Игровые задачи распределения ресурсов в системе пенсионного обеспечения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Господарик Дмитрий Юрьевич ии^и54002

ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В СИСТЕМЕ ПЕНСИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2007

003054002

Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент Белянкин Георгий Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук профессор Ерешко Феликс Иванович, кандидат физико-математических наук доцент Романов Дмитрий Сергеевич

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН

Защита состоится марта 2007 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на портале ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова http://cs.msu.su в разделе "Наука" — "Работа диссертационных советов" — Д 501.001.44.

А

Автореферат разослан ' февраля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор ^Й"^ Трифонов Н.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи управления и оптимального поведения в иерархических системах актуальны для пенсионного обеспечения, так как они позволяют понять механизмы, лежащие в основе поведения участников. В диссертации построен ряд моделей их взаимодействия для добровольной и обязательной пенсии. Наряду с государством в системе также активно участвуют страховые компании, предлагая всевозможные накопительные продукты. Работающие члены общества в течении всей жизни откладывают некоторую часть своей зарплаты, желая обеспечить себе достойное существование в старости. Пенсионные продукты в страховых компаниях рассчитываются с помощью моделей актуарной математики1 и математической статистики, при этом учитывается вероятностная натура страхования, но недостаточно внимания уделяется взаимодействию участников. Рассмотрение теоретико-игровых моделей поведения позволяет шире взглянуть на эту проблему, внести в нее дополнительный обмен данными между участниками, а также обратить внимание на возможность их влияния друг на друга. Такие модели способны помочь как страховым компаниям при составлении пенсионных продуктов, так и государству, определяя зависимость эффективности от применяемых стратегий назначения пенсии.

Цель работы. Целью работы является построение оптимальных стратегий и определение критериев оптимальности поведения граждан, государства и страховых компаний при назначении пенсии и разработке пенсионных страховых продуктов. Также целью является построение управляющих стратегий государства, стимулирующих производство с помощью пенсионных выплат и распределения ресурсов.

Методы исследования. В работе использованы методы теории иерархических игр, теории оптимизации, теории вероятностей и математического анализа.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в определении критериев оптимальных стратегий в рассмотренных моделях взаимодействия при назначении пенсии с помощью моделей теории игр, которые до сих пор

'Актуарная математика — раздел математики, изучающий процессы и описывающий риски, возникающие в страховании: Фалин Г. И , Фалин А И. Введение в актуарную математику // М МАКС-Пресс, 1994, 126 с.

практически не применялись для исследования взаимодействий в пенсионном страховании. Одной из немногих является модель, предложенная Белянки-ным и Семеновым2, в которой строится система штрафов и вознаграждений за досрочное расторжение договора страхования жизни. Первая глава диссертации расширяет данную модель, определяя оптимальное поведение для случая случайно изменяющейся процентной ставки.

Широко используемый в последнее время термин "аннуитетная задача" обозначает тот факт, что имеющиеся математические модели показывают привлекательность пенсионных продуктов для граждан, в то время как на практике большинство людей добровольно их не приобретают. Причины подобного низкого спроса описаны в работы Видал-Мелии3. Одной из первых аннуитетных моделей стала модель Яари4, в которой были получены достаточные условия для оптимальности вложения в аннуитеты. Эти условия ослаблены в работе Давидоффа и др.5. В работе Вермеулена6 рассмотрена модель, в которой индивиды оказывают влияние друг на друга. Описанные выше модели рассмаривают оптимальное поведение государства, которое не изменяет пенсионный возраст граждан. В настоящей диссертации аннуитетная задача рассматривается с помощью моделей теории игр, при этом упор сделан именно на возможность государства или страховой компании управлять поведением остальных игроков.

В данной работе задачи управления поведением рассматриваются как игровые, в которых игроки делают свои ходы по очереди. Класс подобных задач изучается теорией иерархических игр7. В диссертации строятся модели поведения для обязательной пенсии, стимулирующие производство, при

2Белянкин Г. А., Семенов А. Ю. Определение системы оптимальных штрафов и вознаграждений за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни // Труды первой Всероссийской конференции но актуарной математике и смежным вопросам. Часть первая, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002, стр 12-20

3 Vídal-Melia С., Lejaragga-Garcia A. The Bequest Motive and Single People's Demand ibr Life Annuities Ц Public Economics 0405005, 2004, 24 p.

4 Yuan M E Uncertain Lifetime, Life Insurance and The Theory of Consumer // The Review of Economic Studies 32 (90), 1965, pp. 137- 150.

bDamioff T., Brown J., Diamond P. Annuities and Individual Welfare // American Economic Review, American Economic Assotiation, vol 95(5), pp. 1573 - 1590, 2005

6 Vermeulen F. A Collective Retirement Model: Identification and Estimation in the Presence of Externalities // IZA Discussion Paper Series, 1294, 2004, 45 p.

7Морозов В. В. Основы теории игр. Учебное пособие // М: МАКС Пресс, 2002, 150 с

этом предполагается, что каждая сторона не действует себе во вред. С помощью управляющих стратегий центр получает возможность влиять на выбор остальных игроков. Критерий оптимальной стратегии государства в случае непрерывного изменения параметров находится с помощью аналога принципа уравнивания8, а в случае постоянных параметров — с помощью решения вспомогательной задачи булева программирования9. Найден наилучший гарантированный результат и показана его зависимость от гарантированного уровня потребления. В последней главе работы общие модели распределения ресурсов в государстве применены к пенсионной задаче, в которой для выплат со стороны государства вводятся дополнительные ограничения на знаки.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Особое внимание было уделено аналитическому доказательству всех представленных результатов. Построенные модели могут использоваться для выявления оптимального поведения государства, граждан и страховых компаний, а также служить базой для последующих исследований в данной области.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция по исследованию операций 2004 (Москва), Ломоносовкие чтения 2005 (Москва) (секция "Исследование операций"), Тихоновские чтения 2006 (Москва) (секция "Исследование операций") Основные результаты также представлены на семинаре в Институте проблем управления РАН в 2006 году.

Публикации. По теме диссертации имеется четыре публикации, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 121 страница. Список литературы состоит из 67 наименований.

*ГермеОер Ю Б Введение в теорию исследования операций // М. Наука, 1971, 383 с.

9Кузнецов Ю И, Куэубов В И, Волощенко А.Б Математическое программирование, М . Высшая школа, 1980, 396 с.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается актуальность темы, научная новизна, теоретическая ценность, цель работы, дается обзор имеющихся игровых моделей, применяемых в страховании жизни, а также аннуитетной задачи с обзорами существующих моделей ее решения.

В первой главе рассматривается игровая модель взаимодействия при добровольном пенсионном обеспечении. Страховщик10 и страхователь11 заключают договор пенсионного страхования в условиях, когда на рынке присутствует случайный фактор — процентная ставка. Этот договор является долгосрочным, и клиентам предоставляется возможность досрочного расторжения. При расторжении страховая компания возвращает часть накопленных средств (резерва12). В каждый момент времени страхователь может расторгнуть договор и положить деньги в банк под некоторый процент, который является случайной величиной и изменяется по закону Васичека13. В работе строится оптимальное поведение страховой компании и находится наилучший гарантированный результат, а также е-оптимальная стратегия.

Пусть тп — продолжительность периода уплаты премии; п — год расторжения договора; i — гарантированная процентная ставка; xt — доля резерва, возвращаемого страхователю при расторжении договора в год i; X = (xt, t = 1 ,mj, tV — резерв по договору страхования на конец года t; V = , — дисконтирующий множитель; 6® — стоимость облигации с выплатой единицы через q лет в момент времени р для страховщика, а9 • Щ — стоимость облигации с выплатой единицы через q лет в момент времени р для страхователя (а > 1).

Согласно формулам актуарной математики14, премия и резерв по договору пенсионного страхования записываются в виде:

10Страховщик - юридическое лицо, имеющее лицензию на осуществление страховой деятельности

"Страхователь — лицо, заключающее договор страхования.

12Резерв - фонды страховщика, предназначенные для выполнения принятых обязательств по выплатам страхового возмещения, которые должны быть произведены при наступлении страхового случая.

13 Vasicek An equilibrium characterization of the term structure // Journal Financial Economics, vol 5,1977, pp 177-188

14Bowers N. I and others. Actuarial Mathematics // Schaumburg, Illinois, USA' The Society of Actuaries, 1997, 458 p

tJ£ tPx'v*

P = -' И tVx = m-t\ ®x+t - P ■О'х+к^Щ-

£ tPx-v1

t-0

Взаимодействие страховщика и страхователя рассматривается как иерархическая игра. Первым свой ход делает страховая компания, сообщая клиенту правила расчета выкупных сумм и фиксируя эти правила в договоре. Затем свой ход делает страхователь, он в конце каждого года выбирает, стоит ли ему расторгнуть договор или нет.

Выигрышем страхователя является приведенная на конечный момент времени разница стоимости потока страховых выплат и страховых премий под норму доходности, которую он может получить в банке:

Р Р

__р__хп-гУ С1,4)

ат~п+1 . /Л . . /Л ат-п . hl . .1,1 " "п-Х • ■ ■ ит-1 " "п •' • "т-1

Выигрышем страховщика является приведенная на конечный момент времени разница стоимостей потока страховых премий и страховых выплат с учетом нормы доходности, которую он получает:

F(»,n) = Р +•••+.! --./"'"а (1.5)

"О ■ ■ ■ тп—1 п—1 ■ • ■ °m-l п ••• 0т_ 1

Страховщик при заключении договора страхования сообщает не значения X, а правила по которым они строятся. Полагаем, что хг определяется в момент времени г — 1 и зависит от следующим образом:

Д.-1 • i-iV + Р + е, £,+г = a-^-.V--М

Следующие теоремы доказывают, что подобный выбор системы значений X позволяет управлять поведением клиента, причем для клиента более выгодным становится позднее расторжение договора.

Теорема 1.1. Если система X строится по системе е с помощью формулы (1.7), то при выполнении условий е„+\ < еп+2 < ... < £т < О u £, > 0, Vi = 1,п расторжение договора в год п — оптимальная стратегия страхователя. Если е,- > 0, Vi = 1 ,т, то оптимальная стратегия страхователя п — т.

Теорема 1.2. Если система X определяется в зависимости от системы £ по формуле (1.7), то (?(£+1) > при соответствующих этим годам расторжения стратегиям страховщика.

Задачей страховщика является максимизация математического ожидания функции выигрыша на начальный момент времени.

V а»-1/ V а» а")

(1.11)

В теореме 1.3. эта задача решается на подмножестве Еп — {е : е, > 0, Уг = 1, га, £п+\ < е„+2 < ... < ет < О}, а в теореме 1.4 находится общий максимум.

Теорема 1.3. Если система штрафов X определяется в зависимости от системы е по формуле (1.7) и £ 6 Еп, то выигрыш страховщика максимален при использовании стратегии £1 = £о, £г > £(ь VI = 2, п, а

£п+1 = £п+1 = ■ ■ ■ — Ет — —СО-

Теорема 1.4. Максимум функции выигрыша страховщика достигается, если он использует стратегию £\ = £о, г, > £о, 1 — 2, т,

причем £о <-*-ч-5-

а1 а

Теорема 1.6. Наилучший гарантированный результат страховой компании равен

т-1 $

ит к=0 °0

а стратегия £! = е0! £1 > £о> г = 2,ттг является £-оптимальной для страховщика.

В разделе 1.4 построена модель оптимального поведения при ненулевых расходах. Пусть А - доля нагрузки на начальные расходы, ¡3 - доля нагрузки на страховые взносы.

Выигрыш страховщика зависит от расходов:

»0 ■ ■ • °т-1 п—1 • • • тп—1 °п • ' ' "т-1

т-1 Ш / Р \

(иб)

Для данного случая в теореме 1.7. найдена стратегия, при которой выигрыш макисмален. Теорема 1.8. указывает какие условия для расходов должны быть выполнены, чтобы выигрыш страховщика был положительным.

Теорема 1.7. Максимум математического ожидания функции выигрыша страховщика достигается, при использовании стратегии

Теорема 1.8. Стратегия страховщика е\ = £о, £, > £о, г = 2, т существует, если выполнены следующие условия;

Теорема 1.9. Наилучший гарантированный результат страховщика имеет вид:

при этом в случае невыполнения условий (1.22) оптимальной стратегией является е, = 0,Уг = 1,т, иначе стратегия £\ = е0) > £о, ^г = 2, т является е-оптимальной.

Вторая глава работы посвящена рассмотрению общих моделей перераспределения ресурсов в государстве. В каждой залаче граждане могут производить ресурсы, которые государство тем или иным образом перераспределяет между всеми группами. Само государство ничего не производит и ничего не потребляет. Рассмотрены модели с постоянными и с переменными параметрами.

Каждый гражданин живет в течении Л1 лет, при этом он может работать с некоторой производительностью ги1, которая выбирается им в пределах от

£1 = £о

£1 > £о, I = 2, т,

(1.21)

0 до го* и остается постоянной в течении всей жизни. Гражданин работает до возраста г®, после чего он выходит на пенсию и прекращает работать. Государство передает (или забирает) каждой группе 5*. При этом ^ = 0. Взаимодействие граждан и государства рассматривается как

г

иерархическая игра Гг, в которой сначала ходит государство, сообщая зависимость субсидии от производительности и пенсионного возраста, затем ходят все граждане.

В теореме 2.2. формулируется и доказывается оптимальность стратегии государства при случае полной информации, в котором точно известны все параметры всех групп. Теорема 2.3. описывает наилучшее поведение в случае, в котором государство не знает какие параметры к каким именно группам относятся. Задача 2.1.

X = | (й1 (го1, г1),... Я" К, гп)) £ ^ (иУ, г') = о| У! = {г'| 0 < < Лг}, г =

г

С (х, у'') = и/ • + 5' (ш\ - а' ■ ■ г\ г =1^,

Теорема 2.2. Если все параметры ш*, Л1 и г>' известны государству, то следующая стратегия является оптимальной: если а' > 1 ш' < V1, то

= г- , = (2.5)

[ -а1 • (юг ■ кг - и)г ■ г1) < 0 , иначе

если а' < 1 гиг > и', то

™, , л ( А > 0 ,ги' = гу*, г' = /г' ч

5' (и;*, г') = { ~ _ , ' ' (2.6)

^ -а' • [и:' ■ к1 - ги' • г1) < 0 , иначе

г<9е А = ' а'>:- > 0. Если все граждане следуют оптимальной

щ

стратегии, то величина А равна 0.

Теорема 2.3. В случае, когда государство не знает распределения параметров го* по группам, но владеет информацией о Кг, а' и типе каждой

группы, следующая стратегия является оптимальной:

, , (2.9)

[ -а • (гио -п-г- го') , иначе

где и>о = тахги*,

где А = -, где г-

число групп с производительностью,

г

равной гоо-

В разделе 2.3 описывается аналогичная задача с одним дополнительным условием — минимальный уровень потребления каждой группы не может быть меньше заданного числа с° независимо от производительности. Теорема 2.5 описывает оптимальную стратегию государства, которая зависит от величины с0.

Пусть е > 0 - некоторое положительное число,

■/г'■ (1 - а''- е)

¿5 = £ [с0 - и>г ■ К ■ (1 - а1 - е)]

г

Б10 = с0 - ы* • Л4 • (1 - аг - е)

Теорема 2.5. Если с0 < с1, то оптимальной для государства является стратегия:

5' (ш\ г') = с1 - ш* • г' • (1 - а1 - г) (2.14)

Если с0 > с1 и при этом X] -Ь.1 ■ (1 — а1 — е) > 55], то оптималь-

г-.а'>1

ной является стратегия:

S{ (w\z') =

с0 — w" • z

С0 — 10" ■ Z'

• (l - a! - e) , а' < 1 :'-(l-a' -e), a' > 1,5' = 0 (2.15)

где являются решением следующей задачи булева программирования:

Y. р • h% ■ <5'] min

i:a'>\

£ {-S'-^-hf- (l-a'-e)] ><55,

1 Q'>1

а е > 0.

Если с0 > с1 и [—• Л* • (1 — а® — г) < ¿5], ото задача не имеет

г а'>1

решения.

В разделах 2.4 — 2 5 рассматривается задача, в которой параметры групп граждан непрерывно изменяются. Полагается Л' — время жизни гражданина, из1 — производительность, такая что те' (£) 6 [0;ги*], а' (£) — коэффициент неудовольствия от работы V1 (<) = а! (¿) • и)г (¿). Государство должно обеспечить всем гражданам заданый уровень минимального потребления с0. Рассматриваются субсидии вида Б1 (£) = 5° (£) + 5' (¿). Задача 2.4.

Гг = (и/ (г)), 0 < * < Л',г = Т~гё

ГН1

Р (х, у) = £ / (ж)

п

вг (х, у') = / [«;' (®) • (1 - аг (®)) + й0 (®) + 5* (х)} ¿ж, г = Т7Н о

к1

I [5' (х) + и? (я)] йх > 0, г = 1~п

S0(t) = ^-,\ft■.0<t< К 4 № ~ ~~

Обозначим с1

»=1

■ / (1 - а! (х) - е) йх

Для задачи 2.4. оптимальная стратегия государства при с0 < с1 приводится в теореме 2.9, теорема 2.11. показывает максимально возможный гарантированный уровень потребления с2, теорема 2.12. определяет оптимальную стратегию при с1 < с0 < с2.

Предположим, что государство применяет стратегии следующего вида:

и>1 (*) • (а1 (г) - 1 + е) ,Ь<гг -ш1 (г) , * > г'

Л

(2.20)

Лемма 2.8. При применении государством стратегии (2.20) оптимальной стратегией гражданина является:

\ , г < г1 ,

"Но «;«■ <2-21)

г является возрастом выхода на пенсию.

Теорема 2.9. При с0 < с1 оптимальной стратегией государства в задаче 2.4 является

З'тах (<) = (¿) • (а1 [0; , Уг, 5° (¿) = £ (2.25)

Теорема 2.11. Максимально возможная величина потребления, которое способно гарантировать государство, достигается при использовании стратегии, обеспечивающей г1 — Ь1 и оно составляет:

£>' ■ / (1 - а* (ж) - е) йх с2 = --^-. (2.31)

Теорема 2.12. Если с1 < с0 < с2, то стратегия государства, обеспечивающая г1, оптимальна тогда и только тогда, когда существует константа ао> 1, такая что

к' , ос* (К) < й'а

г' = . 0 ,о'(0)>ао (2-33)

а'-1 (а0) , а{ (0) < а0, аг (к') > а0.

В разделе 2.6 рассмотрена задача без ограничения на минимальный уровень потребления. В этом случае найдена оптимальная стратегия, описанная в теоремах 2.15. и 2.16.

Теорема 2.15. В случае когда

к

Е / [ш* • (а* {£) - 1)] <Й < 0, (2.44)

' о

стратегия государства

(2.45)

для всех моментов времени Ь при

= л* = —^---

(2.46)

является оптимальной.

ы

Теорема 2.16. Ecлu'£lJ [гй* ■ (а* (£) — 1)] И > 0, то необходимым и до-1 о

статочным условием оптимальности г* является существование некоторого числа с*о > 1, такого что:

В третьей главе рассматривается взаимодействие граждан и государства, возникающее при назначении обязательной пенсии. Рассматривается общество, все члены которого распределяются по некоторым группам, внутри которых различий между гражданами нет. Потребление граждан зависит от их собственного производства и от того, что они получают от государства в виде пенсии. Каждый из них при отсутствии государства способен работать до некоторого момента жизни. В третьй главе рассматриваются задачи управления возрастом выхода на пенсию с помощью пенсионного обеспечения.

Для описания взаимодействия участников строятся модели, описывающие поведение с помощью иерархических игр Г1 и Гг-

В разделе 3.2 рассматривается случай в котором пенсия может назначаться государством произвольным образом без дополнительных ограничений.

Л'

г1 = 0 ,а'(0) >а0

а1-1 (а0) , а' (0) < а0, а1 (/г1) > а0.

Задача 3.1.

У = (г1), 0 < г' < Л', г = Т~п

Ь' • с1 = г' • ги! - г' • т* • г»' + {К -■ р\ г = 1,п

В лемме 3.1. определяется множество наилучших ответов, а теореме 3.2. строится оптимальная стратегия государства.

Лемма 3.1. Множество У1 (х) состшт из единственной точки

Р

¥?(®) = 4 =

О , т* > 1 —

Н1 ,тг< 1-

V

из1 ■ № гиг

у' р'

го' • № и)'

Теорема 3.2. Оптимальной стратегией государства в задаче 3.1 является

' г' = О,

, , (3-9)

хо —

где е > 0 - некоторое малое число.

В разделе 3.3 рассматривается случай, в котором пенсия линейно зависит от возраста выхода на нее р1 = а' ■ 21 + Ьг. Задача 3.2.

X = ((г1, а1, Ь\..., г", а", Ьп) | тг > 0, а* > 0, а1 • 2* + Ь' > 0, г = Щ У = (г1,..., 2П), 0 < 2* < Л*

л (Л*)2 -с1 -V1 ■ г1 . — <? (ж,!/*) = ^-, г = 1,п

^ • с' = 2*' • го4 - 2* • т' • юг + (И1 - 2г) • р', г = 17п г;' сад1, г = Т7п О < 21 < /»о < /V, г = 17п

= £ (о* • г' + Ь') ■ (А* - г1), < = 1~п

Для задачи 3.2 в теореме 3.4 находится оптимальная стратегия государства.

Теорема 3.3. Для каждой стратегии х € X множество оптимальных ответов состоит из единственной точки и имеет вид

У(*) =

О, к/ • (1 - т1) < ^ - Л' • а' + V

/г'о, го* • (1 - тг) > 2 • а{ • /г'0 - аг • Ь» + V + -

1 Л' • м' - ц/ ■т'-/1'+ (/г')2 • а{ - /г' • Ьг + у'

2 Ь} ■ а1

(3.17)

Теорема 3.4. Оптимальной стратегией государства является:

' ^ _ (У • цЛ - у1) • (У - Щ) Ц, • к1 ■ и)1

Ч

V-ги1- V1

А& - Л»

(3.20)

6' =0

В разделе 3.4 рассматривается непрерывная пенсионная задача с использованием субсидий из второй главы с дополнительными ограничениями. Заданы следующие параметры: Л* — продолжительность жизни, из1 — максимальная возможная производительность, аг (¿) — неудовольствие от работы, и? (¿) — производительность в момент времени Ь

Субсидии государства рассматриваются в виде в} (¿) = 5о (4) + 5} (£) +

Задача 3.3.

А'

£ / 3 (*) я = о

= (£)}, г = 17ТГ н1

• о

м ь*

(*, у1') = / [ш1 (4) • (1 - а'' («))] + / $ (*) + ^ (<) + 51 (<)] Л

V? (*) + $ (£) + 81 (*) 4- Я* (*) > -, г = ХП

Рассматриваются стратегии государства вида:

ТО = + ^ (О ,4<г» я;(*) = +

51! (*)> О

5£ (*) < 0 , Ь < л'

(3.25)

Теорема 3.5. Наилучший гарантированный результат государства в

задаче 3.3 при использовании стратегий вида (3.25) равен £ го1 • и он

«

достигается при использовании стратегии

_ | ги' (<) • (а' (£) — 1 + в) ,«<*•

О

(3.27)

при этом гарантированное потребление составляет

В разделе 3.5 рассматривается та же задача, но при возможности выплачивать пенсию тем группам граждан, который в данный момент еще

продолжают работать Стратегии государства имеют вид 5г' (£) = 5ц (<) +

с0

5} (¿) + Ж (<), где 5л (¿) = т--обеспечение гарантированного потребления

. Л®

всем группам граждан, (¿) > 0 — пенсия, (<) < 0 — налог. Для стратегий государства выполнены ограничения:

(*) = Бг0 (г) + (г) ,*<*<

3? (*) = 5о (<) + 51 (4) + $ («) < « < ^ ЗД = 5й(*) + 51(*) 5{(г)>0

(3.30)

где г' > 4*.

Следующие теоремы описывают результат государства и оптимальные стратегии при различных уровнях гарантированного потребления с0.

Теорема 3.6. При с0 < с1 наилучший гарантированный результат государства в задаче 3.3 равен ^ги* ■ Л* и он достигается при использовании

стратегии

(О =

го'

(О • (а* (4) - 1+ е) ^ > г1

(3.31)

2 ' 1 О Л >**

Теорема 3.7. При с0 < с1 < с2 наилучший гарантированный результат государства равен ^ из1 ■ г', а оптимальной стратегией является:

51(0 = 55(0-

го' (0 • (а8 (0 - 1 + е) , Г < * < ^

О ,*<<*,

шг (0 • (аг (0 - 1 + е) , * <

О ,Р<г<г*

-и? (О , 4 > гг

(3.32)

где г* удовлетворяют условию: 3 »о > 1; такая что

К ,о?{Н%)<а о

г1 = ■ 0 ,а'(0)>ао

а1-1 (ао) , а* (0) < а0, а' (Л1) > а0

Теорема 3.8. При с0 = с2 наилучший гарантированный результат государства равен и»1 • Л и он достигается при использовании стратегии

51(0=0 .V*

2и —ги* (0 ,«><«

Любой уровень потребления с0 > с2 недостижим.

(3.34)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации построены модели взаимодействия участников пенсионной системы, в которых центр (государство или страховая компания) решает задачи управления поведением остальных игроков

Для нахождения оптимальных стратегий использованы методы теории иерархических игр, с помощью которых описаны все взаимодействия. Результаты работы являются теоретическими и могут использоваться как для моделирования взаимодействий, так и для составления новых моделей.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

• Построена модель оптимального поведения страховщика, обеспечивающая действие договора долгосрочного пенсионного страхования до окончания его срока при случайной рыночной процентной ставке.

• Найдена е-оптимальная стратегия, позволяющая страховой компании управлять поведением клиента, удерживая его от расторжения договора с учетом сложившихся значений внешних факторов и определен наилучший гарантированный результат страховщика.

• Получены необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий государства в построенной модели распределения ресурсов с непрерывным изменением параметров граждан.

• Найден наилучший гарантированный результат государства в задачах максимизации суммарного производства с помощью пенсионной системы, при ограничениях на период выплаты пенсии и без них.

Работа выполнена под руководством доцента кафедры исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, кандидата физико-математических наук Г. А. Белянкина.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Белянкин Г. А., Господарик Д. Ю. Построение оптимальной пенсионной схемы для государства и нескольких групп граждан, максимизирующей суммарное производство // МГУ им. М.В. Ломоносова - Москва, 2006 г. -12 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.11.2006, N 1311-В2006.

[2] Господарик Д. Ю. Исследование поведения страховщика и страхователя в условиях случайно изменяющейся процентной ставки // Вестник Московского Университета, серия 15 вычислительная математика и кибернетика, 2006, N 2, стр 32 - 38.

[3] Господарик Д. Ю Оптимальное решение задачи перераспределения ресурсов в государстве, стимулирующее суммарное производство // МГУ им М.В.Ломоносова - Москва, 2006 г. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.11.06 N 1312-В2006.

[4] Belyankin G., Gospodarik D. The Game Insurer-Policyholder in the Stohastic Interest Rate Environment // Труды 4-ой Московской международной конференции по исследованию операций (ORM 2004) М: МАКС-Пресс. 2004, стр. 29 - 34.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 огг 01.12.99 г. Подписано к печати 22 01.2007 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,25. Тираж 70 экз. Заказ 016. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

ГЛАВА 1. Модель поведения страховщика и страхователя в условиях случайной процентной ставки

Взаимодействие страховщика и страхователя при нулевых расходах . 16 Модель поведения страховой компании при ненулевых расходах.

ГЛАВА 2. Игровые задачи распределения ресурсов при взаимодействии граждан и государства

Решение задачи распределения ресурсов без необходимости обеспечения минимального уровня потребления

Решение задачи при заданном минимальном уровне потребления

Решение задачи с непрерывным изменением параметров при заданном уровне минимального потребления

Решение задачи с непрерывным изменением параметров без ограничений на минимальный уровень потребления

ГЛАВА 3. Игровые задачи поведения граждан и государства при назначении пенсии.

Постановка задачи

Случай произвольно назначаемой пенсии

Модель пенсии, зависящей от пенсионного возраста

Непрерывная пенсионная задача.

В работе рассматриваются игровые задачи, возникающие при взаимодействии участников иерархических систем. Под иерархической системой понимается организация, в которой присутствует центр, который тем или иным образом управляет поведением всех участников (см. например [7], [12], [6]). В рамках иерархической системы в данной работе рассматривается взаимодействие граждан, государства и страховых компаний при назначении пенсий, и возникающие при этом проблемы управления с помощью распределения ресурсов.

Задачи управления и определения оптимального поведения в иерархических системах актуальны для системы пенсионного обеспечения, так как они позволяют понять механизмы, лежащие в основе поведения ее членов и определить их оптимальные стратегии. Пенсионному обеспечению граждан уделяется большое внимание в экономике развитых стран, причем значительную роль в этом играет государство. В XX веке задача назначения пенсий стала одной из существенных функций любого государства. Пенсионная система в развитых странах является трехуровневой и состоит из обязательной пенсии, предлагаемой государством, добровольной, которая предлагается страховыми компаниями и профессиональной, которую обеспечивают совместно государство и работодатели. Работающие члены общества покупают страховые продукты на некоторую часть своей зарплаты, желая обеспечить себе достойное существование в старости. Размер будущей пенсии является серьезным стимулом для гражданина, побуждая его эффективнее работать и стремиться больше средств вложить в добровольное страхование. В настоящей работе рассматривается добровольная и обязательная пенсии.

Традиционно пенсионные продукты в страховых компаниях рассчитываются с помощью моделей актуарной математики1 и математической стати

1 Актуарная математика — раздел математики, изучающий процессы и описывающий риски, возникастики, при этом учитывается вероятностная натура страхования, но недостаточно внимания уделяется взаимодействию участников. Рассмотрение теоретико-игровых моделей поведения взаимодействующих сторон позволяют шире взглянуть на эту проблему, внести в нее дополнительнй обмен данными между игроками, а также обратить внимание на возможность их влияния друг на друга. Такие модели способны помочь страховым компаниям при составлении пенсионных продуктов, а также государству, определяя зависимость эффективности от применяемых правил назначения пенсии.

Как отмечается в работе Семенова [18], методы теории иерархических игр практически не применяются для исследования взаимодействий в страховании. Имеются некоторые статьи Борча и Лемера, в которых элементы теории игр применяются для исследования страхования не-жизни, помимо этого еще в одной работе Лемера [53] исследуются модели с использованием теории кооперативных игр, в которых игроки образуют коалиции, действующие из общих интересов. Поиск стационарных равновесий в нескольких моделях, возникающих на рынке страхования произведен в работе Эрнотта и Стигли-ца [22]. В работе Броккета и др. [30] дан обзор некоторых применений методов исследования операций в страховании, при этом упор сделан на использовании различных методов оптимизации и математического программирования.

Некоторые приложения теории игр в страховании рассмотрены в работах Белянкина и Семенова ([3], [18]). Построен ряд моделей, описывающих взаимодействия между сторонами, участвующими в страховании жизни с помощью иерархических игр. Была найдена оптимальная система штрафов и вознаграждений для расчета выкупных сумм в долгосрочном страховании жизни при фиксированных рыночных условиях, которая позволяет страховой компании определить выкупные суммы таким образом, что клиент не расторгает договор досрочно. В некоторых случаях страховщику выгодно доплачивать страхователю определенную сумму при дожитии до конца действия ющие в страховании (см., например, [19], [29]). договора, что является терминальным бонусом. Еще одна модель Белянкина и Семенова [2] описывает оптимальное поведение страховщика, страхователя и агента при заключении договора страхования жизни и с помощью игры определяет оптимальную стратегию назначения комиссии.

Ими же в работе [18] построена игровая модель с участием государства, которое предоставляет налоговые льготы компаниям, занимающимся пенсионным страхованием, тем самым побуждая граждан вкладывать средства в добровольную пенсию.

Настоящая работа рассматривает задачи управления гражданами (страхователями) с помощью выбора правил назначения пенсий. Для добровольной пенсии рассматриваются проблемы управления поведением клиента и стимулирование его к нерасторжению договора. Для обязательной пенсии рассматриваются возможности государства по максимизации производства всех групп граждан. Задачи стимулирования изучаются в теории управления, в рамках которой определено оптимальное поведение центра в различных условиях. В работе Новикова [15] дается классификация задач управления. В частности, рассмотрены задачи коллективного стимулирования слабо и сильно связанных агентов, постановка и решение которых приведены в работе Новикова и Цветкова [17]. Оптимальная стратегия центра найдена с помощью принципа декомпозиции, который использует стратегии наказания (Гермейер, [7], для решения иерархических игр Г2) и заставляет каждого игрока выбирать единственную оптимальную с точки зрения центра стратегию. В работе построено стимулирование, приводящее к появлению доминантной стратегии у каждого агента.

При рассмотрении долгосрочных договоров пенсионного страхования существенное влияние на прибыль компании оказывает инвестиционная политика. При постоянно изменяющихся факторах рынка для страховых компаний становится актуальным, каким способом они делятся с клиентами своими дополнительными доходами. На сегодняшний день в страховании жизни имеется целый ряд схем участия в прибыли. Одна из схем строится в данной работе в первой главе.

Еще одна модель участия в прибыли описана в статье Хансена [46], где рассматриваются вопросы создания и оценивания портфелей, которые состоят из полисов с участием в прибыли2. Участие в прибыли рассматривается двух видов - гарантированная часть и колл-опцион от доли прибыли (избытка). В статье рассматриваются два случая — либо гарантия выполняется с вероятностью, либо должна быть выполнена безусловно. Страховая компания продает полисы на рынке двум группам клиентов — первая группа не в состоянии инвестировать свои средства самостоятельно, вторая грппа способна размещать свои средства на рынке без посторонней помощи. В статье найдена оптимальная стратегия инвестирования в рисковые активы.

Некоторые модели участия в прибыли для страхования жизни описаны, например, в работах Бахинелло [24], Хансена [45], Нильсена [57] и Норбер-га [58].

В работе Дэна, Гувартса и др. [20] описывается многошаговая модель выбора инвестиционного портфеля для инвестора с заданным вектором потребления. На рынке имеется т + 1 средство для инвестирования, одно из них — безрисковое, его доходность фиксирована и постоянна, все остальные средства рисковые, и их цена подчиняется закону Блэка - Шоллса. Предполагается, что инвестор в конце каждого года может столкнуться со случайным потреблением Х\,., Хп, причем каждый Х% не зависит от результатов инвестирования. Показано, что решение проблемы минимизации риска для инвестора лежит на т. н. эффективной рыночной линии, и оптимальное решение — это комбинация доли 7Го, инвестируемой в безрисковый актив и 1 — щ, инвестируемой в т. н. рыночный портфель рисковых активов. Задача сводится к минимизации функции одной переменной.

2Участие в прибыли обычно предлагается в двух видах - либо увеличение страховых выплат, либо уменьшение страховых взносов для индивидов. В работе рассматриваются модели первого типа.

В первой главе настоящей работы исследуется поведение страховщика и страхователя в условиях случайно изменяющейся процентной ставки на рынке. В настоящее время имеется ряд моделей, описывающих стохастическое изменение процентной ставки с течением времени (см. например [65], [34], [25]). В данной работе используется модель Васичека.

В настоящее время в литературе широко используется термин "аннуитетная3 задача"4, который возникает в различных моделях на тему пенсионного обеспечения. Имеющиеся математические модели показывают привлекательность пенсионных продуктов для граждан, в то время как на практике большинство людей добровольно их не приобретают.

В статье Видал-Мелии и Лехарага-Гарсии [66] исследована аннуитетная задача и выявлена проблема низкого спроса на пенсионные продукты со стороны населения. Отмечаются основные причины такого низкого спроса:

• Наличие государственной пенсионной системы.

• На рынке присутствуют компании, которые забирают часть средств себе и в результате не достигается честная цена5.

• Для расчетов страховые компании используют таблицы смертности, которые отличаются от фактической смертности, в результате стоимость пенсий повышается.

• Граждане фактически занимаются самострахованием, перераспределяя финансовые ресурсы своей семьи так, как это нужно им.

• Пенсионные деньги практически невозможно использовать сразу целиком, а в некоторых случаях это может быть нужно, например из-за возросших медицинских расходов.

3Аннуитет — регулярные страховые выплаты, производящиеся при дожитии застрахованного до даты очередной выплаты.

4См. например статьи [31],[35],[39],[49] и [56].

5Под честностью понимается адекватность цены, учитывающая возможную смертность, инвестиционные риски, будущие расходы компании.

• Имеются разные схемы налогообложения пенсионных продуктов, в результате они теряют значительную часть своей привлекательности.

• Граждане также стремятся оставлять наследство, что возможно далеко не во всех пенсионных схемах.

Одной из первых аннуитетных моделей стала модель Яари [67]. Он привел достаточные условия, при которых вложения в аннуитеты являются предпочтительными для гражданина. Существенной частью условий является актуарно адекватная цена на пенсионные продукты. Также единственной неопределенностью для индивидов является только момент их смерти, и они не имеют никаких мотивов, связанных с наследством.

Давидофф в работе [35] значительно ослабил условия, при которых гражданам выгодно покупать аннуитетные продукты. Он показал, при каких условиях не требуется актуарная адекватность для аннуитетов, и рассмотрел так называемые неполные рынки с ограничениями на торговлю после начального момента времени. Показано, что в рассматриваемых условиях чем больше гражданин стремится к накоплению своих средств, тем больше аннуитетов он покупает.

Видал-Мелия и Лехарага-Гарсия [66] в своей модели в полезность гражданина ввели мотивы оставления наследства и показали, как потребление зависит от времени, а полезность — от оставшихся денежных средств.

Сундаресан и Запатеро [62] рассматривают модель взаимодействия фирмы и одного ее работника при назначении обязательной пенсии, которая выплачивается не государством, а работодателем. Работник не испытывает никакого неудовлетворения от того, что он работает. Фирма устанавливает зарплату и определяет размер пенсионных выплат, которые зависят от пенсионного возраста. Зарплата выбирается такой, чтобы все выплаты работнику (зарплаты и пенсии) соответствовали предельному продукту, причем фирма постоянно ее изменяет, рассматривая текущую продуктивность. Показано, что работник выходит на пенсию тогда, когда его ожидаемые средства становится оптимальными. Найдены условия, при выполнении которых он выберет выход на пенсию.

Статья Вермеулена [55] изучает динамику поведения индивидов при выходе на пенсию. В модели каждый гражданин может оказывать определенное влияние на других людей (своих близких) в этом же вопросе0. Индивиды могут выбирать интенсивность своего труда из ограниченного дискретного набора значений. В статье задача решена численными методами. Эта модель описывает взаимодействие двух граждан (семьи), действующих совместно, и учитывающих как собственные предпочтения, так и предпочтения партнера.

В модели Холмера [47] для исследования аннуитетной задачи без рассмотрения вопросов насчет желания оставить наследство используется метод динамического программирования с построением функции Беллмана. В данной модели помимо реального потребления, вводится также желаемое, которое влияет на полезность. Для индивидов действует бюджетное ограничение, в котором присутствует доход от социальных программ и доход от инвестиций.

Статья Ферейра и Пессоа [41] исследует увеличение продолжительности жизни и увеличение времени, которое люди тратят на образование. В модели участвуют два вида фирм - первые производят материальные товары, вторые производят образовательные услуги. Каждый индивид живет фиксированное число лет (Т), выходит на пенсию в возрасте Тд. В первой части своей жизни Ту, каждый индивид сначала проводит дома Тс лет, а затем учится в течение Ts лет. После ухода из школы начинается работа в течение Т\у лет. При этом в течение Twi его зарплата увеличивается, а затем в течение Т\у2 - уменьшается. В каждый момент времени индивид решает, сколько он потребит, сколько он отложит себе на сбережения и как интенсивно он будет работать. Также один раз делается выбор, сколько лет отдать на обра

6 Суммарное потребление нескольких групп рассматривается также в модели Допни [38], в которой каждый индивид имеет свои предпочтения и все агенты полностью эгоистичны, то есть их полезность зависит только от их собственного потребления. В этой статье строится модель оптимального выбора, который приводит к оптимальному по Парсто решению. зование. Прибылью государства в данном случае является сумма налогов и капитальных доходов. В работе найдено стационарное равновесие.

В статье Полковиченко [59] описывается пожизненная модель потребления, в которой индивид живет известное число лет, получает стохастический трудовой доход и имеет два средства для инвестирования - безрисковые активы и рисковые акции. Задача индивида выражается как последовательность максимумов, нахождение которых определяет оптимальную стратегию.

Капичка в статье [49] рассматривает накопление человеческого капитала и находит оптимальное налогообложение в этой ситуации. Имеется ряд агентов, каждый из которых характеризуется своей производительностью 0, причем величина в неизвестна никому, кроме самого агента. Показано, что задача максимизации полезности индивида имеет единственное решение. В работе рассмотрена т. н. "игра доверия", в которой каждый агент сообщает свою производительность в0 (причем не обязательно верную), и для этой производительности строится распределение налогов и потребления.

Работа имеет следующую структуру — в первой главе рассматривается взаимодействие гражданина и страховой компании при покупке добровольного пенсионного страхования. Рассмотрены два случая — без учета расходов компании и с учетом. Для каждого случая построено оптимальное поведение страховой компании. Доказано, что максимум прибыли достигается при нерасторжении договора до окончания срока его действия. Также при этом максимизируется прибыль гражданина. Данная модель расширяет построенную Белянкиным и Семеновым [3], определяя оптимальное поведение страховой компании в условиях случайно изменяющейся процентной ставки на рынке. Решение найдено с помощью иерархической игры, в которой игроки ходят по очереди, но в отличие от традиционной игры Гх7, в данной модели присутствует случайно изменяющийся внешний фактор — процентная ставка,

7Гх - иерархическая игра, в которой игроки ходят по очереди, причем второй игрок знает ход первого (см. например [14]). и значение которой серьезно влияет на поведение страхователя. Для страховой компании построена управляющая стратегия, с помощью которой она способна удержать клиента от досрочного расторжения договора, получив при этом максимальную прибыль.

Во второй главе рассматриваются общие задачи взаимодействия граждан и государства, которое занимается перераспределением ресурсов между группами граждан. В моделях данной главы государство назначает субсидии членам общества. Рассматриваются два случая — при постоянных параметрах групп граждан и в случае их непрерывного изменения. В моделях взаимодействия присутствуют дополнительные ограничения, согласно которым государство должно обеспечить всем гражданам некоторый заданый уровень потребления независимо от того, как они работают. Для всех случаев найдено оптимальное решение для государства, которое гарантирует максимум суммарного производства при заданом уровне потребления и показаны условия, при которых задача не имеет решения. При рассмотрении всех задач предполагается. что никто из игроков не действует себе во вред, что позволяет ввести управляющие стратегии. Они используются в возникающих задачах распределения ресурсов, и решение в случае непрерывного изменения параметров находится с помощью аналога принципа уравнивания (Гермейер, [8]), а в случае постоянных параметров — решением вспомогательной задачи булева программирования8, которая указывает для каких групп следует применять стимулирование, а для каких групп нет.

В третьей главе изучается взаимодействие нескольких групп граждан, имеющих разные параметры производительности и предпочтения насчет работы, и государства при назначении обязательной пенсии. Государство действует как единый центр, который перераспределяет произведенные гражданами ресурсы, собирая их в виде налога и возвращая их после окончания

83адача булева программирования — это задача линейного программирования, в которой ряд переменных может принимать значения только 0 или 1 (см., например, [1], [13]). работы в виде пенсий. Предполагается, что каждый игрок действует оптимальным образом. При этом рассматриваются задачи управления суммарным производством с помощью пенсий. Найдены оптимальные стратегии в модели с пенсией, зависящей от пенсионного возраста, и в модели без дополнительных ограничений на величину пенсионных выплат. Еще одна модель находит оптимальные пенсионные выплаты, рассматривая их как особый случай субсидий со стороны государства, вводя в модели второй главы дополнительные ограничения на их знаки.

В заключении подводятся итоги и даются некоторые рекомендации по дальнейшему исследованию задач пенсионного обеспечения, позволяющие внести в рассмотрение новые параметры.

В работе использованы методы теории иерархических игр, теории оптимизации, теории вероятностей и математическиого анализа. Все полученные результаты в настоящей работе доказаны аналитически. Работа носит теоретический характер, полученые результаты могут использоваться для моделирования поведения реальных участников взаимодействий в пенсионном обеспечении, а также могут служить основой для последующих моделей, описывающих эти же или подобные взаимодействия, принимая во внимание большее число факторов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, выполнена на 121 странице, включает в себя 16 иллюстраций и таблиц. Список литературы состоит из 67 наименований.

Результаты, представленные в настоящей работе, опубликованы в [4], [9], [10] и [26], а также были представлены на следующих научных конференциях: 4-я Международная конференция по исследованию операций 2004 (Москва), Ломоносовкие чтения 2005 (Москва) (секция исследование операций), Тихоновские чтения 2006 (Москва) (секция исследование операций).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрены игровые модели, возникающие при взаимодействии в иерархических системах, используемых для описания процессов пенсионного обеспечения. Взаимодействие участников описано с помощью иерархических игр Гх и Г2, причем в первой главе описана модель с использованием расширения стандартной игры Pi, в котором игроки, делая ходы, обладают разной информацией о случайных внешних факторах.

В первой главе изучено индивидуальное взаимодействие гражданина и страховой компании, возникающее при заключении договора пенсионного страхования. Подробно рассмотрен процесс досрочного расторжения договора и определена оптимальная стратегия установления выкупных сумм для случая случайно изменяющейся процентной ставки на рынке. Данный результат является расширением полученных в работе [3] оптимальных стратегий для случая постоянных фиксированных процентных ставок.

Во второй главе построены модели оптимального перераспределения ресурсов между группами граждан в государстве, при котором обеспечивается гарантированный уровень потребления для всех граждан. Найдены оптимальные стратегии государства, с помощью которых оно управляет поведением граждан и обеспечивает максимально возможное суммарное производство. Показана зависимость суммарного производства от заданного уровня потребления.

В третьей главе построены модели оптимального назначения пенсии государством для нескольких групп граждан с различными параметрами. Рассмотрены возможности государства влиять на производительность и продолжительность работы своих граждан с помощью выбора пенсионной схемы. Построены модели взаимодействия при пенсии зависящей от пенсионного возраста и при пенсии без дополнительных ограничений, не связанной с возрастом выхода на нее. Для всех случаев найдены оптимальные стратегии государства, наилучший гарантированный результат и стратегии, с помощью которой оно может управлять поведением граждан.

Модели второй и третьей главы являются новыми, так как до сих пор взаимодействие граждан и государства при назначении пенсии не исследовалось с помощью теории иерархических игр, модели первой главы вносят в уже описанное взаимодействие страховщика и страхователя ([18]) случайно изменяющуюся процентную ставку.

Полученные в настоящей работе результаты могут использоваться в качестве базы для последующих исследований в данной области. Возможными направлениями для расширенния моделей настоящей работы являются:

• Объединение государственной и добровольной пенсии в рамках одной иерархической системы. Государственная пенсия является обязательной, как правило предалагастся по фиксированной цене и до определенной максимальной величины выплат. Добровольная пенсия может быть любой, при этом государство так или иначе может влиять на возможности ее приобретения. Некоторые вопросы подобного взаимодействия можно найти в работах Дыбвига и Лиу [39] и Милевски [56].

• Введение новых игроков. Модель индивидуального взаимодействия гражданина и страховой компании может быть дополнена страховыми агентами37, выигрыш которых заключается в максимизации собственной комиссии. Выбором соответствующей комиссионной схемы страховая компания может управлять поведением не только клиентов, по и агентов. Некоторые модели подобного взаимодействия описаны в работах Белянкина и Семенова [18] и [2]. Другие варианты добавления дополнительных игроков — это например выделение части граждан в отельные, "привелигированиые" группы, либо выделение части граждан, которые принимают государственные решения38.

37Агент — физическое или юридическое лицо, выступающее продавцом страхового продукта от имени страховой компании, получая за это вознаграждение — комиссию.

38Пример подобной модели можно найти в работе Кимбалла и Шапиро [51].

• Добавление новых факторов, влияющих на параметры модели. Существенным фактором, влияющем на производителыюсь граждан является полученное ими образование. Гражданин выбирает количество лет, затраченных на обучение, что в свою очередь влияет на его производительность. Образование рассматривается как такой фактор в работах Феррейра и Пессоа [41], Сундаресана и Запатеро [62].

• Изменение системы налогообложения. В последнее время появился ряд работ по проблемам социального обеспечения, в которых налог зависит не только от производительности, но и других факторов, в первую очередь возраста, например работы Блоквиста и Микелетто [27], Лозакме

54]. Построение различных оптимальных систем индивидуального налогообложения рассматривается в работах Кремера и др. [33], Хана [44], Капички [49]. Подробное исследование различных налогов в математической экономике можно найти в работе Васина [5].

• Добавление взаимодействий между игроками. В расмотренных моделях все граждане действуют независимо друг от друга, в то время как вполне возможна ситуация, в которой выбор параметров одними гражданми влечет за собой выбор и других. Так в работе Мико и др.

55] участвуют семейные пары, которые влияют друг на друга при выборе интенсивности работы и пенсионного возраста. Работа Фустер и Имрохоглу [42] рассматривает модель, ячейками которой являются не отдельные граждане, а семьи целиком, которые совместно принимают решения и могут накапливать определенные средства для будущих поколений.

Все результаты настоящей работы являются теоретическими. Основной упор был сделан на аналитическое доказательство всех представленных результатов.

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах, М.: Высшая школа, 1993, 320 с.

2. Белянкин Г. А., Семенов А. Ю. Выбор оптимальной структуры комиссионного вознаграждения на рынке страхования жизни //МГУ им. М.В.Ломоносова М., 2004 г. - 17 с. - Ден. в ВИНИТИ 12.10.04 N 1586-В2004.

3. Белянкин Г. А., Господарик Д. Ю. Построение оптимальной пенсионной схемы для государства и нескольких групп граждан, максимизирующей суммарное производство // МГУ им. М.В. Ломоносова М., 2006 г. -12 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.11.2006, N 1311-В2006.

4. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики (учебное пособие)// М.: МАКС Пресс, 2005 г., 272 с.

5. Вателъ И. А., Ерешко Ф. И., Кононенко А. Ф. Игры с фиксированной последовательностью ходов и иерархические системы управления в экономике //сб. "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Изд. СЭИ, 1974, с. 85 99.

6. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами // М: Наука, 1976, 328 с.

7. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций // М: Наука, 1971, 384 с.

8. Господарик Д. Ю. Исследование поведения страховщика и страхователя в условиях случайно изменяющейся процентной ставки // Вестник

9. Московского Университета, серия 15 вычислительная математика и кибернетика, 2006, N 2, с. 32 38.

10. Господарик Д. Ю. Оптимальное решение задачи перераспределения ресурсов в государстве, стимулирующее суммарное производство //МГУ им. М.В.Ломоносова М., 2006 г. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.11.06, N 1312-В2006.

11. Кларк С. М., Харди М. Р., Макдоиалд А. С., Уотерс X. Р. Основы актуарной математики // в 4-х томах // пер. Новикова В. В., Селивановой Д. О.// М: МАКС Пресс, 2000, 146 с.

12. Кононенко А. Ф. Теория игр и иерархические структуры // сб. "Планирование и управление экономическими целенаправленными системами", Новосибирск, "Наука", 1974. стр. 63 72

13. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б Математическое программирование, М.: Высшая школа, 1980, 396 с.

14. Морозов В. В. Основы теории игр: Учебное пособие // М: МАКС Пресс, 2002, 150 с.

15. Новиков Д. А. Стиумлирование в организационных системах // М: СИН-ТЕГ, 2003 312 с.

16. Новиков Д. А. Стимулирование в социально-экономических системах (базовые математические модели) //М.: ИПУ РАН, 1998 216 с.

17. Новиков Д. А., Цветков А. В. Механизмы стимулирования в многоэлементных операционных системах. // М.: Апостроф, 2000. 184 с.

18. Семенов А. Ю. Иерархические игровые модели в долгосрочном страховании жизни. // диссертация кандидата физ.-мат. наук, защищена 17 декабря 2004 г., утверждена 11 сентября 2005 года, 141 с.

19. Фалин Г. И., Фалин А. И. Введение в актуарную математику // М: МАКС-Пресс, 1994, 126 с.

20. Ahcan A., Darkiewicz G., Dhaene JGoovaerts M. Optimal Portfolio Selection: Application in Insurance Business // 8th International Congress on Insurance: Mathematics & Economics (IME2004), Rome (Italy), June 14 -16, 41 p., 2004.

21. Allen F., Morris S. Finance Applications of Game Theory // Financial Institutions Centre, 1998, 158 p.

22. Arnott R., Stiglitz J. Equilibrium in Competetive Insurance Markets with Moral Hazard // NBER Working Paper N 3588, 1991, 57 p.

23. Aumann R., Shapley L. Long Term Competitions: A Game Theoretic Analysis // Hebrew University, 1992, 266 p.

24. Bachinello A. Fair Pricing of Life Insurance Participating Policies with a Minimum Interest Rate Guaranteed // ASTIN Bulletin, vol. 31 (2), 2001, pp. 275 297.

25. Backus D., Foresi S., Telmer C. Discrete-Time Models of Bond Pricing // 1998, 68 p.

26. Belyankin G., Gospodarik D. The Game Insurer-Policyholder in the Stohastic Interest Rate Environment // Труды 4-ой Московской международной конференции по исследованию операций (ORM 2004) М.: МАКС-Пресс, 2004, с. 29 34.

27. Blomquist S., Micheletto L. Age Related Optimal Income Taxation // Uppsala University Working Paper Series 2003-7, 2003, 54 p.

28. Borch K. Mathematical Models in Life Insurance // ASTIN Bulletin, 1974, Volume 7, Number 3, pp. 192 202.

29. Bowers N. L., Gerber H. U., Nickman J. C., Jones D. A., Nesbitt C. J. Actuarial Mathematics // Schaumburg, Illinois, USA: The Society of Actuaries, 1997, 458 p.

30. Brockett P. L., Xiaohua X. Operation Research in Insurance: A review // Transaction of Society of Actuaries, 1995, Volume 47, pp. 7 87.

31. Campbell J., Cocco J., Gomes F., Maenhoult P. Investing Retirement Wealth? A Life-Cycle Model // Harvard Institute of Economic Research Discussion Paper No 1896, 1999, 50 p.

32. Campbell J., Viceina L. M. Who Should Buy Long-Term Bonds? // American Economic Review, American Economic Assotiation, vol. 91(1), 2004, pp. 99 127.

33. Cremer H., Lozachmeur J.-M., Pestieau P. Social Security, Retirement Age and Optimal Income Taxation // Journal of Public Economics, vol. 88,2004, pp. 2259 2281.

34. Cox J. C., Ingersoll J. E., Ross S. A. A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica vol. 53, no. 2, 1985, pp. 385-407.

35. Davidoff Т., Brown J., Diamond P. Annuities and Individual Welfare // American Economic Review, American Economic Assotiation, vol. 95(5),2005, pp. 1573 1590.

36. Dhaene J. Distributions in Life Insurance // ASTIN Bulletin, Volume 20, Number 1, 1990, pp. 81 92.

37. Dhaene J., Goovaerts M. On the Dependency of Risks in the Individual Life Model // Insurance Mathematics and Ecomonics, vol. 19, 1997, pp. 243 -253.

38. Donni O. A Simple Model of Collective Consumption // DELTA Working Paper 2004-05, 2004, 16 p.

39. Dybwig P., Liu H. Lifetime Consumption and Investment: Retirement and Constrained Borrowing // Washington University in Saint Louis Working Paper D11-D91, 2004, 39 p.

40. Eso P., Simonovits A. Designing Optimal Benefit Rules for Flexible Retirement // Northwestern University Discusion Paper 1353, 2002, 20 p.

41. Ferreira P., Pessoa S. The Effects of Longevity and Distortions on Education and Retirement // Working Paper EPGE-FVG 590, 2005, 33 p.

42. Fuster L., Imrohoglu A., Imrohoglu S. A Welfare Analysis of Social Security in a Dynastic Framework // Internatinal Economic Review Vol. 44, Issue 4, 2003, pp. 1247 1274.

43. Gerber H., Pafumi G. Utility Functions: From Risk Theory to Finance // North American Actuarial Journal, 1998, Volume 2, Number 3, pp. 74 -100.

44. Hahn F. On Optimum Taxation // Journal of Economic Theory, vol. 6, 1973, pp. 96 106.

45. Hansen H. Distribution of Surplus in Life Insurance // ASTIN Bulletin, Volume 21. Number 1, 1990, pp. 57-71.

46. Hansen M. Portfolio Choice and Fair Pricing in Life and Pensions Insurance // University of Copenhagen Laboratory of Actuarial Mathematics Colloquium Working Paper, 2001, 39 p.

47. Holmer M. R. Simulation Analysis of the Decision to Annuitize Pension Balances // Policy Group Simulation Working Paper prepared for Department of Labor J-9-P-2-0031, 2003, 29 p.

48. Imrohoglu A., Imrohoglu S., Joines D.H. Time Inconsistent Preferences and Social Security // The Quarterly Journal of Economics, vol. 118(2), 2003, pp. 745 784.

49. Kapicka M. Optimal Income Taxation and Human Capital Accumulation // University of Chickago Working Paper 1126,2004, 84 p.

50. Katuscak P. A Positive Theory of Social Security in an Open Economy // Dissertation Chapter 3, 2002, 36 p.

51. Kimball M., Shapiro M. Social Security, Retirement and Wealth: Theory and Implications // University of Michigan Working Paper wp054, 2003, 25 p.

52. Lang A., Doig A. An automatic method of solving discrete programming problems // Econometrica, vol. 28, 1960, pp. 497 520.

53. Lemaire J. Cooperative Game Theory and its Insurance Applications // ASTIN Bulletin, Vol. 21, N. 1, 1990, pp. 17 40.

54. Lozachmeur J.-M. Optimal Age Specific Income Taxation // University de Liege Core Discussion Paper 2002/46, 2002, 20 p.

55. Michaud P.-C., Vermeulen F. A Collective Retirement Model: Identification and Estimation in the Presence of Externalities // IZA Discussion Paper Series, 1294 N 2004-75, 2004, 45 p.

56. Dr. Milevsky M. A Optimal Asset Allocation Towards The End of Life Cycle: To Annuitize or not to Annuitize? // York University Working Paper FAS#21-96, 1996, 48 p.

57. Nielsen P. Optimal Bonus Strategies in Life Insurance: The Markov Chain Interest Rate Case // Scandinavian Actuarial Journal, vol. 2005 (2), pp. 81102.

58. Norberg R. On Bonus and Bonus Prognoses in Life Insurance // Scandinavian Actuarial Journal, vol. 101 (2), 2001, pp. 126 147.

59. Polkovichenko V. Life Cycle Consumption and Portfolio Choice with Additive Habit Formation Preferences and Uninsurable Labor Income Risk // AFA 2004 San Diego Meeting working paper 26, 2004, 43 p.

60. Sorensen E. Sectoral Choice with Human Capital and Accumulation of Pension Benefits // Norvegin School of Economics Working paper N 5045, 2004, 35 p.

61. Stock J., Wise D. Pensions, the Option Value of Work, and Retirement // Econometrica, vol. 58 (5), 1990, pp. 1151-1180.

62. Vasicek. An equilibrium characterization of the term structure // Journal Financial Economics, vol. 5, 1977, pp. 177 188.

63. Vidal-Melia C., Lejaragga-Garcia A. The Bequest Motive and Single People's Demand For Life Annuities // Public Economics 0405005, 2004, 24 p.

64. Yaari M. E. Uncertain Lifetime, Life Insurance and The Theory of Consumer 11 The Review of Economic Studies 32 (90), 1965, pp. 137 150.