Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований

Куркина, Анна Олеговна

Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Куркина, Анна Олеговна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований»

Автореферат диссертации на тему "Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований"

На правах рукописи

005000894

Куркина Анна Олеговна

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАИМСТВОВАНИЙ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

МОСКВА-2011

005000894

Работа выполнена на кафедре математической экономики Московского государственного института электроники и математики (технический университет).

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент

Белкина Татьяна Андреевна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Бенинг Владимир Евгеньевич

доктор физико-математических наук, профессор

Шоргин Сергей Яковлевич

Ведущая организация Российский университет дружбы народов

(РУДН)

Защита диссертации состоится « » .Н0.^.1......... 2011г. в ..16. часов »Р.

минут на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан

2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 при МИЭМ, кандидат физико-математических наук, доцент

П.В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертационная работа относится к области математической теории страхования, являющейся важным разделом современной теории вероятностей. Предметом исследований в данной работе является проблема определения платежеспособности страховых компаний, функционирующих на финансовом рынке, и выработки оптимальных стратегий принятия инвестиционных решений с целью минимизации такого параметра, характеризующего платежеспособность компании, как вероятность разорения.

Исследование вероятности разорения занимает одно из центральных мест в работах, посвященных описанию участия страховых компаний на финансовом рынке1,2,3'4. При заданных параметрах процесса, описывающего эволюцию капитала, в некоторых ситуациях можно получать оценки вероятности разорения как функции начального капитала как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени. Так, для классической модели Крамера-Лундберга в случае, если распределения размера исков не имеют "тяжелых хвостов", справедливы экспоненциальные оценки5 вероятности разорения ф(и) как функции первоначального капитала и:

■ф{и) < e~Ru, R > 0.

Погружение рассматриваемой модели в финансовый рынок позволяет улучшать эти оценки, управляя параметром вероятности разорения с использованием различных инвестиционных стратегий. В то же время финансовый риск может оказаться существенным для страховых компаний и неосторожное использование рисковых активов может ослаблять платежеспособность компании не в меньшей мере, чем большие выплаты но требованиям2,3,4.

Так, в 2002г Фроловой, Кабановым, Пергаменщиковым4 при полном вложении капитала в акции, моделируемые геометрическим броуновским движением с параметрами fi и сг, в случае экспоненциального распределения размера требований получены следующие оценки вероятности неразорения

(1) если р := 2ц/а2 > 1, то для некоторого К > 0

<р(и) = 1 - Ки1~р(1 + о(1)), и -> оо;

lNorberg R. Ruin problems with assets and liabilities of diffusion type. Stoch. Proc. and Appl., 1999, v. 81, p. 255-2G9.

2Paulsen J. Risk theory in a stochastic environment., Stoch. Proc. and Appl., 1993, v. 21, p. 327-301.

3Kalashnikov V., Norberg R. Power tailed ruin probabilities in the presence of risky investments, Stoch. Proc. and Appl., 2002, v. 98, p. 211-228.

4Fralova A., Kabanov Yu., PeryamenshcMkov S. In the Insurance business risky investments are dangerous. — Finance and Stochastics, 2002, v. 6, № 2, p. 227-235.

'/Joiners N.I,., Caber U.U., Uickman J.C., Janes П.Л., Nvsbill C..J. Actuarial Mathematics. Socicty of Actuaries, 1986.

(2) если р := 2 ц/а2 < 1, то if {и) = 0 для любого и.

Из этого результата видно, что даже в случае «надежных акций» (2д/ст2 > 1) полное инвестирование капитала в акции ухудшает характеристику платежеспособности: скорость стремления к нулю вероятности разорения приобретает степенной характер. То же относится и к ситуации, когда лишь фиксированная доля капитала инвестируется в акции, а оставшаяся доля остается свободной или вкладывается в безрисковый актив.

В связи с этим становится актуальной проблема оптимального управления инвестициями с целью минимизации вероятности разорения. Наряду с решением этой проблемы важной становится также задача вычисления вероятности разорения как функции начального капитала при различных достаточно простых и естественных стратегиях, соответствующих, например, постоянной доле вложения в рисковый актив или постоянному количеству средств, вложенных в рисковый актив.

В 2003г Hipp и Plum 6 в предположении возможности заимствований денежных средств рассматривали проблему оптимального управления в модели Крамера-Лундберга при инвестировании капитала в два вида активов: рисковый, моделируемый геометрическим броуновским движением (акции) и безрисковый (банковский счет). Получен вид оптимальной стратегии, зависящей от решения уравнения Беллмана.

Как показано в настоящей диссертации, необходимость заимствований в указанной ситуации возникает по крайней мере при малых значениях резерва; точнее, заем должен осуществляться в размере, отношение которого к резерву неограниченно возрастает при уменьшении резерва.

<>Шрр е., Plum М. Optimal investment for investors with stale dependent income, and for insurers. — Finance

and Stochastics, 2003, v. 7, № 3, p. 299-321.

7Luo Sh., Taksar A/., Tsoi A. On Reinsurance and Investment for Large Insurance Portfolios. — Insurance:

Mathematics and Economics, 2008, v. 42, p. 434-444.

В 2003г Бойковым A.B.8,9 рассматривалась модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями, в которой предполагается, что процесс, описывающий поступление страховых премий является случайным, точнее, сложным пуассоновским процессом. Получены интегро-дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет вероятность неразорения при полном инвестировании капитала в банковский счет и при полном инвестировании капитала в акции.

В настоящей диссертационной работе продолжается исследование модели со стохастическими премиями с учетом инвестирования. В частности, впервые исследуется проблема оптимального управления в данной модели.

Для обеих указанных моделей при рассмотрении в настоящей диссертации стратегий, состоящих во вложении постоянной доли средств в акции, ставятся задачи не только асимптотического исследования вероятности разорения при больших значениях начального капитала, но и ее изучения как функции начального капитала на всей положительной полуоси. Также исследуется вопрос корректной постановки сингулярных задач для определения и численных расчетов вероятности разорения при всех рассматриваемых в работе стратегиях.

Цель работы

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Для вероятности неразорения, соответствующей стратегии постоянной доли вложения в рисковый актив, в модели Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований впервые проведено ее полное исследование как функции начального капитала на всей положительной полуоси: 1) осуществлена корректная постановка сингулярной задачи для линейного интегро-дифференциального уравнения (ИДУ), которому удовлетворяет вероятность неразорения;

luriiKUü A.B. Стохастические модели капитала страхоной компании и оценииаиие вероятности неразорения. — Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук. М.:МИ РАН, 2003, 83 с.

''Королев В.Ю., Бенипг D.E., Шаргин С.Я. Математические осггоиы теории риска. М.: Физматлит, 2007, 544с.

2) доказаны существование и единственность ее решения; 3) получены асимптотические представления не только при больших, но и при малых значениях начального капитала.

2. Впервые исследована задача оптимального управления инвестициями при невозможности заимствований денежных средств, изучена структура оптимального управления. Для случая экспоненциальных распределений требований получены асимптотические представления оптимальной стратегии и функции Беллмана при больших и малых значениях начального капитала. Показано, что при малых значениях капитала оптимальным является полное вложение средств в рисковый актив. Это позволяет использовать результаты указанных выше исследований при анализе функции Беллмана рассматриваемой оптимизационной задачи, в частности, для получения ее асимптотических представлений при малых значениях начального капитала и для проведения численных расчетов.

3. Результаты, связанные с исследованием оптимального управления в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями и стратегий вложения постоянной доли капитала в рисковый актив, проводились впервые и все результаты являются новыми.

Методы исследования

В диссертационной- работе используются методы теории управляемых случайных процессов, стохастической оптимизации (в частности, метод динамического программирования Беллмана), методы теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений. Кроме того, применяются асимптотические методы для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в частности, метод асимптотической диагонализации.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты н методы диссертации могут быть полезными как с теоретической, так и с практической точек зрения, специалистам в области страховой и финансовой математики, актуариям.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Москва, МИЭМ, 2004, 2005, 2006гг.

2. Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ). "Спектральные и эволюционные задачи", Крым, Севастополь, поселок Батилиман, 2004, 2010гг;

3. XIII международная школа-семинар "Новые информационные технологии", Крым, г.Судак, 2005 (Работа была отмечена 2-й премией);

4. Российский экономический конгресс. Москва, МГУ, 2009г.

Основные результаты диссертации опубликованы в журнале "Обозрение прикладной и промышленной математики", в сборниках ЦЭМИ РАН, в трудах КРОМШ и в сборниках МИЭМ.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 12 работ, из них 2 статьи [1], [2] в журнале, входящем в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций. Список публикаций приведен в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем диссертации составляет 138 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор диссертационной работы, изложены цели исследования, перечислены основные полученные результаты.

В главе 1 приводится обзор имеющихся в литературе результатов для разных динамических моделей, посвященных проблеме исследования вероятности разорения с учетом инвестирования, в том числе оптимального управления инвестициями.

В §1 рассматривается классическая модель Крамера-Лундберга. Для нее приводится классический результат теории риска — оценка Лундберга для вероятности разорения на бесконечном интервале времени. Приводятся также известные результаты исследования вероятности неразорения при полном вложении капитала в акции и при оптимальном управлении инвестициями без ограничений на заимствования.

В §2 рассматривается диффузионная модель процесса риска, для которой также описываются известные результаты исследования вероятности неразорения при полном вложении капитала в акции и при оптимальном управлении инвестициями.

В §3 для модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями приводятся известные результаты исследования вероятности неразорения без инвестиций и в случае полного вложения капитала в один вид активов.

Глава 2 посвящена оптимальному управлению инвестициями без использования заимствований в модели Крамера-Лундберга.

В §1 приводится полная постановка задачи с выводом уравнения динамики капитала при допустимых инвестиционных стратегиях.

Классическая модель Крамера-Лундберга описывается следующим процессом риска:

Rt = u + ct-'£iZk, (1)

где R¡ — величина капитала страховой компании в момент времени Í; и — величина начального капитала; с — скорость поступления страховых взносов (премий), Ylk=i — суммарные страховые выплаты, произведенные к моменту времени t; Nt, t >0, — пуассоновский процесс с параметром А, определяющий для каждого t число предъявленных исков клиентами страховой компании за временной промежуток (0, £]; Z\,Z-i,— — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.), определяющих размеры страховых выплат, с функцией распределения (ф.р.) F(z) (F(0) = 0, EZi — т < оо). Предполагается также, что с.в. Z\, Z2, ■■■ не зависят от процесса Nt, t >0.

Предполагается, что страховая компания с исходным процессом риска (1) имеет возможность инвестировать свой капитал в рисковые и безрисковые активы (акции и банковский счет). Пусть эволюция цен акций описывается геометрическим броуновским движением:

dSt = St((¿ dt + a dwt), (2)

где St — цена акции в момент í, ц — ожидаемая доходность акции, а > 0 — волатильность акции, {wt} — стандартный винеровский процесс. Эволюция цены банковского счета описывается уравнением:

dBt = rBt dt, (3)

где Bt — величина банковского счета в момент t, г — процентная ставка, 0 < г < ц.

Пусть весь капитал компании непрерывно перераспределяется между акциями и банковским счетом. Обозначим at долю стоимости акций в стоимости портфеля компании, 1-аг долю банковского счета в портфеле. Тогда уравнение динамики капитала имеет вид

dXt = [(a((/í -r) + r)dt + ata dwt]Xt + dRt, X0 = u. (4)

Функцию времени А = {at}t>o будем рассматривать как неупреждающее управление, т. е. случайный процесс, предсказуемый относительно фильтрации, порожденной парой процессов {Rt,wt}. Другими словами, решение, принимаемое в каждый момент времени по выбору доли резерва, инвестируемого в акции, должно зависеть только от информации о процессах Rt и wt, располагаемой до этого момента. Управление А = {a¡}t>o будем называть допустимым, если 0 < < 1 для любого t и определен процесс Xt = A¡S t > 0, являющийся решением уравнения (4). Таким образом,

к допустимым управлениям относятся только те управления, которые не используют заимствования.

В качестве меры платежеспособности компании выбирается вероятность неразорения на бесконечном интервале времени:

<рА(и) = Р {Xf > 0, i > 0}, Х0А = и, и > 0.

При и < 0 полагаем <рА(и) = 0. Определим момент разорения как г = т(и) = inf{t: Xt < 0}. Тогда вероятность разорения на бесконечном интервале времени можно записать в терминах момента разорения:

■фА{и)= Р {тА(и) < оо}, и=*Х£, и>0, уз(и) = 1 - гр(и).

В §2 решается оптимизационная задача максимизации вероятности неразорения на бесконечном интервале времени:

ipA(и) -f sup, (5)

где решение ищется в классе всех возможных допустимых управлений, т.е. в классе всех возможных неупреждающих управлений, не использующих заимствования.

Функция Беллмана для данной задачи имеет вид

V(u) = supyA(u), (6)

где супремум берется по всем допустимым управлениям. Если существует управление А*, доставляющее супремум в (6), то V(u) обозначает оптимальное значение вероятности неразорения при начальном резерве и, т.е. V(u) —

И»-

Сформулирован и доказан принцип Беллмана для данной задачи:

V(u) > Е Д-тя любого t, (7)

где процесс {A"tA} соответствует произвольному допустимому марковскому управлению A, Xq = и, т = тд — момент разорения {Х(А}. При этом равенство в (7) достигается при оптимальном управлении А* = {а(*}, если оно существует:

V(u) = Е V(XtA'r) для любого t,

где {ХА"} соответствует управлению А*. Неравенство (7) означает, что лучше начинать применять оптимальную стратегию с нулевого момента времени, нежели с любого другого момента t, t < т.

С использованием понятия инфинитезимального (производящего) оператора для однородного марковского процесса и принципа Беллмана в данной

ситуации, выведено уравнение Беллмана, которое имеет вид sup i АЕ [V(u - Z) - V»] + V'{u)[aupL + (1 - a)ur + с]+

0<а<1 t.

+ ic*WV"(u)j = 0, u > 0, (8)

где Z — случайная величина с ф.р. F(z). При этом V(u) = 0 при и < 0, и выполнено предельное условие

-AF(0) + cV'(+0) = 0.

Далее исследуется оптимальная стратегия инвестиций. Доказана следующая теорема о структуре оптимального управления.

Теорема 8. Пусть существует неубывающая дважды непрерывно дифференцируемая на множестве {и > 0} функция V(u), удовлетворяющая уравнению Беллмана (8) и условиям V(0) > 0, V(u) = 0 при и < 0. Тогда

(1) V\u) > 0;

(2) супремум в (8) достигается при

а' = а» = В(и, (V'(u)/V"(u))), (9)

^ ( (Е=йШ. если 0 < М < 1-

4 w I 1, в противном случае;

(3) V(u) является решением ИДУ

A J V(u — х) dF(x) - XV (и) + V'(u) В (и, ufi+

Для тех и, для которых а(и) = уравнение (10) преобразуется к

уравнению вида

ur 1 (и - r)2(V'(u))2

XI V(u- z) dF(z) - XV(u) + V'(«)[c + tirj = ^ • (n)

Для техи, для которых а (и) = 1, уравнение (10) преобразуется к уравнению вида

А £ V(u - z) dF(z) - XV(и) + V'{u)[nu + с] + |ffVV» = 0. (12)

Затем проведено исследование вида оптимальной стратегии при малых значениях начального резерва. При помощи исследования асимптотического представления решения уравнения (11) при малых и показано, что стратегия а(и) = — ^¡^ yj^ не является допустимой при малых и. Значит, в некоторой окрестности нуля а* (и) = 1 (необходимо весь резерв компании инвестировать в акции) и функция Бсллмана удовлетворяет уравнению (12).

Для надежных акций, т.е. акций, удовлетворяющих условию // > а2/2, доказана следующая теорема (проверочная), утверждающая, что управление, порождаемое стратегией вида (9), является решением исходной оптимизационной задачи (5).

Теорема 9. (Проверочная.) Пусть уравнение (10) имеет решение V(u), удовлетворяющее условиям теоремы 8 и условию

lim V(u) = 1.

U—'00

Тогда для и > 0, любого допустимого управления А = {с^} и соответствующего процесса (4) при Х^ = и

V(u) > <рА(и);

верхняя граница в этом неравенстве достигается при управлении А* = {а?}, a*t = а*(Х(*_), где а(и) при и > 0 определяется в (9), а процесс {А^*} удовлетворяет уравнению

dX*t = {(аЦц - г) + г) dt + a'ta dwt}X(* + dRt, X'Q = и.

В главе 3 проводится более полное исследование вероятности неразорения при использовании различных стратегий в случае экспоненциального распределения размера требований.

В §1 отдельно рассматривается случай постоянной доли вложения в рисковый актив: at ■= а. Положим а := ац + (1 — а)г, Ь := аа.

Сформулирована сингулярная задача для линейного ИДУ:

ÇU

(b2/2)u2tp"(u) + (au + c)ip'(u) — Aifi(u) + Л / tp(u - x) exp (—x/m)/mdx = 0,

Jо

(13)

0 < и < oo,

lim 1p(u) и lim <p'(u) существуют и конечны, (14)

и—»+0 и~»+0

lim [ар'(и) - Ыи)\ = 0. (15)

и—>+0

Вероятностью неразорения р(и), если она не равна тождественно нулю, будет такое решение из этого семейства, которое удовлетворяет требованиям

О < <р(и) < 1 для любого и € [0, оо), (16)

lim <р(и) = 1, lim ip'iu) = 0. (17)

U—>00 «-»00

В следующей теореме получены достаточные условия, при которых решение сингулярной линейной задачи (13)—(17) существует и единственно и является бесконечно дифференцируемой монотонно возрастающей на [0, с») функцией. Кроме того, здесь получены асимптотические представления решения при малых и больших и, что, в частности, важно для численного нахождения решения.

Теорема 10. Пусть в ИДУ (13) все параметры Ь2, с, X, т, а — фиксированные положительные 'числа, и пусть выполняется условие 2a/i>2 > 1. Тогда:

(1) существует, и притом единственное, решение <р(и) задачи (13)—(15),

(17);

(2) это решение удовлетворяет требованиям (16) и является бесконечно дифференцируемой монотонно возрастающей на R+ функцией; если выполнено условие

тп(а - А) + с > О, то решение <р(и) — вогнутая на функция, а если

т(а - А) + с < О,

то <р{и) выпукла на некотором отрезке [0, и], где и — точка перегиба;

(3) при малых и справедливо асимптотическое представление

<р(и) ~ С0

и ~ 0;

здесь Со = !/з(0): 0 < Со < 1, С* = D^/k, к — 2,3,..где Dk определяются по формулам

\ с mj

D2[b2 + 2а - А + с/т] + а/т

2 с

(18)

n _ Dk-i[{k - l)(fc - 2)Ьг/2 + (fc - l)a - А + с/т]

(l/m)Pk-2[{k — 3)Ь2/2 + а]

-фГТ)-' fc = 4'5..... (19)

(4) при больших и справедливо представление

<р{и) = 1-Ки1-2а^{1 + о{1)), и-» оо,

где К = Со К > 0, параметр Со = > 0 является параметром

нормировки, выбор которого обеспечивает выполнение условия (17).

В результате окончательно имеем

Следствие 3. Пусть F(x) = 1 - е~х/т, т > 0. Пусть также и > 0. Тогда при постоянной структуре инвестиций, при которой доля вложений в рисковый актив постоянна, вероятность неразорения <р(и) (как функция первоначального капитала и) является решением сингулярной линейной задачи (13)-(15), (16)-(17) и описывается теоремой 10.

В §2 проведены исследования для функции Беллмана и оптимальной стратегии. Верны следующие утверждения.

Теорема 11. Пусть F(x) = 1 -е~х/т, т > 0. Тогда для функции Беллмана при малых и справедливо асимптотическое представление

V(u) ~ Со

1 + ^и + ±Ски^

здесь С0 = V(0) : 0 < Со < 1, Ск = Dk/k, к = 2.3,..., где Dk определяются по формулам (18), (19) с заменой коэффициентов а иЬ на циа соответственно. При этом если

т(ц - А) + с < О,

то V(u) выпукла на некотором отрезке [0,5], где и — точка перегиба.

В частности, при невыполнении условия положительности нагрузки безопасности функция Беллмана может быть выпуклой на некотором отрезке, включающем пулевую точку.

Теорема 12. Пусть F(x) = \-е~х/т, тп > 0. Тогда для функции Беллмана и оптимальной стратегии имеют место следующие асимптотические представления при больших и:

(1) если г = 0, то

V(u) = 1 - A'ie~7lU[l + o(l)], и ► оо, (20)

а(и) = - JL[1 + 0(1)], и —> оо, 7 уа'и

где К, > 0, 71 = 0 + V(l/m-/J)»-A/(cm), /3 = - $ - <

(2) если г >0, то

V{u) = \-K2e-Ulmuxlr-1[\ + о(1)], и-оо, (21)

где К2 > 0.

Замечание 7. Для сравнения представлений (20) и (21) достаточно заметить, что 71 < 1 /т. Более того, можно увидеть, что чем меньше относительная страховая надбавка (в = c/(Am) — 1), тем больше 71 отличается от 1/т (в меньшую сторону), следовательно тем большие преимущества дает оптимальная стратегия использования рисковых и безрисковых активов по сравнению с оптимальной стратегией в ситуации, когда используются только рисковые активы.

В §3 главы 3 для случая экспоненциально распределенных требований, т.е. при F(x) = 1 — е~х!т, т > 0, в пакете программ Maple проводятся численные решения задач для ОДУ, к которым сводятся в этом случае задачи для определения вероятности неразорения при рассматриваемых стратегиях.

Глава 4 посвящена управлению инвестициями без использования заимствований в модификации модели Крамера-Лундберга, а именно, в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями.

В §1 приводится полная постановка задачи с выводом соответствующих уравнений динамики капитала при допустимых инвестиционных стратегиях.

Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями описывается следующим процессом риска:

Здесь — величина капитала страховой компании в момент времени Ь; и

— величина начального резервного фонда; первая сумма в правой части — суммарные страховые премии, поступившие к моменту времени t; < > О,

— пуассоновский процесс с параметром А1; Сч, ■■■ — последовательность н.о.р.с.в., определяющих размеры страховых премий, с ф.р. С{у) (С(0) = О, ЕС1 = п < оо); {С;} и {Лг1(<)} предполагаются независимыми; вторая сумма в правой части— суммарные страховые выплаты, произведенные к моменту времени V, Л^), £ > 0, — пуассоновский процесс с параметром А; — последовательность н.о.р.с.в., определяющих размеры страховых выплат, с ф.р.

(ПО) = 0, Ег1 = т < оо); {£)} и {Лг(<)} предполагаются независимыми; процессы суммарных премий и суммарных выплат также предполагаются независимыми.

Так же как и для классической модели, рассматриваются стратегии инвестирования капитала на финансовом рынке, заданном парой активов: безрисковым и рисковым, описываемыми уравнениями (2) и (3). В каждый момент времени страховая компания перераспределяет свои средства между акциями и банковским счетом. По аналогии с главой 2 выводится уравнение капитала страховой компании (4) с процессом риска (22).

Как и в главе 2, для данной модели определяются неупреждающее

ЛГ,(0 N(t)

(22)

управление и допустимые стратегии, не допускающие заимствования, а также определяется вероятность неразорения на бесконечном интервале времени как мера платежеспособности компании, ставится задача ее максимизации.

Поставленная задача (5) максимизации вероятности неразорения на бесконечном интервале времени решается в §2.

Уравнение Беллмана для рассматриваемой задачи оптимизации имеет вид

эир {АЕ [У{и -г)- К(и)] + А1Е [1/(и + С) - У(и)]+ 0<а<1 I.

+ У'(и)[аир + (1 - а)иг] + ^а2и2а2У"(и)| =0, и > 0,

(23)

где С — случайная величина с ф.р. 6(3/). При этом У(и) = 0 при и < 0, а при и = -0 функция имеет скачок, равный У(0); поэтому при и = +0 уравнение (23) порождает условие

^гоо

' У(у)в(у)=0. о

Теорема 13. Пусть существует неубывающая дважды непрерывно дифференцируемая на множестве {и > 0} функция У(и), удовлетворяющая уравнению Беллмана (23) и условиям К(0) > 0, У(и) = 0 при и < 0. Пусть также распределение случайной величины С абсолютно непрерывно. Тогда

(1) У(и) — строго возрастающая функция-,

(2) супремум в (23) достигается при

а' = а» = В(и, (У'(г|)/Пи))), (24)

где

II, в противном случае;

(3) У(и) является решением интегро-дифференциалъного уравнения

и ОС

\Jviu- х) сгр(х) + А! у У(и + у) йв{у) - (А + АОУ(и)+ о о

+ У'{и)

и + 1у"(и)В2(и,Щ)и*о* = 0. (25)

Для тех и, для которых а(и) = приходим к уравнению вида

U 00

Л У V(u - х) dF(x) + Al j V(u + y) dG(y)~

- (A + АО V(u) + ruV («) = --a2V^u)-•

Для тех и, для которых а (и) = 1, приходим к уравнению вида

ru roo

А / V{u - х) dF(x) + Ai / V(u + y)dG{y)-J o Jo

- (А + Ai)V(u) + nuV'(u) + ЬV"(u)u2a2 = 0.

Для надежных акций, т. е. акций, удовлетворяющий условию ¡i > <т2/2, доказана следующая теорема (проверочная), утверждающая, что управление, порождаемое стратегией вида (24), является решением исходной оптимизационной задачи (5).

Теорема 14. (Проверочная.) Пусть уравнение (25) имеет решение V(u), удовлетворяющее условиям теоремы 13 и условию

lim V(u) = 1.

и—»oo

Тогда для и > 0, любого допустимого управления А = {»¡} и соответствующего процесса (4) при Xa — и

V(u) > у>А(и);

верхняя граница в этом неравенстве достигается при управлении А* = {a¿}, a*t = a*pQL), где а(и) при и > 0 определяется в (24), а процесс {Xt*} удовлетворяет уравнению

dX't = [(Q;(p - г) + г) dt + a¡adwt\X¡ + dRt, Ar0* = и.

В §3 проводится исследование для случая экспоненциального распределения размера требований при постоянной доле вложения в рисковый актив: = а. Положим а := ац + (1 — а)г, Ь := аа.

Сформулирована сингулярная задача для линейного ИДУ

1-Ъ2иУ'{и) + аиу'(и) - (А + ХгМи) + А(/^)(и) + А^К«) = 0, (26)

где

Г" 1 Г30 1

(1цр)(и)= / ф-х)-е~хЫх, (12<р)(и)= <р(и + у)-е-*'Чу.

Л т Л п

Требуется найти неотрицательное, неубывающее на Е+ решение ИДУ (26), удовлетворяющее условиям:

О < ip(u) < 1 для любого и е R+; lim ip(u) и lim ip'(u) существуют и конечны;

ii—»+о

U—+0

A t°°

(А + А:) lim ф) = -L / ip(y)e~y/n dy,

u-^+0 П Jо

lim <p(u) = 1. lim ip'(u) = 0.

U-»+00 U—.+00

(27)

(28)

(29)

(30)

Исследована асимптотика <р(и) при малых значениях начального капитала. Теорема 15. Пусть а > А + А^ Тогда при любом конечном и > 0 решение задачи (26), (28), (29) представляется сходящимся рядом

<p(u,co.Di) =со +Д

к=2

(31)

Здесь Со = v?(0), 0 < с0 < 1, и Di > 0 суть параметры, Dk (к = 2,3,...) определены по формулам

аз

£)3 = + + aj 2(ai + аз)

D Ai-iM* - 3)(fc - 2) + а4(к - 2) + а6] + Рк-2[а5(к - 3) + а7] * {к-3){к-2)(к- l)+a,(fc-2)(fc-l) + a3(Jfc-l)

к = 4,5,...

Исследована асимптотика <р(и) при больших значениях начального капитала.

Теорема 16. Пусть 2a/b2 > 1. Тогда решение задачи (26), (30) обладает следующим асимптотическим представлением при больших и :

ip{u) = 1 - Lul~2alb\l + о(1)), u ^ со,

где L > 0 — некоторая постоянная.

В общем случае существование и единственность решения сингулярной задачи (26)-(30) доказаны Белкиной Т.А., Конюховой Н.Б., Курочкиным C.B. 10; в случае а > А + Aj показано, что вероятность неразорения является решением сингулярной задачи с более слабым условием в нуле. Решение

10Белкина Т.А., Конюхова И.Б., Куронкин C.B. Сингулярная краевая задача для линейного иптсгродиффсрстршльпого уранпспия, игапикающсто и моделях страхоной математики: анализ и •тслсппос решение. — Ж. вычисл. магем. и матем. физ., 2011. (Готовится к печати.)

этой задачи, определяющее вероятность неразорения, имеет асимптотическое представление, в котором разложение (31) является составной частью.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту Т. А. Белкиной за постановку задач, внимание и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

[Il Белкина Т.А., Конюхова Н.В., Куркина А.О. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях страхования: I. Инвестиционные стратегии и вероятность разорения. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009, т. 16, вып. 6, с. 961-981.

[2] Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Куркина А.О. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях страхования: II. Модель Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, т. 17, выи. 1, с. 3-23.

[3) Куркина А. О. Исследование проблемы оптимального инвестирования на рынке Блэка-Шоулса в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — Тезисы докладов научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов института МИЭМ. М.: МИЭМ, 2004, с. 573-574.

[4| Куркина А. О. Оптимальное инвестирование, капитала страховой компании на рынке Блэка-Шоулса. — В Сб.: "Новые информационные технологии". Тезисы докладов XIII Международной студенческой школы-семинара. М.: МИЭМ, 2005, с. 184-186.

[5] Белкина Т.А., Куркина А.О. Оптимальное инвестирование капитала страховой компании на рынке Блэка-Шоулса со стохастическими премиями. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, вып. 4, с.907-909.

[6] Белкина Т.А., Куркина А. О. О минимизации вероятности разорения при выборе инвестиционных стратегий, не использующих заимствования. — Spectral and Evolution Problems: Proc. of the Fifteenth Crimean Autumn Math. School-Symposium (KROMSH-2004, Sept. 18-29, Sevastopol, Laspi). Simferopol: Taurida National V.Vernadsky University, 2005, v. 15, p. 167-174.

[7] Белкина Т.А., Куркина А.О. Об оптимальном управлении инвестициями в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — В Сб.: "Анализ и моделирование экономических процессов". М.: ЦЭМИ РАН, 2005, с. 103-114.

[8] Куркина А.О. Оптимальное инвестирование в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — Тезисы докладов научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов института МИЭМ. М.: МИЭМ, 2006, с. 35.

[9] Куркина А.О. Оптимальное инвестирование капитала страховой компании в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — В Сб.: "Новые информационные технологии". Тезисы докладов XIV Международной студенческой школы-семинара. М.: МИЭМ, 2006, с. 258.

[10] Белкина Т.А., Куркина А.О. Асимптотики вероятности неразорения в динамической модели страхования. — В Сб.: "Анализ и моделирование экономических процессов". М.: ЦЭМИ РАН, 2007, с. 67-82.

[11] Белкина Т.А., Куркина А.О. Динамические модели страхования: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения. — Сборник докладов участников Российского экономического конгресса. М.: ИЭ РАН,

2009.

[12] Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Куркина А.О. Сингулярная задача для линейного интегро-дифференциального уравнения, возникающего в моделях страховой математики. — Крымская осенняя математическая школа-симпозиум. Двадцать первая ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. Симферополь: Таврический национальный университет им. В.И.Всрнадского; изд-во КНЦ НАНУ,

2010, с. 23.

Подписано к печати" J4_" октября 2011 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ.

Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № 201 . Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Куркина, Анна Олеговна

Введение

Глава 1. Инвестиции капитала страховой компании в рисковые активы и вероятность разорения: обзор тематики

§ 1. Модель Крамера-Лундберга и «опасность» инвестиций в рисковые активы.

§ 2. Модели с диффузионным процессом риска и оптимальное управление инвестициями.

§ 3. Модификация модели Крамера-Лундберга в случае стохастических премий: вероятность разорения при некоторых инвестиционных стратегиях.

Глава 2. Оптимальное управление инвестициями без использования заимствований в модели Крамера-Лундберга

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Оптимальное управление.

Глава 3. Модель Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размеров требований: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения

§ 1. Стратегия постоянной доли вложения в рисковый актив

§ 2. Стратегия оптимального управления инвестициями при невозможности заимствований.

§ 3. Результаты численных расчетов.

Глава 4. Управление инвестициями в модели Крамера—

Лундберга со стохастическими премиями

§ 1. Постановка задачи оптимального управления инвестициями без использования заимствований

§ 2. Оптимальное управление.

§ 3. Случай экспоненциального распределения размеров требований и премий при постоянной доле вложения в рисковый актив

Введение диссертация по математике, на тему "Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований"

Описание области исследования и актуальность.

Диссертационная работа посвящена проблеме использования финансовых инструментов в целях уменьшения риска страхования.

Взаимосвязь актуарной и финансовой математики, общность ряда задач, стоящих перед современными финансами и страхованием, а также единство используемых методов неоднократно обсуждались в литературе (см. работы [1]-[3] и содержащуюся в них библиографию). Практику и теорию страхования сейчас невозможно рассматривать изолированно от практики и теории инвестирования и финансов, имеющих дело с рынком ценных бумаг [1]. Эволюция страховой индустрии идет по пути ориентирования на моделирование, основанное на соотношениях между ценными бумагами и обязательствами, между риском и капиталом [3].

Одно из центральных мест в работах, посвященных описанию участия страховых компаний на финансовом рынке, занимает исследование вероятности разорения [4]-[15]. Являясь традиционной характеристикой платежеспособности, вероятность разорения учитывается в качестве параметра при расчете резервов и премий за предоставляемые услуги по покрытию риска. При заданных параметрах процесса, описывающего эволюцию капитала, в некоторых ситуациях можно получать оценки вероятности разорения как функции начального капитала как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени. Например, для классической модели Крамера-Лундберга в случае, если распределения размера исков не имеют "тяжелых хвостов", справедливы экспоненциальные оценки [13], [16].

Погружение рассматриваемой модели в финансовый рынок позволяет улучшать эти оценки, управляя параметром вероятности разорения с использованием различных инвестиционных стратегий. В то же время в некоторых работах обсуждался вопрос о том, что финансовый риск может оказаться существенным для страховых компаний и неосторожное использование рисковых активов может ослаблять платежеспособность компании не в меньшей мере, чем большие выплаты по требованиям [5]-[7]. В частности, в [7] было показано, что в модели Крамера-Лундберга возможные потери от инвестиционной деятельности могут быть таковы, что с ростом начального капитала вероятность разорения убывает не быстрее степенной функции, т.е. гораздо медленнее, чем при отсутствии каких-либо вложений, когда скорость убывания экспоненциальна.

Существующие в литературе исследования вероятности неразорения при указанных стратегиях простого вида были связаны в основном с изучением асимптотического поведения вероятности разорения при больших значениях начального капитала. В частности, степенной характер убывания вероятности разорения при постоянной доле вложения в акции был показан в модели Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований в [7], для модели с диффузионным процессом риска - в [15]; при стратегии, состоящей во вложении определенного постоянного количества денежных средств в акции показана асимптотическая оптимальность в [17]. Задача вычисления вероятности разорения при любом начальном капитале связана с проблемой корректной постановки краевых задач или задач Коши для вероятности разорения на всей неотрицательной полуоси. Это в свою очередь делает актуальным аналитико-численное исследование интегро-дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет вероятность разорения как функция начального капитала и которые порождаются инфенитезимальными операторами марковских процессов, описывающих изменение капитала.

Проблема оптимального управления для различных моделей рассматривалась в [8]-[12], для модели Крамера-Лундберга - в [8], где в предположении возможности заимствований получена оптимальная стратегия инвестирования капитала в акции, цепа которых моделируется геометрическим броуновским движением. Как будет показано ниже в данной работе, необходимость заимствований в указанной ситуации может возникать по крайней мере при малых значениях резерва; точнее, заем должен осуществляться в размере, отношение которого к резерву неограниченно возрастает при уменьшении резерва.

Специфика рассматриваемых в диссертационной работе моделей управления инвестицями по сравнению с имеющимися в литературе состоит в следующем. В диссертационной работе при рассмотрении оптимальных стратегий не предусматривается возможность заимствования денежных средств страховой компанией. Это выражается ограничением на количество средств, вкладываемых в рисковый актив: в«каждый момент времени это количество не должно превышать текущее значение резерва. В математической постановке задачи это ограничение отражается предположением 0 < с^ < 1, где щ - доля резерва, вкладываемого в рисковые активы в момент Ь. При этом предполагается, что оставшаяся часть резерва инвестируется в безрисковый актив. Таким образом, в каждый момент времени принимается решение о перераспределении капитала между двумя видами активов. Данная постановка задачи представляется более естественной по сравнению с известными из литературы постановками, предполагающими отсутствие ограничений на заимствования при любых значениях капитала. Кроме того, в диссертационной работе впервые исследуется проблема оптимального управления в модификации модели Крамера-Лундберга, в которой предполагается, что процесс, описывающий поступление страховых премий является случайным, точнее, сложным пуассоновским процессом. При рассмотрении в данной работе стратегий, состоящих во вложении постоянной доли средств в акции, ставятся задачи не только асимптотического исследования вероятности разорения при больших значениях начального капитала, но и ее изучения как функции начального капитала на всей положительной полуоси. Также исследуется вопрос корректной постановки задач для определения и-численных расчетов вероятности разорения при всех рассматриваемых в работе стратегиях.

Описание моделей. Цели диссертации.

Проблемы оптимального управления инвестициями и вычисления вероятности разорения для различных стратегий рассматриваются в данной диссертационной работе в рамках двух моделей: классической модели Крамера-Лундбрега и её модификации — модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями.

Классическая модель Крамера-Лундберга описывается следующим процессом риска: где В^ - величина капитала страховой компании в момент времени и -величина начального капитала; с - скорость поступления страховых взносов (премий), - суммарные страховые выплаты, произведенные к моменту времени £ > 0, - пуассоновский процесс с параметром А, определяющий для каждого t число предъявленных исков клиентами страховой компании за временной промежуток ((),£]; ^1,^2,. - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.), определяющих размеры страховых выплат, с функцией распределения (ф.р.) (.Р(О) = 0, EZl — т < оо). Предполагается также, что с.в. ^2,. не зависят от процесса Л^, £ > 0.

Наряду с классической моделью в диссертационной работе рассмат

0.1) ривается модификация модели Крамера-Лундберга, в которой детерминированный процесс поступления премий заменяется случайным процессом. Точнее, процесс, описывающий поступление страховых премий, является сложным пуассоновским процессом с параметрами, отличными от параметров процесса страховых выплат. Данная модель была предложена в [18], см. также [16]. Таким образом, рассматривается следующий процесс риска:

ВД) N(1)

1 з=\

Здесь В^ - величина капитала страховой компании в момент времени и - величина начального резервного фонда; первая сумма в правой части - суммарные страховые премии, поступившие к моменту времени £;

I > 0, - пуассоновский процесс с параметром Ах; С^Сг,. - последовательность н.о.р.с.в., определяющих размеры страховых премий, с ф.р.

2(0) = О, ЕС1 = п < оо); {С(} и {N1^)} предполагаются независимыми; вторая сумма в правой части - суммарные страховые выплаты, произведенные к моменту времени ¿; £ > 0, - пуассоновский процесс с параметром Л; ^х,^,. - последовательность н.о.р.с.в., определяющих размеры страховых выплат, с ф.р. -Р(г) (-Р(О) = О, Е— т < оо); и {N(1)} предполагаются независимыми; процессы суммарных премий и суммарных выплат также предполагаются независимыми.

Предположим, что страховая компания с исходным процессом риска, описываемым (0.1) или (0.2), имеет возможность инвестировать свой капитал в рисковые и безрисковые активы (для краткости будем в дальнейшем их называть соответственно акциями и банковским счетом). Пусть эволюция цен акций описывается геометрическим броуновским движением:

81 = ¿?г {¡л йЬ + а (киг), где - цена акции в момент t, /I - ожидаемая доходность акции, а > 0 -волатильность акции, {ииь} - стандартный винеровский процесс.

Эволюция цены банковского счета описывается уравнением: dBt = rBt dt, где Bt - величина банковского счета в момент t, г - процентная ставка, О <r < ¡i.

Пусть весь капитал компании непрерывно перераспределяется между акциями и банковским счетом. Обозначим at долю стоимости акций в стоимости портфеля компании, 1 — at долю банковского счета в портфеле. Тогда уравнение динамики капитала имеет вид dXt = [(at{¡i — г) + r)dt + atcr dwt }Xt + dR(t), X(0) = u. (0.3)

Функцию времени А = {o;f}í>o будем рассматривать как неупрежда-ющее управление, т.е. случайный процесс, предсказуемый относительно фильтрации, порожденной парой процессов {Rt, Wt}. Другими словами, решение, принимаемое в каждый момент времени по выбору доли резерва, инвестируемого в акции, должно зависеть только от информации об процессах Rt и wt, располагаемой до этого момента. Управление А = {q;¿}¿>o будем называть допустимым, если 0 < at < 1 для любого t и определен процесс Xt — Xf, t > 0, являющийся решением уравнения (0.3). Таким образом, к допустимым управлениям мы относим только те управления, которые не используют заимствования. '

V?A(u) = P{XfA > 0, t > 0}, Х0А = и, и> 0.

При и < 0 полагаем (рА(и) = 0. Моментом разорения будем называть момент остановки г = r{u) = inf{í : Xt < 0}. Тогда вероятность разорения на бесконечном интервале времени можно записать в терминах момента разорения: фА{и) = Р {тА(и) < оо}, и = и> 0, ip(u) = 1 - ф(и).

Целью диссертации является исследование вероятности разорения в модели Крамера-Лундберга и ее модификации со стохастическими премиями при различных управлениях инвестициями страховой компании, не использующих заимствования: оптимальном, минимизирующем вероятность разорения на бесконечном интервале времени, и управлении, состоящем во вложении постоянной доли средств в акции. Оптимизационная задача в приведенных обозначениях будет иметь вид рА(и) —► вир, (0.4) а где решение будем искать в классе всех возможных допустимых управлений, т.е. в классе всех возможных неупреждающих управлений, не использующих заимствований. При этом особое внимание будет уделено случаю, когда отдельные страховые требования (и премии) имеют экспоненциальное распределение.

Задачи диссертации. Краткое описание методов. Научная новизна.

Определим функцию Беллмана задачи (0.4):

У(и) = вир^"4^). а

В соответствии со сформулированной целью задачи диссертации определим следующим образом.

Для модели Крамера-Лундберга:

1. вывести уравнение, которому удовлетворяет функция Беллмана задачи (0.4) (уравнение Беллмана) в предположении существования первых двух ее производных;

2. получить вид оптимальной стратегии инвестиций в предположении невозможности заимствований в зависимости от решения уравнения Беллмана;

3. исследовать структуру оптимальной стратегии при малых значениях начального капитала;

4. доказать теорему, утверждающую, что решение уравнения Беллмана с нужными свойствами (в случае существования такого решения) и соответствующая стратегия дают решение оптимизационной задачи (0.4) (проверочную теорему);

5. более подробно исследовать структуру оптимальной стратегии и вероятность неразорения в случае экспоненциального распределения размера требований, для этого: a) исследовать проблему существования решения уравнения для вероятности неразорения, соответствующей стратегии постоянной доли вложения в рисковый актив, и оптимальной стратегии; b) получить асимптотические представления вероятности неразорения при малых и больших значениях начального капитала и постоянной доле вложения в рисковый актив; c) провести исследования асимптотических представлений вероятности неразорения в случае оптимального управления при невозможности заимствований; с!) получить асимптотические представления оптимальной стратегии при невозможности заимствований для больших значений текущего капитала; е) осуществить корректную постановку краевых задач для вычисления вероятности неразорения, соответствующей двум рассмотренным стратегиям (оптимальной и постоянной); провести численные расчеты.

Для модели со стохастическими премиями: по возможности провести аналогичные исследования.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории управляемых случайных процессов, стохастической оптимизации (в частности, метод динамического программирования Беллмана), методы теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений. Кроме того, применяются асимптотические методы для систем обык-' новенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в частности, метод асимптотической диагонализации.

Новизна полученных результатов состоит в следующем.

2. Впервые исследована задача оптимального управления инвестициями при невозможности заимствований денежных средств. Изучена структура оптимального управления. Для случая экспоненциальных распределений требований получены асимптотические представления оптимальной стратегии и функции Беллмана при больших и малых значениях начального капитала. Показано, что при малых значениях капитала оптимальным является полное вложение средств в рисковый актив. Это позволяет использовать результаты указанных выше исследований при анализе функции Беллмана рассматриваемой оптимизационной задачи, в частности, для получения ее асимптотических представлений при малых значениях начального капитала и для проведения численных расчетов.

Описание содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме "Теория вероятностей и математическая статистика"

Заключение

Проведенное в настоящей работе исследование относится к проблеме определения платежеспособности страховых компаний, функционирующих на финансовом рынке, и выработки оптимальных стратегий принятия инвестиционных решений с целью максимизации такого параметра, характеризующего платежеспособность компании, как вероятность неразорения. С математической точки, зрения рассматриваемый круг вопросов связан с задачами о разорении в моделях, основанных на использовании сложных пуассоновских процессов и имеющих приложения в теории страхования - в различных обобщениях и модификациях модели Крамера-Лундберга, I ставшей классической. У.Феллер в своей книге "Введение в теорию вероятностей и ее приложения "посвящает этой модели параграф в главе "Некоторые важные распределения и процессы", а*также несколько примеров в связи с применением теории восстановления, теории случайных блужданий при получении оценок Крамера для вероятности разорения (Крамер получал эти оценки более сложно, используя методы Винера-Хопфа). Позже для получения таких оценок стали использоваться мартингальные методы. Развитие основанной Лундбергом теории в связи с проблемой разорения'в различных модификациях классической модели, в том числе учитывающих инвестирование, стало одним из традиционных* направлений теории вероятностей.

Классическая модель исследует разорение для процесса, описывающего изменение капитала (так называемого процесса риска), который складывается из двух процессов - детерминированного процесса поступления премий несложного пуассоновского процесса страховых выплат. В рассмотренных в работе моделях на изменение капитала, помимо указанных двух факторов, влияет еще один, или даже два фактора (в предположении, что страховая компания участвует на финансовом рынке) - изменение цен рыночных активов и возможность принятия тех или иных инвестиционных решений. При этом одна из моделей отличается модификацией процесса риска, в которой процесс поступления премий также является случайным и. описывается сложным пуассоновским процессом (независимым от первого, описывающего процесс страховых выплат).

В итоге наших исследований для классической модели Крамера-Лундберга и ее модификации со стохастическими премиями при условии их погружения в финансовый рынок изучена проблема оптимального управления при наличии бюджетного ограничения, когда не допускаются заимствования, с целью минимизации вероятности разорения на бесконечном интервале времени. В общем случае для обеих моделей получен вид стратегий, зависящих от решений интегро-дифференциальных уравнений .с условием равенства единицы на бесконечности - уравнений Беллмана, которым должна удовлетворять вероятность неразорения, соответствующая оптимальной стратегии, при наличии у нее некоторых естественных свойств (в частности, дважды непрерывной дифференцируемости). В предположении существования решений указанных уравнений, обладающих нужными свойствами, доказаны проверочные теоремы, утверждающие, что управления, полученные применением полученных стратегий, действительно являются решениями исходных оптимизационных задач.

Для задачи оптимального управления в рамках классической модели в случае экспоненциального распределения требований полностью исследована структура оптимальной стратегии и соответствующей вероятности неразорения. Доказано существование решения уравнения Беллмана. Показано, что при малых значениях капитала оптимальная стратегия состоит во вложении всех средств в рисковый актив (этот же факт остается верным и в общем случае); получены асимптотические представления оптимальной стратегии при больших значениях капитала. Указанные представления показывают, в частности, что доля вложений в рисковый актив является бесконечно малой величиной порядка 0(1/п), где и - текущий капитал. Получены также асимптотические представления соответствующей вероятности неразорения (функции Беллмана) при малых и больших значениях начального капитала.

Кроме того, получено полное решение задачи исследования вероятности неразорения при постоянной структуре инвестиций: осуществлена корректная постановка сингулярной задачи для интегро-дифференциального уравнения относительно вероятности неразорения, доказаны существование и единственность ее решения. На основании теоретического анализа этой задачи получены асимптотические представления ее решения при малых и больших значениях начального капитала, предложен алгоритм численного решения, произведены расчеты и дана их интерпретация. Результаты, полученные при исследовании модели с постоянной структурой инвестиций, представляют как самостоятельный интерес, так и являются составной частью решения общей оптимизационной задачи, которое также проиллюстрировано численными расчетами.

Для модели со стохастическими премиями, помимо описанных выше результатов, связанных с исследованием оптимального управления, в случае экспоненциального распределения требований и постоянной структуры инвестиций получено существенное уточнение известного результата, касающегося асимптотического представления при больших значениях начального 1 капитала. Получены также некоторые результаты, связанные с асимптотическим представлением при малых значениях начального капитала. Дальнейшие исследования данной модели, предполагающие привлечение значительно более сложного аппарата теории сингулярных краевых задач, в настоящее время проводится в работе [41]. В частности, в этой работе доказываются существование и единственность решения сингулярной краевой задачи для исходного интегро-дифференциального уравнения в указанной модели и дается алгоритм его численного определения.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Куркина, Анна Олеговна, Москва

1. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, т.1, в.5, с. 780-820.

2. Мельников А.В. Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

3. Эмбрехтс П. Актуарный и финансовый подходы к расчетам стоимости в страховании. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, т.5, вып. 1, с. 6-22.

4. Grandell I. Aspects of risk theory. Springer, Berlin, 1991.

5. Paulsen J. Risk theory in a stochastic environment. — Stoch. Proc. and Appl., 1993, v. 21, p. 327-361.

6. Kalashnikov V., Norberg R. Power tailed ruin probabilities in the presence of risky investments. — Stoch. Proc. and Appl., 2002, v. 98, p. 211-228.

7. Frolova A., Kabanov Yu., Pergamenshchikov S. In the Insurance business risky investments are dangerous. — Finance and Stochastics, 2002, v. 6, № 2, p. 227-235.

8. Hipp C.} Plum M. Optimal investment for insurers. — Insurance: Mathematics and Economics, 2000, v. 27, № 2, p. 215-228.

9. Hipp C., Plum M. Optimal investment for investors with state dependent income, and for insurers. — Finance and Stochastics, 2003, v. 7, № 3, p. 299-321.

10. Schmidli H. On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. — The Annals of Applied Probability, 2002, v.12, №3, p. 890907.

11. Browne S. Optimal investments policies for a firm with a random risk process: exponential utility and minimizing the probability of ruin. — Math. Operations Res., 1995, v. 20, p. 937-958.

12. Luo Sh., Taksar M., Tsoi A. On Reinsurance and Investment for Large Insurance Portfolios. — Insurance: Mathematics and Economics, 2008, v. 42, p. 434-444.

13. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, 1986.

14. Iglehart D.L. Diffusion Approximations in Collective Risk Theory. — Journal of Applied Probability, 1969, v. 6, p. 285-292.

15. Norberg R. Ruin problems with assets and liabilities of diffusion type. — Stoch. Proc. and Appl., 1999, v. 81, p. 255-269.

16. Королев В.Ю., Бенине B.E., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2007, 544с.

17. Gaier J., Grandits P., Schachermayer W. Asymptotic ruin probabilities and optimal investment. — Ann. Appl. Probab., 2003, v. 13, № 3, p. 10541076.

18. Бойков А.В. Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения. — Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук. М.: МИ РАН, 2003, 83 с.

19. Bremaud P. Point Processes and Queues. Springer-Verlag, NY, 1981.

20. Karatzas I., Shreve S. Brownian Motion and Stochastic Calculus. SpringerVerlag, NY, 1988.

21. Оксендалъ Б. Стохастические дифференциальные уравнения.М.: Мир, 2003.

22. Asmussen S., Taksar М. Controlled diffusion models for optimal dividend pay-out. — Insurance: Mathematics and Economics., 1997, v. 20, p.1-15.

23. Lerche H.R. Boundary crossing of Brownian motion. Springer-Verlag, 1986.

24. Ширяев A.H. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением. Современные проблемы математики. М.: МИАН, в. 8, 2007.

25. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.

26. Флеминг У., Ришел Р. Опримальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.:МИР, 1978.

27. Pestien V.C., Sudderth W.D. Continuous-Time Red and Black: How to control a diffusion to goal. — Math, of Oper. Res., 1985, v. 10, № 4, p. 599-611.

28. Hipp C., Taksar M. Optimal non-proportional reinsurance control. — Insurance: Mathematics and Economics, 2009.

29. Ауманн P.Док. Экономический индекс рискованности. — Российский журнал менеджмента, 2007, т.5, № 3, с. 3-14.

30. Бойков А.В. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — Теория вероятностей и ее применения, т. 47, вып. 3, 2002, с. 549-553.

31. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

32. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

33. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

34. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

35. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976^

36. Биргер E.G., Ляликова (Конюхова) Н.Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности. II. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, № 3, с. 446-453.

37. Конюхова Н.Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, № 3, с. 629-645.

38. Конюхова Н.Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений.

39. Сообщ. по прикл. матем. М: ВЦ АН СССР, 1988.

40. Azcue P., Muler N. Optimal investment strategy to minimize the ruin probability of an insurance company under borrowing constraints. — Insurance Math. Econom., 2009, v. 44, № 1, p. 26-34.

41. Grandits P. An analogue of the Cramer-Lundberg approximation in the optimal investment case. — Appl. Math, and Optimiz., 2004, v. 50, № 1.

42. Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С.В. Сингулярная краевая задача для линейного интегродифференциального уравнения, возникающего в моделях страховой математики: анализ и численное решение.

43. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2011. (Готовится к печати.)

44. Белкина Т.А., Конюхова H.Б., Куркина А. О. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях страхования: I. Инвестиционные стратегии и вероятность разорения. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009, т. 16, вып. 6, с. 961-981.

45. Куркина А.О. Оптимальное инвестирование капитала страховой компании на рынке Блэка-Шоулса. — В Сб.: "Новые информационные технологии". Тезисы докладов XIII Международной студенческой школы-семинара. М.: МИЭМ, 2005, с. 184-186.

46. Белкина Т. А., Куркина А. О. Оптимальное инвестирование капитала страховой компании на рынке Блэка-Шоулса со стохастическими премиями. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т.12, вып. 4, с.907-909.

47. Белкина Т. А., Куркина А. О. Об оптимальном управлении инвестицими в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — В Сб.: "Анализ и моделирование экономических процессов". М.: ЦЭМИ РАН, 2005, с. 103-114.

48. Куркина А.О. Оптимальное инвестирование в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — Тезисы докладов научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов института МИЭМ. М.: МИЭМ, 2006, с. 35. ' ,

49. Белкина Т.А., Куркина А.О. Асимптотики вероятности неразорения в динамической модели страхования. — В Сб.: "Анализ и моделирование экономических процессов". М.: ЦЭМИ РАН, 2007, с. 67-82.

50. Белкина Т.А., Куркина А. О. Динамические модели страхования: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорвния. — Сборник докладов участников Российского экономического конгресса. М.: ИЭ РАН, 2009.