Гетероклинические контуры, порождающие устойчивый хаос тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Я).46ЛМ-2>оЯ/оГ

министерство общего и профессионального образования санкт - петербургский государственный университет

На правах рукописи ЧЕРНЫШЕВ Владимир Евгеньевич

ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКИЕ КОНТУРЫ, ПОРОЖДАЮЩИЕ УСТОЙЧИВЫЙ ХАОС

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Научный консультант — член-корреспондент Российской Академии наук, доктор физико-математических наук, профессор

=2£:===^^ —— Плйсс Виктор Александрович

■Президиум ВАК России

ягрисуАил ученую степень ДО К! и.Р А |

ШМт- 1 ____наук.

Жльник уп|»»АениС«дагР©ВетЕР

^ 1998

5ург

Оглавление

Введение ...... 3

Глава I. Гетер оклинические контуры ...... 26

§1 Равноразмерностные гетер оклинические

контуры Лоренцева типа ...... 29

§2 Неустойчивые поверхности гетероклинических

контуров Лоренцева типа ...... 39

§3 Гетер оклинические контуры с седло - фокусами ...... 49

§4 Возмущение гетер оклинических контуров ...... 58

Глава II. Гетер оклинические циклы Лоренцева типа, порождающие персистентные

хаотические множества ...... 64

§1 Построение сильно устойчивого расслоения

над гетер оклиническим циклом Г ...... 66

§2 Построение сильно устойчивого расслоения над окрестностью гетероклинического цикла

для возмущенной системы ...... 98

§3 Построение сильно устойчивой ламинации

в окрестности гетероклинического цикла ...... 145

§4 Хаотическое инвариантное множество, порожденное гетер оклиническим циклом

типа Лоренца ...... 153

§5 Возмущение хаотического инвариантного множества, порожденного гетер оклиническим

циклом типа Лоренца ...... 178

Литература ......205

Введение

Имеется много примеров трехмерных автономных систем дифференциальных уравнений таких, что наличие у них достаточно простого инвариантного множества — гетероклинического контура — влечет существование хаотического инвариантного множества в любой окрестности гетероклинического контура. В этом случае будем говорить, что гетероклинический контур порождает хаос.

Определение. Гетероклиническим контуром Г будем называть связное компактное инвариантное множество системы дифференциальных уравнений, состоящее из конечного числа траекторий л, % (е 1 : т, и их а и и - предельных множеств:

Г = {и*е1:т7;} и {1Ле1:таа(7<)} и {и<е1:тои/(7<)}.

При этом каждое предельное множество, входящее в контур Г является либо замкнутой траекторией системы, либо точкой покоя и они гиперболичны.

Определение.[45]

Инвариантное множество «/ будем называть хаотическим, если выполнены следующие три условия

1. Множество J транзитивно, то есть существует всюду плотная в «/ траектория системы дифференциальных уравнений.

2. Множество периодических траекторий плотно в 3.

3. Имеется чувствительная зависимость от начальных данных, то есть существует число е > О такое, что для любой точки х 6 3 и любого числа 8 > О существуют точка у и момент времени Ь > 0 такие, что р(х,у) < 6 и р(д*х,д*у) > е, где через р(х,у) обозначено расстояние между точками, а через д* — поток, порожденный автономной системой.

В первую очередь к гетероклиническим контурам, порождающим хаос, следует отнести трансверсальные гетероклинические циклы на замкнутых гиперболических траекториях.

Определение.

Гетероклинический контур Г будем называть гетероклиническим циклом, если нумерацию траекторий в нем можно выбрать так, что = а(7^+1), i € 1 : т — 1, и(-ут) = 0(71) и

а(л) п ту) = 0 при г ф У(тос1г7г).

Каждое предельное множество, входящее в трансверсальный гетер оклинический цикл на замкнутых траекториях, представляет собой замкнутую гиперболическую траекторию системы, при этом устойчивое многообразие предельного множества

01 (ъ) трансвер сально пересекает неустойчивое многообразие предельного множества и>(л) по траектории 7¿61 : т. Порожденные такими гетероклиническими циклами хаотические инвариантные множества подробно исследованы ([36], [18], [21], [22], [53]). Из этих работ следует, что хаотическое инвариантное множество, порожденное таким циклом, сохраняется при С1 - малых возмущениях системы. Более того, оно является локально грубым.

Определение.[3, стр. 47]

Инвариантное множество J системы дифференциальных уравнений будем называть локально грубым, если у него имеются такие окрестности 17 Э V Э <7, что для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что для любой системы дифференциальных уравнений, кото-рал отличается в и в С1 -метрике от исходной системы меньше чем на 8, существует гомеоморфизм /г : V —> £7, который сдвигает точки меньше, чем на е, и переводит дуги траекторий исходной системы, лежащие в V, в дуги траекторий возмущенной системы, лежащие в к V, с сохранением ориентации.

Ситуация коренным образом меняется, если рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет гетероклинический цикл, содержащий точки покоя. В этом случае при некотором г устойчивое многообразие Ж/ пересекается с неустойчивым многообразием нетрансверсально по траектории л и такой цикл может быть разрушен сколь угодно С1- малым возмущением исходной системы дифференциальных уравнений. Это означает, что любое инвариантное множество исходной системы, содержащее такой гетероклинический цикл, не может быть локально грубым.

Однако, имеются примеры систем дифференциальных уравнений, имеющих гетероклинический цикл с точками покоя такой, что в любой его окрестности лежит хаотическое инвариантное множество возмущенной системы дифференциальных уравнений, если возмущение достаточно С1- мало.

В этом случае будем говорить, что хаотическое инвариантное множество персистентно.

Хронологически первым примером такого гетероклинического

цикла был цикл в К3, состоящий из точки покоя типа седло - фокус и гомоклинической к нему траектории [37]. Исследованию структуры хаотического инвариантного множества, порожденного таким циклом, и возможных бифуркаций, связанных с его разрушением, посвящено много работ ([10], [12], [46], [39]).

Исследовались [59] также трехмерные системы с гетероклиниче-скими циклами, содержащими два и более предельных множества, одно из которых седло - фокус, а другие — точки покоя с вещественными ненулевыми собственными числами матрицы первого приближения, причем имеются собственные числа разных знаков. (Далее будем называть такие точки покоя седловыми или седлами.) Доказано, что в окрестности такого цикла лежит нетривиальное гиперболическое множество со счетным числом замкнутых траекторий как у исходной невозмущенной системы, так и у всех С1- близких к ней систем.

Рассматриваемые циклы с седло - фокусом не являются локально грубыми. Это следует, например, из результата Афраймовича и Ильяшенко [4], которые доказали для гладкого векторного поля в М3, имеющего гомоклиническую траекторию к точке покоя типа седло - фокус с собственными числами а ± г/3, Л (а • Л < 0), что число а/А является топологическим инвариантом.

Описанные выше гетероклинические циклы трехмерных автономных систем дифференциальных уравнений порождают в своей окрестности персистентное хаотическое инвариантное множество. При этом хаотическое инвариантное множество не является локально грубым, то есть при сколь угодно С1- малых возмущениях системы меняется его топологическая структура.

Гетер оклинические циклы с точками покоя представляют несомненный интерес для понимания того, как сложная динамика может возникать из простой. В работе [38] рассматривается система дифференциальных уравнений в К3 с гетероклиническим циклом, которая лежит на границе множества систем типа Морса - Смейла, то есть систем, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа гиперболических неподвижных точек и периодических траекторий, устойчивые и неустойчивые многообразия которых пересекаются трансверсально. Рассматриваемая система имеет неблуждающее множество, состоящее из конечного числа траекторий. Однако, сколь угодно малым в смысле С1 возмущением можно

получить систему, которая имеет хаотическое инвариантное множество.

Такую бифуркацию неблуждающего множества называют П -взрывом.

Гетероклинический цикл, рассмотренный в работе [38], содержал среди предельных множеств седловую замкнутую траекторию и седловое состояние равновесия. Возмущение гетероклинических циклов, среди предельных множеств которых содержатся лишь сед-ловые замкнутые траектории, но нарушено условие трансверсальности пересечения их устойчивых и неустойчивых многообразий, может приводить к О - взрыву. В работах [14], [15], [17] рассматривался гетер оклинический цикл в трехмерной автономной системе, состоящий из замкнутой седловой траектории и траектории, дво-якоасимптотической к ней, по которой устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются нетрансверсально. Было доказано, что наличие такого цикла приводит к О, - взрыву.

К О - взрыву может привести наличие в системе гетероклиниче-ского цикла, содержащего среди предельных множеств лишь точки покоя. В работах [5], [8] рассматривался гетероклинический цикл, состоящий из вырожденной точки покоя с одним нулевым собственным числом матрицы первого приближения и гомоклинической к нему траектории. Доказано, что С1 - малое возмущение, разрушающее точку покоя, приводит кО - взрыву.

Гетероклинический цикл, содержащий среди предельных множеств состояния равновесия, не может встречаться в системах общего положения, поскольку хотя бы по одной траектории цикла устойчивое и неустойчивое многообразия ее предельных множеств будут пересекаться нетрансверсально. Гетероклинические циклы с к неподвижными седловыми точками покоя могут встречаться неустранимым образом лишь в к - параметрических семействах систем дифференциальных уравнений. Бифуркации гетероклинического цикла, состоящего из двух седловых точек покоя и пары гетероклинических к ним траекторий, в двухпараметрическом семействе подробно описаны в работе [43]. Из результатов этой работы, в частности, следует, что при выполнении некоторого условия общего положения не может рождаться хаотическое инвариантное множество. Это условие состоит в том, что пересечение замыкания устойчивого многообразия и - предельного множества траектории из цикла

с устойчивым многообразием ее а - предельного множества должно совпадать с сильно устойчивым многообразием ее а - предельного множества.

Как показано в работе [40], нарушение этого условия в гетерокли-ническом цикле трехмерной системы может приводить к О - взрыву при разрушении цикла.

Резюмируя перечисленные выше работы, можно отметить, что гетер оклинический цикл, содержащий среди предельных множеств только точки покоя, отличные от седло - фокусов, не порождает персистентное хаотическое множество, то есть существуют сколь угодно С1 - малые возмущения системы такие, что неблуждающее множество возмущенной системы, лежащее в некоторой окрестности гетероклинического цикла, конечно.

Самым известным примером трехмерной автономной системы, обладающей персистентным хаотическим инвариантным множеством, является система Лоренца [52]:

х = —ах + ау < у = гх — у — х2 к = —Ьг + ху.

Если зафиксировать в системе параметры сг, 6, положив а = 4, Ь — 8/3, то при изменении параметра г происходит ряд бифуркаций, описание которых приведено в работах [58], [3].

При г = Г1 и 13.926 одномерные неустойчивые сепаратрисы ГЬГ2 седловой точки покоя О = (0,0,0) становятся двоякоасим-птотическими к седлу О. Таким образом, возникает гетероклини-ческий контур, состоящий из двух симметричных гомоклинических циклов, каждый из которых содержит седло О и гомоклиническую к нему траекторию. При возрастании параметра г из каждого го-моклинического цикла рождается замкнутая траектория седлового типа. Одновременно появляется инвариантное хаотическое множество. Такое поведение траекторий было названо в работе [50] мета-стабильным хаосом. Обозначим через Ь\ замкнутую траекторию, родившуюся при г « 13.926 из гомоклинического цикла, содержащего неустойчивую сепаратрису , вторую замкнутую траекторию обозначим через ¿2-

При г = Г2 Я 24.06 система обладает более сложным гетерокли-ническим контуром, состоящим из двух гетероклинических циклов.

Первый из них состоит из седла О неустойчивой сепаратрисы 1\ замкнутой траектории ¿2 и траектории 71 трансверсального пересечения неустойчивого многообразия ^"(£2) траектории £2 с устойчивым многообразием Шв(0) седла О. Аналогично устроен второй, симметричный гетероклинический цикл.

При дальнейшем возрастании г оба гетероклинических цикла разрушаются. Аттрактор Лоренца рождается при появлении описанного гетероклинического контура и сохраняется при возрастании г. Как отмечается в главе 2 работы [3], такое описание последовательных бифуркаций в системе Лоренца представляет из себя интерпретацию численных экспериментов.

Для изучения потока, порожденного системой Лоренца, было предложено два подхода. Первый, изложенный, например, в работах [6], [7], состоит в изучении отображения последования Т, которое возникает на некоторой области П плоскости х = г — 1. Если предположить, что отображение Т удовлетворяет некоторым условиям, то можно аналитически доказать описанные выше бифуркации в системе Лоренца. Выполнение части этих условий для системы Лоренца подтверждается численными экспериментами на ЭВМ [57].

Другой подход при интерпретации результатов численных экспериментов состоит в исследовании полупотока на двумерном разветвленном многообразии [61], [62]. Этот подход предполагает существование сильно устойчивого слоения у системы Лоренца, что строго не доказано. Исследованная в работах [61], [62] динамическая система носит название геометрической модели Лоренца. Для нее доказано существование дифференцируемого сильно устойчивого слоения [54]. Хаотические инвариантные множества, появляющиеся при бифуркациях в геометрической модели Лоренца хотя и не являются локально грубыми, так как при С1 - малых возмущениях может меняться их внутренняя топологическая структура, но сохраняются при С1 - малых возмущениях.

В работе [55] Робинсон, модифицируя систему Рыхлика [56], предложил свою трехмерную систему, в которой хаотическое инвариантное множество появляется при разрушении гетер оклинического контура, аналогичного первому контуру системы Лоренца. Следует заметить, что система Робинсона при бифуркационном значении параметров, то есть при наличии гетер оклинического контура, имеет простое неблуждающее множество, так что сам контур Робинсона

не порождает хаотического множества и его система лежит на границе множества систем Морса - Смейла.

Если гетероклинический контур содержит несколько гетерокли-нических циклов, то, хотя каждый из них в отдельности может не порождать персистентного хаотического инвариантного множества, лежащего в достаточно малой его окрестности, они вместе могут порождать хаотическое инвариантное множество, лежащее в объединении их достаточно малых окрестностей. Пример такого гетероклинического контура в М3, состоящего из двух седловых точек покоя и трех гетероклинических к ним траекторий, содержится в работе [13]. Одна из точек покоя, входящая в этот контур, имеет двумерное неустойчивое многообразие, которое трансверсально пересекается с двумерным устойчивым многообразием второй точки покоя по двум траекториям. В контур так же входит гетероклини-ческая траектория, которая является устойчивой сепаратрисой для первой точки покоя и неустойчивой сепаратрисой для второй.

Анализируя приведенные примеры динамических систем в К3, имеющих гетероклинические циклы, среди предельных множеств которых есть точки покоя и нет седло - фокусов, можно заключить, что в общем случае такой гетероклинический цикл может порождать персистентное хаотическое инвариантное множество, если среди его предельных множеств есть как седловые точки покоя, так и седловые замкнутые траектории. Два простейших гетер оклинических цикла такого типа имеются у системы Лоренца при рождении аттрактора Лоренца, поэтому оправдано следующее определение.

Определение. Гетероклинический цикл трехмерной автономной системы, среди предельных множеств которого содержатся как седловые точки покоя, так и седловые замкнутые траектории с ориентируемыми устойчивыми и неустойчивыми многообразиями и нет точек покоя типа седло - фокус, будем называть гетеро-клиническим циклом типа Лоренца или Лоренцевым гетероклини-ческим циклом.

Такой гетероклинический цикл является основным объектом изучения в данной работе.

Впервые простейший гетероклинический цикл Г типа Лоренца трехмерной автономной системы был исследован в работе [24]. Такой цикл содержит два предельных множества, именно: замкнутую седловую траекторию и седловую точку покоя и пару гетероклини-

ческих к ним траекторий. При некоторых дополнительных предположениях, которые будут сформулированы ниже в общем случае, было доказа