Униформизация листов одномерных голоморфных слоений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

1 1 да |98В

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.925.7

Алексей Антонович Глуцюк

УНИФОРМИЗАЦИЯ ЛИСТОВ ОДНОМЕРНЫХ ГОЛОМОРФНЫХ СЛОЕНИЙ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.С.Ильяшенко.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук

В.К.Белошапка, - доктор физико-математических наук А.Г.Хованский.

Ведущая организация: Математический институт

имени В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится

1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при

Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Известно, что топология общего одномерного голоморфного слоения с особенностями на неособом проективном алгебраическом многообразии, вообще говоря, довольно сложна. Например, существует область И в пространстве слоений на СР2 , локально определённых голоморфным векторным полем, такая что каждый лист типичного слоения из Ю всюду плотен в СР2 ([1], [2], [3]).

Один из возможных подходов к исследованию этой сложной картины состоит в униформизации листов. Результат униформизации отдельного слоя хорошо известен. Это классическая теорема о классификащш односвязных римановых поверхностей. Однако для исследования слоения в целом важно знать зависимость униформизущей функции от параметра.

Существует гипотеза [4], что листы слоения на аналитические кривые на СР" допускают униформизацию, такую что униформизующая функция голоморфно зависит от параметра. Один из результатов, тесно связанных с этой проблемой,—теорема о том, что объединение универсальных накрывающих над листами, пересекающими трансверсальный диск, есть многообразие Штейна [5].

В настоящей работе исследуется проблема конформного типа листов, тесно связанная с проблемой униформизации.

Цель работы. Исследовать проблему конформного типа листов одномерных голоморфных слоений в следующих вариантах:

1) Какой конформный тип имеют фазовые кривые общего полиномиального векторного поля в С"?

2) Пусть IV — неособое проективное алгебраическое многообразие. Какой конформный тип имеют листы общего одномерного голоморфного

Исследования поддержаны грантом фонда Pro-Mathematica Французского Математического общества, грантами МНФ М98000, М98300, "Культурная инициатива" , грантом РФФИ N 95-01-00229а

1. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 1, часть 1. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Москва (1985).

2. Мюллер В., О плотности решений некоторых дифференциальных уравнений в СР" . Матем. сб., 1975, т. 98, вып. 3, стр. 363-377.

3. Худай-Веренов М.О., Об одном свойстве решений одного дифференциального уравнения. Матем. сб., 1962, т. 56(98), вып. 3, стр. 301-308.

4. Ильяшенко Ю.С., Щербаков A.A., Косые цилиндры и одновременная унифор-мизация, - готовится к печати.

5. Ильяшенко Ю.С. Слоения на аналитические кривые. Матем. сб., 88, вып. 4 (1972), стр.558-577.

слоения на W?

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) фазовые кривые общего полиномиального векторного поля в С" являются гиперболическими римановыми поверхностями, т.е., их универсальные накрывающие конформно эквивалентны диску;

2) для большинства естественных классов одномерных голоморфных слоений на неособом проективном алгебраическом многообразии листы типичного слоения - гиперболичны.

Методы исследования. При доказательстве основных результатов используется следующий критерий гиперболичности римановой поверхности.

Теорема 0 [6]. Риманова поверхность гиперболична тогда и только тогда, когда на ней существует эрмитова метрика отрицательной гауссовой кривизны, отделенной от нуля.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, занимающимся аналитическими дифференциальными уравнениями и комплексным анализом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном Математическом Конгрессе в Цюрихе (стендовый доклад) (август 1994 г.), на конференции "Real & Complex Dynamical Systems" (Хиллерод, Дания, июнь 1993 г.), на симпозиуме "Singularities of vector fields and Pfaffian systems" (Варшава, Польша, октябрь 1995 г.), на семинаре в семестре по аналитическим динамическим системам в Мексике (UNAM, Мехико, январь 1995 г.), на семинаре по аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений под руководством Ю.С.Ильяшенко, на семинаре под руководством J.-F.Mattei (Université Paul Sabatier, Тулуза, Франция).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 15 наименований. Общий обьем работы - 57 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссерта-

6. Osserman R. On the inequality Ди > /(и), Pacific J. Math., 7, No.4, 1641-1647 (1957).

ции, и приведены краткие формулировки основных результатов.

В главе 1 доказана гиперболичность фазовых кривых общего полиномиального векторного поля в С". Там же сформулировано и доказано достаточное условие гиперболичности фазовых кривых полиномиального векторного поля. (Оно приводится ниже.) Это условие выделяет множество, содержащее открытое по Зарисскому подмножество в пространстве полиномиальных векторных полей, степени компонент которых фиксированы и не меньше 2.

Прежде, чем формулировать основной результат главы 1, введем некоторые определения и обозначения.

Определение. Показателем Лоясевича голоморфного векторного поля V в его изолированной особой точке А называется нижняя грань Ь(А) множества чисел а > 0, для каждого из которых существует с > 0, такое, что в некоторой окрестности точки А выполнено неравенство

Замечание 1. Показатель Лоясевича в изолированной особой точке голоморфного векторного поля существует всегда.

Обозначим через £(оо) верхнюю грань множества чисел а ^ О, для каждого из которых существует такое с > 0, что в некоторой окрестности бесконечности (вне достаточно большего шара в С") выполнено неравенство

М2)\\>ФГ. Основной результат главы 1 составляет следующая

Теорема 1. Пусть полиномиальное векторное поле в С" имеет только изолированные особые точки с показателями Лоясевича, меньшими Ь(оо). Тогда все фазовые кривые поля являются гиперболическими римановыми поверхностями.

Для целочисленного вектора ш = (та,... , тп) обозначим тт{т1, ... , пг„} через тт(ш).

Определение. Степенью вектор-полинома (Р\(г), ... , Р„(г)) назовем вектор (с!е§ Р\,..., с^ Рп).

Пространство вектор-полиномов векторной степени т обозначим через Ут.

Утверждение. При пип(т) ^ 2 условию теоремы 1 удовлетворяют вектор-полиномы из Ут общего положения.

В главе 3 доказано следующее усиление этого утверждения.

Теорема 2. Коразмерность в пространстве Ут множества полиномиальных векторных полей, не удовлетворяющих условию теоремы 1, равна гшп(т) — 1.

Глава 2 является основной. В ней содержатся результаты об одномерных голоморфных слоениях на неособом проективном многообразии. Прежде, чем их формулировать, введем некоторые определения.

Определение. Одномерным голоморфным слоением на комплексном многообразии IV с особым множеством Е называется голоморфное поле касательных направлений на множестве IV \ Е, которое не может быть аналитически продолжено ни в какую большую область.

Листом одномерного голоморфного слоения называется интегральная кривая соответствующего поля направлений. Особое множество слоения ¥ обозначается через этд¥.

Определение. Одномерное голоморфное слоение с особенностями на комплексном многообразии называется допустимым, если его особое множество содержится в аналитическом подмножестве коразмерности не меньше 2.

Замечание 2. Всякое допустимое слоение на комплексном многообразии локально задаётся голоморфным векторным полем в окрестности каждой точки многообразия, так что особое множество слоения в окрестности точки совпадает с множеством особенностей соответствующего векторного поля [7]. В работе рассматриваются только допустимые слоения.

Пример 1. Каждое допустимое слоение на неособом проективном многообразии задаётся мероморфным векторным полем. Это вытекает из замечания 2. Для такого слоения соответствующее мероморфное векторное поле определено однозначно с точностью до умножения на меро-морфную функцию.

Пример 2. Всякое допустимое слоение на проективном пространстве задаётся полиномиальным векторным полем в любой аффинной карте, так что особое множество слоения в карте совпадает с множеством особенностей соответствующего векторного поля.

В главе 2 сформулировано и доказано достаточное условие гиперболичности листов одномерного голоморфного слоения на неособом проективном алгебраическом многообразии. В случае, когда рассматриваемое многообразие - проективное пространство, это условие выделяет

7. Ильяшенко Ю.С. Слоения на аналитические кривые. Матем. сб., 88, вып. 4 (1972), стр.558-577.

о

множество, содержащее открытое по Зарисскому подмножество в пространстве слоений, заданных полиномиальным векторным полем фиксированной степени т > 3 в общей аффинной карте.

Ниже сформулированы основные результаты главы 2 о слоениях на проективном пространстве. Затем - основные результаты о слоениях на произвольном неособом проективном многообразии.

Определение. Особая точка А допустимого слоения называется невырожденной, если оператор линеаризации соответствующего голоморфного векторного поля в А невырожден.

Теорема 3. Пусть допустимое слоение на проективном пространстве с изолированными невырожденными особенностями определено полиномиальным векторным полем степени больше 2 б некоторой аффинной карте. Тогда все листы слоения—гиперболические римановы поверхности.

Теорема 3 была также независимо (но не раньше) доказана А. Линсом Нето.

Замечание 3. Как показано ниже, требование, чтобы рассматриваемое слоение задавалось полиномиальным векторным полем степени больше 2 в некоторой аффинной карте, естественно.

Предложение 1. Пусть допустимое слоение на проективном, пространстве задаётся полиномиальным векторным полем степени не выше 2 в каждой аффинной карте. Тогда слоение задаётся линейным, векторным полем в некоторой аффинной карте.

Ниже будет сформулирована более общая теорема. Для этого введём следующее

Определение. Показателем Лоясевича допустимого слоения в его изолированной особой точке А называется показатель Лоясевича соответствующего голоморфного векторного поля в окрестности точки А.

Замечание 4■ Показатель Лоясевича допустимого слоения в его изолированной особой точке не зависит от выбора соответствующего векторного поля.

Замечание 5. Показатель Лоясевича допустимого слоения в его невырожденной особой точке равен 1.

Справедливость теоремы 3 вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть — допустимое слоение на проективном пространстве, задаваемое полиномиальным векторным полем степени т ^ 3 в общей аффинной карте. Пусть Р имеет изолированные особенности А1, ..., А3 с соответствующими показателями Лоясевича £(.4.;), и выполнено следующее неравенство:

з

£>(Л,-)-1)<т-2. (1)

¿=1

Тогда все листы слоения Р гиперболичны.

Доказательство теоремы 3. Пусть слоение ^ удовлетворяет условию теоремы 3. Тогда 2*1 удовлетворяет условию теоремы 4, так как-соответствующая левая часть в (1) обращается в нуль (замечание 5), а правая часть положительна. В силу теоремы 4, все листы слоения Г гипеболичны. Теорема 3 доказана.

Теоремы 3 и 4 имеют естественные обобщения для слоений на произвольном неособом проективном многообразии. Формулировки этих обобщений приведены ниже.

Вначале введем некоторые определения и обозначения.

Определение. Под дивизором на комплексном многообразии мы понимаем конечную линейную комбинацию его аналитических подмножеств коразмерности 1 с рациональными коэффициентами.

Определение. Пусть Е — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии ТУ. Многозначным мероморфным сечением конечного типа расслоения Е будем называть многозначное сечение вида <т/а , где а—мероморфное сечение расслоения Е, /—мероморфная функция, а £

Пример 3. Многозначная мероморфная функция (т.е., сечение тривиального расслоения со слоем С) конечного типа имеет вид /", где /—мероморфная функция, а £ ф.

Определение. Пусть а — многозначное мероморфное сечение конечного типа голоморфного векторного расслоения на комплексном многообразии IV, V С № —неприводимое аналитическое подмножество коразмерности 1, А £ V, /—голоморфная функция в окрестности точки А, порождающая идеал, отвечающий множеству V. Порядком сечения сг на V называется число а, для которого существует голоморфное сечение (Г0 расслоения в окрестности точки А, такое, что ао\у Ф 0, и а = ай}\

Замечание 6. Порядок многозначного сечения из предыдущего определения на неприводимом аналитическом подмножестве коразмерности 1 корректно определён. Если многообразие компактно, то имеется не более, чем конечное число неприводимых аналитических подмножеств коразмерности 1, где сечение имеет ненулевой порядок.

Определение. Пусть Ж — компактное комплексное многообразие, а — многозначное сечение из предыдущего определения. Дивизором сечения а называется сумма всех неприводимых аналитических подмножеств коразмерности 1, каждое из которых умножено на соответствующий порядок сечения а.

Пример 4. Пусть допустимое слоение на проективном пространстве задаётся полиномиальным векторным полем степени т в общей аффинной карте, как в примере 2. Тогда дивизор соответствующего полиномиального векторного поля в любой аффинной карте равен дивизору бесконечно удалённой гиперплоскости, умноженной на 2 — т. Это доказывается прямым вычислением.

Определение. Два дивизора 0\, на комплексном многообразии называются обобщённо линейно эквивалентными1 , если — Во— дивизор (многозначной, имеющей конечный тип) мероморфной функции.

Теперь напомним определения отрицательных линейного расслоения и дивизора. Для этого введём следующее

Определение. Эрмитовой формой, ассоциированной с заданной вещественнозначной (1,1)-формой, называется эрмитова форма, мнимая часть которой противоположна данной (1,1)-форме.

Замечание 7. Мнимая часть эрмитовой формы — вещественнознач-ная (1,1)-форма. Эрмитова форма, ассоциированная с заданной вещественнозначной (1,1)-формой, корректно определена. Для данной вещественнозначной (1,1)-формы ш значение соответствующей эрмитовой формы на паре векторов (г;1, иг) равно , гиг) — ш(у\, иг)-

Определение. Пусть д — эрмитова метрика на линейном расслоении на комплексном многообразии с формой кривизны в. Тогда (в— вещественнозначная (1,1)-форма [8]. Эрмитова форма дк, ассоциированная с г'б, называется эрмитовой кривизной.

1 Это определение отличается от общепринятого определения линейной эквивалентности дивизоров тем, что в последнем разность дивизоров—дивизор мероморфной функции.

8. Гриффите Ф., Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии. Москва. "Мир", (1982).

Определение. (См.[8]). Линейное расслоение на компактном комплексном многообразии называется отрицательным, если оно допускает эрмитову метрику отрицательно определённой эрмитовой кривизны. Дивизор с целыми коэффициентами называется отрицательным, если соответствующее линейное расслоение отрицательно.

Пример 5. Пусть Н — гиперплоскость в СР". Дивизор —И — отрицателен. Действительно, соответствующее линейное расслоение есть тавтологическое расслоение С"+1\0 ->• СР". Метрика на последнем, индуцированная эрмитовым скалярным произведением на линейном пространстве С"+1, имеет отрицательно определенную эрмитову кривизну [8]. Форма, противоположная последней, есть эрмитова метрика на СР", которая называется метрикой Фубини-Штуди. Дивизор с целыми коэффициентами на комплексном многообразии, обобщенно линейно эквивалентный положительному кратному отрицательного дивизора, также отрицателен. Это вытекает, например, из первого утверждения в §2 главы 1 книги [8].

Замечание 8. В силу теоремы Кодаиры о вложении [8] и утверждений из примера 5, дивизор Б на неособом проективном многообразии отрицателен, если и только если существует вложение многообразия в проективное пространство, такое что И обобщённо линейно эквивалентен отрицательному кратному соответствующего гиперплоского сечения.

Теорема 5. Пусть Е—допустимое слоение на неособом проективном многообразии, заданное мероморфным векторным полем с отрицательным дивизором. Пусть Г либо не имеет особенностей, либо имеет только невырожденные особенности. Тогда все листы слоения ^ гиперболичны.

Замечание 9. Требование, чтобы рассматриваемое слоение задавалось мероморфным векторным полем с отрицательным дивизором, не случайно. Действительно, например, фазовые кривые голоморфного векторного поля на компактном комплексном многообразии - параболичны: их естественная параметризация комплексным временем продолжается на всю комплексную плоскость, и, следовательно, задает универсальное накрытие каждой фазовой кривой плоскостью С. Следующий пример слоения с параболическим листом был предложен Х.Гомес-Монтом. Пусть .Г — допустимое слоение на двумерном неособом проективном многообразии с невырожденными особенностями. Пусть Ё—слоение на раздутом многообразии, полученное раздутием в неособой точке слоения Г. Слоение ^ имеет невырожденные особенности и параболический лист, который есть вклеенная сфера с выколотой единственной особой

точкой. Можно подобрать слоение Р так, чтобы Р не могло задаваться глобальным голоморфным векторным полем. Для этого достаточно потребовать, чтобы Р имело хотя бы один гиперболический лист. Тогда соответствующее слоение также будет иметь гиперболический лист, а значит, не сможет задаваться глобальным голоморфным векторным полем.

Ниже мы сформулируем более общую теорему. Для этого введём следующее

Определение. Дивизор О на неособом проективном многообразии называется /-обильным, если существует вложение многообразия в проективное пространство, такое что В обобщенно линейно эквивалентен соответствующему гиперплоскому сечению, умноженному на —I.

Замечание 10. Всякий отрицательный дивизор /-обилен для некоторого положительного см. замечание 8.

Справедливость теорем 4, 5 вытекает из следующей теоремы.

Теорема 6. Пусть Р — слоение на неособом проективном многообразии, заданное мероморфным векторным полем с 1-обилъным дивизором, I > 0. Пусть Р либо не имеет особенностей, либо имеет только изолированные особенности А\,...,А3. Пусть Ь[А{) — соответствующие показатели Лоясевича, и выполнено следующее неравенство:

3

£(1(А,-)-1)<1. (2)

¿=1

Тогда все листы слоения Р гиперболичны.

Доказательство теоремы 5. Пусть слоение Р удовлетворяет условию теоремы 5. Тогда оно удовлетворяет условию теоремы 6. Действительно, дивизор соответствующего мероморфного векторного поля отрицателен и, следовательно, /-обилен для некоторого I > 0 (замечание 10). Соответствующая левая часть в (2) обращается в нуль так же, как и в доказательстве теоремы 3. Поэтому, в силу теоремы 6, все листы слоения Р гиперболичны. Теорема 5 доказана.

Доказательство теоремы 4• Пусть слоение Р удовлетворяет условию теоремы 4. Тогда оно удовлетворяет условию теоремы 6. Действительно , дивизор соответствующего полиномиального векторного поля в произвольной аффинной карте есть бесконечно удаленная гиперплоскость, умноженная на 2 — т, и выполнено неравенство (1). В силу теоремы 6, все листы слоения Р гиперболичны. Теорема 4 доказана.

Следующая теорема даёт верхнюю оценку показателей Лоясевича допустимого слоения, достаточную для гиперболичности его листов, и не покрывается теоремой 6.

Теорема 7." Пусть Р — допустимое слоение на неособом проективном многообразии с изолированными особенностями. Пусть .Р задаётся мероморфным векторным полем с-1-обильнъш дивизором, I > 0, и его показатель Лоясевича в каждой особой точке меньше I/2 + 1. Тогда все листы слоения ^ гиперболичны.

В главе 3 доказывается теорема 2 (§§1-3), а также производится подсчет коразмерности множества одномерных голоморфных слоений на проективном пространстве, не удовлетворяющих условию теоремы 4, в пространстве слоешш, заданных полиномиальным векторным полем фиксированной степени т в общей аффинной карте (§§1, 4). Эта коразмерность оказывается равной т — 2. При ее вычислении используется подсчет коразмерности множества полиномиальных векторных полей, не удовлетворяющих достаточному условию гиперболичности фазовых кривых, аналогичному теореме 4.

Автор благодарен профессору Ю.С.Ильяшенко за постановку задачи и полезные обсуждения, а также профессору Х.Гомес-Монту, д.ф.м.н. А.Г.Хованскому, к.ф.м.н. А.А.Щербакову за полезные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

1. Глуцюк А.А. Гиперболичность фазовых кривых общего полиномиального векторного поля в С" , Функциональный анализ и его приложения, т. 28, вып. 2 (1994), стр. 1-11.

2. Glutsuk Alexei A. The complete solution of the Jacobian problem for planar vector fields and hyperbolicity of leaves of a generic one-dimensional holomorphic foliation on CP". - International Congress of Mathematicians. Zurich, Switzerland August 3-11 1994. Short Communications, p. 193.