Аппроксимация гладких седловых поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Г) / 0 ^

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

Па правах рукописи

ЯРАХМЕДОВ Гаджиахмед Абдулгаписвцч

АППРОКСИМАЦИЯ ГЛАДКИХ СЕДЛОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

01.01.04 — геометрия п топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V,/ .

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре геометрии Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена.

Ведущая организация — Тбилисский государственный университет.

Защита состоится «.../?£..» 1991 г. в час.

на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В, И. Ленина (адрес института: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан «............1991 г.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Б. Е. КАНТОР

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Д. Д. СОКОЛОВ,

■кандидат физико-математических наук, доцент В. Е. ПОДРАН

Ученый с швейного совета

Г. А. КАРАСЕВ

в ? с ? ;

-»5.Г. -: -3-

п

"" Настоящая работа посвяцена изучению некоторых классов нерегулярных гладких поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, а также асимптотических линий на них (их называют обобщенными асимптотическими линиями).

Тогда как теория регулярных поверхностей отрицательной гауссовой кривизны достаточно развита в работах Н.В.Ефимова, Э.Р.Ро-зендорна, А.Л.Еернера, С.ЗЛИефеля, Ю.Д.Еураго, 3 .Г Лозняка. Е.В.Шикина и других, исследованию нерегулярных гладких поверхностей отрицательной кривизны посвящено сравнительно немного работ. .

И.Я.Бакельман ^ показал, что многие из .результатов дифферен-• циальной геометрии регулярных поверхностей можно перенести иа. так называемые поверхности ограниченного искривления ; эти поверхности по своей внутренней геометрии оказываются включенными в класс двумерных многообразий ограниченной кривизны в смысле А.Д.Александрова.

В цикле работ Ю.Ф.Борисов^' исследовал класс нерегулярных гладких поверхностей, где ям был установлен внутреннегеометря-ческий характер параллельного переноса вектора вдоль спрямляемой кривой, определены поворот и геодезическая кривизна кривой, доказана теорема Гаусса - Бонне,,а также.получены формула для поворотов координатных линий.'

Э.Р.Розевдорн' исследовал другой класс нерегулярных гладких поверхностей, которые регулярны всюду, кроме отдельных точек, в предположении, что вне этих точек гауссова кривизна К отрицательна. При этом требуются лишь гладкость поверхности в особой

I. И.Я.Бакелыиан. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей. -УШ, т. ХГ, в. 2 (68), 1956, с. 67-124.

2). Ю.Ф.Борисов. Параллельный перенос на гладкой поверхности. Вестник ЛГУ, ч. I, № 7, 1958, с. 160-171 ; ч. 2, № 19, 1958

с. 45-54.

3). Ю.Ф.Борясов. Параллелышй перенос на гладкой поверхности. Вестник ЛГУ, ч. 3, № I, 1959, с. 34-50 ; ч.. 4, № 13, 1959, со. 20-56 ; 83-92.

4). Э.Р.Розендорн. Слабо нерегулярные поверхности отрицательной кривизны. - УМН, т. Ш, в. 5(131), 1966, с. 59-116.

точке и сохранение знака гауссовой кривизны К в её окрестности. Изолированную особую точку при этом называют слабо нерегулярной. В окрестности слабо нерегулярной точки подробно изучены некоторые локальные свойства поверхности такого класса, влияние внутренней метрики на внешнегеометрические свойства поверхности, свойства асимптотической сети, обобщена на класс слабо нерегулярных поверхностей теорема Н.В.Ефимова о непогружаемости в Е полных метрик с медленно изменяющейся отрицательной кривизной. В более поздних работах Э.Р.Розендорн' ' исследовал, поверхности отрицательной гауссовой кривизны с особенностями на линиях.

Рассматриваемые в настоящей работе классы поверхностей 77*1, П и \\[ являются, в некотором смысле, промежуточными между классами поверхностей изученными Ю.Ф.Борисовым, Э.Р.Розендорном и И.Я.Бакельманом.

Определим эти классы поверхностей. ( #

Пусть поверхность р'. 'З.-принадлежит классу С ' обладает локально-однозначным сферическим отображением и во всех точках поверхности сутпеотвует гаутюова кривизна К(Х)» определяемая как предел удельных кривизн, когда окрестность стягивается к точке X поверхности р .причем К(X) отрицательна. Класс таких поверхностей мы обозначим через .

Некоторые результаты работы относятся к поверхностям класса •

С1 | с вышеуказанными дополнительными условиями.

Классу поверхностей Г1 принадлежат только такие поверхности из класса Щ, , где нарушение двукратной диффзренцируемости поверхности происходят лишь вдоль конечного числа дут кривых , имеющих ограниченную кривизну > Еэ. •

Говорят, что поверхность р о локальнооднозначкым сферическим отображением принадлежит классу № » если она явно задана, т.е. . Фзгйкпци

имеют ни плоскости X О$ обобщенные производные первого

5). Э.Р.Розендорн. Гладкая особая дуга ив поверхности постоянной отрицательной кривизны. - ДАН СССР, т. 229, * 6, 1976,

с. 1321-1323. .

6). Э.Р.Розендорн. Один класс поверхностей отрицательной кривизны с особенностям! на линиях. Вестник МГУ, Л I, сер. мат., мехвн., 1985, о.'50-52. й-

порядка в смысле С.Л.Соболева и гауссова кришгана К , определяемая как продел удельных кривизн, отрицательна.

Актуальность тем«. Тема диссертации принадлежит к разделу современной дифференциальной геометрии "в целом", в которой изучаются некоторые вопросы теории нерегулярш« гладких поверхностей отрицательной гауссовой кривизн» и кривых на них. Класс» поверхностей (Т~Ь, и IV , очевидно, отличаются от так называемых слабо нерегулярных поверхностей, рассмотрениях Э.Р.Розевдорнрм. В частности, если на слабо нерегулярно'.! поверхности нарушение двукратной дийеренцируемости поверхности воз-мо;шо в изолированной точке и в окрестности эта! точки гауссову кривизну подчиняют' определенным условиям, то в нашем случая такое нарушение двукратнол диГ^еренцируемости поверхности [дат произойти вдоль хшшй и на гауссову кривизну в окрестности иглх линий никаких условна не иалшча&тся. Но при этом па поверхности существуют асимпготическиэ линии, понимаемые в пекоторо.'; обобщенном смысле. Таким образом, в настоящей работе вперши даются различные.определения и изучаются некоторые свойства так называемых обобщенных асимптотических линии иа нерегулярные гладких поверхностях отрицательной гауссово!! кривизн» классов ¡74- , <Ц\ и у/ • классе «к^е обобщена известная теорема Н.В.Ефимова об однозначно»! проекции поверхности отрицательно:! гауссовой кривизны.

Научное и практическое значение получениях результатов. Результаты, получошша в работе, являются новиш и г/, о гут быть использованы как в исследованиях но геометрии "в целой", так и в изучения поведения решений некоторых дмфрерошшаяънюс н интегральных уравнений в евклидовом пространстве £ /лосерта-ция может служит основой для спецкурсов по современно1.. дн>|ерен-циальной геометрии "в целом" для студентов штопатачееких специальностей университетов и пединститутов.

Методика исследования. Изучаемые'в настоящей работе поверхности, в основном, исследуются аппроксимацией нерегулярш« гладких поверхностей одного из рассматриваемых классов либо средними поверхностями но В.А.Стенлову, которые, очевидно, является регулярна,¡И ПОВерХНОСТЯЫИ, ЛИбО МДОТОГраНННМИ ПОВСргаоСТЯЫН 1! смысле О.Р.¡пефг-.п,'.!.

Апробация результатов. Результаты работы опубликованы в статьях [I] - [5] . Она докладывалась на семинарах по геометрии "в целом" и"Герценовских чтениях в ЛШИ им. А,И.Герцена (1983, 1984, 1986, 1988, 1389 гг.). научно-методическом семинаре преподавателей математических кафедр педагогических институтов Северо-западной зоны РСФСР (г. Псков, 1984 г.), на семинаре по геометрии "в целом" в МГУ им. М.В.Ломоносова <1988 г.), а такие неоднократно обсуждались и докладывались на кафедрах алгебры « геометрии ДЛИ и ДЕТ им. Б.И.Ленина (1585 - 1989 гг.).

Обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и занимает 79 страниц машинописного текста. Список литературы содертат 28 наименований.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава работы посвяшена исследовании нерегулярных гладких поверхностей отрицательной гауссовой кривизны класса /7Х , а также обобщенных асш,<дтотических линий на них.

Б первом пункте § I сформулированы, некоторые вспомогательные результаты, необходимые в дальнейшем. Во втором пункте установлены некоторые новые свйоства исследуемых поверхностей, где, в частности, доказано совпадение так называемой внешней гауссовой кривизны КС(М) поверхности Р в точке М с внутренней гауссовой кривизной (теорема 1.1), доказаны теоремы 1.2 и 1.3, а также теорема 1.4 о возможности аппроксимации поверхности р исследуемого класса многогранниками Г}к так, что метрика поверхностей Пк сходятся равномерно к метрике поверхности Я и отрицательные внешние кривизныуя" поверхностей /7« , рассматриваемые как функции множества, слабо сходятся к соответствующей внешней кривизне С поверхности р .

Б пункте 3 определен класс Щ. нерегулярных гладких поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, рассматриваемый в дальнейшем.

В § - на поверхностях класса /Г1 даются два различных определения обобщенных асимптотических ланий.

Определение 1.1. Лкют класса С°'1 на поверхности Р класса //X назовем обобщенной асимптотической ливней еС , если вдоль её проекции / на влскоств А О У класса Сс'1

- 7 -

выполнены следующие два условия: ..

а) с1$ *" = ( Ч + -г ¿¡л) сС> ;

б) поворот любой дута У характеристики I равен повороту соответствующей дуги нормального образа характеристики / линия ¿С .

С-' /

Здесь И - гауссова кривизна, р^^(х^) * -У),

с(б и с15* — дифференциалы длины'дуги у я дуги еа нормального образа У , определенные на плоскости ЛОУ почти везде.

Таким образом, первое (второе) семейство обойденных асимптотических линий мы определяем условием а) и условием б), в случае, если будем рассматривать положительный (отрицательный) поворот любой дуги У характеристики I ' .

Равенство а) может быть заменено равенством

Определение 1.2. Линив на поверхности г • класса гН, • назовем обобщенной асимптотической линией, если для любой дуги МвМ её проекция класса С0/| выполняются следующие равенства:

МсН

1) + '

* 1 лОч

или , ___ л ^ . г. ^ ^

Р(-и) -- КМ.) - \ П ) ^ >

м^м

Здесь первая система равенств определяет одно семейотво, вторая система - другое семейство обобщенных асимптотических линий.

В § 3 доказана эквивалентность этих определений.

В § 4 доказана теорема об аппроксимации поверхности Г классе РЧ регулярней поверхностями с соответствующей схода-

иостьв асимптотических линий на регулярных поверхностях к обобщенной асимптотической линии на поверхности р , т.е. имеет место следущая теорема.

Теорема 4.1. Пусть Р - поверхность класса 1П и Р«,- соответствующая её регулярная'аппроксимация класса С. Тогда если последовательность асимптотических линий {3+.} одного семейства на поверхностях р^ сходится к какой-нибудь линия на поверхности р , то эта линия является обобщенной асимп-тстической линией. ^ ^

В настоящей работе регулярную аппроксимацию класса С ' поверхности Р задают с помощью средних поверхностей во В.А.Стеклову.

В § 5 доказана равномерная ограниченность гауссовых кривизн. Пусть Мс - точка на поверхности р и - аппроксимация класса Срегулярными; поверхностями. Ортогональным проектированием сопоставим точке М0 точку М^ на поверхности Тогда имеет место следущая теореыа.

Теорема 5.1. Гауссовы кривизны И^ в точках М^ поверхностей равномерно ограничены.

Параграф 6 посвящен нерегулярным гладким поверхностям отрицательной гауссовой кривизны класса И/.

Для поверхностей класса \\/ справедлива следующая теорема. Теорема 6.1. Поверхность Г класса \<\/ является поверхностью ограниченной внешней кривизны в смысле А.В.Ногорелова,

На поверхности р кяаса . также определены обобщенные асимптотические линии и справедлива также теорема р сходимости обобщенных асимптотических линий, аналогичная теореме 4.1 § 4 (теорема 6.2).

В главе П рассматриваются только поверхности класса В § 7 доказана следующая теорема.

Теорема 7.1. Пусть, р - поверхность класса П . Тогда через каждую точку . X поверхности р проходит, по крайней мере, одна обобщенная асимптотическая линия каждого семейства, • Пусть X -,точка на поверхности р класоа /Р и Х0 " её нроекдая на плоскость ХО У , р^- регулярная апироксаыа-ция этой поверхности класоа 0,(| . Хц,~ -очш Нй поверхностях рк . проектирующиеся 'в точку ^ и . X п - асами-

готические линия, проходящие через точки X^ на поверхностях

FK. Имеет место следующая леша А , с помощью, которой доказывается теорема 7.1.

Лемма А. Воли - асимптотические линии одного семейства на аппроксимирующих поверхностях f-'ц, , проходящие соответственно через точки . , то длины дуг характеристик асимптотических линий ¿¿д, , проектирующихся в некоторую компактную область плоскости Х0У , равномерно ограничены.

В классе П справедлива также следующая теорема.

Теорема 7.2. Пусть р - поверхность класса Д и X точка на ней. Тогда в окрестности этой точки существует последовательность регулярных поверхностей Ftv таких, что асимптотические линии на поверхностях Flu сходятся к обобщенной асимптотической линий на поверхности р , проходящей через T04JQT X •

В § 8 доказано, что на поверхности f класса j% не существует двуугольника из обобщенных асимптотичеоких линий разных семейств, ограничивающего односвязную область отрицательной гауссовой кривизны. Этот факт и составляет содержание теоремы 8.1".

В § 9 обобщена теорема Н.В.Ефимова об однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны в классе .

Теорема 9.1. Существует константа, которой не может превзойти сторона квадрата, если на этот квадрат однозначно проектируется кусок поверхности f класса о 'кривизной, не превосхо- •

дящей -Î. '

В регулярном случае доказательство аналогичной теоремы основано на исследовании поведения линий p~c.cn.st и cf,~ceitsi, а также "цепочек". Поэтому для доказательства этой теоремы в классе tl » предварительно обобщаются понятие "цепочки" и следующие леммы.

Лемма I. Вдоль каждой обобщенной цепочки в одном из двух направлений на ней функция ç = fK(x строго возрастает.

Леша 2. Проекция цепочки на ось С К не превосходит чио-ла % .

Лемма 3. Каждая ветвь цепочки неограниченно простирается, по крайней мере, в одном из двух направлений оси ОУ .

Лемма 4, Каждая связная компонента линии а,-с on s t

представляет собой топологическую прямую и в топологическом смысле расположена на плоскости как прямая. Аналогичным свойством обладают линии р -Сеш£ .

Лемма 5. Вдоль каждой связной компоненты 'линии ~~Csh.it в одном из двух направлений на ней величина Р возрастает. Роли Р и здесь взаимны. ..

Рассмотрим полосу плоскости ХОУ , заключенную меаду прямыми Си и £ , параллельными оси РУ . Предположим, что существуют две дуги линия с], - . каздая из воторых

идет от некоторой точки прямой й,- к некоторой точке прямой &

Леша 6. Расстояние между прямыми <Х и. I не превышает ¿ЯГ.

Лемма ?. Имеет -место предложение, аналогичное лемме 6, но 'относящееся к прямым, параллельным оси ОХ и к линиям Р-Ссп-ъЬ. - •

Содержание дяссертаида отражено в следующих статьях.

1 . Г.А.Ярахмедов. Об аппроксимации гладких седловых поверхностей ограниченного искривления седловыми многогранниками.

- В кн.: Исследования по теории римановых многообразий и их погружений. -Д.: 1985, с. 107-III.

2 . Г.А.Ярахмедов. Об обобщенных асимптотических линиях на нерегулярных гладких седловых поверхностях. -В кн.: Римановы пространства и методы теории эллиптических дифференциальных

• уравнений. -Л.: 1966, с. 107-119.

3 . Г.А.Ярахмедов. Об обобщенных асимптотических линиях.'

- В кн.: функциональный анализ, теория функций'и их приближения. Махачкала, 1966, с. 146-149.

4 . Г.А.Ярахмедов, Обобщение теоремы Н.В.Блинова об однозначной, проекции, поверхности отрицательной кривизны. Деп в ШЗШ № 789-Е89, 7.02.1989, с. -1-18.

5 . Г.А.Ярахмедов. Обобщенные -асимптотические линии на гладких-поверхностях. Деп. в ШИШ, И 788-В89, 7.02.1989, с. 1-16.