаточное условие.

Отметим, что с помощью третьего достаточного условия удается доказать сводимость РНр к ББр без дополнительных ограничений на распределения, введенных Ву [50], а именно, непрерывности функции дожития случайной величины и выпуклости ее носителя.

Поясним важность сводимости принципов подсчета премий для классов функций на следующем примере. Пусть у нас есть команда экспертов, которым нужно различить и упорядочить риски X и У. Эксперты согласны в том, что нужно пользоваться принципом Ванга, и в том, из какого класса С следует выбирать функции искажения, однако каждый выбирает свою функцию д при вычислении премий для X и У. Решение о различии рисков принимается при различии премий у кого-нибудь из экспертов, а решение о порядке, например, большинством голосов (т.е. У -< X, если у большинства экспертов премия для X получилась больше, чем для У). Понятно, что конечным числом экспертов эти задачи в общем случае могут быть как решены, так и не решены. Однако при отсутствии сводимости для класса можно подобрать такие риски X и У, что эти задачи заведомо не смогут быть решены никогда, поскольку у всех экспертов будут получаться одинаковые значения премий для обоих рисков. Отсюда можно сделать вывод, что на практике предпочтительней использовать такие классы функций искажения, для которых имеет место сводимость.

В главе 2 автор сосредоточился, главным образом, на различиях между среднеквадратическим принципом и принципом Ванга, а также преимуществах последнего.

В параграфе 1 главы 2 изложены определения и мотивация исследований.

При изучении различий между принципом Ванга и среднеквадратическим принципом естественно рассматривать характеристику

Нд(Х) - ЕХ т.е. центрированную и нормированную премию. В случае, если для данной функции искажения эта характеристика остается постоянной (и равной, например, некоторому Л) на некотором семействе рисков, это означает, что на данном семействе рисков имеет место сводимость принципа Ванга к средне-квадратическому, т.е.

Нд{Х) = тт1в(Х) = ВХ + Лл/ОХ.

В случае же, если указанная характеристика принимает различные значения, сводимости нет. При этом представляет интерес разброс этих значений.

Заметим, что в силу свойств приниципа Ванга

Нд(Х) - ВХ /Х-ЕАЛ ^БХ Ч ) ' т.е. вместо того, чтобы центрировать и нормировать премии для некоторого семейства рисков, мы можем сначала центрировать и нормировать сами риски, а потом рассматривать премии для них.

Таким образом, возникает задача изучения премий Ванга на семействах рисков с нулевым средним и единичной дисперсией. Понятно, что с помощью среднеквадратического принципа такие риски нельзя ни различить, ни упорядочить. А с помощью принципа Ванга это оказывается возможным. В качестве меры того, насколько хорошо это получается, предлагается использовать разность между верхней и нижней гранями премии Ванга с данной функцией искажения на данном семействе. Эта разность названа абсолютной чувствительностью премии [58].

В параграфе 2 главы 2 диссертации для класса центрированных и нормированных распределений Парето изучается зависимость чувствительности РН-премии от параметров модели и проводится ее максимизация. Отметим, что выбор распределения не случаен, поскольку именно распределение Парето наиболее часто используется на практике вследствие того, что оно хорошо описывает поведение тяжелых хвостов. По известной теореме Гпеденко-Пикандса-Балкемы-де Хаапа при довольно общих условиях условное распределение превышения высокого уровня случайной величиной стремится к обобщенному распределению Парето (см. [30, с. 277]). Более того, как показано в параграфе 4 главы 2, на распределениях Парето достигается максимум РИ-премий по классу всех распределений с нулевым средним и единичной дисперсией.

Помимо абсолютной чувствительности премии изучается и относительная чувствительность, определенная как отношение верхней грани премии Ванга к нижней грани. Также производится обобщение результатов на случай, когда параметр формы распределения Парето а лежит в интервале (1,2), т.е. дисперсия бесконечна и среднеквадратический принцип подсчета премии вообще не применим.

Заметим, что коэффициент асимметрии распределения Парето (когда он существует) взаимно однозначно связан с параметром формы а. Поэтому, если зафиксировать асимметрию, получим сдвигово-масштабное семейство, на котором \Ур эквивалентен БВр. Это же верно и для ряда других часто используемых семейств распределений.

Еще в 1998 году при изучении принципа пропорционального изменения интенсивности Кристофпдес предположил, что для любых параметрических семейств распределений с постоянной асимметрией РНр эквивалентен ББр [17].

Янг удалось опровергнуть предположение Кристофидеса в общей его форме, предложив контрпример ([52]): двустороннее показательное распределение с конкретными значениями параметров и функцией искажения д{х) = л/х.

Пример, найденный Янг, представляет собой теоретически важный (как контрпример к предположению Кристофидеса), но весьма частный случай. При его рассмотрении возникают, в том числе, следующие вопросы:

1) можно ли привести другие примеры или он единичен?

2) насколько велик разброс значений центрированной и нормированной премии — как на подмножествах постоянной асимметрии, так и на всем семействе рисков, предложенных Янг (ведь в ее числовом примере эта разница слишком мала, чтобы иметь практическое значение)?

В параграфе 3 главы 2 диссертации предлагаются ответы на поставленные вопросы. Без ограничения общности изучаемая модель параметризуется с помощью двух параметров, принимающих значения в единичном квадрате. Получены оценки верхней и нижней границ премии по квадрату, представлены формулы для нахождения значений премии на различных линиях уровня асимметрии. С помощью численного моделирования показано, что значения премии на концах линий уровня не всегда являются экстремумами, а именно, максимумы могут достигаться внутри единичного квадрата.

В общем случае, абсолютная чувствительность премии на подсемействах постоянной асимметрии составляет не менее 2 — 21п 2 « О, 614, что приблизительно равно 42% от абсолютной чувствительности премии по всему семейству распределений, равной д/(21п2 — I)2 + 2 « 1,466 [61].

В параграфе 4 главы 2 диссертации приводится ряд теорем, посвященных вычислению верхней и нижней границ для премий Ванга по классу случайных величии с нулевым средним и единичной дисперсией и предлагается формула максимзша премии (нижняя граница оказывается равной нулю). Здесь используется вариационное исчисление и развиваются методы работы Хартли и Дэвида [25]. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы рядом примеров для различных классов функций искажения. Например, для РНр максимум премии по классу случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией равен (р — 1)/\/р{2 — р), где 1 < р < 2.

Понятно, что в силу сдвигово-масштабной инвариантности принципа Ванга по границам премий для класса рисков с нулевым средним и единичной дисперсией можно определить границы для любого класса с заданными средним и дисперсией (с помощью соответствующего сдвигово-масштабного преобразования) .

Практический вывод из результатов главы 2 заключается в том, что принцип Ванга позволяет успешно различать и упорядочивать риски с близкими моментными характеристиками.

В главе 3 диссертации изучается вопрос непрерывности премий Ванга относительно функций искажения и распределений рисков.

В параграфе 1 главы 3 на множестве функций искажения определяется следующая специальная метрика:

01 № -92$)

Ф) где q{t) > 0, с/(0) = д(1) — 0, и указанное выражение конечно. Вводится интеграл:

Рд{9ъ92)= вир о<г<1 оо оо

Для конкретных видов функции <?(£) получены ограничения на 1д(Х) с помощью моментов случайной величины. Для ряда классов функций искажения проверяется их непрерывность в заданной метрике. И наконец, при определенных условиях доказаны теоремы о непрерывности премии Ванга и ее чувствительности в случае непрерывности функций искажения по параметру (относительно введенной метрики).

В теории вероятностей широко изучается вопрос о сходимости распределения центрированных и нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин к стандартному нормальному распределению. Эта сходимость описывается центральной предельной теоремой и ее различными уточнениями. Она имеет большое практическое значение, в том числе, в страховании ([4]). Поэтому представляет интерес сходимость премий Ванга от центрированных и нормированных сумм.

В параграфе 2 главы 3 диссертации при определенных условиях на случайную величину, а именно, конечности абсолютного момента порядка 2 + 6, О < д < 1 (что является существенным усилением результата по сравнению с более традиционным требованием конечности 3-го момента), а также на функцию искажения доказан ряд предельных теорем для премий Ванга в случаях обычных и пуассоновских сумм, получены оценки скорости сходимости. Для доказательства теорем существенно использовались неравномерные оценки абсолютного отклонения распределения преобразованной суммы от стандартного нормального распределения [4, гл. 2], [7].

С точки зрения математической статистики, важной задачей является получение оценок премий по наблюдениям. В параграфе 3 главы 3 диссертации построена эмпирическая оценка премии Ванга: вд. 4 (*) г=1 4 ' и при определенных ограничениях на случайную величину и функцию искажения были доказаны теоремы о сходимости с вероятностью 1 и об асимптотической нормальности оценки. Приведены примеры построения оценок премий для конкретных функций искажения, найдены асимптотические диспер-стхи оценок для некоторых распределений рисков. Полученные оценки относятся к классу так называемых Ь-оценок, изучавшихся, например, в работах [8], [27]-[29], [38]-[41], [49].

Было отмечено, что для РН-принципа, в отличие от других рассмотренных семейств премий, всегда существует некоторый диапазон значений параметра р, в котором имеет место строгая состоятельность оценки, но мы не можем гарантировать ее асимптотическую нормальность. Даже для распределений с моментами любого порядка мы накладываем условие р < 2. Так, пример показательного распределения указывает на то, что это условие не техническое, а содержательное, поскольку при р f 2 асимптотическая дисперсия стремится к бесконечности. Можно сделать вывод, что на практике нежелательно использовать РН-премии с р > 2, статистически оцениваемые по формуле (*).

В случае масштабного семейства распределений с положительными премиями построен доверительный интервал для премии Ваига [60].

Глава 4 посвящена проблеме совместного страхования рисков.

В параграфе 1 главы 4 изложены определения и постановка задачи.

Одним из важных свойств принципа Ванга является его суббаддитивность в случае вогнутости функции искажения. Проще говоря, премия от суммы случайных величин не больше суммы премий от каждой- случайной величины. С практической точки зрения интерес представляет величина экономии страхователя от совместного страхования рисков по сравнению с раздельным, названная Кристофидесом (применительно к РНр) "synergy value" [17]. В диссертации рассматривается относительная экономия, определенная как отношение экономии от совместного страхования к сумме рисковых надбовок за каждый риск: {Hg{X) + Ha<Y))-Hg{X + Y) , . 5 (Hg(X)-EX) + (Hg(Y)-EYY

Введенная величина является безразмерной и принимает значения от 0 до 1.

Предполагается, что распределения рисков X и У принадлежат некоторым сдвигово-масштабным семействам. Тогда легко заметить, что экономия не зависит от параметров сдвига. Более того, она не зависит и от самих параметров масштаба распределений X и V, а только от соотношения между ними. Поэтому целесообразным представляется следующая параметризация случайных величин: X = cmXq, Y — (1 — а)Уо> гДе Xq, Yq имеют стандартные распределения (в своих семействах), а а пробегает значения от 0 до 1. Таким образом, интерес представляет исследование зависимости fig(cx) от параметра с , х (аНд(Хо) + (1 - g)Hg(Y0)) - Нд(аХ0 + (1 - а)У0) д[а) а(Нд(Хо) - ВХо) + (1 - cx)(Hg(Y0) - ЕУ0) '

В параграфе 2 главы 4 диссертации получен ряд важных свойств относительной экономии.

Параграф 3 главы 4 посвящен случаю независимых рисков. Необходимо отметить, что вычисление относительной экономии в явном виде в большинстве случаев либо невозможно, либо затруднительно, поэтому рассмотрены конкретные примеры равномерного, показательного, нормального распределений рисков, распределения Лапласа и Бернулли, а также устойчивых распределений. В качестве функции искажения выбрана квадратичная функция д(х) = 1 — (1 —х)2 (согласно принципу Джини). В результате, хотя были рассмотрены очень разные распределения, для них получились схожие графики с довольно близкими значениями максимальной относительной экономии. Это наводит па мысль, что относительная экономия слабо чувствительна к типу распределения, и для ее оценки на практике можно использовать модельные распределения из числа перечисленных выше.

Параграф 4 главы 4 посвящен случаю зависимых рисков. Сначала рассмотрена традиционная корреляционная зависимость для двумерного нормального распределения и нормальных масштабных смесей. Получен замечательный факт, что относительная экономия не зависит в этих случаях от выбора функции искажения. Отметим, что одномерные масштабные нормальные смеси подробно изучались в [4] (глава 12), а многомерные масштабные нормальные смеси — в [30].

Здесь, однако, необходимо отметить, что большинство данных на практике (в том числе, страховые и финансовые риски) имеют формы зависимости, сильно отличающиеся от гауссовской, и ее использование в расчетах может привести*к серьезным ошибкам. Наиболее полной и при этом свободной от влияния частных распределений характеристикой зависимости случайных величин является копула [31].

В страховании копулы активно используются для агрегации рисков и моделирования капитала. В [42] показано, как построить довольно гибкую и реалистичную модель капитала, учитывающую зависимость рисков и при этом разделяющую эффекты каждой отдельно взятой характеристики распределения, как, например, тяжелые хвосты. Полученная структура позволяет исследовать влияние зависимости рисков на общий рисковый капитал. Главный вывод о том, что различные копулы сильно варьируют результат, подчеркивает важность правильного выбора подходящей модели.

В [11] производится оценка рискового капитала на основе агрегированной убыточности по компании. Оценки влияния зависимости между убытками от различных классов страхования производятся с помощью копул Гаусса и Стыодента.

На основе копул в [10] предлагается модель структуры зависимости влияния штормов на автострахование и страхование имущества от пожаров. Определенные техники, примененные к данным французской страховой компании, позволили сделать вывод, что указанная зависимость наилучшим образом описывается с помощью копулы Клейтона.

Статистические свойства и применение копул для исследования взаимосвязи между различными эффектами в страховании жизни описаны в [19].

Для учета зависимости агрегированного убытка от шторма и наводнения в [32] используются копула Бернштейна и решетчатая копула в применении к эмпирическим факторным таблицам.

Отметим, что для упомянутых копул вычисление относительной экономии в явном виде невозможно или затруднительно, поэтому в диссертации рассмотрены более простые примеры, а именно, копулы Фарли-Гумбеля-Моргенштерна, Спирмена и Рафтери [31], причем только в случае показательного распределения обоих рисков и квадратичной функции искажения. Были получены функции относительной экономии, найдены их максимумы, построены графики.

Интересно выяснить, как влияет тип копулы на относительную экономию при одинаковой мере зависимости. В качестве такой меры предлагается использовать коэффициент корреляции Спирмена рс. Рассмотрены три степени положительной зависимости рисков: слабая (рс = 0,25), средняя (рс = 0,5) и сильная (рс = 0,75). Для них произведены сравнения соответствующих относительных экономии для разных копул [59].

Обобщая все вышесказанное, подчеркнем, что современная математическая теория страхования является бурно развивающейся областью в рамках теории вероятностей и математической статистики. Эта теория имеет широкий круг применения на практике. В диссертации освещен актуальный вопрос оценки страховой премии за риск, рассмотрен и глубоко изучен эффективный и надежный принцип Ванга подсчета премии. Результаты и методы работы могут быть полезными как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту A.B. Лебедеву за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

1. Булинская Е.В., Теория риска и перестрахование, Мэйлер, 2009.

2. Голубин А.Ю., Математические модели в теории страхования; построение и оптимизация, Москва, Анкил, 2003.

3. Евграфов М.М., Аналитические функции, Москва, "Наука", 1991.

4. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я., Математические основы теории риска, Физматлит, 2007.

5. Куликов A.B., Многомерные когерентные и выпуклые меры риска, Теория вероятностей и ее применения, 2007, Том 52, №4, стр: 685-710.

6. Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра, Москва, "Наука", 1965.

7. Нефедова Ю.С., Шевцова И.Г., О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм, Информатика и ее применения, 2011, №1 (в печати).

8. Орлов Д.В., О двух оценках одной меры риска, Теория вероятностей и ее применения, 2008, Том 53, №1, стр: 168-172.

9. Тюрин И.С., О скорости сходимости в теореме Ляпунова, www.moebiuscontest.ru/files/2009/tyurin.pdf.

10. Bisignani R., Masala G., Micocci M., Economic Capital Management For Insurance Companies Using Conditional Value at Risk and a Copula Approach, Economía, Societae Istituzioni, 2006, Vol.18, №3.

11. Bogdan M., Asymptotic distributions of linear combinations of order statistics, Applications mathematicae, 1994, Vol.22, №2, pp: 201-225.

12. Borch K., The utility concept applied, to the theory of insurance, ASTIN BULLETIN, 1961, Vol 1, pp: 245-255.

13. Biihlmann H., An economic premium principle, ASTIN BULLETIN, 1980, Vol.11, pp: 52-60.

14. Bühlmann H., Gagliardi B., Gerber H., Straub E., Some inequalities for stop-loss premiums, ASTIN BULLETIN, 1977, Vol.9, pp: 75-83.

15. Cherny A.S., Weighted V@R and its properties, Finance and Stochastics, 2006, Vol.10, pp: 367-393.

16. Christofides S., Pricing for risk in financial transactions, Proceedings of the GISG/ ASTIN Joint Meeting in Glasgow, Scotland, October, 1998, pp: 62109.

17. Denneberg D., Premium calculation: why standard deviation should be replaced by absolute deviation, ASTIN BULLETIN, 1990, Vol.20, pp: 181190.

18. Frees B.W., Valdez E.A., Understanding Relations Using Copulas, North American Actuarial Journal, January 1998, Vol. 2, №1, pp. 1-25.

19. Freifelder L.R., Exponential utility theory ratemaking an alternative ratemaking approach, Journal of Risk and Insurance, 1979, Vol. 46, pp. 515530.

20. Gerber H.U., An Introduction to Mathematical Risk Theory, Huebner Foundation Monograph, Wharton School, University of Pennsylvania, 1979.

21. Govindarajulu Z., Asymptotic normality of linear combinations of functions of order statistics, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1968, Vol.59, №3, pp: 713-719.

22. Goovaerts M.J., de Vylder F., Haezendonck J. Ordering risks: a review, Insurance: Mathematics and Economics, 1982, Vol.1, pp: 131-163.

23. Goovaerts M.J., de Vylder F., Haezendonck J. Insurance Premiums Theory and Applications, Nort-Holland, Amsterdam, 1946.

24. Hartley H.O., David H.A., Universa1 bounds for mean range and extreme observation, The Annals of Mathematical Statistics, 1954, Vol.25, №1, pp: 85-99.

25. Hiirlimann W., Fitting bivariate cumulative returns with copulas, Computational Statistics & Data Analysis, 2004, Vol.45, №2, pp: 355372.

26. Jung J., On linear estimates defined by a continuous weight function, Arkiv for mathematik, 1955, 3, 15.

27. Mason D.M., Asymptotic normality of linear combinations of order statistics with a smoothe core function, The Annals of Mathematical Statistics, 1981, Vol.9, №4, pp: 899-908.

28. Mason D.M., A minimax criterion for choosing weight functions for L-estimates of location, The Annals of Mathematical Statistics, 1983, Vol.11, №1, pp: 317-325.

29. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P., Quantitative Risk Management, Princeton University Press, 2005.

30. Nelsen R.B., An Introduction to Copulas, Springer Series in Statistics, 2nd ed. 2006.

31. Pfeifer D., Neslehová J., Modelling and simulation of dependence structures in nonlife insurance with Bernstein copulas, Blatter der DGVFM, 2003, Vol. 26, №2, pp. 177-191.

32. Pisarenko V.F., Sornette D., Characterization of the Frequency of Extreme Earthquake Events by the Generalized Pareto Distribution, Pure and Applied Geophysics, 2003, Vol. 160, №12, pp. 2343-2364.

33. Ramsay C.M., Loading gross premiums for risk without using utility theory, with Discussions, Transactions of the Society of Actuaries, 1994, Vol. 45, pp. 305-349.35