Оптимальные стратегии перестрахования и инвестирования в стохастических моделях риска тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Громов Александр Николаевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И ИНВЕСТИРОВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ РИСКА

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2013

005548352

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Булинская Екатерина Вадимовна Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Королев Виктор Юрьевич,

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, профессор кафедры математической статистики

доктор физико-математических наук, профессор Рыков Владимир Васильевич,

Российский государственный университет имени И.М. Губкина, факультет автоматики и вычислительной техники, профессор кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования Ведущая организация:

Институт проблем информатики РАН (ИПИ РАН, г. Москва)

Защита диссертации состоится 11 апреля 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8 этаж).

Автореферат разослан 7 марта 2014 года. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время страхование играет важную роль в экономической и социальной сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стали важнейшими финансовыми институтами. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потребность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию теории вероятностей и теории риска. Одной из наиболее ранних моделей риска является классическая модель Крамера-Лундберга. Докторская диссертация Лундберга1 посвящена коллективной модели риска, и в ней впервые было предложено использовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. В работах Крамера2 также рассматривается коллективная модель риска.

Страховая компания, собрав взносы с клиентов, должна быть способна обеспечить выплату страхового возмещения по всем поступающим требованиям. Поэтому существенным показателем качества работы страховой компании является вероятность неразорения, а задача максимизации вероятности неразорения — одна из важнейших для компании. Для увеличения вероятности неразорения страховщик часто пользуется перестрахованием3. Поиск оптимальных в том или ином смысле стратегий перестрахования является важным направлением современных исследований и ему посвящено большое количество работ. Упомянем работы Шмидли4, Хиппа и Вогта5, Белкиной и Матвеевой6, Хойгаарда и Таксара7. Еще одним важным направлением совре-

^undberg F. Approximations of the probability function/Reinsurance of Collective Risks, Doctored thesis, 1903.

2Cramer H. On the mathematical theory of risk. Forsakringsaktiebolaget Skandia 1855-1930, Stockholm, 1930, 2, 7-84.

Cramer H. The theory of risk in its application to life insurance problems, The Jubilee Volume of Skandia Insurance Company, Stockholm, 1955, 1-92.

3Булинская E.B . Теория риска и перестрахование, M.: Мэйлор, 2009.

4Schmidli Н. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting, Scand. Actuarial J., 2000, 1,

5Hipp C., Vogt M. Optimal dynamic XL reinsurance, ASTIN Bulletin, 1991, 33, 193-207. 'Белкина T.A., Матвеева M.B. Об оптимальных стратегиях перестрахования в моделях с диффузионной аппроксимацией процесса риска, В сб. «Инновационная система государства и перспективы ее развития», Гомель: ЦИИР, 2010, 43-54.

7Hojgaard В., T&ksar М. Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models, Scand. Actuarial J.,

55-68.

менной теории риска является поиск оптимальных в разных смыслах стратегий инвестирования средств в рисковый актив, в частности, этот вопрос изучается в работах Хиппа и Плама8, Шмидли9, Фроловой и соавторов10, Гай-ера и Грандитса11. Поиск оптимальных стратегий перестрахования и инвестирования, максимизирующих вероятность неразорения в модели Крамера-Лундберга, — одно из направлений исследования диссертации.

Несмотря на широкое распространение, которое получила классическая модель, на практике часто используется модель с дискретным временем. Диксон и Уотерс12 предложили метод дискретизации модели Крамера-Лундберга и показали способ перехода к дискретному времени и убыткам, имеющим дискретное распределение. Чуть позже эти же ученые предложили модификацию моделей риска, добавив возможность инвестировать дополнительные средства в компанию, если ее капитал опустился ниже определенного уровня13. Модель с вливанием капитала получила развитие относительно недавно и на сегодняшний день представляет собой одно из перспективных направлений для исследования. Ву и соавторы14 рассматривали модель с дискретным временем с возможностью вливания капитала и выплаты дивидендов и ставили задачу поиска оптимальной стратегии выплаты дивидендов. В работе Эйзенберг и Шмидли15 осуществляется поиск оптимальной стратегии перестрахования, минимизирующей суммарные приведенные вливания капитала,

190S, 22, 166-180.

8Hipp C., Plum M. Optimal investment for insurers, Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27, 215-218.

°Schmidli H. On optimal investment and subexponential claims, Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36, 25-35.

10Erolova A., Kabanov Y., Pergamenschikov S. In the insurance business risky investments are dangerous, Finance and Stochastics, 2002, 6, 227-235.

11Gaier J., Grandits P. Ruin probabilities in the presence of regularly varying tails and optimal investment, Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 30, 211—217.

12Dickson D.C.M., Waters H.R. Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, 21, 199221.

13Dickson D.C.M., Waters H.R. Some optimal dividend problems, Astin Bulletin, 2004, 34, 49-74.

14Wu H., Guoa J., Tang L. Optimal dividend strategies in discrete risk model with capital injections, Appl.

Stochastic Models Bus. Ind., 2011, 27, 557—566.

16Eisenberg J., Schmidli, H. Optimal control of capital injections by retnsurace in a diffusion approximation, Blatter der DGVFM, 2009, 30(1), 1-13.

а в работе Куленко и Шмидли16 рассматриваются стратегии выплаты дивидендов, минимизирующие дополнительные вливания. В данной диссертации в модели с вливанием капитала исследуются вопросы поиска стратегий перестрахования и инвестирования, позволяющих минимизировать величину дополнительного капитала. Кроме того, изучается вопрос существования предельного распределения капитала компании в такой модели в случае постоянной стратегии инвестирования и перестрахования.

Цель работы

Целью работы является исследование различных стохастических моделей работы страховой компании, использующей перестрахование и инвестирование средств в рисковый актив для улучшения качества работы.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В модели Крамера-Лундберга исследованы стратегии перестрахования типа эксцедента убытка, характеризующиеся двумя параметрами (уровнем собственного удержания и шириной лейера), выведено уравнение Беллмана—Гамильтона—Якоби для максимальной вероятности неразорения и доказано существование его решения. Кроме того, доказано существование оптимальной стратегии и установлен ее вид. Аналогичные результаты получены для обобщенных стратегий перестрахования эксцедента убытка и инвестирования.

2. В модели с дискретным временем с возможностью вливания капитала найдено уравнение Беллмана для минимальных дополнительных вложений, определен вид оптимальных стратегий инвестирования и перестрахования, а также выведено интегральное уравнение, определяющее

16Kulenko N., Schmidli Н. Optimal dividend strategies in a Статет-Lunber-g model with capital injections, Insurance: Mathematics and Economics, 2008, 43, 270-278.

эти стратегии. Доказано существование и единственность решения этого уравнения.

3. В модели с дискретным временем с вливанием капитала и инвестированием доказано существование и найден вид предельного распределения капитала при определенных условиях на параметры модели. Аналогичные результаты получены для случая инвестирования и перестрахования.

Методы исследования

В работе применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, а также методы динамического программирования и оптимального управления.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались

• на семинарах в МГУ имени М.В. Ломоносова

- Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева (Москва, 2013 г.),

- Семинаре «Стохастические модели теории запасов и страхования» под руководством проф. Е.В. Булинской в МГУ (Москва, 2008-2013 г.г., неоднократно),

- Семинаре «Теория риска и смежные вопросы» кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ под руководством проф. В.Е. Бенинга и проф. В.Ю. Королева (Москва, 2013 г.),

• на международных конференциях и семинарах

- Международной конференции по прикладным стохастическим моделям и анализу данных (Рим, 2011 г.),

- Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» в МГУ (Москва, 2011 г.),

- Международной конференции «Теория вероятностей и ее приложения», посвященной столетию со дня рождения Б.В.Гнеденко (Москва, 2012 г.),

- 30 и 31 Международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (Светлогорск, 2012 г., Москва, 2013 г.),

- 7 Международном семинаре по моделированию (Римини, 2013 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 2 в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка литературы из 57 наименований. Общий объем диссертации составляет 109 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе исследуется модель Крамера-Лундберга работы страховой компании, которая может минимизировать риск разорения с помощью перестрахования и инвестирования средств в рыночный актив. В первом параграфе рассматривается страховая компания, которая может выбирать и неограниченное число раз динамически заключать договора перестрахования типа эксцедента убытка.

Пусть моменты (Т^> 1 поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности А, размеры выплат (^)г>1 — независимые и одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (с.в.) с функцией распределения (ф.р.) <5(у), Л'г — число требований на отрезке [0,^, ас > А-ЕВД, г > 1, — скорость поступления страховых премий. Капитал компании в мо-

дели Крамера-Лундберга равен (в — начальный капитал)

и,

= в + Ло = в>0. (1)

¿=1

Согласно договору эксцедента убытка перестраховщик покрывает убыток цедента, если его величина превосходит уровень собственного удержания Ь, но размер этого покрытия не превосходит ширины М < оо полосы перестрахования. Пусть £ = №)4>0 — естественная фильтрация, порожденная процессом Яи т.е. ^ а{Яи,и < £}.

Определение 1.1. Назовем стратегией перестрахования типа эксцедента убытка случайный процесс V — (\4)*>о = {Ьи предсказуемый относительно фильтрации 5". Стратегия перестрахования V = (И)«>о = (£>г, М{)(>о допустимая, если Ь4 > 0, Мг > 0 п.н. для всех Ь > 0. Обозначим V — множество допустимых стратегий.

Капитал Щ страховой компании при использовании некоторой допустимой стратегии перестрахования V 6 V равен

г

= в-\-ct- рIЕтт{Мх,тах(0,У - Ьх)}<1х-о

М

- ]Г[тт (У<, Ъц) + тах(0, У4 - Ьд - МГ1)], 1% = з> 0,

¿=1

где з > 0 — начальный капитал, р — нагрузка безопасности перестраховщика, а с.в. У имеет ф.р. С}{у). Пусть ту := > 0 : Щ < 0} — момент разорения, а <5у(в) = Р{ту = 001-^0 = — вероятность неразорения. Нас

интересует максимальная вероятность неразорения <5(.э) = зир{й^(з)} и оп-

УеУ

тимальная допустимая стратегия V* = е V такая, что 5(в) =

Устанавливается, что 5(в) удовлетворяет уравнению Беллмана-Гамильтона-

Якоби

ö(s) - E[ö(s - min{y, b} - max{0, Y - b — M})]

ö (s) = int Л--—. („,-fn „—rn-• (¿J

w ь>о,м>о c- pjS mm{M, max{0, У - b}}

Теорема 1.1. Существует неубывающее решение j(s) уравнения (2), непрерывное на [0, +оо) и непрерывно дифференцируемое на (0, +оо); кроме того, 7(s) = 0 при s < 0 и 7(5) 1 при s оо.

Далее устанавливается, что минимизатор в уравнении (2) позволяет определить оптимальную стратегию перестрахования.

Теорема 1.2. Существует измеримая функция V*(s) = (b*(s), M*(s)), такая что точная нижняя грань в уравнении (2) для всякого s > 0 достигается в точке (b*(s),M*(s)). Кроме того, стратегия V* = {Vt*)t>o = K,Mt*)i>o, где b*t = Mt* = М*(Щ1), а Щ" — капитал компании при использова-

нии стратегии V*, оптимальна, т.е. <V»(s) > <5y(s) для любой допустимой стратегии V £ V.

Во втором параграфе предполагается, что компания также имеет возможность вкладывать средства в некий рисковый актив, рыночная стоимость Zt которого меняется по закону геометрического броуновского движения. Иными словами, dZt = Zt(fxclt + adWt), где Wt — стандартное броуновское движение, /х, <7 > 0. Пусть фильтрация g = (J-t)t>o, где J-t — наименьшая а-алгебра, относительно которой измеримы Д,, заданный в (1), и Wu для и < t. Определение 1.2. Назовем стратегией перестрахования и инвестирования случайный процесс V = {Vt)t>o = (At,bt)t>о, предсказуемый относительно фильтрации у. Стратегия V = (14)(>0 = (At, bt)t>о допустимая, если At > 0, bt > 0 п.н. для всех t > 0. Vi — множество допустимых стратегий.

В определении 1.2 величина bt — это уровень собственного удержания цедента при перестраховании эксцедента убытка, а At — объем средств, вложенных в рисковый актив, в момент t > 0. Пусть c(bt) — часть страховой ripe-мии, остающаяся у цедента после уплаты перестраховочной премии. Капитал

страховой компании Щ при использовании стратегии V € Vi удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению

N,

йЩ = (c(bt) + fj,At)dt + crAtdWt - dUt, Ut = J2 min(y« ьт<),

i=1

где Rq = s — начальный капитал. Как и в первом параграфе нас интересует

максимальная вероятность неразорения i(s) = sup (<5y(s)} и оптимальная

VeVi

стратегия V* = {Vt*)t>o = (A*t,bl)t>o такая, что 6(s) — 6v.(s). Уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби в данном случае имеет вид

sup Д<72А2(5"(5) + (с(Ь) + tiA)5'{s)+

А>0,Ь>0 L^

+XE[d(s - min{7,6}) - 5(e)]} = 0, (3)

с граничными условиями 6(оо) = 1 и 5(s) = 0 при s < 0. С помощью замены v(s) = 6'(s) можно преобразовать уравнение к виду

, . _ | fi2 Г du с

V[S)= \ infb>0{A £_ь Q(u - z)v{z)dz - c(b)v(u)} + A

Теорема 1.3. Существует строго возрастающее решение v(s) уравнения (4).

Минимизатор в уравнении (3) определяет оптимальную стратегию. Теорема 1.4. Пусть 7(s) строго возрастающее, дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби (3). Тогда 7(s) ограничена, а оптимальная вероятность неразорения 5(s) = 7(s)/7(oo). Кроме того, существуют измеримые функции и b*(s) такие, что при

каждом s > 0 супремум в уравнении (3) достигается в точках (A*(s),b*(s)). При этом оптимальная стратегия V* — (yt*)t>о = {A^,bl)t>о определяется как A*t = A*(Rt-), Щ = b*(Rt-).

Во второй главе рассматривается модель с дискретным временем в модификации Диксона и Уотерса. Страховая компания работает п 6 N лет. Собственник компании инвестирует дополнительные средства в компанию в том случае, если капитал компании по итогам года опустился ниже некоторого заданного уровня Ь> 0.

В первом параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания для минимизации дополнительных вливаний вкладывает средства в некий рисковый актив. Пусть с > 0 — суммарный годовой размер страховых премий, Ук — совокупный размер требований, поступивших в компанию в к-ом году, 1 < к < п. Предполагается, что У1,...,Уп — н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непрерывной ф.р. С}(у), имеющей непрерывную плотность д(у). Последовательность с.в. /?!,...,.£„ определяет результат вложения средств в некий рыночный актив, то есть, если в (к — 1)-ый момент времени была вложена одна денежная единица, то в &-ый момент мы получим (1 + денежных единиц, при этом Р^к > 0) € (0,1) и ЕЕ1 > 0. Предполагается, что с.в. ..., 1п н.о.р. с ф.р. Н(г) и независимы от У\,..., Уп. Пусть фильтрация — гДе -Не™ — наименьшая ст-алгебра, относительно которой измеримы Ут и для т < к.

Определение 2.1. Стратегия инвестирования — это предсказуемая относительно фильтрации последовательность с.в. А := {А), •.., Ап_1}. Стратегия А допустимая, если Л* > 0 п.н. для всех г = 0,..., п — 1. Множество допустимых стратегий инвестирования обозначим А„.

Капитал компании на конец к-то года при использовании допустимой стратегии А равен

Я^ = тах(Ь,Я^_1 + с +Ак^гк-Ук), = я, к = 1,...,п,

где я > 0 — начальный капитал. Размер дополнительного капитала в конце ¿-го года равен = тах{0, Ь-Я^—с-Ак-^к+Ук}- Пусть V — коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем дополнительных

вложений капитала равен

Задача состоит в минимизации величины по всем допустимым стра-

тегиям ТУп(й) := т£ и нас интересует оптимальная стратегия А*,

Ае А„

такая, что И^в) = ИФункция И^в) для любого п > 1 удовлетворяет уравнению Беллмана.

Шв) = Ы{Етах(0,Ь-з-с-аг + У)+уЕШп.1(тах(Ь,з+с+аг-У))},

а>0

(5)

где И-о^) = 0, а с.в. У к 2 независимы и имеют соответственно функции распределения С}(у) и Н(г). Кроме того, оптимальная стратегия определяется минимизатором в уравнении Беллмана.

Лемма 2.2. Пусть для любого к = 1,... ,п существует — измеримая функция, доставляющая инфимум в уравнении (5) при п = к. Тогда допустимая стратегия А* = (А^,..., А^) инвестирования в гг-шаговой модели, где А* = г = 0,..., п - 1, оптимальна.

Для случаев одношаговой (п = 1) и многошаговой (п > 1) моделей устанавливаются свойства функции 1Уп(з) и оптимальный объем инвестирования на первом шаге процесса.

Теорема 2.1. 1) Функция И^в) дважды дифференцируема. Кроме того, -1 < И^в) < 0, И^'(я) > 0 для всех а > 0.

2) Оптимальный объем инвестиций в одношаговой модели равен а^й), где а* (б) — единственное решение уравнения

Е[г(<Э{з + с + аг-Ь)~ 1)] = 0,

причем функция а*(й) непрерывна.

Теорема 2.2. 1) Функция \Vnis) при п > 1 дважды дифференцируема. Кро-

ме того, -1 < W^(s) < 0, WH(s) > 0 для всех s > 0.

2) Оптимальный объем инвестиций a* (s) на первом шаге n-шагового процесса определяется как единственное решение уравнения

E[Z(Q(s + c + aZ -L)-l) + vW'^s + c + aZ-Y)] = 0,

причем функция а*(з) непрерывна.

В случае бесконечного горизонта планирования (п = оо) устанавливается существование решения уравнения Беллмана и существование оптимальной стратегии. Уравнение Беллмана имеет вид

W(s) = m{{Emax{0,L-s-c-aZ+Y)+vEW(max{L,s+c+aZ-Y))}. (6)

Q>0

Теорема 2.3. Существует единственное решение W(s) уравнения (6). Кроме того, функция W(з) дважды дифференцируема, а инфимум в правой части (6) достигается в точке a*(s), где a*(s) — это единственное решение уравнения

E[Z{Q(s + с + aZ - L) - 1) + vW'{s + с + aZ - Y)} = 0.

Теорема 2.4. Пусть для всех s > 0 инфимум в уравнении (6) достигается в точке a*(s). Тогда стратегия А* = где А*п \= a*(R£'), оптимальна.

Во втором параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания для минимизации дополнительных вливаний капитала использует перестрахование. Рассмотрен случай пропорционального и непропорционального перестрахования. Предполагается, что любой договор перестрахования характеризуется некоторым параметром Ь, который может принимать значения из некоторого подмножества Dr Я Е+. Пусть функция r(b, у) такова, что, если заключен договор перестрахования с параметром ЬиУ - величина поступившего требования, то цедент оплачивает часть r(b,Y) убытка, а перестраховщик платит Y — r(b,Y). Кроме того, пусть непрерывная и монотонная функция с(Ь) задает величину премии, оставшейся у страховой компании после выплаты перестраховочной премии. Пусть V := {b € Dr : c(b) > 0}, а

уе := — фильтрация, порожденная последовательностью

= a{Ym, т < fc>.

Определение 2.3. Стратегия перестрахования — это предсказуемая относительно фильтрации У последовательность с.в. В := (Ьо, i>i,..., bn-i)-Стратегия В = (Ь0, bi,..., £>n-i) допустимая, если для любого к = 0, п — 1, bk EV п.н. Множество допустимых стратегий перестрахования обозначим В„.

Капитал компании Rf? на конец к-го года при использовании допустимой стратегии В равен

i?£ = max(L, + c(bk-i) - r(bk-ltYk)), к = 1,2,..., n, = s,

где s > 0 — начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jjf в к-ом году равен Jjf = max{0, L - - c(bk-1) + r(bk-i,Yk)}. Пусть v — коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем

п

дополнительных вложений капитала равен W^(s) := = s).

i=l

Требуется минимизировать Wjf (s) по всем допустимым стратегиям: Wn(s) inf W® (s). Допустимую стратегию, при которой достигается инфимум, будем называть оптимальной стратегией перестрахования. Функция Wn{s) для всякого п удовлетворяет уравнению Беллмана

1) при п < оо

Wn(s) = inf {Е max(0, L-s- c(ß) + r{ß, У))+

+ vEWn-^maxiL, s + c{ß) - r(ß, У))}, W0(s) = 0; (7)

2) при n — oo

W(s) = mf{£max(0, L-s-c{ß)+r(ß,Y))+vEW(max{L,s+c{ß)-r{ß,Y))}.

В случае квотного перестрахования r(Y, ß) = ßY, c(ß) = с — р{1 — ß)EY, р > 1, а Т> = [ß0,1], где /?о > 0 такое, что c(ß) > 0 при ß > /30.

Теорема 2.5. 1) Функция И^я) дважды дифференцируема. Кроме того, иад е [-1,0] и ИЗД >0.

2) Оптимальная квота /ЗЦв) в одношаговой модели равна

при в < Ь — с, при в € [Ь — с, X], при ее [Ь,Ь — с + рЕУ\, при в > Ь — с + рЕУ,

где — единственное решение уравнения

00

I (у-рЕУ)йЯ(у) = 0. $

Теорема 2.6. 1) Функция ТУ„(в) при п > 1 дважды дифференцируема. Кроме того, И^(в) е [-1,0], ида > 0.

2) Оптимальная квота ^(я) на первом шаге п-шагового процесса определяется следующим образом

при рЦв) < О, при остальных в;

при рЦв) < О, при р°п(в) > О, для остальных в,

Ж*) =

1,

тт(1,Р(з)), тах(/?о, Д(в)),

А),

• при 5 < Ь - с, = 1;

• при 5 е [I - с, Ь],

т =

Л*)>

• при в > Ь,

т =

1, А,

доо,

где

¡-ь

Ж

Рп(в)= 1{у-рЕУ)йЯ{у) + у I У/'п_1{з-0оу){РЕУ-у)йЯ{у),

г-й О

оо з+с—Ь

£{*)= / {у~рЕУ)йЯ{у) + у I + с — у)(рЕУ — у)(1С2(у),

з+с-Ь

а Д(5) — единственное решение уравнения

I (у- рЕУ)(1Я{у) I + с(0) - /Зу)(рЕУ - у)ЛЗ(у) = 0.

В случае непропорционального перестрахования типа эксцедента убытка г(У, /3) = тт(/3, Г), с(/3) = с - р£7(У - /3)+, Р = [Аь оо], где /?0 > 0 такое, что с(/3) > 0 при /3 > /?о. В случае п = 1 уравнение (7) принимает вид

И^я) = ц* £тах(0,Ь-з- с(/3) + тт(|?,У)).

Теорема 2.8. 1) Функция И^я) дифференцируема, причем И7^) е [-2,0]. 2) Оптимальный уровень собственного удержания /?*(в) в одношаговой модели равен

{+оо, при в < Ь — с + 01,

0{з), пщзе[ь-с + 01,ь-с{01) + 01},

0и при 5 > Ь - с(0О + 0Ъ

где убг := (Э-1^ — р~1), а 0{в) — единственное решение уравнения

8 + с{р)-Ь = рх.

В третьей главе исследуется вопрос поиска предельного распределения капитала компании в модели с возможностью вливания капитала и постоянной стратегией инвестирования. В такой модели капитал компании равен

Rn = max(L, Д„_1 + AZn.1 + с - Yn),

где Ro = s > 0 — начальный капитал, А = const, а все остальные обозначения аналогичны первому параграфу второй главы.

Теорема 3.1. Пусть функции Q(y), q{y) и H(z) таковы, что выполнены следующие условия (здесь Q(y) = 1 - Q{y))

mayiEQ{AZi - х + с + L) <\,

x>L 2-

+00 +оо

max J J |q(y + с - x + Az) - q(y + с - L + Az)\dydH(z) < 1.

-oo L

Тогда последовательность Rn имеет слабый предел при п оо. Причем предельная функция распределения Foo(x) равна

F^x) = I(® > L)(p0о + С?оо(ас)),

где пара (рх, Gx(x)) определяется из следующих уравнений

+оо +оо +ос\

/ / + J J )G^y^(y + c + Az-L^dydH(z^

Gco(x) = PooEQiAZi -x + c + L)+

f x c-L ^^ ^^ +СД

+ J J + J J \G00{y)q(y + c + Az-x)dydH{z).

Y -oo x-c-Az l )

Аналогичный результат получен для модели с постоянной стратегией ин-

вестирования и перестрахования для случая пропорционального и непропорционального перестрахования.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Булинской Екатерине Вадимовне за постановку задач, постоянное внимание и помощь в реализации идей.

Работы автора по теме диссертации

[1] Громов А.Н. Оптимальная стратегия перестрахования эксцедента убытка, Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 2012, в. 4, с. 17-22.

[2] Громов А.Н. Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования, Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 2013, в. 2, с. 6-12.

[3] Громов А.Н. Оптимальное инвестирование в модели с возможностью вливания капитала, Сборник «Современные проблемы математики и механики», 2013, Том VIII, Математика, в. 3, с. 52-60.

[4] Громов А.Н. Предельное распределение капитала в модели с возможностью вливания капитала и инвестированием, Деп. в ВИНИТИ, №354-В2013, 19 стр.

[5] Громов А.Н. Оптимальная стратегия страховщика при возможности перестрахования и вложения в рисковый актив, Тезисы XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011», 2011, с. 42.

[6] Громов А.Н. Оптимальные стратегии инвестирования и перестрахования, Тезисы Международной конференции «Теория вероятностей и ее приложения», посвященной 100-летию со дня рождения Б.В.Гнеденко, 2012, с. 322.

[7] Gromov A. Optimal investment for an Erlang(n) risk process, Abstracts of the XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 2012, p. 28.

[8] Gromov A. Optimal investment strategy in the risk model with capital injections, Abstracts of the XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 2013, p.99.

[9] Gromov A. Modeling the optimal investment strategy in Sparre-Anders en risk model, Abstracts of the Seventh International Workshop on Simulation, 2013, p. 183-185.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № 1Т

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

механико—математический факультет кафедра теории вероятностей

на правах рукописи УДК 519.21

04201456845

Громов Александр Николаевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И ИНВЕСТИРОВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

РИСКА

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель профессор, доктор физ.-мат. наук Булинская Екатерина Вадимовна

Москва 2013 г.

Оглавление

Введение............................................................................................................................................................4

Глава 1. Оптимальные стратегии в модели Крамера-Лундберга............................................12

§1.1 Оптимальная стратегия перестрахования........................................................................13

1.1.1 Уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби..................................................................14

1.1.2 Существование решения уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби....................16

1.1.3 Существование оптимальной стратегии перестрахования....................................22

1.1.4 Численные примеры......................................................................................................27

§1.2 Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования......................................30

1.2.1 Уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби..................................................................32

1.2.2 Существование решения уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби....................37

1.2.3 Существование оптимальной стратегии....................................................................41

1.2.4 Численные примеры......................................................................................................44

Глава 2. Оптимальные стратегии в модели с дополнительным вливанием капитала.. 48

§2.1 Оптимальное инвестирование ............................................................................................49

2.1.1 Уравнение Беллмана и оптимальная стратегия......................................................50

2.1.2 Оптимальное инвестирование в одношаговой модели............................................52

2.1.3 Оптимальное инвестирование в мношаговой модели..............................................56

2.1.4 Численная реализация..................................................................................................59

2.1.5 Оптимальное инвестирование в случае бесконечного горизонта планирования 61 §2.2 Оптимальное перестрахование............................................................................................65

2.2.1 Случай пропорционального перестрахования..........................................................68

2.2.2 Случай перестрахования эксцедента убытка............................................................83

Глава 3. Пределельное распределение капитала в модели с дополнительным вливани-

ем капитала......................................................................... 87

§3.1 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестирования .................................................................... 88

§3.2 Случай экспоненциального распределения требований........................ 98

§3.3 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестирования и перестрахования..................................................101

Список литературы.....................................................................105

Введение

В настоящее время страхование играет существенную роль в экономической и социальных сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стали важнейшими финансовыми институтами. Возрастающие потребности людей в финансовой защите своего имущества, жизни и здоровья, кредитных рисков и ценных бумаг влекут усиление роли страхования в обществе и развитие страховых компаний. Кроме того, страхование имеет и инвестиционную функцию. Современные страховые компании обладают большими объемами временно свободных денежных средств, активно вкладывают их в различные ценные бумаги и недвижимость. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потребность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию математического аппарата теории риска.

С начала XX века по сегодняшний день было предложено и рассмотрено достаточно большое количество различных моделей коллективного риска, моделирующих деятельность страховой компании. Одной из наиболее ранних моделей является классическая модель риска Крамера-Лундберга, основные элементы которой были разработаны в трудах шведских математиков Ф. Лундберга и Г. Крамера. Докторская диссертация Лундберга [37] была посвящена коллективной модели риска и в ней впервые было предложено использовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. Работы Крамера [19], [20], [21] также посвящены коллективной теории риска и ее приложениям в страховании.

В модели Крамера-Лундберга предполагается, что размеры поступающих в компанию требований Уь • • • — неотрицательные независимые и одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (с.в.) с функцией распределения С}(у), а моменты поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности А > 0. Пусть с > 0 - приход страховой премии в единицу времени, Л^ — число точек пуассоновского потока на отрезке [0, а й > 0 — начальный капитал компании. Тогда капитал компании

в момент £ > 0 равен

Я^Я + Й-^ГУ-. (1)

г=1

Величина т > 0| /?( < 0} называется моментом разорения компании, величина

7(л) Р(т < оо|/?0 = з) называется вероятностью разорения, а ¿(я) Р{т = оо|Д0 = — вероятностью неразорения. Существует явная формула Поллачека-Хинчина-Беекмана для вычисления вероятности разорения (см., например, [9]). Заметим также, что существуют различные принципы расчета страховой премии (см., например, [8]).

Страховая компания, собрав взносы с клиентов, должна быть способна выплатить страховое возмещение по всем поступающим требованиям. Именно поэтому вероятность неразорепия является важнейшим показателем деятельности любой страховой компании, а максимизация вероятности неразорения — одной из важнейших задач руководства компании.

Одной из возможностей для увеличения вероятности неразорения является перестрахование. Существуют различные виды договоров перестрахования, среди которых можно выделить два основных типа: пропорциональное и непропорциональное. Подробное описание типов перестрахования и видов договоров можно найти в книге [3]. В общем случае при заключении некоторого договора перестрахования, характеризующегося некоторым параметром Ь, страховщик, при поступлении требования У, платит некую величину г(У,Ь) < У п.н., а оставшаяся часть У — г(У,Ь), передается перестраховщику. Вообще говоря, параметр Ь может быть многомерным, то есть Ь € где М+ — множество неотрицательных вещественных чисел. В случае пропорционального перестрахования г (У, Ь) = ЬУ, 0 < Ь < 1. Примером договора непропорционального перестрахования может служить договор типа эксцедента убытка, который в общем случае определяется уровнем собственного удержания Ъ > 0 и шириной лейера М > 0, а ответственность цедента равна г (У, Ь, М) = тш(6, У) + тах(0, У — Ь — М). Кроме того, страховщик для оплаты услуг перестраховщика передает ему некоторую часть страховой премии.

В задачах оптимизации вероятности неразорения компании или других характеристик эффективной работы страховщика (например, среднего времени до разорения) часто рассматриваются стратегии перестрахования. Пусть $ = {У-ь)ь>о ~~ естественная фильтрация, порожденная процессом риска (1), т.е. ^ := <т{/?и, и < £}. В книге Шмидли [45] дается следующее определение стратегии перестрахования.

Определение 0.1. Случайный процесс В = {6(}(>о со значениями в М^, предсказуемый

относительно фильтрации называется стратегией перестрахования.

Пусть функция с(Ъ) задает часть премии, которая остается у страховщика после уплаты перестраховочной премии. Например, если перестраховщик рассчитывает свою премию с но принципу среднего с нагрузкой безопасности, то с(Ь) = с — рЕ(У — г (У, Ь) ), р > 1. При использовании некоторой стратегии перестрахования В — о капитал компании Я? в момент времени Ь равен

I лг{

II? = з+ с(Ьх)йх - ^г(Г„&г,).

^ г=1

Поиску оптимальных в том или ином смысле стратегий перестрахования посвящен широкий спектр работ. Так, в работе Шмидли [44] рассмотрена модель Крамера-Лундберга и стратегии пропорционального перестрахования. Капитал компании в такой модели равен

Г

Н? = 3 + / (Ьх(1 + в) - (в - Г]))\(хс1х - ^ ЬтХг, О г=1

где г] — нагрузка безопасности страховщика, в — нагрузка безопасности перестраховщика, /1 ЕУ% — средний убыток, Ь1 €Е (0,1], /. > О — доля убытка, выплачиваемая цедентом, а размер страховой премии страховщика и перестраховщика определяется по принципу среднего, т.е. с(Ь) — (1 + т?)Л/х — (1 — Ь)(1 + 0)А/х = (6(1 + в) — (в — 77)) А/г. В такой ситуации вероятность неразорения компании при использовании некоторой стратегии В — {£>¿^>0 равна 5в(в) := = °°)> Шмидли устанавливает, что оптимальная вероятность неразо-

рения компании <5(.з) := япрв 6п(з), где супремум берется по всем возможным стратегиям, удовлетворяет уравнению Беллмана-Гамильтона-Якоби

/ 8/Р \

Вир (/3(1 + в) - (в - Т]))р6'(з) +[ 6(з- ШЯ{У) ~ 6(а) = 0.

/5,(0,1] ^ { )

Кроме того доказано, что существует единственное непрерывно дифференцируемое решение ¿(в) этого уравнения с начальным условием ¿(оо) = 1, а оптимальная стратегия перестрахования определяется по правилу Ь* := /3*(/?<_), где /?*(«) — точка, в которой достигается супремум в уравнении Беллмана-Гамильтона-Якоби.

В работе Хиппа и Вогта [32] рассмотрена модель с перестрахованием эксцсдента убытка, зависящим от одного параметра — уровня собственного удержания. Аналогично работе

Шмидли авторы установили, что максимальная вероятность неразорения удовлетворяет уравнению Беллмана-Гамильтона-Якоби и доказали существование решения этого уравнения, а также существование оптимальной стратегии. В статье Шмидли [41] также рассматривает оптимальное перестрахование типа эксцедента убытка. Поиску оптимальной стратегии перестрахования в модели с диффузионной аппроксимацией процесса риска (1) посвящены работы Белкиной и Матвеевой [1], Хойгаарда и Таксара [33]. В книге Рольски и других [39] описан общий подход к решению подобных задач в классической модели риска. В работе Штрибеля [46] предложен мартингальный метод вывода уравнений динамического программирования в задачах оптимизации.

Еще одной возможностью для увеличения вероятности неразорения является инвестирование средств в рисковый актив. В таких работах речь идет уже о стратегиях инвестирования /1(, определяющих объем вложений в момент времени В таком случае капитал компании меняется по закону

Й4 = я + сЬ +

1=1

где Zt — стоимость актива в момент /,. Хипп и Плам в своих работах [30] и [31] рассматривают возможность вложения средств в рисковый актив, стоимость которого меняется по закону геометрического броуновского движения. Они также получают уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби, которому удовлетворяет максимальная вероятность неразорения и доказывают существование решения этого уравнения и существование оптимальной стратегии инвестирования. Стратегии инвестирования в классической модели риска также рассмотрены в работах Шмидли [43], Фроловой и соавторов [25], Гайера и Грандитса [26], [27], Белкиной и соавторов [16]. Шмидли в статье [42] рассматривает обобщенные стратегии перестрахования и инвестирования для максимизации вероятности неразорения. В книге Шмидли [45] объединены многие из полученных ранее результатов по оптимальному перестрахованию и инвестициям.

Из описания выше видно, что модель Крамера-Лундберга описывает работу страховой компании с непрерывным временем. Однако, несмотря на широкое распространение, которое получила классическая модель, для практических применений часто используется модель с дискретным временем. Действительно, на практике удобнее менять параметры договоров перестрахования или изменять объем инвестиций только в определенные моменты времени, например, в конце каждого года. Диксон и Уотерс в работе [22] предложили

метод дискретизации модели Крамера-Лундберга и показали способ перехода к дискретному времени и убыткам, имеющим дискретное распределение. В модели с дискретным временем капитал компании Яп на конец п-го года равен

где в — начальный капитал, с — суммарная страховая премия за год, а Уг совокупный годовой убыток компании. Чуть позже, в работе [23] Диксон и Уотерс предложили модификацию моделей риска, добавив возможность инвестировать дополнительные средства в компанию, если ее капитал опустился ниже определенного уровня. Точнее, если на конец года капитал компании меньше, чем некоторый заданный уровень Ь > 0, собственник компании вливает дополнительные средства, восстанавливая капитал компании на уровне Ь. В данном случае капитал компании в момент п равен

Д„ = тах(Ь, /г„_! + с — У„), 11о = я.

Поскольку в такой модели разорение невозможно, ставится задача снизить суммарные дисконтированные вливания капитала за п лет, то есть минимизировать величину

где Ji := тах(0, Ь — — с + У) — величина вливаемого капитала в г-ом году, а г; € (0,1) — коэффициент дисконтирования. Как и в случае с моделью Крамера-Лундберга, для минимизации величины используются перестрахование и инвестирование в рисковый актив. В данном случае под стратегией перестрахования, например, понимается последовательность с.в. {Ьк)2=ц предсказуемая относительно фильтрации, порожденной последовательностью убытков У\, У41____

Модель с вливанием капитала получила развитие относительно недавно, поэтому список работ по данной тематике невелик. Ву и соавторы [47] рассматривали модель с дискретным временем с возможностью вливания капитала и выплаты дивидендов. Так, в работе [47] капитал компании равен

п

1=1

п

= 5

.1=1

п

п

п

К(о,г) = я + „_ + п > о,

г=1 г=1 г=1

И'Чя) = тах < с1 + V ' ¿=0,1,...,« ]

где У — совокупный годовой размер убытка, > 0 п.н. — величина выплачиваемых дивидендов, а ^ > 0 п.н. — величина вливаемого капитала, ¿ = 1,2,____Предполагается, что собственник компании вкладывает дополнительные средства в компанию, если капитал ком-

оо оо

пании опустился ниже 0. Авторы рассматривают величину Ц^0,2^ = — (3 ь'г^],

г=1 г=0

где V — коэффициент дисконтирования, а ¡3 > 1 — стоимость привлечения дополнительного капитала, включающая плату за транзакцию, и максимизируют [У^0'2^ по всем возможным стратегиям (V, Z) = {(/¿, выплаты дивидендов и вливания капитала, согласованным с фильтрацией, порожденной последовательностью Таким образом, ставится оптимизационная задача VI'(в) := йир^,^ \у(£''г)(з). Доказано, что удовлетворяет уравнению

1

Я=—оо

где рк = Р(У{ — к), а оптимальной стратегией выплаты дивидендов является барьерная стратегия с барьером Ь* = т^з > 0 : II7(5 + 1) — И7(а) < 1}. При этом оптимальная

г

стратегия вливания капитала ^ = тт{0, —(я + г — ^ (Ук + (1ь))}-

к= 1

В работе Эйзенберг и Шмидли [24] изучена диффузионная аппроксимация классической модели риска с перестрахованием и возможностью вливания капитала. В статье Ку-ленко и Шмидли [34] осуществляется поиск оптимальной стратегии выплаты дивидендов, минимизирующей суммарные приведенные вливания капитала.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе изучается классическая модель риска Крамера-Лупдберга и рассматриваются не исследованные ранее случаи поиска оптимальных стратегий перестрахования и инвестирования. В первом параграфе рассматриваются стратегии непропорционального перестрахования типа эксцедента убытка. При этом в отличие от работы [32], предполагается, что договор перестрахования определяется двумя параметрами: уровнем собственного удержания Ь > 0 и шириной лейера М > 0. В такой ситуации при поступлении убытка У ответственность цедента равна тт(Ь, У) + тах(0, У — Ь — М). В такой ситуации ставится задача максимизации вероятности неразорения компании путем выбора оптимальной стратегии перестрахования. Устанавливается, что максимальная вероятность перазорения удовлетворяет уравнению типа Беллмана-Гамильтона-Якоби и доказывается существование решения этого уравнения (теорема 1.1). Кроме того, в теореме 1.2 устанавливается, что оптимальная стратегия определяется функциями, в которых достигается максимум

в уравнении Беллмана-Гамильтона-Якоби. Приводятся численные примеры для случая убытков, распределенных экспоненциально и по Парето.

Во втором параграфе первой главы к возможности заключать договора перестрахования эксцедента убытка добавляется возможность вкладывать средства в некоторый рисковый актив. Стоимость этого актива в момент времени í описывается геометрическим броуновским движением. Аналогично первому параграфу ставится задача максимизации вероятности неразорения. Также выводится уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби для максимальной вероятности неразорения, доказывается существование его решения (теорема 1.3) и теорема верификации (теорема 1.4). Кроме того, получен общий вид решения уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби вблизи нуля. Приведены численные примеры для случаев, когда убытки имеют экспоненциальное распределение и распределение Парето.

Во второй и третьей главах рассматривается модель с дискретным временем в модификации Диксона и Уотерса. Предполагается, что страховая компания работает п € N и {оо} лет. При этом собственник компании инвестирует до�