Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой

Акопян, Рипсиме Сергоевна

Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Акопян, Рипсиме Сергоевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой"

На правах рукописи

АКОПЯН РИПСИМЕ СЕРГОЕВНА

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НАД ПОЛОСОЙ

(01.01 01 - математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук; профессор В.М. Миклюков Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент В.А. Клячин

доктор физико-математических наук, доцент А. В. Лобода

Ведущая организация:

Институт математики СО РАН им. С.Л. Соболева

Защита состоится АР!?'/.... г. в час. на заседании

диссертационного совета К 212.029.05 по математике при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, Волгоград, 2-я Продольная, 30, ВолГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан

г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

Е.А. Мазепа

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Теория минимальных поверхностей интенсивно развивалась в течение всего последнего столетия и продолжает развиваться в различных направлениях в настоящее время. Важнейшие результаты этой теории стали классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгрена, С.Н. Бернштейна, Л. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссермана, А.В. Погорелова, Дж. Сай-монза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — ЮА. Аминова, Э. Бомбьери, АА. Бори-сенко, Э.Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, АА. Тужилина, Д. Хофмана и др.

Минимальные графики описываются

квазилинейным дифференциальным уравнением

Особое внимание многих исследователей было направлено на изучение решений этого уравнения в неограниченных областях. В значительной мере этому способствовала знаменитая теорема С.Н. Бернштейна (1915), о том, что всякое целое решение уравнения (1) является линейной функцией переменных х,у. В работах Л. Берса, X. Джен-кинса, В.М. Миклюкова, Р. Оссермана, Л. Саймона, Р. Финна теорема С.Н. Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей.

Другим важным результатом для минимальных графиков над неограниченными областями в является следующая теорема И.С.С. Ниче 1965 года:

(1)

где / = /(х,у),- и = |У/|2 = Ц + Ц.

Пусть Çla С R2 — сектор раствора 0 < а < 7Г tí пусть f — решение

уравнения минимальных поверхностей в ííQ. Если / < О, на границе дПа, то / < О всюду в Па.

В связи с этим, И.С.С. Ниче был поставлен следующий вопрос. Будет ли единственным С2- решение / уравнения минимальных поверхностей с некоторым значением на границе díl, где Í2 С

Проблема единственности является одной из основных при изучении решений уравнения (1) над неограниченными областями. Первые результаты в этом направлении, в том числе, для областей более общего вида, были получены в 1981 году В.М. Миклюковым [13]. Другой важной задачей является изучение асимптотического поведения решений уравнения (1). Исследованию поведения решений уравнения минимальных поверхностей и уравнений типа минимальных поверхностей, заданных над неограниченными областями, посвящены работы Д.К. Ноул-за [18], В.М. Миклюкова [И]—[14], А.Г. Воробьева, В.М. Миклюкова [3], В.И. Пелиха [20, 21], Р. Ланжевина, Г. Левитта, X. Розенберга [9], В.М. Миклюкова, В.Г. Ткачева [15, 16], Л.Ф. Тэма [23], Р. Ланжевина, X. Розенберга [10], Е.Ф. Ванга [1, 2], В. Хенгатнера, Г. Скобера [25], Р. Са Ярпа, X. Розенберга [22], В.Г. Ткачева [24], СО. Хогана, Д. Сиге-ла [26], П. Коллииа [6], П. Коллииа, Р. Краста [7], А.Н. Кондрашова [8].

Необходимо отметить, что успехи в развитии теории минимальных поверхностей в значительной мере обусловлены тесной взаимосвязью между геометрическим строением и функциональными свойствами этих поверхностей. В частности, ключевую роль во многих исследованиях играет тот факт, что сужение координатной функции на минимальную поверхность является гармонической функцией в ее метрике. В случае двумерных минимальных поверхностей известно их полное описание в терминах голоморфных функций (представление Вейерштрасса). Это дает возможность прямого применения для исследования минимальных поверхностей методов теории конформных отображений.

Цель работы:

• Исследование асимптотического поведения функций, голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданной над полуполосой. В частности, получение для этих функций версий хорошо известного принципа Фрагмена — Линделефа.

• Изучение допустимой скорости стабилизации "на бесконечности" геометрических характеристик минимальных поверхностей.

• Исследование асимптотического поведения решения /(х,у) уравнения (1).

Методика исследования. Основные результаты диссертации базируются на применении методов теории конформных отображений поверхностей на плоские области и их асимптотические оценки на бесконечности.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Следующие результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми:

1) теоремы типа Фрагмена-Линделефа для функций голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданных над полуполосой;

2) оценки допустимой скорости стремления к постоянному вектору градиента решения уравнения минимальной поверхности, заданного над полуполосой;

3) оценки допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой.

Результаты диссертации могут, быть использованы при исследовании геометрических свойств минимальных поверхностей в R3, квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений, а также могут найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международном конгрессе ассоциации "Женщины-математики" (Москва, 1994 г.), на международной конференции "Математика. Моделирование. Экология" женщин-математиков (Волгоград, 1996 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и семинарах "Геометрический анализ и его приложения" кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета (1992—2003 гг.), 11-ой Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002 г.), региональной научной конференции "Математический анализ и его приложения" (Волгоград, 2002 г.).

Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27]—[30].

Структура диссертации; Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на девять параграфов, списка литературы и изложена на 75 страницах. Нумерация параграфов подчинена нумерации глав. Библиография содержит 45 наименований.

Сделаем несколько замечаний относительно обозначений, принятых в работе.

Для обозначения частных производных нами будут использоваться традиционные обозначения в виде индекса, например, /^(х, у), f'y{x, у) и т.п., а также в виде дроби Для удобства мы часто

вместо указанных полных вариантов обозначений будем использовать сокращенные: /х, f¡¡. Пусть также V/ = (fx,fy)~ градиент функции

f(x,y).

Для области будем обозначать замыкание, сим-

волом dD —границу D.

Через C'(-D) нами будет обозначаться пространство L раз непрерывно дифференцируемых в D функций.

Остальные обозначения вводятся непосредственно в тексте работы.

Обзор содержания работы

Во введении диссертации характеризуется научное направление, круг решаемых задач, их актуальность и методы исследования. Приведен краткий перечень полученных результатов.

Переходя к изложению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация лемм и теорем соответствует принятой в тексте диссертации.

Полученные в диссертационной работе результаты касаются следующего частного случая минимальных поверхностей.

Пусть поверхность М С R3 суть график z = f(x, у) решения уравнения (1) над полуполосой

п = {(я,!/) G R2 : о < х < +00, 0 < у < а},

где f(x, у) € С2(П) ПС°(П).

Будем предполагать, что на горизонтальных участках границы С?П функция обраща-

ется в нуль, то есть выполнено одно из условий:

(i) если f(x, у) 6 С°(П), то' f{x, у)\т = 0;

(ii) если f(x,y) е С1 (И), то fy(x,y)\a«u = О,

где д"П — горизонтальные участки границы дП. На вертикальном участке решение произвольно.

В первой главе диссертации, носящей вводный характер, даются определения и доказываются вспомогательные факты, необходимые для получения основных результатов работы.

В частности, в параграфе 1.1 указываются другие известные формы записи уравнения (1), описывающие минимальные графики г — /(х,у).

Для минимальных поверхностей, заданных над полуполосой П, и удовлетворяющих условиям вводится в рассмотрение сле-

дующая величина

В лемме 1.1 показано, что величина не зависит от и характеризует строение минимальной поверхности "в целом".

Индуцированная из И3 метрика на поверхности имеет

вид

<1в) = (1 + рх)йх2 + 2 Шх<1у + (1 + фйу2. (2)

Заменой координат (х,у), метрика £¿5^ может быть приведена к конформному виду

<Щ = А (и, и) (¿и2 + ей/2), (3)

где Х(и, и)— положительная функция. Координаты и и V, в которых метрика поверхности имеет вид (3), называются изотермическими или конформными.

На минимальной поверхности изотермические координаты могут быть введены, например, с помощью отображений:

где

(«л)

В параграфе 1.4 (леммы 1.2, 1.4 ) показано, что координаты (и, и), впервые рассмотренные С.Х Мюнцем и Т. Радо в 1925 году, дают конформное представление минимальной поверхности М над полуполосой П™

Координаты (£, г]), введенные И.С.С. Ниче, обладают некоторым дополнительным свойством, также используемым в настоящей работе.

Глава 2 посвящена изучению асимптотического поведения минимальных поверхностей над полуполосой. Описание главы начнем с перечисления основных результатов. Это — теоремы типа Фрагмена—Линделефа о допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны и допустимой скорости стремления к постоянному вектору градиента решения минимальной поверхности над полуполосой (теоремы 2.5, 2.6, 2.13

Обозначим через К(х,у) гауссову кривизну поверхности М. Отметим, что всегда

Итак, при выше указанных предположениях на минимальную поверхность справедлива следующая теорема.

п№ = {(«, V) е Л2 : 0 < и < +00, С1 < V < с2},

- 2.15).

Теорема 2.5. Пусть /[х,у) — С2-решение уравнения минимальных

поверхностей над полуполосой

П = {(¡г,у) € R2 : 0 < х < +оо, 0 < у < а},

удовлетворяющее одному из условий: (.i) ИЛИ (ii).

И пустьположительная, неубывающая, непрерывная на (0, +оо) функция, для которой

+00

u(x)e~rx^ dx = +00. о

Тогда, если всюду в полуполосе П выполнено

log(~К{х,у)) < -v(x),

то f(x, у) — О — в случае (i) и f(x, у) = k x+b,k,b = const, — в случае (ii).

Близкие по содержанию результаты, касающиеся минимальных поверхностей над неограниченными областями R2, получены в [14] и [21]. Вместе с тем, при большей общности, они существенно менее точны в рассматриваемом нами частном случае полуполосы.

Для произвольного s £ (0, +оо) пусть Д(з) означает множество {(ж,г/) €П:х> в}.

Теорема 2.6. Пусть f(x, у)— решение уравнения минимальных поверхностей в полуполосе П, удовлетворяющее одному из условий: (i) или (ii). Предположим, что существуют постоянный вектор Р € и непрерывная, невозрастающая на (0, +оо) функция v(s), такие, что

\Vf(x,y)-f3\<v(s) (х,г/)бД(5). 10

то f(x, у) = 0 — в случае (i) и f(x, у) = к x + b, k,b = const, — в случае (и).

Таким образом, данная теорема утверждает, что градиент нетривиальной минимальной поверхности Z = f(x,y), заданной над полуполосой, не может сколь угодно быстро стремиться к постоянному вектору.

В параграфе 2.5 показано, что для гауссовой кривизны К(х, у) минимальной поверхности М, являющейся графиком f(x,y) с указанными выше граничными условиями, также будут справедливы следующие результаты.

Теорема 2.13. Если К{х, у)— удовлетворяет условиям

—К(х, у) < т, для всех (х, у) € <ЭП (то = const)

то

-К(х,у) < 16т

во всей области, П.

Теорема 2.14. Пусть L— кривая, начинающаяся в какой-либо ко-Еслн К(х, у) ограничена в П и

1оё("ДД'У))—оо, (*,y)eL. .-»+00,

то f(x, у) = 0 — в случае (i) и f(x, у) = k x+b, k,b = const, — в случае (И).

Теорема 2.15. Если К(х,у) — ограничена в П и непрерывна в ее замыкании, а кроме того, удовлетворяет условию

Ключевую роль в доказательстве этих теорем играют ряд результатов, аналогичных классическим теоремам Фрагмена—Линделефа ([4], стр. 315, [5], стр. 209, 223, 228), установленных нами для голоморфных в метрике поверхности (2) функций. Это — теоремы 2.4, 2.10 — 2.12.

Напомним, что голоморфными в метрике (¡в/ функциями являются функции голоморфные либо антиголоморфные в традиционном смысле в изотермических координатах на поверхности. Ясно, что от выбора координат это не зависит.

Приведем один из подобных результатов, полученных в работе, касающихся голоморфных в метрике йв/ функций, заданных над полуполосой П.

Теорема 2.4. Пусть функция Н{х,у) — голоморфна в метрике йв/ в И, непрерывна в П и удовлетворяет неравенству

гдеи(х)— положительная, непрерывная, неубывающая на (0, +оо) функция.

Если функция и{х) такова,что +00

I <1х = +оо,

то И(х, у) = 0.

Отмстим, что в работе рассматривается известная голоморфная в метрике минимальной поверхности функция (см; [17], стр. 113)

На основе х(хгУ) строятся другие голоморфные в метрике dsf функции, с использованием свойств которых, приходим к основным в работе теоремам о стабилизации минимальной поверхности над полуполосой.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.М. Миклюкову за постановку задачи и постоянное внимание к работе над диссертацией.

Хочу также поблагодарить А.А. Клячина, А.Н. Кондрашова за ценные советы, данные автору при подготовке текста диссертации, и всех коллег по кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета, принявших участие в обсуждении работы на семинаре "Геометрический анализ и его приложения".

Список литературы

[1] Ванг Е.Ф. (Hwang J.F.) Comparison principles and Liouville theorems for prescribed mean curvature equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Risa. 1988. .V. 15. N 4. P. 341-355.

[2] Ванг Е.Ф. (Hwang J.F.) A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. of Math. 1996. V. 176. N 2. P. 357-365.

[3] Воробьев А. 1\, Миклюков В.М. О некоторых асимптотических свойствах субрешений уравнений типа минимальных поверхностей // Сиб. мат. журн. 1982. Т. XXIII. N 1. С. 25-31.

[4| Евграфов М. А. Аналитические функции // М.: Наука. 1991. 448 с.

[5] Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции // М.: Наука. 1979. 320 с.

[6] Коллин П. (Collin P.) Deux exempes de graphes courbure moyenne constante sur une bande de Д2 // C. R. Acad. Sci. Paris. 1990. N 311. P. 539-542.

[7] Коллин П., Краст P. (Collin P., Krust R.) Le Probleme de Dirichlet pour lequation des surfaces minimales sur des domaines non bornes // Bull. Soc. Math. Prance. 19911 N 199. P. 443-462.

[8] Кондратов А.Н. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве // Докл. АН России. 1999. Т. 365. N 3. С. 319-321.

[9] Ланжевин Р., Левитт Г., Розенберг X. (Langevin R., Levitt G., Rosenberg H.) Complete minimal surfaces with long line boundaries // Duke Math. J. 1987. V. 55. N 4. P. 1-11.

[10] Ланжевин Р., Розенберг X. (Langevin R., Rosenberg H.) A maximum principle at infinity for minimal surfaces and applications // Duke Math. J. 1988. V. 57. N 3. P. 819-828.

[11] Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Берштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей // Матем. сб. 1979. Т. 108. N 2. С. 268-289.

[12] Миклюков В.М. Об асимптотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением // Мат.сб. Т. 111. N.1.1980. С. 42-66.

[13] Миклюков В.М. Некоторые особенности поведения решений уравнений типа минимальной поверхности в неограниченных областях // Матем. сб. 1981. Т. 116. N 1. С. 72-86.

[14] Миклюков В.М. Некоторые вопросы качественной теории уравнений типа минимальной поверхности // Граничные задачи математической физики. Киев: Наук, думка. 1983. С. 137—146.

[15] Миклюков В.М., Ткачев В.Г. О строении в целом внешне полных минимальных поверхностей в R3 // Изв.. вуз. Мат. 1987- Т. 31. С. 30-36.

[16] Миклюков В.М., Ткачев В.Г. (Miklyukov V.M., Tkachev- V.G.) Denjoy—Ahlfors Theorem for Harmonic Functions on Riemannian Manifolds and External Structure of Minimal Surfaces // Proc. Geom. and Anal. 1996. V.4. N 4. P. 547-587.

[17] Ниче И.С.С. (Nitsche J. C. C.) Vorlesungen uber Minimalflachen // Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1975.

[18] Ноулз Д.К. (Knowles J.K.) A note on the spatial decay of a minimal surface over semi-infinite strip // J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 59. N 1. P. 29-32.

[19] Оссерман Р. Минимальные поверхности // Успехи мат. наук. 1967. Т. XXII. N 4. С. 55-136.

[20] Пелих В.И. Оценки искажения при конформном изображении минимальной поверхности // ТГУ, Тюмень, 1980. Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1981. N 1266-81.

[21] Пелих В.И. Теоремы Фрагмена—Линделефа на минимальных поверхностях // Геометрический анализ и его приложения. Научные школы ВолГУ. 1999. N 1. С. 352-368.

[22] Са Ярп Р., Розенберг X. (Sa Earp R., Rosenberg H.) The Diriclet problem'for the minimal surface equation on unbounded planar domains // J. Math. Pures Appl. 1989. N 68. P. 163-183.

[23] Тэм Л.Ф. (Tam L.F.) On the uniqueness of capillary surfaces without gravity over an infinite strip, Indiana Univ. Math. J. 1987. N 36. P. 79-89.

[24] Ткачев В Г. О некоторых свойствах средней кривизны графиков над областями в Rn // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314 N 1. С. 140143.

[25] Хенгатнер В., Скобер Г. (Hengartner W., Schober G.) Curvature estimates for some minimal surfaces // Complex analysis. Birkhauser. Basel. 1988. P. 87-100,

[26] Хоган CO., Сигел Д. (Horgan CO., Siegel D.) On the asymptotic behavior of a minimal surface over a semi-infinite strip // J. Math. Anal. Appl. 1990. V. 153. N 2. P. 397-406.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

[27] Акопяи Р.С. (Akopyan R.S.) About the admissible speep of approaching to zero of Gaussian curvature of minimal surface above semi-strip // Proceedings of international congress of the association "women-mathematicians". N. Novgorod. 1994. I 1. P. 7—9.

[28] Акопян Р.С. О допустимой скорости стремления к постоянной градиента решения уравнения минимальной поверхности над полуполосой // Математика. Моделирование. Экология. Тезисы докладов 4 межд. конф. женщин-математиков. Волгоград. 1996. С 18.

[29] Акопян Р.С. Условия стабилизации минимальной поверхности над полуполосой // Докл. РАН. 1999. Т. 368. N 5. С. 583-585.

[30] Акопян Р.С Теоремы типа Фрагмена-Линделефа для минимальной поверхности над полуполосой // Вестник Вол ГУ. 2001. В. 6. N 1. С 65-75.

Подписано в печать 01.04.2004 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 92.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, ул. 2-я Продольная, 30.

;» - 8 О 2 7

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Акопян, Рипсиме Сергоевна

Введение.

Глава 1. Подготовительные результаты.

§1.1. Уравнение минимальных поверхностей.

§1.2. Минимальные поверхности над полуполосой и их глобальная характеристика

§1.3. Пример минимальной поверхности над полу полосой.

§1.4. Изотермические координаты на минимальной поверхности и конформное отображение на полуполосу.

Глава 2. О стабилизации минимальных поверхностей над полуполосой.

§2.1. Оценка конформного отображения и принцип Фрагмена—Линделефа для голоморфных в полу полосе функций.

§2.2. Голоморфные функции в метрике поверхности и принцип Фрагмена—

Линделефа.

§2.3. О допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой.

§2.4. О допустимой скорости стремления к постоянной градиента решения уравнения минимальных поверхностей над полуполосой.

§2.5. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полуполосой.

Введение диссертация по математике, на тему "Асимптотическое поведение минимальной поверхности над полосой"

Теория минимальных поверхностей интенсивно развивалась в течение всего последнего столетия и продолжает развиваться в различных направлениях в настоящее время. Важнейшие результаты этой теории стали классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгрена, С.Н. Бернштейна, JI. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссермана, A.B. Погорелова, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминова, Э. Бомбьери, A.A. Борисенко, Э.Де Джиорджи, Э. Джу-сти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужилина, Д. Хофмана и др.

Минимальные графики 2 = f{x,y) над областями R2 описываются квазилинейным дифференциальным уравнением

Особое внимание многих исследователей было направлено на изучение решений этого уравнения в неограниченных областях. В значительной мере этому способствовала знаменитая теорема С.Н. Бернштейна (1915) [5], о том, что всякое целое решение уравнения (0.1) является линейной функцией переменных х, у. В работах Р. Финна [43], Л. Берса [6], X. Дженкинса [И], Р. Оссермана [30], Л. Саймона [37], В.М. Миклюкова [21] теорема С.Н. Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей.

Другим важным результатом для минимальных графиков над неограниченными областями в К2 является следующая теорема И.С.С. Ниче

0.1) где / = f(x,y), fx = %, fy = f |V/|2 = ß + /у2.

1965 года [28]:

Пусть 0,а С К2 — сектор раствора 0 < а < п и пусть / — решение уравнения минимальных поверхностей в Если / < О, на границе д&а> то / < О всюду в Г2а.

В связи с этим, И.С. С. Ниче был поставлен следующий вопрос. Будет ли единственным С2- решение / уравнения минимальных поверхностей с некоторым значением на границе дО., где П С

Проблема единственности является одной из основных при изучении решений уравнения (0.1) над неограниченными областями. Первые результаты в этом направлении, в том числе, для областей более общего вида, были получены в 1981 году В.М. Миклюковым [23]. Исследованию поведения решений уравнения минимальных поверхностей и уравнений типа минимальных поверхностей, заданных над неограниченными областями, посвящены работы Д.К. Ноулза [29], В.М.Миклюкова [22]— [24], А.Г. Воробьева, В.М.Миклюкова [10], В.И. Пелиха [32, 33], Р. Лан-жевина, Г. Левитта, X. Розенберга [19], В.М. Миклюкова, В.Г. Ткачева [25, 26], Л.Ф. Тэма [39], Р. Ланжевина, X. Розенберга [20], Е.Ф. Ванга [7, 8], В. Хенгатнера, Г. Скобера [44], Р. Са Ярпа, X. Розенберга [38], В.Г. Ткачева [40], С.О. Хогана, Д. Сигела [45], П. Коллина [15], П. Кол-лина, Р. Краста [16], А.Н. Кондрашова [17].

Целью диссертации является следующее.

• Исследование асимптотического поведения решения /(х,у) уравнения (0.1).

Основные результаты диссертации базируются на применении методов теории конформных отображений поверхностей на плоские области.

1) теоремы типа Фрагмена—Линделефа для функций голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданных над полуполосой;

3) оценки допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании геометрических свойств минимальных поверхностей в И3, квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений, а также могут найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Результаты работы докладывались на международном конгрессе ассоциации "Женщины-математики" (Москва, 1994 г.), на международной конференции "Математика. Моделирование. Экология" женщин-математиков (Волгоград, 1996 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и семинарах "Геометрический анализ и его приложения" кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета (1992—2003 гг.), 11-ой Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002 г.), региональной научной конференции "Математический анализ и его приложения" (Волгоград, 2002 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[4].

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на девять параграфов, списка литературы и изложена на 75 страницах. Нумерация параграфов подчинена нумерации глав. Библиография содержит 45 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Акопян, Рипсиме Сергоевна, Волгоград

1. Акопян Р.С. (Akopyan R.S.) About the admissible speep of approaching to zero of Gaussian curvature of minimal surface above semi-strip // Proceedings of international congress of the association "women-mathematicians". N. Novgorod. 1994. 1.1. P. 7—9.

2. Акопян Р.С. О допустимой скорости стремления к постоянной градиента решения уравнения минимальной поверхности над полуполосой // Математика. Моделирование. Экология. Тезисы докладов 4 межд. конф. женщин-математиков. Волгоград. 1996. С. 18.

3. Акопян Р.С. Условия стабилизации минимальной поверхности над полуполосой // Докл. РАН. 1999. Т. 368. N 5. С. 583-585.

4. Акопян Р.С. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полуполосой // Вестник ВолГУ 2001. В. 6. N 1. С. 65-75.

5. Бернштейн С.Н. Об одной геометрической теореме и приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа // Собр. соч. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР. 1960. С. 251-258.

6. Вере Л. (Bers L.) Nonlinear elliptic equation without nonlinear entire solutions //J. Rat. Mech. and Anal. 1954. V. 3. P. 767-787.

7. Ванг Е.Ф. (Hwang J.F.) Comparison principles and Liouville theorems for prescribed mean curvature equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Risa. 1988. V. 15. N 4. P. 341-355.

8. Ванг Е.Ф. (Hwang J.F.) A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. of Math. 1996. V. 176. N 2. P. 357-365.

9. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции // М.: Наука. 1988. 509 с.

10. Воробьев А.Г., Миклюков В.М. О некоторых асимптотических свойствах субрешений уравнений типа минимальных поверхностей // Сиб. мат. журн. 1982. T. XXIII. N 1. С. 25-31.

11. Дженкинс X. (Jenkins H.) On quasilinear elliptic equations which arise from variational problems // J. Rat. Mech. 1956. V. 10. P. 705—728.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия // М.: Наука. 1979. 760 с.

13. Евграфов М. А. Аналитические функции // М.: Наука. 1991. 448 с.

14. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции // М.: Наука. 1979. 320 с.

15. Коллин П. (Collin P.) Deux exempes de graphes courbure moyenne constante sur une bande de R2 // C. R. Acad. Sci. Paris. 1990. N 311. P. 539-542.

16. Коллин П., Краст P. (Collin P., Krust R.) Le Problème de Dirichlet pour lequation des surfaces minimales sur des domaines non bornés // Bull. Soc. Math. France. 1991. N 199. P. 443-462.

17. Кондратов A.H. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве // Докл. АН России. 1999. Т. 365. N 3. С. 319-321.

18. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров // М.: Наука. 1978. 832 с.

19. Ланжевин Р., Левитт Г., Розенберг X. (Langevin R., Levitt G., Rosenberg H.) Complete minimal surfaces with long line boundaries // Duke Math. J. 1987. V. 55. N 4. P. 1-11.

20. Ланжевин Р., Розенберг X. (Langevin R., Rosenberg H.) A maximum principle at infinity for minimal surfaces and applications // Duke Math. J. 1988. V. 57. N 3. P. 819-828.

21. Миклкжов В.M. Об одном новом подходе к теореме Берштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей // Матем. сб. 1979. Т. 108. N 2. С. 268-289.

22. Миклюков В.М. Об асимптотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением // Мат.сб. Т. 111. N.1. 1980. С. 42-66.

23. Миклюков В.М. Некоторые особенности поведения решений уравнений типа минимальной поверхности в неограниченных областях // Матем. сб. 1981. Т. 116. N 1. С. 72-86.

24. Миклюков В.М. Некоторые вопросы качественной теории уравнений типа минимальной поверхности // Граничные задачи математической физики. Киев: Наук, думка. 1983. С. 137—146.

25. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. О строении в целом внешне полных минимальных поверхностей в R3 // Изв. вуз. Мат. 1987. Т. 31. С. 30-36.

26. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. (Miklyukov V.M., Tkachev V.G.) Denjoy—Ahlfors Theorem for Harmonic Functions on Riemannian Manifolds and External Structure of Minimal Surfaces // Proc. Geom. and Anal. 1996. V.4. N 4. P. 547-587.

27. Ниче И.С.С. (Nitsche J. С. С.) Vorlesungen über Minimalflächen // Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1975.

28. Ниче И.С.С. О новых результатах в теории минимальных поверхностей // Матем. сб. переводов. 1967. Т. 11. N 3. С. 37—100.

29. Ноулз Д.К. (Knowles J.К.) A note on the spatial decay of a minimal surface over semi-infinite strip //J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 59. N 1. P. 29-32.

30. Оссерман P. (Osserman R.) On the inequality Au < f(u) // Pacif. J. Math. 1957. V. 4. N 7. P. 1641-1647.

31. Оссерман P. Минимальные поверхности // Успехи мат. наук. 1967. Т. XXII. N 4. С. 55-136.

32. Пелих В.И. Оценки искажения при конформном изображении минимальной поверхности // ТГУ, Тюмень, 1980. Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1981. N 1266-81.

33. Пелих В.И. Теоремы Фрагмена—Линделефа на минимальных поверхностях // Геометрический анализ и его приложения. Научные школы ВолГУ. 1999. N 1. С. 352-368.

34. Погорелов А.В. Геометрия // М.: Наука. 1983. 288 с.

35. Радо Т. (Rado Т.) On the problem of Plateau // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Berlin: Springer-Verlag. 1933.

36. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии //М.: Наука. 1956. 420 с.

37. Саймон Л. (Simon L.) Equation of mean curvature in 2 independent variables // Pacific J. Math. 1977. V. 69. N 1. P. 245-268.

38. Ca Ярп P., Розенберг X. (Sa Earp R., Rosenberg H.) The Diriclet problem for the minimal surface equation on unbounded planar domains // J. Math. Pures Appl. 1989. N 68. P. 163-183.

39. Тэм Л.Ф. (Tam L.F.) On the uniqueness of capillary surfaces without gravity over an infinite strip, Indiana Univ. Math. J. 1987. N 36. P. 79-89.

40. Ткачев В.Г. О некоторых свойствах средней кривизны графиков над областями в Rn // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314 N 1. С. 140— 143.

41. Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей // М.: Наука. 1991. 176 с.

42. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Санкт-Петербург. Т. 2. 1997. 800 с.

43. Finn R. On a problem of type, its application to elliptic partial differential equations //J. Rat. Mech. and Anal. 1954. V. 3. P. 789-799.

44. Хенгатнер В., Скобер Г. (Hengartner W., Schober G.) Curvature estimates for some minimal surfaces // Complex analysis. Birkhauser. Basel. 1988. P. 87-100.

45. Хоган С.О., Сигел Д. (Horgan С.О., Siegel D.) On the asymptotic behavior of a minimal surface over a semi-infinite strip //J. Math. Anal. Appl. 1990. V. 153. N 2. P. 397-406.