Математические модели налоговых проверок

Кумачева, Сурия Шакировна

Математические модели налоговых проверок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Кумачева, Сурия Шакировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Математические модели налоговых проверок»

Автореферат диссертации на тему "Математические модели налоговых проверок"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

4842032

Кумачева Сурия Шакировна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАЛОГОВЫХ ПРОВЕРОК

Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011 г.

4842032

Работа выполнена на кафедре математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный доктор технических наук,

руководитель: доцент Буре Владимир Мансурович.

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Васин Александр Алексеевич,

факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова;

кандидат физико-математических наук Ковшов Александр Михайлович, факультет прикладной математики-процессов управления СПбГУ.

Ведущая организация:

Институт прикладных .математических исследований Карельского Научного Центра РАН (г. Петрозаводск).

Защита состоится

// ¿Ю

, _2011 г. в __час. на заседании сове-

та Д.212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В. О., Средний пр., д. 41/43, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ им. А. М. Горького по адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан « » 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

В. Д. Ногин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание эффективной налоговой системы является одной из наиболее актуальных задач мировой экономики и, как следствие, математического моделирования экономических процессов. Основополагающими составляющими налоговой системы являются продуманная и адекватная реальной экономической ситуации система налогов и четко функционирующий налоговый механизм, обеспечивающий выполнение налогового законодательства. Его важнейшим элементом является налоговый контроль, включающий набор налоговых проверок различного типа (получение объяснений от налогоплательщиков, проверки данных учета и отчетности, осмотры помещений и территорий и т. д.).

При построении и исследовании моделей налоговых проверок используются различные математические подходы. Из них наиболее распространенными являются теоретико-игровое моделирование (предста&пенное в работах А. Васина в соавторстве с О. Агаповой (1993), Е. Пановой (1999) и П. Васиной (2002), С. Мов-шовнча (2003), ,1. Greeiibeig (1984). M. Sakaguchi (1998)), различные оптимизационные методы (А. Закревский и В. Токарев (2003), M. Alliiigham н A. Sandmo (1972)), а также теоретико-вероятностное моделирование (I. Macho-Stadler и J. D. Perez-Cast rillo (2002)).

В диссертационной работе основным предметом изучения являются модели налоговых проверок, построенные с помощью методов теоретико-игрового и теоретико-вероятностного моделирования.

Вероятностная модель, рассмотренная в работе, построена с ориентацией на подоходный налог физических лиц. Выбор стратегии налоговых проверок осуществляется налоговыми органами с использованием информации о распределении доходов среди населения (такой подход применялся в работах P. Chantier и L. Wilde, А. Васина и соавторов) и дополнительной информации о конкретном налогоплательщике, отражающей его склонность занижать декларируемый доход (подобный подход применялся в публикациях I. Macho-Stadler и J. D. Perez-Castrillo).

Задача налогового администрирования чаще всего решается в классической постановке «прнншшад-агенг» (см., например, публикации I. Sanchez и J. Sobel, P. Chander и L. Wilde, .1. Greenberg, J. Reinganuiu и L. Wilde и т. д.). Поэтому рассмотренная в диссертационной работе теоретико-игровая модель взаимодействия между налоговыми органами и налогоплательщиками построена на основе

иерархической игры.

Указанная модель обобщена на случай инспектирования с учетом коррупции, изучавшейся ранее в публикациях А. Васина и соавторов, А. Савватеева, P. Chantier и L. Wilde, J. Hindriks, M. Keen и A. Mutlioo. Первоначальная иерархическая структура была усложнена и стала трехуровневой за счет введения дополнительного звена - инспектора, который может оказаться взяточником. В качестве способа подавления коррупции на базе данной модели исследовалось проведение дополнительного контроля.

С помощью методов теории поиска, изложенных в книге О. Хеллмана, и игр поиска, изученных в работах JI. Петросяна совместно с А. Гарнаевым и Н. Зенкевичем, в диссертационной работе был получен инструментарий, позволяющий учитывать имеющиеся у налоговых органов ресурсы и эффективность проводимых налоговых проверок.

В перечисленных выше задачах прежде всего исследуется вопрос нахождения оптимальных стратегий игроков с использованием различных критериев оптимальности, то есть, реализации различных функций налоговой системы (фискальной, распределительной, социальной и контрольной).

Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности темы, а также о том, что проведенное исследование вносит определенный вклад в развитие математического моделирования налогообложения.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей налоговых проверок в рамках теоретико-вероятностного и теоретико-игрового подходов и изучение возможности использования дополнительной информации о налогоплательщиках при решении задачи поиска оптимальных стратегий налоговых органов.

Научная новизна работы. В работе впервые исследуются специфические модели налогового контроля: вероятностная модель налоговых проверок и теоретико-игровая модель взаимодействия налоговых органов и налогоплательщиков.

пых вероятностей и рассматривающая дополнительную информацию о склонности конкретного налогоплательщика занижать декларируемый доход в качестве фактора, влияющего на выбор стратегии налоговых органов.

В более ранних публикациях со схожей проблематикой (P. Chander и L. Wilde, А. Васина и соавторов)'рассматривалось бинарное распределение дохода налогоплательщиков. Теоретико-игровая модель, представленная в диссертационной работе, отличается от моделей указанных авторов предположением о неоднородности налогоплательщиков не только но уровню дохода, но и по затратам налоговых органов на осуществление проверок. Другой специфической чертой указанной модели является лежащее в основе построения иерархической игры предположение о том, что стратегия налоговых органов не зависит от декларируемого в данном налотвом периоде дохода налогоплательщиков. Данная модель исследована для описанных в работах А. Васина линейных и дополнительного нелинейного вариантов штрафования.

На базе перечисленных моделей изучены способы подавления коррупции, определены условия, при выполнении которых параметры налоговой системы обеспечивают ее эффективную работу, проведен сравнительный анализ стратегий, реализующих ее различные функции (фискальная, социальная, распределительная, контрольная). К фискальной функции относится задача максимизации ожидаемого дохода налоговых органов. Важным условием в реализации других функций налоговой системы является согласованность декларируемого и истинного-дохода налогоплательщиков; Условия, в которых указанные функции реализуются совместно, исследованы с помощью численного эксперимента при определенных допущениях.

На базе вероятностной модели изучен вопрос об оптимачьном распределении бюджета налоговых органов на проведение проверок в различных группах налогоплательщиков. I

С использованием свойства семейств сопряженных распределений разработан метод оценивания склонности налогоплательщика к уклонению от уплаты налогов при имеющейся у налоговых органов его «налоговой истории». Проведен численный эксперимент, иллюстрирующий использование данного метода.

Также в работе рассматривается задача поиска налогового уклонения при ограниченном временном, и лругих.ресурсах, решение которой произведено с помощью

теории поиска неподвижного объекта большой поисковой системой.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения на практике найденных оптимальных стратегий игроков с учетом поправок, вносимых экономической ситуацией (численных значений налоговых и штрафных ставок, специфическими аспектами налогового законодательства и т. д.). К полученным результатам также относятся найденные способы подавления коррупции. Предложенный в работе метод оценивания склонности налогоплательщика к уклонению от полной уплаты налогов позволяет налоговым органам в реальной жизни выбирать стратегию проверок, опираясь на «налоговую историю» данного налогоплательщика. Изученная проблема поиска сокрытого в филиалах дохода крупных компаний позволяет учитывать ресурсы (временной промежуток и затраченные поисковые усилия), которыми располагают налоговые органы, при выборе своей стратегии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Дискретная вероятностная модель налоговых проверок налогоплательщиков с рационачьным поведением;

2. Теоремы о стратегиях налоговых органов, позволяющих повысить согласованность декларируемого и истинного дохода налогоплательщиков (для вероятностной модели);

3. Теоретико-игровая модель взаимодействия налоговых органов с налогоплательщиками по схеме «принципал-агент»;

1. Теоремы об оптимальных (в смысле максимизации функции выигрыша) стратегиях игроков для различных вариантов штрафования (для теоретико-игровой модели);

5. Метод оценивания склонности налогоплательщика к налогвому уклонению, основанный на его «налоговой истории»; .

0. Теорема об оптимальных (в смысле максимизации функции выигрыша) стратегиях игроков в условиях подавления налоговыми органами коррупции.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, грех глав, разбитых на параграфы (которые, в свою очередь, разбиты на подпараграфы),

заключения и списки используемой литературы. Объем работы составляет 131 страницу. Список литературы включает 03 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертационного исследования и новизна полученных результатов, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы положения, выносимые на защиту, обоснованы теоретическая ценность п практическая значимость представленных в работе результатов.

Первая глава посвящена вероятностной модели налоговых проверок (аудита). Поведение налогоплательщиков, разбитых на N групп по уровню дохода, предполагается рациональным: их уклонение от уплаты налогов возможно только в той ситуации, когда риск наказания мац настолько, что экономическая выгода превышает ожидаемые потери в виде налогов и штрафов, выплачиваемых в случае проверки. Соответственно, рассматриваются уклонения целых групп.

В § 1.1 содержится подробное описание модели. В рассматриваемой модели предполагается, что истинная налоговая ответственность г каждого налогоплательщика принимает конечный набор возможных значений и представляет собой безразмерную относительную величину. Пусть г - декларируемая налоговая ответственность налогоплательщика. Его стратегией является функция г (г), принимающая, как ц аргумент, значения из множества М = {то, т1,..., т^г-;}, где 0 < то < т.! < ... < //¡д-1 = 1. В рамках данной модели налоговая проверка предполагается абсолютно эффективной, то есть, при ее осуществлении с вероятностью единица обнаруживается уклонение налогоплательщика от уплаты налогов в соответствии с его истинной налоговой ответственностью. Рассматривается простейший (пропорциональный) вариант штрафования: в случае выявления налогового уклонения налогоплательщик должен выплатить (1 + тг)(г - г) к, где л -штрафная ставка, к - денежный эквивалент налога с наибольшего уровня дохода.

В рамках предположения о рациональности налогоплательщиков исследуются уклонения от уплаты налогов целых групп граждан с одинаковым уровнем дохода. Для большей наглядности изложения модель изучается в предположении, что уклон налогоплательщиков возможно только до уровня налоговой отлмт-ственносм) группы с более низким доходом и только тогда, когда уклоняются

граждане с более высоким уровнем дохода. В рамках сделанных предположений возможны .'V различных профилей согласованности декларируемого дохода с его истинным уровнем, то есть, ситуаций, связанных с тем, какие значения принимает декларируемая налоговая ответственность г при конкретных значениях i. Задачей налоговых органов является достижение наибольшей согласованности декларируемой налоговой ответственности с истинной. Пусть А - событие, заключающееся в том, что имела место налоговая проверка. Тогда P(A\r = m¡_i) - вероятность налоговой проверки лиц, декларировавших г = m¡_i.

В § 1.2 произведен анализ профилей согласованности. Ситуации, когда существующая налоговая система абсолютно неэффективна, соответствует самый несогласованный профиль: в нем уклоняются от уплаты налогов все группы налогоплательщиков. Выход из данного профиля становится возможным, если хотя бы для группы с истинной налоговой ответственностью m¡ ожидаемые в результате аудита выплаты налогоплательщика (налоги и штрафы) будут превышать его выигрыш, полученный в результате уклонения от вып.латы налогов в соответствии с истинным уровнем налоговой ответственности ((г — / )/():

P(A\r = т0)(1 + 7г)(r;¿J - m0)h > (ru¡ — rrio)k

^■Р(Л|г = т0) > —!—.

1 + 7Г

Корректность данного условия обеспечивается при любых неотрицательных значениях устанавливаемой государственными органами штрафной ставки к.

Используя подобные рассуждения о налогоплательщиках с более высокими значениями декларируемой налоговой ответственности, могут быть получены условия выхода из следующих по согласованности профилей:

Р(Л]г = у»0) >

РИ—ш,)^, , •

(1)

Р(А\г = т,)>

Р(А\г = т1^.2)>т^.

Самым согласованным профилем является ситуация, в которой г (i) = i для всех t е М. Услояаи, при которых стратегия налоговых органов реализует наибольшую согласованность, сформулированы и доказаны в следующей теореме.

Теорема 1 Самый согласованный профиль реализуйся тогда и только тогда, когда имеет место совместное выполнение условий (1).

Естественным и очевидным следствием теоремы 1 является то, что для выхода из (I + 1)-го в следующий по согласованности профиль необходимо и достаточно, чтобы совместно выполнялись первые (/ + 1) условий (1), I = О, N - 2.

В § 1.3 анализируется соотношение затрат и прибыли, связанных с обеспечением согласованности. Строится функция выигрыша налоговых органов (чистый налоговый доход): Я = ТртеА + Т1Ю31л + Р-С', где Р - штрафы, С - общая стоимость всех налоговых проверок, Т,жг,а - налоги, выплаченные налогоплательщиками в соответствии с декларируемым уровнем налоговой ответственности (предаудитные выплаты), Тро^А ~ налоговые уклонения, выплаченные в результате проведенной проверки (ностаудитные выплаты). Таким образом,

Л'-1

ТргеА = ^ к, 1пI 11,

1 = 0 ;

где к( - часть налогоплательщиков, декларировавших свой доход как г = тн( для

I = ОГЛ^Т (''¿Ч, = 1),

(=0

ЛГ-2

С = |г = т,)с,

1-0

где с > 0 - стоимость одной налоговой проверки.

Для оценки постаудитных выплат необходимо рассмотреть величины

6{иц,П11-1) — Р{«1П1»\А,г = 1П1-1), (2)

соответствующие доле лиц с налоговой ответственностью «т;» среди декларировавших г = ш/_1 и подвергнутых налоговой проверке, I = — 1.

Предполагается, что налоговые органы владеют информацией о вероятностном распределении уровня доходов населения. Эта информации представлена в виде долей ~ц = Р{«»1;»} населения с истинной налоговой ответственностью ш/, "де I = 0, Аг — 1. Оценив величины 6(1111,1111-1), получим, что в каждом профиле они зависят только от соотношения параметров 7/. Для ¿(гп/,тп/-¡) справедливо следующее выражение: ■

¿(т/.т/-]) Р(А\г = 111^1) = Р(«гп[» П Л|г = ТП1-1),

где Р{А\г = пц.х) - вероятность налоговой проверки лиц, декларировавших г — = «1;_ь а Р(«и11»ПА\г = 1111-1) - вероятность налоговой проверки лиц, декларировавших г = //¿/_ь с выявлением в результате истинной налоговой ответственности «гп(», где / = 1, .¿V - 1. ;

Тогда постаудитные выплаты могут быть определены следующим образом:

Р + Тро^А =

N-2

= Р(А\г = т,} (т;+1 - щ) (1 + тг) Л, (3)

/=0

что помогает провести оценку стоимости налоговых проверок для различных профилей и бюджета налоговых органов В, необходимого для реализации самого согласованного профиля.

В § 1.4 приводятся результаты численного эксперимента, позволяющего исследовать вопрос о стоимости согласованности для модели с Лг = 8 профилями, построенной исходя из статистической оценки данных о распределении численности населения РФ но размерам заработной платы, ежегодно проводимой Рос-статом совместно с Научно-исследовательским институтом проблем социально-экономической статистики. Для указанных данных были получены стратегии налоговых проверок, реализующие самый согласованный профиль, и проведена оценка стоимости его реализации. Также был исследован вопрос о распределении ограниченного бюджета налоговых органов.

В § 1.5 рассмотрено обобщение описанной задачи в виде модели проверок с «сигналом» (ранее этот термин использовался в публикации I. МасЬо^асИег, •I. Э. Реп^-СакшПо (2002)). При отказе от предположения о том, что уклонение в какой-либо группе осуществляется только тогда, когда уклоняются лица с более высоким уровнем дохода, было модифицировано понятие профиля согласованности. Введено понятие «сигнал» в, отражающее косвенную информацию о доходах налогоплательщиков. Фактически 5 является индикатором необходимости проверки и может принимать два значения я 6 {(/, «}, где и - информация о том, что уровень дохода налогоплательщика выше его декларируемого дохода, (1 отсутствие информации о том, что его уровень дохода превышает декларируемый. Для I = 0, N - 2 был введен в рассмотрение коэффициент'доверия сигналу

= Р(А\г = т,:* = и) Р(А\г - /к,, А = (1}/ V

- величина, показывай идам, во сколько раз проверка налогоплательщиков, на которых поступил сигнал s - и, вероятнее проверки налогоплательщиков с таким же уровнем декларируемого дохода при наличии сигнала л = d.

С использованием свойств условных вероятностей доказана следующая теорема.

Теорема 2 Для того, чтобы отсутствовало уклонение налогоплательщиков с истинной налоговой ответственностью i — mi+1 до декларируемой г = тщ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Р1А\г = 711,, а- = и) > —---;-—-;--. (5)

v 1 ' — 1 + 7Г 1 + (А- l)P{s = u\r = т,}

Причем если P{s = u|r = rn/J < j^, коэффициент доверия сигналу А должен удовлетворять условию

A<M+-Ï 1 - P{s = u\r = m/}

- 1+ ")'-;—,, , ,¿7-i-г-

1 - (1 + тг)Р{а- = н|г = гп,}

Пусть Bi = 1цР{А\г = nii)c - бюджет, позволяющий реализовать оптимальные

налоговые проверки в /-ой группе, I = О, N — 2. Чем точнее сигнал л отражает действительную ситуацию, тем ближе величина P{s = ч/|г = m;} к относительной доле уклоняющихся среди декларировавших определенную налоговую ответственность. С учетом указанного свойства сигнала, была произведена оценка величин Р(А\г = mi) и В/ для различных возможных интерпретаций P{s = u\r = ni/}. Полученные результаты сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 3 Оптимальные стратегия и бюджет провщюк налогоплательщиков, декларировавших г = пц, зависят от доли, на которую поступил сигнал s = и:

1. Если P{s = ujr — ni/} — I, mo P(A\r - пц) = Bt =

2. Earn P{s = v\r = пц} = < mo

P(A\r = riii) = Ь + Т/м) . Л + (Л_ !)

(1 + 7г)(7, + Л7,+1) V ' • -7j + 7m

Д,= b + . Л + (Л _ i) .

( 1 + ît ) ("il + A7 i+1 ) V fl + 71+1,

причем, если 7i > tî'îi + i, коэффициент доверия сигналу Л не должен превы-

(ir-ri)-,!

шатъ величину ' J ' ;

.У. Если P{s = u\r = Till} = 0, mo P(A\r = m,) = О, В, =0.

В § 1.6 приведено обобщение описанной модели, полученное при отказе от предположения о том, что уклонение налогоплательщиков ограничено снизу предыдущим уровнем налоговой ответственности и возможно только тогда, когда уклоняются налогоплательщики с более высоким уровнем дохода. Отказ от данного предположения модифицирует понятие профиля согласованности и существенно увеличивает число возможных ситуаций. Однако, рассуждения, построенные в соответствии с последовательным исключением наименее согласованных профилей, приводят к подтверждению теоремы 1.

Во второй главе рассматривается теоретико-игровая модель взаимодействия между налоговыми органами и налогоплательщиками, в основе которой лежит иерархическая игра, где в качестве риск-нейтральных игроков выступают налоговые органы и п налогоплательщиков.

В рамках модели, описанной в § 2.1, основной характеристикой к-го налогоплательщика является его истинный доход к = 1,м. Налоговые органы (верхний игрок иерархии) первыми в игре выбирают стратегию - вектор р — (рирг, ...,рп), где рь - вероятность проверки к-го налогоплательщика, к = 1 ,п. Предполагается, что налогоплательщики владеют оценочной информацией об этих вероятностях; проверка считается эффективной. Вторыми свою стратегию реализуют нижние игроки иерархии (налогоплательщики), принимая решение о том, уклоняться или нет (декларировать доход г* или г* = ¿а). Задачей игроков является максимизация их ожидаемого дохода.

На базе данной модели изучены варианты штрафования, указанные в работах А. Васина (2002. 2005). Для случая, когда чистый штраф пропорционален сокрытому доходу-, ожидаемый выигрыш к-го налогоплательщика составит Шк = = ik — trk - Pk(t + я)(г* - г*.); ожидаемый чистый доход налоговых органов: R =

ГС

= (<»'*• + Pk(t + it)(h- ~ г»-) - РкСк), где Ск ~ стоимость налоговой проверки к-го

к = 1

налогоплательщика.

В зависимости от того, выполняется или нарушается неравенство

(t + *)k.>ckn _ (7)

налоговая проверка к-го налогоп. 'лтслыцика выгодна или не выгодна налоговым органам. '" "

Теорема 4 Пусть для всех к = 1,п выполняется, нцхшспапно (7). Не зависящая от и- оптимальной стратегией в смысле максимизации дохода налоговых органов является вектор р~ = (;/[,...,£>,")> Р1 = гЬг' ^ = Оптимальной стратегией, к-го налогоплательщика является

|о, если рк < р'к, гь(Рк) = < (8)

г*, если рк > р1.

В случае, когда для всех к = 1, л неравенство (7) нарушено и любая налоговая проверка неприбыльна для налоговых органов, справедлива следующая теорема.

Теорема 5 Пусть для всех к = 1 ,п выполняется неравенство, обратное (1). Не зависящей от оптимальной стратегией в смысле максимизации дохода налоговых органов является вектор р* = 0. Оптимальной ст]ю.тсгией к-го налогоплательщика является гЦрь) — 0.

Для смешанного случая (для части налогоплательщиков выполняется неравенство (7), а для другой части - обратное) задача сводится к двум предыдущим с помощью перенумерования множества налогоплательщиков {1, я}: для подмножества налогоплательщиков {1, по} выполняется теорема 4, а для подмножества {по + 1, к} - теорема 5.

При выборе стратегии налоговым органам важно, выполняется или нет условие (7). В сил}' того, что налоговые органы не владеют информацией об истинном значении дохода налогоплательщиков, возникает необходимость получения оценки величины гь. Степень точности оценки гк может существенно влиять на выбор стратегии налоговых органов, делая его правильным или ошибочным. Существуют различные способы получения упомянутой оценки. Один из них заключается в том, что имеется достоверная информация о соотношении затрат на проверку и доходах налогоплательщиков, гарантирующая заведомо выполнение или невыполнение указанного неравенства. Другой способ связан с тем, что налоговым органам известно некоторое вероятностное распределение дохода А.--10 налогоплательщика. Тогда в качестве оценки ¡а может рассматриваться математическое ожидание или квантиль упомянутого распределения.

Случай, когда штраф пропорционален обнаруженном;.' недоплаченному налогу, изучен аналогичным образом. Если выполняется соотношение (1 + > с*, для

Рк" = ^ остается справедливой теорема 4 об оптимальных стратегиях игроков.

Если указанное соотношение нарушено, справедлива теорема 5.

Отдельно изучен случай нелинейного (пропорционального квадрату уклонения) штрафа. Ожидаемые налоговые выплаты к-го налогоплательщика в данном случае имеют вид ик = ¿г* + — г*.)2^, где множитель к соответствует одной

денежной единице. Оптимальная стратегия к-го налогоплательщика находится как решение задачи минимизации указанных налоговых выплат. Данное решение корректно при рк > к. В противном случае налогоплательщик декларирует гк = 0. Для обоих ситуаций решается задача максимизации Як(1>к) и сравниваются найденные решения. Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 6 Оптимальной стратегией в смысле максимизации дохода налоговых органов является вектор р" = (р{,... ,р"п), где р"к = Оптимальной страте-

гией к-го налогоплательщика является

Изучению фактора использования дополнительной информации о налогоплательщиках посвящен § 2.2. В этом параграфе построен метод оценки склонности налогоплательщиков к налоговому уклонению, основанный на применении свойства сопряженных распределений, описанного в книге М. Де Гроота (1974). Описаны результаты численного эксперимента, позволяющего изучить применение метода при проведении последовательных налоговых проверок.

В § 2.3 рассматриваются другие критерии оптимальности стратегии налоговых органов. Вместо изученной ранее фискальной функции, осуществлен поиск стратегии, реализующей принцип справедливости налоговой системы. То есть, в качестве задачи налоговых органов рассматривается це максимизация чистого дохода, а минимизация числа уклоняющихся налогоплательщиков. На базе изученной модели проведено сравнение полученной в работе оптимальной стратегии налоговых проверок и «порогового правила», описанного в работах А. Васина.

В третьей главе математические модели налоговых проверок построены с учетом таких факторов, как коррупция налоговых инспекторов и ресурсы налоговых органов.

(9.)

где Рк = йЬ к-

В § 3.1 способы подавления возможной коррупции исследуются на базе иерархической модели, построенной во второй главе диссертации. Иерархическая структура игры является трехуровневой; налоговые органы разделены на руководство и подчиненного ему инспектора, который может оказаться коррупционером. Как и ранее, предполагается, что взаимодействие между' риск-нейтральными игроками различных уровней иерархии соответствует схеме «принципал-агент». Модель изучается в условиях штрафа, пропорционального сокрытому уровню дохода.

Инспектор, с вероятностью рк направленный для осуществления налоговой проверки к-го налогоплательщика (стоимость проверки к = 1,л, за взятку Ьк может согласиться, не информировать свое руководство о выявленном налоговом уклонении. С вероятностью Рк руководство налоговых органов проводит перепроверку работы инспектора, стоимостью с*.. Предполагается, что обе проверки эффективны, то есть, обнаруживают' сокрытие реального уровня дохода, если оно имеется. Если в результате перепроверки обнаружено сокрытое инспектором уклонение, налогоплательщик по-прежнему должен заплатить + - (>). а инспектор - штраф / • (/¿. - />), где / коэффициент штрафования инспектора. Предполагается, что факт коррупции выявить очень сложно и инспектор наказывается только за недобросовестную проверку.

к-й налогоплательщик уклоняется от честного налогообложения, если его ожидаемые выплаты в случае уклонения меньше налога, который он заплатит, декларируя свой истинный уровень дохода, то есть, если выполнено неравенство

' Рк{1-+'*)(к-гк)<1{ч.-гк). (10)

Условием существования взаимовыгодной взятки является

РкЦн- - Гк) < Ьк < (1 - рк){1 + тгНи - Гк). (11)

В рамках описанной модели существуют следующие возможные ситуации:

1. Имели место уклонение и взятка;

2. Налогоплательщик уклонился от налогообложения, но факт коррупции не имел места;

•3. Честная выплата налогов в соответствии с декларацией.

В качестве решения задачи борьбы с налоговыми уклонениями и коррупцией ищутся оптимальные стратегии проведения инспекторских проверок и перепроверки деятельности инспекторов. Отдельно описаны случаи убыточной деятельности налоговых органов и вымогательства со стороны инспектора.

Результаты в различных случаях взаимодействия налоговых органов с к - м налогоплательщиком с учетом возможной коррупции обобщены в следующей теореме.

Теорема 7 1. Если соотношение параметров Ь, ж, '}, V* и с,к позволяет проводить неубыточную проверку к-го налогоплательщика (выполняется неравенство (< + 7г + /) (г* — > ¿к), наибольший доход налоговых органов, полученный с налогообложения данного налогоплательщика, достигается при выбранной стратегии проверок

Рк = 7—

t + 7Г

и перепроверок

г + л-

р* -Г^Т/-

и имеет вид

тах Як(рк,рк) = Як(р1 ,Рк") = Ик- —с.к - * ск. (12)

Рк.Рк I + Ж I + 7Г + /

В условиях указанной стратегии налоговых органов отпимальной стратегией к-го налогоплательщика в смысле максимизации его функции выигрыша является гЦр1,рь") = и; его выигрыш составляет и>к(р1,рк') = - Як-

2. В случае, когда для параметров ж, /, с* и ск выполняется неравенство (¿+-77 + /) {гк - < Ск, наибольший доход налоговых органов достигается при стратегии проверок р' = 0 и перепроверок р" = 0 и составляет Ик = 0. Стратегия к-го налогоплательщика в этом случае ''¡¡!(0,0) = 0; его выигрыш составляет 0,0) = г*.

Выигрыш инспектора в обоих случаях Jk = 0. ' '•'■■ • '

Применению теории поиска для большой поисковой системы, изученной в книге О. Хеллмаиа (1985), к задаче о поиске налоговых.уклуне-шй посвящен § 3.2.

В нем рассмотрены примеры моделей поиска налогового уклонения, учитывающие различные способы его распределения, построенные на основе игр поиска, описанных в книге Л. Петросяна и А. Гарнаева (1992).

В заключении проведен краткий от чет о результатах диссертационного исследования.

Апробация работы. Основные результаты были представлены на VI Московской Международной конференции но исследованию операций 01Ш2010 (Москва, 2010); на Международной конференции «International Conference on Stochastic Optimal Stopping», SOS2010 (Петрозаводск, 2010); на Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010); на Международном семинаре «Сетевые игры и менеджмент» NGM2009 (Петрозаводск, 2009); на III и IV Международных конференциях «Теория игр и менеджмент» GTM'09 и GTM'10 (Санкт-Петербург, 2009, 2010); на Международном семинаре «International Workshop on Optimal Stopping and Stochastic Control» (Петрозаводск, 2005): на VI и X Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005, 2009); на III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (Санкт-Петербург, 2004); на XXXIV, XXXV, XL и XLI научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2009 и 2010), а также на семинаре кафедры исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, семинарах кафедры математической теории игр н статистических решений факультета прикладной математики - процессов управления и семинарах Центра теории игр Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации работы. По материалам диссертации опубликовано 1G работ, две из которых -- в изданиях, рекомендованных ВАК.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Буре В. М./'КуИй-д ва С. Ш. Модель аудита с использованием статистической пнформалип о доходах налогоплательщиков // Вестник С-Петерб. ун-

та, сер. 10, 2005, вып. 1-2, сс. 140 -145.

2. Буре В. М., Кумачева С. Ш. Теоретико-игровая модель налоговых проверок с использованием статистической информации о начогоплателыциках // Вестник С-Петерб. ун-та, сер. 10, 2010, вып. 4, сс. 16-24.

Публикации в других изданиях

3. Буре В. М., Кумачева С. Ш. Вероятностная модель налоговых проверок // Обозрение прикладной и промышленной математики, ОПиПМ, том 12, вып. 1, М., 2005, с. 113.

4. Буре В. М., Кумачева С.Ш. Модель аудита // Математические методы исследования экономики / под ред. Зенкевича Н. А. СПб, 2004, сс. 148-160.

5. Кумачева С.Ш. Об одной модели аудита // Процессы управления и устойчивость: Труды 34-й научной конференции аспирантов п студентов / под ред. Н. В. Смирнова, В. Н. Старкова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003, сс. 542-546.

6. Кумачева С. Ш. Модель аудита в условиях использования косвенной информации о доходах налогоплательщиков // Динамические игры и их приложения. Сборник трудов молодых ученых / под ред. Л. А. Петросяна и А. Ю. Гарнаева. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006, сс. 185-190.

7. Кумачева С. Ш. Модель налоговых проверок в условиях возможной коррупции // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-ти летию со дня рождения В. И. Зубова. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010, сс. 159-160.

8. Кумачева С. Ш. Применение теории поиска к задаче о поиске налоговых уклонений /'/' Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й междунар. научн. конференции аспирантов и студентов / под ред. П. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010, сс. 653-658.

9. Кумачева С.Ш., Петросян Л. А. Теоретико-игровая модель взаимодействия налогоплательщиков и налоговых органов. // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й междунар. научн. конференции аспирантов и студентов

/ под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009, сс. 634-637.

10. Кумачева С. Ш. Модель налоговых проверок в условиях различных проявлений коррупции // Труды VI Московской конференции по исследованию операций (ORM2010) / под ред. П. С. Краснощекова, А. А. Васина. М: МАК-СПресс, 2010, сс. 422-424.

11. Кумачева С, Ш. Теоретико-игровая модель налоговых проверок в условиях различных вариантов штрафования // Обозрение прикладной и промышленной математики, ОПиПМ, том 16, вып. 2, М., 2009, сс. 359-360.

12. Виге V. М., Kumacheva S. Sh. About one model of tax auditing // Workshop «Optimal stopping and stochastic control». Abstracts, Karelian Research Centre, RAS, Petrozavodsk, 2005, pp. 15-16.

13. Виге V. M., Kumacheva S. Sh. A game theoretical model of tax auditing with using a statistical information about taxpayers // Workshop «Networking Games and Management» (NGM-2009), Extended abstracts, Karelian Research Centre, RAS, Petrozavodsk, 2009, pp. 8-10.

14. Виге V. M., Kumacheva S. Sh. The Choice of the Strategy of the Tax Control with the Use of Statistical Information about Taxpayers // International Conference «Stochastic Optimal Stopping» (SOS 2010), Extended abstracts, Karelian Research Centre, RAS, Petrozavodsk, 2010, pp. 17-20.

15. Kumacheva S. Sh. A Game Theoretical Model of Interaction Between Taxpayers and the Tax Authority // Contributions to game theory and management: collected papers presented on the Third International Conference Game Theory and Management / editors L. A. Petrosyan, N. A. Zenkevich. Graduate School of Management, St. Petersburg, 2010, pp. 257-267.

16. Kumacheva S. Tax Auditing Models With The Application of Theory of Search // The Fourth International Conference «Game Theory and Management» (GTM 2010), Abstracts, Graduate School of Management, St. Petersburg, 2010, pp. 108110. Подписано к печати 28.02.2011 г. Формат бумаги 60x84 1/16.

*' Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ 5089.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кумачева, Сурия Шакировна

Введение.

Глава 1. Вероятностная модель налоговых проверок.

§ 1.1 Описание модели.

§ 1.2 Анализ профилей согласованности.

§ 1.3 Оценка стоимости согласованности.

§ 1.4 Численный эксперимент.

§ 1.5 Модель проверок с «сигналом».

§ 1.6 Обобщение: отказ от предположения об ограниченном уклонении.

Глава 2. Теоретико-игровая модель взаимодействия между налоговыми органами и налогоплательщиками

§ 2.1 Базовая модель.

§2.1.1 Случай, когда чистый штраф пропорционален сокрытому доходу.

§2.1.2 Случай, когда штраф пропорционален обнаруженному недоплаченному налогу.

§2.1.3 Случай, когда штраф ограничен из-за заданной минимальной величины дохода агента.

§2.1.4 Случай, когда выплата после налогообложения пропорциональна обнаруженному сокрытому доходу.

§ 2.1.5 Случай нелинейного штрафования.

§2.2 Использование дополнительной информации о налогоплательщиках.

§ 2.2.1 Применение свойства сопряженных распределений.

§ 2.2.2 Численный эксперимент.

§ 2.3 Использование других стратегий.

§ 2.3.1 Принцип справедливости налогообложения.

§ 2.3.2 Применение «порогового правила».

Глава 3. Модели, учитывающие коррупцию и ресурсы налоговых органов.

§3.1 Модель налоговых проверок в условиях коррупции.

§ 3.1.1 Описание модели.

§ 3.1.2 Возможные ситуации.

§3.1.3 Случаи, допускающие убыточную деятельность налоговых органов.

§ 3.1.4 Оптимальные стратегии игроков.

§ 3.2 Задача о поиске налоговых уклонений.

Введение диссертация по математике, на тему "Математические модели налоговых проверок"

Актуальность темы. Создание эффективной налоговой системы является одной из наиболее актуальных задач мировой экономики и, как следствие, математического моделирования экономических процессов. Основополагающими составляющими налоговой системы являются продуманная и адекватная реальной экономической ситуации система налогов и четко функционирующий налоговый механизм, обеспечивающий выполнение налогового законодательства [33]. Его важнейшим элементом является налоговый контроль, включающий набор налоговых проверок различного типа (получение объяснений от налогоплательщиков, проверки данных учета и отчетности, осмотры помещений и территорий и т. д.). В математической литературе, связанной с моделированием налогообложения, не происходит дифференциации по типам и методам проведения налоговых проверок. Зачастую отождествлены понятия налогового контроля, налоговых проверок и аудита.

Классификацию математических моделей налогообложения можно проводить по нескольким критериям.

Во-первых, по той составляющей налоговой системы, которую данная модель исследует. Это может быть исследование налоговой шкалы, системы штрафов и льгот, связанных с налоговыми уклонениями. К такому моделированию относятся работы A. Atkinson, J. Stiglitz, 1972, 1976

38, 39], Ph. De Dondera, J. Hindriks, 2003 [48], J. Myles, 2000 [55]. С другой стороны, во многих публикациях исследуются проблемы налогового контроля. В число работ по этой проблематике входят, например, следующие: К. Border, J. Sobel, 1987 [40], H. Cremer, M. Marchand, P. Pestieau, 1990 [47], J. Mirrlees, 1971 [54] и т. д.

Вторым критерием классификации можно считать степень адаптации математической модели к экономической реальности. Здесь важным является то обстоятельство, учитывает ли модель специфику какой-либо государственной налоговой системы (T. Srinivasan, 1976 [60]) и такие факторы, как коррупцию и возможные ошибки (А. Васин и соавторы, 1993, 1999, 2005 [10, 61, 62], А. Савватеев, 2003 [30], P. Chander, L. Wilde, 1992 [44], J. Hindriks, M. Keen, A. Muthoo, 1999 [50]).

К третьему критерию можно отнести то, какой тип налогов (прямые или косвенные) и налогоплательщиков (физические [48] или юридические лица [13]) рассматривается в модели. Существуют также обобщенные модели, применимые как к гражданам, так и к организациям (P. Chander, L. Wilde, 1998, [45], I. Sanchez, J. Sobel, 1993 [58]).

При построении и исследовании моделей налоговых проверок используются различные математические подходы. Из них наиболее распространенными являются теоретико-игровое моделирование (А. Васин, П. Васина, 2002 [7], С. Мовшович, 2003 [24], J. Greenberg, 1984 [49], M. Sak-aguchi, 1998 [57], A. Vasin, O. Agapova, 1993, [61]), различные оптимизационные методы (А. Закревский, В. Токарев, 2003, [13], M. Ailing-ham, A. Sandmo, 1972 [37], T. Srinivasan, 1973 [60]), a также теоретико-вероятностное моделирование (I. Macho-Stadler, J. D. Perez-Castrillo, 2002, [53]).

В данной диссертационной работе основным предметом изучения являются модели налоговых проверок, построенные с помощью методов теоретико-вероятностного и теоретико-игрового моделирования.

Вероятностная модель, рассмотренная в работе, построена с ориентацией на подоходный налог физических лиц. Выбор стратегии налоговых проверок осуществляется налоговыми органами с использованием информации о распределении доходов среди населения (такой подход применялся в работах P. Chander, L. Wilde [45] и А. Васина и соавторов [7, 10, 61]) и дополнительной информации о конкретном налогоплательщике, отражающей его склонность занижать декларируемый доход (подобная информация рассматривалась раньше в работах I. Macho-Stadler, J. D. Perez-Castrillo [53]).

Теоретико-игровая модель взаимодействия между налоговыми органами и налогоплательщиками построена на базе иерархической игры в силу структуры самих налоговых органов и их взаимодействия с налогоплательщиками. Ранее эта специфика налоговой политики исследовалась подробно в работе I. Sanchez, J. Sobel [58]. Нужно отметить, что задача налогового администрирования чаще всего решается в классической постановке «принципал-агент» (P. Chander, L. Wilde [45], J. Greenberg [49] J. Reinganum, L. Wilde [56] и т. д.). Структура модели не зависит от типа налогоплательщиков и подходит для описания налоговых проверок частных и юридических лиц.

Рассмотренная в диссертации теоретико-игровая модель обобщена на случай инспектирования с учетом коррупции. Проблема коррупции и ее подавления широко исследовалась в работах А. Васина и соавторов [8, 10, 62], А. Савватеева [30], P. Chander, L. Wilde [44], J. Hindriks,

M. Keen, A. Muthoo [50]. Первоначальная иерархическая структура была усложнена и стала трехуровневой за счет введения дополнительного звена - инспектора, который может оказаться взяточником. В качестве способа подавления коррупции на базе данной модели исследовалось проведение дополнительного контроля.

Методы теории поиска, изложенные в книге О. Хеллмана [35], и игры поиска, изученные в работах JI. Петросяна совместно с А. Гарнаевым [27] и Н. Зенкевичем [28], в дайной диссертационной работе были применены к задаче поиска возможного уклонения от уплаты налогов. С их помощью получен инструментарий, позволяющий учитывать имеющиеся у налоговых органов ресурсы и эффективность проводимых налоговых проверок.

Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности тематики, а также о том, что проведенное исследование вносит определенный вклад в развитие математического моделирования налогообложения.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей налоговых проверок. Рассмотрены теоретико-вероятностный и теоретико-игровой подходы. Изучена возможность использования дополнительной информации о налогоплательщиках при решении задачи поиска оптимальных стратегий налоговых органов.

Отличительной чертой первой модели является разбиение налогоплательщиков на группы по их уровню дохода и выбор налоговыми органами стратегии налоговых проверок с учетом профилей согласованности декларируемого дохода различных групп налогоплательщиков с их истинным уровнем дохода. Ее обобщением является модель «аудита с сигналом», основанная на использовании условных вероятностей и рассматривающая дополнительную информацию о склонности конкретного налогоплательщика занижать декларируемый доход в качестве фактора, влияющего на выбор стратегии налоговых органов.

В более ранних публикациях со схожей проблематикой [7, 10, 44, 45, 61, 62] рассматривалось бинарное распределение дохода налогоплательщиков. Теоретико-игровая модель, представленная в диссертационной работе, отличается от моделей указанных авторов предположением о неоднородности налогоплательщиков не только по уровню дохода, но и по затратам налоговых органов на осуществление проверок. Данная модель исследована для описанных в [7, 10, 61, 62] линейных и дополнительного нелинейного вариантов штрафования. Специфической чертой теоретико-игровой модели также является лежащее в основе построения иерархической игры предположение о том, что стратегия налоговых органов не зависит от декларируемого в данном налоговом периоде дохода налогоплательщиков.

На базе перечисленных моделей изучены способы подавления коррупции, осуществлен поиск значений параметров, обеспечивающих эффективную работу налоговой системы, проведен сравнительный анализ ее фискальной и других функций (социальной, распределительной, контрольной) [33]. К фискальной функции относится задача максимизации ожидаемого дохода налоговых органов. Важным условием в реализации других функций налоговой системы является достижение профиля с максимальной согласованностью декларируемого и истинного дохода налогоплательщиков (ситуации, в которой отсутствуют налоговые уклонения). Условия, в которых указанные функции реализуются совместно, исследованы с помощью численного эксперимента при определенных допущениях.

На базе вероятностной модели изучен вопрос об оптимальном распределении бюджета налоговых органов на проведение проверок в различных группах налогоплательщиков.

С использованием свойства семейств сопряженных распределений разработан метод оценивания склонности налогоплательщика к уклонению от уплаты налогов при имеющейся у налоговых органов информации о наличии его уклонений в предшествующие периоды. Проведен численный эксперимент, иллюстрирующий использование данного метода.

Также в работе рассматривается задача поиска налогового уклонения при ограниченном временном и других ресурсах, решение которой произведено с помощью теории поиска неподвижного объекта большой поисковой системой [35].

Практическая ценность работы заключается в возможности расчета и применения на практике найденных оптимальных стратегий игроков с учетом поправок, вносимых экономической ситуацией (численных значений налоговых и штрафных ставок, специфическими аспектами налотового законодательства и т. д.). К полученным результатам также относятся найденные способы подавления коррупции. Предложенный в работе метод оценивания склонности налогоплательщика к уклонению позволяет налоговым органам в реальной жизни выбирать стратегию проверок, опираясь на «налоговую историю» данного налогоплательщика. Изученная проблема эффективности налоговой проверки позволяет учитывать ресурсы (временной промежуток и затраченные поисковые усилия), которыми располагают налоговые органы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Дискретная вероятностная модель налоговых проверок налогоплательщиков с рациональным поведением;

4. Теоремы об оптимальных (в смысле максимизации функции выигрыша) стратегиях игроков для различных вариантов штрафования (для теоретико-игровой модели);

5. Метод оценивания склонности налогоплательщика к налогвому уклонению, основанный на его «налоговой истории»;

6. Теорема об оптимальных (в смысле максимизации функции выигрыша) стратегиях игроков в условиях подавления налоговыми органами коррупции.

Апробация работы.

Основные результаты были представлены на VI Московской Международной конференции по исследованию операций ORM2010 (Москва, 2010); на Международной конференции «International Conference on Stochastic Optimal Stopping», SOS2010 (Петрозаводск, 2010); на Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010); на Международном семинаре «Сетевые игры и менеджмент» NGM2009 (Петрозаводск, 2009); на III и IV Международных конференциях «Теория игр и менеджмент» GTM'09 и GTM'10 (Санкт-Петербург, 2009, 2010); на Международном семинаре «International Workshop on Optimal Stopping and Stochastic Control» (Петрозаводск, 2005); на VI и X Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005, 2009); на III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (Санкт-Петербург, 2004); на XXXIV, XXXV, XL и XLI научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2009 и 2010), а также на семинаре кафедры исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, семинарах кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики - процессов управления и семинарах Центра теории игр Санкт-Петербургского государственного университета.

По материалам диссертации опубликованы работы [3] [4], [5], [6], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [41], [42], [43], [51], [52], две из которых - в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы (которые, в свою очередь, разбиты на подпараграфы), заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

Заключение

В силу особого места, которое занимает налоговая система в решении задач национальной экономики, важнейшее значение приобретает проблема ее эффективности, то есть способности выполнять возложенные на нее функции [33]. Одной из главных задач налоговой системы является формирование механизма, обеспечивающего выполнение налогового законодательства. Наряду с адекватными экономическим и социальным требованиям данного государства налоговой шкалой и системой льгот, наказаний и штрафов, важнейшим аспектом этого механизма является налоговый контроль.

В данной работе рассмотрены различные типы математических моделей налогового контроля.

Первая глава посвящена вероятностной модели налоговых проверок (аудита), ориентированной на возможность использования, помимо информации о декларируемом доходе, некой дополнительной информации о распределении дохода среди населения.

При построении модели была произведена дискретизация истинной налоговой ответственности I налогоплательщиков (безразмерной относительной величины): диапазон возможных налоговых отчислений был разбит на N интервалов, каждому из которых соответствует определенная группа налогоплательщиков. Постулируя рациональность поведения налогоплательщиков, было сделано предположение о том, что уклонение группы налогоплательщиков с одинаковым доходом возможно только до уровня налоговой ответственности группы с более низким доходом. В §1.1 - §1.4 также предполагалось, что уклонение конкретной группы налогоплательщиков может существовать только тогда, когда уклоняются граждане с более высоким уровнем дохода. Рассматривался вариант штрафования (за уклонение от налогообложения), пропорционального уровню уклонения.

В рамках сделанных предположений были выделены N различных профилей согласованности декларируемой налоговой ответственности налогоплательщиков с истинной. При анализе этих профилей был сформулирован критерий реализации самого согласованного профиля - теорема 1.

Отдельно был изучен вопрос оценки дохода налоговых органов при обеспечении различных степеней согласованности и бюджета налоговых органов, необходимого для реализации самого согласованного профиля.

Осуществлен численный эксперимент, позволяющий исследовать вопрос о стоимости согласованности для модели с N — 8 профилями, построенной исходя из статистической оценки данных о распределении численности работников по размерам заработной платы, ежегодно проводимой Росстатом совместно с Научно-исследовательским институтом проблем социально-экономической статистики [23]. С помощью равномерного распределения и распределения Парето были найдены средние уровни дохода в различных группах граждан и соответствующие значения налоговой ответственности. При некоторых логически обоснованных допущениях о соотношении параметров модели для различных значений штрафных ставок были получены стратегии налоговых проверок, реализующие самый согласованный профиль, и проведена оценка стоимости его реализации. Также был исследован вопрос о распределении ограниченного бюджета налоговых органов.

Численный эксперимент дал результаты, согласующиеся с мировой экономической практикой [31, 32]. Так, например, было получено, что повышение согласованности требует повышения штрафной ставки, что для пресечения наименьшей согласованности достаточно осуществлять проверку доли населения, декларирующего наименьший уровень дохода (прожиточный минимум), и что даже при возможности достижения самого согласованного профиля он является оптимальным с точки зрения дохода налоговых органов только при существенных ограничениях. При исследовании задачи об ограниченном бюджете было получено, что политика налоговых органов, направленная на достижение большей согласованности, приносит меньший чистый налоговый доход.

В качестве обобщения была рассмотрена «модель с сигналом», в которой учитывалась некоторая хорошо согласованная с истинным уровнем дохода налогоплательщиков информация (названная сигналом), отталкиваясь от которой налоговые органы принимают решение о проведении проверки.

С использованием свойств условных вероятностей для данной модели был получен критерий отсутствия уклонения налогоплательщиков до уровня налоговой ответственности группы с более низким доходом - теорема 2.

Также была рассмотрена задача о бюджете, позволяющем реализовать оптимальные (в смысле отсутствия уклонения) налоговые проверки в определенной группе, то есть, тот или иной профиль согласованности. Ранее этот вопрос поднимался в публикациях [53, 58]. Для модели, построенной в § 1.5 были получены оптимальные стратегии и оптимальный бюджет проверок налогоплательщиков, декларировавших определенный уровень налоговой ответственности, в зависимости от доли, на которую поступил сигнал о возможном уклонении. Результаты решения указанных задач сформулированы в теореме 3.

Во второй главе моделирование налогового контроля осуществляется с помощью теоретико-игрового подхода. Налоговый контроль рассматривается как взаимодействие различных участников механизма налоговых проверок, и его модель опирается на иерархическую игру, в которой в качестве игроков выступают налоговые органы и п налогоплательщиков. Взаимодействие налоговых органов с каждым налогоплательщиком предполагается соответствующим схеме «принципал — агент», поведение игроков считается риск-нейтральным. В рамках данной модели рассматриваются варианты штрафования, указанные в работах [7, 10], а также пример нелинейного штрафа. Для всех способов штрафования построены функции выигрыша и осуществлен поиск оптимальных стратегий игроков. Результаты с учетом всех частных случаев сформулированы в виде теорем 4-6.

Как и в предыдущей главе, отдельно рассматривается вопрос об использовании налоговыми органами дополнительной информации о налогоплательщиках. Но, в отличие от вероятностной модели, описанной в главе 1, здесь речь идет не об оценке дохода налогоплательщиков, а об оценке их склонности к уклонению от уплаты налогов. Предложенный метод подобного оценивания базируется на использовании свойства сопряженных распределений, описанных в [12], и понятия «налоговая история». Делая предположение об априорном распределении случайной величины характеризующей склонность к-го налогоплательщика к уклонению от уплаты налогов, с помощью налоговой истории по результатам последней проведенной проверки вычисляются параметры апостериорного распределения. Вероятность проведения налоговой проверки к-го налогоплательщика вычисляется как квантиль апостериорного распределения \¥к после предыдущей проверки.

Был проведен численный эксперимент, наглядно демонстрирующий применение указанного способа выбора стратегии налоговых органов, для штрафов, пропорциональных уровню уклонения и обнаруженному недоплаченному налогу.

К построенной модели также были применены другие критерии оптимальности. Вместо изученной ранее фискальной функции, осуществлен поиск стратегии, реализующей принцип справедливости налоговой системы. То есть, в качестве задачи налоговых органов рассматривается не максимизация чистого дохода, а минимизация числа уклоняющихся налогоплательщиков. На базе изученной модели проведено сравнение полученной в работе оптимальной стратегии налоговых проверок и «порогового правила», предложенного в [7, 10].

Третья глава посвящена моделям, учитывающим коррупцию и ресурсы налоговых органов.

На базе описанной в главе 2 модели исследуется специфика налоговых проверок в условиях коррупции. Определено условие взаимовыгодной для налогоплательщика и инспектора взятки. Результат поиска оптимальных стратегий и функций выигрыша игроков сформулирован в теореме 7. Отдельно изучены случаи убыточной деятельности налоговых органов.

Стоит отметить, что полученные в случае с коррупцией для данной модели результаты хорошо согласуются с более ранними результатами, полученными в посвященных проблемам коррупции работах [10, 61, 62].

Иерархическая структура налоговых органов позволяет применить к задаче о налоговых проверках теорию поиска неподвижной цели с помощью большой поисковой системы, описанной в [35]. С помощью этой теории был создан математический инструментарий поиска налогового уклонения в одном из филиалов многофилиалыюй компании. Его применение эффективно для решения тех задач, в которых рассматривается вопрос о распределении затрат ресурсов (времени, денежных средств, поисковых единиц), а также задач, учитывающих различные способы распределения имеющегося налогового уклонения. Подробно рассмотрены несколько примеров указанных моделей, основанных на играх, описанных в [27, 29].

Таким образом, в диссертационной работе рассмотрены два принципиально различных подхода к моделированию налогового контроля: вероятностное моделирование налоговых проверок и теоретико-игровое моделирование взаимодействия налоговых органов с налогоплательщиками с помощью иерархических игр.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кумачева, Сурия Шакировна, Санкт-Петербург

1. Большев J1.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. Издание третье. М.: Наука, 1983, 416 с.

2. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Едиториал УРСС, 2003, 472 с.

3. Буре В. М., Кумачева С. Ш. Вероятностная модель налоговых проверок // Обозрение прикладной и промышленной математики, ОПи-ПМ, том 12, вып. 1, М., 2005, с. ИЗ.

4. Буре В. М., Кумачева С. Ш. Модель аудита // Математические методы исследования экономики / под ред. Зенкевича Н. А. СПб, 2004, сс. 148-160.

5. Буре В.М., Кумачева С. Ш. Модель аудита с использованием статистической информации о доходах налогоплательщиков // Вестник С-Петерб. ун-та, сер. 10, 2005, вып. 1-2, сс. 140-145.

6. Буре В. М., Кумачева С.Ш. Теоретико-игровая модель налоговых проверок с использованием статистической информации о налогоплательщиках // Вестник С-Петерб. ун-та, сер. 10, 2010, вып. 4, сс. 16-24.

7. Васин A.A., Васина П.А. Оптимизация налоговой системы в условиях уклонения от налогов: роль ограничений на штраф // EERC, сер. Научные доклады, 2002, 48 с.

8. Васин А. А., Картунова П. А., Уразов А. С. Модели организации государственных инспекций и борьбы с коррупцией // Матем. моделирование, 2010, том 22, № 4, сс. 67-89.

9. Васин А. А., Краснощеков П. С., Морозов В. В. Исследование операций. М.: Изд. центр "Академия", 2008, 464 с.

10. Васин A.A., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005, 272 с.

11. И. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976, 326 с.

12. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974, 491 с.

13. Закревский А. В., Токарев В. В. Оптимизация распределения ресурсов между раскрытием и наказанием уклонений от налогов // Экономии. журнал ВШЭ, 2003, № 4, сс. 441-470.

14. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966, 588 с.

15. Кумачева С.Ш. Об одной модели аудита // Процессы управления и устойчивость: Труды 34-й научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, В.Н. Старкова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003, сс. 542-546.

16. Кумачева С. Ш. Модель налоговых проверок в условиях возможной коррупции // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-ти летию со дня рождения В. И. Зубова. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010, сс. 159-160.

17. Кумачева С. Ш. Модель налоговых проверок в условиях различных проявлений коррупции // Труды VI Московской конференции по исследованию операций (01Ш2010) / под ред. П. С. Краснощекова, А. А. Васина. М: МАКСПресс, 2010, сс. 422-424.

18. Кумачева С. Ш. Теоретико-игровая модель налоговых проверок в условиях различных вариантов штрафования // Обозрение прикладной и промышленной математики, ОПиПМ, том 16, вып. 2, М., 2009, сс. 359-360.

19. Интернет-сайт Федеральной службы государственной статистики http://www.gks.ru/.

20. Интернет-сайт Федеральной налоговой службы http://www.nalog.ru/.

21. Мовшович С. М. Игровая модель выбора стратегии налоговой инспекцией // Экономика и математические методы, 2003, том 39, № 2, сс. 188-200.

22. Мулен Э. Теория игр. С примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985, 200 с.

23. Налоговый кодекс Российской Федерации. М: ГроссМедиа, 2006, 544 с.

24. Петросян JI. А., Гарнаев А. Ю. Игры поиска. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992, 217 с.

25. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А. Оптимальный поиск в условиях конфликта. JL: Ленингр. ун-т, 1987, 76 с.

26. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998, 300 с.

27. Савватеев A.B. Оптимальные стратегии подавления коррупции. // Экономика и математические методы, 2003, том 39, №1, сс. 62-75.

28. Самуэльсон П. Э., Нордхаус В. Д. Экономика. М.: "Вильяме", 2007, 1360 с.

29. Синельников-Мурылев С., Баткибеков С., Кадочников П., Неки-пелов Д. Оценка результатов реформы подоходного налога в Российской Федерации. М.: Институт экономики переходного периода, 2003, 140 с.

30. Курс экономической теории: Общие основы экономической теории. Микроэкономика. Макроэкономика. Основы национальной экономики: учеб. пособие / Науч. ред. А. В. Сидорович. М.: ДИС, Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова, 2001, 832 с.

31. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967, 765 с.

32. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. Оптимизация и исследование операций. М.: Наука, 1985, 248 с.

33. Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. М.: МЦНМО, 2004, 520 с.

34. Allingham М. G., Sandmo A. Income tax evasion: a theoretical analisys // Journal of Public Economics, 1972, vol. 1, pp. 323-338.

35. Atkinson А. В., Stiglitz J.E. The design of tax structure: direct versus indirect taxation // Journal of Public Economics, 1976, vol. 6, pp. 55-75.

36. Atkinson А.В., Stiglitz J.E. The Structure of Indirect Taxation and Economic Efficiency // Journal of Public Economics, 1972, vol. 1, pp. 97119.

37. Border K. C., Sobel J. Samurai Accountant: A Theory of Auditing and Plunger //Review of Economic Studies, 1987, vol. 54, pp. 525-540.

38. Bure V. M., Kumacheva S.Sh. About one model of tax auditing // Workshop «Optimal stopping and stochastic control». Abstracts, Karelian Research Centre, RAS, Petrozavodsk, 2005, pp. 15-16.

39. Chander P., Wilde L. L. Corruption in tax administration // Journal of Public Economics, 1992, vol. 49, pp. 333-349.

40. Chander P., Wilde L. L. A General Characterization of Optimal Income Tax Enfocement // Review of Economic Studies, 1998, vol. 65, pp. 165183.

41. Cremer H., Gahvari F. Tax evasion and optimal commodity taxation // Journal of Public Economics, 1993, vol. 50, pp. 261-275.

42. Cremer H., Marchand M., Pestieau P. Evading, Auditing and Taxing: The Equity-Compliance Tradeoff // Journal of Public Economics, 1990, vol. 43, pp. 67-92.

43. De Dondera Ph., Hindriks J. The politics of progressive income taxation with incentive effects // Journal of Public Economics, 2003, vol. 87, pp. 2491-2505.

44. Greenberg J. Avoiding Tax Avoidance: A (Repeated) Game-Theoretic Approach // Journal of Economic Theory, 1984, vol. 32, pp. 1-13.

45. Hindriks J., Keen M., Muthoo A. Corruption, Extortion and Evasion // Journal of Public Economics, 1999, vol. 74, 3, pp. 395-430.

46. Kumacheva S. Tax Auditing Models With The Application of Theory of Search // The Fourth International Conference «Game Theory and Management» (GTM 2010), Abstracts, Graduate School of Management, St. Petersburg, 2010, pp. 108-110.

47. Macho-Stadler I., Perez-Castrillo J.D. Auditing with signals // Económica, 02, 2002, pp. 1-20.

48. Mirrlees J. A. An exploration in the theory of optimum income taxation // Review of Economic Studies, 1971, vol. 38, pp. 175-208.

49. Myles G.D. On the optimal marginal rate of income tax // Economics Letters, 2000, vol. 66, pp. 113-119

50. Reinganum J.R., Wilde L. L. Income tax compliance in a principal-agent framework // Journal of Public Economics, 1985, vol. 26, pp. 1-18.

51. Sakaguchi M. A Non-Zero-Siim Repeated Game Criminal vs. Police // Math. Japonica, 1998, vol. 48, pp. 427-436.

52. Sanchez I., Sobel J. Hierarchical design and enforcement of income tax policies // Journal of Public Economics, 1993, vol. 50, pp. 345-369.

53. Sandmo A. Optimal taxation // Journal of Public Economics, 1976, vol. 6, pp. 37-54.

54. Srinivasan T. N. Tax evasion: a model // Journal of Public Economics, 1973, vol. 44, pp. 339-346.

55. Vasin A. A., Agapova O. B. Game Theoretic Model of the Tax Inspection Organization // International Year-Book of Game Theory and Applications, Novosibitsk: Nauka, 1993, vol. 1, pp. 83-94.

56. Vasin A. A., Panova E. I. Tax collection and corruption in Fiscal Bodies. Final Report on EERC Project, 1999, 31 p.

57. Vasina P. A. Otimal Tax Enforcement With Imperfect Taxpayers and Inspectors // Computational Mathematics and Modeling, 2003, vol. 14, no. 3, pp. 309-318.