Математические модели конфликтов в экологии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

" Л п

' : I' V ,)

^ "-) Г "' * о

' 0 - ^ ' -> На правах рукописи

ВИШНЯКОВА Екатерина Викторовна

УДК 518.9

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОНФЛИКТОВ В ЭКОЛОГИИ

(01.01.09 - "Математическая кибернетика")

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре Математического моделирования энергетических систем факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Захаров В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Чистяков C.B. кандидат физико-математических наук, доцент Слободинская Т.В.

Ведущая организация - Московский государственный университет

имени М.В.Ломоносова

Защита состоится " fl 1998 г. в /¿Г часов на

заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, ауд.41.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного

университета.

Автореферат разослан 'V " сентября 1998 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО СОВЕТА

доктор физико-математических наук, профессор

В.ФХОРЬКОВОЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Рациональное использование живых акватических ресурсов, водной среды и управление ими составляют важнейшие задачи человечества. Наблюдаемые в последнее время в мире социальные и экономические перемены вызывают повышение спроса на живые ресурсы морской и пресноводной среды. Однако различные проблемы, вызванные влиянием человека на акватические ресурсы и среду, свидетельствуют о необходимости принятия более совершенной стратегии освоения и мониторинга. Усиливающиеся загрязнения окружающей природной среды - воздуха, воды, почвы, истощение невозобновляемых природных ресурсов, нарушение устойчивости биосферы, резкое сокращение биологического разнообразия поставили человечество не только перед необходимостью осознания важности экологических проблем, но и разработки стратегии развития науки и техники, которая гарантировала бы выживание человечества, сохранение живой природы. В этой связи экологические проблемы все больше становятся предметом исследования естественных наук. Актуальность работы, посвященной разработке теоретико-игрового подхода к построению математических моделей конфликтов в экологии, исследованию проблем динамической устойчивости оптимальных решений в моделях рыбных войн, объясняется повышенным интересом к данной проблематике в настоящее время и важностью для современного общества, развитие которого напрямую зависит от состояния экологических систем. Эти вопросы, например, обсуждались на международном конгрессе инженеров и ученых "Перспективы устойчивого развития" в Амстердаме (Голландия, 1996), на 7-ом международном симпозиуме "Динамические игры и приложения" в Канагаве (Япония, 1996) и 7-ом международном экологическом конгрессе ЕМТЕСОЬ-98 в Флоренции (Италия, 1998). Исходя из вышесказанного, особенно важным и необходимым в современных условиях являются пути нахождения оптимальных стратегий поведения участников конфликта в процессе координации политики рыбного промысла, что является центральным вопросом рассмотрения данной диссертационной работы.

Для решения этих вопросов в построенных теоретико-игровых моделях применяется принцип максимума Понтрягина и аппарат теории дифференциальных игр. Применению принципа максимума Понтрягина и разработке эффективных алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных оптимизационных задач посвящены многочисленные труды Л.С.Понтрягина, В.И.Зубова, Н.Н.Красовского, В.И.Благодатских, А.Г.Ченцова, АА.Чикрия и др. Вопросы теории неантагонистических дифференциальных игр и методы нахождения равновесных ситуаций и проблемы динамической

устойчивости решений исследовались в работах Л.А.Петросяна, В.В.Захарова,

B.И.Жуковского, А.Ф.Клейменова, О.А.Малафеева, Т.В.Слободинской,

C.В.Чистякова. Проблемам теории дифференциальных игр в моделях конфликтных экологических процессов посвящены работы В.В.Захарова, Л.А.Петросяна, В.Кайтала, М.Пойола, Р.П.Хэмэлайнена, Дж.Закура.

Целью диссертационной работы является рассмотрение проблем применения математических методов в экологии, разработка теоретико-игрового подхода к построению новых математических моделей и нахождению алгоритмов вычисления оптимальных решений при использовании разных принципов оптимальности.

Научная новизна работы. Предложена новая математическая формализация процесса конфликтного управления рыбным промыслом с учетом экологического и экономического критериев. Разработаны алгоритмы нахождения оптимальных решений для различных принципов оптимальности, а также исследовано свойство динамической устойчивости построенных решений.

Теоретическая значимость диссертации определяется новизной постановки и форматизации математической модели рыбного промысла, исследованием динамических конфликтных систем, решением проблем динамической устойчивости и построением процедур регуляризации оптимального решения в динамических играх.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанный научно-методический аппарат обеспечивает возможность использования полученных результатов для выработки стратегии поведения участников конфликтного процесса рыбного промысла. Полученные результаты могут быть также применены в учебном процессе по дисциплинам, связанным с математической экологией и теорией оптимального управления.

Апробация работы. Научные и практические результаты докладывались и обсуждались на 4-ой международной научной конференции "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуево, 1996), на 7-ом международном симпозиуме "Динамические игры и приложения" (Канагава, Япония, 1996), "Понтрягинские чтения-VIII" на Воронежской весенней математической школе "Современые методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1997), на 11-ой конференции по Теории Игр и Приложениям (Мялан, Италия, 1997), на 12-ой конференции по Теории Игр и Приложениям (Генуя, Италия, 1998), на международной конференции, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина (Москва, 1998), на научных конференциях Санкт-Петербургского государственного университета и городском семинаре по Теории Игр, под руководством профессора

Л.А.Петросяна, (1994-1998 гг.).

Реализация результатов исследования. Основные результаты работы реализованы в численных алгоритмах, написанных на встроенном языке интерактивной системы МАТЬАВ (версии 5.0), реализующих функции решения соответствующих задач и визуализации решений в виде графиков. Полученные результаты могут быть использованы в процессе координации политики рационального использования акватических ресурсов и определения оптимальной стратегии поведения в различных конфликтных, моделях рыбного промысла.

Публикация работы. Материалы исследований опубликованы в [1-10].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 109 листах текста и содержащих 16 рисунков и список литературы из 74 наименований, а также включает 4 приложения с исходными текстами программ на 23 листах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, поставлена цель исследования, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна полученных результатов, показана теоретическая ценность и практическая значимость представленных в работе материалов.

В первой главе диссертационной работы приводится анализ особенностей планирования рыбного промысла в мировом обществе, а также условий и факторов, влияющих на организацию вылова, и вытекающие из них требования к методам решения и алгоритмам оптимизации.

Исследована конфликтная модель управления динамикой популяции, в которой рассматриваются два агента, каждый из которых вылавливает два вида рыб. Данная модель позволяет нам исследовать взаимодействие между агентами при различных условиях. Так как число агентов, принимающих участие в промысле рыбы в одном регионе, является небольшим, целесообразным является моделирование экономической ситуации как дифференциальной игры для того, чтобы изучить влияние внешних факторов на решения игроков (агентов).

Пусть динамика изменения биомассы двух видов под воздействием игроков описывается следующей системой дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра:

Ni = Niki - ytiiVi -упЩ -Щ- vi, (1)

N2 = N2(ei - yiiNi - у22N2) -u2- v2, Nii0) = TV?,

W(0) = jvJ,

YU722 - Y21Y12 * 0

где

• Ni — биомасса популяции /-го вида (/' = 1,2),

• е,- - коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяции,

• y,j - коэффициенты межвидового взаимодействия,

• и = (u\,u2) — вектор-функция управления первого игрока, характеризующая интенсивность вылова обоих видов рыб,

• V = (vi, V2) — вектор-функция управления второго игрока.

Функции w,v являются измеримыми по Лебегу и значения функций принадлежат компактному множеству, т.е. и е Р е Comp R2,v е Q е Comp R2, причем Р и Q не пустые множества. В силу естественных ограничений на интенсивность вылова рыб, гак как понятно, что эта величина не может быть бесконечной, справедливы следующие неравенства 0 < и < Const, 0 < v < Const. При управлениях из данного класса функций выполняются условия существования, единственности и продолжимости решений системы дифференциальных уравнений. Предполагаем также, что для рассматриваемых принципов оптимальности все ситуация равновесия принадлежат внутренности области допустимых управлений.

Определим цели игроков. Предположим, что игрок в единицу времени несет фиксированные затраты в объеме а, > 0, затраты на добычу пропорциональны квадратам значений управляемых переменных с положительными коэффициентами сл и с а соответственно. Налог на добычу единицы биомассы вида j составляет kj > 0, цена реализации единицы биомассы равна pj > 0. Предположим также, что в каждый момент времени игроки несут затраты пропорциональные отклонению текущего состояния системы (1) от положения равновесия (N\,N%) этой системы в невозмущенном состоянии. Причем игрок i осуществляет затраты с коэффициентом т, > 0. Таким образом, если в течение периода времени [0,7] игроки осуществляют добычу с интенсивностью u(t) и v(i) соответственно, то функционалы затрат игроков за этот период являются квадратичными и имеегот следующий вид:

J,(и, v) = j(m,((.V, -Nty + (N2- Л'2)2)) (2)

о

+ a\ + {kx -p\)ui +C\\u} + {k2 -P2)u2 + cuul)dt,

T

J2(u,v) = j(m2((JV, - iV,)2 + (N2 - Ni)1))

о

+ ai+{k\-p\)v\ +ciw\+{ki -p2)v2 + c22vi)dt,

где

• m, > 0 — коэффициент, характеризующий затраты /-го игрока в зависимости от отклонения состояния системы от стационарной точки,

• kj> 0 — пошлина за добывание у-го вида,

• pj > 0 — рыночная цена j- го вида, pj > kj,

• а, > 0 — фиксированные затраты /-го игрока,

• с, = (с,-1, c,i),с, > 0 — вектор удельных затрат на управление /-го игрока, / = 1,2.

Значения Ni и Лг2 есть ненулевое положение равновесия невозмущенной системы (1) и, следовательно, находятся по следующим формулам:

M - -iL-IiiW - yi2S2~ 722S|

1 Tll УН 2 У21У12 -Т11У22 ' V '

ЛГ - YziSl -уцЕ2 7 2 У21У12 - У11У22

Будем рассматривать игру в нормальной форме Г((о,Л'") = ( I, U, V, Ji(u,v), J2{u,v)}, где / = {1,2} - множество игроков, U = {u{t) : u(t) е Р,/ е [i0,7]}, V - {v(t) : v(/) е Q,t s [to,T]} - множества программных стратегий игроков, Ji (и, v), J2(w, v) - функционалы затрат игроков.

Задачей игроков является минимизация затрат на классе программных стратегий. Рассмотрим случай некооперативного поведения игроков.

Предположим, что в динамической игре Г(/0) .V41) существует ситуация равновесия по Нэту в программных стратегиях и найдем пару управлений, образующих ситуацию равновесия. Для решения поставленной задачи используем принцип максимума Понтрягина. Фиксируя по очереди в системе (1) функции управления игроков, находим множества приемлемых ситуаций для игроков. Откуда, исходя из необходимого условия оптимальности, находим оптимальные управления игроков следующего вида:

«W) = lU~2cl~Pl1' (4)

„О(0 = bn-ib-p 2) le 12

v?(0 = X2l-£-pí), (5)

vo(í) = ^-(k2-p2)

Для отыскания пары программных управлений игроков, образующих ситуацию равновесия по Нэшу в рассматриваемой динамической игре, решается система уравнений:

Ñi = Ni(ei - yuNí -yiiNi)- (6)

_ Ли - -p\) _ Я.21 - (fti -p\)

2cn 2cu

Ñ2 =- N2(e2 -yuNi - Y221V2) -

_ - {k¡ -pi) _ X22 - (ki -p2) 2ca 2c n

Xn = -2m\(N\ -Ñ\)-\n(z\ — 2ynN\ -упЩ+ i\N2, X12 -- -2mi(N2~Ñ2) - X.iz(e2 - yi\N\ - 2ynNi) + luyuNi, Xu = -2m2(Ni -Ñi)-Xu(e, -2уцАЛ - Y 12^2) + X2iy2íN2, Xi2 = -2m2(N2 ~Ñ2) - >-22(22 -yi\Ni - 2ynNi) + X2\yi2Ni, с краевыми условиями

N,(0) = К N2(0) = №2, Я-и(?) = Xu(7) = X2I(7) = \22(T) P 0. Показана справедливость следующего утверждения.

Теорема 1: Пусть в игре Г(/д,Л'°) существует ситуация равновесия по Нэшу в программных стратегиях, тогда программные управления игроков u°(t) и v°(í), образующие ситуацию равновесия, можно вычислить по формулам (4) и (5) соответственно на траектории системы (6), если для любых t е [/о, Т\ они удовлетворяют условиям u°(t) е Р, v°(í) е Q .

Далее в качестве принципа оптимальности используем решение по Штакельбергу, которое в нашем случае определяется следующим образом.

Определение 1: Предположим, что центр выбрал программное управление u(t) = (u¡(t), U2(t)), тогда игрок второго уровня определяет множество оптимальных реакций следующим образом:

R(u) = { v|v е V,J2(u,v) < J2(u,v'), Vv' e V}.

Первый игрок, зная множество оптимальных реакций второго игрока, выбирает такую стратегию и", чтобы

sup 5 sup Ji(m,v),Vm с U.

vs Л(и°) »*)

Пара (u°,v°), где v° e R(u°), называется ситуацией равновесия по Штакельбергу в иерархической двухуровневой игре двух лиц, а множество таких всевозможных пар — решением по Штакельбергу.

Для решения поставленной задачи используем принцип максимума Понтрягина, модифицированный для двухуровневой игры. Аналогично первому случаю находим оптимальное управление второго игрока в виде:

vi(0 = , (7)

т s >-22 -(к2-Р2) 2сгг

Подставим полученные управления второго игрока в систему (1) и объединим ее с уравнениями для двойственных переменных:

JV, = JV,(e, - ъ iJVi - ъМ -и,- 121 (3)

N2 = N2(z2 - 721^1 - I22N2) -иг- 121 ~2cl~Pl)

X21 = -2m2(^1 -N]) - X2i(ei - 2yhWi - yl2N2) 4- ^ггУг^г

A. 22 = -2m2(N2 - Ni) - X22<S2 - 2722^2 - tiiNi) + ^21712^2

Для этой системы, включающей оптимальную реакцию игрока нижнего уровня, используя принцип максимума Понтрягина, повторим все выкладки. Таким образом, оптимальное управление лидера получим в виде:

„.(/) = bH-fo-P»), (9)

¿с |1

/с 12

Подставляем полученные управления в систему (8) и получаем следующую систему дифференциальных уравнений для вычисления прямых и двойственных переменных в динамической игре:

N1 = Лг,(б1 -уц#, - упN2) -

>-11 - (¿1 -рр _ Я21 - (¿1 -рр

(10)

2 с„

2С21

N2 = ^2(62-721^1 -упЩ -

а. 12 - (¿2 -Р2> Я22 -(¿2 -Р2)

2с,2

2с22

Хп = -2па(Ы1 -йг)-Хц(е1 -2уиЫ -уг2Лг2) + ЪпЧиНг

+ 2/Я2Ц1 - 2Ц1ХиУи - Ц2Я22Т21 - 112^21712 ^12 = -2/И1(Л^2 -Щ-'киЬг-З-ЧггМг -721^1)+ Я-иуиМ + 2М2Н2 - 2Ц2^22У22 - Ц1>-21712 ~ Ц1Х22У21

Х21 = -2т2(Ы1 -N1) - Х.21 Се 1 -2упМ - /¡гЛУ + Я22У21-^2 Х.22 = -Ът{Ыг - N2) - ^.22(62 - 2у22^2 - уцА'р + ^21712^1 |А1 = "2^- -ь р. 1 (е. 1 -2уц^1 - У12ЛГ2> -ц2у 12^1

т,

= + Ц2<Е2 - 2722^2 - У21^/Р - Ц^г!^

Доказана справедливость следующей теоремы.

Теорема 2: Если пара программных стратегий («'(О^ЧО). гДе м*(0 и у*(0 вычисляются по формулам (9) и (7) соответственно на траектории системы (10), для любых I е [Го,7] удовлетворяет условию и'(г) £ Р, V (г) б 2, то она образует ситуацию равновесия по Штакельбергу в динамической игре Г(<о,Лг0).

Перейдем к процедуре вычисления ситуации равновесия по Парето. Функционал системы рассмотрим в виде свертки функционалов затрат игроков

Применяя принцип максимума Понтрягина, находим оптимальные управления игроков согласно следующим формулам:

^ " 2с22 ' с краевыми условиями:

У,(0) = Л?, ЛГ2(0) = №2, ?Ч|(Г) = Х.12 (Г) = МТ) = %2г (Т) = 0, ц,(0) = ц2(0) = 0.

У(ы, V) = ои/1 (и, у) + (1 - аУ12(и,у), 0 < а < 1

(И)

VI© =

У2(0 =

«1(0 =

»2© =

_ X) -о.(к\ -рр

2асц _ ^2 - а{к2 -р2) 2асц

2(1 - а)с2,

Я.2-(1 -д)(к2 ~Р2> 2(1 - а)с22

Подставляем полученные управления в систему (1) и объединяем с уравнениями для ?..

Следовательно, система для нахождения Парето-оптимального решения имеет вид:

M =JV,(s,- riitfi-Yntfî)- (13)

_ A.i - a(fti -pQ _ Xi - (1 -a)(fci -pQ 2асц 2(l-a)Cîi

N2 = JV2(e2 - Y21JV1 - 722^2) -

_ X.2 - a(ki -p2) _ X2 - (1 ~ a)(fe -P2) 2ac,2 2(1 - a)c22

Xi = -lanniNi - M)-2(1 -d)m2(N\ -N{)~

- X1C1 + 2\\fuN\ + X.I7I2A^2 + X2y2\N2 i2 = -2ami(N2 - Ni) - 2(1 - a)m2(N2 - N2) -

- Хгг2 + 212yi2N2 + X.iYn^i + X2y2iN{ с краевыми условиями

Ж,(0) = №и iV2(0) = Щ U(T) = Х2(Т) = 0

Теорема 3: Если для заданного значения а, 0 < а < 1, пара программных стратегий (u(t), v(f)), где h(î) и v(t) вычисляются по формулам (12) на траектории системы (13), для любого t е [Го, 7] удовлетворяет условиям u(t) е P, v(/) 6 Q, то она является Парето-оптимальной ситуацией равновесия в динамической игре Г(?0,№).

Для проведения сравнительного анализа построенных оптимальных решений далее в работе приводится конкретный пример по вычислению равновесий по Нзшу, Штакелъбергу и Парето-оптимального решения с одинаковыми начальными данными. Приводятся графики изменения биомасс и стратегий игроков для каждого принципа оптимальности, а также значения функционалов затрат обоих игроков.

Последний параграф главы посвящен исследованию вопроса принятия решений в сложных системах с иерархической структурой управления. В нем рассматривается задача выбора регулирующим органом коэффициентов платежей за добычу двух видов рыб.

Во второй главе работы исследуется проблема динамической устойчивости в рыбных войнах и регуляризации решения. Первый параграф главы посвящен вопросу регуляризации решения по Штакельбергу для модели двух игроков. Рассматриваются два различных метода регуляризации. Первый метод

заключается в перераспределении функционалов затрат вдоль оптимальной траектории путем некоторого увеличения затрат игроков к любому моменту ' е ['о,Т\. Для этого метода используется модифицированное определение динамической устойчивости решения по Штакельбергу.

Рассматривается также метод, который является некоторой модификацией метода 5-динамической устойчивости, предложенного профессором Л.А.Петросяном. Вводится новый динамически устойчивый принцип оптимальности, идея которого базируется на использовании траекторий локально-оптимального поведения по Штакельбергу.

Определение 2: Оптимальное решение (ы(/), у(?)) и соответствующая траектория динамической системы х(1) называются 5-локально-оптимальными, если для любой точки разбиения /о < Л <...</„= Г,|4и -= 5 ,к= 0,1,...,«- 1 выполнено условие

(Фь'мШь'м)) е М(1Ь,1м),х('к)), к = 0,1,...,«- 1

где - есть сужение множества оптимальных

решений текущей игры на отрезок времени ¡м).

Определение 3: Траектория х(г), t е [/о, Л в игре Г(?о,хо) называется 5-локально динамически устойчивой, если из любой точки разбиения ^ интервала [*о,7] движение на отрезке [¿ь'/ы) происходит вдоль оптимальной траектории в текущей задаче, решаемой для начальной точки интервала разбиения.

В результате использования соответствующей процедуры мы получаем 5-локально динамически устойчивую оптимальную по Штакельбергу траекторию.

Во втором параграфе второй главы приводится обобщение полученных результатов для иерархической модели управления рыбным промыслом, в которой на нижнем уровне рассматривается п игроков. Строится система для нахождения решения по Штакельбергу, которая далее решается численно. Регуляризация решения по Штакельбергу в этом случае проводится первым методом "перераспределения" затрат аналогично случаю двух игроков, т.к. регуляризация необходима только для решения лидера. Использование второго метода также возможно, но повлечет большие вычислительные затраты, т.к. для каждой точки разбиения нужно будет хранить в памяти большое количество информации.

Третья глава посвящена изучению моделей с дисконтированными функциями затрат при разных условиях. В начале рассматривается случай, когда коэффициент дисконтирования в > 0 у игроков одинаковый.

Функционалы затрат в данном случае будут иметь следующий вид: т

= ]><'-">>{/л,((ЛГ, - Л',)2 + (N2 -М2)2) +

<о

+ а, + (Л, -рОм! + с,1 «1 + (кг -рг)иг + Спи2}Ж В данных условиях снова построим равновесие по Нэшу, равновесие по Штакельбергу и Парето-оптималыюе решение.

Для нахождения равновесия по Нэшу необходимо решить следующую систему:

М = ^(6, - уцА^1 -У12ЛГ2) - (14)

_ ЦП - (¿1 ~Р\) _ Ц21 -(кг -рг) 2 сп 2С2)

N2 = N->(£2 - - У22Щ -

_ Ц12 - (кг -Рг) _ У2г-(кг-рг) 2с,2 2с22

Ап = Мне-2т, -М)- Ц11Е1 +

+ гццуц/л + 11,1712^2 + Ц12У21ЛГ2

Ц12 = Ц120-2^,(^2 -Л^)-ц,2е2 +

+ 2^127 22^2 + ^11712-^1 + ^12721^,

(Д21 = Ц210 - 2т2(М1 -М)- Ц21Ё1 +

+ 21X21711-^1 + Ц21712^2 + ^22721^2

А22 = Ц226 - 2т2(М2 - Мг) - Ц22Е2 +

+ 2^22721-^1 + |^217пЛГ1 + ^22721^1

с краевыми условиями:

ЛГ,(Го) = К N1(10) = №г, р(7) = 0 (15)

Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 4: Пусть в игре ПА,^) с дисконтированием существует ситуация равновесия по Нэшу в программных стратегиях, тогда программные управления игроков м°(0, образующие ситуацию равновесия, можно вычислить по

формулам:

т = (16)

о/а _ -р2)

2 си

0= '

=

У%1) =

2с 12

м-21 — -рО

2с2| Ц22-(^2 -рг) 2с22

вдоль траектории системы (14) с краевыми условиями (15), если для любых ? е 7] они являются допустимыми.

Для нахождения решения по Штакельбергу получаем следующую систему: N1 = ЛГ,(Е1 -у„АГ, - у,(17)

_ ~ - ^21 ~ (¿1 ~Р\)

2сц 2с2]

N2 = N2(^2 -У21М - 722^2) -

$22-(кг-р2) 2С,2 2С22

4п = ^це-2/П1(Л^1 -М)-4ЦЕ1 +

+ ^12721^2+ 2«72Т11 -2П14217П - 12^21712 - Л2^22У21 ¡=12 = ^120- 2«11(М2 - А^2>- ^12Е2 +2^12722^2 + 4пУ12#1 + + ^12721^1 + 2ОТ2Т12 ~ 2^22722 ~ П 1^21712 ~ Л 1^22721

4и = 4216-2^2(^-^0-^216, +2^,у„ЛГ, +

+ £21712^2 + %2112Х^2

£,22 = 4226 - 2т2(^2 - N2) - ЬгЪг + 2^22^2 + + 421712^1 +^22У21^1

П1 = Ь Т| 1Б1 — 2т] 1ГиЛГ1 -11^12-^2-112721^1

¿С21

к

Л2 = ^^-+Т12£2-2Г12У22^2-Г11У21^2-Л2721АГ1 с краевыми условиями

ЛГ,(/о) = Л/?, МС о) = №2 4„(7) = 422(7) = 4,2(7) = 42,(7) = 0 (18)

1ЦО) = П2<7) = 0

Снова получили краевую задачу принципа максимума, алгоритм решения которой разработан. Итогом рассмотренных преобразований является следующая теорема.

2сц

5п ~{кг~ -Рг)

2с,2

421 -рО

2с2,

4 22 ~(кг- -Рг)

Теорема 5: Если пара управлений (м*(0> v*(0)> где и'(() и у"(г) определяются по формулам:

«КО = уКО =

2с22

на траектории системы (17)-(18), для любых Г е [¿о, 7] является допустимой, то ситуация (и'(г),у'(ф является ситуацией равновесия по Штакельбергу в игре Г((о,№) с дисконтированием.

Теперь обратимся к нахождению Парето-оптимального решения. Функционал системы имеет вид:

У(и, v) = аУ 1 (и, v) + (1 - а)Уг (и, v) -т

= |е-«('-'»»[а{«1 ((И, - М)2 + - Д'2)2) +

<о

+ а\ +(¿1 -р\)щ +спи}+(кг-рг)иг + спи1} + + (1 - а){ш2((Л^, - М)2 + (N2-Щ2) + + аг + (¿1 -р0У1 + Сцу] +• (к2 -р^г + с^ДО* Следовательно, система для нахождения Парето-оптимального решения имезт вид:

N1 = ЛГ,(е, -711^1 -У12ЛГ2)- (19)

Щ-сс^-РО Ц1-(1-а)(^|-р|) 2асц 2(1-а)с21

N2 = N¡(£2 - 721^1 - 722-^2) -

_ Ц2- а(^2 -рг) _ Ц2 - (1 -а){кг - рг) 2асп 2(1 - а)с22

= Ц10 - 2схля,(Л^1 -Щ- 2(1 - а)т1(р}\ -ЙО-

- + 2Ц17цЛ^1 + 1^1712^2 + Ц2У21^2

Ц2 = Ц20 - 2апц (N2 - N2) - 2(1 - а)тг(Ы2 - N2) -

- Ц2£2 + 2^2722^2 + +^1712^1 + Й2721^1 с краевыми условиями

Ni(to) = NÏ,N2(t0) = (20)

(i,(7) = ц2(7) = 0

Теорема 6: Если для заданного значения а, 0 < а < 1, управления u(f), \'(t), определяемые по формулам

ZOLC |1

И2(0 = К-аЪ-рг)

2ас\г

« м - Mi~PÙ

VlW~ 2(1 - a)c2i

V (A - Ц2-(1 -g)(k2 -рг)

v2(i) - -2(1 - Ct)C22

на траектории системы (19)-(20), для любых l е [fo, 7] являются допустимыми, то ситуация (u(t),v(t)) является Парето-оптимальной ситуацией равновесия в игре IXio.^V0) с дисконтированием.

Далее в третьей главе рассмотрены модели с дисконтированными функциями затрат в случае различных коэффициентов дисконтирования в, игроков. Мы рассматриваем ту же систему и начальные условия, что и в предыдущем случае, а вот функционалы затрат у каждого игрока отличаются дискаунт-фактором и имеют следующий вид:

7

Ji(u,v) = jV0'^™,^/, - Л',)2 + (Д'2 -N2)2) +

<о

+ а\ + (fci + с\\и\ + (к2 -p2)u2 + c\iu\}dt

т

J7(и, v) = - N{f + {N2 - N2)2) +

<0

+ a2 + (¿i -pi)vi + c21 v| + (k2 -p2)v2 + c22V2}dt

В данных условиях строятся равновесие по Нэшу, равновесие по Штакельберо' и Парего-оптимальное решение.

Исследование свойств динамической устойчивости для случая различных дискаунт-факторов игроков показало, что Парето-оптимальное решение в отличие от равновесия по Нэшу не является динамически устойчивым в игре с переменными текущими дискаунт-факторами.

В заключении обобщены основные результаты диссертационной работы.

Приложения содержат исходные тексты программ на встроенном языке интерактивной системы MATLAB (версии 5.0), реализующие функции решения

соответствующих задач и визуализации решений в виде графиков. Выбор среды разработки программ связан с широкими возможностями системы MATLAB в области обработки многомерных матриц большой размерности и богатой библиотекой функций (например, для решения линейных дифференциальных уравнений, численного интегрирования и т.п.). Указанные достоинства системы MATLAB позволили сфокусировать усилия на составлении алгоритма решения задач, сократить время разработки и сделать более ясными для чтения исходные тексты программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Выполненная диссертационная работа посвящена построению новых моделей рыбного промысла в различных условиях , накладываемых на вылов рыб.

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

• Построена и исследована теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. На основе полученных конструктивных условий для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето в динамической игре предложены алгоритмы вычисления решений;

• Осуществлена разработка алгоритмов регуляризации решения по Штакельбергу и построения траекторий 5-локально оптимального поведения, обеспечивающие их динамическую устойчивость;

• Предложен метод вычисления равновесных по Нэшу, Штакельбергу и Парето решений для моделей с дисконтированием;

• Доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ

1. Куншенко Е.В.1 Модель управления конфликтной системой. Вестник Санкт-Петербургского Университета, серия математика, механика, астрономия. -СПб.: Изд-во СПбГУ, 1994, 7стр. (депонирование)

2. Захаров В.В., Куншенко Е.В. Конфликтная модель управления динамикой популяции. Межвузовский сборник научных трудов "Сложные управляемые системы". - Москва, 1996.- стр. 123-128.

3. Kunshenko E.V., Zakharov V.V. Game theoretical model of harvesting two species of fish //

- Game Theory and Applications, edited by LA.Petrosjan and V.V.Mazalov. New York: Nova Science Publishers Inc. 1996. Vol. 2. p. 153-161.

- Nova journal of mathematics, game theory and algebra. New York: Nova Science Publishers Inc. 1996. Vol. 6. № 1. p. 65-72.

4. Kunshenko E.V., Zakharov V.V. Sustainability in fishery games. Proceedings of the International congress of engineers and scientists "Challenges of sustainable development". Amsterdam. 1996. (http://www.frt.fy.chalmers.se/amsterdam)

5. Kunshenko E.V. Stackelberg solution and problems of dynamic stability in fishery games. Proceedings of the fourth International workshop "Multiple criteria and game problems under uncertainty". Orekhovo-Zuevo, Moscow. 1996. p.52.

6. Kunshenko E.V., Zakharov V.V. On Stackelberg solution in fishery games. Proceedings of the 7th ISDG symposium "Dynamic games and applications". Kanagawa, Japan. 1996. p.557-564.

7. Вишнякова E.B. Равновесие по Штакельбергу в баесовских стратегиях, Тезисы докладов "Понтрягинские чтения-УШ" на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 1997. стр.31.

8. Vishnyakova Е. Stackelberg equilibrium in behavior strategies // Proceedings of 11th conference on Game Theory and Applications. Milano, Italy. 1997. p. 75-76.

9. Vishnyakova E. Sustainable fishering under game theoretic consideration // Book of abstracts of the 12th conference on Game Theory and Application. Genova, Italy. 1998. p. 95-96.

10. Vishnyakova E. The problem of time consistency in the models of fishery management // Proceedings of the International conference dedicated to the 90th anniversary of L.S.Pontryagin. Moscow. 1998. p. 201-203.

'До 1997 года работы Вишняковой Е.В. публиковались под фамилией Куншенко.

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 18.09.98. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 477. НИИ химии СПбГУ.

Отпечатано в отделе оперативно!: полиграфии НИИ химии СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 2.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ВИШНЯКОВА Екатерина Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОНФЛИКТОВ

В ЭКОЛОГИИ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.09 - "Математическая кибернетика"

д.ф.-м.н., профессор В.В.Захаров

Санкт-Петербург 1998

Оглавление

Введение................................................................................................стр. 4

Глава 1. Конфликтные модели рыбных войн

§ 1. Математические модели рыбных войн..............................стр. 14

§ 2. Теоретико-игровая модель промысла двух

видов рыб в случае двух игроков.......................................стр. 19

§ 3. Равновесие по Нэшу.............................................................стр. 22

§ 4. Решение по Штакельбергу..................................................стр. 26

§ 5. Парето-оптимальное решение............................................стр. 30

§ 6. Иерархическая структура рыбного промысла...................стр. 43

Глава 2. Проблема динамической устойчивости в рыбных войнах и регуляризация решения

§ 1. Регуляризация решения по Штакельбергу

для модели двух игроков.....................................................стр. 50

1.1. Перераспределение затрат...........................................стр. 52

1.2. 5-локально-оптимальная траектория и динамическая устойчивость.........................................стр. 54

§ 2. Регуляризация решения по Штакельбергу для

модели п игроков..................................................................стр. 56

Глава 3. Игровые модели с дисконтированием

§ 1. Модели с дисконтированными функциями затрат...........стр. 67

1.1. Равновесие по Нэшу.....................................................стр. 67

1.2. Решение по Штакельбергу...........................................стр. 74

1.3. Парето-оптимальное решение.....................................стр. 80

§ 2. Модели с дисконтированными функциями затрат в случае различных коэффициентов дисконтирования

9 игроков..............................................................................стр. 86

2.1. Равновесие по Нэшу.....................................................стр. 87

2.2. Парето-оптимальное решение.....................................стр. 91

2.3. Решение по Штакельбергу..........................................стр. 95

Заключение.......................................................................................стр. 101

Библиографический список использованной литературы...........стр. 103

Приложения

Приложение 1............................................................................стр. 110

Приложение 2............................................................................стр. 116

Приложение 3............................................................................стр. 124

Приложение 4............................................................................стр. 131

Введение

Экология в настоящее время относится к наиболее развивающимся разделам науки и практики о жизни на Земле. История развития Земли очень существенно отражает воздействие на нее живых организмов и человека особенно. Между человеком и природой устанавливаются такие связи и отношения, которые делают возможным его существование. Однако от интенсивности этого взаимодействия в природе нашей планеты обнаружились серьезные негативные сдвиги, несущие угрозу для жизни. Усиливающиеся загрязнения окружающей природной среды - воздуха, воды, почвы, истощение невозобновляемых природных ресурсов, нарушение устойчивости биосферы, резкое сокращение биологического разнообразия поставили человечество не только перед необходимостью осознания важности экологических проблем, но и разработки стратегии развития науки и техники, которая гарантировала бы выживание человечества, сохранение живой природы. Важным вопросом современной экологии становится понимание того, что необдуманное желание полновластия над природой делает человека зависимым от тех перемен, которые он сам осуществляет. В этой связи экологические проблемы все больше становятся предметом исследования естественных наук.

Экология все более трансформируется из науки о жизни природы в науку о структуре природы и о работе живого покрова Земли в целостных экосистемах. Кроме того, если раньше экология лишь констатировала факты и выявляла закономерности жизни организмов в природе, то позднее, начиная с 20-х годов нашего века, она начала выявлять пути управления биологическими ресурсами, особенно на примере популяций полезных и вредных видов. В практику экологических исследований широко вошли такие виды методов, как мониторинг и моделирование, прогнозы, экспресс-контроль и др. Теперь экология решает задачи прогнозирования продуктивности

биогеоценозов, производит моделирование оптимальных экосистем и, главное - ставит задачи широкой реализации путей управления биологическими ресурсами на уровне популяций и биогеоценозов, вплоть до биосферы. И что особенно важно: современная экология взяла курс на разработку путей возобновления биологических ресурсов биосферы и отдельных биогеоценозов, нарушенных человеком, на воссоздание оптимальной структуры природных сообществ и сохранение высокопродуктивных экосистем, регулирование численности видов. Все это обусловило экологии статус научной основы охраны природы и рационального природопользования.

К группе эмпирических методов изучения окружающей среды относится и метод моделирования экологических явлений в природе и обществе, который в последнее время получил широкое распространение. Модель - это абстрактное описание какого-то явления реального мира, позволяющая делать предсказания об этом явлении. Хотя любая модель всегда упрощена и отражает лишь общую суть процесса, тем не менее моделирование позволяет экспериментировать, использовать процессы и явления, недоступные для непосредственного наблюдения. Методами имитационного моделирования, особенно с применением компьютеров, можно получить достаточно надежные количественные прогнозы, например, изменения численности популяции, устойчивости структуры экосистем и др. Имитационное моделирование широко используется при исследовании экосистемы, особенно биосферы, т.е. там, где учитывается множество разнохарактерных структурных компонентов экосистемы и многофункциональное их поведение.

Модели очень полезны, так же как средство интеграции всего того, что известно о моделируемой ситуации, при этом они выявляют и неточности в исходных данных об объекте, а также определяют новые аспекты его изучения. Моделирование экологических явлений используется для практических прогнозов динамики явлений, для

исследования взаимосвязей видов и сообществ со средой, для определения воздействия факторов и для выбора путей рационального вмешательства человека в жизнь природы.

В настоящее время многие ученые направляют свои усилия на исследование взаимодействия человека и биосферы, изучение проблем эволюции ноосферы, выработку концепции и определение условий перехода человечества к устойчивому развитию. Процессы формирования и реализации такой концепции сопровождаются сталкиванием интересов разных регионов и стран, различающихся по уровню экономического и социального развития, степени участия в использовании общих для всех природных ресурсов, таких как атмосфера, вода, животный и растительный мир и т.п. Это определяет сложность пути, по которому должно пройти мировое сообщество для выработки согласованной стратегии своего развития. В обсуждении этих проблем принимают участие ученые разных областей науки. Задача специалистов в области прикладной математики — построение методологии применения количественных методов, позволяющих формализовать указанные процессы с помощью математических моделей. Основой для этого служат фундаментальные результаты математической экологии, теории управления и теории игр. Теоретические исследования при этом играют важную направляющую роль концептуальных основ, и в тоже время естественных ограничений для экспериментальных разработок и прикладных реализаций, а результаты моделирования могут служить основой для качественных рекомендаций в более общих случаях. Актуальность работы, посвященной построению математических моделей конфликтов в экологии, объясняется повышенным интересом к данной проблематике в настоящее время и важностью для современного общества, развитие которого напрямую зависит от состояния экологических систем. Исходя из вышесказанного, особенно важным и необходимым в современных условиях являются пути нахождения

оптимальных стратегий поведения участников конфликта в процессе координации политики рыбного промысла, что является центральным вопросом рассмотрения данной диссертационной работы.

Научная новизна работы. Предложена новая математическая формализация процесса конфликтного управления рыбным промыслом с учетом экологического и экономического критериев, разработка методов и алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных принципов оптимальности, а также исследование свойства динамической устойчивости достроенных решений.

В работе представлены следующие результаты:

- Построена и исследована теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. На основе полученных конструктивных условий для нахождения ситуаций равновесия по Нэнгу, Штакельбергу и Парето в динамической игре предложены алгоритмы вычисления решений;

- Осуществлена разработка алгоритмов регуляризации решения по Штакельбергу и построения траекторий 5-локально оптимального поведения, обеспечивающих их динамическую устойчивость;

Предложен метод вычисления равновесных по Нэпгу, Штакельбергу и Парето решений для моделей с дисконтированием;

- Доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором.

Теоретическая значимость диссертации определяется новизной постановки и формализации математической модели рыбного промысла, исследованием динамических конфликтных систем, решением проблем динамической устойчивости и построением процедур регуляризации оптимального решения в динамических играх.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанный научно-методический аппарат обеспечивает

возможность использования полученных результатов для выработки стратегии поведения участников конфликтного процесса рыбного промысла. Полученные результаты могут быть также применены в учебном процессе по дисциплинам, связанным с математической экологией и теорией оптимального управления.

Попытки математического моделирования динамики как отдельных биологических популяций, так и сообществ, включающих взаимодействующие популяции различных видов, предпринимались давно. Одна из первых моделей роста изолированной популяции была предложена еще в конце XVIII века:

Ж = цУ

Л ^'

где N - численность популяции; ц - разность между коэффициентами рождаемости и смертности. Решение этого уравнения Щ) = при |а > 0 неограничено возрастает. Однако эффект неограниченного экспоненциального роста популяции в природе, где ресурсы, обеспечивающие этот рост, ограничены, не наблюдается. Как правило, численность популяции в заданной среде ограничена некоторой величиной К, называемой емкостью среды: Щ) -» К при t оо. Модели, учитывающие в какой-то степени это обстоятельство, появились позже. Например, в 1838г. П.Ферхюльст предложил довольно простую и наглядную модель, которая достаточно хорошо описывает динамику биологических популяций:

ж = тк-ю

йг К

Саморегуляризация численности популяции всегда являлась центральной проблемой математической экологии. Все началось в 1920-х годах с Альфреда Лотки [64], который сумел смоделировать цикл передачи малярии человеку насекомыми, и Вито Вольтерра [4], проанализировавшего динамику взаимодействия типа хищник-жертва рыб в Адриатическом море. Они впервые ввели дифференциальные

уравнения для описания динамики таких систем. Наиболее серьезное исследование моделей биологических сообществ, включающих несколько популяций различных видов, было приведено в работе В.Вольтерра [4]. Например, динамика взаимодействия в сообществе двух биологических популяций описывалась системой дифференциальных уравнений:

= Ni(si +yiN2), ^=N2(e2+y2Ni),

где 8/ - коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяции; yz - коэффициенты межвидового взаимодействия. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс, либо взаимодействие типа хищник-жертва, когда один вид является пищей для другого. В отличие от работ других авторов, где основное внимание уделяется собственно построению различных моделей, Вольтерра провел глубокое исследование построенных моделей биологических сообществ. Современные методы исследования динамики популяций изложены в работах [30, 33, 35, 36, 37]

Одним из первых, кто задумался о поведении животных в терминах вторжения (invasion) и саморегуляризации численности был Джон Мэйнард Смит [67]. Сначала он применил свою теорию к существующему соперничеству в пределах одной популяции, чтобы используя полученные результаты объяснить преобладание традиционной борьбы. Джон Мэйнард Смит и Джон Прайс [66] впервые изложили теорию борьбы в теоретико-игровых терминах. Хорошее введение в теорию динамики биологических популяций дается в книге Халлама и Левина [51]. Классификация всех фазовых изменений системы Лотки-Вольтерра в двухмерном пространстве дается в книге Бомзе [44].

Большое внимание проблемам управления биологическими

популяциями уделяется такими учеными, как Хэмэлайнен (Hamalainen) [52], Каитала (Kaitala) [58, 59] и Аури (Haurie) [55]. Целью их работ является рассмотрение эксплуатации зависящих один от другого или трансграничных рыбных месторождений в рамках некооперативных игр. Задачи оптимального управления с конечным горизонтом (фиксированной продолжительности) для класса выпуклых систем, обычно используемые в моделировании экономических и биологических систем, впервые были рассмотрены в работах Аури и Хунга [55] и Брока и Аури [45]. Эта теория основывается на свойстве вариаций ("turnpike") для оптимально управляемых систем. При достаточных предположениях о вогнутости начального уравнения и критерия становится возможным утверждать, что граничная оптимальная траектория, вне зависимости от ее начального положения, должна сходиться к экстремальному устойчивому положению.

Свойство "turnpike" для класса дифференциальных игр, рассматривающих разработку зависимых друг от друга рыбных месторождений двумя странами, представляет интерес, поскольку анализировать устойчивое положение статических игр связанное с "turnpikes", намного проще чем динамические траектории. Хэмэлайнен и Каитала [53] использовали этот подход для анализа игры выбора переменных линии поведения при переговорах, связанных с трансграничными рыбными запасами. Эти авторы подняли важную проблему вылова рыб среди стран, вовлеченных в управление зависимыми рыбными запасами. Целью исследования этих авторов было построение равновесного по Нэпгу решения для поставленных ими задач.

Важной проблемой реализуемости оптимальных решений в конфликтно-управляемых системах, включая и экологические, является их возможная динамическая неустойчивость. Эта проблема исследовалась для различных классов динамических игр. Впервые

постановка этой проблемы и подходы к ее решению были предложены в работе Л.А.Петросяна [28]. Исследованием проблемы динамической и сильнодинамической устойчивости посвящены также работы С.В.Чистякова [39, 40] и В.В.Захарова [11, 74].

Применению принципа максимума Понтрягина и разработке эффективных алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных оптимизационных задач посвящены многочисленные труды Л.С.Понтрягина [34], В.И.Зубова [14, 15, 16], Н.Н.Красовского [18, 19], В.И.Благодатских и др.

Целью диссертационной работы является рассмотрение проблем применения математических методов в экологии, разработка теоретико-игрового подхода к построению математических моделей и нахождению оптимальных решений. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию конфликтных моделей рыбного промысла. В первом параграфе приводится анализ особенностей планирования рыбного промысла в мировом обществе, а также условий и факторов, влияющих на организацию вылова, и вытекающие из них требования к методам решения и алгоритмам оптимизации. Во втором исследуется теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. В отдельные параграфы выделены алгоритмы нахождения ситуаций равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето-оптимального решения. Последний параграф главы посвящен исследованию вопроса принятия решений в сложных системах с иерархической структурой управления. В нем рассматривается задача выбора регулирующим органом коэффициентов платежей за добычу популяций рыб. Во второй главе работы исследуется проблема динамической устойчивости в рыбных войнах и регуляризации решения. Первый параграф главы