Теоретико-игровые модели экологического регулирования

Козловская, Надежда Владимировна

Теоретико-игровые модели экологического регулирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Козловская, Надежда Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Теоретико-игровые модели экологического регулирования»

Автореферат диссертации на тему "Теоретико-игровые модели экологического регулирования"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПК,

4845929

Козловская Надежда Владимировна

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Санкт-Петербург - 2011

4845929

Работа выполнена на кафедре математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный кандидат физико-математических паук,

руководитель: доцент

Зенкевич Николай Анатольевич.

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор

Захаров Виктор Васильевич.

кандидат физико-математических паук, Реттиева Анна Николаевна.

Ведущая организация:

Защита состоится « ^

Московский государственный университет им. Ломоносова.

2011 г. в

Лй4>

часов на заседании

совета Д.212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В. О., Средний пр., д. 41/43, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ им. М. Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан »_2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Ногин В.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Дифференциальные игры представляют собой бурно развивающийся раздел теории игр, поскольку с их помощью возможно моделирование конфликтно-управляемых процессов в социально-экономической сфере, менеджменте, политике, экологии, биологии. Диссертационная работа посвящена исследованию динамических теоретико-игровых моделей экологического регулирования. Научный подход к задачам управления охраной окружающей среды осуществлялся представителями естественных наук. В последние десятилетия XX в. начались экономико-математические исследования данной проблематики, значительно активизировавшиеся в XXI в. В условиях глобализации экономики наблюдается недостаточная эффективность рыночного механизма применительно к управлению ресурсами общего пользования, таким как вода и воздух. Несмотря на то, что экологическое регулирование является сложной системой инструментов управления, которая включает различные рычаги, стимулы, стандарты и нормативы, большинство известных механизмов неэффективно в силу специфичности области применения объекта исследования. Поэтому актуальными являются исследования по способам регулирования хозяйственной деятельности для улучшения экологического состояния среды.

В данной работе рассматривается процесс регулирования выбросов вредных веществ в атмосферу с учетом поведения заинтересованных сторон, который моделируется в рамках современной теории кооперативных дифференциальных игр. Кооперативная теория игр содержит инструментарий, который предполагает справедливое распределение общего выигрыша (общих затрат) и отражает стратегическую силу игроков - участников соглашения. Отмеченные обстоятельства обосновывают актуальность выбранной темы исследования.

Объектом исследования является класс теоретико-игровых моделей экологического регулирования, а предметом исследования - аналитические решения моделей, их формулировки, подходы и методы поиска решения.

Цель диссертационной работы. Построение динамических теоретико-игровых моделей экологического регулирования, их исследование методами теории кооперативных дифференциальных игр и нахождение устойчивых решений при долгосрочной кооперации.

Научная новизна. В диссертационной работе рассмотрен новый класс кооперативных дифференциальных игр экологического регулирования. Найдены устойчивые решения рассматриваемых кооперативных дифференциальных игр в форме динамического вектора Шепли и -РМй'-вектора в явном виде и исследованы их свойства. В диссертационной работе впервые построено коалиционное решение дифференциальной игры для модели исследуемого класса.

Практическую значимость диссертационного исследования представляют найденные в явном виде устойчивые решения моделей экологического регулирования.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Сведение построения характеристической функции для класса кооперативных дифференциальных игр экологического регулирования к уравнению в частных производных и нахождение его решения (теорема 1).

2. Доказательство свойства субаддитивности характеристической функции в игре сокращения вредных выбросов (теоремы 2, 4) и построение устойчивого вектора Шепли в явном виде (теорема 3).

3. Достаточное условие супераддитивности характеристической функции в игре устойчивой кооперации (теоремы 6, 8) и построение устойчивого вектора Шепли в явном виде (теорема 7).

4. Построение устойчивого коалиционного решения в форме РМ5-вектора для класса кооперативных дифференциальных игр экологического регулирования (теоремы 5, 9).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция «Теория игр и менеджмент» 2007-2010 (Санкт-Петербург, 2007-2010); на 13-м Международном симпозиуме «International Symposium on Dynamic Games and Applications» (Вроцлав, 2008); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008); на Международном конгрессе по нелинейному динамическому анализу, посвященному 150-летию A.M. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007); на российско-финской летней школе «Динамические игры и многокритериальная оптимизация» (Петрозаводск, 2006); на XXXVII-XLI научных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006—2010); на международном симпозиуме «Computational Economics and Financial and Industrial Systems» (Стамбул, 2007), на третьем Международном конгрессе сообщества теории игр «Games 2008» (Чикаго, 2008); на семинаре кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики -процессов управления СПбГУ.

Публикации работы. По материалам диссертации опубликована 21 работа, 2 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК, и 3 статьи - в международных рецензируемых журналах .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и библиографии. Общий объем диссертации 144 страниц, включая 20 рисунков и 1 таблицу. Библиография включает 96 наименований на 12 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе диссертационного исследования рассмотрена модель сокращения вредных выбросов в общей постановке. В параграфе 1.1 приведена постановка кооперативной дифференциальной игры экологического регулирования. В игре принимают участие п игроков (предприятий, регионов, стран или др. экономических субъектов), производящих некоторые товары. Обозначим множество игроков через I = {1,2,..., п}.

Обозначим также через = (¡, {{) > 0 объем производства игрока г в момент времени Цена товара, производимого игроком г, в каждый момент времени Ь имеет вид:

= тах{а; - 0},

¿е/

где q(í) = (<71(<),... Щ >0, Щ > 0 - параметры. Товары могут быть

взаимо-заменяемыми. Если 0{ = а^ и Щ = Щ при всех г, ] € I, то получаем однородный товар. Если же Ц = 0, гф j, игроки производят неоднородный независимый товар.

Доход игрока г определяется следующим образом

где = (£),...,Предполагается, что производственная де-

ятельность каждого игрока ухудшает состояние окружающей среды. Игра начинается в момент времени ¿о из начального состояния во, где во ~~ это объем загрязнения в момент Ьо, и имеет неограниченную продолжительность.

Обозначим через e¿(gj(í)) - выбросы в атмосферу игрока г в момент времени t. Выбросы линейно зависят от объема производства игрока i :

e¡(<7¡(¿)) = «i9i(0. a¡>0 ,iEl,

a¡ > 0, i € / - параметры, определяющие степень влияния производства игроков на загрязнение. Обозначим через s = s(t) - общее загрязнение к моменту í. Динамика накопления загрязнения определяется дифференциальным уравнением:

*=1 (1)

s(t<¡) = So,

где f{s(t)) - непрерывно дифференцируемая по s функция, характеризующая природное поглощение загрязнения, с ограниченной частной производной по s. Будем полагать, что в каждый момент времени t 6 [í0, оо) игрок знает начальный момент времени ta, начальное состояние игры So, момент времени t и состояние игры s(t) в момент времени t. Рассматриваются позиционные стратегии вида:

q¡(t) = (¡>i(s0, s(t), t), t e [í0; +oo), i € I.

В каждый момент времени t каждый игрок несет издержки. Будем разделять два типа издержек: Ci{qi{t)) - функция издержек, зависящая от объема производства игрока г, вида:

CiM0) = 4?i(*) + 49¡(0 + 4> 4>о, i ei.

и Di(s(t)) - издержки игрока г, зависящие от объема загрязнения s(í), где Di(s(t)) - непрерывно дифференцируемые по s функции.

Каждый игрок стремится максимизировать свою общую прибыль П,-, дисконтированную на начальный момент to, где:

ос

П;(*Ь to', q) = j e-^Wq) - Qfe) - A(s(i))R

«o

при динамических ограничениях (1), где q = q(i) = (qi(t),q2(t), ■.. ,qn(t)), t > t{), () < p < \ - ставка дисконтирования.

В параграфе 1.2 приведен алгоритм построения характеристической функции в кооперативной дифференциальной игре, используемый в работе. Особенность построения характеристической функции состоит в том, что когда ищется значение характеристической функции для коалиции К, то стратегии игроков, вошедших в коалицию К, представляют собой наилучший ответ на фиксированное равновесие по Нэгау в исходной игре. Выбранный подход не гарантирует выполнения условия супераддитивности построенной таким образом характеристической функции.

В параграфе 1.3 подробно рассмотрено вычисление значения характеристической функции для максимальной коалиции. Особенность подхода заключается в том, что сначала ищется соответствующее значение для игры с конечной продолжительностью. Решение задачи оптимального управления с конечными пределами интегрирования to,T удовлетворяет уравнению Га-мильтона-Якоби-Беллмана (уравнению в частных производных с заданными граничными условиями), которое методом характеристик сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой дает функцию Беллмана W(s, t;T) и стратегии игроков. Функция V(s,t,I) = W(s,t) получается предельным переходом ^(s,^) = lim W(s,t;T). Основной ре-

Х-»+оо

зультат главы сформулирован в теореме.

Теорема 1. Уравнение

„, dW fdW\2 d\V dW n

где ах,а2,аз,а4,р E R,a\ ф 0, a\ ^ p, а\ф W = W(s,t;T), с граничными условиями W(s, T; T) = 0 имеет единственное решение на промежутке [¿о, 71], равное

t, Т) = s-^- (1 - _

р-аъ\ )

__Q2Q4 с-2(Р-а.,НГ-<) f 2а2«4 + +

(р - а3)2(р - 2а3) р - а3\а3(р - а3) а3/

| Д4 / 2а2а4 а \ e-p(T-t) + QiQ4 + а2«4

р-а3\р-2а3 V р(р-а3) р(р-а3)2'

Следствие. Решение уравнения типа (2) без граничных условий имеет вид

W(s) = As + В,

где

^ _ а4 ^ _ Q1Q4 Q2«4

p-a3' p(p-a3) p(p-a3)2'

В параграфе 1.4 ищется равновесие по Нэшу, а в параграфе 1.5 - значение характеристической функции для произвольной коалиции. В параграфе 1.6 вводится понятие коалиционного решения дифференциальной игры и приводится алгоритм его построения.

Предполагается, что кооперация игроков в максимальную коалицию невозможна, но игроки могут объединяться в рамках коалиций из некоторого заданного коалиционного разбиения.

Определим игру Fy(s, t) с коалиционной структурой, где Д - фиксированное коалиционное разбиение множества игроков I: Д = (5\, 5г, ■ • •, Sm), М = {1,2,..., т} - множество индексов разбиения, а V&(L, s) - характеристическая функция коалиционной игры, которая имеет вид

Va{L,S) = Vs*(L,S), Lcskcl. 9

где VSk(L,s) - характеристическая функция кооперативной игры If (а, О-Игра Гу (s, t) разыгрывается следующим образом: равновесный выигрыш каждой коалиции разбиения Д делится между игроками коалиции в соответствии с выбранным дележом. Результаты построения коалиционного решения могут быть представлены в виде следующего алгоритма.

Алгоритм построения коалиционного решения

Шаг 1. Нахождение равновесия по Нэшу в игре коалиций Гд (s, t). Не умаляя общности, можно считать, что коалиции Sk действуют как отдельные игроки. Каждый игрок г, г € Sk стремится максимизировать сумму выигрышей всех игроков входящих в Sk-

Тогда на первом шаге вычисляем равновесие по Нэшу в игре коалиций, решая систему

max s,t), к€М

с динамическими ограничениями (1). Результатом оптимизации являются стратегии г € I, коалиционная траектория sA(t), t > tо и равновесный выигрыш коалиции VA(Sk,s,t), к G М .

Шаг 2. Определена кооперативная играГ^'(в, i). Построение характеристической функции VSk(L,s,t), кеМ игры Ty(s,t), к £ М и вектора Шепли ShSk(s,i). Величина VA{Sk,s,t) = VSk{Sk,s,t), к е М представляет максимальный кооперативный выигрыш в игреГ^ (s, t)

Шаг 3. Определение коалиционной игры t). Построение устойчивого PMS-вектора1: PMS(e.i) = (PMS1(s,t),PMS2(s,t),...,PMSn{s,t)),

1 Pctrosyan L., Mamkina S. Dynamic games with coalitional structures // International Game Theory Review. - 2006. - Vol. 8. - No.2. - P. 295-307.

PMSi(s, t) = Shfk(s, t),

где ShSt(s, t) - вектор Шепли в игре t).

Во второй главе рассмотрена базовая модель сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу, впервые предложенная JI.A. Петросяном и Г. Заккуром (2003)2. В параграфе 2.1 описана постановка игровой задачи, которая отличается от базовой модели1 асимметричностью функций издержек игроков. Здесь I - множество игроков. Введем следующие обозначения: - это издержки на природоохранные мероприятия, которые несет игрок г, если он снижает выбросы до некоторого допустимого уровня е¿:

Ci(ef) = - ё()2, 0 < е,- < ёи 7 > 0.

Пусть Di(s(t)) - это издержки возмещения ущерба от загрязнения:

Di(s(t)) = 7TjS(i), щ > 0.

Динамика имеет вид

s(t) = -

(3)

s{to) = SQ,

где 5 - коэффициент, характеризующий долю поглощенного загрязнения^ = e;(s) - управляющий параметр игрока г.

Каждый игрок стремится минимизировать суммарные издержки уменьшения выбросов и возмещения убытков. Таким образом, потери игроков имеют следующий вид:

Ki(s0,t0,e)

e-rt-^iCiied + Diismdt, (4)

2 Petrosyan L., Zaccour G. Time-consistent Shapley value allocation of pollution cost reduction // Journal of Economic Dynamics and Control. - 2003. - No. 27. - P. 381-398.

где е = е(з) = (61(5),... ,еп(в)) является ситуацией в игре, ар- ставка дисконтирования. Обозначим кооперативную игру (3)-(4) через Г^во,¿о)-

В работе Петросяна и Заккура (2003) построена характеристическая функция и найден вектор Шепли, который совпадает с эгалитарным решением. В данном случае это уже не так. В параграфе 2.2 строится характеристическая функция в соответствии с методикой, предложенной в первой главе с использованием теоремы 1.

Получаем характеристическую функцию в явном виде:

= + (5)

где

Доказана теорема о субаддитивности характеристической функции, т.е. У(КиЬ,з)<У(К,8) + У(Ь,з), Ш,Ье1, = Уз. (6)

Теорема 2. Характеристическая функция (5) удовлетворяет свойству субаддитивности (6).

В параграфе 2.3 построен в явном виде динамический вектор Шепли. Теорема 3. Компоненты вектора Шепли для игры имеют вид

= + (7)

где

Важнейшим свойством, которым должно обладать любое соглашение -это свойство устойчивости. Используемая концепция устойчивости кооперативного решения восходит к работе JI.A. Петросяна и Н.А.Зенкевича (2009)3, где выделены три свойства устойчивой кооперации: динамическая устойчивость (состоятельность во времени), стратегическая устойчивость и устойчивость против иррационального поведения. Впервые понятие динамической устойчивости было введено JI.A. Петросяном (1977) в работе4. Содержательно это свойство означает, что кооперативное решение является динамически устойчивым, если оно обладает свойством: в каждый момент времени при движении вдоль оптимальной траектории игроки придерживаются заранее выбранного принципа оптимальности. Кооперативное решение является стратегически устойчивым в том случае, если индивидуальные отклонения игроков от кооперативной траектории оказываются не выгодны, т.е. существует равновесие по Нэшу, которое осутцествляет поддержку данного кооперативного решения. Устойчивость от иррационального поведения должна рассматриваться, поскольку нет уверенности в том, что все участники кооперации будут вести себя рационально на всем продолжительном промежутке реализации кооперативного соглашения. Игроки должны быть уверены, что даже в случае реализации наихудшего сценария (например, аннулирования кооперативного соглашения) их выигрыш будет не меньше, чем при изначальном некооперативном поведении. В диссертационном исследовании под устойчивым решением понимается динамически-устойчивое решение, удовлетворяющее условию Янга (Д.В.К. Янг (2006))5.

3 Петросян Л.А., Зенкевич НА. Принципы устойчивой кооперации // ДГат. теория игр и сё приложения. - 2009. - Т 1. Вып. 1. - С. 102-117.

4 Петросян Л. А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вести. Лсниигр. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, Астрономия. - 1977. - J№ 19. - С. 46-52.

5 Ycung D. W. К. An irrational - behavior - proofhess condition in cooperative differential games // Intern. Game Theory Rew. - 2006. - Vol. 8. - P. 739-744.

В параграфе 2.4 диссертации исследована устойчивость построенного вектора Шепли.

Динамически-устойчивая процедура распределения вектора Шепли (7) имеет вид:

№

где

е( = ё{- -Л/

- оптимальный объем выбросов,

= (<■■-К|>"*К|>~?4

- оптимальная траектория.

Условие Янга для задачи минимизации издержек с дисконтированием примет вид

50) > + е-*т-*°>&(т)(1т, I е [¿о, +оо). (8)

Утверждение 1. Вектор Шепли (7) удовлетворяет условию Янга (8).

В параграфе 2.5 строится коалиционное решение модели в форме РМБ -вектора, который также является устойчивым.

Построена характеристическая функция для игры Тук(з(Ь),Ь), к £ М, которая определяется формулой

У*{Ь,а) = ±и + ~е- £ 'А (9)

Р \ ,-=1 ¿Фк 1 1 11 >

Теорема 4. Характеристическая функция (9) удовлетворяет свойству субаддитивности (С).

Теорема 5. Компоненты РЛ/5-вектора для игры Г0(б'; ¿) имеют вид

РМБ^^Аз + В™3, (10)

где

Л т

Динамически устойчивая процедуру распределения РМБ-всктора:

АСО = + ¡-(¡А%. - ^А>А3к - + I 2 Л]),

где г е йд- и «л(<) задастся формулой

1 т л т

Л*) = (* - ![е-- £+ •

1=1 ¡=1

Утверждение 2. РЛ/5-вектор (10) удовлетворяет условию Янга (8).

В третьей главе диссертационного исследования рассмотрена теоретико-игровая модель устойчивой кооперации. Во второй главе диссертации рассматривалась модель без учета дохода игроков, а тем самым и их прибыли. В третьей главе исследована проблема кооперативного социально- ответственного соглашения, когда предприятия добровольно принимают решения о дополнительном регулировании, в результате которого они существенно снижают объемы выбросов по сравнению с законодательно допустимым уровнем.

Предположим, что на региональном рынке п предприятий (игроков) производят однородный товар.

Обозначим как и ранее qi = ^¡(в^)) - объем выпуска предприятия г в момент времени Будем предполагать, что цена товара р = р(ц), где q = (91,72) • • •! Чп) в каждый момент времени < имеет вид:

р(ч) = 15

где а > О, Ъ > О - параметры, Q общий объем выпуска продукции.

Здесь функция цены р(q) является функцией обратной функции спроса:

а - p(q)

Производственные издержки предприятий предполагаются линейными:

C¿(<J¡) = cqi, с > 0, i е I.

Игра начинается в момент времени to из начального состояния so, где so ~ это объем загрязнения в момент tо, и имеет неограниченную продолжительность. Обозначим через e¿(g¿) - выбросы предприятия i при объеме производства g¡. Предполагается, что выбросы линейно зависят от объема производства предприятия i:

ei(<2í) = Щи > 0.

Под параметром e¿ будем понимать норматив допустимого воздействия на окружающую среду, а именно показатель ПДВ (предельно допустимый выброс), определяющий максимально разрешенный уровень выбросов для предприятия i :

О < e¡(g¿) < e¿.

Обозначим через s = s(t) - общее загрязнение к моменту í. Предполагается, что динамика накопления загрязнения определяется дифференциальным уравнением:

п к=1

s{to) = So,

где ó - коэффициент, определяющий долю природно поглощенного загрязнения, а > 0 - параметр. Кроме производственных издержек для каждого предприятия будем рассматривать ещё два типа издержек, не связанных с

основной деятельностью: издержки на природоохранные мероприятия и издержки на возмещение ущерба от загрязнения. Будем считать, что издержки на природоохранные мероприятия в момент времени £ имеют вид: "У т

7 > 0, 0 < < ё{.

Издержки на возмещение ущерба от загрязнения линейно зависят от объема загрязнения и имеют вид:

А(в(*)) = тг^(г), 7Г, > 0, г € /.

Будем предполагать, что каждое предприятие стремится максимизировать свою общую прибыль, дисконтированную на начальный момент ¿о, т.е.

П{(ао, Ч) = | е-р^{(а - - - Д (в) - $(<&)}<**,

¿0

где q = (<7ъ 92, • • • > <?п) - ситуация в игре, а 0 < р < 1 - ставка дисконтирования.

В параграфе 3.2 найдено состоятельное позиционное равновесие по Нашу. В параграфе 3.3 построена характеристическая функция игры:

У{К,в) = АК8 + ВК, (11)

где

X) жз

д _ д\Ук _ зек

дв р + 6'

^ зек ¿е к зе1\к

зек зе1\К зеК зеК

к = !i 1 /(a-c)(b(fc + l)-a27) 4i a 2bk - a27 I b{n + 1) - a27 QbH-7e)(b(fc+l)-Q27) 2Ь — q27/ и (6 - Q27)(6(n + 1) - a2j) b - q27 V a a V '

1 / e , { £ z ' b(n + 1) — a27 V b — a27 / & — a27

Пусть Q7, Qn - это отраслевой выпуск в случае кооперации и в случае конкуренции соответственно, а s7(i) и sn(t) - соответствующие траектории накопления загрязнения. Доказано утверждение.

Утверждение 3. Если Q1, Qn > 0, то загрязнение в случае полной кооперации не больше, чем загрязнение в равновесии по Нэшу, т.е.

s'(t) < sn(t).

В параграфе 3.4 доказана супераддитивность характеристической функции (11).

Теорема 6. Для того, чтобы характеристическая функция (11) удовлетворяла свойству супераддитивности для любых s = s(t) и t > to

V(K\JL,s)>V(K,s) + V(L,s), K,LCI,

достаточно выполнения условия:

1 ( ab(A — 7e) Л 1 / . b \

, n-r-l a - с----Ll\+—- iaA--e) >0,

o(n + 1) — oc17 V о — аг7 j b(b — a^7) V a >

где

E7^

je/

a, 6, c, a, 7 - параметры модели.

В параграфе 3.5 построен динамический вектор Шспли, явная формула которого здесь приводится вследствие большого объема (Теорема 7), и доказана его устойчивость и выполнение условия Янга (Утверждение 4), в параграфе 3.6 приведены численные примеры. В параграфе 3.7 построено коалиционное решение (теоремы 8, 9), доказана его устойчивость и приведены численные примеры.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных рецензируемых журналах из списка ВАК:

1. Устойчивый вектор Шспли в кооперативной задаче территориального экологического производства // Управление большими системами. Специальный выпуск 31.1 «Математическая теория игр и се приложения». М.: ИПУ РАН. - 2010 (в соавторстве с Н.А. Зенкевичем). - С. 303-330. - 1,6/0,8 п.л.

2. Коалиционное решение в задаче сокращения вредных выбросов // Вестник СПбГУ, сер. 10. - 2010. - Вып.2 (в соавторстве с JI.A. Пстросяном, А.В. Ильиной). - С. 46-59. - 0,8/0,3 п.л.

Статьи в международных рецензируемых журналах:

3. Differential Coalitional Environmental Management Game // Game Theory and Applications. Nova Science Publishers, New York. - 2009. - Volumc 14 (в соавторстве с JI.A. Петросяном). - Р. 104-113. - 0,6/0,3 п.л.

4. Coalitional Solution of a Game-Theoretic Emission Reduction Model // International Game Theory Review. - 2010. - Volume 12, No. 3 (в соавторстве с JI.A. Петросяном, Н.А. Зенкевичем). - Р. 275-286. - 0,7/0,25 п.л.

5. Stablc Cooperation under Environmental Constraints // International Game Theory Review. - 2010. - Volume 12, No. 4 (в соавторстве с Н.А. Зенкевичем). - (принято в печать). - 1/0.5 п.л.

Статьи и тезисы в сборниках:

6. Теоретико-игровая модель сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу // Труды 37-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2006. - С. 559-563. - 0,3 п.л.

7. Парето-оптимальные решения в одной теоретико-игровой модели сокращения вредных выбросов // Труды 38-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2007. - С. 5СЗ-567. - 0,3 п.л.

8. Теоретико-игровая модель сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу с асимметричными загрязнителями // Тезисы докладов международного конгресса «Нелинейный динамический анализ - 2007». СПб.: Изд. СПбГУ, 2007. - С. 324. - 0,05 п.л.

9. A Game Theoretical Model of Environmental Management // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the International Conference Game Theory and Management / Editors Leon A. Petrosjan, Nikolay A. Zcnkevich. - SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2007 (в соавторстве с JI.А. Петросяном). - P. 111. - 0,1/0,05 п.л.

10. Differential Coalitional Game of Pollution Cost Reduction // Proceedings of The Second International Conference on Game Theory and Applications, Published by World Academic Union, 2007 (в соавторстве с JI.A. Петросяном). - 0,24/0,12 п.л.

11. Time-consistent Allocation in Coalitional Game of Pollution Cost Reduction // Computational Economics and Financial and Industrial Systems. - 2007.

- A Preprints Volume of the 11th ifac symposium. - http://www.elsevier.com/ locatc/ifac (в соавторстве с JI.A. Петросяном). - P. 156-160 . - 0,3/0,15 п.л.

12. Вектор Шспли в одной теоретико-игровой модели экологического менеджмента // Труды 39-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы правления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ,

2008. - С. 442-445. - 0,25 п.л.

13. Pareto-Optimal Solutions in a Game Theoretical Model of Environmental Management // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the International Conference Game Theory and Management / Editors Leon A. Petrosjan, Nikolay A. Zenkevich. - Spb.: Graduate School of Management SPbU, 2008. - P. 104-105. - 0,1 п.л.

14. Comparative Analysis of Optimal Solutions in the Differential Game of Pollution Reduction // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the International Conference Game Theory and Management / Editors Leon A. Petrosjan, Nikolay A. Zenkevich. - SPb.: Graduate School of Management SPbU, 2009. - P. 133-134. - 0,1 п.л.

15. Coalitional Solutions in the Differential Game of Pollution Cost Reduction // 13th International Symposium on Dynamic Games and Applications. -Wroclaw, 2008 (в соавторстве с Jl.А. Петросяном). - P. 181. - ОД п.л./0,05 п.л.

16. Сравнительный анализ оптимальных решений в задаче сокращения вредных выбросов // Труды 40-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы правления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ,

2009. - С. 619-623. - 0,3 п.л.

17. Супераддитивность характеристической функции в теоретико-игровой модели территориального экологического производства // Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы правления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2010. - С. 623-627. - 0,3 п.л.

18. D.W.K. Yeung's Condition for the Coalitional Solution of the Game of Pollution Cost Reduction // Contributions to game theory and management. Vol. III. Collected papers presented on the Third International Conference game theory and management / Editors Leon A. Petrosyan, Nikolay A. Zenkevich. - SPb.: Graduate school of management SPbSU, 2010 (в соавторстве с А.В. Ильиной). - P. 171-181. - 0,7/0,35 п.л.

19. Парето-оптимальные решения в теоретико-игровой модели территориального экологического производства // Всероссийская конференция, посвященная 80-тилетию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления», 2010 Г. СПб: ВВМ, 2010 (в соавторстве с Н.А. Зенкевичем). - С. 148-149. - 0,2/0,1 п.л.

20. Динамическая устойчивость PMS-вектора в задаче сокращения вредных выбросов // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы правления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2010 (в соавторстве с А.В. Ильиной). - С. 612-617. - 0,3/0,15 п.л.

21. A Game-Theoretic Model of Territorial Environmental Production // Game Theory and Management. Collected abstracts of papers presented on the International Conference Game Theory and Management / Editors Leon A. Petrosjan, Nikolay A. Zenkevich. - Spb.: Graduate School of Management SPbU, 2010 (в соавторстве с Н.А. Зенкевичем). - Р. 254-256. - 0,2/0,1 п.л.

Подписано в печать 08.04.11 Формат 60х84'/1б Цифровая Печ. л. 1.5 Уч.-изд.л. 1.5 Тираж 100 Заказ 03/04 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 8)

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Козловская, Надежда Владимировна

Введение

Глава 1. Кооперативная дифференциальная игра экологического регулирования.

1.1. Математическая модель.

1.2. Построение характеристической функции кооперативной игры.

1.3. Выигрыш максимальной коалиции

1.4. Равновесие по Нэшу.

1.5. Значение характеристической функции для произвольной коалиции

1.6. Коалиционное решение.

Глава 2. Теоретико-игровая модель сокращения выбросов вредных веществ.

2.1. Математическая модель.

2.2. Построение характеристической функции игры.

2.3. Вектор Шепли.

2.4. Устойчивость.

2.5. Коалиционное решение. Устойчивый РЛ/,5-вектор.

Глава 3. Модель устойчивой кооперации.

3.1. Математическая модель.

3.2. Равновесие по Нэшу.

3.3. Построение характеристической функции игры.

3.4. Супераддитивность характеристической функции.

3.5. Устойчивый вектор Шепли.

3.6. Численные примеры.ЮЗ

3.7. Коалиционное решение. Устойчивый РМБ-вектор. Численные примеры.

Введение диссертация по математике, на тему "Теоретико-игровые модели экологического регулирования"

Научный подход к задачам управления охраной окружающей среды осуществлялся представителями естественных наук. В последние десятилетия XX в. начались экономико-математические исследования данной проблематики, значительно активизировавшиеся в XXI в. В условиях глобализации экономики наблюдается недостаточная эффективность рыночного механизма применительно к управлению ресурсами общего пользования, таким как вода и воздух. Несмотря па то, что экологическое регулирование является сложной системой инструментов управления, которая включает различные рычаги, стимулы, стандарт!,I и нормативы, большинство известных механизмов неэффективно в силу специфичности области применения объекта исследования [48, 50]. Поэтому актуальными являются исследования по способам регулирования хозяйственной деятельности для улучшения экологического состояния среды.

В данной работе рассматриваем процесс регулирования выбросов вредных веществ в атмосферу с учетом поведения заинтересованных сторон, в результате которого издержки внешнего эффекта переносятся па его виновника и моделируем его в рамках современной теории кооперативных дифференциальных игр. Кооперативная теория игр содержит инструментарий, который предполагает справедливое распределение общего выигрыша (общих затрат) и отражает стратегическую силу игроков - участников соглашения. Отмсчепныс обстоятельства обосновывают актуальность выбранной темы.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Первым исследователем дифференциальных игр стаи Руфус Айзеке [1]. В развитие теории дифференциальных игр свой вклад в различное время внесли Вайсборд Э. М. и Жуковский В. И. [3], Красовский H.H. и Субботин А.И. [20), Никольский М.С. [24], Петросян Л.А. [26], Петросяи JI.A. и Данилов H.H. [29] и др. Кооперативные игры рассматривались в работах Жуковского В.И. [6], Клейменова А.Ф. [12], Петросяпа Л.А. и Данилова H.H. 123], Ро-зенмюллера И. |36], Печерского С.Л. и Яновской Е.Б. ¡35], Соболева А.И. |38|, [37]. В исследовании дифференциальных игр важнейшее значение имеют работы Р. Беллмана [2] в области оптимального управления. Первыми монографиями на русском языке, посвященными теоретико-игровому моделированию в области охраны окружающей среды, являются книги Л.А. Пет-росяна, В.В. Захарова «Введение в математическую экологию» [32J и [7] и В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко «Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах» [5]. В зарубежной литературе много внимания уделено моделированию устойчивых природоохранных соглашений и их решению теоретико-игровыми методами [43, 57). В статье [83] моделировалось международное экологическое соглашение, результатом которого явилось динамически устойчивое (состоятельное во времени) распределение совокупных затрат при условии снижения общего уровня загрязнения. За,траты складывались из двух составляющих: выраженный в денежном эквиваленте; экономический ущерб, включающий материальный ущерб, ущерб здоровью граждан и окружающей среде, и затраты на снижение выбросов с максимального уровня до некоторого допустимого. В работах [25], [49] также рассмотрены динамически-устойчивые международные природоохранные соглашения. В работах [21, 22] рассмотрены модели управления биоресурсами (выловом рыбы) в некотором регионе с использованием аппарата теории динамических игр. В статье [23] процесс оптимального взаимодействия предприятий лесодо-бывающей отрасли моделировался как дифференциальная игра. Кроме того задачи экологического регулирования моделировались как дифференциальная кооперативная игра в работах [46, 54, 56, 58, 65, 70, 89, 95].

Научная новизна. В диссертационной работе рассмотрен новый класс кооперативных дифференциальных игр экологического регулирования. Найдены устойчивые решения рассматриваемых кооперативных дифференциальных игр в форме динамического вектора Шепли и РМб'-вектора в явном виде и исследованы их свойства. В диссертационной работе впервые построено коалиционное решение дифференциальной игры для модели исследуемого класса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

3. Достаточное условие супер аддитивности характеристической функции в игре устойчивой кооперации (теоремы 6, 8) и построение устойчивого вектора Шепли в явном виде (теорема 7).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция «Теория игр и менеджмент» 2007-2010 (Санкт-Петербург, 2007-2010); па 13-м Международном симпозиуме «International Symposium on Dynamic Games and Applications» (Вроцлав, 2008); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008); на Международном конгрессе по нелинейному динамическому анализу, посвященному 150-летию А.М. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007); па российско-финской летней школе «Динамические игры и многокритериальная оптимизация» (Петрозаводск, 2006); на XXXVII-XLI научных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006—2010); на международном симпозиуме «Computational Economics and Financial and Industrial Systems» (Стамбул, 2007), на третьем Международном конгрессе сообщества теории игр «Games 2008» (Чикаго, 2008); на семинаре кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики -процессов управления СПбГУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в работах |8, 9, 11, 13-19, 33, 59, 66-68, 76-81, 96] .

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Козловская, Надежда Владимировна, Санкт-Петербург

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. - М.: Мир, 1967. - 480 с.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. литры, 1960. - 400 с.

3. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М.: «Советское радио», 1980.

4. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Паука, 1985. - 272 с.

5. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. - 145 с.

6. Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 334 с.

7. Клейменов А.Ф. К кооперативной теории бескоалиционных позиционных дифференциальных игр // Доклады АН СССР. 1990. - Т.32. - № 1. - С. 32-35.

8. Козловская Н. В. Теоретико-игровая модель сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу // Труды 37-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2006. С. 559-563.

9. Козловская Н. В. Парето-оптимальные решения в одной теоретико-игровой модели сокращения вредных выбросов // Труды 38-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2007. С. 563-567.

10. Козловская Н. В. Теоретико-игровая модель сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу с асимметричными загрязнителями // Тезисы докладов международного конгресса «Нелинейный динамический анализ 2007». СПб.: Изд. СПбГУ, 2007. - С. 324.

11. Козловская Н.В. Вектор Шепли в одной теоретико-игровой модели экологического менеджмента // Труды 39-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы правления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2008. С. 442-445.

12. Козловская Н.В. Сравнительный анализ оптимальных решений в задаче сокращения вредных выбросов // Труды 40-й международной конференции студентов и аспирантов «Процессы правления и устойчивость». СПб.: Изд. СПбГУ, 2009. С. 619-623.

13. Коалиционное решение в задаче сокращения вредных выбросов // Вестник СПбГУ, сер. 10. 2010. - Вып.2. - С. 46-59.20| Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. - 456 с.

14. Мазалов В.В., Реттиева А.Н. Об одной задаче управления биоресурсами // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2002. -Т. 9. -Вып. 2. С. 293-306.

15. Мазалов В.В., Реттиева А.Н. Равновесие по Нэшу в задачах охраны окружающей среды // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18. - № 5.- С. 73-90.

16. В.В. Мазалов, А.Н. Реттиева, A.B. Родионов, A.M. Цыпук, А.И. Шиш-кип. Моделирование экономических отношений в лесном комплексе Республики Карелия // Труды КарНЦ РАН. Петрозаводск: КарНЦ РАН.- 2006. Вып. 9. - С. 144-154.

17. Никольский М.С. Первый прямой метод JI.C. Понтрягипа в дифференциальных играх. М.: изд. МГУ, 1984. - 65 с.

18. Павлова Ю.Н. Динамическая игровая модель соглашения об охране окружающей среды // Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2008. - Вып. 3. - С. 85 -97.

19. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

20. Петросян JL А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, Астрономия. 1977. - № 19. - С. 46-52.

21. Петросян Л. А., Данилов Н. Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск, 1985.

22. Петросян Л.А., Данилов H.H. Устойчивость решений в неантогонисти-ческих дифференциальных играх с трансферабельными выигрышами // Вестн. Ленингр. Ун-та. 1979. - №1. - С. 52-59.

23. Петросян Л.А., Зенкевич H.A. Принципы устойчивой кооперации // Мат. теория игр и её приложения. 2009. -Tl.- Вып. 1. - С. 102-117.

24. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. - С. 304.

25. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. -Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1986. 224 с.

26. Печерский СЛ., Беляева A.A. Теория игр для экономистов. Вводный курс. СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.

27. Печерский СЛ., Яновская Е.Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы. СПб.: Изд-во Европейского университета, 2004. - 459 с.

28. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974.

29. Соболев А. И. Кооперативные игры // Проблемы кибернетики. М.: Наука. - 1982. - Вып. 39. - С. 201-222.

30. Соболев А. И. Характеризация принципов оптимальности кооперативных игр посредством функциональных уравне-ний // Математические методы в социальных науках. Т. 6 / под ред. Н.Н.Воробьева. - Вильнюс,I1975.

31. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности. В двух томах (перевод с англ. под ред. Гальперина В.М. и Зенкевича H.A.) СПб.: - Экономическая школа.

32. Albizur M., Zarzuelo J. On Coalitional Semivalues. // Games and Economic Behaviour. 2004. - No. 2. - P. 221-243.

33. Aumann R., Dreze A. Cooperative Games with Coalition Structure // Int J. Game theory. 1974. - Vol. 4. - P. 217-237.

34. Aumann R., Myerson R. Endogenous Formation of Links between Players and of Coalitions: An Application of the Shapley value // Essays in honor of Llyoyd Shapley. Cambridge university press, 1988. - P. 175-191.

35. Borkey P., Leveque F. Voluntary Approaches for Environmental Protection in the European Union a Survey // European Environment. - 2000. - No. 10. - P. 35-54.

36. Breton M., Zaccour G., Zahaf M. A Game-Theoretic Formulation of Joint Implementation of Environmental Projects // European Journal of Operational Research. 2006. - No. 168. - P. 221-239.

37. Chander P., Tulkens H. A Core-theoretic Solution for the Design of Cooperative Agreements on Transfrontier Pollution // International Tax and Public Finance. 1995. - No. 2. - P. 279-293.

38. Coa.se R. The Problem of Social Cost // Journal of Law and Economics. -1960. № 3. - P. 1-44.

39. Dementieva M., Pavlova Yu., Zakharov V. Dynamic R,egularization of Self- Enforcing International Environmental Agreement in the Game of Heterogeneous Players // Game Theory and Applications, 2008, v. 14. Eds.: L. Petrosjan and V. Mazalov, pp. 2-20.

40. Demsetz H. Toward a theory of property rights // The American Economic-Review. 1967. - Vol. 57. - No. 2. - P. 347- 359.

41. Dixit A. K. A Model of Duopoly Suggesting a Theory of Entry Barriers // Bell Journal of Economics. 1979. - No. 10. - P. 20-32.

42. Dockner E.J., Gaunersdorfer A. On the Profitability of Horizontal Mergers in Industries with Dynamic Competition // Japan and the World Economy.- 2001. No. 4. - P. 195-216.

43. Dockner E. J., Jorgensen S., Long N. van, Sorger G. Differential Games in Economics and Management Science. Cambridge University Press, 2000. -P. 41-85.

44. Dockner E.J., Long N. van. International Pollution Control: Cooperative versus Noncooperative Strategies // Journal of environmental economics and management. 1993. - Vol. 24. - P. 13-29.

45. Fershtrnan C., Kamien M. Dynamic Duopolistic Competition with Sticky Prices // Econometrica. 1987. - Vol. 55. - No. 5. - P. 1151-1164.

46. Filar J.A., Gaertner P.S. A Regional Allocation of World C02 Emission Reductions // Mathematics and Computers in Simulation. 1997. - Vol. 43.- P. 269-275.

47. Finus M. Game Theory and International Cooperation. Cheltenham, UK and Northampton, MA, USA, 2001.

48. Haurie A., Zaccour G. Differential Game Models of Global Environment Management // Annals of the International Society of Dynamic Games. -1995. No. 2. - P. 3-24.

49. Jorgensen S., Zaccour G. Incentive Equilibrium Strategies and Welfare Allocation in a Dynamic Game of Pollution Control // Automatica. 2001. -No. 37. - P. 29-36.

50. Kaitala V., Pohjola M. Sustainable International Agreements on Green House Warming: a Game Theory Study // Annals of the International Society of Dynamic Games. 1995. - No.2. - P. 67-88.

51. Katsoulacos Y., Xepapadeas A. Environmental Policy under Oligopoly with Endogenous Market Structure // Scand. J. of Economics. 1995. - Vol.97 -No. 3. - P. 411-420.

52. Khmelnitskaya A. B., Yanovskaya E.B. Owen Coalitional Value without Additivity Axiom // Mathematical Methods of Operations Research. 2007.- Vol. 66. No. 2. - P. 255-261.

53. Kossioris G., Plexousakis M., Xepapadeas A., de Zeeuw A., Maler K.-G. Feedback Nash Equilibria for Non-linear Differential Games in Pollution Control // Journal of Economic Dynamics and Control. 2008. - Vol. 32.- P. 1312-1331.

54. Kozlovskaya N.V., Petrosyan L.A., Zenkevich N.A. Coalitional solution of a game-theoretic emission reduction model // International Game Theory Review. 2010. - Vol. 12. - No. 3. - P. 275-286.

55. Kozlovskaya N.V., Zenkevich N.A. Stable Cooperation under Environmental Constraints // International Game Theory Review. 2010. - Volume 12. -No. 4. - (принято в печать).

56. Myerson R. Graphs and cooperation in games // Math, of Oper. Res. 1977.- No. 2. P. 225-229.

57. Martin-Herran G., Zaccour G. Credible linear-incentive Equilibrium Strategics in Linear-quadratic Differential Games // Dynamic games and their applications / edited by P. Bernhard, V. Gaitsgory, O. Pourtallier, 2009. -Birkhauser Boston.

58. Nash J. F. Equilibrium points in n-person games // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1950. - Vol. 36. - P. 48-49.

59. Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of games and economic behavior.- Princeton: Princeton University Press. 1944.

60. Owen G. Values of Games with a Priory Unions. In: R. Henn and O. Moeschlin (eds.). Mathematical Economy and Game Theory .Berlin. 1997.- P. 78-88.

61. Peleg B., Tijs S. The Consistency Principle for Games in Strategic Form // Intern. Journal of Game Theory. 1996. - Vol. 25. - P. 13-34.75J Petrosjan L. Differential Games of Pursuit. World Sei. Pbl, 1993. - 320 p.

62. Petrosyan L., Kozlovskaya N. Differential Coalitional Environmental Management Game // Game Theory and Applications. Nova Science Publishers, New York. 2009. - Vol. 14. - P. 104-113.

63. Petrosyan L.A., Kozlovskaya N.V. Differential coalitional game of pollution cost reduction // Proceedings of The Second International Conference on Game Theory and Applications, Published by World Academic Union, 2007. -3p.

64. Petrosjan L., Kozlovskaya N. Coalitional Solutions in the Differential Game of Pollution Cost Reduction // 13th International Symposium on Dynamic Games and Applications. Wroclaw, 2008. - P. 181.

65. Petrosyan L., Mamkina S. Dynamic Games with Coalitional Structures // International Game Theory Review. 2006. - Vol. 8. - No.2. - P. 295-307.

66. Petrosyan L., Zaccour G. Time-consistent Shapley Value Allocation of Pollution Cost Reduction // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. - No. 27. - P. 381-398.

67. Shapley L.S. A value for n-person games // Contributions to the Theory of Games II. Princeton: Princeton University Press, 1953. P. 57-69.

68. Singh N., Vives S. Price and Quantity Competition in a Differentiated Duopoly // Rand Journal of Econirnics. 1984. - Vol. 15. - P. 546-554.

69. Tulkens H. Cooperation versus Free-riding in International Environmental Affairs: two Approaches / in N. Hanley and H. Folmer (eds). Game Theory and the Environment. Cheltenham. UK: Edward Elgar. P. 30—44.

70. Stimming M. Capital Accumulation Subject to Pollution Control: Open-Loop versus Feedback Investment strategies // Annals of Operations Research. -1999. Vol.88. - P. 309-336.

71. Taboubi S., Zaccour G. Impact of Retailer's Myopia on Channels's Strategies/ In. Optimal Controls and Differential Games: essays in honor Steffen Jorgensen/ edited by G. Zaccour. Kluwer Academic Bublisher.

72. Tahvonen O., Salo S. Nonconvexities in Optimal Pollution Accumulation // Journal of Environmental Economics and Management. 1996. - Vol. 31. -P. 160 - 177.

73. Xepapadeas A. Advanced Principle in Environmental Policy. Cheltenham, United Kingdom; Northampton, USA, 1977.

74. Yeung D. W. K. An Irrational Behavior - Proofness condition in Cooperative Differential Games // Intern. Game Theory Rew. - 2006. - Vol. 8. - P. 739-744.

75. Yeung D. W. K. A Differential Game of Industrial Pollution Management // Annals of Operations Research. 1994. - No. 37. - P. 297-311.

76. Yeung D.W.K., Petrosyan L.A. Subgame Consistent Solutions of a Cooperative Stochastic Differential Game with Nontransferable Payoffs // Journal of optimization theory and applications. 2005. Vol. 124. - No. 3.- P. 701-724.

77. Yeung D. W. K., Petrosyan, L. A. Cooperative Stochastic Differential Games.- Springer. 2006.

78. Yeung D. W. K., Petrosyan L. A. Cooperative Stochastic Differential Game of Transboundary Industrial Pollution // Automática. 2008. - No. 44. - P. 1532-1544.