Одномерные слоения на периодических поверхностях в R3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.164

Иван Алексеевич Дыннвдтя-

Одномерные слоения на

о

периодических поверхностях в И

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор С. П. Новиков

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент А. В. Б олеинов

кандидат физико-математических наук, н. с. А. В. Зорич

Ведущая организация

Институт математики Сибирсокого отделения РАН

Защита диссертации состоится "_19_"_апреля_ 1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 по математике при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносоа по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-мате-матнческого факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан "_12_"_марта_1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических

наук, профессор В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория Морса, нашедшая многочисленные приложения в топологии, имеет естественное обобщение на случай замкнутых 1-форм, поскольку локально такая форма является дифференциалом некоторой функции, определенной с точностью до аддитивной константы. Интенсивное развитие аналога теории Морса для замкнутых 1-форм (или многозначных функций) начато в работах С. П. Новикова [1], [2]. В работах [3] и [4] изучаются поверхности уровня замкнутых 1-форм и доказывается, что они имеют квазипериодическую структуру.

Многозначная функция формально может служить гамильтонианом в теории гамильтоновых систем, поэтому изучение поверхностей уровня замкнутых 1-форм представляет интерес для изучения топологии таких систем. Однако в большинстве известных примеров систем с многозначным гамильтонианом число степенен свободы бесконечно.

В работе [1] приведен пример интересной 3-мерной системы с многозначным гамильтонианом, возникающей в одночастичной полуклассической модели движения электрона в кристаллической решетке Ь = Z3 под действием однородного постоянного магнитного поля Н. По-лукласснческая модель является одним из важнейших инструментом для исследования зависимости проводимости кристаллов от внешнего поля, которое рассматривается как малое возмущение и учитывается классическим образом (см. [5], [6]).

Состояния системы описываются квазиимпульсом Р, который оп-

[1] С. П. Новиков, Галшльтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, УМН, 37 (1982), 5, 3-49

[2] С. П. Новиков, Критические точки и поверхности уровня многозначных функций, Труды МИАН, 166 (1984), 201-209

[3] А. В. Зорин, Квазипериодическая структура поверхностей уровня морсов-ской формы, близкой к рациональной — задача С. П. Новикова, Известия АН СССР, 51 (1987), 6, 1322-1344

[4] Т. К. Т. Ле, Структура поверхностей уровня морсо&ской формы, Матем. заметки, 44 (1988), 1, 124-133

[5] Е. М. Лнфшиц, Л. П. Питаевскни, Физическая кинетика, Москва, Наука, 1979 .

[6] А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Москва, Наука, 1987

ределен с точностью до векторов обратной решетки L* = Z3, и, таким образом, может быть рассмотрен как элемент 3-мерного тора Т3. В силу уравнении движения

сохраняется энергия е(Р) = const, которая является 3-периодической функцией, а также проекция Р на прямую с направляющим вектором Я: (Р,Н)= const.

Таким образом, в рассмотренной модели траектории движения, спроецированные в пространство квазннмпульсов (точнее, в накрывающее пространство Н3), представляют собой линии пересечения поверхности е = const с плоскостями, ортогональными Я.

Наибольший интерес представляют собой траектории на Ферми-поверхности е(Р) = £fI где ер — энергия Ферми. Если на этой поверхности есть незамкнутые траектории, и они обладают асимптотическим направлением, то при увеличении силы магнитного поля составляющая тензора проводимости в перпендикулярном направлении стремится к ненулевой константе. Если все траектории замкнуты, то проводимость во всех направлениях, перпендикулярных Я стремится к нулю.

Таким образом, возникает задача изучения топологии слоения, которое 1-форма Q = Н\dx\ + Яг(/х2 + НзНх3 с постоянными коэффициентами задает на поверхности уровня 3-периодической функции в R3.

Данная задача интересна также как случаи динамической системы с трансверсальнон мерой на поверхности. Динамическим системам на поверхностях, и в частности асимптотическому поведению траекторий, посвящено множество работ, среди которых мы отметим [7], [8],

[7] Д. В. Аносов, Как могут уходить в бесконечность кривые на универсальной накрывающей плоскости, накрывающая несамопересекающиеся кривые на замкнутой поверхности, Труды МНАН, 191 (1989), 34-44

[8] С. X. Аргнсон, В. 3. Грннес, О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях (необходимь>е и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систем), Математический сборник, 90 (1973), 3, 372-402

[9], [10]. Однако наша задача является весьма специальной и представляет собой сильно вырожденный случай с точки зрения общей теории динамических систем.

Цель работы:

Исследовать вопрос о существовании асимптотического направления незамкнутых регулярных компонент линии уровня ограничения постоянной 1-формы в на З-периодическую поверхность ÏÏ13 и зависимости этого направления от коэффициентов 1-формы.

Методы исследования. Используются методы маломерной топологии, теории Морса, теории графов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Доказано, что множество уровней функции на торе Т3, на которых для фиксированной 1-формы есть незамкнутые траектории, является либо отрезком, либо ровно одной точкой.

2. Найдена топологическая характеристика, равенство нулю которой является критерием существования сильного асимптотического направления.

3. Показано, что если множество уровнен функции, содержащих незамкнутые траектории, является невырожденным отрезком, то сильное асимптотическое направление существует, одинаково для всех траекторий и ортогонально некоторому целочисленному вектору, который устойчив при малых возмущениях.

4. Построена комбинаторная модель, позволяющая строить примеры, когда траектории не обладают асимптотическим направлением, и изучать множество таких примеров.

[9] Н. Masur, Interval exchange transjormations and measured foliations, Annals of Mathematics, 115 (1982), 1, 169-200

[10] Л. Zorich, A symptotic Flag of an Orientable Measured Foliation on a Surface, Proc. of Geometric Study of Foliations, Tokyo, Nov. 1993, World Scientific, Sin-gapure, 1994, 479-498

5. Доказано, что совместные линии уровня (п — 1) замкнутых периодических 1-форм в К" обладают сильным асимптотическим направлением.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам в области слоении с инвариантной трансверсальной мерой, в области динамических систем на поверхностях, а также могут быть использованы для изучения проводимости в кристаллах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Геометрические методы в математической физике" (С.-Петербург, ноябрь 1992 г.), "Геометрия слоений" (Токио, ноябрь 1993 г.), на научно-исследовательских семинарах в МГУ, на семинаре проф. Р. Занлера (Технический Университет, Берлин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых представлен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 13 параграфов, н списка литературы. В тексте диссертации приведено 20 рисунков. Список литературы содержит 20 наименований. Общий объем диссертации — 93 страницы.

Содержание работы

Постановка основной задачи, рассматриваемой в диссертации, содержится во введении и состоит в следующем. Рассмотрим ограничение 1-формы Г2 = //1 <У.г 1 + 112(1x2 + Язб/.гз с постоянными коэффициентами на замкнутую ориентированную и гомологичную нулю поверхность М в 3-мерном торе Т3. Нас интересует асимптотическое поведение незамкнутых линий уровня формы и = П . Для этого мы рассматриваем соответствующие линии уровня на накрывающей 3-пернодпческой поверхности М в К3, которые мы в дальнейшем называем траекториями.

Определение. Мы говорим, что кривая r(t), t £ (—00, +00) имеет сильное асимптотическое направление, если для некоторой, возможно другой, параметризации r(i), ^ > 0, т —> ±00 (t -* ±00), найдется вектор и, Н = 1, и константа С, такие, что |г(г) — tv\ < С Vr.

Гипотеза С. П. Новикова (см. [11]) состоит в том, что незамкнутые траектории всегда имеют сильное асимптотическое направление.

Один из основных результатов диссертации состоит в следующем.

Теорема. В случае общего положения либо все траектории замкнуты, либо незамкнутые траектории имеют сильное асимптотическое направление. Сильное асимптотическое направление не может быть произвольным, а всегда ортогонально некоторому целочисленному вектору, который не меняется при малых возмущениях поверхности М или вектора II.

Таким образом, утверждение гипотезы С. Г1. Новикова верно почти всегда, но, как показано в настоящей работе, существуют контрпримеры.

В первой главе §1 вводятся основные определения и разбираются простейшие случаи.

Определение. Степенью иррациональности 'itt(H) вектора II называется размерность пространства, порожденного над (Q числами Нi, //2, Я3.

Определение. Гомологической размерностью d(i) вложения г. М —> Т3 мы называем размерность подрешетки i,(II\(M,Z)) в решетке tfi(T3,Z) = Z3.

Наиболее интересным и нетривиальным является случай irr(II) — 3, d(i) = 3.

В §3 доказывается следующий результат. Пусть /: R3 —»И, — гладкая 3-иернодическая функция, вектор II фиксирован. Обозначим через U множество значений t функции /, для которых ограничение ojt формы Г2 на поверхность Mt = /-1(<) имеет некомпактные линии уровня.

[11] S. P. Novikov.Quasipen'oiiic structures in topology, Proc. of Conf. "Topological

methods in mathematics", 1991, Stony Bruk

Теорема 3.1. Множество I/ для любых / и II представляет собой либо замкнутый отрезок: V = [^,<2], либо одну точку: и — {¿о}-

Вторая глава потащена изучению топологии слоения, задаваемого формой ы на поверхности М и случае общего положения. В частности, мы в основном рассматриваем случай вектора II степени иррациональности 3.

Развивая идеи работы [12], мы вводим в §4 редуцированную поверхность, на которой незамкнутые траектории в каком-то смысле ведут себя так же, как на М, а замкнутые траектории отсутствуют. Это делается следующим образом.

Сначала мы удаляем из поверхности М все замкнутые траектории. Остается поверхность с краем, каждая компонента которого представляет собой плоский диск, ортогональный вектору Н ■ Приклеивая эти диски к поверхности, получаем поверхность без края Мг. Дополнительно перестраивая аналогичным образом поверхность МТ вдоль се-паратрпеных циклов, гомологичных нулю, если таковые имеются, получаем поверхность Мсг.

Показано, что при выполнении некоторых условий общего положения поверхности МГ и Мсг множно пошевелить так, что получиться регулярная поверхность, ограничение на которую формы О имеет дискретные критические точки, не имеет замкнутых линий уровня, а незамкнутые траектории лишь конечной деформацией отличаются от соответствующих траекторий на Л/. Это позволяет, в каком-то смысле, свести задачу к случаю, когда на поверхности М отсутствуют замкнутые траектории.

Нетрудно видеть, что каждая из компонент поверхностей Мг и Мсг имеет род не меньше 1. Эйлерову характеристику поверхности Мсг мы называем эффективной эйлеровой характеристикой поверхности М и обозначаем Она всегда неположительна и равна нулю

только в том случае, когда все связные компоненты поверхности Мсг являются торами. Как показано в §5, равенство хе?? = 0 является

[12] А. В. Зорин, Задача С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона в однородно.м .магнитно." поле, близком к рациональному, УМН, 39 (1984), 5, 235-236

критерием существования сильного асимптотического направления.

Теорема 5.1. Если вектор II имеет степень иррачиональности 3, и на поверхности M есть незамкнутые траектории, то следующие утверждения равносильны:

1) хотя бы одна незамкнутая траектория на M имеет сильное асимптотическое направление;

2) все незамкнутые регулярные траектории на M имеют сильное асимптотическое направление;

3) эффективная эйлерова характеристика хе^{М, Н) равна нулю;

4) гомологическая размерность вложения (или почти вложения) Мсг —> Т3 равна двум.

Равенство (M, II) = 0 влечет существование сильного асимптотического направления при любом векторе II.

В §6 рассматривается случай, когда гомологическая размерность вложения поверхности M равна 2. Тогда легко видеть, что любая незамкнутая траектория на накрывающей M лежит в полосе конечной ширины. Однако неограниченная траектория имеет тогда две возможности: она может проходить полосу насквозь, а может возвращаться в "ту же бесконечность", из которой выходит. Мы доказываем, что вторая ситуация невозможна.

Предложение 6.1. Если d(i) = 2, то все незамкнутые регулярные траектории на M обладают сильным асимптотическим направлением.

В работе [12] доказано утверждение, которое можно переформулировать так: для вектора H, достаточно близкого к данному фиксированному рациональному вектору, поверхность Мг (если она не пуста) является объединением торов, откуда, учитывая предложение 6.1, получаем, что незамкнутые траектории имеют сильное асимптотическое направление.

Однако множество рациональных векторов можно покрыть окрестностями сколь угодно малой суммарной меры. Мы доказываем следующий более сильный результат.

Теорема 7.1. Если множество и уровней функции /, содержащих открытые траектории, состоит более, чем из одной точки, то есть II = [с1, сг], с\ < С2, то для всех < Xе ^ (М^ — О-

Если, кроме того, ¡гг(#) = 3, то для I £ [/ поверхность М(сг представляет собой дизъюнктное объединение четного числа торов, которые имеют один и тот же с точностью до знака гомологический класс А"1 ¡3х + А.'2/З2 + ^'з/?3, причем тройка (А-чД'гД'з) несократима.

Целочисленный вектор к= (А'ь^'гД'з) (определенный с точностью до знака) одинаков для всех I £ Ц и устойчив при малых возмущениях функции / и вектора Н.

Вектор сильного асимптотического направления v коллинеарен к х II.

Отсюда вытекает также следующее утверждение, заслуживающее самостоятельной формулировки.

Предложение 7.3. Если для некоторого < 0, то для всех

б ф I поверхность М, содержит лишь замкнутые траектории.

Идея доказательства состоит в следующем. Мы показываем, что ситуация, в которой поверхность Мг имеет компоненты рода больше 1 неустойчива в том смысле, что при малой деформации М внутрь или вовне появляются дополнительные замкнутые траектории, н род поверхности МТ уменьшается. Причины такой неустойчивости подробнее обсуждаются в §8.

§9 посвящен несколько иной задаче, сходной с нашей основной. Изучается поведение совместных линий уровня (п — 1) замкнутых тг-перноднческих 1-форм в И" в общем положении. Интегралы таких 1-форм представляются в виде суммы линейной и периодической функции и называются псевдопериодическими функциями.

Поверхности уровня псевдоперноднческих функций изучались в ра-

ботах [13], [14]. В работе [14] ставится вопрос о поведении незамкнутых связных компонент совместных линии уровня (п — 1) псевдопериодических функции в ]Rn. Интерес представляет количество незамкнутых компонент одной регулярной линии уровня, а также асимптотика в -foo и —оо.

В этой задаче из-за линейного роста функций незамкнутые траектории автоматически лежат в "карандаше" — конечной окрестности некоторой прямой линии. Используя обобщение метода, примененного в доказательстве предложения 6.1, мы показываем, что незамкнутые траектории представляют собой конечные возмущения прямых линий, и их число в одной совместной регулярной линии уровня одно и то же для разных уровней функций.

В третьей главе мы снова возвращаемся к нашей основной задаче и строим примеры, когда сильное асимптотическое направление не существует.

Первый такой пример был придуман С. П. Царевым. В его случае вектор II имеет степень иррациональности 2, и траектории обладают асимптотическим направлением в обычном смысле, то есть в некоторой параметризации имеют асимптотику (/ + o(t))v (t —> ±оо). Топология соответствующего слоения такова: поверхность Л/, имеющая род 3, оказывается разрезанной двумя сепаратрисными циклами на два тора с дырками. Но отличие от типичной ситуации, обсуждавшейся в §7, состоит в том, что сепаратрисные циклы, то есть компоненты границы этих торов, негомологичны нулю в Т3. Таким образом, хотя ■усИ < о, незамкнутая траектория обматывает не всю поверхность, а лишь ее половину.

В §10 доказано, что в случае irr(#) = 2 открытые траектории всегда имеют асимптотическое направление в обычном смысле, и если < 0, то на поверхности М есть негомологичные нулю сепаратрисные циклы. Таким образом, пример Царева исчерпывает качественные

[13] В. И. Арнольд, Топологические и эргодические свойства замкнутых 1-форм с несоизмеримыми периодами, Функциональный анализ п его приложения, 25 (1991), 2, 1-12

[14] В. И. Арнольд, Полиинтегрируемые потоки, Алгебра и анализ, 4 (1992), 6, 54-62

эффекты, которые могут возникать в случае ¡гг(Я) = 2.

Параграфы §§11-13 посвящены построению примеров поверхностей рода 3, на которых существуют всюду плотные траектории, а также изучению множества Т таких примеров (элементами Т являются пары (Л/, Я) поверхность-вектор). Из результатов параграфа7 следует, что Т содержится в некотором множестве X коразмерности 1. Мы строим комбинаторную модель для описания окрестности в 2 некоторой точки из Г.

Предложение 7.3 можно усилить следующим образом: если на М нет замкнутых траекторий, то после сколь угодно малой деформации М внутрь вблизи седловой точки нашей 1-формы все траектории становятся замкнутыми. Поэтому для построения примеров с < 0 мы сначала берем поверхность М, состоящую из замкнутых траекторий, а потом сдвигаем седловую точку.

Для кодирования поверхности, на которой все траектории замкнуты, и способа деформации, а также соответствующего вектора Я, мы вводим комбинаторные объекты, называемые в работе допустимыми схемами. Допустимая схема 5 вместе с набором Ь пяти положительных чисел — весов, определяют некоторую пару (М, II) из ¿Г. При этом для фиксированной допустимой схемы мы получаем с точностью до несущественной деформации поверхности псе такие пары из некоторой открытой окрестности в Под несущественной деформацией понимается деформация поверхности, при которой траектории лишь конечным образом возмущаются. Хотя мы рассматриваем бесконечномерное пространство, за поведение траекторий локально отвечает лишь конечный набор параметров.

Каждая пара (М,Н) из 2 может определяться различными взвешенными допустимыми схемами, поскольку схема определяет некоторое приближение к поверхности М и способ его деформации. Мы рассматриваем цепочки (5т,Ьт) последовательных приближений, каждое из которых строится по предыдущему. При этом мы стартуем с пары (£о,11), в которой допустимая схема раз и навсегда фиксирована, а веса варьируются. Умножение на положительное число одновременно всех весов не меняет поведение траекторий на искомой поверхности,

поэтом}' мы нормируем начальный набор весов условием ^ Л' = 1. Мы получаем ориентированный граф взвешенных схем, из каждой вершины которого выходит либо одно ребро, либо ни одного.

Далее мы вводим понятие распадающейся допустимой схемы. Ориентированный путь на графе , попавший на некотором шаге в распадающуюся допустимую схему, далее проходит только по распадающимся схемам. Основной наш результат состоит в следующем.

Обозначим через Zo множество тех Ь £ Д4, для которых ориентированный путь на графе б*" с началом в (5°,11) обрывается за конечное число шагов и не попадает в распадающуюся схему, через — множество тех наборов весов, для которых этот путь попадает в распадающуюся схему, и через Z^¿ — множество оставшихся наборов

2\{гх иг2).

Предложение 13.2. Пусть М = М(5°,11), Я = Я(5,°,Ь). Тогда если Ь £ то х{Мг) — 0> если Ь £ Z■2., то х{Мсг) = -4.

Симплекс Д4 является дизъюнктным объединением Z\, Z2■

Множество имеет меру нуль. С точностью до этого множества мы получаем описание интересующего нас множества контрпримеров к гипотезе С. П. Новикова. Мы явно предъявляем контрпример, в котором степень иррациональности вектора Я равна трем, и каждая незамкнутая траектория всюду плотна на поверхности, и, кроме того, доказываем, что множество контрпримеров континуально.

В действительности наша конструкция позволяет описывать не само множество ^2, а дополнитльное к нему (с точностью до Zo) множество Z\ "хороших" пар (М,Н), точнее, множества тех параметров Ь, для которых мы получаем такую пару с = 0. Это множество является объединением 4-симплексов, которые находятся во взаимнооднозначном соответствии с конечными ориентированными путями на графе б, попадающими на последнем шаге в распадающуюся схему. Граф (7 — это "базовый" граф для С", вершинами которого являются допустимые схемы (без наборов весов).

Для поверхности М (5°, Ь), построенной по внутренней точке Ь любого такого симплекса из Z\ определен целочисленный вектор к как в

теореме 7.1, который на этом симплексе постоянен. Оказывается, что путь общего положения, соединяющий точки из двух таких симплексов с разными векторами к пересекает бесконечное число других симплексов из

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику С. П. Новикову за постановку задачи и внимание к работе, а также А. В. Зоричу и С. П. Цареву за плодотворные обсуждения.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. И. А. Дынннков, Доказательство гипотезы С. П. Новикова для случая малых возмущений рациональных магнитных полей, Успехи, матем. наук, т. 47 (1992), в. 3, с. 161-162.

2. И. А. Дынннков, Задача С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона, Успехи матем. наук, т. 48 (1993), в. 2, с. 179180.

3. II. А. Дынннков, Доказательство гипотезы С. П. Новикова о полуклассическом движении электрона, Матем. заметки, т. 53 (1993), в. 5, с. 57-68.

4. И. А. Дынников, О пересечениях поверхностей уровня псевдопериодических функций, Успехи матем. наук, т. 8 (1994), в. 6, с. 213-214.