Иерархические игровые модели в долгосрочном страховании жизни тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Семенов, Алексей Юрьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ В ДОЛГОСРОЧНОМ СТРАХОВАНИИ ЖИЗНИ
01.01.09 -дискретная математика и математическая кибернетика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
На правах рукописи
Семенов Алексей Юрьевич
Москва-2004
ОБЯЗ^: "ЪНЫЙ
БЕСП/ь. ИЫЙ
ЭКЗЕМПЛЯР
Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,
научный сотрудник Белянкин Г.А.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Завриев С.К.;
кандидат физико-математических наук, доцент Романов Д.С.
Ведущая организация: Вычислительный центр РАН
Защита диссертации состоится "17" декабря 2004 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиКМГУ.
Автореферат разослан "17" ноября 2004 г.
Ученый секретарь диссертационного совета профессор
Н.П. Трифонов
Общая характеристика работы Актуальность работы
Традиционно при решении задач в области страхования используются методы актуарной математики, базирующиеся на математической статистике. Модели и методы теории игр, которые применяются при исследовании различных проблем экономического регулирования, не получили широкого распространения при решении страховых задач. В работах Boгch К. (1962), Lemaiгe J. (1998) и других авторов рассматривается применение теоретико-игровых моделей для определения размера премий. При этом в современной литературе мало внимания уделяется использованию теории игр для определения характеристик страхового договора, отличных от премии.
Одной из актуальных проблем для страховых компаний является возможность определять не только размер премии, но и другие характеристики, влияющие на договор страхования. Традиционно ряд параметров договора страхования жизни, такие как порядок определения выкупной суммы (штраф за досрочное расторжение) и размер комиссионного вознаграждения, определялись исходя из "общепринятых" на страховом рынке значений. В данной работе предлагается формальный теоретико-игровой подход для определения этих характеристик исходя из того, что страховая организация влияет на поведение своих партнеров, руководствуясь максимизацией собственной прибыли.
Другая проблема, мало изученная в современной литературе, заключается в использовании теоретико-игрового подхода в задачах определения влияния льготы по налогообложению на стимулирование развития рынка долгосрочного страхования жизни.
Цель работы
Построение и исследование теоретико-игровых моделей взаимодействий, возникающих при заключении и в процессе действия договоров долгосрочного страхования жизни, определение оптимального поведения субъектов,
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА |
участвующих в данных взаимодействиях. Методы исследования
Методы исследования базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и теории вероятностей.
Научная новизна
Определение характеристик страхового договора, отличных от размера премий, посредством рассмотрения иерархических игровых систем, используется впервые.
Для договоров смешанного страхования жизни получены аналитические выражения оптимальных стратегий игроков и их функций выигрыша в игре по определению оптимального штрафа за расторжение договора страхования жизни, а также в игре по определению оптимального комиссионного вознаграждения агентам за заключение договора страхования жизни. Для договора пенсионного страхования и других договоров найден метод вычисления оптимального комиссионного вознаграждения.
Впервые применен теоретико-множественный подход для определения возможности снижения налоговой базы единого социального налога (ЕСН) на сумму пенсионных взносов по договору добровольного пенсионного страхования.
Практическая ценность
Полученные в работе результаты представляют ценность для страховых компаний, работающих с долгосрочными договорами жизни, и могут быть использованы ими для определения размера штрафов за досрочное расторжение договора страхования и размера комиссионного вознаграждения агентам за заключение договора страхования.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на 3-ей Московской международной конференции по исследованию операций (Москва,
2001), на научной конференции МГУ им.М.В. Ломоносова "Ломоносовские чтения, 2002" (Москва, 2002) и на научной конференции МГУ им.М.В. Ломоносова "Ломоносовские чтения, 2004" (Москва, 2004).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [4], список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы из 39 наименований и одного приложения. Общий объем диссертации составляет 141 страницу. Изложение иллюстрируется 32 рисунками.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована проблематика диссертации, сделан обзор литературы по теме диссертации, изложены научная новизна и практическая значимость работы. Здесь же рассмотрены основные взаимодействия, возникающие между субъектами, участвующими в долгосрочном страховании жизни, дано краткое описание возникающих взаимодействий.
В первой главе настоящей работы рассмотрена задача поиска оптимальной системы штрафов за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни - договора страхования жизни с накопительной составляющей. Система штрафов за расторжение оптимальна, если она максимизирует прибыль страховщика.
Рассматривается п-летний договор смешанного страхования жизни, лиц возраста у, с выплатой единицы страхового обеспечения в случае смерти застрахованного лица или дожития застрахованного лица (страхователя) до окончания действия договора.
Страхователь вносит премию ОР по договору в начале каждого года. В случае досрочного прекращения договора страхователем, выкупная сумма выплачивается в конце года расторжения. В случае возникновения страхового случая (смерти застрахованного лица или дожития застрахованного лица до окончания действия договора) страховая сумма выплачивается в конце года наступления страхового случая. Считается, что вероятность смерти страхователя в течении года равна - вероятность дожития
страхователя возраста
Страхователь расторгает договор смешанного страхования жизни, в случае, если он неудовлетворен текущей доходностью по полису и может получить большую прибыль от расторжения договора и размещения выкупной суммы в банке. Страховщик и банк имеют разные ставки дисконтирования -Щт и ЭДапЬ При расторжении договора страхователь обязан заключить договор страхования жизни на случай смерти на оставшийся период. Страхователь вносит премию ОPQ ПО договору страхования жизни на случай смерти в начале каждого года после его заключения.
В случае досрочного расторжения договора страхователем на г году страховщик удерживает часть страхового резерва (ТУ) по договору, при этом страхователю выплачивается выкупная сумма (х ■ ТУ) - размер сформированного страхового резерва за вычетом штрафа за расторжение ((1 — х) ■ ТУ). Страховой резерв в момент времени - условное математическое ожидание разницы между настоящей стоимостью будущих выплат страховщика и настоящей стоимостью будущих премий страхователя, при условии дожития страхователя до момента времени
Задача управления поведением страхователя сводится к иерархической игре Гг, в которой страховщик является первым игроком, управляющим поведением второго игрока - страхователя. Стратегия страховщика - выкупная сумма за расторжение договора (х). Стратегия страхователя - год расторжения договора При этом если то страхователь не будет заключать договор; если то страхователь не собирается расторгать договор. По
условию иерархической игры Гг первый игрок (страховщик) сообщает второму игроку (страхователю) свою функцию поведения (выбор стратегии) в зависимости от стратегии второго игрока. Т.е. страховщик сообщает страхователю x(t) - выкупную сумму за расторжение договора в £-ый год. Затем, второй игрок (страхователь) выбирает год расторжения договора - г.
Функция выигрыша страховщика Р(х, т) является математическим ожиданием дисконтированного дохода страховщика с одного страхователя и равна приведенным на начальное время потокам (на 1 страхователя): ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору смешанного страхования жизни до его расторжения; выплат страхователю от страховой компании по случаю смерти и по расторжению договора смешанного страхования жизни.
Функция выигрыша страхователя является математическим ожи-
данием дисконтированного дохода страхователя и равна приведенным на начальное время потокам: ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору смешанного страхования жизни до его расторжения; выплат страхователю от страховой компании по расторжению договора смешанного страхования жизни; ежегодных платежей страхователя в иную страховую компанию по договору страхования жизни на случай смерти, после расторжения договора смешанного страхования жизни; выплат страхователю от страховой компании по случаю смерти по договору смешанного страхования
и по договору страхования на случай смерти.
т-1 п-1
г) = - £ вР ■ 1Ру ■ у1пк + тРу-х ■ ТУ-утШк - £ СРо • гРу ■ (=0 t=т
т п
+ £«•<-1 Ру""1пк + Е Я • *-1Ру • »Ьапк (1-2)
г=1 г=т+1
Для определения наилучшего гарантированного результата страховщика и оптимальной системы штрафов используется теорема Гермейера.
Теорема 1.14. Наилучший гарантированный результат страховщика ра-
вен:
1 — цп . лп 1 — пп . лп 1гп
Р2 = (СР - я ■ • - (СР - СРо) • . ^
Теорема 1.15. е-оптималъная стратегия первого игрока игры Г2 с функцией выигрыша первого игрока - (1.1), и функцией выигрыша второго игрока - (1.2) равна:
'[0,оо), 7 = 0
О, 1 < т < п - 1
СР-СР0 1-(1 -дГ-у^
гопт^ _
- 1 + £, Т = П
Во второй главе работы рассмотрена задача поиска оптимального комиссионного вознаграждения агентам за заключение договора страхования. Комиссионное вознаграждение оптимально, если оно максимизирует прибыль страховщика.
В первой части второй главы рассматривается случай, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, не зависят от комиссии, выплачиваемой страховщиком агентам и равны константе - При этом размер ежегодных административных расходов страховщика на одного застрахованного человека равен Поиск оптимального комиссионного вознаграждения производится для договора смешанного страхования жизни, описанного в первой главе. Размер выплаты страхового обеспечения в случае смерти застрахованного лица или дожития застрахованного лица до окончания действия договора отличен от 1 и равен Я. Размер ежегодной премии, выплачиваемой страхователем по договору смешанного страхования жизни (Р), равен ЯОР. Вероятность смерти страхователя в течении года не зависит от года и равна q.
- число лиц заинтересованных в договоре страхования зависит от его "привлекательности" При этом "привлекательность" договора страхования зависит от "прибыли", которую страхователь может получить от договора страхования, с точки зрения страхователя. В данной работе эта "прибыль"
считается равной полученным от страховщика выплатам по страховым случаям (отличным от случая смерти) за вычетом премий, выплаченных страховщику, и отражает упрощенное представление страхователя - физического лица, о договоре страхования. Учитывается, что страхователь может дисконтировать свои доходы с коэффициентом дисконтирования -( п-1
I (=0
где: в - параметр заинтересованности (в > 0), N - общее число лиц.
Страховая компания может сама привлекать N¿(5) страхователей, заинтересованных в договоре страхования. Оставшуюся часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования, страховщик может привлечь через агентов.
где: - часть лиц из общего количества заинтересованных в договоре страхования лиц, которые страхуются в страховой компании без участия посредников (агентов).
На предложение договора страхования А лицам агенты затрачивают С(А) средств.
С (А) = С • ^ где: С - параметр "затратности" агентов (С > 0)
Число лиц, застрахованных агентами ЛТв(<5, А), зависит как от "привлекательности" договора, так и от затрат агентов на предложение лицам договора страхования.
- ожидаемый доход страховой компании от одного застрахованного лица без учета первоначальных расходов на единицу выплат за страховой случай является математическим ожиданием, приведенных на начальное время потоков: ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору смешанного страхования жизни до наступления страхового случая;
выплат страхователю от страховой компании по случаю смерти и по дожи-
тию до конца действия договора смешанного страхования жизни.
Задача управления поведением агентов посредством размера комиссионного вознаграждения сводится к иерархической игре Гь в которой страховщик является первым игроком, управляющим поведением второго игрока - агента. Стратегия страховщика - размер комиссионного вознаграждения агентам за привлечение одного страхователя Стратегией агентов является число лиц, которым агенты предложили договор страхования По условию иерархической игры Fi первый игрок (страховщик) сообщает второму игроку (агентам) свою стратегию (комиссию за привлечение одного страхователя - а). Затем, второй игрок (агенты) выбирает свою стратегию (число лиц, которым они предложат договор страхования -
Функция выигрыша страховщика равна ожидаемому доходу страховой компании от заключенных договоров смешанного страхования жизни без учета первоначальных расходов за вычетом выплат агентам за заключение договоров смешанного страхования жизни.
Функция выигрыша агентов равна общей комиссии агентов за вычетом затрат на привлечении лиц, застрахованных агентами:
С(а,Х) = а- Р- Ма(5, А) - С(А)
(2-2)
Для поиска наилучшего гарантированного результата страховщика (¥1) и его оптимальной стратегии необходимо последовательно вычислить следую-гцие величины:
1. У (а) = Аг(гтахС(а, А)
Аел
2. ■ш{а)= шп /(а, А)
ХчУ(а)
3. = вир у](а)
аеА
(2.3)
(2.4) (2-5)
Теорема 2.1. Множество У (а), определенное в (2.3), состоит из одной точки - Л*(а), для любого а: У(а) = {А*(а)}. Где:
' О,
А*(«)>
п
О < а < -А
С
А = Р-( 1-0.
6 + в
Лемма 2.2. Функция и](а), определенная в (2.4) равна: Ьпг-Я-К'Л
1\пг '
ю(а) =
N
С
' ~ А
О < а < •
г«;
Лемма 2.3. Максимум функции а), определенной в (2.6), на отрезке
л
= /¡„г • Я • ВД Максимум достигается в любой точке отрезка
4
Лемма 2.4. Максимум функции ш(а), определенной в (2.6), на отрезке —, существует, единственнен и равен:
л иг
■щ = ипг-Я-Кс{6)+(1{пг-Я-
(У + У)2
Максимум достигается в точке а =
Н'^Ш-") 1
При этом I/ и V равны:
{и + У)*
, принадлежащей данному отрезку.
М 1 £Р Ц„г' УС /1ПГ'УС 27'/„
Лемма 2.5. Максимум функции и;(а), определенной в (2.6), на луче существует, единственнен и равен: Щ = 1гПГ ■ Я • ]УС(5)
И
■^»пг _\
.ср' ;
с
вР А
жащей данному лучу.
Если > то максимум достигается в точке а = принадле-
вР'
I С
Если < —, то максимум достигается в любой точке отрезка
Сгл А
1гпг С
йР'А
принадлежащего данному лучу.
Теорема 2.6. Оптимальная стратегия первого игрока игры Гд с функцией выигрыша первого игрока - (2.1) и функцией выигрыша второго игрока -(2.2) равна:
— > А ~ вР
__1тг
(и + У)2' А иР
4 ' 1"
При этом наилучший гарантированный результат первого игрока равен:
С ^ Дпг А~СР
■я-ММ
■Я-N¿6)+
гпг
ар
Во второй части второй главы рассматривается случай, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, равны комиссии, выплачиваемой страховщиком агентам. Поиск оптимального комиссионного вознаграждения производится для договора пенсионного страхования жизни.
Рассматривается «-летний договор пенсионного страхования, лиц возраста у, с ненулевыми нагрузками. Страхователь вносит премию Р в начале каждого года в течение т лет. После дожития страхователя до возраста у + т лет, страховая компания начинает выплачивать ему ежегодную пенсию Я в начале каждого года в течение г лет. Смерть страхователя в течении срока действия договора не является страховым случаем.
В данной постановке задачи характеристика привлекательности договора страхования для страхователя ("прибыли", которую страхователь рассчитывает получить от договора страхования) равна:
7,пг - ожидаемый доход страховой компании от одного застрахованного лица без учета первоначальных расходов на единицу выплат за страховой случай является математическим ожиданием, приведенных на начальное время потоков: ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору пенсионного страхования; выплат страхователю от страховой компании по случаю дожития до пенсионного возраста.
И для договора пенсионного страхования равен:
Задача управления поведением агентов посредством размера комиссионного вознаграждения сводится к иерархической игре Гь аналогично части первой второй главы.
Разработан численный метод для решения данной задачи.
Показано, что данный метод определения комиссионных выплат агентам может применяться не только для договоров страхования жизни.
Третья глава посвящена исследованию влияния льготы по налогообложению на стимулирование развития рынка долгосрочного страхования жизни. В данной главе рассматривается возможность введения налоговой льготы по БСН на сумму взносов по добровольному пенсионному страхованию для стимулирования заключения договоров добровольного пенсионного страхования.
Налогоплательщик принимает решение о необходимости участия в добровольном пенсионном страховании. В принятии данного решения ему помогает работодатель, который ориентируется на максимизацию совокупного дохода налогоплательщика и на обеспечение необходимого уровня жизни налогоплательщика после выхода на пенсию (пенсия не должна сильно отличаться от заработной платы).
Налогоплательщик с годовой зарплатой £ осуществляет выплаты на формирование будущей пенсии в начале каждого года. Налогоплательщик может осуществлять накопление пенсионных средств либо заключив договор добро-
вольного пенсионного страхования со страховой компанией {Pind - премия по данному договору, Rind - пенсия по данному договору), либо заключив договор с банком о накоплении средств - премия по данному договору, Rbank - пенсия по данному договору). Ssum - размер годовой зарплаты налогоплательщика за вычетом выплат в страховую компанию и банк.
Ежегодная добавка государства Pst к страховой премии рассчитывается исходя из того, что при определении налоговой базы для налога на доходы физических лиц не учитываются суммы пенсионных взносов по договорам пенсионного страхования (согласно статье 213 главы 23 Налогового кодекса), а также учитывается возможность существования налоговой льготы по ЕСН.
где:
- ставка подоходного налога;
- ставка ЕСН в части финансирования страховой и накопительной части трудовой пенсии, зависящая от размера зарплаты;
- действует или нет налоговая льгота по выплатам страховых премий для ЕСН (1 - действует, 0 - не действует).
Налогоплательщик платит в страховую компанию премию которая включает в себя налоговые льготы, и получает пенсию Ртт = Pind Pst
Выплата пенсий налогоплательщику, по достижению им пенсионного возраста, производится в начале каждого года. Пенсия налогоплательщика Rgum состоит из трех частей: пенсии государства (базовой - страховой -Rit,in и накопительной - -Rst,p/)> пенсии страховой компании Rind и пенсии банка Rbank-
Rst — Ritfi + Rat, in + Re t,pf
Rsum ~ Rst "b Rinr + Rbank
Государство компенсирует введение налоговой льготы по ЕСН сбором на-
лога на прибыль страховщика PFi, полученную от договоров добровольного пенсионного страхования, по ставке Л.
Задача управления поведением страхователей посредством установления налоговой льготы сводится к иерархической игре, в которой государство является первым игроком, управляющим поведением второго игрока - страхователя. Стратегией государства является определение действует или нет налоговая льгота (7г). Стратегией страхователя является размеры ежегодных премий в страховую компанию и банк (Р = (Pind, Pbank) € Р). Первый игрок (государство) сообщает второму игроку (страхователю) свою стратегию (действует или нет налоговая льгота). Затем, второй игрок (страхователь) выбирает свою стратегию (ежегодную премию страховщику и банку). Страхователь выбирает свою стратегию таким образом: если существует несколько оптимальных стратегий, то страхователь выбирает ту стратегию, при которой премия страховой компании максимальна. Если после этого остается несколько оптимальных стратегий, то страхователь выбирает ту стратегию, в которой премия банку максимальна.
Функция выигрыша государства является математическим ожиданием дохода государства от одного налогоплательщика и равна приведенным на начальное время потокам (на 1 страхователя): выплат страхователю (возврат налогоплательщику) подоходного налога; сборов налога на прибыль страховщика, полученную от договоров пенсионного страхования; сборов с налогоплательщика средств на финансирование страховой и накопительной части пенсии (часть ЕСН), с учетом льготы по ЕСН; выплат страховой и накопительной части пенсии.
m-1 п
РЫР) = -Л Ры-*-ipy-vit+zx-PFi-<4+ ¡=0 i=l m-1 n-1
+ £ (£(5) - (e(5) -e(S-Pmd))• 7ehpy-v\t-£(Rst,,n + Rst,Pj) ■ ,Py • v\t
1=0 i-m
(3.1)
Суммарный доход налогоплательщика равен приведенным на начальное
время потокам: зарплаты налогоплательщика за вычетом выплат в банк и страховую компанию; выплат пенсии налогоплательщику от государства (базовая, страховая и накопительная), от страховщика и от банка. При расчете суммарного дохода налогоплательщика работодателем считается, что налогоплательщик доживет до конца действия пенсионного договора.
Р) = тЦ Р) • ^ + Е П^тЫ Р) "
Функция неудовлетворенности налогоплательщика своей пенсией:
Где: Г] - коэффициент отклонения ежегодной зарплаты от ежегодной пенсии
Функция выигрыша страхователя - средний ежегодного доход, который получает налогоплательщик, с учетом удовлетворенности налогоплательщи-ь ------"
п
(3.2)
Теорема 3.3. Если налоговая льгота по ЕСНне действует = то оптимальная стратегия страхователя (Р°{0)) существует и для ее поиска необходимо сравнить конечное число точек множества допустимых значений премий страховой компании и банка - Р.
Теорема 3.12. Если налоговая льгота по ЕСН действует (г)с = 1), то оптимальная стратегия страхователя (Р®(1)) существует и для ее поиска необходимо сравнить конечное число точек множества допустимых значений премий страховой компании и банка - Р.
После сравнения функции выигрыша государства в точках (0,Р°(0)) и была найдена оптимальная стратегия поведения государства -и наилучший результат государства.
В заключении перечислены основные результаты, полученный в диссертации.
В приложении приведены данные по мужской и женской смертности за 1995 год в Российской Федерации, использованные при численном решении задач, сформулированных во второй и третей главах.
Основные результаты диссертации
1. Решена игра, моделирующая взаимодействие страховой компании и страховщика, возникающее при досрочном расторжении договора страхования жизни. Построена оптимальная система штрафов за досрочное расторжение договора страхования, максимизирующая доход страховой компании. Показано, что страховщику выгодно удерживать страхователя до окончания срока действия договора, выплачивая ему для этого дополнительную сумму при дожитии до окончания действия договора.
2. Проведен анализ взаимодействия субъектов, участвующих в задаче построения оптимального комиссионного вознаграждения за заключение договора страхования жизни. В случае, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, не зависят от комиссии, получены аналитические выражения для оптимальных стратегий игроков и их функций выигрыша.
3. Разработан численный метод решения задачи поиска оптимального комиссионного вознаграждения в случае, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, равны комиссии. Показано, что данный метод определения комиссии агентам может применяться не только для договоров страхования жизни.
4. Для игры, описывающей взаимодействие страховщика и государства, построен алгоритм, позволяющий оценивать необходимость введения налоговой льготы по единому социальному налогу на сумму взносов по добровольному пенсионному страхованию.
Список работ, опубликованных по теме диссертации
[1]. Belyankin G.A., Semenov A.Yu. Construction of the Optimal Surrender Charge System for Endowment Zero Loading Policy. // Тезисы докладов З-й Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2001). - М.: Вычислительный центр РАН, 2001. - стр.14-16
[2]. Белянкин Г.А., Семенов А.Ю. Выбор оптимальной структуры комиссионного вознаграждения на рынке страхования жизни. // Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.10.2004, М586-В2004
[3]. Белянкин Г.А., Семенов А.Ю. Определение системы оптимальных штрафов и вознаграждений за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни. // Труды первой Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Часть первая. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - стр.12-20
[4]. Семенов А.Ю. Построение системы оптимальных штрафов за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни. // Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.10.2004, Ш587-В2004
Издательство 000 "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 15.11.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 1133. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова. 2-й учебный корпус, 627 к.
Р2 7 2 8 í
Введение
1 Определение оптимальной системы штрафов при расторжении договора
1.1 Основные характеристики рассматриваемой модели.
1.2 Определение оптимальной системы штрафов без учета возможности незаключения договора и без учета смертности.
1.3 Определение оптимальной системы штрафов с учетом возможности незаключения договора и с учетом смертности
2 Построение оптимального комиссионного вознаграждения в страховании жизни
2.1 Основные характеристики рассматриваемой модели.
2.2 Построение оптимальной комиссии при фиксированных параметрах договора смешанного страхования жизни.
2.3 Построение оптимальной комиссии при возможности изменения параметров пенсионного договора страхования
3 Исследование влияния льготы по налогообложению
3.1 Основные характеристики рассматриваемой модели.
3.2 Определение оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога.
Традиционно при решении задач в области страхования используются методы актуарной математики, базирующиеся на математической статистике. Модели и методы теории игр, которые применяются при исследовании различных проблем экономического регулирования, не получили широкого распространения при решении страховых задач. В работах ряда исследователей рассматривается применение теоретико-игровых моделей для определения размера премий. При этом в современной литературе мало внимания уделяется использованию теории игр для определения характеристик страхового договора, отличных от премии.
В работе Ворча (см. [7]) теория игр была использована для определения распределения риска неразорения страховой компании между группами застрахованных лиц с разными вероятностями возникновения страхового случая. Риск неразорения страховой компании учитывается в страховых премиях и влияет на их размер. Определение оптимального размера данной надбавки к премии для разных групп застрахованных лиц было сведено к поиску ситуации равновесия для игры многих лиц.
В работах Лемера (см. [16], [26], [27]) теория игр применяется при рассмотрении системы бонус-малус1 в автомобильном страховании. Выстраивается оптимальное изменение страховой премии (система бонус-малус) в зависимости от истории наступления страховых случаев. Решение задачи сводится к повторяющейся игре с полной информацией.
Одной из актуальных проблем для страховых компаний является возможность определять не только размер премии, но и другие характеристики, влияющие на договор страхования. Традиционно ряд параметров договора страхования жизни, такие как порядок определения выкупной суммы (штраф за досрочное расторжение) и размер комиссионного вознаграждения, определяются исходя из общепринятых на страховом рынке значений.
В данной диссертационной работе рассмотрен страховой рынок и его функционирование. В страховании часто возникают вопросы управления в иерархических игровых системах, т.к. в этой области деятельности один субъект нередко диктует линию поведения другому субъекту - управляет им в условиях полного или частичного несовпадения интересов.
1 Система скидок и надбавок к страховой премии в зависимости от истории страховых случаев. Бонус -система скидок к базовой страховой премии, если в отношении объекта страхования не наблюдалась реализация страхового риска. Малус - система надбавок к базовой страховой премии, если в отношении объекта страхования обнаружилась реализация страхового риска. В основном применяется в автомобильном страховании. Наличие этой системы стимулирует страхователя к более безопасному поведению на дорогах.
Целыо работы является построение и исследование теоретико-игровых моделей взаимодействий, возникающих при заключении и в процессе действия договоров долгосрочного страхования жизни, определение оптимального поведения субъектов, участвующих в данных взаимодействиях.
При этом особое внимание уделено следующим классическим типам договоров долгосрочного страхования жизни:
• Договор долгосрочного смешанного страхования жизни2
• Договор пенсионного страхования3
При рассмотрении договоров долгосрочного страхования жизни можно выделить следующие субъекты, участвующие во взаимодействии: страховая компания4 (страховщик), страхователь5, агент6, государство, банк.
При заключении и в процессе действия договора долгосрочного страхования жизни между страховщиком, страхователем, агентом, государством и банком возникают взаимоотношения, указанные на рис. 1 и описанные ниже.
Страхователь принимает решение о заключении и расторжении договора со страховщиком, а также периодически выплачивает ему премии по договору страхования. Страховщик делает выплаты страхователю при наступлении страхового случая и при расторжении страхователем договора страхования.
Страховщик платит государству налог на прибыль. Страхователь выплачивает государству налог на доходы физических лиц, а также единый социальный налог. При этом государство может предоставлять страхователю льготы по данным видам налогов.
2Смешанное страхование жизни - вид личного страхования, при котором страховая сумма выплачивается по окончании срока действия договора страхования, но может быть выплачена и ранее в случае смерти застрахованного лица. Таким образом, данный договор страхования одновременно покрывает два риска: смерть и дожитие до оговоренного в договорю срока.
3Пенсионное страхование - вид личного страхования, при котором страховая сумма выплачивается регулярно в течение установленного договором периода по достижении застрахованным лицом определенного в договоре возраста.
4Юридическое лицо, имеющие лицензии на осуществление страхования соответствующего вида.
53десь: под страхователем (лицом, производящим выплаты по договору страхования) подразумевается в том числе и застрахованное лицо (лицо, чьи имущественные интересы являются объектом страхования) и выгодоприобретатель (лицо, являющиеся получателем страховой выплаты).
6Страховой агент, агентская сеть или страховой брокер (организация, осуществляющая поиск клиентов за комиссию).
Рис. 1: Взаимоотношения, возникающие между субъектами при заключении и в процессе действия договора долгосрочного страхования о/сизни
Агент информирует страхователя о договоре страхования и заключает с ним данный договор, при этом страховщик выплачивает агенту комиссию за заключение договора страхования.
Страхователь может вкладывает деньги в банк, рассматривая это как альтернативу накопительной составляющей в договорах долгосрочного страхования жизни.
В работе подробно рассмотрены следующие аспекты взаимодействия субъектов:
1. Взаимодействие страховщик-страхователь-банк, возникающее при заключении и в ходе действия договора смешанного страхования жизни. Данное взаимодействие рассмотрено на примере определения оптимальной системы штрафов за расторжение договора смешанного страхования жизни.
2. Взаимодействие агент-страховщик-страхователь, возникающее при заключении договора долгосрочного страхования жизни. Данное взаимодействие рассмотрено на примере построения оптимального комиссионного вознаграждения для договоров долгосрочного страхования жизни.
3. Взаимодействие государство-страховщик-страхователь-банк, возникающее при заключении и в ходе действия договора пенсионного страхования. Данное взаимодействие рассмотрено на примере определения оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога.
В первой главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия трех субъектов: страховой компании, страхователя и банка. Страхователь и страховщик являются активными субъектами, которые могут изменять стратегии своего поведения, - игроками.
Страховая компания управляет поведением страхователя - принятием решения о годе расторжении договора страхования, посредством установления размеров штрафов за досрочное расторжение договора страхования.
Взаимодействие рассматривается на примере договора долгосрочного смешанного страхования жизни.
Если договор страхования долгосрочный, то в него обычно заложена возможность расторгнуть его в любой момент, т.к. страхователь не может связывать себя обязательствами на до-стачно большой промежуток времени (например: ежегодная уплата премии по договору страхования), поэтому, возможно, он предпочтет заключить краткосрочный договор страхования, даже более дорогостоящий. Рассматриваемый в работе договор смешанного страхования жизни страхователь может расторгнуть в любой момент.
Страхователи расторгают договоры страхования в зависимости от различных обстоятельств. В работе рассматривается только экономическая причина расторжения договора: неудовлетворенность страхователя текущей доходностью по полису и возможность получения дохода за счет расторжения договора и более выгодного инвестирования выкупной суммы (части накопленных средств страхователя, возвращенных ему страховой компанией при расторжении договора) в банке, при этом страхователь заключает договор страхования жизни на случай смерти для покрытия риска смерти на оставшийся период.
Штраф за досрочное расторжение договора определяется, как часть накопленных средств страхователя, которая удерживается страховой компанией (страховщиком). Штраф за расторжение договора страхования может различаться в зависимости от года расторжения договора. Оптимальная система штрафов позволяет страховой компании управлять поведением страхователя и стимулировать продолжение/расторжение договора страхования.
Стратегией страхователя является год расторжения договора.
Стратегией страховщика является штраф за расторжение договора в зависимости от года расторжения.
Банк является альтернативой страховщику: размещение денег в банке может заставить страхователя отказаться от заключения договора смешанного страхования жизни - договора с накопительной составляющей. Заметим, что банк в отличие от страховщика не гарантирует фиксированной ставки доходности на длительный срок: банковский процент может изменяться банком из года в год в зависимости от рыночных условий.
В рамках данной задачи происходит поиск такой системы штрафов, которая управляет поведением страхователя для максимизации прибыли страховщика.
В работе показано, что страховщику выгодно удерживать страхователя до окончания срока действия договора, выплачивая ему для этого дополнительную сумму при дожитии до окончания срока действия договора. При этом данную сумму7 страховщик должен указывать до заключения договора со страхователем, и именно эта сумма побуждает страхователя заключить договор смешанного страхования жизни, а в последствии и не расторгать его.
Во второй главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия трех субъектов: страховой компании, ее агентов (агентской сети, страхового брокера) и страхователей. Активными субъектами являются агент и страховщик.
Размер комиссионных выплат всегда являлся предметом спора между агентом и страховой компанией. Страховщику не всегда выгодно повышать комиссионные выплаты агенту, т.к. это уменьшает его прибыль с одного полиса. Агент же старается получить максимальную комиссию за заключение договора страхования, т.к. она является основным источником его дохода.
Размер комиссионных выплат агентам при заключении договоров страхования может оказывать значительное влияние на количество застрахованных данной компанией лиц, и, как следствие, на доход и обороты страховой компании.
Благодаря оптимальному выбору размера комиссионных выплат агентам можно в несколько раз увеличить прибыль от данного вида страхования, а также увеличить долю присутствия компании на рынке.
В ряде страховых компаний существует прогрессивная шкала ставок комиссионных, зависящая от таких факторов, как объем принесенной в компанию страховой премии, отсутствие убытков по договорам, заключенным агентом, и т.д. Часто размер комиссионных зависит и от вида страхования, по которому заключен договор.
Страховая компания может напрямую привлекать часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования. Оставшуюся часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования, страховщик может привлечь через агентов (агенты могут быть представлены как подразделением страховой компании, так и отдельной компанией, специализирующейся на заключении договоров страхования).
7Эта сумма известна в страховой теории под названием терминальный бонус.
Процесс работы с клиентом (страхователем) является затратным для агентов, в первую очередь с точки зрения времени. Считается, что число лиц, застрахованных агентами, зависит как от комиссии за заключение договора, выплачиваемой агентам страховщиком, так и от затрат самих агентов на предложение лицам договора страхования.
В работе рассматриваются игровые постановки задачи на примере договоров смешанного страхования жизни и пенсионного страхования. При этом считается, что размер комиссионных не зависит от индивидуальных показателей работы агента, а является общим в заданных условиях для всех агентов.
Поведение страхователей (среднее количество страхователей, заключивших договора страхования) считается фиксированным и зависит от "привлекательности"договора страхования. При этом "привлекательность"договора страхования зависит от "прибыли", которую страхователь может получить от договора страхования, с точки зрения страхователя. В данной работе эта "прибыль"считается равной полученным от страховщика выплатам по страховым случаям за вычетом премий, выплаченных страховщику, и отражает упрощенное представление страхователя - физического лица, о договоре страхования.
Стратегией страховщика является размер комиссии агентам за привлечение одного страхователя.
Стратегией агентов является эффективность работы по продаже договоров страхования, выражаемая как число лиц, которым агенты предложили договор страхования.
В данной задаче определяется оптимальный размер комиссионных выплат агентам, при котором прибыль страховой компании максимальна.
В работе получено решение данной задачи и показано, что оно не сильно отличается от реальных комиссий, указываемых страховыми компаниями. Также было доказано, что при фиксированных параметрах договора всегда существует аналитическое решение задачи максимизации размера прибыли страховой компании, и для получения максимальной прибыли (за вычетом затрат) агентам выгодно заключать договора страхования с большим периодом уплаты взносов страхователем. Был разработан численный метод решения задачи поиска оптимального комиссионного вознаграждения в случае, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, равны комиссии. Показано, что данный метод определения комиссии агентам может применяться не только для договоров страхования жизни.
В третьей главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия четырех субъектов: страховщика, страхователя (налогоплательщика и его работодателя), государства и банка. В данной задаче игроками являются страхователь и государство.
Государство управляет поведением страхователя - принятием решения о заключении договора страхования, посредством введения налоговой льготы на премии, выплачиваемые страхователем в страховую компанию.
Модель исследуется на примере договора пенсионного страхования.
Дополнительное пенсионное страхование является сложной финансовой и социальной услугой, заключающейся в обеспечении материального благополучия страхователя в будущем. Государству выгодно стимулировать заключение договоров пенсионного страхования со страховыми компаниями, поскольку страховая компания может обеспечить более высокий доход по сравнению с Пенсионным Фондом Российской Федерации.
В работе рассматривается возможность снижения налоговой базы ЕСН (см. [31]) в рамках налога на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии (см. [35]) для стимулирования заключения договоров пенсионного страхования со страховыми компаниями. При этом снижение налоговой базы ЕСН возможно на сумму пенсионных взносов (выплат) по договору пенсионного страхования, заключенному со страховой компанией. Снижение выплат на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии уменьшает итоговую страховую и накопительную части трудовой пенсии.
Рекомендации по заключению договоров пенсионного страхования жизни, а так же само заключение договоров производят работодатели. Данные рекомендации работодателя должны быть направлены на достижение двух целей: максимизация совокупного дохода налогоплательщика и удовлетворенность налогоплательщика своей итоговой пенсией. Пенсия налогоплательщика должна обеспечить ему "достойную старость"8, т.е. пенсия не должна быть намного меньше заработной платы. При этом считается, что получение налоговой льготы по выплатам по договору пенсионного страхования оформляется работодателем на этапе уплаты налогов,
8Согласно [38] отношение государства в развитых странах к пенсионному обеспечению можно разбить на три уровня:
1. Защита от бедности - гарантия некоторого прожиточного минимума.
2. Достойная старость - стимулирование работающих для формирования дополнительной пенсии. Стандартными стимулами являются налоговые льготы, предоставляемые участникам пенсионных систем.
3. Частная инициатива - человек за счет своих собственных средств осуществляет свое пенсионное обеспечение. таким образом можно автоматически увеличивать сумму выплат налогоплательщиком страховщику на полученные им налоговые льготы.
Несмотря на то, что Пенсионный Фонд Российской Федерации является отдельным юридическим лицом (см. [37]), в данной работе он рассматривается как часть государства, т.к. за управление им отвечает правление Фонда, назначаемое Президентом и Правительством Российской Федерации (подробнее, см. [37]), а базовая часть пенсии формируется за счет средств федерального бюджета (см. [35]).
В математической модели принимается во внимание, что при определении налоговой базы для налога на доходы физических лиц не учитываются суммы пенсионных (страховых) взносов по договорам пенсионного страхования, заключенным с российскими страховыми организациями (см. [30], статья 213).
Стратегией государства является решение по введению налоговой льготы по ЕСН для премий, уплаченных в страховые компании.
Стратегией страхователя является размер выплат в страховую компанию и банк.
Поведение страховщика (договор пенсионного страхования) и банка (банковский "пенсион-ный"договор) фиксированы. При этом банковский "пенсионный"договор является альтернативой договору пенсионного страхования страховщика: налогоплательщик (по рекомендации работодателя) выберет более доходный договор, или выберет оба договора и разделит между ними выплаты.
В рамках данной задачи найдено оптимальное поведение государства, максимизирующее его прибыль.
В работе построен алгоритм поиска оптимальной стратегии государства - определения выгодно или нет государству вводить налоговую льготу по ЕСН. Также найден диапазон значений банковской ставки, при котором ввод льготы по ЕСН выгоден государству. Показано, что для обеспечения достойной старости налогоплательщику с большими доходами необходимо откладывать больший процент от ежегодной заработной платы на пенсию.
Методы исследования, используемые в работе, базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и теории вероятностей.
Особое внимание в работе уделено аналитическому решению рассматриваемых задач.
Научная новизна работы состоит в определении характеристик страхового договора, отличных от размера премий, посредством рассмотрения иерархических игровых систем. В работе впервые применен теоретико-множественный подход для определения возможности снижения налоговой базы единого социального налога (ЕСН) на сумму пенсионных взносов по договору добровольного пенсионного страхования.
Полученные в работе результаты представляют ценность для страховых компаний, работающих с долгосрочными договорами жизни, и могут быть использованы ими для определения размера штрафов за досрочное расторжение договора страхования и размера комиссионного вознаграждения агентам за заключение договора страхования.
Заключение
В работе был исследован ряд игровых моделей взаимодействия лиц с противоположными интересами, возникающие в при заключении и в процессе действия договоров долгосрочного страхования жизни. Были найдены оптимальные стратегии поведения каждой из сторон, участвующих в конфликтной ситуации или ситуации управления.
В первой главе было построено оптимальное поведение страховщика, позволяющие управлять поведением страхователя (принятием решения о годе расторжении договора страхования) посредством установления размеров штрафов за досрочное расторжение договора страхования. Было показано, что страховщику выгодно удерживать страхователя до окончания срока действия договора, выплачивая ему для этого дополнительную сумму при дожитии до окончания срока действия договора. Данное решение согласуется с реальным поведением игроков на рынке, а указанная дополнительная сумма известна как терминальный бонус.
Во второй главе была построена оптимальная стратегия страховщика, устраивающая агента - размер комиссионного вознаграждения за заключение договора долгосрочного страхования жизни. Было показано, что агентам выгодно заключать договора страхования с большим периодом уплаты взносов. Полученные во второй части второй главы размеры ставок комиссионных выплат приблизительно совпадают с реальным ставками, установившимися на страховым рынке.
В третьей главе был построен алгоритм поиска оптимальной стратегии государства - определения выгодно или нет государству вводить налоговую льготу по ЕСН. Было найден диапазон банковской ставки при котором государству выгодно ввести льготу по ЕСН. Подходы и методы, описанные в третьей главе работы могут применяться в более сложных постановках задачи о необходимости введения налоговых льгот для стимулирования заключения налогоплательщиком договоров добровольного страхования жизни.
1. Allen F., Moris S. Finance Applications of Game Theory. Financial Institutions Center, 1998.
2. Aumann R.J., Hart S. Handbook Of Game Theory with Economic Application. North-Holland, Amsterdam: Elsvier Sciemce Publishers B.V., Volume I, 1992.
3. Aumann R.J., Hart S. Handbook Of Game Theory with Economic Application. North-Holland, Amsterdam: Elsvier Sciemce Publishers B.V., Volume II, 1994.
4. Aumann R., Shapley L. Long Term Competition: A Game Theoretic Analysis. Hebrew University, 1992.
5. Bilodeau С. The Ownership of the Pension Plan Surplus Using Cooperative Game Theory. // Actuarial Research Clearing House. Volume 1 - 1998 - p. 173-187
6. Borch K. Application of Game Theory to Some Problems in Automobile Insurance. // ASTIN Bulletin. 1962 - Volume 2 - p.208-221
7. Borch K. Mathematical Models in Insurance. // ASTIN Bulletin. 1974 - Volume 7, Number 3 - p.192-202
8. Bowers N.L., Gerber H.U., Nickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Acturial Mathematics. -Schaumburg, Illinois, USA: The Society of Actuaries, 1997.
9. Brockett P.L., Xiaohua X. Operation Research in Insurance: a Review. // Transaction Of Society of Actuaries. 1995 - Volume 47 - p.7-87
10. Dhaene J. Distribution in Life Insurance. // ASTIN Bulletin. Volume 20, Number 1 - 1990 -p.81-92
11. Gerber H. On Additive Premium Calculation Principles. // ASTIN Bulletin. Volume 7, Number 3 - 1974 - p.215-222
12. Gerber H. U., Pafumi G. Utility Functions: Prom Risk Theory to Finance. // North American Actuarial Journal. 1998 - Volume 2, Number 3 - p.74-100
13. Kirstein R. Risk-Neutrality and Strategic Insurance. I j The Geneva Papers on Risk and Insurance, Issues and Practic. 1999 - Volume 25, Number 2 - p.262-272
14. Lemaire J. A Game Theoretic Look at Life Insurance Underwriting. // ASTIN Bulletin. -Volume 11 1980 - p.1-16
15. Lemaire J. Cooperative Game Theory and its Insurance Applications. // ASTIN Bulletin. -Volume 21, Number 1 1990 - p.17-40
16. McGill D.M. Life Insurance. Homewood, Illinois, USA: Richard D. Irwin Inc., 1959.
17. Perryman F.S. International Actuarial Notation. // Casualty Actuarial Society : Arlington, Virginia. 1949 - Volume XXXVI - p. 123-131
18. Ramlau-Hansen H. Distribution of Surplus in Life Insurance. // ASTIN Bulletin. Volume 21, Number 1 - 1991 - p.57-71
19. Viaene S., Veugelers R., Dedene G. Two-person Insurance Bargaining under Risk Aversion. -Leuven, Belgium: Department of Applied Economic Sciences, 1999.
20. Waldmann K. On the Exact Calculation of the Aggregate Claims Distribution in the Individual Life Model. // ASTIN Bulletin. Volume 24, Number 1 - 1994 - p.89-96
21. Белянкин Г.А., Семенов А.Ю. Выбор оптимальной структуры комиссионного вознаграждения на рынке страхования жизни. // Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.10.2004, №1586-В2004
22. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
23. Государственный комитет по статистике Российской Федерации Таблицы смертности за 1995 год
24. Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели. М.: "Янус-К", 1998.
25. Лемер Ж. Системы бонус-малос в автомобильном страховании. М.: "Янус-К", 1998.
26. Морозов В.В. Основы теории игр: Учебное пособие. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2002.
27. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.
28. Налоговый кодекс Российской Федерации, часть 2, глава 23, Налог на доходы физических лиц
29. Налоговый кодекс Российской Федерации, часть 2, глава 24, Единый социальный налог
30. Налоговый кодекс Российской Федерации, часть 2, глава 25, Налог на прибыль организаций
31. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
32. Семенов А.Ю. Построение системы оптимальных штрафов за досрочное расторжение договора смешанного страхования жизни. // Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.10.2004, JM587-B2004
33. Федеральный закон. Об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации
34. Федеральный закон. О трудовых пенсиях в Российской Федерации
35. Федеральный закон. Об управлении средствами государственного пенсионного обеспечения (страхования) в Российской Федерации
36. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном пенсионном фонде и медицинском страховании. М.: Дело, 2002.
37. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2002.
