Методы динамических игр в задаче управления биоресурсами: подход с введением заповедной зоны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Реттиева Анна Николаевна

МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ИГР В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ БИО РЕСУРСАМИ: ПОДХОД С ВВЕДЕНИЕМ ЗАПОВЕДНОЙ ЗОНЫ

01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск 2004

Работа выполнена в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В. В. Мазалов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. И. Абакумов доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Заика

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 10 декабря 2004 г. в 14 часов 15 мин. на заседании диссертационного совета К 002.142.01 в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН по адресу: 185610, Петрозаводск, ул. Пушкинская, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Карельского научного центра РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета К 002.142.01 к.ф.-м.н., доцент

В. Т. Вдовицын

2005-4 2С9М

мим

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена одному из актуальных разделов теории динамических игр, связанному с задачами управления биоресурсами. В работе исследуются теоретико-игровые модели рационального природопользования, связанные с эксплуатацией промысловых рыбных популяций. Для эффективного решения таких задач необходимо количественное обоснование соотношений между величинами рыбных ресурсов и интенсивностью промысла, а также точное определение возможного предела увеличения вылова.

Традиционная схема исследования задач такого класса - определение квот на вылов рыбы для участников этого процесса. Существует достаточно много исследований в этом направлении. В данной работе рассмотрены модели динамической игры управления биоресурсами, участниками которой являются центр (государство), которое назначает долю запретной для вылова (заповедной) части водоема, и игроки (рыболовецкие артели), производящие вылов биоресурсов. Задачей центра является выбор оптимальной доли заповедной территории для поддержания стабильного развития популяции в водоеме в долгосрочной перспективе и определение возможного вылова, достаточного для удовлетворения спроса. Сама постановка задачи является оригинальной. Кроме того, важен и прикладной аспект, поскольку практически организация такой природоохранной схемы значительно проще, чем регулирование вылова через квоты.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является построение теоретико-игровых моделей управления биоресурсами и их исследование с помощью методов динамических игр. Причем, основной акцент делается на обоснование введения заповедной зоны, размер которой является стратегией центра. Предполагается построение оптимальных управлений игроков с использованием различных критериев оптимальности.

Объекты исследования. Объектами исследования в диссертации являются теоретико-игровые модели управления биоресурсами, стратегии игроков, эксплуатирующих природный ресурс и функции

выигрышей этих игроков.

Методы исследования. Основными методами исследования в диссертации являются принцип максимума Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Основными принципами оптимальности являются оптимальность по Нэшу и Штакельбергу, также применяются такие критерии оптимальности, как оптимальность по Калаи-Смородинскому, монотонное по области решение и решение с равными потерями.

Научная новизна. В диссертации впервые на основе методов динамических игр разработаны модели управления биоресурсами с введением охраняемой территории. Построены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу управления в задаче управления популяцией, распределенной по территории. Построены оптимальные управления в моделях, учитывающих неоднородность структуры популяции и ее распределение в водоеме. Предложен подход устранения отрицательных значений управлений в задачах управления биоресурсами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. На основе методов динамических игр разработаны модели управления биоресурсами с введением охраняемой территории.

2. Построены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу управления в задаче управления популяцией, распределенной по территории.

3. Построены оптимальные управления в моделях, учитывающих неоднородность структуры популяции и миграцию.

4. Проведено сравнение решений в задачах управления биоресурсами путем введения заповедной зоны с использованием различных критериев оптимальности.

5. Проведены модельные расчеты нахождения оптимальных природоохранных мер на примере озер Карелии, которые показали возможность применения данного подхода как для стабильно развивающихся, так и для регрессирующих популяций.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты докладывались на I и II Всероссийских научных школах по математической экологии (Петрозаводск, 2001, 2003), Tenth International Symposium on Dynamic Games and Applications (St.Petersburg, 2002), International Workshop "Networking games and resource allocation" (Petrozavodsk, 2002), IV и V Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003, 2004).

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 01-01-00126).

Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, из них статья в журнале "Обозрение прикладной и промышленной математики", две статьи в сборнике "Game Theory and Applications", статья в сборнике трудов Института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, статьи в трудах Tenth International Symposium on Dynamic Games and Applications и International Congress of Mathematicians-2002 (Satellite Conference on Game Theory and Applications), тезисы четырех докладов на международных, всероссийских и региональных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы, содержащего 65 наименований. Общий объем диссертации составляет 147 страниц, включая 42 таблицы и 128 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор исследований, посвященных управлению биологическими популяциями, обоснование актуальности темы диссертации, формулировка цели работы и описание структуры диссертации.

Первая глава посвящена применению основных методов исследования игровых задач управления биоресурсами, а именно принципа максимума Понтрягина и уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, к модели развития биологической популяции, подверженной эксплуатации двумя игроками. Основными используемыми принципами оптимальности являются оптимальность по Нэшу и Штакельбергу.

В разделе 1.1. исследуется модель с конечным временем, в которой с помощью принципа максимума Понтрягина найдены оптимальные решения. Уравнение развития популяции имеет вид

х'{1) = ех{1) - и(<) - , *(0) = ж0,

(1.1)

где е - коэффициент естественного роста популяции, и(), - управления первого и второго игрока соответственно.

Функционалы выигрышей игроков имеют следующий вид:

^2 =/о [(в(0 - х)2 + С2Т»2^)] Л ,

(1.2)

где - размер популяции, оптимальный для воспроизводства, затраты на вылов.

Задача (1.1)—(1.2) исследована с применением различных принципов оптимальности.

В случае равновесия по Нэшу оптимальные управления имеют вид:

и определяются из системы

где определены в диссертации.

Для случая с\ — сг = с применена следующая схема устранения отрицательных значений управлений. Выделяется точка ¿о>, до которой управления равны нулю, а дальше положительны. Тогда на промежутке мы получим систему с такими начальными данными:

Момент времени ¿о находим как решение оптимизационной задачи

Полное решение задачи содержится в следующей теореме.

Теорема 1.1. Пусть с\ = с2 = с. сП е?р*(2р]Хо)

и достаточ-

но больших Т оптимальные по Нэшу управления обоих игроков положительны и определяются из (1.3). Иначе оптимальные управления находятся из системы (1.4), при этом момент времени to находится как решение оптимизационной задачи (1.5).

Для нахождения оптимальных по Штакельбергу управлений использован принцип максимума Понтрягина, модифицированный для двухшаговых игр. Оптимальные управления имеют вид:

и определяются из системы

При С1 = С2 = с применена следующая схема устранения отрицательных значений управлений. Выделим две точки: на [0, ¿г] оба игрока не ведут вылов, на [¿1,<о] управляет игрок I, а после ¿о ~ И.

Показано, что точки совпадают. Тогда задачу можно пере-

формулировать следующим образом: игрок I не ведет вылов на всем промежутке времени, а только определяет оптимальную для себя точку ¿о- Игрок II ведет вылов на промежутке [¿сь?1]-

В разделе 1.2. для построения аналитического вида оптимальных управлений в модели с бесконечным временем применено уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.

Рассмотрена та же модель управления популяцией двумя игроками (1.1), но с другими функционалами выигрышей игроков:

h = fo е-г'[И<) - + С2«2(0] dt. {U>

Применяя уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB), получен вид оптимальных по Нэшу управлений:

/ % . x/ci+onv х/с2 + аъи «(ж) = «ix + —-, шх) = а2х+ —-, (1.8)

S - г - ai £ - Г - «2

где 0¡ = Í2t-l(i + Г) • = 2-

Доказана теорема, в которой учитывается возможность появления отрицательных значений управлений.

Теорема 1.3. Пусть а = с2 = с. При с > опти-

мальные по Нэшу управления обоих игроков положительны и определяются из (1.8). Иначе, оптимальные управления находятся из (1.9), при этом момент времени tQ = 7 М^Ь где р определяется из (1.10).

u(x) = aia;(í,ío) + /?i, «(«) = «*2*(Мо) + fo • (1.9)

_ 4ж(2е - г - 4ai) - 2aid>ir - 861 - c&i(e - r)(2e - r) . . P ~ -2a\c(2e - r) + <цс(е - r)(2e - r) - 8ai + 4(e - r) ' 1 ' В случае равновесия по Штакельбергу управления имеют вид:

«(.) = «,. + /%, «(») = °»*(е " Г + , (1.П)

где ai, /?i, ос2 определены в диссертации.

Аналогично случаю с конечным временем показано, что точки ti и to совпадают. Тогда управление игрока I равно нулю на всем промежутке времени, а оптимальное поведение игрока II на промежутке [ío,oo] имеет вид

v(x)-a2x + —^—. (1.12)

е - г - <*2

Во второй главе исследованы теоретико-игровые модели управления биологической популяцией с'введением заповедной зоны. Исследуются модели динамической игры управления биоресурсами, участниками которой являются центр (государство), которое назначает долю запретной для вылова (заповедной) части водоема, и игроки (рыболовецкие артели), производящие вылов биоресурсов.

В разделе 2.1 исследованы модели с линейной функцией выигрыша. Для дискретной модели вида

art+i = /(*t - (1 - et)»t), 0 < t < Т, х0 = х° , (2.1)

где xt > 0 - размер популяции в период t, f - функция развития популяции, st, 0 < st < 1 - доля заповедной части водоема, оптимальное решение задачи

{00

где art определяется из (2.1) найдено в теореме 2.1.

Теорема 2.1. Пусть р((1 - st)a;f) = (1 - st)xt. Тогда оптимальное управление имеет вид s(a:) = min(l, х* ¡х), а функция Беллмана определяется соотношениями

Г В{х) = х-х* + В{х*), х>х* { B(x)=ßB(f(x)), х<х*,

где В(х') = j^[f(x*) - X*}.

Для непрерывного аналога этой модели доказана теорема 2.2. Теорема 2.2. Пусть р((1 - s(t))x(i)) = (1 - s(t))x(t). Тогда оптимальное управление имеет вид s(x) = min(l, х*/х), а функция Бел-лмана определяется соотношениями

Г В(х) = ^-х*+В(х*), х>х* { B(x) = ^pB'x(x)f(x), х<х*,

где В{х<) =

В разделе 2.2 исследованы теоретико-игровые модели в случае равномерного распределения. При участии одной артели динамика развития рыбной популяции с учетом вылова описывается уравнением

где x(t) >0 - размер популяции в период t, F - функция развития популяции, 0 - рыболовецкие усилия артели, измеряемые в

количестве кораблей, участвующих в ловле в период t, s(t) - доля запретной для вылова (заповедной) части водоема и q > 0 - коэффициент возможного вылова на единицу рыболовецких усилий артели. Популяция развивается в соответствии с моделью Ферхюльста

где г - коэффициент внутреннего роста, а К - максимальная емкость природного объекта.

Выигрыш игрока определяется следующим образом:

т

J = g(x(T))+J e-^[n(qiS(t),x(t),E(t))-qE(t)(l-S(t))x(t)-c0E(t)}dt, о

где р - коэффициент дисконтирования, с0 - затраты на вылов для одного судна и П - функция цены, определенная как

П(д, s(t), x(t), E(i)) =р- kqE(t)( 1 - s(i})z(i), p, к > 0

или

т

J = д(х(Т))+j[-±aE2(t)(l-s(t))2x\t)+bE(t)(l-s(t))x(t)-cE{t)]dt, о

где

Функция д[х) описывает будущий доход от эксплуатации запасов в конечный момент времени

Оптимальное решение задачи

max(J(£(f))),

(2 4)

где x(t) определяется из (2.3) v ' '

найдено в следующей теореме.

Теорема 2.3. E*(t), x*(t), А(<) такие, что

E4t) = (b-oWW -УМ)-* t0<i<Tt

W а(1 — s(t))2x*(t) ~ ~

x*'{t) = F(x*(t)) - qE*(t)( 1 - s(t))x* (t), 0<i<T, x*(0) = xo, \'(t) = -E*(t){i~s(t)){b-aE*{t)(l-s{t))x*(t))-

- - яЕ-т - «(<))) - m=¿(**cn) -

и выполнены следующие условия:

2с° Зс

X'(i) > хт = „ , b-X{t)q>

pq(l-s(t))' W4-2xm(l-s(i))'

дают решение задачи (2.4)-

В качестве функционалов, определяющих выигрыш центра, рассмотрены следующие:

1. А = - J(x(t)-x(<))2cit,

о

где £(<) - размер популяции, оптимальный для воспроизводства.

2. I2 = -l(U(t)-x(t))4t,

о

3. h = - /1U(t) - x(i)| • а • 1% s(t), x(t), E(t))dt,

о

где U(t) — qE(t)( 1 - s(i))x(t) - вылов игрока в момент времени t, x(t) - уровень потребления, определяемый спросом, 1%s(t),x(t),E(t)) =р- kqE{t)( 1 - s(t))x{t), р,k > 0.

И

Проведено численное моделирование и получены значения выигрышей 3, ¡2 и 1з Среди точек, определяемых данными выигрышами и составляющих оптимальное по Парето множество, найдены оптимальные по Нэшу и Калаи-Смородинскому решения

В разделе 2.2.2. исследованы модели для двух участников, рассмотрен случай кооперации и конфликта Динамика развития рыбной популяции описывается уравнением

*'(«) = *■(*(*)) - + Я2Е2(Щ 1 - *(<))*(<), х(0) = , (2 5)

где > 0 - размер рыбной популяции в период £,(<) > 0, г = 1,2 - рыболовецкие усилия артелей, $(<) - доля заповедной части водоема и > 0, г = 1,2 - коэффициенты возможного вылова, ^(аг) = гж(1 — х/К) - функция развития популяции В этом варианте выигрыш игрока г, г = 1,2 имеет вид

т

Л = ф{Т)) +1 е->'<[П,(9„ 5, х, Е,) ■ я,ЕШ " «(*)М0 " с?Д,(*)]Я,

о

где П,,в(<),«(<),-Б,(*)) =рг — ¿.9,^,(0(1 — «(*))«(*). Д.*. > 0.

Для некоторых /¿ь/^г > 0> Р1 + И2 = 1 оптимальное решение задачи

Г max(fi1J1(EhE2)+li2MEi,E2)),

\ где x(t) определяется из (2 5)

найдено с помощью следующего утверждения. Теорема 2.4. £ï(f), E2(t), х*(<)> -МО такие, что

(2 6)

,U a,(l-S(i))V(i)2 - -

x*'(t) = F(x*(t)) - (qxEKt) + q2E*2(t))(l - s(i))a?*(<).«*(0) = ,

A'(O = - E rt^rwii - «ww. - - «(0)** (0)-

1=1

-A(<)(i"(**(<)) - E î,£:;(t)(l - 5(0)), A(T) = è M*-(T)),

1=1 1=1

и для i= 1,2 выполнены следующие условия: 2с?

V* (i) > Хт = шах{

P.?i(l-«(О)

}, Ь,-»;lK(t)q, >

Зс,

2zm(l-s(<)) '

дают решение задачи (2.6).

В случае конфликта в качестве принципа оптимальности используется равновесие по Нэшу, (Е{{1),^(О)-'

(2.7)

/ MEi(t),E*2(t))>MEi(t),Eт,

\ J2(E{(t),E*2{t)) > J2(E¡(t), E2(t)). Теорема 2.5. E\{t), E^t), x*(t), Ai(t), X2(t) такие, что

,W a,(l -s(í))V(í)2 ' - ~

«"(i) = F(z*(<)) - (<hSÍ(Ü + ?2S2*W)(l " «(*))«*(*), *'(0) = «o,

A J(í) = -E;m-s(t))(bt-a,E;(t)(l-S(t))x*(t))-

- At(t)(F'(x'(t)) - qiE¡№ - s(t)) - q2E*2(W - s(t))),

\,(Т)=д'х(х*(Т)), i = 1,2,

и для i — 1,2 выполнены следующие условия:

x*(t) > xm = raax{

2c,0

Pi?»(l-«(0)

}, b,-\(t)qt>

3c,

2xm(l-s(í))

дают решение задачи (2.7).

В разделе 2.3 исследуются игровые модели с заданной функцией распределения пищи в водоеме при участии одной или двух рыболовецких артелей. Представим водоем как отрезок [0,1]. На нем задана плотность распределения пищи - g(s), s € [0,1]. Согласно закону идеального свободного распределения рыба распределяется пропорционально пище. Обозначим x(t) - объем популяции в период времени t, тогда в данной точке s плотность рыбной популяции будет

В данном разделе центр определяет долю заповедной части водоема, обозначаемую отрезком [а, 6], и вылов ведет рыболовецкая артель на протяжении Т периодов времени. Динамика развития рыбной популяции описывается уравнением

ь

*'(*) = - ?Я(0(1 - У $(«)&)*(<), о < г < Т, ®(0) = Х0, (2.8)

а

Р(ж) = гх(1 — х/К) - функция развития популяции. Выигрыш игрока запишется таким образом:

3 = Цх{Т))+

+ }е-1*[Щд, а, Ъ,хЦ), £(<)) • 9Е(1)( 1 - }д(8)<1з)х{1) - с°Я(*)]Л,

О а

Ь

где П(д, а, Ь, х{1), ЕЦ)) = р- *д£(<)(1 - / д(8Щх{г), р,к>0.

а

Оптимальное решение задачи

Г ша х(7(Я(<))),

\ где х(

с(<) определяется из (2.8)

(2.9)

найдено с помощью следующего утверждения. Теорема 2.6. £*(*), я*(<), А(<) такие, что

(р-д\т1-}д(8Щх'(г)-с

Е*(г) =-г-2-, 0 < * <Т,

а(1- ¡д^ЩЧ*^)2

а

Ь

«*'(*) = ^(г*М)-9Д*(0(1-Уд{вЩх*(Ц, 0 <* <Г, х*(0) = хо,

Третья глава посвящена исследованию моделей, учитывающих

неоднородность структуры популяции и ее распределение в водоеме. В разделе 3.1. рассмотрены модели развития возрастно-структуриро-ванной популяции в водоеме.

Исследована модель, учитывающая существование двух возрастных групп в водоеме, а именно - мальков и взрослых особей. Центр определяет долю заповедной части водоема s, 0 < » < 1. Игрок ведет вылов либо только взрослых особей, либо тех и других на протяжении Т периодоа времени.

Приведем результаты для случая, когда рыболовецкая артель может ловить и мальков, и взрослых рыб, используя различные виды сетей. Динамика развития возрастных групп описывается системой:

х\{1) = ках2Ц) - /?*!(<) - т«!(0 - -

т = «•(*,(*) + /М<))(1 - "(О+^О) - ъ(г)Е№

0<* < т, ®1(0) = х;, Ж2(0) =

2 I

(<))*2(<) (3.1)

где х2^) > 0 - количество взрослых особей в период 1, £].(<) > О численность мальков в момент времени I, ка($) - коэффициент рождаемости, /? - коэффициент перехода мальков во взрослую группу, 7 - коэффициент смертности мальков, г - коэффициент внутреннего роста, К - максимальная емкость природного объекта, q^(t), 92(0 > - коэффициенты возможного вылова мальков и

взрослых особей (доли сетей для двух возрастных видов рыб), q -максимально возможный коэффициент вылова, s(t) - доля запретной для вылова части водоема.

Сделав замену u,-(i) = qi(t)E(t), выигрыш игрока запишем как:

J = 9{xi{T),X2(T)) +/e~pt[IIi(u1(i),s(i),a;i(i))wi(<)(l - s(t))xi(t)+ +П2(«2(0>«(0> ®2(0M0(1 - s{t))x2(t)) - c°E{t)(Ul{t) + u2{t))]dt,

где n,-(tu(<), s{t), Xi(t)) = Pi - кщ{1){ 1 - s{t))xi(t) ,¿ = 1,2. Нас интересует оптимальное решение следующей задачи:

max(7(ui(i),ti2(<))), где xi(t),X2(t) определены из (3.1).

(3.2)

Теорема 3.2. Для того, чтобы «!(<), «2(0> , х2(0> ^1(0> давали решение задачи (3.2), необходимо

,и в(1-«(<))»х?(<)2 ' - - '

»!'(<) = ках*2(1) - /?®н<) - 7*1(0 - «1(0(1 - а(0)*Н0,

х*2'(1) = г(*;ю+Рх*Ш1 - хЖ+рШ) _ иШ -ф))х*2(г),

т = -и\т-шъ1-аи\№-8{1))х*м+

+ («)(/? + 7 + «1(0(1 - «(<))) - - ,

т = -«5(0(1 - в(о)(б2 - а«*а(о(1 - «(0)4(0)-

- Х^ка - Л2(0г(1 + Л2(<)«*2(0(1 - 5(0),

х№ = х°(, А>(Т) = 9'х>(х1(Т),х1(Т)).

В следующих двух разделах этой главы исследованы модели, учитывающие существование трех возрастных групп в водоеме, а именно - молоди, рыб среднего и старшего возрастов. Рыболовецкая артель может ловить рыб последних двух групп. Рассмотрены возможности искусственного и естественного воспроизводства. Приведем

результаты для последнего случая. Динамика развития возрастно-структурированной популяции описывается уравнениями:

где > 0 - численность молоди в момент времени t, X2(t) > О

- количество рыб среднего возраста в период t, Х3(t) > 0 - численность рыб старшего возраста в момент времени t, 12,1з - коэффициенты выхода на нерест, <т2,(Гз - средняя плодовитость, к - коэффициент выживаемости икринок, ai,a2 - коэффициенты перехода в другую возрастную группу, ¡3\ + dxi(i),/?2,/?3 - коэффициенты смертности,

- коэффициенты возможного вылова рыб среднего и старшего возрастов на единицу рыболовецких усилий артели, s(t) - доля запретной для вылова (заповедной) части водоема. Выигрыш игрока имеет следующий вид:

J = д(хг{Т),х2{Т),х3(Т))+

+ /[-|в«1(0(1 - + (OU - «(i))*2(t) - CU2(i)~

- |au§(i)(l - s(t))2xUt) + 6з«з(<)(1 " в(0)*з(<) - cu3{t)]dt,

где a— 2k exp (-pt), с = c° exp {-pi), 6,- = p, exp (-pt), i = 2,3. Найдено решение следующей задачи:

nuK(J(ti2(i),ii3(i))), i34x

где xi(i),x2(t), хз(<) определены из (3.3). * ' '

В разделе 3.2. исследуются игровые модели, учитывающие миграцию, в частности, с квадратичной и линейной функциями выигрыша. Приведем результаты для последнего случая.

Разделим акваторию водоема S на две части: Si И S2, где вылов запрещен и разрешен соответственно, s - доля закрытой территории (s = 5i/5), 0 < s < 1. Между закрытой и открытой частями водоема существует миграционный обмен рыбы с коэффициентом обмена

7 = с1/з, где d - скорость обмена. На 52 вылов ведут две рыболовецкие артели на протяжении Г периодов времени. Динамика развития популяции описывается уравнениями:

где £1(0 > 0 - количество рыбы на закрытой территории в период t, х2(О > 0 - численность рыбы в момент времени t на открытой территории, е - коэффициент естественного роста популяции, 7,- коэффициенты миграции, и(<), и(<) - управления игроков.

Используем следующие функционалы выигрышей игроков:

Л = /0т е-"МЫ*) - Я!)2 + (*2(0 - х2У) + С1К2(<) - Ли(0] Л, 32 = 1оТ е-т'[гп2(Ы0 - ¿О2 + («2(0 - *з)а) + С2^(<) - р2ь(г)] Л ,

(3.6)

где - размер популяции, оптимальный для воспроизводст-

ва, - затраты на вылов, - цена единицы рыбы.

Система дифференциальных уравнений для нахождения оптимальных по Нэшу управлений имеет вид:

' х№) = ех1(г)+Ъ(х2Ц)-х1(1))

4(0 = м2(<) +72(*1(0 - ®а(<)) -~

А'21(0 = -2т2(х,(0 - г,) - А2,(0(£ - 7. ~ Г) -и = 1,2, » # 3 , *,(0) = X?, Ль(Т) = А2,(Т) = 0.

Теорема 3.6. Управления

„(«)_—5—, - (0- 2сз ,

где дополнительные переменные определяются из (3. 7), являются оптимальным по Нэшу решением задачи (3.5)-(3.6).

Система дифференциальных уравнений для нахождения оптимальных по Штакельбергу управлений имеет вид:

' (<) = еап ) + (<) — (г))

= ех2{1) + 72(Ж1(<) - х2(*)) - Щ1Ш _ ЫМЕг Л'ь(*) = -2пц (*,(*) - х,) - А ь(0(г -7,-г)- А + 2тар,(*) А'2,(<) = -2т2(х,(<) - х,) - Л3,(<)(е: - 7» - г) - Х2,(*Ь,

г,; = 1,2, « #^, А,1(Т) = А,2(Г) = 0, х,(0) = х,°, |*,(0) = 0.

(3.8)

Теорема 3.7. Управления

И(<)" 2с1 ' "(<)" 2С2 '

где дополнительные переменные определяются из (3.8), являются оптимальным по Штакельбергу решением задачи (3.5)-(3.6). В случае, когда функционалы выигрышей игроков имеют вид:

Л = /0°° е-'Чгщ((*!(<) - хх)2 + (х2(<) - х2)2) + С1и2(<) - Р1«(*)] Л, ]2 = /0°° е-^[т2((Ж1(0 - хх)2 + (х2(*) - х2)2) + - р2ь(1)) Л,

(3.9)

верны следующие утверждения. Теорема 3.7. Управления

2а2х2 + 62 + ¿XI 2а2х2 +/?2 + ¿2X1 +Р2

И(г) =-2^-' =-2сг-'

являются оптимальным по Нэшу решением задачи (3.5),(3.9). Теорема 3.8. Управления

„, ч _ (2а2х2 + Ь2 + дх!)(2с2 + <т) + 2рю2 и (х} " 4сю2

— ^(Ддз»а+Ьз+а11)(2ез+р)+4е|ез(2аа»з+|9з+<;зД1) , V - ч-

+ (<гр1+2с1р2)/(4с1с2)\

являются оптимальным по Штакельбергу решением задачи (3.5), (3.9).

Все приведенные коэффициенты определены в диссертации.

В четвертой главе проведено моделирование задачи с различными критериями оптимальности и сравнение результатов. Для случая постоянного $(1) проведено сравнений значений размеров заповедной территории, оптимальных по Нэшу, Калаи-Смородинскому, монотонных по области и с равными потерями.

Для непрерывного $ исследован случай функционала . Динамика развития рыбной популяции описывается уравнением

х'(1!) = г(1!)) - qE{t){ 1 - в(«))ас(<), О < * < Т, х(0) = х0 .

Выигрыш игрока имеет вид

(4.1)

1

= д(х(Т))+{,

где 1% «(*), *(*), Я(*)) = р - *?£(<)( 1 - «(<))*(<), Р, * > 0. Функционал, определяющий выигрыш государства имеет вид

т

к = -1ШШ - '(ОМ*) - *(*))3я.

где х(<) - уровень потребления, определяемый спросом.

Доказана следующая теорема, Теорема 4.3. Управления

Со

Со

х*(*)$(р-А2(*)-2Н)

являются оптимальными по Нэшу и Штакельбергу решениями. При этом х*(<), Аг(2) удовлетворяют системе

' аг*'(0 = г**(<)(1 - - х Ш = - 2М) - А2(0(г - - ^ - р)

**(0) = хо, \2(Т)=д'х(х*(Т)УТ.

В разделе 4.2. приведены примеры моделирования динамики развития популяций озер Карелии, а именно лосося в Онежском озере и сига в оз. Сямозеро.

На рис. 1, 2 приведены примеры численного моделирования для популяции сига при исследовании моделей, учитывающих возрастную структуру популяции и миграцию.

Рис. 1: Возрастно-

структурированная популяция (1 - молодь, 2,3 - рыбы среднего и старшего возраста)

Рис. 2: Популяция с миграцией (1-охраняемая (заповедная) зона, 2 - зона, где вылов разрешен)

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи

1. Мазалов В.В., Реттиева А.Н. Об одной задаче управления популяцией. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, 9, вып.2, с. 293-306.

2. Mazalov V.V., Rettieva A.N. On a reserved territory approach for a resource management problem. // Proceedings of the Tenth International Symposium on Dynamic Games and Applications, 2002, 2, p. 575-578.

3. Mazalov V.V., Rettieva A.N. Reserved territory approach for a management problem with distributed resource. // Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2002 Satellite Conference on GTA, 2002, p. 493-499.

4. Mazalov V.V., Rettieva A.N. A fishery game model with age distributed population: reserved territory approach. // Game Theory and Applications, 2003, 9, p. 56-72.

5. Mazalov V.V., Rettieva A.N. A fishery game model with migration: reserved territory approach. // Game Theory and Applications, 2004,10, p. 97-108.

6. Реттиева А.Н. Принципы оптимальности в задаче природопользования. // Труды Института прикл. матем. исслед. КарНЦ РАН, 2004, 5, с.63-78.

Тезисы докладов

1. Реттиева А.Н. Методы динамических игр в задачах природопользования. // Тезисы докладов Всероссийской научной школы по математической экологии, Петрозаводск, 2001, с. 169.

2. Реттиева А.Н. Модель динамической игры управления биоресурсами, учитывающая возрастную структуру популяции. // Обозр. прикл. и пром. мат-ки, 2003,10, в.1, с. 209-210.

3. Реттиева А.Н. Модели динамической игры управления биоресурсами, учитывающие миграцию. // Обозрение прикл. и пром. матки, 2003,10, в.2, с. 420-421.

4. Реттиева А.Н. Сравнение принципов оптимальности в линейной модели динамической игры управления биоресурсами, учитывающей миграцию. // Обозрение прикл. и пром. мат-ки, 2004, 11, в.З, с.580— 581.

Изд. лиц. № 00041 от 30.08.99. Подписано в печать 29.10.04. Формат 60x84Vi6. Бумага офсетная. Гарнитура «Times». Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Изд. № 67. Заказ № 448

Карельский научный центр РАН 185003, Петрозаводск, пр. А. Невского, 50 Редакционно-издательский отдел

122052

РНБ Русский фонд

2005-4 20986

Глава 1. Основные методы исследования игровых задач управления биоресурсами

1.1. Модель с конечным временем

1.1.1. Решение оптимальное по Нэшу

1.1.2. Решение оптимальное по Штакельбергу

1.2. Модель с бесконечным временем

1.2.1. Решение оптимальное по Нэшу

1.2.2. Решение оптимальное по Штакельбергу

Глава 2. Теоретико-игровые модели управления биологической

2.1. Модели управления биоресурсами с линейной функцией выигрыша

2.1.1. Дискретная модель

2.1.2. Непрерывная модель

2.2. Игровые модели в случае равномерного распределения

2.2.1. Игровая модель для одного участника

2.2.2. Игровая модель для двух участников

2.2.2.1. Случай кооперации

2.2.2.2, Случай конфликта

2.3. Игровые модели с функцией распределения пищи в водоеме

2.3.1. Модель для одного участника

2.3.2. Модель для двух участников ?

Глава 3. Модели, учитывающие неоднородность структуры популяции и ее распределения в водоеме

3.1. Игровые модели развития возрастно-структурированной популяции в водоеме

3.1.1. Модель с выловом одной возрастной группы

3.1.2. Модель с двумя возрастными группами ;

3.1.3. Модель с тремя возрастными группами и искусственным воспроизводством

3.1.4. Модель с тремя возрастными группами и естественным воспроизводством

3.2. Игровые модели, учитывающие миграцию

3.2.1. Модель с квадратичной функцией развития

3.2.2. Модель с линейной функцией развития

3.2.2.1. Решение оптимальное по Кэшу

3.2.2.2. Решение оптимальное по Штакельбергу

3.2.3. Модель с бесконечным временем

3.2.3.1. Решение оптимальное по Нэшу

3.2.3.2. Решение оптимальное по Штакельбергу

Глава 4. Моделирование задачи с различными критериями оптимальности и сравнение результатов

4.1. Сравнение различных критериев оптимальности

4.1.1. Случай постоянного s

4.1.2, Случай непрерывного s(t). Модель развития популяции с функционалом /

4.1.2.1. Решение оптимальное по Нэшу

4.1.2.2. Решение оптимальное по Штакельбергу

4.2. Примеры моделирования динамики развития популяций озер Карелии

4.2.1. Модель однородной популяции

4.2.2. Модель с возрастной структурой и произвольным распределением

4.2.3. Модель с миграцией

4.2.4. Модель с миграцией между районами

Специальность 01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф-м.н., профессор Мазалов В.В.

Петрозаводск 2004

Содержание:

Введение.5

Заключение

Повседневная практика ведения рыбного хозяйства постоянно выдвигает задачи, требующие оперативного разрешения. К таким относятся задачи прогнозирования, определения оптимальных характеристик промысла, величины возможного вылова и др. Необходимость решения подобных задач заставляет строить простые, доступные модели, позволяющие реализовать численные эксперименты на ЭВМ. Диссертационная работа посвящена именно такой актуальной задаче управления биоресурсами.

Главные результаты работы:

1. На основе методов динамических игр разработаны модели управления биоресурсами с введением охраняемой территории.

2. Исследована теоретико-игровая модель развития биологической популяции, подверженной эксплуатации двумя игроками. Используя принцип максимума Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, найдены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу решения в задаче с конечным и бесконечным промежутком планирования. Предложена схема устранения возникающих отрицательных значений управлений.

3. Исследована теоретико-игровая модель динамики развития рыбной популяции для случая равномерного распределения рыбы в водоеме. В игре участвуют государство (центр) и один или два игрока (рыболовецкие артели). Перед центром поставлена задача выбора оптимальной доли заповедной территории для поддержания стабильного развития популяции в водоеме в долгосрочной перспективе и определение возможного вылова, достаточного для удовлетворения спроса.

4. Построены оптимальные управления в задаче управления популяцией при заданной функции распределения пищи в водоеме для случаев участия одной или двух рыболовецких артелей.

5. Построены и исследованы теоретико-игровые модели динамики развития рыбной популяции, учитывающие возрастную структуру популяции, а именно модели с двумя и тремя возрастными группами.

6. Для моделей, учитывающих миграцию особей, построены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу управления, проведено сравнение выигрышей игроков.

7. Для всех построенных моделей получены оптимальные значения параметров задачи, а именно количество кораблей, участвующих в ловле, численность популяции и др. Проведено численное моделирование для различных параметров задачи, а именно различной начальной численности популяции, различной доли заповедной территории и др. Для различной доли заповедной территории получены значения выигрышей игроков и государства.

8. Проведено моделирование задачи с различными критериями оптимальности в моделях с постоянной и непрерывной долей заповедной территории. Проведено сравнение полученных решений.

9. Исследованы различные сценарии динамики развития популяций озер Карелии, а именно популяции лосося в Онежском озере и сига в озере Сямозеро. Проведенное моделирование показало возможность применения подхода с введение заповедной территории как для стабильно развивающихся, так и для регрессирующих популяций.

1. Абакумов А.И., Кольев Н.В., Максименко В.П., Горр С.В. Матричный метод оценки запаса и прогнозирования вылова популяций морских организмов. // Вопросы ихтиологии, 1994, т. 34, № 3, с. 400-407.

2. Абакумов А.И. Модельный анализ оптимальных режимов эксплуатации популяций. // Управление и оптимизация, Владивосток, ДВО РАН, 1991, с. 3-16.

3. Абакумов А.И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. Владивосток, Дальнаука, 1993, 129 с.

4. Абакумов А.И. Оптимальный сбор урожая в моделях популяций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: "ТВП", 1994, том 1, вып. 6, с. 834-849.

5. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М. Наука, 1985, 181 с.

6. Батурин В.А., Скитневский Д.М., Черкашин А.К. Планирование и прогнозирование природно-экономических систем. Новосибирск: Наука, 1984, 169 с.

7. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997, 174 с.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960, 356 с.

9. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория управления. Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит., 1969, 118 с.

10. И. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов кибернетиков. JL, 1973, 160 с.

11. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М., 1982, 144 с.

12. Гурман В.И., Дружинина И.П. Модели природных систем, Новосибирск, Наука, 1978, 222 с.

13. Захаров В.В., Петросян А.А. Теоретико-игровой подход к проблеме окружающей среды. // Вестн.Ленингр.ун-та., вып.1, №1, с. 26-32.

14. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., 1982, 286 с.

15. Ильичев В.Г., Рохлин Д.Б., Угольницкий Г.А. Об экономических механизмах управления биоресурсами. // Известия академии наук: Теория и системы управления, 2000, вып. 4, с. 104-110.

16. Крискунов Е.А., Теория динамики промыслового стада рыб, Изд-во Московского университета, 1991, 180 с.

17. Мазалов В.В., Реттиева А.Н. Об одной задаче управления популяцией. // Обозрение прикладной и промышленной математики, ТВП, Москва, 2002, том. 9, вып.2, с. 293-306.

18. Мазалов В.В., Реттиева А.Н. Методы динамических игр в задаче определения оптимальной заповедной зоны. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004, 15 стр. (в печати).

19. Оуэн Г. Теория игр, М, 1973. 230 с.

20. Пасеков В.П. Об эволюционной максимизации численности генетически неоднородной популяции. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: "ТВП", 1994, том 1, вып. 6, с. 901-916.

21. Петросян А.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии, изд-во СПГУ, 1997, 253 с.

22. Петросян А.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Изд-во Ленингр. ун-та, 1986, 253 с.

23. Петросян А.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. Москва, 1998, 300 с.

24. Петросян А.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. J1., 1982, 252 с.

25. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, Изд.3-е, 1976, 392 с.

26. Потапова О.И., Соколова В.А. Сямозеро и перспективы его рыбохозяй-ственного использования. Петрозаводск, 1977, 265 с.

27. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М., 1983, 184 с.

28. Реттиева А.Н. Методы динамических игр в задачах природопользования. // Тезисы докладов Всероссийской научной школы по математической экологии, Петрозаводск, 2001, с. 169.

29. Реттиева А.Н. Модель динамической игры управления биоресурсами, учитывающая возрастную структуру популяции. // Обозр. прикл. и пром. мат-ки, ТВП, Москва, 2003, том. 10, вып.1, с. 209-210.

30. Реттиева А.Н. Модели динамической игры управления биоресурсами, учитывающие миграцию. // Обозрение прикл. и пром. мат-ки, ТВП, Москва, 2003, том. 10, вып.2, с. 420-421.

31. Реттиева А.Н. Сравнение принципов оптимальности в линейной модели динамической игры управления биоресурсами, учитывающей миграцию. // Обозрение прикл. и пром. мат-ки, ТВП, Москва, 2004, том. 11, вып.З, с. 580-581.

32. Реттиева А.Н., Принципы оптимальности в задаче природопользования. Труды ИПМИ, Методы мат. моделирования и информационные технологии, 2004, вып.5, Петрозаводск, с. 69-84.

33. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. М. Наука, 1972, 160 с.

34. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., 1978, 352 с.

35. Свирежев Ю.М., Тимофеев Н.Н. О регулировании численности популяции с возрастной структурой. // Журн. общ. биол., 1980, вып. 2, с. 200-209.

36. Стерлигова О.П., Павлов В.Н., Ильмаст Н.В., Павловский С.А., Кому-лайнен С.Ф., Кучко Я.А. Экосистема Сямозера (биологический режим, использование). Петрозаводск, 2002, 119 с.

37. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М. Наука, 1979, 165 с.

38. Титова В.Ф. Многотычинковый сиг Сямозера. (Морфология, биология, перспективы использования). Петрозаводск: Карелия, 1973, 98 с.

39. Фурсова П.В., Левич А.П., Алексеев B.JI. Экстремальные принципы в математической биологии. // Успехи современной биологии, 2003, т. 123, вып. 2, с. 115-137.

40. Ханин М.А. Математическая биология развития. М: Наука, 1978, 256 с.

41. Шапиро А.П. Моделирование биологических сообществ. Владивосток, 1975, 170 с.

42. Basar Т., Olsder G.J. Dynamic noncooperative game theory. Academic Press, New York, 1982, 515 pp.

43. Baturin V.A, Nie Y.Y., Urbanovich D.E. The mathematical models and methods of optimal control. Chinease A.S., 2000, 130 pp.

44. Binmore K., Rubinstein A., Wolinsky A. The Nash bargaining solution in economic nodelling. // Rand Journal of Economics, 1986, v. 17, p. 176188.

45. Clark C.W. Bioeconomic modelling and fisheries management. New York: Wiley, 1985, 320 pp.

46. Chaudhuri K. A bioeconomic model of harvesting a multispecies fishery. // Ecological Modelling, 1986, v. 32, p. 267-279.

47. Ehtamo H., Hamalainen R.P. A cooperative incentive equilibrium for a resource management problem. // J. of Economic Dynamics and Control,1993, v.17, p. 659-678.

48. Fisher R.D., Mirman L.J. Strategic dynamic interactions: fish wars. //J. Economics Dynamics Control, 1992, v. 16, p. 267-287.

49. Goh B.S. Management and analysis of biological populations. Agricultural and Managed-Forest Ecology, 8, Elsevier, Amsterdam, 288 pp.

50. HamalainenR.P., KaitalaV., Haurie A. Bargaining on whales: A differential game model with Pareto optimal equilibria. // Oper. Res. Letters, 1984, v. 3, no. 1, p. 5-11.

51. Haurie A., Tolwinski B. Acceptable equilibria in dynamic games. // Large Scale Systems, 1984, v. 6, p. 73-89.

52. Kalai E., Smorodinsky M., Other solutions to Nash's bargaining problem. // Econometrica, vol.43, no. 3, 1975, p. 513-518.

53. Mazalov V.V., Rettieva A.N. Reserved territory approach for a management problem with distributed resource. Proceedings of the international congress of mathematicians 2002 Satellite Conference on GTA, Qingdao, China,2002, p. 493-499.

54. Mazalov V.V., Rettieva A.N. On a reserved territory approach for a resource managemant problem. Proceedings of the Tenth International Symposium on Dynamic Games and Applications, vol.2, St.Peterburg, 2002, p. 575578.

55. Mazalov V.V., Rettieva A.N. A fishery game model with age distributed population: reserved territory approach. // Game Theory and Applications,2003, vol.9, Nova Science Publisher, Inc, p. 56-72.

56. Mazalov V.V., Rettieva A.N. A fishery game model with migration: reserved territory approach. // Game Theory and Applications, 2004, vol.10, Nova Science Publisher, Inc., p. 97-108.

57. Milinski M. Competitive resource sharing: an experimental test of a learning rule for ESSs. // Anim. Behav., 1984, v. 32, p. 233-242.

58. Moody A.L., Houston A.I., McNamara J.M. Ideal free distribution. // Ecol. Sociobiol., 1996, v. 38, p. 131-143.

59. Nash J.F. Non-cooperative games.// Ann.Math., 1951, v. 54, p. 289-295.

60. Parker S.A., Sutherland W.J. Ideal free distributions when individuals differ in competitive ability: phenotype-limited ideal free models. // Anim. Behav., 1986, v. 34, p. 1222-1242.

61. Rubinstein A. Perfect equilibrium in a bargaining model. // Econometrica, 1982, v. 50, p. 97-110.

62. Silvert W, Smith W.R. Optimal exploitation of multispecies community. // Math. Biosci., 1977, v. 33, p. 121-134.

63. Sutherland W.J. Aggregation and the 'Ideal Free Distribution'. // J. Anim. Ecol., 1983, v. 52, p. 821-828.

64. Tolwinski В., Haurie A., Leitmann G. Cooperative equilibria in differential games. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1986, v. 119, p. 182-202.